Biomechanika a lékařské přístroje

Transkript

1 Biomechanika a lékařské přístroje Projekt II Lukáš Horný lukas.horny@fs.cvut.cz Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, ČVUT FS 2018

2 Projekt II: O co nám půjde? Otázky odpovědi Konstrukce model konstrukce Teorie Model Pozorování Simulace

3 Co je to (výpočtový) model?

4 Model Výpočtový simulace Formulace úlohy: diferenciální vs. variační deformační vs. silová statická vs. dynamická ij v 1 i u u i j εij εkm ε ε ik jm + Fi = ρ ε ij = + ij = λε kkδ ij + 2 µε ij + = 0 xj t 2 xj x i xk xm xi xj xj xm xi xk Rovnice rovnováhy Geometrické rovnice Konstitutivní rovnice Podmínky (rovnice) kompatibility (deformací) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω : x x, x, x = x x, x, x Ω : x, x, x = p x, x, x u i i F ij Okrajové (+počáteční) podmínky

5 Model Výpočtovým modelem řešíme úlohu pružnosti: Popsat stav napjatosti a deformace v tělese z daného materiálu, při dané geometrii, nějakém zatížení a v nějakých vazbách Deformační varianta: úlohu zformulujeme pro neznámé posuvy (neznámou kinematiku deformace) Silová varianta: úlohu zformulujeme pro neznámé rozložení napětí

6 Silnostěnná nádoba jako příklad výpočtového modelu

7 Příklad modelu: silnostěnná nádoba Rovnice rovnováhy dθ + d r + dr d dz rd dz 2 sin drdz = 0 2 d rr rr + θθ =0 dr r ( )( ) θ θ rr rr rr θθ Okrajové podmínky rr rr zz ( ri ) ( r ) ( 0) = P 1 = P 2 2 = P z Geometrické rovnice ε ε ε rr θθ zz = = = du dr u r dw dz ε ε ε rθ θ z zr = 0 = 0 = 0 u( r) + du dr + dr ur ( ) dr Konstitutivní rovnice E ν = ε + ( ε + ε + ε rr rr rr θθ zz ) 1+ ν 1 2ν E ν = ε θθ + θθ ( ε + ε + ε rr θθ zz ) 1+ ν 1 2ν E ν = ε + ( ε + ε + ε zz zz rr θθ zz ) 1+ ν 1 2ν

8 Příklad modelu: silnostěnná nádoba Geometrické rovnice ε ε ε rr θθ zz = = = du dr u r dw dz E ν = ε + ( ε + ε + ε rr rr rr θθ zz ) 1+ ν 1 2ν E ν = ε θθ + θθ ( ε + ε + ε rr θθ zz ) 1+ ν 1 2ν E ν = ε + ( ε + ε + ε zz zz rr θθ zz ) 1+ ν 1 2ν ε = zz dw dz w = ε zz z+ C 3 du =,,, ε rr rr ur zz dr du = ε θθ θθ, ur,, zz dr Konstitutivní rovnice = ε rr rr zz = ε θθ θθ = ε zz zz zz ( ri ) ( r ) ( 0) d rr rr + θθ =0 dr r ( r,, C, C, C 1 2 3) ( r,, C, C, C zz 1 2 3) (, C, C ) Okrajové podmínky rr rr zz = P 1 = P 2 2 = P z 1 3 Rovnice rovnováhy rr θθ zz 2 d u 1 du u + = dr r dr r C u= Cr+ 2 1 r Pr Pr r r = ( P P ) r r r r r Pr Pr r r = + ( P P ) r r r r r = P z Obecné řešení

9 Výpočtovým modelem matematizujeme realitu

10 Matematizace reality výpočtovým modelem s sebou nese rozlišovací úroveň modelu tj. některé jevy jsou zahrnuty a popsány, říkejme, že jsou rozlišovány A některé jevy jsou přirozeně zanedbány jsou pod rozlišovací schopností modelu?

