Biomechanika a lékařské přístroje (specializace biomechanika) Projekt II

Transkript

1 Biomechanika a lékařské přístroje (specializace biomechanika) Projekt II Lukáš Horný lukas.horny@fs.cvut.cz Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, ČVUT FS 07

2 Projekt II: O co nám půjde? Otázky odpovědi Konstrukce model konstrukce Teorie Model Pozorování Simulace

3 Co je to (výpočtový) model?

4 Model Výpočtový simulace Formulace úlohy: diferenciální vs. variační deformační vs. silová statická vs. dynamická ij v i u u i j εij εkm ε ε ik jm + Fi = ρ ε ij = + ij = λε kkδ ij + µε ij + = 0 xj t xj x i xk xm xi xj xj xm xi xk Rovnice rovnováhy Geometrické rovnice Konstitutivní rovnice Podmínky (rovnice) kompatibility (deformací) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω : x x, x, x = x x, x, x Ω : x, x, x = p x, x, x u i 3 i0 3 F ij Okrajové (+počáteční) podmínky

5 Model Výpočtovým modelem řešíme úlohu pružnosti: Popsat stav napjatosti a deformace v tělese z daného materiálu, dané geometrie, při nějakém zatížení a v nějakých vazbách. Deformační varianta: úlohu zformulujeme pro neznámé posuvy (neznámou kinematiku deformace) Silová varianta: úlohu zformulujeme pro neznámé rozložení napětí

6 Silnostěnná nádoba jako příklad výpočtového modelu

7 Příklad výpočtového modelu: silnostěnná nádoba Rovnice rovnováhy dθ + d r + dr d dz rd dz sin drdz = 0 d rr rr + θθ =0 dr r ( )( ) θ θ rr rr rr θθ Okrajové podmínky rr rr zz ( ri ) ( r ) ( 0) = P = P = P z Geometrické rovnice ε ε ε rr θθ zz = = = du dr u r dw dz ε ε ε rθ θ z zr = 0 = 0 = 0 u( r) + du dr + dr ur ( ) dr Konstitutivní rovnice E ν = ε + ( ε + ε + ε rr rr rr θθ zz ) + ν ν E ν = ε θθ + θθ ( ε + ε + ε rr θθ zz ) + ν ν E ν = ε + ( ε + ε + ε zz zz rr θθ zz ) + ν ν

8 Příklad výpočtového modelu: silnostěnná nádoba Geometrické rovnice ε ε ε rr θθ zz = = = du dr u r dw dz E ν = ε + ( ε + ε + ε rr rr rr θθ zz ) + ν ν E ν = ε θθ + θθ ( ε + ε + ε rr θθ zz ) + ν ν E ν = ε + ( ε + ε + ε zz zz rr θθ zz ) + ν ν ε = zz dw dz w = ε zz z+ C 3 du =,,, ε rr rr ur zz dr du = ε θθ θθ, ur,, zz dr Konstitutivní rovnice = ε rr rr zz = ε θθ θθ = ε zz zz zz d rr rr + θθ =0 dr r ( r,, C, C, C 3) ( r,, C, C, C zz 3) (, C, C ) Okrajové podmínky rr rr zz ( ri ) ( r ) ( 0) = P = P = P z 3 Rovnice rovnováhy rr θθ zz d u du u + = 0 dr r dr r C u= Cr+ r Pr Pr r r = ( P P ) r r r r r Pr Pr r r = + ( P P ) r r r r r = P z Obecné řešení

9 Výpočtovým modelem matematizujeme realitu

10 Matematizace reality výpočtovým modelem s sebou nese rozlišovací úroveň modelu tj. některé jevy jsou zahrnuty a popsány, říkejme, že jsou rozlišovány A některé jevy jsou přirozeně zanedbány jsou pod rozlišovací schopností modelu?

11 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality (na danou rozlišovací úroveň) Rovnice rovnováhy ij x j = 0 ε = ijk kj = x x x = x x x = 0 x x x = = = 0 t 3 n t = n 3 t n 3 ε ijk sudá permutace = lichá permutace 0 jinak ( i, j,k) ( i, j,k) Na obrázku možná něco chybí, nebo ne?

