svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

Transkript

1

2 Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu větu K.F.Gauss převádějící plošný integrál na integrál trojný, Greenovu větu G.Green vyjadřující křivkový integrál pomocí integrálu dvojného, a konečně Stokesovu větu G.G.Stokes dávající do souvislosti integrál plošný a křivkový. Kromě pohodlné metody výpočtu, kterou tyto integrální věty nabízejí, mají zásadní teoretický význam v přírodních vědách, především pak v teorii pole. Pro svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny z nejkrásnějších výsledků klasické matematické analýzy. Gaussova věta Gaussova věta dává do vztahu objemový a plošný integrál. Představme si základní těleso P v prostoru R 3, jehož hranicí je uzavřená plocha M. Je-li tato oblast umístěna v proudící kapalině, pak očekáváme, že tok kapaliny přes hranici tedy plošný integrál přes plochu M souvisí se změnou celkového množství kapaliny v oblasti P tedy s trojrozměrným integrálem přes oblast P. Podobnou souvislost vyjadřuje i Archimédův zákon: Hydrostatická síla působící na povrch ponořeného tělesa tj. plošný integrál přes jeho povrch je rovna tíze tělesa, tedy násobku objemu trojrozměrnému integrálu. Analogických vztahů mezi povrchovými a objemovými charakteristikami lze najít v přírodních vědách mnoho. Jejich matematickým vyjádřením je Gaussova věta. V její formulaci se vyskytuje diferenciální operátor divergence. Je-li F vektorové pole třídy C na otevřené množině G R n, pak jeho divergence je skalární funkce div F F x + F 2 x F n x n. Druhý pojem, který potřebujeme, je hranice a vnitřek množiny G. Definice.. Nechť G R n je množina. Hranicí G množiny G nazveme množinu { } G x R n pro každé okolí U bodu x platí U G a U \ G. Vnitřek množiny G je G \ G. 6

3 62 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Definice hranice je zcela přirozená, neboť bod hranice je takový v jehož libovolně malém okolí leží jak body z G tak i z doplňku R n \ G, viz. [, Kapitola ]. Věta.2. Gaussova věta. Nechť P R 3 je základní těleso, jehož hranice P je plocha orientovaná vnějším normálovým polem. Je-li F vektorové pole třídy C na P, pak. div F F. P Důkaz. Větu budeme dokazovat pouze pro takové základní těleso P, které leží mezi dvěma grafy funkcí a to nejen z pohledu roviny xy ale také z pohledu rovin xz a yz. Tj. { } P x, y, z x, y D f x, y z f 2 x, y { } x, y, z x, z D 2 g x, z y g 2 x, z 2 { } x, y, z y, z D 3 h y, z x h 2 y, z, 3 kde D resp. D 2 a D 3 jsou projekce tělesa P na rovinu xy resp. xz a yz. Tato tělesa představují poměrně širokou třídu množin. Např. koule, elipsoid, kvádr a každé konvexní těleso je tohoto typu. Nechť F je vektorové pole třídy C na P. Začneme s výpočtem trojného integrálu: P div F P F x + F 2 + F 3 z P P F x + P F 2 + P F 3 z. V každém z posledních tří integrálů použijeme vyjádření množiny P, které se pro daný integrál nejvíce hodí. Pro první to je 3, pro druhý 2 a pro třetí :.2 D 3 h 2y,z h y,z F x dx + D 2 g 2x,z g x,z F 2 dy + D f 2x,y f x,y F 3 z dz F h 2 y, z, y, z F h y, z, y, z + F2 x, g 2 x, z, z F 2 x, g x, z, z D 3 D 2 + F3 x, y, f 2 x, y F 3 x, y, f x, y. Podívejme se například na poslední integrál. Ten si lze dále představit jako.3 D D,, F 3 x, y, f 2 x, y f 2 x, f 2, + D f,, F 3 x, y, f x, y x, f,

4 . GAUSSOVA VĚTA 63 Protože f 2 x, f 2, je vnější normálové pole ke grafu funkce f 2, který omezuje P shora, je první integrál tok vektorového pole,, F 3 touto horní plochou. Podobně f x, f 2, je vnější normála ke grafu f, který omezuje P zdola a tak druhý integrál je tok pole,, F 3 dolní plochou omezující těleso P. Protože pole,, F 3 je rovnoběžné s osou z, je tok pole,, F 3 bočními stěnami tělesa P automaticky nulový. Zjistili jsme tak, že výraz.3 je tok pole,, F 3 celou hranicí P. Můžeme tedy poslední integrál v.2 nahradit takto D F 3 x, y, f 2 x, y F 3 x, y, f x, y P,, F 3. Zcela stejné úvahy jen se zaměněnými rolemi proměnných x, y a z vedou k závěrům F 2 x, g 2 x, z, z F 2 x, g x, z, z, F 2, D 2 F h 2 y, z, y, z F h y, z, y, z P F,,. D P S uvážením těchto faktů se výraz.2 rovná F,, +, F 2, +,, F 3 P P P F,, +, F 2, +,, F 3 F, F 2, F 3 F. P P P Příklad.3. Nechť F x, y, z x i + 2y j + 3z k. Určete M F d S, kde M je povrch krychle, a, a, a orientovaný vnějším normálovým polem. Použitím Gaussovy věty dostáváme téměř okamžitě M F ds div F,a 3 a a a 6 dx dy dz 6a 3. Příklad.4. Určete tok elektrostatického pole F x, y, z Q rx, y, z, x, y, z,,, 4πε rx, y, z 3 kde rx, y, z x, y, z, přes libovolnou uzavřenou plochu M orientovanou vnějším normálovým polem a obklopující počátek. Nechť G je omezená oblast, jejíž hranicí je plocha M. Jednoduchým výpočtem dostaneme, že div F x, y, z, x, y, z,,.

