ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

Transkript

1 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Autor Jazyk Haa Macholová češtia Datum vytvořeí 0 0 Cílová skupia Stupeň a typ vzděláváí Druh učebího materiálu Očekávaý výstup žáci 6 9 let gymaziálí vzděláváí vzorové příklady a příklady k procvičeí žák umí provést přímý, epřímý důkaz, důkaz sporem a matematickou idukcí Aotace materiál je vhodý eje k výkladu a procvičováí, ale i k samostaté práci žáků, k jejich domácí přípravě, velké uplatěí ajde zejméa při přípravě žáků k maturití zkoušce

2 Řešeé úlohy: Proveďte přímý důkaz a důkaz sporem výroku: 0-0 Řešeí: a) Přímý důkaz Využijeme schéma přímého důkazu výroku B: i Zvolíme pravdivý výrok A ii Dokážeme, že platí A B (většiou pomocí řetězce implikací) iii Závěr: Platí B Zadaou erovost B: 0-0 upravíme a tvar: B : 0 0 Obě stray erovice jsou kladá čísla Při umocěím a druhou obou stra erovosti dostaeme: B : Zjedodušíme: B : B : B 5 : 89 Umocíme a druhou: 6 B 5 : 89 Odtud máme pravdivý výrok: A: 90,5 89 Tím však ještě důkaz eí provede Zatím víme, že B B B B B B5 A platí, přičemž A platí Z toho ale eplye, že B platí Zatím jsme provedli tzv rozbor Přímý důkaz dostaeme obráceím postupu úprav Začeme-li od výroku A, te odmocíme atd Bude se ásledě jedat o přičteí či odečteí určitého reálého čísla k oběma straám erovice, umocěí obou ezáporých stra erovosti, ásobeí obou stra erovosti týmž eulovým číslem, což jsou ekvivaletí úpravy, a proto dostáváme, že A B5 B B B B B platí Víme, že A platí Závěr: B platí b) Důkaz sporem: Schéma důkazu sporem daého výroku B: i Vyslovíme předpoklad, že dokazovaý výrok eplatí, tedy že platí jeho egace B

3 ii Dokážeme, že platí B C (většiou pomocí řetězce implikací), kde C eplatí iii Závěr: B eplatí B platí Předpokládejme tedy, že výrok 0-0 eplatí, tedy platí jeho egace B : 0-0 Nyí budeme postupovat jako u přímého důkazu a získáme ásledující výroky: B : 0 0 B : : B : 0 00 B : 89 9 Odtud získáme epravdivý výrok C: 89 90, 5 Řetězec implikací B B B B B C platí, C eplatí Závěr: B eplatí Když eplatí egace původího výroku B, pak platí původí výrok B Tedy výrok 0-0 platí Dokažte, že N : Řešeí: Využijeme epřímý důkaz Dokážeme tedy obměěou implikaci Obměa: N : ł ł k ł astae jeda z možostí:, k Z k i k k 9k 6k k k ł k k 9k k 9k k ii k k ł Obměa: N : ł ł tedy platí původí výrok N : platí a) Vyslovte obměu, obráceí a egaci věty: N : b) Rozhoděte o pravdivosti všech těchto vět a svá tvrzeí dokažte c) Lze a základě řešeí předcházejících částí úlohy rozhodout o pravdivosti věty: N :? Řešeí: a) Obměa: N : ł ł Obráceí: N : Negace: N : ł b) Původí, obměěá i obráceá implikace jsou pravdivé, egace je epravdivá Důkazy:

4 i Obměa: N : ł ł Tuto větu dokážeme přímým důkazem Pokud provedeme přímý důkaz pravdivosti obměěé věty, potom současě provádíme epřímý důkaz původí věty ł k Z k k k k ł k+, kde ii Obráceí: N : Také využijeme přímého důkazu: k, k Z k k iii Negace: Tvrzeí, že egace ( N : ł ) eplatí, lze dokázat pomocí ásledující úvahy: Pokud je sudé, lze zapsat lze zapsat vyjádřeí l, l Z : Muselo by platit: k l k l l l l l k, k Z Pokud je liché, Nyí porováme výše uvedeá k Na pravé straě rovosti máme sudé číslo a a levé straě liché číslo Výše uvedeá rovost tedy eplatíegace eplatí c) Výše jsme uvedli epřímý důkaz původí implikace i přímý důkaz obráceé implikace, a tím jsme dokázali ekvivaleci s ekvivalecí je pravdivá N : Lze tedy rozhodout a věta Dokaž pomocí matematické idukce: N : Řešeí: i Nejprve větu dokážeme pro =: V(): je pravdivý výrok ii Dále dokážeme, že N : ( ) Důkaz druhého kroku- ahradím součet výrazem : ( ) Druhý krok je dokázá Závěr: Uvedeá věta platí 5 Dokažte, že N :

5 Řešeí: i Nejprve větu dokážeme pro =: V() B: je pravdivý výrok ii Dále dokážeme, že platí N : N : Důkaz druhého kroku- upravujeme výraz : tak, abychom využili Součet rozdělíme a dvě části: je dělitelá vzhledem k předpokladu je zřejmě také dělitelá, tedy celý součet a druhá část je dělitelý třemi Druhý krok je dokázá Závěr: Uvedeá věta platí Příklady k procvičeí: Dokažte, že N : 6 [Rozložte výraz a souči tří po sobě jsoucích čísel] Dokažte epřímo větu: N :0 6 5 ł [Obměa: N : 5 0 ł 6, tu dokážeme: ł 6 0 ł 6 ] Dokažte, že x x x xr:5 6 [Přímý důkaz úpravou levé stray rovice] Proveďte přímý důkaz a důkaz sporem výroků: a) b) [Aalogicky jako příklad viz výše] 5 Dokažte, že číslo log 5 je iracioálí p q p [Důkaz proveďte sporem Negace: log 5 je racioálí log , q ale q p 5 -liché, 0 - sudé, rovost eplatí, spor] p q 6 6 Dokažte, že N : 5

6 [Důkaz proveďte metodou matematické idukce, ozačíme-li s s ] bude N : 7 Dokažte, že [Důkaz proveďte metodou matematické idukce, ozačíme-li bude s s ] s s,, 8 Dokažte, že N : 5 [Důkaz proveďte metodou matematické idukce, při ověřováí předpokladu vyjádřete ] 6

7 Použité zdroje a literatura: BEČVÁŘ Jidřich a HRUBÝ Dag Matematika pro gymázia Základí pozatky z matematiky vydáí Praha: Prométheus, 99 ISBN BENDA, Petr A KOL Sbírka maturitích příkladů z matematiky 8 vydáí Praha: SPN, 98 ISBN BUŠEK, Iva Řešeé maturití úlohy z matematiky vydáí Praha: SPN, 985 ISBN JANEČEK, Fratišek Sbírka úloh z matematiky pro středí školy vydáí Praha: Prométheus, 005 ISBN PETÁKOVÁ, Jidra Matematika: příprava k maturitě a přijímacím zkouškám a vysoké školy vydáí Praha: Prometheus, 999 ISBN POLÁK, Josef Přehled středoškolské matematiky vydáí Praha: SPN, 98 ISBN VYŠÍN, Ja A KOL Úlohy z matematiky vydáí Praha: SPN 976 ISBN