SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru
|
|
- Miroslava Vlčková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 SÍR ÚO STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru
2 Sbírka úloh STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru gr. arie hodorová, Ph.. rafická úprava a sazba: arcel Vrbas
3 OS SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5. ZÁY STROTRI 7.1 Základní stereometrické pojmy Zobrazování prostorových útvarů v rovině POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 13.1 Vzájemná poloha čtyř bodů Vzájemná poloha dvou přímek Průnik roviny a tělesa Vzájemná poloha dvou rovin Vzájemná poloha tří rovin Vzájemná poloha přímky a roviny Průnik přímky s hranicí tělesa VÝSY ÚO 37
4 SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ, body, a, b přímky a, b přímka, polopřímka úsečka ρ,σ roviny ρ,σ rovina p rovina p (rovina určená bodem a přímkou p) pq rovina pq (rovina určená přímkami pq) S střed úsečky V konvexní úhel V a b přímka a je rovnoběžná s přímkou b a b přímka a není rovnoběžná s přímkou b a b = P průsečík P přímek a, b α β = p průsečnice p rovin α, β vzdálenost bodů, ; délka úsečky p vzdálenost bodu od přímky p α vzdálenost bodu od roviny α ab vzdálenost rovnoběžných přímek a, b αβ vzdálenost rovnoběžných rovin α, β V velikost konvexního úhlu V ab odchylka přímek a, b pα odchylka přímky p a roviny α αβ odchylka rovin α, β V objem tělesa S povrch tělesa SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5
5 . ZÁY STROTRI.1 Základní stereometrické pojmy Stereometrie, neboli geometrie v prostoru se zabývá řešením prostorových geometrických úloh. by student byl schopen řešit úlohy na dané téma musí se seznámit s některými stereometrickými pojmy a větami. Za základní útvary ve stereometrii považujeme body, přímky a roviny. ále uvedeme jejich vlastnosti a vztahy. URČNÍ PŘÍY dvěma různými body a je určena jediná přímka. URČNÍ ROVINY přímkou a bodem, který neleží na této přímce, třemi body, které neleží na jedné přímce, dvěma různoběžkami, dvěma různými rovnoběžkami. VZÁJNÁ POO PŘÍ a, b rovnoběžné: a, b leží v téže rovině a současně a b = různé, rovnoběžné splývající: a = b různoběžné: a b = R, R průsečík, mimoběžné: a, b neleží v téže rovině a současně a b =. VZÁJNÁ POO VOU ROVIN α, β rovnoběžné: α β = různé, rovnoběžné splývající: α = β, různoběžné: α β = r, r průsečnice. VZÁJNÁ POO TŘÍ ROVIN Všechny tři roviny jsou navzájem rovnoběžné. ZÁY STROTRI 7
6 vě roviny jsou rovnoběžné, třetí je protíná ve dvou rovnoběžných přímkách. aždé dvě roviny jsou různoběžné a všechny tři průsečnice jsou navzájem rovnoběžné a různé. aždé dvě roviny jsou různoběžné a všechny průsečnice splývají v jedinou přímku. aždé dvě roviny jsou různoběžné, jejich průsečnice jsou navzájem různoběžné a protínají se v jednom společném bodě. VZÁJNÁ POO PŘÍY a ROVINY ρ rovnoběžné: a ρ = různé, přímka a leží v rovině ρ: a ρ, různoběžné: a ρ = R, R průsečík. NĚTRÉ ŠÍ VSTNOSTI OŮ, PŘÍ ROVIN: odem lze vést právě jednu přímku a rovnoběžnou s přímkou b. eží-li dva různé body přímky a v rovině ρ, pak každý bod přímky a leží v rovině ρ. ají-li dvě různé roviny α a β společný bod, pak mají i společnou přímku a, která prochází bodem. Přímka a je rovnoběžná s rovinou ρ, právě když v rovině ρ existuje přímka rovnoběžná s přímkou a. vě roviny jsou rovnoběžné, právě když jedna z nich obsahuje dvě různoběžky, z nichž každá je rovnoběžná s druhou rovinou. aným bodem lze vést jedinou rovinu α rovnoběžnou s danou rovinou ρ. 8 ZÁY STROTRI
