Plošný integrál funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Plošný integrál funkce"

Transkript

1 Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho zavedení a studiu byla úloha stanovit celkové množství P (f, ) dané kvantity (hmotnost, elektrický náboj, apod.) na zadané ploše, známe-li její rozložení tedy hustotu popsanou nezápornou funkcí f. Podívejme se nejdříve na speciální případ, kdy je plocha rovinná: Nechť je základní oblast v rovině xy a nechť f(x, y) je spojitá funkce definovaná na. V tomto případě je celkové množství P (f, ) dáno dvojným integrálem (9.) P (f, ) = f. Výraz (9.) má i geometrický aspekt. Interpretujeme-li hodnotu f(x, y) jako výšku nad rovinou xy, pak je celkové množství P (f, ) rovno objemu tělesa omezeného grafem funkce f, viz Kapitola. Cílem dalšího výkladu bude vysvětlit jak je nutno změnit vztah (9.), změní-li se z rovinné plochy na obecnou. Nejdříve se pokusíme formulovat základní vlastnosti, které by měla hodnota P (f, ) splňovat, ať už je plocha jakákoliv. Vzhledem k tomu, že s matematickým popisem vlastností kvantitativních měr objektů máme již bohaté zkušenosti, jistě nepřekvapí, že si opět vybereme vlastnost aditivity a monotonie jako základní. A jako obvykle začneme s objektem s co možná nejjednodušším popisem s elementární plochou. Reprezentuje-li funkce f např. hustotu rozložení hmoty, je axiom aditivity vyjádřením samozřejmé skutečnosti, že celková hmotnost je součet hmotností částí plochy, které tvoří její rozklad a v podstatě se nepřekrývají. Tedy (A) P (f, ) = P (f, ) + P (f, ), kdykoliv elementární plochy, tvoří rozklad plochy takový, že K( ) K( ). Tato podmínka slovy vyjadřuje, že plochy a se protínají pouze v krajích a tedy nemají žádný společný vnitřní bod. Axiom () pak postuluje pozorování, že hmotnost 35

2 36 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE plochy se bude pohybovat v rozmezí mezi min (f) obsah() a max (f) obsah(), tedy mezi hmotnostmi homogenních ploch, jejichž hustota je dána extrémy funkce f. () min (f) obsah() P (f, ) max(f) obsah(). V následující větě ukážeme, že axiomům (A) a () je možno vyhovět a to pouze jedinou volbou hodnoty P (f, ). ůkaz této věty má strukturu, se kterou jsme se už setkali a jejíž vzor je v důkazu Věty.9. Věta 9.. Existuje pouze jediné zobrazení P, které každé elementární ploše dané funkcí g na základní oblasti a funkci f spojité na přiřadí číslo P (f, ) tak, že jsou splněny axiomy (A) a (). Navíc, (9.) P (f, ) = f(x, y, g(x, y)) + + x. y ůkaz. je elementární plocha daná grafem funkce g definované na základní oblasti. Nechť je dělení základní oblasti. Ke každému prvku R přiřadíme část plochy ležící nad R. Označme tuto část symbolem R : { } R = (x, y, z) R 3 (x, y) R, z = g(x, y). Nyní definujme následující variantu horních a dolních integrálních součtů S(f, ) = R max R (f) obsah( R ) S(f, ) = R min R (f) obsah( R ). onotonie a aditivita implikují zcela stejným způsobem jako při důkazu Tvrzení.8, že S(f, ) P (f, ) S(f, ). Tím rovněž (9.3) sup S(f, ) P (f, ) inf S(f, ), kde infima a suprema se uvažují vzhledem ke všem dělením oblasti. Pokusme se nyní dokázat, že dolní a horní odhady čísla P (f, ) v nerovnosti (9.3) splývají. Nerovnost sup S(f, ) inf S(f, ) platí automaticky díky (9.3). Budeme tedy dokazovat nerovnost obrácenou. K tomu opět využijeme vlastnost stejnoměrné spojitosti. Pomocná funkce h(x, y) = f (x, y, g(x, y)) je spojitá na. Podle Věty. je stejnoměrně spojitá. Znamená to, že pro každé ε > je možno nalézt δ > takové, že pro jakékoli dělení oblasti s normou < δ platí max(h) min (h) ε R R

