Komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ Fakulta aplikované informatiky UTB ve Zlíně Fakulta stavební ČVUT v Praze SBORNÍK

Transkript

1

2

3 Komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ Fakulta aplikované informatiky UTB ve Zlíně Fakulta stavební ČVUT v Praze SBORNÍK 9. KONFERENCE O MATEMATICE NA VŠTEZ MATEMATIKA V INŽENÝRSKÉM VZDĚLÁVÁNÍ září 006 Mutěnice

4 Sborník z 9. konference VŠTEZ Vydavatel: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Tiskárna: UTB Academia Centrum Zlín Editoři: M. Kočandrlová, S. Olivík ISBN:

5

6

7 Pedmluva Vážení úastníci konference, zájemci o naší konferenci a o tématiku, která tentokrát je Matematika v inženýrském vzdlávání. Dkujeme vám všem o projevený zájem. Pejeme Vám úelnou, pozitivní a klidnou úast na 9. konferenci VŠTEZ, která by vám mla pedstavit zajímavé problémy a diskuse v rzných oblastech. Rozvoj rzných oblastí ve výuce matematických pedmt na mnohých typech škol je zajímavý, úelný, ale také diskutabilní. Víme, že se nám podaí v programu konference vytvoit pozitivní a úelné prostedí pro diskuse o ad problém v oblasti souasného stavu ve výuce. Budeme rádi, podaí-li se piblížit vám široké oblasti stedoškolské matematiky, matematiky v bakaláském i magisterském studiu v technických, ekonomických, zemdlských a ad dalších obor. Rádi bychom na konferenci vytvoili prostedí, které umožní prezentaci vlastních výsledk student doktorských studijních obor. Hlavními oblastmi našeho zájmu jsou zmny, které jsou na vtšin vysokých škol a univerzit, zpsobeny zahájením aplikací Boloské deklarace. Bakaláské studium se, na ad univerzit a v mnoha studijních programech, blíží ke konci. Pipravuje se studium v magisterských programech a chtli bychom, aby aktuální témata a rzné problematiky v této oblasti, byly pro jejich samotný rozvoj zajímavé a pozitivní. Tyto oblasti považujeme za dležité a mohou pinášet pozitivní a záslužné smry v rzných oborech. Pejeme všem úastníkm naší konference klidný a pozitivistický pístup k jejich úasti. Naše konference v historickém pohledu pedstavují dobré prostedí k rozvoji celé škály pípravy a rozvoje v oblasti výuky matematických pedmt. Pejeme všem dobré znalosti, úelné, informaní a pozitivistické informace, které budou všechny úastníky inspirovat pro další vlastní práci v této oblasti. Pejeme všem dobré zážitky z celé konference. Rádi bychom podkovali tm, kteí se podíleli na píprav této konference. Dkujeme všem kolegm, kteí využili toto prostedí k prezentování svých pozitivních aktivit v oblasti prezentování rzných objekt a umožnili finanní podporu naší konference. Jaroslav erný, Milada Koandrlová, Ludvík Novák Ve Zlín, 4. srpna

8

9 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍN FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY Fakulta aplikované informatiky Univerzity Tomáše Bati ve Zlín je kvalitním vzdlávacím pracovištm, poskytující vysokoškolské vzdlání ve všech stupních (bakaláské, magisterské i doktorské) v oborech zamených na aplikace všech typ informaních technologií. Neustále zvyšuje poet student, protože modern definované studijní obory jsou pro mladou generaci pitažlivé. V souvislosti s tím jsou neustále zlepšovány podmínky pro studium zejména ve vybavenosti laboratoí. Fakulta sídlí v nových prostorách na Jižních Svazích. Odborné zamení fakulty jak po stránce studia, tak i vdeckovýzkumné innosti, je smováno zejména do aplikací informaních technologií v podnikové a výrobní sfée, v oblasti zabezpeovacích systém a také ve sfée vývoje a výzkumu. Z této charakteristiky vyplývá skladba studijních obor ve všech typech i formách studia. Uplatnní absolvent je v souasné dob bez problém, ponvadž pracovník s dobrými znalostmi informaních technologií není stále dostatek. Zízení fakulty zamené na aplikovanou informatiku, jako samostatné souásti Univerzity Tomáše Bati ve Zlín, je logickým vyústním snah univerzity uplatnit se v oblasti aplikace informaních technologií. Fakulta aplikované informatiky (FAI) byla zízena k integrací souasn existujícího Institutu ízení proces a aplikované informatiky (IRPI) a Ústavu matematiky pi Fakult technologické. Institut byl ustanoven k a vznikl perodem z Ústavu (díve katedry) automatizace a ídicí techniky, který na Fakult technologické v té dob existoval již více než 14 let (Katedra automatizace vznikla ). Fakulta je v souasné dob tvoena pti ústavy, mezi které patí Ústav matematiky, Ústav ízení proces, Ústav automatizace a ídicí techniky, Ústav elektrotechniky a mení, Ústav aplikované informatiky. Pro hodnocení prbhu studia se u všech studijních program na FAI využívá jednotný kreditový systém kompatibilní s evropským standardem ECTS. Systém ECTS (European Credit Transfer System) byl vyvinut komisí Evropského spoleenství s cílem zajistit kompatibilitu a shodnost pi uznávání studia na vysokých školách v Evropské unii. To umožuje studentm, aby ást svého studijního programu absolvovali na jiných školách, zejména v zahranií; tyto ásti jim jsou po návratu uznány jako souást studia. Kreditový systém je tak, spolu s dobrou jazykovou pipraveností student, vnímán jako jedna z podmínek vstupu univerzity do evropského programu mobility student a do evropského vzdlávacího prostoru. AKREDITOVANÉ STUDIJNÍ PROGRAMY A OBORY 1.Studijní program - Chemické a procesní inženýrství Studijní obor - Automatizace a ídicí technika.studijní program - Inženýrská informatika Studijní obor - Automatické ízení a informatika Studijní obor - Informaní technologie (studium i v Perov) Studijní obor - Bezpenostní technologie, systémy a management Podrobnjší informace lze nalézt na

10 VDECKOVÝZKUMNÁ INNOST V oblasti vdeckovýzkumné práce jsou nosnými smry moderní metody teorie automatického ízení, monitorování a ízení technologických proces, micí technika, metody umlé inteligence, informaní technologie, softwarové inženýrství, matematické modelování technologických proces s ohledem na jejich automatické ízení a v neposlední ad ešení automatického ízení v teplárenství. Kontaktní adresa: Univerzita Tomáše Bati ve Zlín Fakulta aplikované informatiky Mostní Zlín

11 Budova U5-9-

12

13 PŘÍSPĚVKY

14

15 KOMBINATORICKÝ POHAD NA GEOMETRIU Vojtech Bálint 1 Abstrakt: Príspevok podáva krátky prehad o niektorých vybraných problémoch diskrétnej geometrie a ich zovšeobecnenie na kombinatorickom základe. 1. Body a priamky J. J. Sylvester [4] uverejnil nasledovnú úlohu. Dokážte, že ak množina n bodov v rovine má vlastnos, že každá priamka, ktorá obsahuje dva body tej množiny, obsahuje aj tretí bod tej množiny, potom všetky body tej množiny musia leža na jednej priamke. Z množstva riešení, ktoré itatelia zaslali, ani jedno nebolo správne, a úloha tak zostala nevyriešená vyše 40 rokov, ke ju objavil Pál Erds, ktorý po niekokých neúspešných pokusoch (ako to sám napísal) posunul problém T. Gallaimu a ten oskoro podal prvý správny dôkaz. Ten okrem konenosti bodovej množiny podstatným spôsobom využíva nevlastný bod. Najjednoduchší dôkaz podal neskôr Kelly, publikoval ho však až Coxeter [13]. Kellyho geniálny dôkaz bol zaradený do knihy Aignera a Zieglera [1] Proofs from THE BOOK. Konenú množinu n bodov v rovine ozname A. Priamka, ktorá obsahuje práve k bodov množiny A sa nazýva priamka rádu k, ich poet ozname t k. Priamka rádu sa nazýva prostá. Sylvestrovu-Gallaiho vetu možno potom formulova takto: konená nekolineárna množina bodov v rovine uruje aspo jednu prostú priamku. V súvislosti so štruktúrou priamok urených konenou množinou bodov vznikajú prirodzené otázky a vea z nich položil už fenomenálny P. Erds napr. aký je minimálny poet t prostých priamok, alebo aký je minimálny poet t všetkých priamok urených bodmi z A (všeobecne, ale aj za prídavných podmienok), resp. aký je maximálny poet t k priamok rádu k a podobne. Zaala tak postupne vznika celá teória. Okrem vekého množstva odborných lánkov sa dajú odporúa vemi inšpiratívne prehady Klee, Wagon [0] alebo najnovšie Brass, Moser, Pach [9]. Dirac [14] dokázal, že t 3 a postavil hypotézu t n /. (H1) Lepšia dolná hranica sa urite nedá dosiahnu, lebo Dirac [14] aj Motzkin [3] uviedli pre n 7 príklad n -bodovej množiny, ktorá uruje práve n prostých priamok. Prvý vemi silný výsledok t 3n / 7 dokázali Kelly a W. Moser [19]. Najlepší známy odhad potu prostých priamok ukázali Csima a Sawyer [1], a to t 6 /13, (1) ktorí použili princíp duality. n Z množstva alších spomeme už len zaujímavý lánok Koutský a Polák [1] o pote postrádatených bodov (bod a A sa nazýva postrádatený bod množiny A práve vtedy, ke množina A a uruje tú istú množinu priamok, ako množina A ). Ich idea sa nedávno znovu objavila v niekokých Grünbaumových prácach. 1 KMaHI fakulty PEDAS ŽU, Univerzitná 1, balint@fpedas.utc.sk