12 Matematizace reality výpočtovým modelem t 3 n t = n 3 t n 3 dm = lds l = mn l m m m3 n l = m m m n 3 l m3 m3 m 33 n 3 l ij x j = 0 m x ij j + ε = ijk kj 0 ij ji = x x x = x x x = 0 x x x m m m x x x = 3 m m m x x x = 3 m3 m3 m = 0 x x x 3 0 0

13 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality. Naše běžné kontinuum (nepolární) je model reality! Model, který funguje, nejsou-li přítomna momentová napětí m. Model, který se nehodí např. pro popis materiálu s distribuovanými elektrickými dipóly. dm = lds s 0 M = 0 s 0 M 0

14 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Geometrické rovnice l L+ L λ = = = + ε L L λ ε ij ui = + xj u x i j versus ( λ ) λ λ E IK U U J U U = + + X X X X I K K j I I I lnλ ( ) λ

15 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Konstitutivní rovnice Nelineární elastoplastické (viskoelastické) chování UHMWPE v tahu = λε δ + µε ij kk ij ij ij versus = λ ik W λ jk versus e ( E) Wp( EE, ) ψ = W + Skutečné napětí [MPa] Skutečné napětí [MPa] ln(λ) [-] ln(λ) [-]

16 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Okrajové podmínky y SE xx x

17 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Okrajové podmínky y SE xy x

18 Matematizace reality výpočtovým modelem q xx M o T xx Geometrie

19 Matematizace reality výpočtovým modelem q xy M o T xy Geometrie

20 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality Geometrie HMH

21 Matematizace reality výpočtovým modelem je zjednodušením reality rr rr rp rp = + r r r r r ( P P )

22 Matematizace reality výpočtovým modelem Diskretizace rr

23 Matematizace reality výpočtovým modelem 0 0 rr (r) rr (r) r r r r Diskretizace

24 Matematizace reality výpočtovým modelem 0 rr (r) rr (0 elementů) rr (5 elementů) 0 r r rr (r) Diskretizace r r

25 Model má svou cenu # Maple 8 doba výpočtu # inverzní matice k náhodné # matici with(statistics):with(plots): with(linearalgebra): with(optimization): with(randomtools): n:=00: A:=Vector(n): for i from by to n do A[i]:=RandomMatrix(i): end do: Doba výpočtu t [s] nebo [min] t. ( n ) = B:=Vector(n): for i from by to n do st := time(): MatrixInverse(A[i]): time() - st: B[i]:=%: end do: Hodnost náhodné matice n C:=Vector([seq(i,i=..n)]): Q:=add((B[i]-eval(a*(t^b-),t=C[i]))^,i=..n): res:=nlpsolve(q,a=0..0,b=0..0,initialpoint={a=0.00,b=0.8},iterationlimit=000): z 4-core AMD A8-6600K 4. GHz 4 GB z 6 GB RAM p:=plot(vector([seq(i,i=..n)]),b,style=point,symbol=solidcircle,color=red,symbolsize=,axis=[thickness=0.9],axesfont = ["Times", "Roman", ]):p:=plot(eval(a*(t^b-),res[]),t=..00,color=blue,thickness=3):display(p,p);

26 Výpočtový model Výpočtový model je zjednodušením reality. Může být analytický i numerický. Při odvozování rovnic pro analytický popis problému, stejně jako při numerickém řešení, přijímáme mnoho předpokladů, které model definují: o geometrii o kinematice deformace o materiálových vlastnostech o vazbách a zatížení o formě a způsobu rozložení vnitřních sil a jejich intenzity, o počtu integračních bodů o chybě, kterou připouštíme, zvolený systém veličin je také modelový předpoklad (např. časté nezahrnutí teploty vůbec neznamená, že se v reálných situacích tělesa při deformaci neochlazují/nezahřívají)

27 Projekt II: Naše úloha Analytická teorie Experiment na díle MKP simulace Globální experiment pro konstitutivní model Lokální experiment pro konstitutivní model

28 Projekt II: Otázky a odpovědi Otázky odpovědi Shodují se analytické a numerické řešení s experimentem? Nikoliv? A proč? Shodují se globální a lokální materiálové vlastnosti? Nikoliv? A proč?