5 64 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Vzhledem k tomu, že pole F není definováno v počátku, nemůžeme Gaussovu větu použít přímo. Kolem počátku však opíšeme uzavřenou kouli K o poloměru, řekněme ε, která je celá obsažena v oblasti G. V oblasti G \ K je pak pole F diferencovatelné a jeho divergence je nulová. Hranicí oblasti G \ K však zase není uzavřená plocha, skládá se z původní uzavřené plochy G a z hranice K koule K. Splnění všech podmínek Gaussovy věty lze dosáhnout např. protnutím množiny G \ K rovinou σ procházející počátkem. Ta nám G \ K rozdělí na dvě části G ležící nad rovinou a G 2 ležící pod rovinou, viz. obr... G G σ K G 2 Obr... Hranice G a G 2 oblastí G a G 2 jsou tvořeny částmi původní plochy M, roviny σ a povrchu koule K. Podle Gaussovy věty pak dostaneme F div F G G F div F. G 2 G 2 Sečtením dostaneme.4 F + F. G G 2 Podívejme se blíže na součet těchto integrálů. Integrály přes části hranice ležící na rovině σ mají opačné znaménko a proto se vyruší. Vnější normály oblastí G a G 2 na části kulové plochy splývají s vnitřní normálou kulové plochy K. Tedy G F + G 2 F M F K F. S pomocí.4 máme F F. M K

6 . GAUSSOVA VĚTA 65 V příkladu.8 jsme už poslední integrál počítali, viz..3. Použijeme ho a dostaneme, že tok F Q 4 π Q. 4 π ε ε K Tok elektrostatického pole přes libovolnou uzavřenou plochu obsahující počátek ve své vnitřní oblasti je roven Q ε. Poznámka.5. V předchozím příkladě jsme ukázali modifikaci Gaussovy věty pro oblasti, které jsou ohraničeny dvěma uzavřenými plochami M a M 2, přičemž menší oblast s hranicí M je částí větší oblasti s hranicí M 2. Ve schodě s předchozím postupem vždy platí, že F F div F, M 2 M kde M a M 2 jsou plochy orientované vnějším normálovým polem. G Příklad.6. Na základě Pascalova zákona odvoďte zákon Archimédův. Budeme předpokládat, že těleso G R 3 má za hranici orientovanou plochu G. Dále se dohodneme, že hladina kapaliny o hustotě ρ je rovina xy. Nechť je těleso G ponořeno do kapaliny, tj. G {x, y, z z }. Podle Pascalova zákona je hydrostatická síla F působící na oblast G dána plošnými integrály F ρ g M z n ds, ρ g M z n 2 ds, ρ g M z n 3 ds, kde n n, n 2, n 3 je vnitřní jednotkové normálové pole plochy G. Gaussovu věta dává F ρ g z n ds ρ g z i ds ρ g divz i, a konečně, G F 2 ϱ g G F 3 ϱ g G z n 2 ds ρ g M ρ g G G z n 3 ds ρ g G z j ds ρ g G divz k ϱ g G z k d S G ρ objemg. divz j, Celkově F,, ρ g objemg. Slovy: síla působící na ponořené těleso je rovna tíze kapaliny mající stejný objem jako původní těleso.

7 66 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Fyzikální interpretace divergence Pomocí Gaussovy věty je možno dát matematicky definovanému operátoru divergence jasný fyzikální význam. Rovnice F div F, G říká, že objemový integrál divergence je roven toku přes hranici oblasti. Můžeme proto divergenci chápat jako hustotu zdrojů pole F. Přesněji je tato souvislost vyjádřena v následujícím tvrzení: Tvrzení.7. Nechť F je vektorové pole spojitě diferencovatelné v jistém okolí bodu x, y, z. Označme symbolem Kϱ uzavřenou kouli se středem v bodě x, y, z a poloměrem ϱ >. Nechť Kϱ je její hranice orientovaná vnějším normálovým polem. Pak.5 div F Kϱ F x, y, z lim ϱ + objemkϱ. G Důkaz. Budeme odhadovat rozdíl objem Kϱ K F div F x, y, z. Podle Gaussovy věty víme, že K F K div F. Dále, objemkϱ 4 3 πϱ3. Takže zkoumaný rozdíl má tvar π ϱ 3 div F div F x, y, z. Kϱ Protože div F x, y, z je konstanta, upravíme si ji na tvar div F x, y, z div F Kϱ x, y, z 4 3 π 3 ϱ3 4 π ϱ 3 Kϱ div F x, y, z. Užíváme důležitého vztahu, že M objemm! Nyní má rozdíl.6 tvar π ϱ π ϱ 3 V ϱ Kϱ div F 3 4 π ϱ 3 Kϱ div F x, y, z div F div F x, y, z 3 4 π ϱ 3 Kϱ div F div F x, y, z. Protože div F je spojitou funkcí, platí že div F x, y, z div F x, y, z < ε pro x, y, z z malého okolí bodu x, y, z. Je-li poloměr ϱ koule Kϱ dostatečně malý, pak výše

8 . GAUSSOVA VĚTA 67 zmíněná podmínka nastane a v posledním integrálu v.7 integrujeme funkci v absolutní hodnotě nepřevyšující ε. Můžeme pokračovat v odhadu.7: 3 4 π ϱ 3 ε 3 4 π ϱ 3 ε objemkϱ ε. Kϱ Podle definice limity jsme dokázali lim ϱ + objemkϱ K F ds div F x, y, z, což je přesně rovnost.5. Reprezentuje-li F jako vektorové pole rychlostí dané kapaliny, pak podíl Kϱ F ds objemkϱ můžeme chápat jako poměr mezi průtokem povrchem koule a jejím objemem. Divergence div F x, y, z pak udává tendenci tohoto poměru zmenšuje-li se poloměr k nule. Jinými slovy, pro malé okolí bodu x, y, z je průtok tímto okolím přibližně roven součinu divergence div F x, y, z a jeho objemu. Je-li dále div F x, y, z > převládá tok směrem od bodu x, y, z. V tomto případě nazýváme bod x, y, z zřídlem. Je-li na druhé straně div F x, y, z <, je celková bilance proudění v blízkosti bodu x, y, z záporná. V teorii proudění se takovýto bod nazývá norou negativním zřídlem. Je-li div F x, y, z v jisté oblasti G, pak je z Gaussovy věty tok přes každou uzavřenou plochu v oblasti G nulový. Podle vztahu.5 platí i opačné tvrzení. Rovnice div F tedy popisuje ustálené proudění. Z těchto důvodů se vektorové pole s nulovou divergencí nazývá nezřídlové. Příkladem nezřídlového pole je magnetické pole B, které není na rozdíl od pole elektrostatického vytvářeno nábojem. Matematickou formulací tohoto fyzikálního zákona je jedna z Maxwellových rovnic div B. Na závěr tohoto odstavce se budeme krátce věnovat fyzikálnímu významu Laplaceova operátoru. Připomeňme, že má-li funkce f spojitě diferencovatelné derivace druhého řádu na oblasti G R 3, pak Laplaceův operátor f je definován vztahem f 2 f x f f z 2. Představme si nyní, že vektorové pole F je dáno největším spádem funkce f, tedy nechť F grad f. Tomuto typu pole se budeme podrobně věnovat v následující kapitole. V tomto případě je div F f div x, f, f 2 f z x f f z 2 f. Laplaceův operátor tedy můžeme chápat jako hustotu zdrojů pole F tok pole F každou oblastí K v oblasti G je roven integrálu K f.