16 . Body a kružnice Ak A je konená množina n bodov v rovine, ozname k i poet kružníc rádu i, t.j. kružníc incidentných práve s i bodmi množiny A. Celkový poet kružníc urených množinou A ozname κ. Kružnica rádu 3 sa nazýva prostá. Pre kružnice urené n bodmi je možné položi analogické otázky, ako pre priamky. Existenciu prostej kružnice ako prvý dokázal Motzkin [3], ale podstatný pokrok priniesla až práca Elliotta o 16 rokov neskôr. Veta.1. ( [15] ) Nech A je množina n 4 bodov v rovine taká, že neležia všetky na jednej kružnici a ani na jednej priamke. Potom každým bodom a i A prechádza aspo ( n 1) / 1 prostých kružníc urených bodmi z A, priom a i je jeden z troch urujúcich bodov. Veta.. ( [15] ) Nech A je množina n 4 bodov v rovine taká, že neležia všetky na jednej kružnici a ani na jednej priamke. Potom k n( n 1) / Veta.3. ( [15] ) Nech A je množina n 394 bodov v rovine taká, že neležia všetky 1 na jednej kružnici a ani na jednej priamke. Potom κ n + 1. V [7] boli odhady prvých dvoch viet zlepšené na 33( n 1) / 47 resp. 33 n( n 1) + 96 k 3 11n( n 1) / 47. Kvadratický dolný odhad κ pre celkový 494 poet kružníc bol dokázaný pre všetky n 6. Poznamenajme, že ak je pravdivá Diracova hypotéza t n /, tak odhady z [7] sa dajú zlepši na 3( n 1) / 19 resp. k n( n 1) / Body a horocykly E. Jucovi [17] postavil nasledovnú otázku: Aký je minimálny poet horocyklov urených n bodmi v hyperbolickej rovine H? V súlade s predošlými štruktúrami ozname h celkový poet horocyklov, h i poet horocyklov rádu i, priom horocykel rádu je prostý. Prvý odhad h n je v [], ale je to len lineárny odhad. Kvadratický dolný odhad h cn síce dokázal J. Beck [11], ale s extrémne malou hodnotou konštanty c. Veta 3.1. ( [] ) Nech A je množina n bodov v hyperbolickej rovine H. Potom 1+ 8n 7 každým bodom a i A prechádza aspo horocyklov. Odhad vety 3.1 je najlepší možný, ale je rádovo nižší, ako v analogickej vete.1 pre kružnice. Toto je pravdepodobným zdrojom ažkostí pri pokusoch dokáza hypotézu 1 h n + 3 (H) alebo aspo podstatne zlepši konštantu c v Beckovom odhade

17 4. (r,q)-štruktúry Definícia. ( [] ) Nech m, r, q, n sú prirodzené ísla také, že n 3, r n. Nech M je množina, ktorá obsahuje aspo n + q 1 prvkov. Nech A = { a1, a,, a n } M je n - prvková podmnožina základnej množiny M. Nech P (M ) je potenná množina množiny M. Nech m -prvková množina B = { B,, 1 B, B } m P( M ) spluje nasledovné tri podmienky: (i) Každý prvok B k B pre k = 1,,, m obsahuje aspo r navzájom rôznych prvkov a i 1, ai,, a r i A. (ii) Ak a i 1, ai,, a i je r navzájom rôznych prvkov množiny A, potom r existuje práve q navzájom rôznych prvkov B, B,, B B tak, že pre j 1 j j q p = 1,,, q platí B s 1,,, r. a pre každé { } i s j p (iii) Pre každých r + 1 navzájom rôznych prvkov a, a,, existuje nanajvýš jeden prvok s { 1,,, r + 1}. Potom usporiadanú trojicu ( M A, B) i 1 i ai r +1 A B k B taký, že ai s Bk pre každé, nazveme ( r, q) štruktúrou. Poznamenajme, že pre q = 1 môže by M = A. V prípade q = 1 naviac platí implikácia (ii) (iii), teda podmienku (iii) možno z definície vynecha. Prvok B j B nazveme trieda rádu k, ak obsahuje práve k navzájom rôznych prvkov množiny A. Trieda rádu r sa nazýva prostá. Ak všetky triedy sú prosté, potom ( r, q) štruktúra sa nazýva prostá. ( r, q) štruktúra ( M, A, B) sa nazýva triviálna, ak A B. Prvok a i A nazveme prvok stupa k, ak je obsiahnutý práve v k navzájom rôznych triedach z B. Prvky množiny A nazveme body. Ke budeme hovori o konkrétnom geometrickom modeli ( r, q) štruktúry, budeme pre prvky množiny B, t.j. pre triedy používa aj príslušný geometrický názov, napr. priamka, kružnica, horocykel, sféra a podobne. Príklad 1. Nech M = E, kde E je reálna euklidovská rovina. Nech A je množina n bodov v E. Nech B je množina všetkých priamok v E urených bodmi z A. M A, B,1 - štruktúra. Potom (, ) je ( ) Príklad. Nech M = E. Nech A je množina n bodov v E takých, že žiadne tri neležia na jednej priamke. Nech B je množina všetkých kružníc urených bodmi z A. M A, B 3,1 - štruktúra. Potom (, ) je ( ) Príklad 3. Nech M = H, kde H je hyperbolická rovina. Nech A je množina n bodov v H. Nech B je množina všetkých horocyklov v H urených bodmi z A. M A, B, - štruktúra. Potom (, ) je ( ) Príklad 4. Nech M = E. Nech A je množina n rôznych bodov v E taká, že diam A <. Nech B je množina všetkých jednotkových kružníc urených bodmi z A

18 (t.j. tých jednotkových kružníc, ktoré obsahujú aspo dva body z A ). Potom ( M, A, B) je (, )- štruktúra. M =. Nech A { a, a,, } E Príklad 5. Nech E3 1 a n takých, že žiadne štyri z nich nie sú komplanárne. Každá trojica bodov = je množina n bodov v 3 a, a, a A S i j, k i j k n i, j, jednoznane uruje kružnicu so stredom, a polomerom i, j k. Ozname k priamku prechádzajúcu cez S i, j, k a kolmú k rovine urenej bodmi a i, a j, ak. Ozname alej δ = max a vezmime íslo D > δ ubovone. Potom každá trojica bodov r i, j, k ai, a j, ak A uruje práve dve sféry s polomerom D a so stredom na normále n i, j, k. Ak za B vezmeme množinu vyššie definovaných sfér, potom ( M, A, B) je ( 3, ) - štruktúra. Dá sa uvies mnoho alších príkladov ( r, q ) - štruktúr, ale asi už vyššie uvedené postaujú k tomu, aby bola zrejmá šírka tohto pojmu, ktorý bol zavedený s cieom zjednoti množstvo (najmä) geometrických modelov na základe ich spoloných kombinatorických vlastností. Je teda zrejmé, že tvrdenie platné pre abstraktnú kombinatorickú ( r, q ) - štruktúru zostáva v platnosti aj pre všetky jej konkrétne modely. Treba si však uvedomi, že pre konkrétne (napr. geometrické) modely sa dajú obvykle odvodi silnejšie tvrdenia, nakoko v konkrétnych modeloch sú okrem axiómov (i), (ii), (iii) splnené a pri dôkazoch podstatne využitené! aj iné vlastnosti. Ni to však nemení na tom, že niektoré tvrdenia o kombinatorických ( r, q )-štruktúrach sú najsilnejšie možné., ozname p k poet bodov stupa k z A a t k poet tried rádu k z B. Štandardným postupom dvojakého sítania sa dajú odvodi užitoné incidenné rovnice Pre ( r, q )-štruktúru ( M A, B) n k = r m n k k t k = k p k a k = q k = r r Veta 4.1. ( [] ) Poet tried (, ) t k n = q. r - štruktúry nie je menší ako poet prvkov, teda m n. Dôsledok 1. Poet horocyklov urených n bodmi je aspo n. Dôsledok. Poet jednotkových kružníc urených n -bodovou množinou A, ktorej priemer je menší ako, je aspo n. Veta 4.. ( [8] ) Ak q r, tak pre ( r, q ) - štruktúru platí m ( q 1) n /( r 1). Veta 4.3. ( [5] ) Nech ( M A, B ), je, ) každý bod množiny A patrí do aspo možný. Veta 4.4. ( [6] ) Nech > r ( M A, B ) r, ( -štruktúra, kde A { a, a,, } 1+ 8n 7 =. Potom 1 a n tried z B. Odhad je najlepší n, A = { a, a,, }, { 1,,, r 1} 1 a n k. Nech, je netriviálna ( r, ) -štruktúra. Potom každá k -tica bodov z množiny A patrí do aspo 1 1+ n k 1+ 8 tried z B. Odhad je najlepší možný. r k

19 5. Body a jednotkové kružnice Na. konferencii "Convex and Discrete Geometry", Bydgoszcz 1998 na svojej prednáške predložil F. Fodor (v mene trojice autorov A. Bezdek, F. Fodor, I. Talata) nasledovný problém Sylvestrovho typu. Nech A je množina n bodov v rovine taká, že diam A <. Štvorica bodov sa nazýva výnimoná, ak tri z nich sú vrcholmi ostrouhlého trojuholníka vpísaného do jednotkovej kružnice a štvrtý bod je spoloným bodom troch jednotkových kružníc, ktoré obsahujú práve dva vrcholy toho trojuholníka. Dokážte, že ak A nie je výnimoná, potom aspo jedna z urených jednotkových kružníc je prostá. Nevýnimoná množina A taká, že diam A <, spolu s jednotkovými kružnicami, ktoré sú množinou A urené, tvorí (, ) - štruktúru. Je preto prirodzené položi aj otázku Elliottovho typu a pýta sa na minimálny poet jednotkových kružníc urených bodmi z A takých, ktoré prechádzajú jedným bodom. Tak vznikla na druhý de po Fodorovon oznámení problému nasledovná veta. Veta 5.1. ( [4] ) Nech A je množina n bodov v euklidovskej rovine E taká, že 1+ 8n 7 diam A <. Potom každý bod a i A inciduje aspo s jednotkovými kružnicami, ktoré urujú body množiny A. Pritom odhad vety je najlepší možný. Je zrejmé, že pre jednotkové kružnice je metrika podstatná. Preto bolo prekvapujúce, že dôkaz vety sa dal urobi pomocou kruhovej inverzie, ktorá metriku nezachováva. alším prekvapením bola úplná zhoda tohto odhadu s odhadom pre minimálny poet horocyklov prechádzajúcich jedným bodom; naviac oba odhady sú najlepšie možné. A práve táto zhoda vnukla myšlienku dokáza všeobecné analogické tvrdenie pre abstraktnú kombinatorickú (, ) -štruktúru (pozri vetu 4.3). 6. Záver Podstatná as výskumu v tejto oblasti bola a samozrejme stále je venovaná konkrétnym geometrickým modelom ( r, q ) -štruktúr, a to z najrôznejších optimalizaných hadísk, napr. poet rôznych vzdialeností (prípadne opakovaných vzdialeností) urených n bodmi (vrátane hadania extremálnej štruktúry), z hadiska sútu vzdialeností, z hadiska potu smerov a uhlov, a podobne. Záujemca nájde množstvo informácií a najmä otvorených problémov v najnovšom [9]. Literatúra [1] AIGNER, M., ZIEGLER, G. M.: Proofs from THE BOOK. Berlin-Heidelberg- New York: Springer, [] BÁLINT, V.: On a certain class of incidence structures. In: Studies of University of Transport and Communications in Žilina, Math-phys. series (1980), , (Slovak). [3] BÁLINT, V.: The notion of abstract ( r, q) - structure and its geometrical background. In: Abstracts of the 1 st Scientific Conference Convex and Discrete Geometry. Bydgoszcz [4] BÁLINT, V.: On a connection between unit circles and horocycles determined by n points. In: Periodica Mathematica Hungarica Vol. 38(1-), (1999),

