12. Soustava lineárních rovnic a determinanty

Transkript

1 @7. Soustava lineárních rovnic a determinanty Determinanty x V této lekci si ukážeme řešení soustavy lineárních rovnic (dvou rovnici pro dvě neznámé a tří rovnic pro tři neznámé) pomocí determinantů. Definice: Determinantem.řádu rozumíme symbol D a c b d, kde a,b,c,d R Hodnotou determinantu. řádu rozumíme číslo D = ad bc Používáme rčení: Vypočtěte determinant a rozumíme tím vypočítat číslo ad-bc. Poznámka: Všimněte si, že hodnotu determinantu dostaneme rozdílem součinů čísel v hlavní diagonále a ve vedlejší diagonále, viz obrázek. Příklady:.( ) ( )

2 x. x. x x x x pokračování

3 @ Bohužel Do vzorců Cramerova pravidla jste nedosadili správně. A zřejmě jste ani neudělali zkoušku. Opravdu si myslíte, že nedělat zkoušku je moudré? znovu přepočítejte

4 @ zpět Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy tří lineárních rovnic pro tři neznámé Mějme soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé x, y, z R ax + by + cz = A (**) dx + ey + fz = B gx + hy + iz = C kde a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, C R jsou libovolná reálná čísla. Označme: D a d g b e h c f i Dx A B C b e h c f i Dy a d g A B C c f i Dz a d g b e h A B C Determinant D se nazývá determinant soustavy (**). Platí: i) Je-li D 0, pak soustava rovnic má právě jedno řešení Dx Dy x, y, z D D Dz D ii) Je-li D = Dx = Dy = Dz = 0, pak soustava má nekonečně mnoho řešení, které nelze určit pomocí determinantů, ale musí se parametrizovat dříve předvedenými postupy. iii) Je-li D = 0 a aspoň jeden z determinantů Dx, Dy, Dz různý od nuly, pak soustava rovnic nemá žádné řešení. Příklad: Řešte soustavu rovnic Řešení: x - y + 7z = 5x + y - z = 50 x - y + z = 0

5 D => existuje jediné řešení 7 Dx => x = / = Dy => y = 6/ = 0 7 Dz => z = -8/ = - 0 kandidát řešení [8; ; -] Zkouška L = (-) = = P L = (-) = 50 = P L = (-) = 0 = P Úkol: Řešte soustavu rovnic x + y - z = 5 x + y - z = 7 x - y + 5z = 5 soustava má jediné řešení soustava má nekonečně mnoho řešení soustava nemá žádné řešení

6 @6 Bohužel Pouze napovím, že obě mají jediné řešení. znovu prostudujte

7 @9 zpět Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé Mějme soustavu dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé x, y R ax + by = A (*) cx + dy = B kde a, b, c, d, A, B R jsou libovolná reálná čísla. Označme: D a c b d Dx A B b d Dy a c A B Determinant D se nazývá determinant soustavy (*). Platí: i) Je-li D 0, pak soustava rovnic má právě jedno řešení Dx x, D y Dy D ii) Je-li D = Dx = Dy = 0, pak soustava má nekonečně mnoho řešení, které nelze určit pomocí determinantů, ale musí se parametrizovat dříve předvedenými postupy. iii) Je-li D = 0 a aspoň jeden z determinantů Dx, Dy různý od nuly, pak soustava rovnic nemá žádné řešení. Poznámka: Nezapomínejte na zkoušku (aspoň v hlavě zpaměti), protože tím vyloučíte chybu lidského faktoru (totiž vlastní). Příklad: Řešte soustavu rovnic x x y y Řešení: D.( ). 0 tedy existuje jediné řešení Dx Dy a tedy kandidát řešení je x = -/ = - a y = / =, [-; ]

8 Zkouška L =. +.(-) = - = = P L =.(-) = + = = P Úkol: Řešte soustavu rovnic x + y - 9 = 0 x + y + = 0 soustava nemá žádné řešení soustava má jediné řešení [-; ] soustava má jediné řešení [; -]

9 @ zpět Správně Determinanty x Definice: Determinantem.řádu rozumíme symbol a b c D d e f, kde a,b,c,d,e,f,g,h,i R g h i Hodnotou determinantu. řádu rozumíme číslo D = aei + bfg + cdh ceg bdi - afh Poznámka: Všimněte si, že číslo determinantu dostaneme součty rozdílů součinů čísel v hlavní diagonále a ve vedlejší diagonále a s nimi souběžných. Že tomu příliš nerozumíte? Obrázek vám to jistě osvětlí.

10 výpočet probíhá v šesti krocích. krok. krok. krok.krok 5. krok

11 6. krok Příklady: ( 8) 0 ( 8) ( ) pokračování

12 @ Bohužel Pečlivě sestavte determinanty a bezchybně vypočítejte jejich hodnoty. znovu propočtěte

13 @7 zpět Správně A) x + y = B) x + y = 0 x + z = y + z = y + z = 0 x + z = Obě soustavy mají jediné řešení. Soustava A má za řešení uspořádanou trojici [; ; ] a soustava B uspořádanou trojici [; ; ]. Protože jde o uspořádané trojice, nemohou se řešení rovnat. Definice: Soustava n lineárních rovnic pro n neznámých se nazývá soustava lineárních rovnic n-tého řádu. Úkol: Jak byste provedli důkaz Cramerova pravidla pro soustavu lineárních rovnic druhého řádu? výsledek

14 @0 Bohužel D => existuje jediné řešení znovu přepočítejte

15 @a zpět Úkol: Zformulujte Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy tří lineárních rovnic pro tři neznámé. výsledek

16 @5 zpět Správně D Dx D = 0 a zároveň Dx = 6 0 => soustava nemá žádné řešení Úkol: Řešte soustavy rovnic A) x + y = B) x + y = 0 x + z = y + z = y + z = 0 x + z = Obě soustavy rovnic mají stejné řešení? ano ne

17 @8 zpět Samozřejmě zkouškou. Dosadili bychom výsledky do původních rovnic a zjistili, zda skutečně řeší tyto rovnice. Poznámka: Řešit Cramerovým pravidlem soustavu lineárních rovnic n-tého řádu pro libovolné n přirozené je teoreticky možné po definování determinantů n-tého řádu. Praktické to však není a nepoužívá se to ani na počítačích. Po praktické stránce je nejlepší metoda řešení Gaussova eliminační, kterou provádíme ve formě matic. KONEC LEKCE