Obsah rovinného obrazce

Transkript

1 Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce vyznčeného Pozn. V následujícím tetu předpokládám znlost průěhu funkcí, derivcí funkcí, integrčních vzorců metod v neposlední řdě Newton-Leinizovy formule pro výpočet určitého integrálu. Příkld Vypočítejte osh množiny M ohrničené grfem funkce f osou. f ( ) ; ; Nejprve si dnou množinu M nkreslím. Já totiž vždycky potřeuju vědět, co počítám. M f ( ) d f ( ) d d ln ln ln ln ln

2 Příkld Vypočítejte osh množiny M ohrničené grfem funkce f osou. f ( ) sin ; ; Nejprve opět orázek. M Člověk nemusí ýt mtemtický génius, y pochopil, že postčí vypočítt osh části množiny M dejme tomu od do pk ho vynásoit třemi. cos cos cos sin d Osh množiny M je tedy roven. Vět : Je-li funkce f spojitá nekldná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce vyznčeného

3 Příkld Vypočítejte osh množiny M ohrničené grfem funkce f osou. f ( ) ; ; Nejprve opět orázek. Množin M se skládá ze dvou nepřekrývjících se částí, z nichž jedn leží pod osou, druhá nd osou. Sndno se lze přesvědčit, že integrál od do mi rozhodně nedá správný výsledek. 8 d Osh čtverce AV je roven, osh odélníku BC je roven. Z toho logicky vyplývá, že osh množiny M musí ýt větší nežli. M Správný postup: Nejdříve určím průsečík grfu funkce f s osou, tj. položím =. Řešením této rovnice je množin { ; }. Mě ovšem zjímá pouze číslo z intervlu ;, tedy kořen. Nyní spočítám osh části množiny M pod osou M nd osou d d d o tyto výsledky sečtu. 8 ( ) Závěr: Osh množiny M je roven. 8 d, pk osh části množiny

4 Vět : Jsou-li funkce f, g spojité n ; je-li f() g() pro všechn ; rovinného orzce vyznčeného n orázku níže roven g( ) f ( ) d., je osh Pozn. Důkz (dá-li se to tk nzvt) přímo plyne z předchozích vět. Osh modrého orzce je roven f ( ) d = g ( ) d = + + g( ) f ( ) d = g ) d ( f ( ) d = + + ( ) = Příkld Vypočítejte osh množiny M ohrničené křivkmi, které jsou grfy dných funkcí. f ( ) ; g ( ) Nejprve opět orázek. M

5 P Osh množiny M určím ze vzthu S = ( ) f ( ) pltí f() g(). P g d, neoť pro všechn P ; P Nejdříve je tře určit meze P P. To půjde sndno, stčí dát oě funkce do rovnosti vyřešit jednoduchou kvdrtickou rovnici. Vynásoím výrzem z podmínky (což je všk z orázku zcel zřejmé). D D, P Tedy S = ( ) f ( ) P g d = d = ln = ln ln = ln ln = ln ln = ln ln ln (zlomek usměrním) = ln ln ln = ln Pozn. Asolutní hodnotu jsem vypustil, protože její vnitřek je kldný. Příkld Vypočítejte osh množiny M ohrničené osou y křivkmi, které jsou grfy dných funkcí. f ( ) ; g( ) Množin M je vyznčen n orázku n následující strně.

6 M Nejprve spočítám mez integrce P. P = Postup : Pro všechn P f ; pltí f g, proto osh množiny M určím ze vzthu: ( ) g( ) d = Postup : Vypočítám d = 8 S = 8 P d = 8 ( ) d odečtu to od osmi (osh odélníku n orázku). Příkld Vypočítejte osh kruhu o poloměru r. Střed kruhu umístím do počátku soustvy souřdnic. Hrnice kruhu je kružnice o rovnici y r. Z tohoto vzthu nejprve vyjádřím neznámou y. y y r r 8 Ve výpočtu se omezím pouze n vyrvený čtvrtkruh, tkže pryč s tou solutní hodnotou. f ( ) r ; ; r

7 S r r d Integrál jsem rovnou vynásoil čtyřmi, ych dostl celý kruh. Zvedu šikovnou sustituci. Nezpomenu přitom uprvit meze integrce. r sin t d r cost dt Meze: = = r = r sin t r = r sin t = sin t = sin t t = t r r d r r sin t r costdt r r r sin t costdt = = r r sin tcostdt = r sin tcostdt = r cos t costdt cost = r cos tdt r dt cos sin r t dt r t t = = r sin sin r r Pozn. cos ) V příkldu jsem použil vzorec pro poloviční úhel cos. ) Integrál cos tdt jsem řešil pomocí sustituce.

8 ) vlivem meze NEVLASTNÍ INTEGRÁL f ( ) d lim f ( ) d lim F( ) (pokud tto limit eistuje) g ( ) d lim g( ) d lim G( ) (pokud tto limit eistuje) Integrál konverguje, pokud limit eistuje je konečná. Integrál diverguje, pokud je limit rovn. ) vlivem funkce ( ) d lim f ( ) d lim f F( ) (pokud tto limit eistuje) ( ) d lim g( ) d lim g F( ) (pokud tto limit eistuje) Integrál konverguje, pokud limit eistuje je konečná. Integrál diverguje, pokud je limit rovn. Příkld 7 Vypočítejte osh množiny M ohrničené grfem funkce f, osou osou y. f ( ) Zčnu opět orázkem. Jedná se o sudou funkci, její grf je osově souměrný podle osy y. Nezáleží tedy n tom, jestli si vyeru prvou neo levou část. Já si vyrl tu levou.

9 M S d (nevlstní integrál vlivem meze) d lim d lim = rctg lim rctg rctg lim rctg Příkld 8 Vypočítejte osh množiny M ohrničené grfem funkce f osou. f ( ) ; ; Zčnu opět orázkem. S d (nevlstní integrál vlivem funkce) d lim d U zdlouhvějších výpočtů řeším integrál ez mezí limit, y se mi to tm nepletlo. M d d Tento neurčitý integrál vyřeším pomocí rozkldu n prciální zlomky. A B C A( ) B C A A B B C

10 Srovnám kvdrtické, lineární solutní členy n oou strnách rovnice. : B C : A B : A A, B, C d d d d ln ln lim ln ln lim 8 ln ln ln ln 8 8 = lim ln ln ln 8 lim ln 8 Integrál d diverguje k +. Osh množiny M je nekonečně velký.