20 [5] BÁLINT, V.: One combinatorial theorem and two of its geometrical corollaries. In: Research Communications of the conference held in the memory of Paul Erds, Budapest, Hungary, July 4-11, 1999, 7-9. [6] BÁLINT, V.: A short survey of ( r, q) - structures. In: Discrete Geometry. A Dekker Series of Monographs and Textbooks. A. Bezdek (ed.). New York: M. Dekker, Inc., , 7-3. [7] BÁLINT, V., BÁLINTOVÁ, A.: On the number of circles determined by n points in the Euclidean plane. In: Acta Math.Hungarica 63 (3) (1994), [8] BÁLINT, V., LAURON, P.: Some inequalities for the (r, q)-structures. Studies of University in Žilina, Math-phys. series 11(1997), [9] BRASS, P., MOSER, W. O. J., PACH, J.: Research Problems in Discrete Geometry. New York: Springer 005. ISBN-10: [10] BRUIJN, N. G. de, ERDS, P.: On a combinatorial problem. Nederl. Acad. Wetensch. 51 (1948), [11] BECK, J.: On the lattice property of the plane and some problems of Dirac, Motzkin and Erds in combinatorial geometry. Combinatorica 3 (3-4)(1983), [1] CSIMA, J., SAWYER, E. T.: A short proof that there exist 6n/13 ordinary points. Discrete and Computational Geometry 9(1993), No., [13] COXETER, H. S. M.: Introduction to geometry. New York: John Wiley and Sons, [14] DIRAC, G. A.: Collinearity properties of sests of points. Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series ), (1951), 1-7. [15] ELLIOTT, P. D. T. A.: On the number of circles determined by n points. Acta Math. Acad. Sci. Hung. 18 (1967), [16] ERDS, P.: On the combinatorial problems which I would most like to see solved. Combinatorica 1 (1981), 5-4. [17] JUCOVI, E.: Problem 4. Combinatorial Structures and their Applications, New York London Paris, Gordon and Breach [18] KÁRTESZI, F.: Intorno a punti allineati di certi reticoli circolari. Rend. Sem. Matem. Messina 9 ( ), 1-1. [19] KELLY, L. M., MOSER, W. O. J.: On the number of ordinary lines determined by n points. Canad. J. Math. 10 (1958), [0] KLEE, V., WAGON, S.: Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Math. Assoc. Amer., Washington, DC (1991). [1] KOUTSKÝ, K., POLÁK, V.: Poznámka o postradatelných bodech v úplných sestavách bod a pímek v rovin. asopis pro pstování matematiky 85 (1960), [] MOSER, W. O. J., PACH, J.: 100 Research Problems in Discrete Geometry, McGill University, Montreal [3] MOTZKIN, T.: The lines and planes connecting the points of a finite set. Trans. Amer. Math. Soc. 70 (1951) [4] SYLVESTER, J. J.: Mathematical Question 11851, Educational Times 46(1893), 156. Výskum bol podporovaný grantom VEGA 1/3839/

21 DISKRÉTNÍ PROCESY V ELEKTROTECHNICE Jaromír Baštinec 1 Abstrakt: Píspvek je vnován obsahu, zamení a navrhovaným inovacím pedmtu,,diskrétní procesy v elektrotechnice'', urenému pro studenty doktorandských studijních program na FEKT VUT. 1. Úvod V roce 00 byla na Fakult elektrotechniky a komunikaních technologií Vysokého uení technického v Brn (FEKT VUT) zahájena dvoustupová výuka. Souasn byly provedeny úpravy v délce semestru. V souladu s propagovaným trendem snižování potu hodin kontaktní výuky má nyní semestr 13 týdn výuky a koní ped Vánocemi. Po svátcích jsou 4 týdny zkouškového období a jeden týden prázdnin. Poté následuje 13 týdn výuky v letním semestru a zkouškové období, které je ale prodlouženo, protože se v jeho prbhu konají pijímací zkoušky. Pi pechodu na dvoustupový typ studia došlo k velkým zmnám v obsahu a struktue studia. Poet hodin matematiky byl pronikav snížen. V bakaláském studiu je v prvním semestru pedmt BMA1 o rozsahu 4 hodiny pednášek, 1 hodina numerického a 1 hodina poítaového cviení týdn a volitelný seminá pro doplnní stedoškolské látky BMAS o rozsahu hodiny numerického cviení týdn.ve druhém semestru je pedmt BMA o rozsahu Ve tetím semestru je pedmt BMA3 o rozsahu Partie matematiky, které bylo nutné vyadit z osnov povinných pedmt BMA1-3, ale které budou studenti potebovat, pokud se rozhodnou pokraovat ve studiu, byly zaazeny do volitelného pedmtu BVPM o rozsahu Do navazujícího magisterského studia byly zaazeny 4 matematické pedmty: Diferenciální rovnice v elektrotechnice - o rozsahu 3 hodiny pednášek a 1 hodina cviení týdn, Pravdpodobnost, statistika a operaní výzkum - o rozsahu -, Maticový a tenzorový poet - o rozsahu, Moderní numerické metody - o rozsahu 3-1. Jde o dobrovoln volitelné pedmty. V bakaláském studijním programu mla být matematika na nižší úrovni než v pedchozím inženýrském studijním programu. Skutenost tomu ale neodpovídá. Celkem mají studenti v bakaláském studiu celkem 117 hodin pednášek, 39 hodin numerického cviení a 39 hodin poítaového cviení v povinných pedmtech a mají možnost si zvolit volitelné pedmty v rozsahu až 78 hodin. V magisterském studijním programu budou mít 5 hodin matematiky, popípad 104, pokud si zvolí dva matematické pedmty, ale také nemusí mít ani jeden a potom pokraují dále pouze se znalostmi z bakaláského studia. To znamená, že bhem celého studia je student povinen absolvovat pouze 195 hodin pímé výuky matematiky (pokud si k nim dobrovoln nepidá nkterý z volitelných pedmt, v tom pípad mže stoupnout poet hodin až na 73). V pípad, že si vybere student i jeden volitelný pedmt v navazujícím magisterském studiu, tak mže mít 47 hodin výuky matematiky. Pitom ped zahájením reforem studia, bylo pouze v prvním semestru 5 hodin výuky matematiky. Výuka matematiky byla tehdy zaazena do prvních ty semestr a byla 1 UMAT FEKT VUT v Brn, Technická 8, Brno, bastinec@feec.vutbr.cz

22 rozdlena do 6 semestrálních pedmt. Souástí postgraduálního studia byla i povinná zkouška z matematiky. Jde o velmi výrazné snížení potu hodin, které není doprovázeno adekvátním snížením obsahu. Výuka matematiky je proto v bakaláském i navazujícím magisterském studijním programu velmi nároná. Zvlášt výrazn se projevuje u student nedostatená potáská praxe, která je dsledkem slabého procviení materiálu. Veškerá výuka se dje v píliš velkém spchu a studenti nemají jednotlivé pojmy a postupy dostaten zažité. Pedpoklad dkladné domácí samostatné práce student se nenaplnil.. Výuka matematiky v doktorandském studiu Postgraduální doktorandské studium je nemyslitelné bez kvalitní teoretické pípravy. Proto byly matematické pedmty zahrnuty i do doktorandských studijních program. Podle svého zamení si mohli studenti volit z následujících pedmt: - Numerické ešení polí - Diferenciální rovnice v elektrotechnice - Algebra, kombinatorika, grafy - Logika - Komplexní promnná v elektrotechnice - Diskrétní procesy v elektrotechnice - Operaní analýza - Varianí poet, aplikace v elektrotechnice - Impulsní funkce, aplikace v elektrotechnice - Globální transformace funkcionálních rovnic - Statistické metody zpracování dat Obsah pedmt vychází z požadavk finálních ústav. U všech pedmt jsou plánovány pouze pednášky. Studenti PGS si vybírají pedmty podle svého odborného zamení. Vtšinou se rozhodují na základ doporuení svého školitele. Poet kurz a jejich obsah se prbžn mní. Jako dsledek neustálého krácení potu hodin výuky matematiky v základních programech, je teba stále více partií matematiky pesunovat do vyšších program z bakaláského do magisterského a z magisterského do postgraduálního. Vybrané partie matematiky, které byly díve standardní souástí základního kurzu matematiky na naší fakult, se te objevují až v doktorandském studiu. Zatímco díve se s nimi seznamovali všichni studenti, nyní se jejich výuka týká pouze vybraných jedinc. 3. Pedmt,,Diskrétní procesy v elektrotechnice Fyzikální a technický popis vtšiny proces v elektrotechnice se provádí pomocí spojitých a po ástech spojitých funkcí. Ale pi jakémkoliv mení vždy dostáváme jako obraz spojité veliiny diskrétní veliinu. Proto je nutné, aby studenti zvládli práci nejen se spojitými funkcemi, ale i s diskrétními. Proto je jedním z doktorandských pedmt pedmt,,diskrétní procesy v elektrotechnice" o rozsahu 39 hodin výuky, tj. 3 hodiny týdn, zaazený do letního semestru. Pedpokládá se, že pednášející zaadí do výkladu i vhodné ilustraní píklady a procviení budou provádt posluchai sami v rámci svého studia. Pípadné nejasnosti budou objasnny na konzultacích

