Plošný integrál funkce
|
|
- Nela Šimková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho zavedení a studiu byla úloha stanovit celkové množství P (f, ) dané kvantity (hmotnost, elektrický náboj, apod.) na zadané ploše, známe-li její rozložení tedy hustotu popsanou nezápornou funkcí f. Podívejme se nejdříve na speciální případ, kdy je plocha rovinná: Nechť je základní oblast v rovině xy a nechť f(x, y) je spojitá funkce definovaná na. V tomto případě je celkové množství P (f, ) dáno dvojným integrálem (9.) P (f, ) = f. Výraz (9.) má i geometrický aspekt. Interpretujeme-li hodnotu f(x, y) jako výšku nad rovinou xy, pak je celkové množství P (f, ) rovno objemu tělesa omezeného grafem funkce f, viz Kapitola. Cílem dalšího výkladu bude vysvětlit jak je nutno změnit vztah (9.), změní-li se z rovinné plochy na obecnou. Nejdříve se pokusíme formulovat základní vlastnosti, které by měla hodnota P (f, ) splňovat, ať už je plocha jakákoliv. Vzhledem k tomu, že s matematickým popisem vlastností kvantitativních měr objektů máme již bohaté zkušenosti, jistě nepřekvapí, že si opět vybereme vlastnost aditivity a monotonie jako základní. A jako obvykle začneme s objektem s co možná nejjednodušším popisem s elementární plochou. Reprezentuje-li funkce f např. hustotu rozložení hmoty, je axiom aditivity vyjádřením samozřejmé skutečnosti, že celková hmotnost je součet hmotností částí plochy, které tvoří její rozklad a v podstatě se nepřekrývají. Tedy (A) P (f, ) = P (f, ) + P (f, ), kdykoliv elementární plochy, tvoří rozklad plochy takový, že K( ) K( ). Tato podmínka slovy vyjadřuje, že plochy a se protínají pouze v krajích a tedy nemají žádný společný vnitřní bod. Axiom () pak postuluje pozorování, že hmotnost 35
2 36 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE plochy se bude pohybovat v rozmezí mezi min (f) obsah() a max (f) obsah(), tedy mezi hmotnostmi homogenních ploch, jejichž hustota je dána extrémy funkce f. () min (f) obsah() P (f, ) max(f) obsah(). V následující větě ukážeme, že axiomům (A) a () je možno vyhovět a to pouze jedinou volbou hodnoty P (f, ). ůkaz této věty má strukturu, se kterou jsme se už setkali a jejíž vzor je v důkazu Věty.9. Věta 9.. Existuje pouze jediné zobrazení P, které každé elementární ploše dané funkcí g na základní oblasti a funkci f spojité na přiřadí číslo P (f, ) tak, že jsou splněny axiomy (A) a (). Navíc, (9.) P (f, ) = f(x, y, g(x, y)) + + x. y ůkaz. je elementární plocha daná grafem funkce g definované na základní oblasti. Nechť je dělení základní oblasti. Ke každému prvku R přiřadíme část plochy ležící nad R. Označme tuto část symbolem R : { } R = (x, y, z) R 3 (x, y) R, z = g(x, y). Nyní definujme následující variantu horních a dolních integrálních součtů S(f, ) = R max R (f) obsah( R ) S(f, ) = R min R (f) obsah( R ). onotonie a aditivita implikují zcela stejným způsobem jako při důkazu Tvrzení.8, že S(f, ) P (f, ) S(f, ). Tím rovněž (9.3) sup S(f, ) P (f, ) inf S(f, ), kde infima a suprema se uvažují vzhledem ke všem dělením oblasti. Pokusme se nyní dokázat, že dolní a horní odhady čísla P (f, ) v nerovnosti (9.3) splývají. Nerovnost sup S(f, ) inf S(f, ) platí automaticky díky (9.3). Budeme tedy dokazovat nerovnost obrácenou. K tomu opět využijeme vlastnost stejnoměrné spojitosti. Pomocná funkce h(x, y) = f (x, y, g(x, y)) je spojitá na. Podle Věty. je stejnoměrně spojitá. Znamená to, že pro každé ε > je možno nalézt δ > takové, že pro jakékoli dělení oblasti s normou < δ platí max(h) min (h) ε R R
