Newtonův gravitační zákon. pohyb rakety v nehomogenním gravitačním poli Země a Měsíce

Transkript

1 Newtonův gravitační zákon pohyb rakety v nehomogenním gravitačním poli Země a Měsíce

2 O čem to bude ukážeme si rovnici platnou pro pohyb rakety s proměnnou hmotností (Ciolkovského rovnice) 2/45

3 O čem to bude ukážeme si rovnici platnou pro pohyb rakety s proměnnou hmotností (Ciolkovského rovnice) ukážeme si aplikaci potenciální gravitační energie (gravitačního potenciálu) 3/45

4 O čem to bude ukážeme si rovnici platnou pro pohyb rakety s proměnnou hmotností (Ciolkovského rovnice) ukážeme si aplikaci potenciální gravitační energie (gravitačního potenciálu) uhádneme rychlost rakety podle zadání 4/45

5 O čem to bude ukážeme si rovnici platnou pro pohyb rakety s proměnnou hmotností (Ciolkovského rovnice) ukážeme si aplikaci potenciální gravitační energie (gravitačního potenciálu) uhádneme rychlost rakety podle zadání a dosazením do Ciolkovského rovnice odhadneme potřebné množství paliva pro let 5/45

6 Uvedení do situace Jiří Kulhánek, STRONCIUM «LONGIN vypadá fakt impozantně: kolem čtyřmetrového nosníku jsou nad sebou čtyři a čtyři kompozitové lahve, od kterých vedou pancéřové hadice do tří autogenových směšovačů a odtud dolů k tryskám - láhev s heliem je napříč nahoře za sedačkou helium dá palivu potřebný tlak. Řídit se to bude natáčením trysek (jsou přidělané na homokinetickém kloubu z nápravy průzkumného robota) a přivíráním kohoutů.... A protože mi bylo jasné, že bez stabilizace se LONGIN bude točit všude možně, jen ne kam budu chtít, propočítal jsem to a vzal patnáct pevných disků» 6/45

7 Uvedení do situace Jiří Kulhánek, STRONCIUM «Nahoře nad lahvemi je již zmíněné sedadlo, před ním křížem tyčka na opření nohou a nad ní řídicí panel se smetákem a dálkovými ovládacími elementy vedoucími dolů ke kohoutům směšovačů.... Potřeboval jsem nabrat únikovou rychlost... přetížení nebylo nijak zlé, a když jsem po sto dvaceti sekundách vypnul motor, bylo jasné, že jsem zvítězil.... K Zemi to trvalo pět dní...» 7/45

8 Diskuse Pro jednoduchost budeme uvažovat, že Země ani Měsíc se nepohybují a jsou v konstantní vzdálenosti od sebe v klidu (ani se neotáčí). Uvažovat budeme pouze jejich gravitační potenciály. 8/45

9 Diskuse Pro jednoduchost budeme uvažovat, že Země ani Měsíc se nepohybují a jsou v konstantní vzdálenosti od sebe v klidu (ani se neotáčí). Uvažovat budeme pouze jejich gravitační potenciály. Z doby letu z Měsíce na Zemi metodou pokus omyl určíme potřebnou únikovou rychlost rakety z Měsíce. Takto získanou rychlost dosadíme do Ciolkovského rovnice a z ní budeme moci vypočítat potřebnou hmotnost paliva na akceleraci. 9/45

10 Získaná data odhad celkové hmotnosti rakety bez paliva 10/45

11 Získaná data odhad celkové hmotnosti rakety bez paliva specifický impuls pro spalování monometylhydrazinu s oxidem dusičitým 11/45

12 Získaná data odhad celkové hmotnosti rakety bez paliva specifický impuls pro spalování monometylhydrazinu s oxidem dusičitým doba zážehu (spalování paliva) 12/45

13 Získaná data gravitační zrychlení na povrchu Země 13/45

14 Získaná data gravitační zrychlení na povrchu Země gravitační zrychlení na povrchu Měsíce 14/45

15 Získaná data gravitační zrychlení na povrchu Země gravitační zrychlení na povrchu Měsíce hmotnost rakety s palivem 15/45

16 Výpočet hmotnosti paliva tažná síla rakety 16/45

17 Výpočet hmotnosti paliva tažná síla rakety síla působící na raketu je rozdílem tažné síly a gravitační síly 17/45

18 Výpočet hmotnosti paliva tažná síla rakety síla působící na raketu je rozdílem tažné síly a gravitační síly podle 2. Newtonova zákona a definice zrychlení 18/45