11 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality (na danou rozlišovací úroveň) Rovnice rovnováhy ij x j = 0 ε = ijk kj = x x x = x x x = 0 x x x = = 0 = t n1 t = n t n 3 ε ijk 1 sudá permutace = 1 lichá permutace 0 jinak ( i, j,k) ( i, j,k) Na obrázku možná něco chybí, nebo ne?

12 Matematizace reality výpočtovým modelem t n1 t = n t n 3 dm = lds l = mn l1 m11 m12 m13 n1 l = m m m n l 2 m32 m32 m 33 n 3 l ij x j = 0 m x ij j + ε = ijk kj 0 ij ji = x x x = x x x = 0 x x x m m m x x x = m m m x x x = m31 m32 m = 0 x x x

13 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Naše běžné kontinuum (nepolární) je model reality! Model, který funguje, nejsou-li přítomna momentová napětí m. Model, který se nehodí např. pro popis materiálu s distribuovanými elektrickými dipóly. dm = lds s 0 M = 0 s 0 M 0

14 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Geometrické rovnice l L+ L λ1 = = = 1+ ε L L 2 λ 1 ε ij 1 ui = + 2 xj u x i j versus 2 ( λ1 ) λ1 1 λ 1 E IK 1 U U J U U = X X X X I K K j I I I lnλ 1 2 ( 1 ) 1 1 λ 2

15 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Konstitutivní rovnice Nelineární elastoviskoplastické chování UHMWPE v tahu = λε δ + 2µε ij kk ij ij ij = λ versus ik W λ jk versus e ( E) Wp( EE, ) ψ = W + Skutečné napětí s [MPa] Skutečné napětí s [MPa] ln(l) [-] ln(l) [-]

16 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Okrajové podmínky y SE s xx x

17 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Okrajové podmínky y SE xy x

18 Matematizace reality výpočtovým modelem q xx M o T xx Geometrie

19 Matematizace reality výpočtovým modelem q xy M o T xy Geometrie

20 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Geometrie HMH

21 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality rr rr 1 rp rp = + r r r r r ( P2 P 2 2 1)

22 Matematizace reality výpočtovým modelem Diskretizace rr

23 Matematizace reality výpočtovým modelem 0 0 rr (r) rr (r) 1 r 1 r 2 1 r 1 r 2 Diskretizace

24 Matematizace reality výpočtovým modelem 0 rr (r) rr (10 elementů) rr (5 elementů) 1 r 1 r 2 0 rr (r) Diskretizace 1 r 1 r 2

25 Model má svou cenu (náklady) # Maple 18 doba výpočtu # inverzní matice k náhodné # matici with(statistics):with(plots): with(linearalgebra): with(optimization): with(randomtools): n:=200: A:=Vector(n): for i from 1 by 1 to n do A[i]:=RandomMatrix(i): end do: Doba výpočtu t [s] nebo [min] t. ( n ) = B:=Vector(n): for i from 1 by 1 to n do st := time(): MatrixInverse(A[i]): time() - st: B[i]:=%: end do: Hodnost náhodné matice n C:=Vector([seq(i,i=1..n)]): Q:=add((B[i]-eval(a*(t^b-1),t=C[i]))^2,i=1..n): res:=nlpsolve(q,a=0..10,b=0..10,initialpoint={a=0.001,b=0.8},iterationlimit=1000): 1 z 4-core AMD A8-6600K 4.2 GHz 4 GB z 16 GB RAM p1:=plot(vector([seq(i,i=1..n)]),b,style=point,symbol=solidcircle,color=red,symbolsize=12,axis=[thickness=0.9],axesfont = ["Times", "Roman", 12]):p2:=plot(eval(a*(t^b-1),res[2]),t=1..200,color=blue,thickness=3):display(p1,p2);