3 . EFINICE A VÝPOČET 37 pro všechna R. To je ale to samé, že oscilace funkce f na každém R je menší než ε, tj. max(f) min(f) ε R R pro všechna R. Pro rozdíl horního a dolního součtu pak máme S(f, ) S(f, ) = R (max R (f) min R (f)) obsah( R ) ε R obsah( R ) = ε obsah(). Odtud inf S(f, ) S(f, ) S(f, ) + ε obsah() sup S(f, ) + ε obsah(). Protože ε můžeme volit libovolně, získáváme obrácenou nerovnost. Celkově tak platí (9.4) sup S(f, ) = inf S(f, ). íky nerovnostem (9.3) může existovat pouze jediná hodnota P (f, ) vyhovující axiomům (A) a () a to P (f, ) = sup S(f, ) = inf S(f, ). V této chvíli máme dokázáno, že existuje-li zobrazení P (f, ) s požadovanými vlastnostmi, je jediné. V dalším kroku ověříme, že zobrazení P (f, ) skutečně existuje a zároveň dokážeme integrální vyjádření pro P (f, ). Položíme-li P (f, ) = f(x, y, g(x, y)) + + x, y tak vzhledem k aditivitě integrálu vůči integračnímu oboru tím jistě vyhovíme axiomu aditivity. Na základě monotonie dvojného integrálu pak máme P (f, ) max (f) = max (f) x + x y = max y (f) obsah(), kde jsme v posledním kroku využili (8.6). Pro minimum se postupuje zcela analogicky. Tím jsme dokázali platnost axiomů (A) a () pro P (f, ) z (9.). Vidíme, že alespoň jedno zobrazení s vlastnostmi (A) a () existuje. Z první části důkazu už víme, že takových zobrazení nemůže být více. Proto P (f, ) existuje právě jediné a platí (9.)
4 38 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE efinice 9.. Nechť f je spojitá funkce na elementární ploše. Číslo P (f, ) z Věty 9. nazýváme plošný integrál funkce f vzhledem k ploše. K jeho označení používáme symbol f ds nebo stručnější vyjádření f. Tento integrál se někdy nazývá plošný integrál. druhu. Při výše zavedeném označení nám Věta 9. dává vzorec pro výpočet plošného integrálu ve tvaru (9.5) f ds = f(x, y, g(x, y)) + +. x y Speciálně pro f = má ds hodnotu obsahu plochy. Příklad 9.3. Určete hmotnost m části hyperbolického paraboloidu z = xy, x + y r, r >, je-li hustota f(x, y, z) = + x + y z. Vzhledem k tomu, že uvedená plocha je grafem funkce g(x, y) = xy definované na kruhu o poloměru r a středem v počátku máme + + x = + x y + y. Podle (9.5) je m = + x + y z ds = Přechodem k polárním souřadnicím tak dostaneme ( + x + y ) xy. m = π r ( + ϱ )ϱ 3 cos ϕ sin ϕ dϱ dϕ = r ( + ϱ )ϱ 3 dϱ [ ϱ 4 = 4 + ϱ6 6 ] r π/ π sin ϕ dϕ sin ϕ dϕ = r 4 ( r 3 + Podobně jako při výpočtu obsahu plochy je často při výpočtu plošného integrálu výhodné (ba mnohdy nutné) použít k popisu dané plochy jiné než kartézské souřadnice. Nechť je plocha v R 3 a nechť Φ: je její parametrizace. Rozložíme plochu na elementární plochy,..., n, které budou mít stejnou parametrizaci Φ uvažovanou na částech,..., n základní oblasti. Plošný integrál přes jednu elementární plochu i se pomocí parametrizace Φ: i i se vyjádří jako (9.6) f ds = f(φ) s t. i i ).