3 . EFINICE A VÝPOČET 37 pro všechna R. To je ale to samé, že oscilace funkce f na každém R je menší než ε, tj. max(f) min(f) ε R R pro všechna R. Pro rozdíl horního a dolního součtu pak máme S(f, ) S(f, ) = R (max R (f) min R (f)) obsah( R ) ε R obsah( R ) = ε obsah(). Odtud inf S(f, ) S(f, ) S(f, ) + ε obsah() sup S(f, ) + ε obsah(). Protože ε můžeme volit libovolně, získáváme obrácenou nerovnost. Celkově tak platí (9.4) sup S(f, ) = inf S(f, ). íky nerovnostem (9.3) může existovat pouze jediná hodnota P (f, ) vyhovující axiomům (A) a () a to P (f, ) = sup S(f, ) = inf S(f, ). V této chvíli máme dokázáno, že existuje-li zobrazení P (f, ) s požadovanými vlastnostmi, je jediné. V dalším kroku ověříme, že zobrazení P (f, ) skutečně existuje a zároveň dokážeme integrální vyjádření pro P (f, ). Položíme-li P (f, ) = f(x, y, g(x, y)) + + x, y tak vzhledem k aditivitě integrálu vůči integračnímu oboru tím jistě vyhovíme axiomu aditivity. Na základě monotonie dvojného integrálu pak máme P (f, ) max (f) = max (f) x + x y = max y (f) obsah(), kde jsme v posledním kroku využili (8.6). Pro minimum se postupuje zcela analogicky. Tím jsme dokázali platnost axiomů (A) a () pro P (f, ) z (9.). Vidíme, že alespoň jedno zobrazení s vlastnostmi (A) a () existuje. Z první části důkazu už víme, že takových zobrazení nemůže být více. Proto P (f, ) existuje právě jediné a platí (9.)

4 38 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE efinice 9.. Nechť f je spojitá funkce na elementární ploše. Číslo P (f, ) z Věty 9. nazýváme plošný integrál funkce f vzhledem k ploše. K jeho označení používáme symbol f ds nebo stručnější vyjádření f. Tento integrál se někdy nazývá plošný integrál. druhu. Při výše zavedeném označení nám Věta 9. dává vzorec pro výpočet plošného integrálu ve tvaru (9.5) f ds = f(x, y, g(x, y)) + +. x y Speciálně pro f = má ds hodnotu obsahu plochy. Příklad 9.3. Určete hmotnost m části hyperbolického paraboloidu z = xy, x + y r, r >, je-li hustota f(x, y, z) = + x + y z. Vzhledem k tomu, že uvedená plocha je grafem funkce g(x, y) = xy definované na kruhu o poloměru r a středem v počátku máme + + x = + x y + y. Podle (9.5) je m = + x + y z ds = Přechodem k polárním souřadnicím tak dostaneme ( + x + y ) xy. m = π r ( + ϱ )ϱ 3 cos ϕ sin ϕ dϱ dϕ = r ( + ϱ )ϱ 3 dϱ [ ϱ 4 = 4 + ϱ6 6 ] r π/ π sin ϕ dϕ sin ϕ dϕ = r 4 ( r 3 + Podobně jako při výpočtu obsahu plochy je často při výpočtu plošného integrálu výhodné (ba mnohdy nutné) použít k popisu dané plochy jiné než kartézské souřadnice. Nechť je plocha v R 3 a nechť Φ: je její parametrizace. Rozložíme plochu na elementární plochy,..., n, které budou mít stejnou parametrizaci Φ uvažovanou na částech,..., n základní oblasti. Plošný integrál přes jednu elementární plochu i se pomocí parametrizace Φ: i i se vyjádří jako (9.6) f ds = f(φ) s t. i i ).

5 . EFINICE A VÝPOČET 39 (Zde opět f(φ) je zkrácený zápis výrazu f(φ) = f(φ, Φ, Φ 3 ), kde Φ = (Φ, Φ, Φ 3 )). Ke vztahu (9.6) se dojde zcela stejně jako v Tvrzení 8.6 použitím věty o substituci. Nebudeme toto odvození zde provádět detailně, neboť se téměř neliší od důkazu již zmíněného Tvrzení 8.6. Pokročíme ale dále k následující větě: Věta 9.4. Nechť R je základní oblast a Φ: R 3 je spojitá parametrizace plochy prostá a třídy C na vnitřku. Pak pro každou spojitou funkci f na platí (9.7) f ds = f(φ) s t. ůkaz. Plochu si rozložíme na elementární plochy,..., n tak, že pro ně můžeme už použít vzorec (9.6). Protože příslušné,... n tvoří rozklad oblasti, můžeme psát f ds = n i= i f ds = n i= i f(φ) s t = f(φ) s t. Příklad 9.5. Vypočtěte integrál (x + y + z) ds, kde je část rotačního paraboloidu z = a x y, x + y a 4, a >. Z hlediska plochy i integrované funkce je výhodné vyjádřit plochu v cylindrických souřadnicích x = ϱ cos ϕ (= Φ (ϱ, ϕ)) y = ϱ sin ϕ (= Φ (ϱ, ϕ)) z = a ϱ (= Φ 3 (ϱ, ϕ)), kde ϱ, a, ϕ, π. Vzhledem k tomu, že ϱ ϕ = ϱ + 4ϱ, máme (x + y + z) ds = = πa a/ π a/ (ϱ + a ϱ )ϱ + 4ϱ dϱ dϕ ϱ + 4ϱ dϱ = πa 6 [( + 4ϱ ) 3/] a/ = πa ( ( + a 6 ) 3 ).