9 68 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Na základě dřívějších úvah můžeme odvodit rovnici pro ustálené tepelné proudění. Uvažujme oblast G v prostoru R 3. Nechť fx, y, z je teplota v bodě x, y, z G. K vyrovnání teplot tepelnému proudění v různých bodech oblasti G dochází vždy ve směru největšího teplotního rozdílu, tedy ve směru gradientu funkce f. Jinak řečeno, tepelné proudění je dáno vektorovým polem F grad f. Jestliže v oblasti G nastal stav tepelné rovnováhy, pak tepelný tok přes každou uzavřenou plochu je nulový. Znamená to, že div F, a tedy, jak jsme si právě uvědomili, tato podmínka je ekvivalentní s rovnicí f. Studiem těchto rovnic se zabývá důležitá oblast matematické analýzy harmonická analýza. 2 Greenova věta Greenova věta vyjadřuje vztah mezi křivkovým integrálem vektorového pole vzhledem k hranici rovinné oblasti a dvojrozměrným integrálem přes tuto oblast. Před formulací věty si musíme říci, co rozumíme kladnou orientací uzavřené jednoduché křivky v rovině vzhledem k množině. Nechť T R 2 je základní oblast. Pak její hranice T je uzavřená jednoduchá křivka. Řekneme, že T je kladně orientovaná vzhledem k T, jestliže při procházení hranice ve směru parametrizace máme množinu T nalevo. Věta.8. Greenova věta. Nechť T R 2 je základní oblast, jejíž hranice T je kladně orientovaná vzhledem k T. Nechť F F, F 2 je vektorové pole třídy C na T. Pak platí F2.8 F x F. T T Důkaz. Důkaz Greenovy věty je založen na aplikaci věty Gaussovy. Definujme nejdříve oblast Q T, v prostoru R 3, která je zobecněným válcem s půdorysem T a výškou, viz. obr..2. z Q y x T Obr..2. Označíme si pomocné vektorové pole Hx, y, z F 2 x, y, F x, y,. To je vektorové pole třídy C na Q. Nechť Q je hranice oblasti Q orientovaná vnějším normálovým polem. Podle Gaussovy věty máme.9 H div H. Q Q T

10 2. GREENOVA VĚTA 69 Prozkoumáme obě strany této rovnice. Začneme s pravou stranou. Rozepsáním trojného integrálu dostaneme. Q div H Q F2 x F T F2 x F dz T F2 x F, neboť F 2 x F nezávisí na z. Podívejme se nyní na plošný integrál v rovnosti.9. Hranice Q je sjednocením tří ploch dolní podstavy, tj. množiny {x, y, x, y T }; horní podstavy, tj. množiny {x, y, x, y T } a pláště, tj. plochy P {x, y, z x, y T, z }. Vzhledem k tomu, že vektorové pole H je rovnoběžné s rovinou xy, je skalární součin tohoto pole s jednotkovým normálovým polem na horní a dolní podstavě nulový. Celý tok se tak realizuje na plášti: H H H n, Q P P kde n je vnější normálové pole. Označme τ τ, τ 2 jednotkové tečné pole ke křivce T souhlasné s její orientací. Vnější normála v tomtéž bodě pak má souřadnice τ 2, τ. Odtud ihned plyne, že vnější jednotková normála k plášti P má tvar n τ 2, τ,. Takže. H n F 2, F, τ 2, τ, F τ + F 2 τ 2 P P T P F τ + F 2 τ 2 dz T F τ Využili jsme toho, že ani pole F ani parametrizace křivky T nezávisí na z tové souřadnici. Tato rovnost spolu s. dává dokazované tvrzení. T F. Příklad.9. Pomocí Greenovy věty určete integrál y 3 + ln x dx + x 3 + y 2 dy, kde je kladně orientovaná hranice oblasti T R 2 dané nerovnostmi x 2 + y 2 6, x y 3x. V daném případě je výpočet pomocí Greenovy věty jednodušší než přímý výpočet zadaného křivkového integrálu. Platí totiž y 3 + ln x dx + x 3 + y 2 dy 3x 2 + 3y 2. T

