O Jensenově nerovnosti
|
|
- Aneta Bartošová
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, (ŠKOMAM 2019) Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
2 Ryze kovexí fukce Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
3 Ryze kokáví fukce Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
4 Věta (Jeseova erovost) Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I a libovolá λ 1, λ 2,..., λ > 0 taková, že λ 1 + λ λ = 1, platí resp. f (λ 1 x 1 + λ 2 x λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ), f (λ 1 x 1 + λ 2 x λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ). Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
5 Věta (Jeseova erovost) Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I a libovolá λ 1, λ 2,..., λ > 0 taková, že λ 1 + λ λ = 1, platí f (λ 1 x 1 + λ 2 x λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ), resp. f (λ 1 x 1 + λ 2 x λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ). Rovost přitom astae, právě když platí x 1 = x 2 = = x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
6 Věta (Jeseova erovost) Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I a libovolá λ 1, λ 2,..., λ > 0 taková, že λ 1 + λ λ = 1, platí resp. f (λ 1 x 1 + λ 2 x λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ), f (λ 1 x 1 + λ 2 x λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ). Rovost přitom astae, právě když platí x 1 = x 2 = = x. Důkaz. Lze provést apř. idukcí vzhledem k. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
7 f (λ 1 x 1 + λ 2 x λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ) Důkaz. My si ukážeme jiý (pěkější) důkaz. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
8 f (λ 1 x 1 + λ 2 x λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ) Důkaz. My si ukážeme jiý (pěkější) důkaz. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
9 Důsledek Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I platí resp. ( ) x1 + x x f ( ) x1 + x x f f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ), f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ). Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
10 Důsledek Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I platí resp. ( ) x1 + x x f ( ) x1 + x x f f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ), f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ). Rovost přitom astae, právě když platí x 1 = x 2 = = x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
11 Důsledek Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I platí resp. ( ) x1 + x x f ( ) x1 + x x f f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ), f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ). Rovost přitom astae, právě když platí x 1 = x 2 = = x. Důkaz. Tvrzeí plye přímo z Jeseovy erovosti. Stačí zvolit λ 1 = λ 2 = = λ = 1. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
12 Věta (AG erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x x x 1 x 2... x. (AG) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
13 Věta (AG erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x x x 1 x 2... x. (AG) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Důkaz. Použijeme důsledek Jeseovy erovosti a ryzí kokávosti fukce f (x) = log x a itervalu (0, + ). Pro libovolá kladá x 1, x 2,..., x tedy platí ( ) x1 + x x log log x 1 + log x log x, což po úpravě dává AG erovost (pro kladá x 1, x 2,..., x ). Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
14 Věta (AK erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x x x x x 2. (AK) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
15 Věta (AK erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x x x x x 2. (AK) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Důkaz. V prví řadě si uvědomme, že fukce f (x) = x 2 je ryze kovexí. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
16 Věta (AK erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x x x x x 2. (AK) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Důkaz. V prví řadě si uvědomme, že fukce f (x) = x 2 je ryze kovexí. Poté použijeme erovost ( ) x1 + x x f f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ), ze které plye (x1 + x x ) 2 x x x 2. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
17 Uvažujme (velmi důležitou) posloupost a = ( ). Dokažte, že tato posloupost je rostoucí, tz. pro každé N platí a +1 > a. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
18 Uvažujme (velmi důležitou) posloupost a = ( ). Dokažte, že tato posloupost je rostoucí, tz. pro každé N platí a +1 > a. Důkaz. ( a = ) ( = ) AG < ( 1 + ( ( ) ( }{{} krát ) ( = ) + + ( ) AG < )) +1 = ( ) ( = ) +1 = a Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