5 . EFINICE A VÝPOČET 39 (Zde opět f(φ) je zkrácený zápis výrazu f(φ) = f(φ, Φ, Φ 3 ), kde Φ = (Φ, Φ, Φ 3 )). Ke vztahu (9.6) se dojde zcela stejně jako v Tvrzení 8.6 použitím věty o substituci. Nebudeme toto odvození zde provádět detailně, neboť se téměř neliší od důkazu již zmíněného Tvrzení 8.6. Pokročíme ale dále k následující větě: Věta 9.4. Nechť R je základní oblast a Φ: R 3 je spojitá parametrizace plochy prostá a třídy C na vnitřku. Pak pro každou spojitou funkci f na platí (9.7) f ds = f(φ) s t. ůkaz. Plochu si rozložíme na elementární plochy,..., n tak, že pro ně můžeme už použít vzorec (9.6). Protože příslušné,... n tvoří rozklad oblasti, můžeme psát f ds = n i= i f ds = n i= i f(φ) s t = f(φ) s t. Příklad 9.5. Vypočtěte integrál (x + y + z) ds, kde je část rotačního paraboloidu z = a x y, x + y a 4, a >. Z hlediska plochy i integrované funkce je výhodné vyjádřit plochu v cylindrických souřadnicích x = ϱ cos ϕ (= Φ (ϱ, ϕ)) y = ϱ sin ϕ (= Φ (ϱ, ϕ)) z = a ϱ (= Φ 3 (ϱ, ϕ)), kde ϱ, a, ϕ, π. Vzhledem k tomu, že ϱ ϕ = ϱ + 4ϱ, máme (x + y + z) ds = = πa a/ π a/ (ϱ + a ϱ )ϱ + 4ϱ dϱ dϕ ϱ + 4ϱ dϱ = πa 6 [( + 4ϱ ) 3/] a/ = πa ( ( + a 6 ) 3 ).
6 4 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE V závěru této kapitoly uvedeme větu o střední hodnotě pro spojité funkce na ploše. Věta 9.6. Nechť f je spojitá funkce na ploše R 3. Pak existuje bod (x, y, z) takový, že f ds = f(x, y, z) obsah(). Poznámka 9.7. Hodnotu výrazu na ploše. obsah() f ds nazýváme střední hodnota funkce f ůkaz. Podobně jako v důkazu Věty 6.6 platí min (f) obsah() f ds max (f). Vzhledem k tomu, že f je spojitá funkce na souvislé množině, je jejím oborem hodnot interval min (f), max (f). Tedy existuje alespoň jeden bod, řekněme (x, y, z), realizující střední hodnotu ve smyslu rovnosti obsah() f ds = f(x, y, z). Příklad 9.8. Určete jakou průměrnou teplotu by měla Země za předpokladu, že průměrná teplota je stejná ve všech místech se stejnou zeměpisnou šířkou a lineárně klesající v závislosti na zeměpisné šířce a to od 5 o C na rovníku k 3 o C na pólu. V matematické formulaci je průměrná teplota dána střední hodnotou funkce T, která bodům o sférických souřadnicích (ϕ, ϑ) přiřadí hodnotu T (ϕ, ϑ) = 5 ϑ π. Pro průměrnou teplotu T pak dostaneme podle Poznámky 9.7 T = T ds, S() kde je povrch sféry o poloměru r( = km) a S() = 4πr. Provedením výpočtu ve sférických souřadnicích (viz (8.6)) dostaneme T ds = π π/ π/ ( 5 ϑ ) r cos ϑ dϑ dϕ π = 5S() π π/ ( π r ϑ cos ϑ dϑ = 5S() 44r π ).
