NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

Transkript

1 NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu: ekvivlence

2 Ploch pod první částí grfu funkce se bere s kldným znménkem, ploch nd druhou částí se záporným. Získá se celková elektrická náročnost. Definice je vhodná pro integrci funkcí, které mjí primitivní funkci. Tím jsou vynechány jednoduché funkce typu signum, monotónní funkce se skoky pod. V dlší kpitole bude proto uveden znčně obecnějsí definice. Výpočet těchto obecnějších integrálů bývá le většinou sveden k výpočtu integrálů z této kpitoly (nebo jsou použity nějké triky). ekvivlence

3 DEFINICE URČITÉHO INTEGRÁLU DEFINICE. Necht funkce f je definován n intervlu (, b) jsou splněny následující tři podmínky: 1. f má n (, b) primitivní funkci F ; 2. existují lim x + F (x) = F ( + ), lim x b F (x) = F (b ); 3. rozdíl F (b ) F ( + ) má smysl. Pk se rozdíl F (b ) F ( + ) nzývá funkce f n (, b). Znčení F (b ) F ( + ) = (N) kde se nzývá dolní mez b horní mez integrálu. f(x) dx, Rozdíl F (b ) F ( + ) se čsto znčí symbolem [F (x)] b x= nebo jen [F (x)] b, [F ] b,. Dále se formálně definuje (N) b f(x) dx = (N) f(x) dx, pro b >, (N) c c f(x) dx = 0 pro libovolné c. V této kpitole budou probírány jen Newtonovy integrály, proto bude slovo,,newtonův" písmeno,,n" u integrálu někdy vynecháváno. N rozdíl od neurčitého integrálu z kpitoly o primitivních funkcích se tento integrál nzývá určitý, protože jeho hodnotou není množin funkcí, le jedno určité číslo. Předchozí definice říká, kdy má integrál smysl. Jeho hodnot může být i nevlstní. ekvivlence

4 Pokud je hodnot f(x) dx vlstní, říká se, že integrál konverguje. POZOROVÁNÍ. Necht existuje f(x) dx. Jestliže c < d b, pk existuje d c f(x) dx. Jestliže < c < d < b, pk f N(c, d). Pro kždé c (, b) je Pro kždé x (, b) je f(x) dx = d dx x c f(x) dx + f(t) dt = f(x). c f(x) dx Z kpitoly o primitivních funkcí je známo, že kždá spojitá funkce n intervlu tm má primitivní funkci (viz větu o konstrukci primitivní funkce). VĚTA. (Integrál spojité funkce) 1. Kždá spojitá omezená funkce n omezeném intervlu náleží do N(, b). 2. Kždá spojitá nezáporná funkce f n intervlu (, b) má integrál f(x) dx ( ten je nezáporný). ekvivlence

5 Důkz. Necht F je primitivní funkce k f n (, b) (t existuje). Zbývá ukázt, že existují limity F v krjních bodech rozdíl těchto limit má smysl. To je zřejmé, pokud je f spojitá n [, b] (pk je i F spojitá n [, b]). Pro důkz prvního tvrzení stčí dokázt, že existuje vlstní lim F (x) (pro bod b je x + důkz obdobný), což znmená, že pro libovolnou posloupnost x n z (, b) klesjící k je posloupnost {F (x n )} cuchyovská. To vyplývá z věty o střední hodnotě: F (x n ) F (x m ) sup{ f(x) ; x (, b)} x n x m. Důkz je též sndný pro druhé tvrzení, nebot F je neklesjící (její derivce je nezáporná) tedy má limity v krjních bodech, což je supremum, resp. infimum, hodnot F tedy i jejich rozdíl má smysl je nezáporný. Nyní bude upřesněn geometrická interpretce z kpitoly o primitivních funkcích. VĚTA. (Newton versus Riemnn) Necht f je spojitá funkce n kompktním intervlu [, b] pro kždé n N je zvoleno nějké rozdělení = x 0 < x 1,n <... < x kn,n = b intervlu [, b] tkové, že délky jednotlivých intervlů nepřeshují 1/n. Pk pro libovolně zvolená čísl c i,n [x i 1,n, x i,n ] je lim n k n i=1 f(c i,n )(x i,n x i 1,n ) = f(x) dx. Důkz. Necht ε je libovolné kldné číslo. Podle věty o stejnoměrné spojitosti funkce n kompktním intervlu existuje n N tk, že f(x) f(y) < ε jkmile x y < 1/n x, y [, b]. Nyní se vezme libovolné rozdělení = x 0 < x 1,m <... < x km,m = b popsné ve znění věty, které má délky intervlů nejvýše 1/n. ekvivlence