19 Ze všech trojúhelíků s vitřími úhly α, β, γ ajděte te, pro který je hodota výrazu si α si β si γ maximálí. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
20 Ze všech trojúhelíků s vitřími úhly α, β, γ ajděte te, pro který je hodota výrazu si α si β si γ maximálí. Řešeí. Použijeme AG erovost a poté důsledek Jeseovy erovosti pro fukci si x, která je ryze kokáví a itervalu 0, π. Máme tedy AG 3 si α + si β + si γ si α si β si γ 3 Jese Jese ( ) α + β + γ si 3 = si π 3 = 3 2. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
21 Ze všech trojúhelíků s vitřími úhly α, β, γ ajděte te, pro který je hodota výrazu si α si β si γ maximálí. Řešeí. Použijeme AG erovost a poté důsledek Jeseovy erovosti pro fukci si x, která je ryze kokáví a itervalu 0, π. Máme tedy AG 3 si α + si β + si γ si α si β si γ 3 Jese Jese ( ) α + β + γ si 3 = si π 3 = 3 2. Odtud si α si β si γ Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
22 Ze všech trojúhelíků s vitřími úhly α, β, γ ajděte te, pro který je hodota výrazu si α si β si γ maximálí. Řešeí. Použijeme AG erovost a poté důsledek Jeseovy erovosti pro fukci si x, která je ryze kokáví a itervalu 0, π. Máme tedy AG 3 si α + si β + si γ si α si β si γ 3 Odtud Jese Jese ( ) α + β + γ si 3 = si π 3 = 3 2. si α si β si γ Rovost přitom astae, právě když α = β = γ, tj. právě když se jedá o rovostraý trojúhelík. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
23 Najděte obdélík daého obvodu o, jehož úhlopříčka má miimálí velikost. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
24 Najděte obdélík daého obvodu o, jehož úhlopříčka má miimálí velikost. Nápověda. u = a 2 + b 2 AK ( ) a + b 2 2 = o 2 4. Rovost astae, právě když a = b, tj. když se jedá o čtverec. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
25 Najděte obdélík daého obvodu o, jehož úhlopříčka má miimálí velikost. Nápověda. u = a 2 + b 2 AK ( ) a + b 2 2 = o 2 4. Rovost astae, právě když a = b, tj. když se jedá o čtverec. Najděte trojúhelík daého obvodu o = 2s, který má ejvětší obsah. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
26 Najděte obdélík daého obvodu o, jehož úhlopříčka má miimálí velikost. Nápověda. u = a 2 + b 2 AK ( ) a + b 2 2 = o 2 4. Rovost astae, právě když a = b, tj. když se jedá o čtverec. Najděte trojúhelík daého obvodu o = 2s, který má ejvětší obsah. Nápověda. ( ) S 2 = s (s a)(s b)(s c) AG (s a) + (s b) + (s c) 3 s = s Rovost astae, právě když a = b = c, tj. když se jedá o rovostraý trojúhelík. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
27 Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
28 Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Důkaz. Strau čtvercového plechu ozačme a a strau vyřízutých čtverců ozačme x. Pak pro objem krabičky platí V = (a 2x) 2 x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
29 Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Důkaz. Strau čtvercového plechu ozačme a a strau vyřízutých čtverců ozačme x. Pak pro objem krabičky platí V = (a 2x) 2 x. Nyí použijeme AG erovost ásledujícím způsobem: 4V = (a 2x) (a 2x) (4x) AG ( (a 2x) + (a 2x) + 4x 3 ) 3 = 8 27 a3. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
30 Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Důkaz. Strau čtvercového plechu ozačme a a strau vyřízutých čtverců ozačme x. Pak pro objem krabičky platí V = (a 2x) 2 x. Nyí použijeme AG erovost ásledujícím způsobem: 4V = (a 2x) (a 2x) (4x) AG ( (a 2x) + (a 2x) + 4x 3 ) 3 = 8 27 a3. Rovost v posledí erovosti astae, právě když a 2x = 4x, tj. x = a 6. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
31 Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Důkaz. Strau čtvercového plechu ozačme a a strau vyřízutých čtverců ozačme x. Pak pro objem krabičky platí V = (a 2x) 2 x. Nyí použijeme AG erovost ásledujícím způsobem: 4V = (a 2x) (a 2x) (4x) AG ( (a 2x) + (a 2x) + 4x 3 ) 3 = 8 27 a3. Rovost v posledí erovosti astae, právě když a 2x = 4x, tj. x = a 6. Pozámka Můžete se zkusit zamyslet ad tím, jak by se řešil případ, kdyby původí plech ebyl čtvercový, ale obdélíkový (apř. 7 15). Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
32 Do daého kruhu vepište úhelík ( 3 je daé) tak, aby jeho obvod byl maximálí. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
33 Do daého kruhu vepište úhelík ( 3 je daé) tak, aby jeho obvod byl maximálí. Důkaz. ( o = 2R si α si α si α ) Jese 2 Jese ( α1 2R si 2 + α ) α 2 = 2R si π. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
34 Do daého kruhu vepište úhelík ( 3 je daé) tak, aby jeho obvod byl maximálí. Důkaz. ( o = 2R si α si α si α ) Jese 2 Jese ( α1 2R si 2 + α ) α 2 = 2R si π. Rovost astae, právě když α 1 = α 2 = = α, tj. když je úhelík pravidelý. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