11 7 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Výpočtem v polárních souřadnicích pak máme T je část kruhové výseče G 3x 2 + 3y 2 3 π/3 4 π/4 π ϱ 3 dϱ 3 3 π 4 [ ϱ 4 4 ] π. Greenova věta má podobný význam pro teorii rovinného pole jako Gaussova věta pro teorii pole prostorového. Podobně jako v dřívějším výkladu tak můžeme dát fyzikální význam divergenci rovinného pole vydatnost zdrojů rovinného proudění i Laplaceově operátoru funkce dvou proměnných. 3 Stokesova věta Greenovu větu je možno chápat jako vztah mezi křivkovým integrálem přes kraj tj. hranici rovinné plochy a plošným integrálem přes tuto rovinnou plochu. V řadě důležitých aplikací je nutno uvažovat obecnější situaci, ve které je rovinná plocha vyzdvižena do trojrozměrného prostoru a deformována. Toto křivočaré zobecnění Greenovy věty je věta Stokesova. K její formulaci budeme potřebovat pojem rotace vektorového pole. Definice.. Nechť F F, F 2, F 3 je vektorové pole třídy C v otevřené množině G R 3. Rotací vektorového pole rozumíme vektorové pole definované v G, k jehož označení používáme symbol rot F, definované rovností rot F F3 F 2 z, F z F 3 x, F 2 x F Méně korektně, ale přehledněji můžeme rotaci pole F chápat jako symbolický vektorový součin formálního diferenciálního operátoru x,, z a pole F F, F 2, F 3. Použijeme-li k výpočtu tohoto součinu symbolický determinant, dostáváme následující mnemotechnickou pomůcku rot F x z F F 2 F 3 i j k. Příklad.. i Nechť F x, y, z y 2 + z 2, x 2 + z 2, x 2 + y 2. Pak rot F x z y 2 + z 2 x 2 + z 2 x 2 + y 2 i j k 2y 2z i + 2z 2x j + 2x 2y k. ii Je-li F x, y, z F x, y, F 2 x, y,, kde F a F 2 jsou spojitě diferencovatelné v oblasti D R 2, pak rot F x z F x, y F 2 x, y i j k F2 x F k. Všimněme si, že rotace tohoto, ve své podstatě rovinného vektorového pole, je dána diferenciálním výrazem F 2, který se vyskytuje v Greenově větě. x F.

12 3. STOKESOVA VĚTA 7 Při formulaci Greenovy věty bylo důležité, že křivka C R 2 ohraničující rovinnou základní oblast T byla orientována kladně. Tento fakt můžeme vyjádřit ekvivalentně ve formě, která se více hodí pro zobecnění. Množinu T ležící v rovině xy můžeme orientovat pomocí jednotkového konstantního normálového pole k. Jestliže se pohybujeme po křivce C T v kladném smyslu a máme hlavu ve směru vektoru k pak při tomto pohybu máme oblast T vždy po levé ruce. Řekneme, že za těchto předpokladů je křivka C orientována souhlasně s orientovanou plochou T. Touto personifikací budeme definovat i souhlasnou orientaci kraje a plochy v obecném případě. Nechť M je orientovaná elementární plocha, jejíž kraj tvoří uzavřená, jednoduchá křivka C. Řekneme, že orientovaná plocha M a orientovaná křivka mají souhlasnou orientaci, jestliže plocha M je vždy po levé straně, za předpokladu, že se pohybujeme po křivce C ve smyslu její orientace a to tak, že hlava má směr normálového pole plochy M viz. obr..3. z n C M y x Obr..3. Uvedené vymezení pojmu souhlasná orientace není matematická definice v rigorózním slova smyslu, neboť se opírá o personifikovaný model. Méně personifikovaně bychom to mohli říci tak, že souhlasná orientace nastane, když tečný vektor τ a normálový n v každém bodě kraje KM jsou takové, že n τ generuje tečnou polopřímku k M. I tuto formulaci lze však matematicky precizovat do zcela exaktní podoby. Vzhledem k tomu, že přesná a méně názorná matematická definice nám v praktických situacích neřekne nic více než naše intuitivní představa, nebudeme ji uvádět. Pomocí výše uvedených pojmů se nyní Greenova věta pro rovinnou oblast T R 2 orientovanou normálovým polem k a se souhlasně orientovaným krajem T a pro vektorové pole F x, y, z F x, y, F 2 x, y, změní do tvaru: F rot F. T T Tento vztah nás vede ke Stokesově větě. Traduje se, že důkaz této věty zadal vynikající anglický matematik G.G.Stokes v roce 854 studentům, jako jeden z příkladů u zkoušky na Universitě v Cambridge. Myšlenka tohoto důkazu se totiž opírá o použití tehdy již dobře známé Greenovy věty. Méně známé je, že mu tento problém navrhl lord Kelvin. Autoři této učebnice však nebudou tak přísní a důkaz alespoň ve speciálním případě uvedou. Věta.2. Stokesova věta Nechť vektorové pole F je třídy C na otevřené množině obsahující elementární orientovanou plochu M. Předpokládejme, že kraj plochy M je uza-

13 72 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY vřená jednoduchá křivka C KM. Při souhlasné orientaci plochy M a křivky C platí.2 F rot F. M Důkaz. Nechť elementární plocha M je dána grafem funkce gx, y na základní oblasti T R 2. Dále budeme předpokládat, že g má spojité všechny parciální derivace druhého řádu na oblasti T, tj. je třídy C 2 na T. Nechť T je kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka, viz obr..4. z n M C y x T Obr..4. T Označíme si ϕt ϕ t, ϕ 2 t,, t a, b, parametrizaci křivky T. Liší se od ϕt ve třetí složce, která je zvednuta do správné výšky grafu funkce gx, y. Budeme-li předpokládat, že plocha M je orientována normálovým polem s kladnou složkou z, pak kraj plochy M bude s touto plochou souhlasně orientován, použijeme-li přirozenou parametrizaci ψt ϕ t, ϕ 2 t, gϕ t, ϕ 2 t, t a, b. Ta se liší od parametrizace ϕt ve třetí složce, neboť příslušný bod leží na ploše M. Podle definice je F F τ b F ψ ψ dt C b a b a a F ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 ϕ + F 2ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 ϕ 2 g + F 3 ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 x ϕ + g ϕ 2 dt [ F ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 + g ] x F 3ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 ϕ + [ + F 2 ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 + g ] F 3ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 ϕ 2 dt.

14 3. STOKESOVA VĚTA 73 Zavedeme si nové rovinné vektorové pole G G, G 2 vztahy.3.4 G x, y F x, y, gx, y + g x F 3x, y, gx, y, G 2 x, y F 2 x, y, gx, y + g F 3x, y, gx, y. Pak poslední integrál se zjednoduší do tvaru b a G ϕ, ϕ 2 ϕ + G 2ϕ, ϕ 2 ϕ 2 dt T G τ T G. Takže zatím máme.5 F G. T Pro toto nové rovinné pole G použijeme Greenovu větu: G 2.6 G x G. T T Zbývá vyjádřit výraz za dvojným integrálem pomocí původního pole F. K tomu užijeme převodní vztahy.3 a.4. Odtud T G 2 x G T T F 2 x + F 2 g z x + 2 g x F 3 + g F3 x + F 3 g z x D F g z 2 g x F 3 g F3 x + F 3 g z F g x F3 F 2 z T g g x, g, T F z F 3 x + F2 x F F3 F 2 z, F z F 3 x, F 2 x F. V tomto tvaru již poznáváme vnější normálu n g x, g., Druhý člen je ovšem rotace pole F. Dostali jsme tak G 2.7 x G rot F x, y, gx, y nx, y, gx, y M rot F n M rot F. Spojení.5,.6 a.7 zakončuje důkaz.