7 .2 Zobrazování prostorových útvarů v rovině Rovinu, do níž geometrické útvary rovnoběžně promítáme, nazýváme průmětnou. Tuto průmětnu ztotožňujeme s nákresnou, tj. s rovinou tabule nebo sešitu. názornému zobrazování prostorových geometrických útvarů a k ilustraci řešení některých stereometrických úloh užíváme volné rovnoběžného promítání. Při zobrazování prostorových geometrických útvarů ve VRP dodržujeme jednoduchá pravidla: 1. ody zobrazujeme jako body. 2. Přímky zobrazujeme jako přímky nebo jako body. 3. Zachováváme incidenci bodů a přímek. 4. Rovnoběžné přímky zobrazujeme jako rovnoběžky nebo jako body. 5. Zachováváme poměr velikostí rovnoběžných úseček. 6. Obrazce ležící v rovinách rovnoběžných s průmětnou zobrazujeme ve skutečné velikosti. Při volném rovnoběžném promítání se jedná o zobrazení, ve kterém jsou bodům prostoru přiřazeny jisté body nákresny. Pro názornost obrazů má praktický význam připojit následující úmluvy, které budeme respektovat: 7. Obrazy přímek kolmých k průmětně (tyto přímky budeme nazývat hloubkové) kreslíme tak, aby svíraly s vodorovnou přímkou zvolený úhel, tzv. úhel zkosení. Většinou volíme úhel o velikosti Obrazy úseček na hloubkových přímkách zkracujeme na polovinu jejich skutečné velikosti. PRO NÁZORNOST ZORZÍ NĚOI ÚTVRŮ TĚS: čtverec krychle a 45 a a 2 a 45 a a 2 ZÁY STROTRI 9
8 rovnostranný trojúhelník pravidelný šestiúhelník v S 45 v 2 S 45 pravidelný osmiúhelník kružnice (obrazem kružnice je elipsa) S S ZÁY STROTRI
9 V a a 2 v b b b a a a 2 v v a T a a a a v ( ) a v T ZÁY STROTRI 11 pravidelný čtyřstěn (e konstrukci pravidelného čtyřstěnu je nutné určit jeho výšku, a to tak, že sklopíme rovinu, která obsahuje výšku tělesa a hranu, do roviny podstavy.) pravidelný osmistěn pravidelný čtyřboký jehlan
10 12 ZÁY STROTRI
11 . POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU.1 Vzájemná poloha čtyř bodů 1. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V, zjistěte, zda uvedené body,,x,y leží v jedné rovině. od X je střed hrany V, bod Y je střed hrany V. Řešení: V Y X ody,,x,y leží v jedné rovině, protože hrana je rovnoběžná se střednou XY a rovnoběžné přímky leží v jedné rovině. 2. Je dána krychle : a) zjistěte, zda body,,, X leží v jedné rovině. od X je střed hrany ; b) zjistěte, zda body,,, leží v jedné rovině. ody, jsou středy hran, ; c) zjistěte, zda body,,, X leží v jedné rovině. od je střed hrany, bod je střed hrany a bod X leží na hraně a platí X = 2 X ; d) zjistěte, zda v krychli leží uvedené body,,, S v jedné rovině. od je střed hrany, bod je střed hrany, bod je střed hrany a bod S je střed krychle. 3. Je dán pravidelný osmistěn. Zjistěte, zda uvedené body,,, leží v jedné rovině. od leží na úhlopříčce a platí 3 =. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 13
12 .2 Vzájemná poloha dvou přímek 4. Je dána krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek a S : Řešení: S ody je jednoznačně určena rovina, ale bod S v této rovině zřejmě neleží, tedy přímky a S jsou mimoběžné. 5. Je dána krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek: a) S a S b) P a S, bod P je střed stěny c) P a S S, bod P je střed stěny d) S a e) S S a f) a S g) a S h) a S S 6. V pravidelném čtyřbokém jehlanu V rozhodněte o vzájemné poloze přímek a S V S V. 14 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
13 Řešení: V S V S V Přímky a S V S V jsou mimoběžné, protože nemají žádný společný bod a neleží v jedné a téže rovině. 7. V pravidelném čtyřbokém jehlanu V rozhodněte o vzájemné poloze přímek: a) S V a S V b) a S V S V c) V a d) V a S S V e) V a S S V 8. V pravidelném osmistěnu rozhodněte o vzájemné poloze přímek a S S. Řešení: R S S Přímky a S S jsou různoběžné, protože body tvoří úhlopříčný řez daného osmistěnu, tím pádem leží v jedné rovině, ve které leží i body S,S, tedy přímky a S S leží v jedné a téže rovině a nejsou rovnoběžné, protože se protínají v bodě R. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 15