6 4 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE V závěru této kapitoly uvedeme větu o střední hodnotě pro spojité funkce na ploše. Věta 9.6. Nechť f je spojitá funkce na ploše R 3. Pak existuje bod (x, y, z) takový, že f ds = f(x, y, z) obsah(). Poznámka 9.7. Hodnotu výrazu na ploše. obsah() f ds nazýváme střední hodnota funkce f ůkaz. Podobně jako v důkazu Věty 6.6 platí min (f) obsah() f ds max (f). Vzhledem k tomu, že f je spojitá funkce na souvislé množině, je jejím oborem hodnot interval min (f), max (f). Tedy existuje alespoň jeden bod, řekněme (x, y, z), realizující střední hodnotu ve smyslu rovnosti obsah() f ds = f(x, y, z). Příklad 9.8. Určete jakou průměrnou teplotu by měla Země za předpokladu, že průměrná teplota je stejná ve všech místech se stejnou zeměpisnou šířkou a lineárně klesající v závislosti na zeměpisné šířce a to od 5 o C na rovníku k 3 o C na pólu. V matematické formulaci je průměrná teplota dána střední hodnotou funkce T, která bodům o sférických souřadnicích (ϕ, ϑ) přiřadí hodnotu T (ϕ, ϑ) = 5 ϑ π. Pro průměrnou teplotu T pak dostaneme podle Poznámky 9.7 T = T ds, S() kde je povrch sféry o poloměru r( = km) a S() = 4πr. Provedením výpočtu ve sférických souřadnicích (viz (8.6)) dostaneme T ds = π π/ π/ ( 5 ϑ ) r cos ϑ dϑ dϕ π = 5S() π π/ ( π r ϑ cos ϑ dϑ = 5S() 44r π ).

7 . CVIČENÍ 4 Tedy T = 5S() 44r ( π ) S() = 5 π ( π ).= 5, ( o C). Cvičení Úloha. Určete (x + y + z) ds, kde je průnik kulové plochy a válce daný podmínkami x + y + z = r, z a x + y r /4. Řešení. Plocha je reprezentována grafem funkce Pak g(x, y) = r x y, kde x + y r x = y r r x y. Označíme-li = {(x, y) x + y r 4 }, máme (x + y + z) ds = (x + y + r x y r ) r x y = r Vzhledem k symetrii integrované funkce na oblasti je x + y r x y =. x + y r x y + r. Závěrem tedy máme (x + y + z) ds = r = rπ r 4 = π 4 r3. Úloha. Určete x + y ds, kde je povrch koule se středem v počátku a poloměrem r. Řešení. Podobně jako v předchozích příkladech použijeme sférických souřadnic (ϕ, ϑ). Pak dle (9.7) x + y ds = π π/ π/ = πr 3 π/ r cos ϑ r cos ϑ dϑ dϕ = πr 3 π/ π/ + cos ϑ dϑ = π r 3. π/ cos ϑ dϑ

8 4 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE Úloha. Vypočtěte z ds, kde = {(t cos s, t sin s, s) (s, t), π, a }. Řešení. Plocha, tzv. helikoid, je sjednocením částí šroubovic, jejichž poloměr se pohybuje od do a. Z geometrického názoru vidíme, že je grafem funkce. K výpočtu však použijeme původně zadanou parametrizaci Φ(s, t) = (t cos s, t sin s, s) (s, t), π, a. Pak Jelikož platí = ( t sin s, t cos s, ), = (cos s, sin s, ). s t s = + t, t =, s t =, s t = ( + t ) = + t. Nyní již můžeme přistoupit k výpočtu zadaného integrálu z ds = a π = 4π s + t ds dt = π s ds a [ t + t + ln t + a + t ] + t dt ( = π a + a + ln(a + ) + a ). Úloha. Vypočtěte těžiště homogenní plochy (tj. plochy s konstantní hustotou), je-li = {(x, y, z) x + y = z, z }. Řešení. Souřadnice těžiště plochy homogenního tělesa jsou střední hodnoty vzdáleností od souřadných rovin. Pro složky T = (x t, y t, z t ) tedy platí, x t = ds x ds, y t = ds y ds, z t = ds z ds. V našem případě se jedná o část rotačního paraboloidu, takže v důsledku symetrie vůči ose z platí x t = y t =. Stačí tedy určit souřadnici z t. Plocha je grafem funkce g(x, y) = (x + y ), definované na kruhu se středem v počátku a poloměrem. Platí tedy ds = + x + y.