15 74 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Na závěr si uvědomme, že máme-li dokázánu Stokesovu větu pro případ elementárních ploch daných grafy funkcí se spojitými derivacemi druhého řádu, můžeme tuto větu lehce dokázat i pro plochy, které mají rozklad na elementární plochy tohoto typu. Křivkové integrály přes společné části hranic dílčích ploch mají opačné znaménko, a tak sečtením rovností.2 platných pro všechny dílčí plochy získáme Stokesův vzorec i pro tento obecný případ. Příklad.3. Pomocí Stokesovy věty vypočítejte y dx + z dy + x dz, kde C je průnik kulové plochy o rovnici x 2 + y 2 + z 2 a roviny x + y + z. Křivka je orientována tak, že průmět do roviny xy se pohybuje v kladném smyslu. Pole, které se zde vyskytuje je F y, z, x. Křivka C je kružnice, která je okrajem kruhu M ležícího v rovině o rovnici x+y +z a mající střed v bodě 3, 3, 3. Z elemen Orientujeme-li tární analytické geometrie můžeme zjistit, že poloměr tohoto kruhu je M pomocí normálového pole nx, y, z 3,,, dostaneme podle Stokesovy věty F rot F rot F n M M M,,,, M π 2 3 π. Fyzikální význam rotace Stokesova věta vysvětluje fyzikální význam rotace vektorového pole. Předpokládejme, že pole F je spojitě diferencovatelné v nějakém okolí bodu x, y, z. Nechť Cϱ a Kϱ jsou kružnice a kruh se středem v bodě x, y, z a poloměrem ϱ >, které leží v pevně zvolené rovině σ. Nechť n je konstantní jednotkové normálové pole plochy Kϱ určující její orientaci. Předpokládejme dále, že Cϱ a Kϱ mají souhlasnou orientaci. Následující tvrzení dává analogii vztahu.5. Tvrzení.4. Při splnění výše uvedených předpokladů platí Cϱ F.8 lim ϱ + obsahkϱ rot F x, y, z n. Důkaz. Ze Stokesovy věty máme F rot F rot F n. Cϱ Kϱ Kϱ

16 4. CVIČENÍ 75 Podle Věty 9.6 existuje bod x ϱ, y ϱ, z ϱ Kϱ tak, že rot F n rot F x ϱ, y ϱ, z ϱ n obsahkϱ. Kϱ Tedy lim ϱ + Cϱ F obsahkϱ lim ϱ + rot F x ϱ, y ϱ, z ϱ n rot F x, y, z n. Interpretujeme-li integrál F jako práci pole F při pohybu po kružnici Cϱ, můžeme poměr v limitě rovnosti.8 chápat jako poměr mezi energií pohybu po dané křivce a obsahem oblasti, kterou křivka vymezuje. Skalární součin rot F x, y, z n tak na základě.8 vyjadřuje tendenci těchto poměrů pro poloměry konvergující k nule. Jeli ϱ malé, pak je práce pole po křivce Cϱ přibližně rovna součinu rot F n obsahkϱ. Hodnotu skalárního součinu n rot F x, y, z tak můžeme chápat jako míru vířivosti pole F v bodě x, y, z kolem osy dané vektorem n. Tato charakteristika bude v absolutní hodnotě největší, bude-li n násobkem vektoru rot F x, y, z a nejmenší, tj. nulová, budeli n vektor kolmý k vektoru rot F x, y, z. Vektor rotace tak udává směr osy největší vířivosti pole F. Volněji můžeme výsledky předchozích úvah demonstrovat následujícím příkladem. Představme si, že F je rychlostní pole proudící kapaliny, do které ponoříme lopatkový mlýnek. Pak energie mlýnku bude největší, nastavíme-li osu mlýnku ve směru rot F v daném bodě. Volíme-li naopak osu kolmou na vektor rotace, bude energie nulová. Vektorové pole, pro které platí, že rot F v každém bodě otevřené množiny G R 3, se nazývá nevírové. Takovéto vektorové pole má nulovou energii otáčení kolem jakékoliv osy. Těmito typy vektorových polí se budeme zabývat v následující kapitole. 4 Cvičení Úloha. Pomocí Gaussovy věty určete integrál x dy dz + y dz dx + z dx dy, M kde M je kulová plocha o rovnici x 2 +y 2 +z 2 a 2 orientovaná vnějším normálovým polem. Řešení. Jedná se o pole F x, y, z a jeho tok plochou M. Podle Gaussovy věty aplikované na kouli G se středem v počátku a poloměrem a máme x dy dz + y dz dx + z dx dy div F 3 4πa 3. M Tento příklad je typickou ukázkou použití Gaussovy věty - vektorové pole má konstantní divergenci a tedy hledaný integrál je roven součinu této divergence s objemem tělesa známým z elementární geometrie. G G

17 76 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Úloha. Určete tok pole F xz, xy, yz povrchem M válce daného nerovnostmi x 2 + y 2 9, z 8. Orientace je dána vnitřním normálovým polem. Řešení. Označíme-li symbolem V daný válec, pak M F V div F V z + x + y V z, neboť jsme využili nulovosti některých integrálů na základě symetrie dané oblasti. Výpočet můžeme pohodlně dokončit v cylindrických souřadnicích V 8 z 2π 3 3 ϱz dϱ dϕ dz 2π 8 ϱ dϱ z dz 288π. I v tomto případě bylo použití Gaussovy věty výhodné, neboť integraci polynomu stupně dva v proměnných x, y, z převedla na integraci polynomu stupně jedna. Úloha. Nechť G je základní oblast v prostoru R 3, jejíž hranicí je uzavřená plocha G. Ukažte, že pro objem V oblasti G platí V 3 G x dy dz + y dz dx + z dx dy, za předpokladu, že G je orientována vnějším normálovým polem. Řešení. Bezprostřední aplikací Gaussovy věty pro vektorové pole F 3 x, y, z získáváme x dy dz + y dz dx + z dx dy V. 3 G Úloha. Na základě předchozího příkladu určete objem V elipsoidu daného nerovností x 2 a 2 + y2 b 2 + z2, a, b, c >. c2 Řešení. Použijeme-li pro popis povrchu elipsoidu zobecněných sférických souřadnic, tzv. eliptických souřadnic, máme parametrizaci Φϕ, ϑ a cos ϕ cos ϑ, b sin ϕ cos ϑ, c sin ϑ kde ϕ, 2π, ϑ π/2, π/2. G