7 . CVIČENÍ 4 Tedy T = 5S() 44r ( π ) S() = 5 π ( π ).= 5, ( o C). Cvičení Úloha. Určete (x + y + z) ds, kde je průnik kulové plochy a válce daný podmínkami x + y + z = r, z a x + y r /4. Řešení. Plocha je reprezentována grafem funkce Pak g(x, y) = r x y, kde x + y r x = y r r x y. Označíme-li = {(x, y) x + y r 4 }, máme (x + y + z) ds = (x + y + r x y r ) r x y = r Vzhledem k symetrii integrované funkce na oblasti je x + y r x y =. x + y r x y + r. Závěrem tedy máme (x + y + z) ds = r = rπ r 4 = π 4 r3. Úloha. Určete x + y ds, kde je povrch koule se středem v počátku a poloměrem r. Řešení. Podobně jako v předchozích příkladech použijeme sférických souřadnic (ϕ, ϑ). Pak dle (9.7) x + y ds = π π/ π/ = πr 3 π/ r cos ϑ r cos ϑ dϑ dϕ = πr 3 π/ π/ + cos ϑ dϑ = π r 3. π/ cos ϑ dϑ
8 4 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE Úloha. Vypočtěte z ds, kde = {(t cos s, t sin s, s) (s, t), π, a }. Řešení. Plocha, tzv. helikoid, je sjednocením částí šroubovic, jejichž poloměr se pohybuje od do a. Z geometrického názoru vidíme, že je grafem funkce. K výpočtu však použijeme původně zadanou parametrizaci Φ(s, t) = (t cos s, t sin s, s) (s, t), π, a. Pak Jelikož platí = ( t sin s, t cos s, ), = (cos s, sin s, ). s t s = + t, t =, s t =, s t = ( + t ) = + t. Nyní již můžeme přistoupit k výpočtu zadaného integrálu z ds = a π = 4π s + t ds dt = π s ds a [ t + t + ln t + a + t ] + t dt ( = π a + a + ln(a + ) + a ). Úloha. Vypočtěte těžiště homogenní plochy (tj. plochy s konstantní hustotou), je-li = {(x, y, z) x + y = z, z }. Řešení. Souřadnice těžiště plochy homogenního tělesa jsou střední hodnoty vzdáleností od souřadných rovin. Pro složky T = (x t, y t, z t ) tedy platí, x t = ds x ds, y t = ds y ds, z t = ds z ds. V našem případě se jedná o část rotačního paraboloidu, takže v důsledku symetrie vůči ose z platí x t = y t =. Stačí tedy určit souřadnici z t. Plocha je grafem funkce g(x, y) = (x + y ), definované na kruhu se středem v počátku a poloměrem. Platí tedy ds = + x + y.
9 . CVIČENÍ 43 Přechodem k polárním souřadnicím pak máme π ds = ϱ + ϱ dϱ dϕ = π 3 (5 5 ). Analogickým výpočtem dostaneme z ds = (x + y ) + x + y = π = π ϱ 3 + ϱ dϱ dϕ ϱ 3 + ϱ dϱ = π ( ) Pro hledanou souřadnici těžiště proto platí z t = Úloha. Vypočtěte hydrostatickou sílu, která působí na stěnu nádoby tvaru rotačního paraboloidu z = x + y, z, je-li nádoba naplněna kapalinou o hustotě ρ. Řešení. Podle Pascalova zákona jsou složky hydrostatické síly F = (F, F, F 3 ) působící na obecnou plochu dány plošnými integrály (9.8) F i = ρg hn i ds, i =,, 3, kde h(x, y, z) je funkce udávající hloubku v bodě (x, y, z) a a n i (x, y, z) (i =,, 3) jsou složky vnější jednotkové normály k ploše v bodě (x, y, z). V našem případě je plocha grafem funkce g(x, y) = x + y, x + y. Funkce h určující hloubku je funkce h(x, y, z) = z. Vnější jednotková normála je v bodě (x, y, z) dána vztahem ( g x, g ) y, n(x, y, z) = ( g x, g y, ) = (x, y, ) 4x + 4y +.