19 Výpočet hmotnosti paliva dosazením do získáme výsledný vztah 19/45

20 Výpočet hmotnosti paliva dosazením do získáme výsledný vztah Výsledek je však nepřesný, neboť nezohledňuje ubývající palivo. 20/45

21 Výpočet hmotnosti paliva Rovnici pro výpočet rychlosti v závislosti na použitém palivu popisuje Ciolkovského rovnice Rovnici nebudeme odvozovat. 21/45

22 Výpočet hmotnosti paliva Rovnici pro výpočet rychlosti v závislosti na použitém palivu popisuje Ciolkovského rovnice Pro malé hodnoty hmotnosti paliva je možné použít i předchozí variantu. Počáteční rychlost zvolme. Součin se označuje jako specifický impuls síly. 22/45

23 Specifický impuls Specifický impuls vynásobený gravitačním zrychlením na povrchu Země udává efektivní výtokovou rychlost spalin nebo také poměr tažné síly k množství spotřebovaného paliva za sekundu. Lze také říci, že jde o poměr impulsu síly k hmotnosti paliva. jednotka specifického impulsu je 23/45

24 Získaná data vzdálenost Země a Měsíce 24/45

25 Získaná data vzdálenost Země a Měsíce hmotnost Měsíce 25/45

26 Získaná data vzdálenost Země a Měsíce hmotnost Měsíce hmotnost Země 26/45

27 Získaná data vzdálenost Země a Měsíce hmotnost Měsíce hmotnost Země poloměr Měsíce 27/45

28 Získaná data vzdálenost Země a Měsíce hmotnost Měsíce hmotnost Země poloměr Měsíce poloměr Země 28/45

29 Získaná data vzdálenost Země a Měsíce hmotnost Měsíce hmotnost Země poloměr Měsíce poloměr Země gravitační zrychlení na Měsíci 29/45

30 Získaná data vzdálenost Země a Měsíce hmotnost Měsíce hmotnost Země poloměr Měsíce poloměr Země gravitační zrychlení na Měsíci gravitační zrychlení na Zemi 30/45

31 Výpočet rychlosti Rychlost odvodíme ze zákona zachování mechanické energie 31/45

32 Výpočet rychlosti Rychlost odvodíme ze zákona zachování mechanické energie potenciální energie se vypočte 32/45

33 Výpočet rychlosti Rychlost odvodíme ze zákona zachování mechanické energie potenciální energie se vypočte označuje gravitační potenciál 33/45

34 Výpočet rychlosti Po dosazení dostaneme výsledný vztah označuje rychlost rakety po vypnutí motorů označuje rychlost rakety ve vzdálenosti 34/45

35 Výpočet času Dobu letu spočítáme z předchozího vztahu integrací (jinak to bohužel nejde) 35/45

36 Výpočet času Dobu letu spočítáme z předchozího vztahu integrací (jinak to bohužel nejde) Nyní zbývá určit tak, aby levá a pravá strana rovnice byly stejné. Zkusme rovnici dosadit do Wolfram Alpha a hodnotu postupně hádat. 36/45

37 Výpočet ve Wolframu Do wolframu zadáme do příkazové řádky toto: integrate 1/sqrt(x^2+ +2*(6.67e-11*(-7.35e22/1.738e6-5.97e24/ (3.844e e6)))- -2*(6.67e-11*(-7.35e22/r-5.97e24/(3.844e8-r))) ) from r=1.738e6 to (3.844e e6) za x dosazujeme postupně různé hodnoty, dokud výsledek nebude zhruba roven /45

38 Po několika (mnoha) pokusech Hurá máme výsledek! 38/45

39 Po několika (mnoha) pokusech Hurá máme výsledek! 39/45

40 Po několika (mnoha) pokusech Hurá máme výsledek! A teď už jen stačí dosadit do Ciolkovského rovnice a určit potřebné množství paliva. 40/45

41 Po několika (mnoha) pokusech Hurá máme výsledek! A teď už jen stačí dosadit do Ciolkovského rovnice a určit potřebné množství paliva. po úpravě a dosazení 41/45

42 Závislost rychlosti na vzdálenosti 42/45

43 Závěr Ve vzdálenosti od středu Měsíce směrem k Zemi se bude raketa pohybovat nejmenší rychlostí, a to. 43/45

44 Závěr Ve vzdálenosti od středu Měsíce směrem k Zemi se bude raketa pohybovat nejmenší rychlostí, a to. Těsně před dopadem na Zemi bude rychlost rakety. 44/45

45 Poučení Při pohybu rakety na reaktivní pohon dochází k úbytku její hmotnosti vlivem spalin, které raketu pohánějí. Čím více paliva bude spotřebováno, tím menší bude její hmotnost a tím větší její rychlost. 45/45