18 4. CVIČENÍ 77 Využitím vztahu.8 a předchozího příkladu máme V x dy dz + y dz dx + z dx dy 3 3 M 2π π/2 π/2 2π 3 abc abc cos 2 ϕ cos 3 ϑ + abc sin 2 ϕ cos 3 ϑ + abc cos ϑ sin 2 ϑ dϕ dϑ π/2 π/2 2 πabc [sin ϑ]π/2 3 π/2 4 3 πabc. cos 3 ϑ + sin 2 ϑ cos ϑ dϑ dϕ 2π 3 abc π/2 π/2 cos ϑ dϑ Úloha. Podle Gaussovy věty z elektrostatiky platí pro vektor intenzity E elektrostatického pole a objemovou hustotu náboje ρ vztah.9 E ρ, ε T kde T je základní těleso v R 3, jehož hranicí T je uzavřená plocha orientovaná vnějším normálovým polem. Tento vzorec je vlastně spojitou verzí diskrétního případu z Příkladu.8. Odvoďte diferenciální podobu tohoto zákona. Řešení. Předpokládejme, že E je vektorové pole třídy C v jisté otevřené množině G R 3 a ρ je funkce spojitá v G. Zvolme bod x, y, z G. Pro libovolnou kouli Kr G se středem v bodě x, y, z a poloměrem r, jejíž hranice Kr je orientována vnějším normálovým polem, platí podle Gaussovy věty Ex, y, z div Ex, y, z. T Kr Kr Z.9 dostaneme Kr div Ex, y, z ρx, y, z. ε Protože uvedená identita platí pro každé r > dostatečně malé, musí být funkce div E ρ ε vzhledem ke své spojitosti nulová. Hledanou ekvivalentní podobou uvedené integrální rovnice je tedy vztah div Ex, y, z ρx, y, z ε pro všechna x, y, z G. Na podobném principu je založeno i odvození ostatních Maxwellových rovnic.

19 78 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Úloha. Pomocí Greenovy věty vypočtěte následující křivkové integrály i 3x xy y 3 dx 2xy x 2 dy, kde C je kladně orientovaná hranice čtverce,,. ii e x cos y dx e x y sin y dy, D kde hranice D oblasti D {x, y x, π, y sin x} je kladně orientovaná. Řešení. i 3x xy y 3 dx 2xy x 2 dy [2x 2y x 3y 2 ] 3x 2y + 3y ii e x cos y dx e x y sin y dy D D e x sin y y e x sin y π sin x e x y dy dx 2 D π e x y e x sin 2 x dx 5 eπ. Všimněme si, že v příkladě i bylo použití Greenovy věty výhodné, zatímco v případě ii dokonce nezbytné. Zkuste začít výpočet integrálu v ii přímou metodou. Úloha. Ukažte, že je-li C jednoduchá uzavřená křivka v R 2, pak obsah P omezené oblasti v R 2 s kladně orientovanou hranicí je možno vyjádřit pomocí následujících křivkových integrálů.2 P x dy,.2 P y dx,.22 P y dx + x dy. 2

20 4. CVIČENÍ 79 Vypočtěte pomocí těchto vztahů obsah rovinného útvaru omezeného osou x a částí cykloidy ϕt at a sin t, a a cos t, a >, t, 2π. Řešení. Zvolíme např..2. Vektorové pole, o které se v integrálu jedná, je F, x. Pak F 2 x F a dle Greenovy věty x dy dx dy P, D kde D je vnitřní oblast křivky C. Ostatní vztahy se dokáží zcela analogicky volbami F y, a F y 2, x 2. Pro výpočet druhé části příkladu je nejvýhodnější použít vzorec P x dy. Hranice se totiž skládá z oblouku cykloidy a intervalu na ose x. Přes úsek na ose x je však daný křivkový integrál nulový. Získáme takto P 3πa 2. x dy 2π at sin ta sin t dt a 2 Úloha. Pomocí Stokesovy věty určete integrál x + y dx x dy + x + y dz, kde křivka C je dána vztahy x 2 + y 2 2y, y z. 2π t sin t sin 2 t dt Orientace je definována tak, že průmět bodu do roviny xy se pohybuje v kladném smyslu. Návod: Při výpočtu použijte vztah pro obsah plochy omezené elipsou. Řešení. Křivka C je elipsa, která je průnikem válcové plochy o rovnici x 2 +y 2 s rovinou o rovnici y z. Pro vektorové pole F x + y, 2 + x, x + y máme rot F x z x + y 2 + x x + y i j k i j,,. Křivku C můžeme chápat jako okraj rovinného elipsoidu M ležícího v rovině dané rovnicí y z. Souhlasné orientace dosáhneme, orientujeme-li plochu konstantním normálovým polem,, nx, y, z. 2 Na základě elementární geometrie je možno stanovit, že elipsa má poloosy a 2 a tedy obsah příslušného elipsoidu je π 2. Nakreslete si průmět do roviny yz! Bezprostřední