10 44 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE Označíme-li symbolem jednotkový kruh, dostaneme pro složku F 3 hledané síly vztah F 3 = ρg ( z)n 3 (x, y, z) ds = ρg ( x y ) 4x 4x + 4y + + 4y + = ρg ( x y ). Přechodem k polárním souřadnicím pak dostaneme π F 3 = ρg dϕ ( ϱ )ϱ dϱ = πρg. Vzhledem k symetrii uvažovaného tělesa je zřejmé, že F = F =. (Tuto intuici si můžete ověřit výpočtem.) Celková hydrostatická síla je tedy F = (,, πϱg ). K tomuto výsledku jsme mohli dospět i jinak. Archimédův zákon nám říká, že velikost síly F 3 se rovná tíze kapaliny uvnitř paraboloidu. Tedy F 3 = ρgv, kde V je objem paraboloidu. Výpočtem zjistíme, že V = π/. Úloha. Určete potenciál V gravitačního pole F v bodě (x, y, z ), které je dáno homogenní kulovou plochou s rovnicí jejíž plošná (konstantní) hustota je ϱ. x + y + z = r, r >, Řešení. Gravitační potenciál v bodě (x, y, z ) vytvořený plochou s plošnou hustotou ρ(x, y, z) je definován jako plošný integrál (9.9) U(x, y, z ) = κρ(x, y, z) (x x ) + (y y ) + (z z ) ds. (Tento vzorec bezprostředně vyplývá z Newtonova gravitačního zákona, κ je gravitační konstanta.) V našem specifickém příkladě je kulová plocha a ρ je konstantní funkce. Vzhledem k symetrii se navíc můžeme omezit na případ x = y =, z >. (Volíme nový systém souřadnic tak aby kladná část osy z procházela daným bodem). Hledaný potenciál je tedy dán integrálem (9.) U = κρ x + y + (z z ) ds.
11 . CVIČENÍ 45 K jeho výpočtu použijeme sférických souřadnic (ϕ, ϑ). Podle Věty 9.4 dostaneme κρ U = ds = κρ x + y + z zz + z r + z zz ds π = κρ π/ π/ r cos ϑ r + z rz sin ϑ dϑ dϕ = πr κρ Substitucí u = sin ϑ v daném integrálu pak dostaneme π/ π/ [ U = πr du r κρ r + z rz u = πr κρ + z rz u rz = π rκρ z ( r + z + rz r + z rz ) cos ϑ r + z rz sin ϑ dϑ. ] u= u= = π rκρ z ( r + z r z ). 4πκrρ, z r Závěrem tedy získáváme U = 4π r κρ z z r. Vypočtěte následující plošné integrály:. x + y ds, je celý povrch kužele daného nerovností x + y z.. ds, kde je povrch čtyřstěnu daného nerovnostmi x, y, z, ( + x + y) x + y + z. 3. x y ds, kde je část povrchu koule daná podmínkami x +y +z = r, z. 4. x + y + z ds, kde je válcová plocha o rovnici x + y = r omezená rovinami s rovnicemi z = a z = h >. 5. y ds, kde je část plochy o rovnici x +z = az (a > ), vyříznutá kuželovou plochou o rovnici z = x + y. 6. xy + yz + zx ds, kde je část povrchu kužele z = x + y vyříznutá válcem o rovnici x + y = ax.