23 Osnova pedmtu: 1. Diferenní poet. Diferenní diskrétní rovnice a jejich systémy.. Diferenní rovnice a systémy s konstantními koeficienty a metody jejich ešení. 3. Konvergence a divergence ešení diferenních rovnic. 4. Periodické body a cykly. Transformace nelineárních diskrétních rovnic v lineární. 5. Jordanv tvar matice. 6. Markovovy etzce. Stabilita ešení diskrétních rovnic. 7. Stabilita podle diskrétní lineární aproximace. Ljapunovovy metody v teorii diskrétních rovnic. Typy diskrétní stability. 8. Z transformace. Metody zptné Z transformace. Volterrova diferenní rovnice konvoluního typu. 9. Diskrétní Laplaceova a Fourierova transformace. Z-transformace versus Laplaceova transformace. Rychlá Fourierova transformace. 10. Diskrétní ekvivalenty spojitých systém. Diskrétní teorie ízení. iditelnost. Stabilizace ízení dle zptné vazby. 11. Oscilace a neoscilace ešení diferenních rovnic. Asymptotické vlastnosti ešení diferenních rovnic. 1. Aproximaní nástroje. Rovnice druhého ádu. Vzorkování. Krátkodobé impulsové podnty. 13. Diracova distribuce. Popis obvod diferenními rovnicemi. Pro usnadnní studia byl vypracován elektronický text pednášek, který obsahuje i píklady pro samostatné cviení. Základní literatura, ze které jsme vycházeli, je uvedena na konci píspvku. Text bude studentm pístupný na fakultní síti. Po dkladných korekturách a recenzi textu se pedpokládá jeho veejné zpístupnní všem zájemcm o problematiku diskrétních proces. Problémy, popisované podobnými diferenními rovnicemi jako v elektrotechnice, se vyskytují i v jiných oborech. Pedpokládáme využití vhodného matematického software pro ilustraci jednotlivých metod a postup. Program MATHEMATICA mžeme využívat pouze v omezené míe, která je dána potem licencí. Navíc jej nemohou studenti používat doma a pi své práci na svých ústavech. Proto se v souasnosti zamujeme více na využívání programu MAPLE. Pro letošní rok byl schválen grant, který pedpokládá tvorbu ilustraních píklad v prostedí MAPLE pro poteby pedmtu "Diskrétní procesy v elektrotechnice". Výsledky tohoto grantu se budou používat paraleln s pipravovaným elektronickým textem. Pedmt "Diskrétní procesy v elektrotechnice" si volí studenti obor Kybernetika, automatizace a mení, Biomedicínská elektronika a biokybernetika, Mikroelektronika a technologie, Silnoproudá elektrotechnika a elektroenergetika, Elektronika a sdlovací technika. Poet zájemc o pedmt závisí na potu pijatých student do doktorských obor a osciluje kolem deseti poslucha ron. To umožuje i individuální pístup a pružnou reakci na poteby a požadavky student. 4. Pipravované zmny Obsah a zamení doktorandského studia se neustále mní a pizpsobuje novým podmínkám a úkolm. Napíklad ada disertaních prací je vypracovávána na základ - 1 -

24 požadavk i pímo zadání firem, které se tímto podílejí na základním i aplikovaném výzkumu. Spolupráce s firmami je velmi rznorodá a liší se pípad od pípadu. Od jedné získáme pouze téma, které je pro n zajímavé, jiná se vedle formulace zadání i ásten podílí na financování výzkumu, i umožuje využívat své zaízení a vybavení pro výzkum. Proto je nutné prbžn upravovat nápl matematických pedmt. Na základ požadavk vedení fakulty byly vypracovány dva návrhy na inovaci pedmtu. Oba návrhy pedpokládají, že budou mít 4 hodiny pednášek týdn, tj. 4 hodiny celkem, a budou probíhat v letním semestru. Jako první je navrhován pedmt DISKRÉTNÍ PROCESY V ELEKTROTECHNICE, s osnovou: I. Základní aparát a základní metody vyšetování diskrétních proces. (5 týdn) Diskrétní poet (vybrané diferenní vztahy na základ spojitých analogií). Diferenní rovnice a systémy. Základní pojmy, užívané v diskrétních rovnicích (rovnovážné body, periodické body, body potenciáln rovnovážné a potenciáln periodické, stabilita ešení, pitahující a odpuzující body) a jejich ilustrace na píkladech (modelování obvod diskrétními rovnicemi, penos informace). Rekurzivní algoritmy ešení systém diskrétních rovnic a rovnic vyšších ád (pípad konstantních koeficient, metoda variace parametr, metoda neuritých koeficient). Poítaová konstrukce obecného ešení. Transformace nkterých nelineárních rovnic na lineární. Diferenní rovnice sestavované na bází vzorkování, impulsové podnty, výpoet charakteristik z odezvy signálu (odezva Diracovy distribuce), pechodné dje. II. Aplikace diferenních rovnic - stabilita proces (4 týdny) Stabilita rovnovážných bod. Typy stability a nestability. Stabilita lineárních systém s promnnou maticí. Stabilita nelineárních systém podle lineární aproximace. Ljapunovova pímá metoda pro zjištní stability. Fázová analýza dvourozmrného diskrétního systému s konstantními koeficienty, klasifikace rovnovážných bod. (Alternativn: typy diskrétních Z transformací a metody zptné Z transformace. Volterrova diferenní rovnice konvoluního typu. Diskrétní Laplaceova a Fourierova transformace. Rychlá Fourierova transformace.) III. Aplikace diferenních rovnic - ízení proces (4 týdny) Diskrétní ekvivalenty spojitých systém. Diskrétní teorie ízení (iditelnost, úplná iditelnost, matice iditelnosti, kanonické tvary iditelnosti, iditelná kanonická forma, konstrukce algoritmu ízení). Pozorovatelnost (úplná pozorovatelnost, nepozorovatelnost, princip duality, matice pozorovatelnosti, kanonické tvary pozorovatelnosti, vztah iditelnosti a pozorovatelnosti). Stabilizace ízení dle zptné vazby. Jako další je navrhován pedmt SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ PROCESY V ELEKTROTECHNICE, s osnovou: I. Metody vyšetování spojitých proces. (6 týdn) - -

25 Metoda vlastních vektor pi ešení lineárních rovnic s konstantními koeficienty. Stabilita ešení systém diferenciálních rovnic. Stabilita lineárních systém s konstantními koeficienty. Využití exponenciály matice. Stabilita podle první aproximace (princip linearizace). Metoda Ljapunovovských funkcí a jejich konstrukce. Dvourozmrný spojitý dynamický systém s konstantními koeficienty, klasifikace stacionárních bod bod. Pírstek argumentu, Hurwitzovo a Michajlovovo kriterium. Zptná vazba v diferenciálních rovnicích a rovnice s asovým zpoždním. Vliv zpoždní na existenci a vlastnosti ešení. Podmínky jednoznanosti ešení. Konstrukce ešení krokovou metodou. Charakteristická kvazi-rovnice a její koeny. Stabilita rovnic se zpoždním metodou Ljapunova-Krasovského. II. Základní aparát a základní metody vyšetování diskrétních proces. (7 týdn) Diskrétní poet, diferenní rovnice a systémy. Rekurzivní algoritmy ešení systém diskrétních rovnic a rovnic vyšších ád (pípad konstantních koeficient, metoda variace parametr, metoda neuritých koeficient). Poítaová konstrukce ešení. Transformace diskrétních rovnic. Diferenní rovnice sestavované na bází vzorkování, impulsové podnty, výpoet charakteristik z odezvy signálu (odezva Diracovy distribuce), pechodné dje. Stabilita rovnovážných bod. Stabilita lineárních systém s promnnou maticí. Stabilita nelineárních systém podle lineární aproximace. Ljapunovova metoda stability. Fázová analýza dvourozmrného diskrétního systému s konstantními koeficienty, klasifikace rovnovážných bod. Diskrétní ekvivalenty spojitých systém a úvod do diskrétní teorie ízení (iditelnost, úplná iditelnost, matice iditelnosti, kanonické tvary, konstrukce algoritmu ízení). Stabilizace ízení dle zptné vazby. 5. Závr Pi píprav pedmtu jsme byli vedeni snahou poskytnout studentm doktorandských studijních program efektivní matematický aparát, který bude bezprostedn použitelný pi jejich práci. Museli jsme pitom poítat s nižší úrovní vstupních znalostí student. Zda zstane zachován pvodní pedmt a nebo se nahradí novým, a to kterým, nebo budou probíhat paraleln dva pedmty, tak o tom se zatím vedou diskuse. Rozhodne oborová rada. Nakolik jsme byli úspšní ukáže až budoucí zájem student PGS o pedmt. Podkování. Práce byla podpoena grantem FRVŠ 77/006. Literatura [1] ARAMANOVI, J.G. LUNC, G. L., ELSGOLC, L. C.: Funkcie komplexnej premennej, operátorový poet, teória stability, Alfa, SNTL, [] DIBLÍK, J.: Diskrétní rovnice, pípravy k pednáškám, Brno, 006. Preprint [3] DIBLÍK, J., BAŠTINEC, J., R ŽIKOVÁ, I.: Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice, Studijní modul, FEKT, VUT,Brno, 005. [4] DIBLÍK, J., R ŽIKOVÁ, I.: Discrete Processes in Electrical Engineering, Studijní modul, Brno, 005. [5] ELAYDI, S.N.: An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag, New York, Inc., ISBN

26 [6] ELAYDI, S. N.: An Introduction to Difference Equations, Second Edition, Springer-Verlag, New York, Inc., ISBN [7] ELAYDI, S. N.: An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag, New York, Inc., 3rd ed., 005. [8] FARLOW, S. J.: An Introduction to Differential Equations, McGraw-Hill, Inc., ISBN [9] LAKSHMIKANTHAM, V., TRIGIANTE, D.: Theory of Difference Equations, Numerical Methods and Applications, Marcel Dekker, Inc., 00. ISBN [10] MAYER, D.: Úvod do teorie elektrických obvod, SNTL, Alfa, [11] PRÁGEROVÁ, A.: Diferenní rovnice, SNTL, [1] ŠMARDA, Z., R ŽIKOVÁ, I.: Vybrané partie z matematiky, Studijní modul, FEKT VUT, Brno