21 8 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY aplikací Stokesovy věty pak máme x + y dx x dy + x + y dz,, d S,, M M,, 2 ds M ds π 2 π. 2 2 Uvedený příklad je typickou situací pro použití Stokesovy věty rotace integrovaného vektorového pole je konstantní, plocha má konstantní normálové pole tj. leží v jedné rovině a má obsah známý z elementární geometrie. V tomto případě je výsledek v absolutní hodnotě roven součinu obsahu dané plochy s hodnotou skalárního součinu rotace zadaného pole a pole normálového. Úloha. Určete F, kde F y i + x z 2 sin y j + z 3 + 2z cos y k a křivka C je průnikem dvou kolmých válcových ploch popsaným vztahy x 2 + y 2, x 2 + z 2, z. Znázorněte si zadání obrázkem! Křivka C je orientována tak, že průmět do roviny xy se pohybuje v kladném smyslu. Řešení: Křivka C je okrajem plochy M, kterou je možno popsat jako graf funkce fx, y x 2 definované v kruhu D daného nerovností x 2 + y 2. Pro rotaci vektorového pole F platí Vnější normála je n Stokesovy věty dostaneme F rot F x z y x z 2 sin y z 3 + 2z cos y i j k 2 k. f x, f, M D 2 k x x 2,, x i x 2 + k. Standardním použitím D 2 2π. 2 x k + x 2 i k Úloha: Určete y 2 + z 2 dx + x 2 + z 2 dy + x 2 + y 2 dz, kde C je průnik kulové plochy o rovnici x 2 + y 2 + z 2 2bx a válce o rovnici x 2 + y 2 2ax, < a < b, z. Orientace je dána kladnou orientací průmětu do roviny xy.

22 4. CVIČENÍ 8 Řešení. Křivka C je krajem plochy M, která je průnikem povrchu koule se středem v bodě b,, a poloměrem b s válcem se středem v bodě a,, a poloměrem a. Pro rotaci zadaného vektorového pole máme rot F x z y 2 + z 2 x 2 + z 2 x 2 + y 2 i j k 2y z, z x, x y. Pomocí Stokesovy věty dostaneme F d s 2 y z, z x, x y d S. M Jelikož plocha M je grafem funkce gx, y 2bx x 2 y 2, jejímž definičním oborem je kruh D {x, y x a 2 + y 2 a 2 }, je normálové pole indukované kartézskou parametrizací a přitom souhlasné se zadanou orientací x b nx, y, z 2bx x 2 y, y 2 2bx x 2 y,. 2 Zřejmě 2 y z, z x, x y ds M 2 D y 2bx x 2 y 2 x b 2bx x 2 y 2 x y + + x y 2bx x 2 y 2 2bx x 2 y 2 2b D V posledním kroku jsme díky symetrii položili rovnou D y 2b 2bx x 2 y 2 D y 2bx x 2 y 2. 2bπa 2. Úloha. Pro stacionární pole magnetické indukce B a hustotu elektrického proudu i v dané oblasti platí c 2 B d s i ds, ε kde c je rychlost světla Faradayův zákon. Předpokládá se při tom, že C a M jsou libovolná křivka a plocha v dané oblasti, které splňují předpoklady Stokesovy věty. Odvoďte diferenciální podobu tohoto zákona. Řešení. Při obvyklých předpokladech na spojitost vektorových polí B a i v dané otevřené množině G R 3 máme podle Stokesovy věty B d s c 2 rot B ds, c 2 M Cϱ Sϱ

23 82 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY pro jakýkoliv kruh Sϱ G se středem v pevně zvoleném bodě x, y, z a poloměrem ϱ > a pro jeho kraj Cϱ. Jinými slovy c 2 rot B i ds ε Sϱ pro malé každé ϱ >. Stejnou úvahou jakou jsme použili již výše máme c 2 rot B i n, ε kde n je normálový vektor plochy Sϱ. Protože n i bod x, y, z lze volit libovolně máme c 2 rot B i ε, což je hledaná diferenciální rovnice ekvivalentní Faradayově zákonu. Úloha. Nechť F je vektorové pole třídy C v R 3. Ukažte, že S rot F pro jakoukoliv kulovou plochu S. Řešení. Rozdělme danou sféru S na severní a jižní polokouli S a S 2 s příslušnými orientacemi pomocí vnější normály. Nechť R je rovník orientovaný souhlasně s polosférou S. Podle Stokesovy věty je rot F F a rot F F. S R S 2 R Sečtením těchto rovností dostaneme rot F F F. S R R Úloha. Nechť F je vektorové pole spojitě diferencovatelné v otevřené množině G R 3. Pomocí integrálních vět tj. bez přímého výpočtu ukažte, že div rot F. Řešení. Podle předchozího příkladu je S rot F, kde S G je libovolná kulová plocha. Z Gaussovy věty plyne div rot F, pro každou kouli K v oblasti G. To implikuje, že div rot F v G. K

24 4. CVIČENÍ 83. Ukažte, že tok vektorového pole F x, y, z x, y, z hranicí každého tělesa splňující předpoklady Gaussovy věty je roven trojnásobku objemu tohoto tělesa. 2. Nechť P je těleso vyhovující předpokladům Gaussovy věty, které je středově souměrná vzhledem k počátku. Ukažte, že pole F x, y, z x 2, y 2, z 2 má nulový tok přes hranici P M Pomocí Gaussovy věty vypočítejte následující integrály: 3. x 2 i + y 2 j + z 2 k ds, kde M je povrch krychle, a 3, orientovaný vnějším normálovým polem; x i +2y j +3z x 2 k ds, kde M je povrch elipsoidu se středem v počátku, osami M x, y, z a poloosami a, b, c. Orientace je dána vnějším normálovým polem; xz dy dz + xy dz dx + yz dx dy, kde M je povrch jehlanu omezeného rovinami M x, y, z, x + y + z. Orientace je dána vnějším normálovým polem; x 3 dy dz + y 3 dz dx + z 3 dx dy, kde M je povrch koule o poloměru a a středem M v počátku orientovaná vnějším normálovým polem; x y + z dy dz + y z + x dz dx + z x + y dx dy, M kde M {x, y, z x y + z + y z + x + z x + y }. Orientace je dána vnějším normálovým polem. Návod: integrál je roven trojnásobku objemu M. Pro výpočet objemu užijte nové souřadnice u x y +z, v x+y z a w x+y +z. 8. Nechť plocha omezující těleso A má ve sférických souřadnicích typu 8.5 rovnici ϱ fϕ, ϑ, ϕ, ϑ D. Ukažte, že objema 3 D f 3 cos ϑ. 9. Na základě předchozí úlohy stanovte objem tělesa, jehož hranice má ve sférických souřadnicích vyjádření ϱ a cos ϑ.. Nechť f a g jsou funkce třídy C 2 na základním tělese P R 3, jehož hranice je plocha orientovaná vnější normálou n. Označme df n grad f n d n projekci vektoru gradientu do normálového směru v bodech hranice. Ukažte pomocí Gaussovy věty aplikované na F grad f, že platí tzv. Greenovy formule a df P d n P f. b P f dg d n P f g + G grad f grad g.