6 V motivčním úvodu bylo ukázáno, že f(x) dx = k m i=1 f(c i )(x i,m x i 1,m ) pro nějké body c i (x i 1,m, x i,m ) (uvědomte si, že předpokld nezáporné funkce byl v motivci použit jen n geometrické znázornění ploch, nikoli n výpočet sumy). Pltí tedy f(x) dx k m i=1 k m i=1 f(c i,m )(x i,m x i 1,m ) f(c i ) f(c i,m ) (x i,m x i 1,m ) ε(b ). k n i=1 f(c i,n )(x i,n x i 1,n ). ekvivlence

7 ekvivlence

8 VLASTNOSTI URČITÉHO INTEGRÁLU Definice integrálu dává i návod, jk integrál počítt. Jk je vidět z předchozí kpitoly, čsto je třeb při výpočtu primitivní funkce používt mnoh substitucí pk je nutné se vrcet pomocí inverzních funkcí k původní proměnné těchto substitucí. Nebo při několik použitích integrce po částech se ve výsledku může hromdit mnoho funkcí. Následující vlstnosti určitých integrálů nznčují jiný možný postup, totiž, že není třeb se vrcet při substituci k výchozí proměnné, nebo při integrci po částech lze spoň průběžně doszovt některé hodnoty zkrcovt tím zápis. Následující vlstnosti budou uvedeny jen pro přípdy, kdy je vlstní. Obecnější přípdy budou zmíněny v Poznámkách. VĚTA. (Vlstnosti Newtonov integrálu) 1. Jestliže f, g N(, b), α, β R, pk αf + βg N(, b) pltí (αf + βg) = α f + β. 2. Necht c (, b). Náleží-li f do N(, c) i do N(c, b) je spojitá v bodě c, pk f N(, b). f = c f + c f g ekvivlence

9 3. Je-li g, h N(, b) h f g n (, b) f má primitivní funkci n (, b), pk f N(, b). 4. Je-li f N(, b), je, lim b n = b. h(x) dx f(x) dx = lim n f(x) dx g(x) dx n n f(x) dx, kde n b n b lim n = 5. Necht F, G jsou primitivní funkce k f, g resp., n (, b). Potom F g = [F G] b fg dx, jestliže prvá strn má smysl je vlstní. 6. Necht f má primitivní funkci n svém definičním oboru. Potom f(x) dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt, je-li jedn strn konečná, kde ϕ má derivci n (α, β), zobrzuje tento intervl do D(f), přičemž ϕ(α + ) =, ϕ(β ) = b. Důkz. 1. Důkz prvního tvrzení proved te smi. 2. Uvedené podmínky znmenjí, že primitivní funkce F 1, F 2 k f n (, c), (c, b) resp., mjí v c vlstní limity. Posunutím npř. F 2 o rozdíl těchto limit dodefinováním příslušné hodnoty v c vznikne primitivní funkce k f n (, b), pokud je f spojitá v c (kde je potřeb spojitost?). Zbytek důkzu je zřejmý. ekvivlence

10 3. Necht F, G, H jsou primitivní funkce pro f, g, h. Z rovností F (b ) = (G F )(b ) + G(b ) = (F H)(b ) + H(b ) vyplývá, že F (b ) existuje je vlstní (uvědomte si, že funkce G F F H jsou neklesjící). Podobně pro F ( + ). 4. Pro f N(, b) plyne výsledek přímo z definice Newtonov integrálu. 5. Necht H je primitivní funkce k fg n (, b). Pk F G H je primitivní funkce k F g n (, b). Zbytek důkzu je zřejmý. 6. Necht F je primitivní funkce k f n D(f). Pk F ϕ je primitivní funkce k (f ϕ)ϕ n α, β. Jestliže má f(x) dx smysl, plyne rovnost z věty o limitě složené funkce. Pokud existuje β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt, rovná se [F ϕ] β α, což je totéž jko [F ] b. DŮSLEDEK. 1. Necht funkce f, g jsou definovány n intervlu (, b). f(x) dx 0, pokud f N(, b), f(x) 0 n (, b); 2. inf f(x) (b ) x (,b) f(x) dx sup f(x) (b ), pokud f N(, b) (, b) x (,b) je omezený; 3. f(x) dx f(x) dx, pokud f, f N(, b) ekvivlence