29 Rozbor analytického řešení tažené stěny s kruhovým otvorem Projekt II

30 Silnostěnná nádoba r Obecné řešení A A rr = + B θθ = + r r B Okrajové podmínky rr ( ) ( ) r = P r = P rr r r P P Konstanty rr rp rp A= P P B= r r r r ( ) Rozložení napětí ve stěně rr θθ rr rp rp = + r r r r r ( ) P P rr rp rp = + r r r r r ( ) P P

31 Nafukování válcové štěrbiny v rozlehlé stěně Tlaková nádoba napětí r = rr r r P ( r ) P ( r ) = = rr 0 Limitní přechod rr f f rr lim = lim lim = lim = r r r r r r r g g r rp rp f f rp = = = = 0 = 0 lim lim lim lim P r r r r r r g g r P Výsledná napětí r r rr = P = = r r 0 θθ P zz

32 Nafukování válcové štěrbiny v rozlehlé stěně Výsledná napětí na r = r r = r r = P = P θθ = P = P rr r r r r = r P Výsledná napětí na r = rr ( r ) P ( r ) = = rr 0 lim rr lim P r r r lim r θθ r = = r = lim P = 0 r r 0

33 Rozlehlá stěna se štěrbinou při rovnoosém tahu Tlaková nádoba napětí ( ) rr r = P = r = r r Limitní přechod rr f f rr lim = lim lim = lim = r r r r r r r g g r rp rp f f rp = = = = r r g g r = lim lim lim lim P r r r r P Výsledná napětí r r rr = θθ = + r r

34 Rozlehlá stěna se štěrbinou při rovnoosém tahu Výsledná napětí na r = r r = rr r = 0 = r r = r r r r θθ = + = r r = r Výsledná napětí na r = r rr = = r r r θθ = + = r r

35 Rozlehlá stěna se štěrbinou při jednoosém tahu y r = r r θ x Jaký je průběh složek tenzoru napětí podél stěny s kruhovým otvorem?

36 Rozlehlá stěna se štěrbinou při jednoosém tahu Využijeme silové formulace úlohy pružnosti Použije předpoklad o rovinné napjatosti a deformaci Nezahrneme objemové síly Použijeme Hookeův zákon a rovnice kompatibility Využijeme (Airyho) funkci napětí Tím vším se nám povede úlohu převést na okrajový problém popsaný jednou rovnicí s jednou neznámou funkcí

37 Rovnice teorie pružnosti cesta k jediné rovnici Rovnice rovnováhy xx xy xz Fx = 0 x y z yx yy yz Fy = 0 x y z zx zy zz Fz = x y z 0 Rovinná napjatost x x xx xy xy + = 0 y yy + = 0 y 3 rovnice rovnice

38 Rovnice teorie pružnosti Hookeův zákon ε ε ε = E = E = E ν ν ν ν εxy = xy E + ν εyz = yz E + ν εzx = zx E ( ( )) xx xx yy zz ( ) ( ) yy yy zz xx ( ( )) zz zz xx yy Rovinná napjatost ε ( ) xx = xx ν yy E ε ( ) yy = yy ν xx E ν ν ε = + = ε + ε E ν + ν εxy = xy E ε = 0 ε = 0 ( ) ( ) zz xx yy xx yy yz zx

39 Rovnice teorie pružnosti Kompatibilita (integrovatelnost) deformace pro úlohu rovinné deformace Geometrické rovnice při rovinné deformaci ε ε ε xx yy xy u = x v = y u = + y v x ε 3 xx = u y y x ε 3 yy v = x xy 3 3 ε xy u v = + xy yx xy ε ε xy y x xy ε xx yy = + Řešením úlohy pružnosti pro rovinnou deformaci může být jen takové pole deformace, které splní: ε ε ε xx yy + = xy y x xy