27 VÝUKA NUMERICKÝCH METOD V NAVAZUJÍCÍM MAGISTERSKÉM STUDIU NA FEKT VUT BRNO Jaromír Baštinec 1, Michal Novák Abstrakt: Píspvek je vnován nov budovanému pedmtu Moderní numerické metody, který je uren pro studenty navazujícího magisterského studia na FEKT VUT v Brn, a popisu problém, které souvisí s budováním pedmtu a jeho zavádním do praxe. 1. Úvod Ve školním roce 005/006 byla na Fakult elektrotechniky a komunikaních technologií Vysokého uení technického v Brn (FEKT VUT) zahájena výuka v navazujícím magisterském studiu. Již pi pechodu na dvoustupový systém vysokoškolského studia došlo k velkým zmnám, zejména byl pronikav snížen poet hodin matematiky. Nyní je v prvním semestru bakaláského studijního programu pedmt oznaovaný BMA1 o rozsahu 4 hodiny pednášek, 1 hodina numerického a 1 hodina poítaového cviení týdn. Dále je zde volitelný pedmt BMAS o rozsahu hodiny numerického cviení týdn urený pro doplnní stedoškolské látky. Ve druhém semestru je pedmt BMA o rozsahu a ve tetím semestru pedmt BMA3 o rozsahu Ty ásti matematiky, které bylo nutné vyadit z osnov povinných pedmt BMA1-BMA3, ale které budou studenti potebovat v budoucnu, pokud se rozhodnou pokraovat ve studiu, byly zaazeny do volitelného pedmtu BVPM o rozsahu Studenti si jej mohou zapsat po absolvování povinných pedmt. V roce 005 promovali první bakalái. Skoro všichni se pihlásili do navazujícího magisterského studia. Protože úspšn ukonilo bakaláské studium mén poslucha, než oekávalo vedení fakulty, byli všichni zájemci o navazující magisterské studium pijati a navíc bez pijímací zkoušky, o které se pedpokládalo, že bude i z matematiky. Nic proto studenty nenutilo si matematiku zopakovat. Tím se u student prodloužila doba, kdy nemli žádný matematický pedmt a ada z nich ani žádný jiný kontakt s matematikou.. Výuka matematiky v magisterském studiu V navazujícím magisterském studiu byly vytvoeny 4 matematické pedmty: Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice, o rozsahu 3 1 (= 3 hodiny pednášky a 1 hodina cviení týdn), Pravdpodobnost, statistika a operaní výzkum, o rozsahu -, Maticový a tenzorový poet, o rozsahu -, Moderní numerické metody, o rozsahu 3-1. Jedná se o volitelné pedmty, které si studenti je volí na základ doporuení svých finálních ústav (tj. tch na kterých budou pracovat na magisterské práci). Pi sestavování osnov se vycházelo z pedpokladu, že studenti, kteí se pihlásí do 1 Ústav matematiky FEKT VUT v Brn, Technická 8, Brno, bastinec@feec.vutbr.cz Ústav matematiky FEKT VUT v Brn, Technická 8, Brno, novakm@feec.vutbr.cz - 5 -

28 magisterského studia, bu mají potebné znalosti z bakaláského studia, nebo si budou schopni potebné partie matematiky sami nastudovat. Pedpokládá se pitom velmi tsná vazba na technické aplikace a schopnost použít získané vdomosti na ešení konkrétních technických problém. 3. Numerické metody Se základními principy numerických metod se seznámí studenti bhem bakaláského studia v pedmtu BMA3, jehož jedna polovina je vnována práv numerickým metodám. Probírá se: 1. Banachova vta. Iteraní metody ešení systém lineárních rovnic. (Metody ešení nelineárních rovnic jsou probírány pouze ve cvieních).. Aproximace funkcí interpolaní polynom, pirozený kubický splajn, metoda nejmenších tverc. 3. Numerické metody derivování a integrace. 4. Numerické ešení obyejných diferenciálních rovnic poátení úlohy. 5. Numerické ešení obyejných diferenciálních rovnic okrajové úlohy. 6. Numerické ešení parciálních diferenciálních rovnic okrajové úlohy (metoda sítí, metoda konených prvk). V rámci šesti, resp. sedmi dvouhodinových cviení z numerických metod se v tomto pedmtu proberou následující témata (všechna v rámci poítaových cviení): 1. Separace koen. ešení jedné nelineární rovnice plení interval, metoda regula falsi. (probírá se pouze na cviení). ešení jedné nelineární rovnice metoda prosté iterace, Newtonova metoda. (probírá se pouze na cviení) 3. Systémy nelineárních rovnic Newtonova metoda a metoda prosté iterace (probírá se pouze na cviení), interpolaní polynom. 4. Splajn, metoda nejmenších tverc. 5. Numerické derivování a integrování lichobžníková a Simpsonova metoda. 6. Numerické ešení obyejných diferenciálních rovnic Eulerova metoda, metoda Runge-Kutty, metoda konených diferencí. Styl výkladu na pednáškách a obsah cviení se musel pizpsobit slabým teoretickým základm student. Prakticky je možné studenty pouze seznámit s algoritmy a s jejich používáním za podpory vhodného poítaového programu a probrat pouze základní vzorce vztahující se k uvedeným metodám. I když se na cviení vnuje jistá pozornost ovování podmínek konvergence daných metod, jedná se asto o okrajové téma. Z asových dvod také není možné probrat celý rozsah látky pedepsaný osnovami. Nejastji se vypouští poslední ást vnovaná parciálním diferenciálním rovnicím. Nkterá témata jsou navíc v tomto pedmtu probírána pouze na cviení, jiná pouze na pednáškách. Protože poteby magisterského studia vyžadují, aby studenti umli i nco více než jen dosazování do vzorc, byl navržen pedmt Moderní numerické metody (MMNM) s následujícím obsahem: 1. Píklady praktických úloh, princip numerických metod, klasifikace a šíení chyb. Zvyšování pesnosti výpotu, Richardsonova extrapolace

29 . Úplný metrický prostor, operátor kontrakce, Banachova vta o pevném bodu a její užití. 3. Finitní, maticov iteraní a gradientn iteraní metody ešení soustav lineárních algebraických rovnic. 4. Pehled metod ešení jedné nelineární rovnice, Newtonova a iteraní metoda pro soustavu. 5. Obyejné diferenciální rovnice, základní úvahy a pojmy. 6. Poátení úlohy, jednokrokové metody, metody Rungeho-Kutty. 7. Metoda Taylorova rozvoje, princip algoritmu, možnosti využití. 8. Vícekrokové metody, metody založené na numerické derivaci a integraci, metody predikátor korektor. 9. Okrajové úlohy, metoda konených diferencí a metoda konených prvk. 10. Parciální diferenciální rovnice, základní pojmy, klasifikace rovnic druhého ádu. 11. Metoda konených diferencí, metoda konených prvk. 1. Metoda konených objem, ukázky numerického ešení polí. Pi letmém srovnání se zdá, že obsah do znané míry kopíruje obsah pedmtu BMA3. U pedmtu MMNM se pedpokládá i zvládnutí teoretických základ jednotlivých metod. Proto se zvláštní pozornost vnuje podmínkám konvergence u jednotlivých metod, jejich ovování a odhadm chyb. Naším hlavním cílem je, aby se studenti nauili nejen používat vhodné numerické metody, ale aby byli schopni poznat i jejich omezení a slabiny. Jsou pipraveny ukázky praktických píklad, kdy daná metoda diverguje a pro. Studentm ukazujeme divergenci vybraných metod, a to jak pi nesplnní podmínek konvergence, tak i v dsledku numerické nestability výpotu, i to že ve speciálním pípad mže metoda konvergovat, i když nejsou splnny podmínky konvergence. Pi ešení konkrétních úloh se využívá vhodné poítaové vybavení, v souasné dob zejména program MATLAB, se kterým se studenti seznámili již bhem bakaláského studia v pedmtu BMA3. 4. Nápl cviení pedmtu Moderní numerické metody Vzhledem k hodinové dotaci na pedmt MMNM a pedpokládanému potu student, byla upednostnna forma jednoho dvouhodinového bloku cviení jednou za dva týdny. Pi délce semestru 13 týdn tedy v rámci pedmtu probhne 6, resp. 7 cviení. Vzhledem k lichému potu týdn semestru a faktu, že výuka probíhá ve dvou skupinách vždy jednou za dva týdny, je sedmé cviení plánováno pouze pro jednu studijní skupinu. Všechna cviení jsou plánována jako poítaová. Témata cviení a pednášky se kryjí, resp. cviení zahrnuje pouze ást témat, která budou probrána na pednášce. Vzhledem k pomru hodin výuky mezi pednáškami a cvieními nebylo možné oekávat, že budou na cvieních probrána všechna odpednášená témata. U témat, se kterými se studenti již setkali, se proto vnujeme práv podmínkám konvergence daných metod, speciálním pípadm, otázkám jednoznanosti ešení apod. Nápl cviení v pilotním roníku pedmtu je následující: 1. Chyby ve výpotech, pesnost výpotu, píklady nestabilních úloh, ukázky nadstavby nad BMA3 u úloh ešených v tomto pedmtu; soustavy lineárních rovnic - 7 -