25 84 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY. Nechť u je funkce třídy C 2 v R 3, pro kterou platí u. Ukažte, že du S d n pro každou uzavřenou plochu S s jednotkovým normálovým polem n, která splňuje předpoklady Gaussovy věty. Je nějaký fyzikální význam tohoto faktu? 2. Kapalina proudí v otevřené množině G R 3. Její rychlostní vektorové pole V nemá zřídla ani nory. Nechť ρx, y, z, t je hustota kapaliny v bodě x, y, z a čase t. Odvoďte rovnici proudění ρ t + divρ V. Návod: Změna hmotnosti v daném objemu se rovná hmotnosti kapaliny proteklé hranicí, tj. t M ρ M ρ V. 3. Nalezněte tok vektorového pole F k i grad qi 4πr i, kde r i je funkce udávající vzdálenost bodu od zřídla x i, y i, z i, přes uzavřenou plochu orientovanou vnějším normálovým polem, která obsahuje všechny body x i, y i, z i, i,... n, ve své vnitřní oblasti. 4. Ukažte, že yx3 + e y dx + xy 3 + xe y 2y dy, jeli C R 2 libovolná jednoduchá uzavřená křivka středově souměrná podle počátku. 5. Dokažte, že D 2xy y dx + x2 dy obsahd, kde D je základní oblast v R 2, jejíž hranice je orientovaná uzavřená jednoduchá křivka. Pomocí Greenovy věty vypočtěte následující křivkové integrály 6. y2 dx + x dy, kde je kladně orientovaná hranice čtverce, 2 ; 7. 3x2 cos y y 3 dx+x 3 3x 2 sin y dy, kde je jednotková kružnice se středem v počátku a kladnou orientací; 8. xe y2 dx+ x 2 ye y2 + dy, kde je kladně orientovaný obvod čtverce x 2 +y 2 a, a 2 ; 9. x + y dx x y dy, kde je kladně orientovaná elipsa s poloosami a, b a středem v počátku; 2. ex sin y 6y dx + e x cos y 6 dy, kde C je polokružnice daná podmínkami x 2 + y 2 ax, y, s počátečním bodem a, a koncovým bodem,. Návod: Doplňte polokružnici úsečkou na uzavřenou křivku. V následujících úlohách nalezněte obsah oblasti omezené zadanou křivkou 2. elipsou s poloosami a, b; 22 x t ln t, y t t 2, t, ; 23. smyčkou Descarteova listu o rovnici x 3 + y 3 3axy, x, y, a > ; Návod: Descarteův list je možno parametrizovat funkcemi x ϱ cos 2/3 ϕ, y ϱ sin 2/3 ϕ.

26 4. CVIČENÍ křivkou o rovnici y 2 x 2 x Pomocí Stokesovy věty odvoďte, že yz dx + xz dy + xy dz pro každou uzavřenou křivku C, která je krajem orientované plochy v R 3. V následujících úlohách spočtěte uvedené integrály s použitím Stokesovy věty. 26. y2 z 2 dx+z 2 x 2 dy+x 2 y 2 dz, kde C je řez povrchu krychle J, a 3 rovinou x+y+z 3 a 2. Orientace je určena pořadím bodů a 2,, a, a,, a 2, a, a 2, ; 27. y + z dx + z + x dy + x + y dz, kde C je elipsa s parametrickým vyjádřením ϕt asin 2 t, 2 sin t cos t, cos 2 t, t, π. Orientace je indukována uvedenou parametrizací. 28. y2 i + z 2 j + x 2 k d s, kde je obvod trojúhelníka s vrcholy a,,, a,,, a. Orientace je určena uvedeným pořadím vrcholů;. 29. y2 z 2 dx + x 2 z 2 dy + x 2 y 2 dz, kde C je uzavřená křivka s parametrizací ϕt a cos t, a cos 2t, a cos 3t, t, 2π. Orientace je dána zadanou parametrizací. 3. x2 y 3 dx + dy + dz, kde C {x, y, x 2 + y 2 r 2 }. Orientace je kladná. V následujících úlohách vypočtěte M rot F, kde 3. F x, y, z y i + z j + x k, a M je část paraboloidu z x 2 y 2, z. Normálové pole určující orientaci má přitom nezápornou z tovou složku; 32. F x, y, z y 2 i + xy j + xz k a M {x, y, z x 2 + y 2 + z 2, z }. Normálové pole určující orientaci má přitom nezápornou z tovou složku; 33. F x, y, z xz i y j + x 2 k a M je tvořena třemi stěnami čtyřstěnu ohraničeného rovinou s rovnicí 3x+y +3z 6 a souřadnicovými rovinami. Plocha přitom neobsahuje stěnu v rovině xy a je orientována vnitřní normálou. 34. Odhadněte absolutní hodnotu integrálu x2 + 2xyz i + z 3 x j + y 2 z 2 k, kde C je kružnice daná podmínkami x 2 + y 2 + z 2 ε 2, x + y + 2z 4 a ε je malé? 35. Nechť orientovaná křivka a orientovaná plocha M splňují předpoklady Stokesovy věty. Ukažte, že f grad g Mgrad f grad g, kde f, g jsou spojitě diferencovatelné funkce. Výsledky 3. 3a 4 ; 4. 8πabc; 5. /8; 6. 2π a5 5 ; 7. ; 9. π2 a 3 4 ; 3. n i q i; 6. 4; π; 8. ; 9. 2πab; 2. 2πa 2 ; 2. πab; 22. /36; a2 ; 24. 4/3; 26. 9a3 2 ; 27. ; 28. a 3 ; 29. ; 3. πr6 8 ; 3. π; 32. ; 33. ; 34. πε2 6.