40 Rovnice teorie pružnosti Kompatibilita deformace ε ε ε xx yy + = xy y x xy Dosadíme konstitutivní rovnice ε ε = E = E ν ν + ν εxy xy E ( ) xx xx yy ( ) yy yy xx Obdržíme yy yy xy xx xx = ν + ν = ( + ν) y x x y xy rovnice

41 Rovnice teorie pružnosti Kompatibilita deformace v napětích xx xx yy yy xy ν + ν = ( + ν) y x x y xy Pravá strana ( + ν) = ( + ν) + ( + ν) xy xy xy xy xy xy Použijeme rovnice rovnováhy x xx xy x xy + = 0 y yy + = 0 y xy xx xy = = y x x y x = = x y y x y xx xy yy xy yy

42 Jediná rovnice je tedy kompatibilita deformace Kompatibilita deformace v napětích xx xx ν + ν = ( + ν) + ( + ν) y x x y xy xy yy yy xy xy a derivované rovnice rovnováhy xy = x y x xy = y x y xx yy rovnice xx xx yy yy = 0 x y x y

43 Airyho funkce napětí φ cesta k jediné funkci xx xx yy yy = 0 x y x y rovnice ale neznámé funkce xx (x,y) a yy (x,y)

44 Airyho funkce napětí φ Zavedeme tzv. Airyho funkci napětí φ = φ(x,y), která z definice splňuje: xx φ φ φ = yy = xy = y x x y

45 Airyho funkce napětí φ Definiční vztahy Airyho funkce napětí φ = φ(x,y) zaručují, že φ splňuje rovnice rovnováhy: 3 3 xx xy φ φ + = = 0 x y xy yxy 3 3 xy yy φ φ + = + = x y xxy yx 0

46 rovnice a funkce pro rovinné ε a yy xx xy φ = x φ = y xx xx yy yy = 0 x y x y φ = x y φ φ φ + + = x x y y Rovnice se nazývá biharmonická (též stěnová) a jejím řešením jsou biharmonické funkce

47 Zápis pomocí nabla a Laplaceova operátoru 4 = = + + x y x y φ φ φ 0 x x y y φ = φ = + + = 4 4

48 Biharmonická rovnice (stěnová) V polárních souřadnicích φ = φ(r,θ) φ φ φ φ rr = + θθ = rθ = r r r θ r r r θ + r r θ + + r r r θ r φ = 0

49 Biharmonická rovnice Tvary řešení φ φ φ xx = yy = xy = y x x y φ ( xy, ) = m= 0 n= 0 m n Amnx y m+ n m+ n> 3 Nepřispívá Závislá A mn y M Čistý ohyb M x ( x, h) ( x, h) ( l, y) ± = 0 ± = ± = 0 h h yy xy xy xx (, ) 0 (, ) h ± l y dy = ± l y ydy = M h xx h l 3 ( xy, ) A y φ = 03

50 Biharmonická rovnice V polárních souřadnicích + + φ ( r, θ) = 0 r r r θ r + θθ rθ φ φ φ φ rr = = = r r r θ r r r θ Separace proměnných a substituce b b (, ) ( ) ( ) kde φ r θ = f r e = f e e r = e θ ξ θ ξ Nový tvar rovnice konstantní koeficienty ( 4) df f 4 f + ( 4 + b ) f 4b f + b ( 4 + b ) f = 0 kde f = dξ Charakteristická rovnice a její kořeny ( a b )( a a b ) = 0 a =± ib a = ± ib

51 Biharmonická rovnice Michellovo řešení (899; Little 973) a3 3 φ( r, θ) = a0 + aln( r) + ar + a3r ln( r) + ( a4 + a5ln( r) + a6r + a7r ln( r) ) θ + ar + arln( r) + + a4r + a5rθ + a6rθln( r) cos ( θ) + r b + br+ brln r + + b4r + b5r + b6r ln r sin + a r + a r + a 3r + a 4r cos n r n= 3 3 n + n n n ( ) θ θ ( ) ( θ) ( n n n n ) ( θ) n + n n n ( bn r bnr bn3r bn4r ) sin( nθ ) n= + ( ) ( ) ( ) ( 4 r, = a + aln r + a r + a r ln r + a r + a r + a r + a ) cos( ) φ θ θ