30 . Metody ešení jedné nelineární rovnice u metod známých z BMA3 pouze ovování podmínek konvergence a píklady úloh, které nelze danou metodou ešit 3. ešení algebraických rovnic, odhady polohy koen,konstrukce Sturmovy posloupnosti 4. Metoda Graeffova-Lobaevského, ešení poáteních úloh Eulerovou metodou a metodou Rungeho-Kutty, konvergence, stabilita. 5. Vícekrokové metody ešení diferenciálních rovnic prvního ádu, soustavy diferenciálních rovnic 6. Metoda stelby, okrajové úlohy ešené metodou konených diferencí 7. Píprava na zkoušku, opakování U zbývajících metod se pedpokládá, že jejich použití bude objasnno na pednášce a procviení budou muset zvládnout studenti samostatn. Vzhledem k asovým možnostem jsme dali pednost procviení jen ásti materiálu, kde si mžeme dovolit jít hloubji, než se jen letmo zmínit o všech metodách. 5. Studijní opory Pro usnadnní studia na FEKT byly rozhodnuto vytvoit elektronické texty pednášek a cviení pro všechny pedmty. Tyto opory jsou studentm pístupné na fakultní síti. Každý student tedy má možnost si text vytisknout a nemusí si na pednášce zapisovat pesné znní definic a vt a mže se více soustedit na pochopení podstaty a na ešené píklady, vysvtlivky a doplky k textu. Každý elektronický text obsahuje píklady pro samostatnou práci, takže slouží i jako základní literatura pro domácí pípravu. Tento systém byl zaveden už pi zahájení bakaláského studia. Píprava elektronického textu pro pedmt MMNM probíhala v prbhu roku 005. V souasné dob je pro pedmt MMNM na poítaové síti FEKT VUT dostupná pedbžná verze uebního textu, jehož souástí je i sbírka ešených píklad; finální verze je zpracovávána. Ke každému tématu je k dispozici dostatek píklad, v nichž se zdrazuje i použitelnost dané metody v dané situaci, ovení podmínky konvergence apod. U ady píklad jsou uvedeny zmny zadání volené tak, aby bylo patrné, jak zmna píslušných parametr úlohy ovlivní ešení nap. pi ešení téže diferenciální rovnice za dvou rzných poáteních podmínek. Stejná zadání jsou ešena rznými numerickými metodami, aby bylo možné srovnání jejich pesnosti, náronosti, rychlosti konvergence atd. Pi praktických výpotech na cviení jsou využívány pedem pipravené studijní opory, které umožují zpístupnit studentm všechny potebné mezivýsledky, ímž je do znané míry zarueno, že si studenti mohou pi práci volit tempo a strategie, které jim vyhovují. Zdrazujeme možnost, aby si studenti bu na cviení nebo ve volném ase sestavili podobné pomcky, což jim umožní ešit další píklady, resp. vytváet vlastní zadání (samozejm pi respektování podmínek ešitelnosti dané úlohy). Pro zvýšení motivace student nejsou uvedené soubory zpístupnny na poítaové síti. 6. Vyhodnocení V bakaláském studijním programu mla být matematika na nižší úrovni než v pedchozím inženýrském studijním programu. Skutenost je však pesn opaná. U - 8 -

31 bakalá se pedpokládá, že zvládnou bhem prvního semestru ti tvrtiny látky, kterou mli díve studenti zaazenu do tí semestrálních kurz. Pitom došlo ke snížení potu hodin výuky matematiky na 30% pvodního stavu. Studenti mají v bakaláském studiu celkem 117 hodin pednášek, 39 hodin numerického cviení a 39 hodin poítaového cviení v povinných pedmtech a mají možnost si zvolit volitelné pedmty v až rozsahu 78 hodin (6+5). V magisterském studijním programu si mohou zvolit dalších 5 hodiny matematiky, pokud si zapíší njaký matematický kurz, nebo 104, pokud si zapíší dva kurzy (ve všech pípadech jde o volitelné pedmty). To znamená, že bhem celého studia mají studenti pouze 195 hodin pímé povinné výuky matematiky a navíc je veškerá povinná výuka matematiky zahrnuta pouze do bakaláského studia. V navazujícím magisterském studiu, ba dokonce ani v doktorandském studiu, už nepatí matematika mezi povinné pedmty. Pro srovnání ped zahájením reforem studia, bylo pouze v prvním semestru 5 hodin výuky matematiky. Jde o velmi výrazné snížení potu hodin, které není doprovázeno adekvátním snížením obsahu. Výuka matematiky je proto v obou programech velmi nároná. Zvlášt výrazn se projevuje u student nedostatená praxe, která je dsledkem nedostateného procviení materiálu. Na domácí samostatnou práci student není možné spoléhat. Ukázalo se dále, že asový interval mezi pedmty BMA3 a MMNM je pro mnohé studenty píliš dlouhý, a to do té míry, že v mnoha pípadech není možné spoléhat se na to, že daná metoda, zaazená do pedmtu MMNM, již byla probrána v bakaláském studiu. Vzhledem k nízké hodinové dotaci na cviení však není možné opakovat do detail to, co již bylo probráno. Snažíme se proto studenty spíše upozorovat na dležité partie a kritická místa, aby si mohli doplnit potebné znalosti sami. Domnívali jsme se, že jedním z nejvtších problém ve výuce bude pílišná dvra student ve výpoetní techniku a z ní pramenící podceování ostatní látky. Problémy týkající se využívání výpoetní techniky však pekvapiv leží jinde ne zanedbatelná ást student si totiž již odvykla práci s matematickými programy, což v nkterých pípadech znan ovlivuje výuku ve cviení. I když jsou voleny takové formy procviování látky, které umožují studentm volit si vlastní tempo práce, nedostatené pedchozí znalosti u nkterých student jim tém znemožují výraznjší zapojení do výuky. S tím souvisí i prbžné hodnocení aktivity ve cviení, které již v polovin semestru rozdlilo studenty na dv oste vyhranné skupiny. Pojmem aktivita pitom chápeme pomrn široce a rozumíme jím zapojení do chodu hodiny vlastními podnty, vcnými dotazy, návrhy ešení problém apod. Pod tento pojem také spadá navržení zpsobu algoritmizace píslušné metody v MATLABu, resp. její (ne nutn úplná) realizace. 7. Závr Píprava pedmtu MMNM, veškerá píprava výuky, vetn pípravy všech materiál pro ni, byla do znané míry prací naslepo. Na jae 005, kdy byly zahájeny práce na tvorb pedmtu, nikdo netušil, jaká bude skladba student, kolik se jich pihlásí do tohoto pedmtu, jaká bude úrove jejich znalosti z matematiky a další nezodpovditelné otázky. Pedpokládali jsme sice, že studenti minimáln rok nemli matematiku, ale nebyli jsme dostaten kvalifikovan schopni odhadnout, jaká bude rychlost zapomínání. V lét 005 konili první bakalái a až v záí bylo jasné, kolik jich postoupí dále do magisterského studia. S úrovní jejich znalostí a dovedností se postupn - 9 -

32 seznamujeme. První dležitý poznatek jsme získali hned na zaátku školního roku v záí prchodnost bakaláským studiem je podstatn menší, než se pvodn pedpokládalo. Pedmt "Moderní numerické metody" patí na FEKT VUT k nov zavádným pedmtm. Jeho nápl se do jisté míry ásten kryje s náplní jiného pedmtu z bakaláského studia. I když jsou nkteré tematické okruhy podobn zamené, liší se pístup k látce a okruhy, které jsou v pedmtu zdraznny. Cviení z pedmtu spoléhá do znané míry na výpoetní techniku. Používáme ji však tak, abychom podpoili takovou samostatnou práci student, pi které si studenti uvdomí omezení daných numerických metod, dokáží využít jejich výhod a vyhnout se jejich nedostatkm a nevýhodám. Nakolik jsme byli ve svém snažení úspšní, se ukáže až po urité dob. Pechod na dvoustupový systém vysokoškolského vzdlávání pedstavuje výraznou zmnu. Pedevším se požaduje, aby absolventi bakaláského studia byli po tech letech pipraveni k nástupu do praxe, ale souasn i k pokraování v navazujícím magisterském studiu. Jde o dva zcela protichdné požadavky, jejichž splnní se navzájem vyluuje. Za optimální ešení pokládáme návrat k ptiletému magisterskému studiu, které by bylo doplnno o paralelní bakaláské studium. Podkování: Práce byl podpoen grantem FRVŠ 18/006. Literatura [1] BAŠTINEC, J.: O schopnosti studovat u student FEI VUT. XVII. vdecké kolokvium o ízení osvojovacího procesu. Sborník píspvk I.,Vyškov 1999, ISBN [] BAŠTINEC, J.: Matematika pro sériové bakaláe na FEKT VUT. 3. konference o matematice a fyzice na vysokých školách technických s mezinárodní úastí. Sborník píspvk. Brno 003, ISBN [3] BAŠTINEC, J.: Nedostatky v matematické píprav absolvent stedních škol z pohledu uitele VUT. DIDZA, Didactic Conference in Žilina with international participation. Žilina, Slovensko: Faculty of Science, University of Žilina, 004, 15 -, ISBN [4] BAŠTINEC, J., DIBÍK, J.: Výuka matematiky v magisterském studiu na FEKT VUT. XXIII. International colloquium on the Acquisition Process Management, UO Brno, 005, Proceedings of abstracts and electronic version of contribution on CD-ROM, 1-5.ISBN [5] NOVÁK, M.: On Problems of Computer Aided Teaching ofmathematics at Technical Universities. XXIII International Colloqium on the Acquisition Process Management. Proceedings of electronic versions of contributions. Brno, University of Defence, Faculty of Economics and Management, 005, 1-5, ISBN [6] NOVÁK, M.: MATLAB from the point of view of non-native speakers - students of technology. XXIVth International Colloqium on the Acquisition Process Management. Proceedings of electronic versions of contributions. Brno, University of Defence, Faculty of Economics and Management, 006, 1-6, ISNB

33 Matematické modelování vícefázového proudění v porézním materiálu Michal Beneš 1 Abstract V příspěvku se zabýváme matematickým modelem transportních jevů v systému složeného z více složek-fází. Obecné teoretické úvahy aplikujeme na konkrétní úlohu transportu tepla a vlhkosti v betonové stěně, jakožto v systému, skládajícího se z pevné fáze (zatvrdlá cementová pasta), kapalné fáze (volná či vázaná voda) a plynné fáze (suchý vzduch a vodní pára), zatížené teplotním šokem. Při modelování transportu tepla a vlhkosti nejprve vyjádříme bilanční rovnice pro jednotlivé fáze, které tvoří základní principy mechaniky kontinua (zákony zachování), včetně bilance tepelné energie v podobě tepelné rovnice. Poté formulujeme konstitutivní vztahy ve formě stavových rovnic a materiálové vztahy popisující fyzikální a chemické vlastnosti jednotlivých složek obsažených v systému. V závěru příspěvku jsou prezentovány numerické výsledky. 1 Bilanční rovnice Bilance vodní fáze (značíme indexem w) (η w ρ w ) t + div (J w ) = ṁ evap + ṁ hydr, (1) bilance plynné fáze - vodní pára (značíme indexem gw) a suchý vzduch (značíme indexem ga) (η g ρ gw ) t bilance energie systému + div (J gw ) = ṁ evap, (η g ρ ga ) t + div (J ga ) = 0, () (ρc) T t + (ρcv).t.(λ T ) = ṁ phase h phase + ṁ hydr h hydr, (3) kde η π značí objemovou frakci π-fáze, η w = φs w, η g = φs g, S w + S g = 1, 1 Katedra matematiky, Stavební fakulta ČVUT v Praze, Thákurova 7, Praha 6, benes@mat.fsv.cvut.cz