14 9. V pravidelném osmistěnu rozhodněte o vzájemné poloze přímek: a) S a S b) S a S S c) a S.3 Průnik roviny a tělesa Při konstrukci řezů na tělesech se řídíme těmito třemi pravidly: pravidlo č. 1: strany řezu tvoří body, které leží v jedné stěně tělesa, (lze spojit body ležící v téže rovině stěny tělesa), pravidlo č. 2: strany řezu, které leží v rovnoběžných rovinách jsou navzájem rovnoběžné, pravidlo č. 3: jestliže dvě průsečnice tří rovin procházejí jedním bodem, musí jím procházet také třetí průsečnice. Poznámka: V zadání příkladů nebude výslovně uváděno, kde body určující rovinu řezu leží, a tudíž čtenář se bude orientovat podle obrázku. 10. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. Řešení: Rovina řezu je určena body. Protože bod leží na hraně, bod leží na hraně a body určují rovinu, ve které leží horní podstava krychle 16 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
15 , proto v této rovině musí ležet i přímka, proto spojíme body a úsečka tak určuje jednu stranu řezu. nalogicky totéž provedeme s body a, tedy podle pravidla č. 1 spojíme body, a, čímž je řez sestrojený. 11. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. Řešení: l Z m Y X I 1. ody leží v téže rovině stěny a podle pravidla č. 1 tvoří stranu řezu. 2. Roviny a jsou rovnoběžné, takže podle pravidla č. 2 vedeme bodem rovnoběžku m s. 3. Průnik přímky m a hrany je bod X. 4. alší body řezu sestrojíme užitím pravidla č. 3. Roviny, a se protínají v jednom bodě I, kterým procházejí všechny průsečnice těchto rovin. a se protínají v přímce a na ní bude ležet bod I, jímž procházejí další dvě průsečnice. Tento bod I určíme jako průsečík přímek a m. Přímka I je průsečnice rovin a. 5. od řezu Y je průsečíkem přímky I s hranou. 6. odem vedeme rovnoběžku l s XY. 7. Průnik přímky l a hrany je bod Z. 8. Řez je určen body ZXY. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 17
16 12. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. Řešení: Y Z X = I 1. Nemůžeme využít žádné pravidlo. Sestrojíme průsečík přímky s rovinou podstavy, a to tak, že sestrojíme pravoúhlý průmět této přímky do roviny stěny, což je přímka. Průsečík přímky s je bod I, což je průsečík přímky s rovinou podstavy. 2. Sestrojíme přímku I a její průsečík s hranou je další bod řezu X. 3. Spojíme X. 4. odem vedeme rovnoběžku m s přímkou X a její průsečík s hranou je bod řezu Y. 5. Spojíme Y. 6. ále bodem vedeme rovnoběžku l s přímkou X. 7. od Z, který je průsečíkem přímky l a hrany, je bodem řezu a spojíme ho s bodem. 18 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
17 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU Sestrojte řez krychle rovinou určenou body : a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j) k) l)
18 20 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x)
19 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 21 y) z) aa) ab) ac) ad) ae) af) ag) ah) ai) aj)
20 P p p P P p 22 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU ak) al) am) 14. Sestrojte řez krychle rovinou určenou bodem P a přímkou p, jestliže přímka p leží v rovině: a) b) c)
21 15. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu V rovinou : a) b) V V 16. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu V rovinou bodem P a přímkou p, jestliže přímka p leží v rovině. P V p 17. Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu rovinou : a) b) POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 23
22 c) d) 18. Sestrojte řez pravidelného šestibokého jehlanu V rovinou : a) b) V V 19. Sestrojte řez pravidelného osmistěnu rovinou. Řešení: I m Z k X Y 24 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