52 Napětí 4 ( r, ) = a + aln( r) + a r + a r ln( r) + ( a r + a r + a r + a ) cos( ) φ θ θ φ φ φ φ rr = + θθ = rθ = r r r θ r r r θ rr a 6a 6a = a3 + ln r + a + a cos 4 r + + r r 3 ( ( )) 4 ( θ) θθ rθ a 6a = a3 + ln r + a + a ar cos 4 r + + r 4 3 ( 3 ( )) ( θ) 6a3 a4 = a + 6ar sin 4 r r ( θ)

53 Okrajové podmínky xx + yy xx yy xx + yy xx yy yy xx rr = + cos θ + xysin θ θθ = cos θ xysin θ r θ = sin θ + xycos θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y r = ( r r, θ) ( r r, θ) rr = = = = rθ 0 r r θ x rr r θ cos θ ( ) ( =, ) = + ( ) θθ θ θ ( ) ( r =, ) = cos ( ) r θ r θ sin θ ( =, ) = ( )

54 Určení konstant rr ( r r, ) ( r r, ) = θ = = θ = rθ 0 rr r θ cos θ ( ) ( =, ) = + ( ) θθ θ θ ( ) ( r =, ) = cos ( ) r θ r θ sin θ ( =, ) = ( ) rr θθ rθ a 6a 6a = a3 + ln r + a + a cos 4 r + + r r 3 ( ( )) 4 ( θ) a 6a = a3 + ln r + a + a ar cos 4 r + + r 4 3 ( 3 ( )) ( θ) 6a3 a4 = a + 6ar sin 4 r r ( θ) a = 0 = a 5 rovnic pro 5 konstant { a, a, a, a, a } 3 3 4

55 Pole napětí ij (r,θ) r y r = r θ x rr θθ 4 r 4r 3r = cos r r r 4 r 3r = + cos + 4 r r ( θ) ( θ) rθ 4 r 3r = + sin 4 r r ( θ)

56 Pole napětí r = r = θ 0; π ) ( r = r, ) 0 ( r = r = ) = s ( θ) ( r = r, = θ), = θ =,, co, 0 θ = rr θθ rθ y = = x = r = rr rθ θθ

57 Pole napětí r r ) θ = ; 0 rr 5 3 3,, 0 θθ, 0 = 4 rθ,, 0 = 0 r r r r ( r = = θ = ) = + ( r =, = θ = ) ( r = = θ = ) 4 y rr x θθ r r = = =

58 Pole napětí r r; ) θ = π π 3 3 π 3 rr r =, =, θ = r,, = = = θ = r r = + + r r rθ r 4 θθ 4 π =, =, θ = = 0 θθ rr rθ y x r = = =

59 Co všechno nyní umíme? Najít pole napětí rr, θθ a rθ a vyčíslit je v libovolném bodě [r,θ] Transformovat souřadnice [r,θ] a [x,y] Najít xx, yy, a xy v libovolném bodě [x,y] Pomocí Hookeova zákona najít ε xx, ε yy a ε xy

60 Korelace digitálních obrazů (DIC) metoda pro experimentální určování pole posuvů a deformací Projekt II

61 DIC Optická metoda pro zjišťování pole posuvů na povrchu objektu D rovinné objekty (monoskopické snímání) 3D zakřivené povrchy (stereoskopické snímání) Vyžaduje post-processing (výpočet, který následuje po sejmutí sekvence obrazů) Měřící aparatura DANTEC DYNAMICS Q450

62 DIC Vzorek musí mít povrchovou úpravu, která bude rozlišitelná po digitalizaci obrazu

63 Diskretizace vzorku Stupně šedi (jas) v 8 bitové hloubce (0-55) Síť 0x0 px

64 Diskretizace vzorku A6 30 px E 30 px Digitalizovaný jas v 8 bitové hloubce (0-55) reprezentovaný maticí Síť 30x30 px

65 Souřadnice Princip obraz musíme kalibrovat, abychom mohli zavést délkové souřadnice Referenční faseta Referenční konfigurace Deformovaná faseta a konfigurace