11 2 2 ekvivlence

12 EXISTENCE A KONVERGENCE URČITÉHO INTEGRÁLU Jk bylo uvedeno n zčátku kpitoly, rozlišuje se podobně jko u řd existence integrálu. Podobně se též zvádí ; oproti řdám se přidává podmínk existence primitivní funkce, by příslušné výrzy měly vůbec smysl: DEFINICE. f(x) dx konverguje bsolutně, jestliže f má n (, b) primitivní funkci f N(, b), konverguje nebsolutně, jestliže f N(, b), f / N(, b). POZNÁMKA. Stejně jko u řd lze i v tomto přípdě očekávt, že bsolutně konvergentní integrál konverguje. VĚTA. (Absolutní ) Absolutně konvergentní integrál je konvergentní. Důkz. Necht F, G jsou primitivní funkce k f, f resp., n (, b) necht f(x) dx konverguje. Protože 0 f + f 2 f f + f má primitivní funkci F + G, která je neklesjící, existuje (f(x) + f(x) ) dx podle vlstnosti (3) tento integrál konverguje. Použitím vlstnosti (1) se dostne integrálu f(x) dx. VĚTA. (Kritéri ) ekvivlence

13 1. Je-li f omezená spojitá n omezeném intervlu (, b), konverguje integrál f(x) dx bsolutně. 2. Srovnávcí kritérium: Necht funkce f je spojitá n (, b) 0 f g n (, b). Jestliže g N(, b) pk i f N(, b). 3. Necht funkce f, g, g jsou spojité g je nvíc monotónní n [, b). Dirichletovo kritérium: Jestliže f má omezenou primitivní funkci n (, b) lim x b g(x) = 0, pk fg N(, b). Abelovo kritérium: Jestliže f N(, b) g je omezená, pk f g N(, b). 4. Integrální kritérium řd: Necht f je spojitá nerostoucí n [k, ). Pk f N(k, + ) právě když n=k f(n) konverguje. Důkz. 1. Důkz plyne z věty o Newtonově integrálu spojité funkce. 2. Konvergence f(x) dx plyne z existence (viz věty o Newtonově integrálu spojité funkce) z vlstnosti (3). 3. Jsou splněny předpokldy pro použití integrce per prtes: f(x)g(x) dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x) dx. Bod nečiní potíže. Protože je g monotónní omezená, má v b vlstní limitu. V přípdě Dirichletov je F omezená lim g(x) = 0 tedy lim F (x)g(x) = x b x b 0. ekvivlence

14 V přípdě Abelov existuje vlstní lim x b F (x) tedy i lim x b F (x)g(x). Zbývá ukázt konvergenci F (x)g (x) dx. V obou přípdech je F omezená tedy F g K g n [, b). Protože g je monotónní, nemění g znménko g (x) dx konverguje právě když konverguje g (x) dx. Poslední integrál se ovšem rovná lim g(x) x b g(). 4. Podle tvrzení druhého důsledku, je pro kždé přirozené n > k n n+1 n f(n) f(x) dx f(n + 1). i=k k Z těchto nerovností plyne výsledek limitováním všech výrzů pro n. i=k DŮSLEDEK. 1. (nelimitní tvr) Necht f, g jsou spojité nezáporné n [, b). Jestliže existují kldná čísl K, L tk, že n [, b) pltí Kf(x) g(x) Lf(x), pk f N(, b) právě když g N(, b). f(x) 2. (limitní tvr) Necht f, g jsou spojité nezáporné n [, b). Jestliže lim x b g(x) (0, ), pk f N(, b) právě když g N(, b). DŮSLEDEK. Necht n [, b) jsou funkce f, g, g, h, h spojité g(x)/h(x) konverguje pro x b monotónně k nenulovému vlstnímu číslu. Pk pk fg N(, b) právě když fh N(, b). ekvivlence

15 ekvivlence