23 1. ody, leží v téže rovině stěny a podle pravidla č. 1 tvoří stranu řezu. 2. Roviny a jsou rovnoběžné, takže podle pravidla č. 2 vedeme bodem rovnoběžku k s. 3. Průnikem přímky k a hrany je bod X. 4. ále už nemůžeme využít žádné pravidlo, musíme tedy sestrojit průsečík přímky s rovinou podstavy. V tomto případě průsečík I sestrojíme jako průsečík přímky s hranou, protože je průsečnice rovin a. 5. Sestrojíme přímku I a její průsečík s hranou je další bod řezu Y. 6. Spojíme Y a XY. 7. Podle pravidla č. 2 bodem vedeme rovnoběžku m s přímkou XY, neboť roviny a jsou rovnoběžné a průsečík přímky m s hranou je bod řezu Z. 8. Spojíme Z. 9. Řez je určen body XYZ. 20. Sestrojte řez pravidelného osmistěnu rovinou : a) b) c) d) POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 25
24 21. Sestrojte řez pravidelného čtyřstěnu rovinou : a) b) 22. Sestrojte řez krychle a současně řez pravidelného osmistěnu PQRSTU rovinou. T S P R Q U.4 Vzájemná poloha dvou rovin 23. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin a, je-li dána krychle, v případě různoběžných rovin sestrojte jejich průsečnici. 26 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
25 Řešení: S p Roviny a jsou různé a mají společný bod, tedy průsečnice těchto rovin musí procházet bodem. ále platí pro různoběžné přímky a, které leží v rovině stěny krychle, že leží v rovině a leží v rovině, proto bod S = náleží současně oběma rovinám a je dalším bodem průsečnice p. Protože je S, je přímka p = S hledanou průsečnicí rovin a. 24. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin S a S, je-li dána krychle, v případě různoběžných rovin určete jejich průsečnici. Řešení: S S Ukážeme, že rovina S je rovnoběžná s rovinou S. V rovině S si vybere např. přímky a S a ukážeme, že tyto přímky jsou rovnoběžné s rovinou S. Přímka je rovnoběžná s přímkou S S a přímka S je rovnoběžná s přímkou S, tedy v rovině S existují dvě různoběžné přímky rovnoběžné s rovinou S, a proto jsou roviny S a S rovnoběžné. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 27
26 25. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, je-li dána krychle, v případě různoběžných rovin určete jejich průsečnici: a) S, S b), c), S d) S, S S S e), f) S, g), S h), S i), j), S k), S S S l) S S, S m), S S S n) S S, S S o) S, S S p) S, S 26. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, je-li dán jehlan V, v případě různoběžných rovin určete jejich průsečnici: a) VS, S S V b) V, S V c) V, V d) S V, VS S e) V, S S V, = 3 f), S V S V, V V = 3 g) V, S V, = Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin S a S S S, je-li dán pravidelný osmistěn. 28 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
27 .5 Vzájemná poloha tří rovin 28. Je dána krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin, S S S, S. Řešení: N S S S S P Q Roviny jsou navzájem různoběžné, ale protínají se v navzájem rovnoběžných přímkách. Průsečnicí rovin a S je přímka, kde = S, = S. Průsečnicí rovin a S S S je přímka N, kde = S S, N = S S. Průsečnicí rovin S S S a S je přímka PQ, kde P = S S S, Q = S S S. Přímky, N, PQ jsou navzájem rovnoběžné. 29. Je dána krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin: a),, b),, S S S c), S, S S S d),, S S S e), S S S, S S S f), S S S, S S S POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 29
28 30. Je dána pravidelný čtyřboký jehlan V. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin, V, S V S V S V. Řešení: V S V S V S V Roviny a S V S V S V jsou navzájem rovnoběžné, protože S V S V a S V S V, tedy třetí rovina V protíná tyto dvě rovnoběžné roviny v navzájem rovnoběžných přímkách. 31. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin: a) V, V, S V S V S V b) V, S S S V, S S S V c) V, S S V, S S V 32. Je dán pravidelný osmistěn. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin, S S S, S S S. Řešení: S S S S S S 30 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