26 Výpočtový model Výpočtový model je zjednodušením reality. Může být analytický i numerický. Při odvozování rovnic pro analytický popis problému, stejně jako při numerickém řešení, přijímáme mnoho předpokladů, které model definují: o geometrii o kinematice deformace o materiálových vlastnostech o vazbách a zatížení o formě a způsobu rozložení vnitřních sil a jejich intenzity, o počtu integračních bodů o chybě, kterou připouštíme, zvolený systém veličin je také modelový předpoklad (např. časté nezahrnutí teploty vůbec neznamená, že se v reálných situacích tělesa při deformaci neochlazují/nezahřívají)

27 Vaše úloha v Projektu II: POZOROVÁNÍ versus MODEL 1D 2D 3D Makro Mikro Nano [MPa] 3 k = 1 k ( ) W = c I W = λ p λ 1 3 k analytický výpočtový numerický konstitutivní λ [-]

28 Projekt II: Otázky a odpovědi Otázky odpovědi Shodují se analytické a numerické řešení s experimentem? Nikoliv? A proč? Shodují se globální a lokální materiálové vlastnosti? Nikoliv? A proč?

29 Projekt II: Globální experiment 1) Experimentální inflace a extenze elastomerní trubice Proměření počátečních rozměrů Záznam tlaku v čase Fotografie deformujícího se vzorku

30 Projekt II: Odhad konstitutivních parametrů 2) Regresní analýza založená na 2D analytickém modelu makro pozorování P [kpa] Maple, Matlab, ( 3) ( 3) ( 3) W c I c I c I 2 3 = n 2 2 ( ) ( ) θθ θθ zz zz { } EXPERIMENT MODEL EXPERIMENT MODEL Q= + c, c, c Q k = 1 k min r o /R o [-]

31 Projekt II: Odhad konstitutivních parametrů 3) Tahová zkouška jako alternativní pozorování pro zjištění konstitutivního modelu Záznam kinematiky Záznam sil Určení napětí F [N] l [-]

32 Projekt II: Odhad konstitutivních parametrů 4) Regresní analýza založená na 1D modelu [MPa] Maple, Matlab, ( 3) ( 3) ( 3) W c I c I c I 2 3 = n 2 ( ) { } EXPERIMENT MODEL Q= xx xx c, c, c Q k = 1 k min λ [-]

33 Projekt II: Odhad konstitutivních parametrů Nanoindentace Lineární model Viskoelasticita 5) Mikroskopické pozorování mechanického chování

34 Projekt II: Předpověď numerického modelu 6) MKP výpočet kinematiky nafukování a pole napětí Abaqus rozdíl mezi 2D a 3D Abaqus vliv okrajových podmínek Porovnání předpovědí pro různé vstupní hodnoty P [kpa] r o /R o [-]

35 Projekt II: Porovnání předpovědí 7a) MKP výpočet pro parametry z inflace (2D) 7b) MKP výpočet pro parametry z tahovky (1D) 7c) experimentální data z inflace

36 Projekt II: Porovnání předpovědí 8a) Počáteční modul pružnosti z tahové zkoušky 8b) Počáteční modul pružnosti z indentace 8c) Počáteční modul pružnosti z inflace Modul pružnosti určujeme jako tečnu k grafu napětí-deformace Je-li k dispozici spojitý model, pak primárně ze spojitého modelu (8a, 8c)

37 Projekt II: Nedostatky modelů 9) Elasticita versus viskoelasticita: zhodnoťte projevy viskoelasticity pozorované v 1D tahu a indentaci Míra zmařené hustoty deformační energie Creep jako trvalá deformace

38 Projekt II: Nedostatky modelů 10a) Zhodnoťte jak přijaté modelové předpoklady ovlivňují předpovědi modelů 10b) Co jsou největší zdroje chyb? 10c) Jak daleko sahá u vetknuté trubice oblast ovlivněná vetknutím (lineární vs. nelineární případ)?

39 Projekt II: Nedostatky modelů O všem, co jste dělali, vypracujte zprávu na úrovni bakalářské práce Očekávaný rozsah 30 až 60 stran Práci si rozdělte do kapitol Dodržte jednotné fonty, značení a definice veličin v celé práci!