9 . CVIČENÍ 43 Přechodem k polárním souřadnicím pak máme π ds = ϱ + ϱ dϱ dϕ = π 3 (5 5 ). Analogickým výpočtem dostaneme z ds = (x + y ) + x + y = π = π ϱ 3 + ϱ dϱ dϕ ϱ 3 + ϱ dϱ = π ( ) Pro hledanou souřadnici těžiště proto platí z t = Úloha. Vypočtěte hydrostatickou sílu, která působí na stěnu nádoby tvaru rotačního paraboloidu z = x + y, z, je-li nádoba naplněna kapalinou o hustotě ρ. Řešení. Podle Pascalova zákona jsou složky hydrostatické síly F = (F, F, F 3 ) působící na obecnou plochu dány plošnými integrály (9.8) F i = ρg hn i ds, i =,, 3, kde h(x, y, z) je funkce udávající hloubku v bodě (x, y, z) a a n i (x, y, z) (i =,, 3) jsou složky vnější jednotkové normály k ploše v bodě (x, y, z). V našem případě je plocha grafem funkce g(x, y) = x + y, x + y. Funkce h určující hloubku je funkce h(x, y, z) = z. Vnější jednotková normála je v bodě (x, y, z) dána vztahem ( g x, g ) y, n(x, y, z) = ( g x, g y, ) = (x, y, ) 4x + 4y +.

10 44 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE Označíme-li symbolem jednotkový kruh, dostaneme pro složku F 3 hledané síly vztah F 3 = ρg ( z)n 3 (x, y, z) ds = ρg ( x y ) 4x 4x + 4y + + 4y + = ρg ( x y ). Přechodem k polárním souřadnicím pak dostaneme π F 3 = ρg dϕ ( ϱ )ϱ dϱ = πρg. Vzhledem k symetrii uvažovaného tělesa je zřejmé, že F = F =. (Tuto intuici si můžete ověřit výpočtem.) Celková hydrostatická síla je tedy F = (,, πϱg ). K tomuto výsledku jsme mohli dospět i jinak. Archimédův zákon nám říká, že velikost síly F 3 se rovná tíze kapaliny uvnitř paraboloidu. Tedy F 3 = ρgv, kde V je objem paraboloidu. Výpočtem zjistíme, že V = π/. Úloha. Určete potenciál V gravitačního pole F v bodě (x, y, z ), které je dáno homogenní kulovou plochou s rovnicí jejíž plošná (konstantní) hustota je ϱ. x + y + z = r, r >, Řešení. Gravitační potenciál v bodě (x, y, z ) vytvořený plochou s plošnou hustotou ρ(x, y, z) je definován jako plošný integrál (9.9) U(x, y, z ) = κρ(x, y, z) (x x ) + (y y ) + (z z ) ds. (Tento vzorec bezprostředně vyplývá z Newtonova gravitačního zákona, κ je gravitační konstanta.) V našem specifickém příkladě je kulová plocha a ρ je konstantní funkce. Vzhledem k symetrii se navíc můžeme omezit na případ x = y =, z >. (Volíme nový systém souřadnic tak aby kladná část osy z procházela daným bodem). Hledaný potenciál je tedy dán integrálem (9.) U = κρ x + y + (z z ) ds.