34 kde S w, resp. S g značí saturaci kapalnou, resp. plynnou složkou, φ porozitu materiálu. V uvedených vztazích dále značí ρ w objemovou hmotnost vody, ρ gw objemovou hmotnost vodní páry, ρ ga objemovou hmotnost suchého vzduchu, J w, J gw, J ga, značí toky složek systému. Pravé strany představují zdroje hmoty a energie odpovídající fázovým změnám (vaporizace), případně dalším chemickým či fyzikálním jevům (hydratace, dehydratace, sorpční, příp. desorpční procesy apod.) doprovázejícím tepelně vlhkostní transport v porézních materiálech, tj. ṁ phase popisuje zdroj odpovídající fázové změně [kg.m 3.s 1 ], h phase enthalpii při fázové přeměně [J.kg 1 ], ρc tepelnou kapacitu systému, λ tepelnou vodivost systému. Konstitutivní vztahy Tok jednotlivých fází, tj. J w, J gw, resp. J ga, můžeme vyjádřit pomocí gradientů tlaků, příp. koncentrací, v souhlase s Darcyho zákonem určení vektorů rychlostí proudění jednotlivých fází a Fickovým zákonem difúzního toku v porézním materiálu, tj. J w = η w ρ w v w, J gw = η g ρ gw v g + J d gw, J ga = η g ρ ga v g + J d ga, (4) kde (Darcyho rovnice) η w v w = KK rw µ w ( p g p c ρ w b), η g v g = KK rg µ g p g. (5) Pro stavový popis složek plynné směsi, tj. suchého vzduchu (ga), vodní páry (gw) a vlhkého vzduchu (g), užijeme Clapeyronovy rovnice stavu ideálního plynu p ga = ρ ga T R M a, p gw = ρ gw T R M w, p g = ρ g T R M g (6) a Daltonův zákon p g = p ga + p gw, příp. ρ g = ρ ga + ρ gw. (7) Difúzní procesy v binární plynné směsi suchého vzduchu a vodní páry popíšeme pomocí Fickova zákona J d gw = η g ρ g v d gw, J d ga = η g ρ g v d ga, (8) η g v d ga = M ( ) am w pga D Mg eff = M ( ) am w pgw D p g Mg eff = η g v d p gw. (9) g - 3 -

35 V uvedených konstitutivních vztazích vystupují následující veličiny: K absolutní permeabilita, K rg relativní permeabilita plynné fáze, K rw relativní permeabilita kapalné fáze, µ g dynamická viskozita plynné fáze, µ w dynamická viskozita kapalné fáze, h vap výparná enthalpie, p g tlak vzduchu, p ga parciální tlak suchého vzduchu, p gw parciální tlak vodní páry, p c kapilární tlak, M a molární hmotnost suchého vzduchu, M w molární hmotnost vody, M g molární hmotnost vzduchu, b gravitační zrychlení. Závislost kapilárního tlaku na ostatních stavových veličinách (T, p gw ) je popsán Kelvinovou rovnicí ve tvaru p c = ρ w RT ( ) p gw ln, (10) M w p gws kde parciální tlak nasycené vodní páry p gws [Pa] lze počítat v závislosti na teplotě dle vztahu ( p gws (T ) = exp 3, , 9 ) [Pa]. (11) T 37, 58 3 Materiálová data Vedoucí rovnice a konstitutiví vztahy obsahují celou řadu koeficientů, definujících materiálové vlastnosti betonu a tekutin, vázané nelineární závislostí na teplotě T a tlacích p g, p c : porozita φ = φ(t ), saturace S = S(p c ), hustota ρ = ρ(t ), absolutní permeabilita K = K(p g, T ), relativní permeabilita plynné fáze K rg = K rg (p c, T ), relativní permeabilita kapalné fáze K rw = K rw (p c, T ), dynamická viskozita plynné fáze µ g = µ g (p g, p c, T ), dynamická viskozita kapalné fáze µ w = µ w (T ), tepelná kapacita systému ρc p (T ), tepelná vodivost systému λ eff (T ), výparná enthalpie h vap (T ). Detailní popis materiálových vztahů lze nalézt v [1]. 4 Počáteční a okrajové podmínky Diferenciální rovnice popisující uvedené transportní procesy je třeba doplnit počátečními a okrajovými podmínkami. Počáteční podmínky předepisují počáteční rozložení tlaku vzduchu, kapilárního tlaku a teploty v uvažované oblasti: p g = p 0 g, p c = p 0 c, T = T 0 v čase t = 0. (1) Okrajové podmínky uvažujeme Dirichletova typu: p g = ˆp g na Γ 1 g, p c = ˆp c na Γ 1 c, T = ˆT na Γ 1 T (13)

36 či Neumannova typu: (η w ρ w v l h phase λ eff T ).n = q T na Γ T, (14) (η g ρ gw v g + η w ρ w v l + η g ρ g v d gw).n = q gw + q l na Γ c, (15) (η g ρ ga v g + η g ρ g v d ga).n = q ga na Γ g. (16) 5 Hydro-termální chování betonu při vysokých teplotách 5.1 Transport tepla a vlhkosti v betonové stěně zatížené teplotním šokem Transfer tepla a vlhkosti v betonových konstrukcích vystavených vysokým teplotám a související mechanické efekty jsou předmětem velkého zájmu v jaderném inženýrství a bezpečnostním vyhodnocení požárů ve vysokých budovách či silničních a železničních tunelech. Hlavním cílem výzkumu je rozvoj a prezentace numerických postupů vyvinutých pro modelování transferu tepla a vlhkosti včetně analýzy poškození betonu za vysokých teplot. Hlavním rysem prezentovaného modelu je vyšetření transferu tepla ve spojitosti s transportem vlhkosti uvnitř porézního materiálu. Studovaný model betonové stěny, vystavené jednostrannému působení tepelné radiace, nám poskytuje analýzu a lepší porozumění fyzikálním jevům souvisejícím s chováním betonu vystaveného účinkům vysokých teplot Uvažujme betonovou stěnu tloušťky 100 mm, z jedné strany vystavenou tepelné radiaci při konstantní teplotě K (1000 C), při počáteční teplotě T = 93, 15 K, počátečním tlaku vzduchu p g = Pa a hustotě vodní páry ρ gw = 7, Obr

37 6 Numerický výpočet Prostorová diskretizace tepelné rovnice (3) byla provedena metodou konečných prvků (h = m) C(T)Ṫ K(T)T = f(t, ρ gw, ρ ga ). (17) Rovnici (17) diskretizujeme v čase pomocí plně implicitního diferenčního schematu [C(T n+1 ) + tk(t n+1 )] T n+1 = C(T n+1 )T n + f(t n+1, ρ gw(n), ρ ga(n) ). (18) Takto získanou soustavu diskretizovaných rovnic (18) řešíme Newton-Raphsonovou metodou T (l+1) n+1 = T (l) n+1 J 1 Φ (T(l) n+1)φ(t (l) n+1). (19) Zavedením substituce X = (1 S)ρ g + Sρ w, Y = (1 S)ρ ga do upravených bilančních rovnic dostaneme φ Y t + Y φ hydr t +.(φyv g ) +.(φ(1 S)ρ g v d ga) = 0, φ X t + X φ hydr +.(φxv g ) +.(φsρ w (v w v g )) = t t ( m hydr). Časoprostorovou diskretizací dále dostaneme ] X j i [φ. j i t A h (Ti n T n 1 i ) 1 ρ s t + t φ j i (vg) j 1 i 1 = φ j X j i h Xj 1 i 1 i + t (v g) j 1 1 h Ti n t 1 A h T n 1 i t Y j i [φ. j i t A h (Ti n 1 ρ s kde i 1 φj i 1 φ j i t Sj 1 i (ρ w ) j i (v w v g ) j 1 i φ j i 1 Sj 1 i 1 (ρ w) j i 1 (v w v g ) j 1 i 1 1 h T n 1 i ) t ] + t φ j i (vg) j 1 i 1 = φ j i h Y j 1 Y j i + t 1 i 1 (v g) j 1 h i 1 φj i 1, (0) φ j i (1 Sj 1 i )(ρ g ) j i + t (vd ga) j 1 i φ j i 1 (1 Sj 1 i 1 )(ρ g) j i 1 (vd ga) j 1 i 1 1, (1) h X j i = (1 Sj i )(ρ gw + ρ ga ) j i + Sj i (ρ w) j i = = (1 S j i )(ρ gw) j i + (1 Sj i )(ρ ga) j i + Sj i (ρ w) j i = (1 Sj i )(ρ gw) j i + Sj i (ρ w) j i + Y j i. () Z vypočtených hodnot X j i, Y j i z (0) a (1), nalezneme (ρ gw ) j i jako řešení nelineární rovnice () Newtonovou metodou. Výsledky numerické simulace jsou uvedeny na následujících obrázcích

38 Obr. Obr.3 References [1] D. Gawin, C. E. Majorana, B. A. Schrefler: Numerical analysis of hygrothermal behaviour and damage of concrete at high temperature, Mech. Cohes.- Frict. Mater. 4, (1999). [] Schrefler B. A.: Multiphase flow in deforming porous material, Int. J. Numer. Meth. Engng 004; 60, [3] Hassanizadeh, S.M., Gray, W.G.: Mechanics and thermodynamics of multiphase flow in porous media including interphase boundaries, Adv. Water Resour., 13, , Tento výsledek byl získán za finančního přispění MŠMT ČR, projekt 1M v rámci činnosti výzkumného centra CIDEAS