40 Komentáře Projekt II

41 1) Experimentální inflace

42 1) Experimentální inflace a) Izochorická kinematika válcové skořepiny ( 2 2) ( 2 2) o i π o i V = π R R L= r r l = v λ Θ = r R r o r = r i + r 2 o l R = R i + R 2 o Měřítko λ = Z l L

43 1) Experimentální inflace a) Izochorická kinematika válcové skořepiny F λr 0 0 = 0 λθ λ Z ( F) 1 (, ) J = det = λ = λ λ λ R R Θ Z

44 1) Experimentální inflace b) Rovnice rovnováhy válcové skořepiny θθ zz rr rp = h Fred rp = + 2π rh 2h = 0

45 2) Regresní analýza a) Konstitutivní model W = F p I F rr θθ zz W = λr λ R W = λθ λ Θ W = λz λ Z p p p ( 3) ( 3) ( 3) 2 3 W = c I + c I + c I I = λ + λ + λ R Θ Z

46 2) Regresní analýza b) Výpočtový model předpovídá napětí W W rr = 0 = λr p p = λr λr λr λ = R ( λ λ ) 1 Θ Z W W = λ λ MOD θθ Θ R λθ λ λ = = R 1 ( λ λ ) R λ ( λ λ ) W W = λ λ Θ MOD zz Z R λz λ λ λ λ λ λ λ Z ( ) R ( ) 1 1 R= Θ Z R= Θ Z R Θ Z 1

47 2) Regresní analýza c) Napětí určená z pozorování EXP θθ rp λθrp 2 RP = = = λλ Θ Z h λ H H R rp F λ RP mg RP λ mg = + = + = λλ + h π rh λ H πλ Rλ H H π RH EXP red Θ 2 Z zz Θ Z R 2 Θ R 2

48 2) Regresní analýza d) Účelová funkce Q n k = ( EXP MOD ) ( EXP MOD ) z zz zz Q= w + w θ θθ θθ k w w θ z = = 1 n 1 n n ( EXP ) θθ, k k = 1 n ( EXP ) zz, k k =

49 2) Regresní analýza e) Odhad parametrů minimalizací účelové funkce Q n k = ( EXP MOD ) ( EXP MOD ) z zz zz Q= w + w θ θθ θθ k Nelineárního programování v Maple např. pomocí Optimization[NLPSolve](Q, ) Q = Q c, c, c ( ) 1 2 3

50 3) Tahová zkouška jako alternativa a) Cyklický kvazistatický experiment F [N] Preconditioning Izochorická kinematika Jednoosá napjatost Extenzometr l [-]

51 4) Tahová zkouška jako alternativa a) Regresní analýza opět odhadne parametry konstitutivního modelu EXP xx = FλX S W = λ λ W MOD xx X Z λx λ Z 1 1 λy=, λz= λ λ X X [MPa] U jednoduchých funkcí můžeme použít např. Statistics[Fit](f(x,c 1,c 2,c 3 ),X,Y,x) tj. nemusíme přímo vytvářet součet čtverců Q, ale postačí sestavit vektory X a Y λ [-]

52 Další úkoly 5) Mikroskopické pozorování mechanického chování, 6) Detaily MKP výpočtu, 7) Detaily uspořádání tahové a inflační zkoušky budou probrány v jednotlivých laboratořích A1-s113 C1-s116a C1-s114 E3-139a Mikro/nano Ing. Josef Šepitka, Ph.D. Josef.septika@fs.cvut.cz MKP Ing. Petr Tichý, Ph.D. petr.tichy@fs.cvut.cz 1D tah Ing. Radek Sedláček, Ph.D. radek.sedlacek@fs.cvut.cz Inflace trubice Ing. Hynek Chlup hynek.chlup@fs.cvut.cz

53 Další úkoly Harmonogram přednášek, laboratoří a konzultací bude rozeslán em