11 . CVIČENÍ 45 K jeho výpočtu použijeme sférických souřadnic (ϕ, ϑ). Podle Věty 9.4 dostaneme κρ U = ds = κρ x + y + z zz + z r + z zz ds π = κρ π/ π/ r cos ϑ r + z rz sin ϑ dϑ dϕ = πr κρ Substitucí u = sin ϑ v daném integrálu pak dostaneme π/ π/ [ U = πr du r κρ r + z rz u = πr κρ + z rz u rz = π rκρ z ( r + z + rz r + z rz ) cos ϑ r + z rz sin ϑ dϑ. ] u= u= = π rκρ z ( r + z r z ). 4πκrρ, z r Závěrem tedy získáváme U = 4π r κρ z z r. Vypočtěte následující plošné integrály:. x + y ds, je celý povrch kužele daného nerovností x + y z.. ds, kde je povrch čtyřstěnu daného nerovnostmi x, y, z, ( + x + y) x + y + z. 3. x y ds, kde je část povrchu koule daná podmínkami x +y +z = r, z. 4. x + y + z ds, kde je válcová plocha o rovnici x + y = r omezená rovinami s rovnicemi z = a z = h >. 5. y ds, kde je část plochy o rovnici x +z = az (a > ), vyříznutá kuželovou plochou o rovnici z = x + y. 6. xy + yz + zx ds, kde je část povrchu kužele z = x + y vyříznutá válcem o rovnici x + y = ax.

12 46 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE 7. Nechť je plocha daná vztahem = C,, kde C R je rovinná křivka. okažte, že je-li f(x, y, z) = g(x, y), kde g je spojitá funkce na křivce C, pak f = g. 8. Vypočtěte hmotnost kulové skořepiny, x + y + z = r, z, je-li plošná hustota rovna a) vzdálenosti od osy z; b) druhé mocnině vzdálenosti od osy z. 9. Nalezněte množství náboje rozloženého na ploše dané podmínkami z = (x + y ) z, je-li plošná hustota f(x, y, z) = z.. Nalezněte těžiště homogenní části kuželové plochy o rovnici z = x + y, jež se nachází ve válci o rovnici x + y = ax;. Najděte těžiště kuželové plochy z = x +y, z, je-li hustota v každém bodě úměrná vzdálenosti od osy z.. Nechť je plocha s hustotou ρ(x, y, z). Na základě axiomatického přístupu odvoďte, že pro moment setrvačnosti I p plochy vzhledem k ose p platí I p = v ρ, kde hodnota funkce v(x, y, z) je vzdálenost bodu (x, y, x) od přímky p. V následujících příkladech vypočtěte momenty setrvačnosti uvedených ploch vzhledem k ose z. Předpokládáme, že hustota je konstantní funkce ρ. 3. povrch koule o poloměru a se středem v počátku; 4. povrch kulového vrchlíku zadaného podmínkami x + y + z = r, < h z r; 5. plochy určené vztahy h (x + y ) = a z, < z < h; 6. plochy určené podmínkami x + y + z =, x, y, z. 7. Ukažte, že pro moment setrvačnosti I z vůči ose z homogenní rotační plochy s hustotou ρ, která vznikne rotací grafu funkce z = f(x), x a, b, kolem osy z, platí I z = πρ b a x3 + f (x) dx. 8. Na základě axiomatických požadavků odvoďte integrální vyjádření hydrostatické síly působící na danou plochou (viz řešená úloha výše). 9. Pomocí vztahu (9.8) najděte sílu, kterou působí kapalina s konstantní ( hustotou) ρ na dno nádoby ve tvaru eliptického paraboloidu o rovnici z = h x + y, a b h z.. Z Newtonova zákona určete jakou silou přitahuje useknutá kuželová plocha daná parametrizací x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = ϱ; ϕ π, < b ϱ a o konstantní hustotě ρ hmotný bod o hmotnosti m umístěný v bodě (,, ). C

13 . CVIČENÍ 47. Pomocí vztahu (9.) najděte gravitační potenciál části pláště válce o rovnici x + y = r, z h v bodech na ose z. Výsledky.. π ( + ); ( 3 ) ln ; 3. πr6 5 ; 4. π arctg h r ; 5. a3 (π + 4); a 4 ; 8. a) π r 3 4πr4, b) 3 ; 9. π(+6 3) 5 ;. ( a 6,, 9π a) ;. (,, 3/4); 3. 8πa4 ρ 3 ; 4. 3 πrρ(r3 3r h + h 3 ); 5. π a3 ρ a + h ; 6. ρ 3 6 ; 9. F = πρabh k;. F = (πκmρ ln a b ) k;. V (,, z ) = κρπr ln h z + (h z ) +r. z + z +r

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace

Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace Kapitola 4 Plošné integrály 4. ist v prostoru R 3 a jeho parametrizace Klíčová slova: přípustná oblast, zanedbatelná množina, list v R 3, parametrizace listu, obor parametrů, kraj listu, tečné vektorové

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Potenciál vektorového pole

Potenciál vektorového pole Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných 1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

1. Obyčejné diferenciální rovnice

1. Obyčejné diferenciální rovnice & 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n. Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy 1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.

1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory. 1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.

Více

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více