12 46 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE 7. Nechť je plocha daná vztahem = C,, kde C R je rovinná křivka. okažte, že je-li f(x, y, z) = g(x, y), kde g je spojitá funkce na křivce C, pak f = g. 8. Vypočtěte hmotnost kulové skořepiny, x + y + z = r, z, je-li plošná hustota rovna a) vzdálenosti od osy z; b) druhé mocnině vzdálenosti od osy z. 9. Nalezněte množství náboje rozloženého na ploše dané podmínkami z = (x + y ) z, je-li plošná hustota f(x, y, z) = z.. Nalezněte těžiště homogenní části kuželové plochy o rovnici z = x + y, jež se nachází ve válci o rovnici x + y = ax;. Najděte těžiště kuželové plochy z = x +y, z, je-li hustota v každém bodě úměrná vzdálenosti od osy z.. Nechť je plocha s hustotou ρ(x, y, z). Na základě axiomatického přístupu odvoďte, že pro moment setrvačnosti I p plochy vzhledem k ose p platí I p = v ρ, kde hodnota funkce v(x, y, z) je vzdálenost bodu (x, y, x) od přímky p. V následujících příkladech vypočtěte momenty setrvačnosti uvedených ploch vzhledem k ose z. Předpokládáme, že hustota je konstantní funkce ρ. 3. povrch koule o poloměru a se středem v počátku; 4. povrch kulového vrchlíku zadaného podmínkami x + y + z = r, < h z r; 5. plochy určené vztahy h (x + y ) = a z, < z < h; 6. plochy určené podmínkami x + y + z =, x, y, z. 7. Ukažte, že pro moment setrvačnosti I z vůči ose z homogenní rotační plochy s hustotou ρ, která vznikne rotací grafu funkce z = f(x), x a, b, kolem osy z, platí I z = πρ b a x3 + f (x) dx. 8. Na základě axiomatických požadavků odvoďte integrální vyjádření hydrostatické síly působící na danou plochou (viz řešená úloha výše). 9. Pomocí vztahu (9.8) najděte sílu, kterou působí kapalina s konstantní ( hustotou) ρ na dno nádoby ve tvaru eliptického paraboloidu o rovnici z = h x + y, a b h z.. Z Newtonova zákona určete jakou silou přitahuje useknutá kuželová plocha daná parametrizací x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = ϱ; ϕ π, < b ϱ a o konstantní hustotě ρ hmotný bod o hmotnosti m umístěný v bodě (,, ). C
13 . CVIČENÍ 47. Pomocí vztahu (9.) najděte gravitační potenciál části pláště válce o rovnici x + y = r, z h v bodech na ose z. Výsledky.. π ( + ); ( 3 ) ln ; 3. πr6 5 ; 4. π arctg h r ; 5. a3 (π + 4); a 4 ; 8. a) π r 3 4πr4, b) 3 ; 9. π(+6 3) 5 ;. ( a 6,, 9π a) ;. (,, 3/4); 3. 8πa4 ρ 3 ; 4. 3 πrρ(r3 3r h + h 3 ); 5. π a3 ρ a + h ; 6. ρ 3 6 ; 9. F = πρabh k;. F = (πκmρ ln a b ) k;. V (,, z ) = κρπr ln h z + (h z ) +r. z + z +r
y ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
Více10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceVe srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky
Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
Více7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
Více12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceVeronika Chrastinová, Oto Přibyl
Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový
VíceMATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
Víceˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
VíceŘešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
VícePŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Vícesvou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny
Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
VícePlošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
VíceŘešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
Více, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
VíceKapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace
Kapitola 4 Plošné integrály 4. ist v prostoru R 3 a jeho parametrizace Klíčová slova: přípustná oblast, zanedbatelná množina, list v R 3, parametrizace listu, obor parametrů, kraj listu, tečné vektorové
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VícePotenciál vektorového pole
Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VícePosloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.
SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceGAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY
GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceV. Riemannův(dvojný) integrál
V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál
VíceKřivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
Více4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceZáklady matematické analýzy (BI-ZMA)
Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
Více1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceMomenty setrvačnosti a deviační momenty
Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
Více14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
VícePříklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
VíceIntegrace funkcí více proměnných, numerické metody
Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceZkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Více