29 Roviny jsou navzájem rovnoběžné, protože S S S S a S S S S. 33. Je dán pravidelný osmistěn. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin: a),, b) S, S, S S.6 Vzájemná poloha přímky a roviny 34. Je dána krychle. Určete průsečík přímky s rovinou. Řešení: r X Přímkou proložíme vhodnou rovinu, v tomto případě to bude rovina. Sestrojíme průsečnici r těchto rovin. ledaný průsečík přímky a roviny je bod X, který je průsečíkem přímek a r. 35. Je dána krychle, rozhodněte o vzájemné poloze roviny a přímky, v případě různoběžnosti určete průsečík: a), b), c), d), S POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 31
30 36. V krychli jsou body P, Q, R, S po řadě středy stěn,,,. Určete vzájemnou polohu: a) přímky PQ a roviny b) přímky RS a roviny c) přímky QR a roviny d) přímky PR a roviny 37. Je dána krychle, rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny, v případě různoběžnosti určete průsečík: a) přímky PR a roviny S S S, body P, R jsou po řadě středy stěn, b) přímky a roviny, bod leží na a platí = 2, bod leží na a platí = 2 c) přímky S S a roviny S S d) přímky S a roviny S S S 38. Je dána krychle. Zjistěte, zda leží: a) přímka v rovině, bod leží na a platí = 2 b) přímka v rovině c) přímka v rovině d) přímka PR v rovině, body P, R jsou po řadě středy stěn, 39. Je dána krychle. Zjistěte, zda body, a přímka leží v jedné rovině. 40. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Sestrojte průsečík přímky s rovinou S S V. od leží na V a platí = 3 V, leží na V a platí = 3 V. 32 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
31 Řešení: V S V R U S 1. Přímkou proložíme vhodnou rovinu, v tomto případě to bude rovina V. 2. Sestrojíme průsečnici proložené roviny V s danou rovinou S S V. Průsečnicí těchto rovin je přímka US V, protože přímky a S leží v rovině podstavy a mají společný právě jeden bod U. dalším bodem průsečnice je bod S V, protože leží na hraně V. 3. Průsečíkem přímky s rovinou S S V je bod R, což je průsečík přímky s průsečnicí US V. 41. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Sestrojte průsečík přímky s rovinou: a) přímky S V s rovinou V, leží na a platí = 3, leží na a platí = 3 b) přímky VS s rovinou S S V c) přímky VS s rovinou S S V d) přímky S V s rovinou, leží na a platí = 3, leží na V a platí = 2 V, leží na V a platí V = 3 e) přímky V s rovinou J, J leží na a platí J = 3 J, leží na V a platí V = 3, leží na V a platí = 3 V f) přímky VS s rovinou S S V S.7 Průnik přímky s hranicí tělesa Průsečík přímky a roviny získáme takto: 1. Přímkou proložíme vhodnou rovinu, která je s danou rovinou různoběžná. 2. Určíme průsečnici těchto rovin. 3. Průsečík dané přímky s průsečnicí je hledaný průsečík přímky s rovinou. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 33
32 Průnik přímky s hranicí tělesa řešíme podobně jako průsečík přímky s rovinou: 1. Přímkou proložíme libovolnou vhodnou rovinu, která protne těleso a je s danou rovinou různoběžná. U hranolů prokládáme zpravidla rovinu, která je rovnoběžná s bočními hranami hranolu, tzv. směrovou rovinu. U jehlanů prokládáme danou přímkou zase zpravidla rovinu, která obsahuje vrchol tělesa, tzv. vrcholovou rovinu. 2. Sestrojíme řez tělesa touto rovinou. 3. Průsečík dané přímky s řezem je hledaný průsečík přímky s hranicí tělesa. 42. Je dána krychle. Určete průsečíky přímky N s hranicí krychle. od leží na, bod N leží na Řešení: N V U X Y T S Přímkou N proložíme rovinu rovnoběžnou se svislými hranami krychle (tzv. směrovou rovinu) a určíme její řez STUV s krychlí. Přímka N protíná hranici tohoto řezu (tj. hranici krychle) v bodech XY. 43. Je dána krychle. Určete průsečíky přímky PQ s hranicí krychle. Pro body P, Q platí: a) = S P, = S Q b) P leží na a platí P = 1,5, = S Q c) P leží na a platí P = 1,5, Q leží na a platí Q = 1,5 d) P leží na a platí P = 1,25, Q leží na a platí Q = 1,25 34 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
