Řezy těles rovinou III

Transkript

1 Řezy těles rovinou III Předpoklady: Ne vždy nám vystačí spojování bodů a dělaní rovnoběžek. Jako třeba bod b) posledního příkladu z minulé hodiny: Rovnoběžné jsou pouze podstavy nemůžeme pokračovat v řezu levou ani zadní stěnou. Prohlédneme si jeden z příkladů z minulé hodiny: R P O N Trochu změníme zadání: 1

2 Př. 1: estroj řez krychle rovinou. R P O N Jde o téměř stejný příklad jako v minulé hodině. od neleží na hraně ale na hraně v místě bodu N. Nové body leží ve stejné rovině jako u původního příkladu rovina řezu musí být stejná. N Pomocí rovnoběžek se k řešení nedostaneme. Přímka musí určitě pokračovat do místa, kde ležel bod v původním zadání. Jak toto místo najdeme? Určitě leží také na přímce. Protáhneme přímky a a hledáme jejich průsečík N Získaný bod O leží také v pravé stěně můžeme ho použít ke konstrukci řezu pravou stěnou. O 2

3 R N P úsečka O bod P rovnoběžka s O bodem bod R úsečka P úsečka RN O hrnutí: Potřebovali jsme najít bod v pravé stěně. Věděli jsme: přímka pravou stěnu protne, přímka protne přímku (obě leží v přední stěně), průsečík přímky s přímkou je hledaným bodem (leží v rovině řezu kvůli a leží v pravé stěně, kvůli přímce ). Pravidlo třetí (Pravidlo protahování hran): Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto společným bodem všechny tři průsečnice. Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana se protínají jednom bodě. Pokud známe jednu stranu řezu můžeme ji protáhnou do ostatních stěn. Průsečíky s ostatními stěnami najdeme tak, že protáhneme hranu, která: leží v rovině, ve které leží protahovaná úsečka, leží v rovině, ve které potřebujeme najít další bod, a najdeme její průsečík se známou stranou řezu. Př. 2: Je dána standardní krychle. estroj: a) průsečíky přímky s rovinami stěn a, b) průsečíky přímky s rovinami stěn a, c) průsečíky přímky s rovinami stěn a, d) průsečíky přímky s rovinami stěn a. a) průsečíky přímky s rovinami stěn a 3

4 Průsečík přímky s rovinou stěny : protahujeme hranu, protože leží: s přímkou v rovině, v rovině. b) průsečíky přímky s rovinami stěn a Průsečík přímky s rovinou stěny : protahujeme hranu, protože leží: s přímkou v rovině, v rovině. Průsečík přímky s rovinou stěny : protahujeme hranu, protože leží: s přímkou v rovině, v rovině. Průsečík přímky s rovinou stěny : protahujeme hranu, protože leží: s přímkou v rovině, v rovině. c) průsečíky přímky s rovinami stěn a 4

5 Průsečík přímky s rovinou stěny : protahujeme hranu, protože leží: s přímkou v rovině, v rovině. Průsečík přímky s rovinou stěny : protahujeme hranu, protože leží: s přímkou v rovině, v rovině. d) průsečíky přímky s rovinami stěn a Průsečík přímky s rovinou stěny : protahujeme hranu, protože leží: s přímkou v rovině, v rovině. Průsečík přímky s rovinou stěny : protahujeme hranu, protože leží: s přímkou v rovině, v rovině. Př. 3: Je dána standardní krychle. estroj zbývající průsečíky zadaných přímek s rovinami určenými stěnami krychle. a) b) c) d) e) a) b) 5

6 c) 6

7 e) POZOR! Přímka prochází vnitřkem krychle a proto je s většinou hran mimoběžná jejich protahováním nenajdeme skutečný průsečík pokud chceme najít průsečík například s rovinou musíme najít v této rovině přímku, která je s přímkou, nejjednodušeji pomocí dvou bodů, které získáme pomocí dvou rovnoběžek. Pedagogická poznámka: Poslední bod předchozího příkladu je určen jen pro nejlepší žáky, ostatním je lepší ho jenom ukázat. Ty nejlepší naopak na základě této zkušenosti mohou vyřešit i první příklad v hodině Př. 4: Je dána standardní krychle. estroj řez této krychle rovinou: a) b) c) a) od leží v zadní stěně hledáme průsečík přímky se zadní stěnou protahujeme hranu, která leží v dolní podstavě (kde je přímka ) a v zadní stěně (kde je bod ) protahujeme hranu 7

8 bod úsečka bod úsečka rovnoběžka s bodem bod úsečka b) od leží v zadní stěně hledáme průsečík přímky se zadní stěnou protahujeme hranu, která leží v pravé stěně (kde je přímka ) a v zadní stěně (kde je bod ) protahujeme hranu bod polopřímka bod rovnoběžka s bodem bod rovnoběžka s bodem úsečka N úsečka c) N 8

9 od leží v horní stěně hledáme průsečík přímky s horní stěnou protahujeme hranu, která leží v přední stěně (kde je přímka ) a v horní stěně (kde je bod ) protahujeme hranu bod úsečka bod úsečka rovnoběžka s bodem bod úsečka hrnutí: alší body řezu můžeme získat protažením už hotových částí řezu a vhodných hran řezaného tělesa. 9