35 Ze všech válců o daém objemu V ajděte te, který má ejmeší povrch. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
36 Ze všech válců o daém objemu V ajděte te, který má ejmeší povrch. Důkaz. Platí V = πr 2 v = v = V πr 2. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
37 Ze všech válců o daém objemu V ajděte te, který má ejmeší povrch. Důkaz. Platí V = πr 2 v = v = V πr 2. Odtud máme S = 2πr 2 + 2πrv = 2πr 2 + 2πr V πr 2 = 2πr 2 + 2V r = 2πr 2 + V r + V r = AG 3 3 2πr 2 V r V r = 3 3 2πV 2. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
38 Ze všech válců o daém objemu V ajděte te, který má ejmeší povrch. Důkaz. Platí V = πr 2 v = v = V πr 2. Odtud máme S = 2πr 2 + 2πrv = 2πr 2 + 2πr V πr 2 = 2πr 2 + 2V r = 2πr 2 + V r + V r = AG 3 3 2πr 2 V r V r Rovost astae, právě když 2πr 2 = V r, tj. r = 3 V 2π, v = 3 (tzv. rovostraý válec). = 3 3 2πV 2. 4V π = 2r Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
39 Do rotačího kužele o poloměru podstavy r a výšce v je vepsá rotačí válec s maximálím objemem. Určete poloměr podstavy a výšku tohoto válce. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
40 Do rotačího kužele o poloměru podstavy r a výšce v je vepsá rotačí válec s maximálím objemem. Určete poloměr podstavy a výšku tohoto válce. Do elipsy o poloosách a, b vepište obdélík tak, aby jeho stray byly rovoběžé s osami elipsy a přitom jeho obsah byl maximálí. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
41 ŠKOMAM CUP Najděte ejvětší hodotu výrazu a b b a, kde a a b jsou kladá reálá čísla splňující a + b = 3. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
42 Děkuji za pozorost. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti / 17
Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ
ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ JAROSLAV ZHOUF Pedagogická fakulta UK Praha Osova předášky 1. Vysvětleí pojmu Aritmetické poslouposti vyšších řádů (APVŘ). APVŘ a ižším gymáziu 3. APVŘ a vyšším gymáziu
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceÚlohy domácího kola kategorie C
47. ročík Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie C 1. Pro libovolé trojciferé číslo určíme jeho bytky při děleí čísly 2, 3, 4,..., 10 a ískaých devět čísel pak sečteme. Zjistěte ejmeší možou
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
Více3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ
3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09,0..009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti 75 + 60 ) 75 60 + ) 0 + ) 0 +) 70 ) 70. 5 bodů) Řešeí:Ozačíme a : 75 + 60 75 60,dále b : + ) 0 + ) 0,akoečě
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B
MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceElektrické přístroje. Přechodné děje při vypínání
VŠB - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra elektrických strojů a řístrojů Předmět: Elektrické řístroje Protokol č.5 Přechodé děje ři vyíáí Skuia: Datum: Vyracoval: - -
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
Více1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7
Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceKonstruktivní geometrie
Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
VíceExtremální úlohy v geometrii
Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VícePracovní listy PRAVOÚHLÁ AXONOMETRIE
Techická uiverita v Liberci Fakulta řírodovědě-huaití a edagogická Katedra ateatik a didaktik ateatik PRVOÚHLÁ XONOMETRIE Petra Pirklová Liberec, lede 208 2. V ravoúhlé aooetrii obrate růět bodů [2; 5;
VíceTrojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.
Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
VíceSTEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Vícematematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je
1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je a) 4:π, b) :π, c) :4π, d) :4π, e) π :,. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme o 0 %, zmenší
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceCVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní
VícePovrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3
y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Více1. Zjistěte, jestli následující formule jsou tautologie. V případě záporné odpovědi určete k dané formuli konjunktivní a disjunktivní normální formu.
Výrokový počet. Zjistěte, jestli ásledující formule jsou tautologie. V případě záporé odpovědi určete k daé formuli kojuktiví a disjuktiví ormálí formu. i) A C) = B C) = A B) ) ii) A B) = A C C B ) iii)
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více