66 Korelace po sobě jdoucích obrazů Minimalizace odchylek: referenční vs. zdeformovaný v materiálovém popisu P [X,Y] P [x(x,y),y(x,y)] Materiálový bod P Souřadnice P na dvou různých obrazech (,,,,, ) (,,,,, ) x a a a a X Y = a + a X + a Y + a XY y a a a a X Y = a + a X + a Y + a XY Transformace stupňů šedi v okolí P mezi dvěma obrazy T (, ) = + (, ), (, ) Korelace obrazů je založena na nalezení parametrů a 0,a,..,a 7,g 0,g G( XY) G( XY) { a a a a a a a a g g} min,,,,,,,,,,, xy, 0 ( ) G XY g gg xxy y XY T

67 DIC Aplikace Ex vivo implantace stentu

68 UHMWPE vysokomolekulární polyetylén Projekt II

69 Makromolekuly monomer polymerace polymer Etylen PE řetězení Kondenzace aminokyselin vytvářející peptidovou vazbu (a odštěpující HO) polykondenzace

70 Makromolekuly Kolagenní α-šroubovice Fibrila kolagenu I D-periodická rozteč 67 nm

71 Polymery Elastomery Termoplasty Reaktoplasty (termosety, duromery) Biopolymery kaučuk, polybutadien (BR), butadien-styren (SBR), sillikony, polyetylen (PE), akrylonitril-butadien-styren (ABS), polymethylmethakrylát (PMMA), polyamid (PA), polypropylen (PP), poylstyren (PS), polyvinylchlorid (PVC), polytetrafluoretylen (PTFE, Teflon), polyestery (polyetylentereftalat PET, polylaktid PLA, polykaprolakton PCL), termoplastické polyuretany (TPU) epoxidové, fenolové, xylenové, polyesterové, poyluretanové (ad.) pryskyřice; kyanoakryláty polypeptidy/proteiny, nukleové kyseliny (DNA, RNA), polysacharidy,

72 Vysokomolekulární polyetylen - UHMWPE Semikrystalický termoplast S dobrou biokompatibilitou Dobré kluzné a H O-absorbční vlastnosti

73 Vysokomolekulární polyetylen - UHMWPE Vnitřní struktura A její deformace Amorfní oblast Shluky řetězců Krystalické lamely

74 Vysokomolekulární polyetylen - UHMWPE Mechanická odezva Smluvní napětí [MPa] Poměrné prodloužení [%]

75 Vysokomolekulární polyetylen - UHMWPE Mechanická odezva Skutečné napětí [MPa] Skutečné napětí [MPa] ln(λ) [-] ln(λ) [-]

76 Vysokomolekulární polyetylen - UHMWPE Mechanická odezva UHMWPE Teplota Vnitřní stavba (krystalinita, sesítění) Rychlost deformace (krátkodobá paměť) předpona visko Historie deformace (dlouhodobá paměť) přípona plasto Terminologie kolísá

77 Biomechanika a lékařské přístroje (specializace biomechanika) Projekt II

78 Projekt II: Program Laboratoře + simulace Laboratoř mechanických zkoušek tah proužku UHMWPE pro konstitutivní model makroskopicky Kardiovaskulární laboratoř DIC stěny s otvorem Nanoindentační laboratoř mechanické vlastnosti nano škála + lineární harmonická viskoelasticita Numerické simulace MKP Porovnání výsledků v závěrečné prezentaci

79 Projekt II: Otázky a odpovědi Otázky odpovědi Shodují se analytické a numerické řešení s experimentem? Nikoliv? A proč? Shodují se globální a lokální materiálové vlastnosti? Nikoliv? A proč?

80 Závěr Lukáš Horný Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, ČVUT FS Děkuji Petru Tichému za vytvoření barevných map rozložení napětí pomocí programu Abaqus 6.