33 44. Je dán pravidelný šestiboký hranol. Určete průsečíky přímky N s hranicí hranolu. Pro body, N platí: a) = S, N leží na a platí N = 1,25 b) = S, N leží na a platí N = 1, Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Určete průsečíky přímky N s hranicí jehlanu. Pro body, N platí: = S, N = S SV, bod S je střed podstavy. Řešení: V X N Y U S T Přímkou N proložíme rovinu, která prochází vrcholem jehlanu ( tzv. vrcholovou rovinu) a určíme její řez UTV s jehlanem. Přímka N protíná hranici tohoto řezu (tj. hranici jehlanu) v bodech XY. 46. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Určete průsečíky přímky PQ s hranicí jehlanu. Pro body P, Q platí: a) P = S V, = S Q b) P leží na V a platí VP = 1,5 V, Q = S V c) P = S V, Q leží na a platí Q = 1,5 47. Je dán pravidelný osmistěn. Určete průsečíky přímky N s hranicí osmistěnu. Pro body, N platí: leží na a platí = 1,5, N leží na a platí N = 1,25. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 35
34 36 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU
35 X X S S P P S S S S S S S S S VÝSY ÚO 37 VÝSY ÚO 2. a) neleží b) leží c) neleží d) leží 3. leží 5. a) mimoběžky b) různoběžky c) rovnoběžky d) mimoběžky e) rovnoběžky f) mimoběžky g) různoběžky
36 h) různoběžky 7. a) různoběžky b) rovnoběžky V V S S V S V S V S V S c) mimoběžky d) mimoběžky e) rovnoběžky V V V S V S V S S 9. a) rovnoběžky b) různoběžky c) mimoběžky S S S S S S 13. a) b) c) 38 VÝSY ÚO
37 VÝSY ÚO 39 d) e) f ) g) h) i) j) k) l) m) n) o)
38 40 VÝSY ÚO p) q) r) s) t) u) v) w) x)
39 VÝSY ÚO 41 y) z) aa) ab) ac) ad) ae) af) ag) ah) ai) aj)
40 ak) al) am) 14. a) b) c) 15. a) b) VÝSY ÚO
41 17. a) b) c) d) 18. a) b) VÝSY ÚO 43
42 20. a) b) c) d) 21. a) b) VÝSY ÚO
43 25. a) různoběžné: b)rovnoběžné c) různoběžné d) splývají e) různoběžné f) různoběžné g) různoběžné h) různoběžné i) různoběžné VÝSY ÚO 45
44 j) různoběžné k) různoběžné l) různoběžné m) rovnoběžné n) různoběžné o) různoběžné p) různoběžné 46 VÝSY ÚO
45 26. a) rovnoběžné b) různoběžné c) různoběžné d) různoběžné e) různoběžné f) různoběžné g) různoběžné 27. různoběžné 29. a) společný právě b) protínají se jeden bod v jedné přímce VÝSY ÚO 47
46 c) protínají se ve třech navzájem d) protínají se ve třech navzájem rovnoběžných přímkách rovnoběžných přímkách e) roviny S S S a S S S f) roviny S S S a S S S jsou navzájem rovnoběžné, tedy jsou navzájem rovnoběžné, tedy třetí rovina je protíná ve dvou třetí rovina je protíná ve dvou navzájem rovnoběžných přímkách navzájem rovnoběžných přímkách 31. a) společný právě b) navzájem c) protínají se jeden bod rovnoběžné v jedné přímce 48 VÝSY ÚO
47 32. a) společný právě jeden bod, b) roviny S a S a to střed jsou navzájem rovnoběžné, tedy třetí rovina je protíná ve dvou navzájem rovnoběžných přímkách 35. a) různoběžné b) rovnoběžné c) d) S 36. a) rovnoběžné b) rovnoběžné VÝSY ÚO 49
48 c) různoběžné d) rovnoběžné 37. a) různoběžné b) různoběžné c) rovnoběžné d) různoběžné 38. a) leží b) neleží c) neleží d) leží 39. neleží 50 VÝSY ÚO
49 41. a) b) c) d) e) f) rovnoběžné 43. a) b) c) d) VÝSY ÚO 51
50 44. a) b) 46. a) b) c) VÝSY ÚO
C. METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU
36. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Určete průsečíky přímky s hranicí jehlanu. Pro body, platí: = S, = S SV, bod S je střed podstavy.. TRIÉ VSTOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU.1 Odchylky přímek a rovin V odchylka
VíceS T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
VíceSTEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE
Více= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty
STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.
VíceSTEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
VíceDvěma různými body prochází právě jedna přímka.
Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma
VíceMetrické vlastnosti v prostoru
Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceKótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu
Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,
VíceJe-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
VíceKonstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44
Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím
část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
VíceKONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceAXONOMETRIE - 2. část
AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.
VíceDalší polohové úlohy
5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad
VíceKonstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU
Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceZákladní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů
1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou
VíceBA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr
BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura
Více9.5. Kolmost přímek a rovin
9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]
ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání
VíceSTEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114
STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0114 ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5.2.4 Kolmost přímek a rovin II Předpoklady: 5203 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty analogické k planimetrické větě: aným bodem lze v rovině k dané přímce vést jedinou kolmici. Věta: aným bodem lze
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
VíceRozvoj prostorové představivosti
Rozvoj prostorové představivosti Rozvoj prostorové představivosti začínáme již v 1. ročníku základní školy, rozvojem vnějšní a vnitřní orientace ve čtvercové síti. Vnější orientace ve čtvercové síti je
VíceZákladní geometrické útvary
RMP 2 KS MS Základní geometrické útvary Bod, přímka, rovina základní geometrické pojmy, vznikly v našem vědomí abstrakcí poznatků reálného světa. V geometrii jsou zavedeny axiomaticky, tj. pomocí jednoduchých
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol STEREOMETRIE
Více1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Mongeovo promítání 1 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ 1.1 Základní pojmy V Mongeově promítání promítáme na dvě navzájem kolmé průmětny. Vodorovná průmětna se nazývá půdorysna a značí se, svislá průmětna se nazývá
VíceZobrazení a řezy těles v Mongeově promítání
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání
Více3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek
VíceZákladní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. na PřF UP v Olomouci o formu kombinovanou CZ.1.07/2.2.00/ Stereometrie. Marie Chodorová
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Rozšíření akreditace učitelství matematiky a učitelství deskriptivní geometrie na PřF UP v Olomouci o formu kombinovanou CZ.1.07/2.2.00/18.0013 Stereometrie Marie Chodorová
VíceŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:
Více3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
VíceSada 7 odchylky přímek a rovin I
Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána
VíceMongeovo zobrazení. Osová afinita
Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A
VíceMongeova projekce - úlohy polohy
Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
VíceTělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na
Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. - Mnohostěny mají stěny, hrany
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Sbírka konstrukčních úloh ze stereometrie
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Sbírka konstrukčních úloh ze stereometrie Bakalářská práce BRNO 2008 Roman Machain Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně a použil pouze
Více9.6. Odchylky přímek a rovin
9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných
VíceFotogrammetrie. zpracovala Petra Brůžková. Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012
Fotogrammetrie zpracovala Petra Brůžková Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012 Fotogrammetrie je geometrický postup, který nám umožňuje určení tvaru, velikosti a polohy reálných objektů na základě fotografického
Více1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Více5.2.1 Odchylka přímek I
5..1 Odchylka přímek I Předpoklady: 5110 Metrické vlastnosti určování měřitelných veličin (délky a velikosti úhlů) Výhoda metrické vlastnosti jsme už určovali v planimetrii můžeme si brát inspiraci Všechny
VíceAxonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60
Axonometrie KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 1 / 60 Obsah 1 Úvod 2 Typy axonometrií 3 Pravoúhlá axonometrie Zobrazení přímky Zobrazení roviny Polohové úlohy KG - L (MZLU
VíceZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY
ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika - stereometrie. Mgr. Hedvika Novotná
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2
VíceŘezy těles rovinou III
5.1.11 Řezy těles rovinou III Předpoklady: 050110 Ne vždy nám vystačí spojování bodů a dělaní rovnoběžek. Jako třeba bod b) posledního příkladu z minulé hodiny: Rovnoběžné jsou pouze podstavy nemůžeme
VícePravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles
Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles 1 / 1 Příklad (Řez šikmého hranolu) Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDA
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
Více5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II
5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II Předpoklady: 5103 tejně jako minule začneme opakováním pravidel. Pravidla uvádíme od nejvíce a nejsnáze používaných k méně a hůře použitelným. Útvary
VíceSTEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný
VíceSTŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
VíceP R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,
P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceKÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ
KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ 2.KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ Označíme: s...směr promítání, s p k c...kóta bodu C C 1 (k c )...kótovaný průmět bodu C. pokud k c 0 (k c 0), potom bod C leží nad (pod) průmětnou p. jednotka j=1cm
VíceSTEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie
VíceSTEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117
STEREOMETRIE Odchylky přímky a roviny Mgr. Jakub Němec VY_3_INOVACE_M3r0117 ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Poslední kapitolou, která se týká problematiky odchylek v prostoru, je odchylka přímky a roviny. V této
VíceMasarykova univerzita
Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta KLÁŘKÁ PRÁ neta Zgodová olné rovnoběžné promítání edoucí práce: RNr. Jan ondra, Ph.. tudijní program: Matematika tudijní obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání,
VíceSBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE
SÍR ÚO STROTRI OS seznm používných symbolů 7. Zákldy stereometrie 9.1 Zákldní stereometrické pojmy.......................................................... 9.2 Zobrzování prostorových útvrů v rovině............................................11.
VíceZadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 22. září 2009 verze 3.0 Předmluva Tento pomocný
VíceAXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.
AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceNázev: Stereometrie řez tělesa rovinou
Název: Stereometrie řez tělesa rovinou Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Matematika (Deskriptivní geometrie) Tematický
Více5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II
5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II Předpoklady: 050103 tejně jako minule začneme opakováním pravidel. Pravidla uvádíme od nejvíce a nejsnáze používaných k méně a hůře použitelným. Útvary
VíceUžití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
VícePerspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen
Perspektiva Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy Obsahuje: úvodní pojmy určení skutečné velikosti úsečky zadané v různých polohách zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen 1 Příklad
VíceŠroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
Více5 Pappova věta a její důsledky
5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
VíceKonstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].
Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie
VíceJEVIŠTNÍ PERSPEKTIVA TABULKA 19
OBSAH tabulka strana Předmluva 6 Úvod 7 Základní pojmy v perspektivě 1 8 Výška oka sedícího diváka 2 9 Průčelná perspektiva centrální, pozorovací bod je na ose symetrie, základna prochází stranou BC 3
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně
VíceZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
VíceMendelova univerzita. Konstruktivní geometrie
Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro
VíceFOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině
FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala
VíceA[ 20, 70, 50] a výška v = 70, volte z V > z S ; R[ 40, 20, 80], Q[60, 70, 10]. α(90, 60, 70).
Úkoly k zápočtu z BA008 Všechny úkoly jsou povinné. Úkoly číslo 4, 7, 12, 14 budou uznány automaticky, pokud poslední den semestru, tj. 3. 5. 2019, budou všechny ostatní úkoly odevzdané a uznané. 1. Je
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
VíceŘezy těles rovinou II
5.1.10 Řezy těles rovinou II ředpoklady: 5109 e vždy nám vystačí spojování bodů a dělaní rovnoběžek. apříklad poslední příklad z minulé hodiny: Rovnoběžné jsou pouze podstavy nemůžeme pokračovat v řezu
VíceGeometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy
1 Metrické vlastnosti 9000153601 (level 1): Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: eometrie Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné
VíceZobrazení hranolu. Příklad 5: Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou ρ. Sestrojte síť seříznuté části.
Zobrazení hranolu Příklad 1: Zobrazte pravidelný pětiboký hranol s podstavou v půdorysně π. Podstava je dána středem S a vrcholem A. Výška hranolu je v. Určete zbývající průmět bodu M pláště hranolu. 1
Více5.1.8 Vzájemná poloha rovin
5.1.8 Vzájemná oloha rovin Předoklady: 5107 Př. 1: Kolik solečných bodů mohou mít dvě roviny? Každou možnost dokumentuj omocí dvou rovin určených vrcholy krychle a urči vzájemnou olohu rovin. Mohou nastat
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 11. září 2006 verze 4.0 Předmluva
VíceMongeovo zobrazení. Řez jehlanu
Mongeovo zobrazení Řez jehlanu Středová kolineace Středová kolineace Definice Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky Středová kolineace Definice
Více