Geometrické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 9. března 2008

Transkript

1 Geometrické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 9. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

2 Definice geometrického vektoru 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

3 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

4 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

5 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

6 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

7 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

8 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

9 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

10 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

11 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

12 Operace s geometrickými vektory 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

13 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

14 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

15 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

16 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

17 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

18 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

19 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

20 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

21 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

22 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Pro b=1.6 ajeorientacevektoru bstejnájakoorientacevektoru aa jeho velikost je 1.6 větší. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

23 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Pro c = 2.4 a je orientace vektoru c opačná a velikost 2.4 větší. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

24 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Obecně: velikost vektoru α a je α násobkem velikosti vektoru a, pro α < 0mávektor α aopačnouorientacinežvektor a,pro α > 0 souhlasnou orientaci. Kontrolníotázka:Jakjetopro α=0? Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

25 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

26 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

27 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

28 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

29 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

30 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

31 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

32 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

33 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

34 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

35 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

36 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

37 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

38 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

39 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

40 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

41 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

42 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

43 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

44 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

45 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

46 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

47 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

48 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

49 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

50 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

51 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

52 Souřadnice geometrických vektorů 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Kosoúhlé soustavy souřadné 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

53 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné y Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, 1 1 čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

54 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

55 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

56 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

57 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

58 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

59 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

60 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

61 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

62 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné 1 1 V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

63 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné 1 1 V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

64 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

65 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

66 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

67 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

68 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

69 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

70 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

71 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

72 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

73 Souřadnice vektorů a operace s vektory 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

74 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

75 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

76 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

77 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

78 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

79 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

80 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

81 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

82 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

83 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

84 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

85 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

86 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

87 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

88 Otočená soustava, transformační matice 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Odvození transformačních vztahů Otočení v 3D prostoru 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

89 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení(modře vyznačeného) označíme ω. y A Vztahy mezi souřadnicemi[, y] a[, y]téhožbodu Ajsou y =cosω+ ysin ω, y= sin ω+ ycosω. (Na následující straně tyto vztahy odvodíme.) Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin ( ) ( ) ( ) cosω sin ω = y sin ω cosω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

90 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení(modře vyznačeného) označíme ω. y A Vztahy mezi souřadnicemi[, y] a[, y]téhožbodu Ajsou y =cosω+ ysin ω, y= sin ω+ ycosω. (Na následující straně tyto vztahy odvodíme.) Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin ( ) ( ) ( ) cosω sin ω = y sin ω cosω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

91 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení(modře vyznačeného) označíme ω. y A Vztahy mezi souřadnicemi[, y] a[, y]téhožbodu Ajsou y =cosω+ ysin ω, y= sin ω+ ycosω. (Na následující straně tyto vztahy odvodíme.) Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin ( ) ( ) ( ) cosω sin ω = y sin ω cosω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

92 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení(modře vyznačeného) označíme ω. y A Vztahy mezi souřadnicemi[, y] a[, y]téhožbodu Ajsou y =cosω+ ysin ω, y= sin ω+ ycosω. (Na následující straně tyto vztahy odvodíme.) Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin ( ) ( ) ( ) cosω sin ω = y sin ω cosω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

93 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

94 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

95 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

96 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

97 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

98 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

99 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27

100 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) } {{ } i+( sin ω+ ycosω) } {{ } j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27