39 MATEMATIKA A MATEMATIKA PRO STAVEBNÍ INŽENÝRY František Bubeník 1 Abstrakt: Píspvek se zabývá problematikou zaazování problémov orientovaných úloh do výuky základních kurz matematiky v bakaláském studiu na stavební fakult VUT Praha ve studijním programu stavební inženýrství. 1. Úvodní analýza a cíle Pedmt matematika v jednotlivých semestrech v úvodu bakaláského studia pokrývá potebné základní partie matematiky a jejich vybrané aplikace. Pipomeme nkteré cíle pi výuce matematiky v bakaláských studijních programech: o základ pro navazující odborné pedmty, o píprava na pípadné pokraující magisterské studium, matematika jako samostatný kompaktní celek v rámci bakaláského studia, návaznost jednotlivých partií v rámci pedmtu matematika samotného. Vyhovt všem položkám souasn je obtížný úkol, ale v tomto píspvku zamíme pozornost na matematiku jako základ pro navazující odborné pedmty v bakaláském studijním programu stavební inženýrství a zda a jak zaazovat do matematiky úlohy s technickou motivací.. Matematické úlohy V tomto píspvku si všimneme ilustrativn partie integrálního potu funkcí jedné reálné promnné, která je zaazena v programu stavební inženýrství v letním semestru prvního roníku, kdy už studenti mají základní znalosti nap. v problematice prbhu vnitních sil na nosníku. Na procviení integrování v matematice mže být zadána úloha napíklad takto: Je dána lineární funkce f na intervalu <0,L>, tj. f ( x) = kx, x < 0, L >, k je njaká reálná konstanta. Urete funkce Q = Q(x) a M = M (x) na intervalu <0,L>, pro které Q '( x) = f ( x), M '( x) = Q( x) (1) a Q ( 0) = 0, M (0) = 0. Není cílem tohoto píspvku úlohu ešit, tato úloha je snadno ešitelná dvojím integrováním (v pípad lineární funkce f technicky nenároným) a užitím poáteních podmínek. Jedna z hledaných funkcí, funkce M, je kubická k 3 parabola daná pedpisem M ( x) = x. Graf funkce M pro k > 0 je zobrazen na obr. 6 1, v souadném systému s obvyklou orientací souadných os, užívanou v matematice. Zadání úlohy je pro studenta formální, ešení je rutinní. I když student takovou úlohu rutinn a formáln úspšn vyeší, mže ho napadnout otázka o dvodu práv takového zadání úlohy. Student si pak mže matematiku formalizovat do formy zavedených algoritmických postup a mže nabýt dojmu, že matematika je abstraktní vda sama pro sebe a nemá kontakt s pedmty, z dvodu kterých fakultu hlavn studuje. Pitom 1 Fakulta stavební, VUT Praha, Thákurova 7, Praha 6, bubenik@mat.fsv.cvut.cz

40 s úlohou, která má stejnou matematickou interpretaci a stejný matematický postup ešení, se mže setkat v pedmtech zejména stavební mechaniky. Obr. 1: Prbh funkce M = M (x) 3. Problémov orientované úlohy-matematika pro stavební inženýry Pro intenzitu zatížení f = f (x) nosníku a funkce, popisující prbh posouvajících sil Q = Q(x) a ohybových moment M = M (x), platí Schwedlerovy vty (1). Uvažujme konzolu délky L > 0, lineárn zatíženou podle obr.. Pokud volný konec konzoly není zatížen žádnou osamlou silou nebo osamlým momentem, je Q ( 0) = 0, M (0) = 0. Tedy úloha je najít popsané funkce Q a M, tj. stejná, jak je matematicky formulováno f v pedchozím odstavci, k = 0 > 0. Graf funkce M, vyjadující prbh ohybového L momentu M, je zobrazen na obr. 3, a to v souadném systému, odlišném od bžného pojetí v matematice, ale který je v souladu s konvencí užívanou ve stavební mechanice, kdy svislá osa je, v nkterých situacích, orientována opan než v matematice. f f 0 L Obr. : Lineární zatížení 4. Závr Obr. 3: Prbh ohybového momentu Zaazování motivaních píklad a problémov orientovaných úloh ve vhodné míe do matematiky, vybraných tematicky podle studijních program, ilustruje užití matematického aparátu, vetn požadovaných matematických pedpoklad. Vede k zdraznní významu matematiky v technice a vyšší efektivnosti její výuky

41 GEOMETRIZACE MATEMATIKY A MATEMATIZACE GEOMETRIE Jaroslav erný 1, Milada Koandrlová Abstrakt: Diskuse o výuce matematiky pro inženýry mají skoro tísetletou tradici. Impulzy k nim jsou jak vnitní, tak vnjší. Zavedení bakaláského a tístupového studia patí k vnjším impulzm posledních let a vedlo k nkterým zmnám pojetí výuky matematiky a geometrie pro technické obory? Každý uitel tak prošel i vnitními úvahami, jak realizovat své pedstavy o výuce v novém prostedí. lánek se zabývá dvma píklady reprezentujícími zmny charakterizované názvem lánku. 1. Všechny dobré myšlenky byly již vysloveny, nyní jen zbývá je uskutenit. B. Pascal Zmny, které do sféry terciárního vzdlávání pineslo strukturované studium se dotkly významn i výuky matematických pedmt. Koncepní zmny v obsahu se týkaly jak vynechávání celých partií v semestrálních kurzech, tak jiných pístup v organizaci výuky a v neposlední ad v oblasti jejích forem. Základní výuka matematiky v bakaláském studiu se ješt více pesunula do oblasti základních poetních rutin (ped reformou tam z velké ásti již byla), vesms se studijní materiály (texty, píklady, zadání semestrálních prací, rys, autokontrola znalostí, atp.) objevily na internetu. Na nkterých fakultách se výraznji do výuky zapojily matematické softwary. Nkde se objevily snahy o diferenciaci a výuku trochu jinak než v rutinním režimu. Školy a fakulty se asto ocitly ve zcela odlišném prostedí výuky matematických pedmt. Od extrémn skromné matematické pípravy v rozsahu jednoho (FA VUT) i dvou semestr (FIT VUT Brno, 7 hodin) po extrémn hodinov bohatý kurz na programu Geodézie a kartografie (nap. FSv VUT, 19 hodin). Jedním z dležitých prvk v procesu pemn studia je zvtšení drazu na problémovou výuku, projektovou výuku a samostatnou práci student. Tyto formy výuky jsou lépe aplikovatelné ve vyšších semestrech, kdy jsou probírány složitjší matematické partie, které je navíc možné spojit s aplikovanými problémy.. Nejmoudejší je íslo. Pythagoras Promovaní inženýi, sínus, kosínus, deskriptíva, Rangers Výuka deskriptivní geometrie a zobrazovacích metod je stále jistým specifikem technických program. Její tradiní postavení však mže být asem oslabeno, až starší generace, která prošla tvrdou geometrickou školou šedesátých let minulého století, pestane o její existenci rozhodovat. Situace je v té Evrop, kde se deskriptivní geometrie uí, pro tento pedmt nejistá. Spojuje se s poítaovou grafikou, ale také s aplikacemi, [1], []. Klasická deskriptíva se na univerzitách na západ od našich hranic prakticky neuí. Geometrie má vratké postavení i ve stedoškolské výuce, 1 Katedra matematiky, Fakulta stavební VUT, Thákurova 7, 1669 Praha 6, cerny@mat.fsv.cvut.cz Kat. matematiky, Fakulta stavební VUT, Thákurova 7, 1669 Praha 6, kocandrlova@mat.fsv.cvut.cz

42 deskriptivní geometrii nevyjímaje. asto v minulosti deklarovávaný cíl výuky 3D geometrie prostorová pedstavivost, nemže být v dnešních dimenzích naplnn. Omezená výuka na technikách se tedy nakonec soustedí, podobn jako v matematice, na rutinu. Jednou z vnjších charakteristik procesu zmny je nemluvit o deskriptív, ale o geometrii. Strukturované studium však nevneslo do pedmtu obecn zásadní zmny, staí se podívat do program kurzu geometrie stavebních a strojních fakult. Skepsi pedcházejícího odstavce lze však zeslabit. Geometrie má totiž jednu výhodu. Je možné ji organicky spojit s matematikou a posílit ty partie, kde se pirozeným zpsobem ob oblasti výuky doplní a prolnou. Geometrie má ješt jednu výhodu srozumitelné aplikaní a motivaní problémy. V mnoha pípadech používající jednoduchý matematický aparát. Úlohy pstující kreativitu, kritické myšlení a praktický výstup. Pokusíme se to dále demonstrovat na jednom problému a jeho ešení se studenty. Stešní konstrukce mohou mít rzný tvar, nakreslete zastešení jednoduchého pdorysu, nebo použijte jako stechu jednoduchou plochu (by pdorys bude složitjší ). Nakreslete vhodný prmt vrstevnic použité plochy. Zakreslete spádové kivky do vrstevnicového plánu. Zakreslete spádové kivky na ploše (steše). Cíl: Skicovat zastešení tvercového a kruhového pdorysu. Kreslit rzné soustavy kivek na ploše k lepšímu popisu tvaru. Ukázat pojmy vrstevnice, spádnice a jejich vzájemnou souvislost. Vysvtlit pojem jednoparametrický systém kivek, jeho diferenciální rovnice. Popsat systém ortogonálních kivek k danému systému kivek. ešit problém vrstevnic a spádnic na zastešení vchodu se šikmou válcovou stechou. Problém jsme ešili v diskusi celého kroužku (0) student. Paraleln v kurzu matematiky byla probrána látka o funkcích více promnných (vrstevnice, gradient), pedtím v letním semestru studenti ješt absolvovali integrální poet funkcí jedné promnné a zaínali partii o obyejných diferenciálních rovnicích. Diskuse problému trvala 90 minut. Následující skicy ukazují na zobrazení nkterých ploch, které jsme postupn probírali. V první ásti byli aktivní studenti, sami volili plochy, skicovali je, skicovali vrstevnicový plán a spádnice. Rovina Válec Polovina sféry Paraboloid Kužel Obr. 1 Problém pišel u kužele. Správné zobrazení vrstevnic udlal jediný student. Akoli studenti vyslovili hypotézu o ortogonalit vrstevnic a spádnic, obrázek až na jednoho (který ml vrstevnice správn) nakreslili špatn (obr. 1). Hledali jsme plochu, která má takový vrstevnicový plán, opt stejný student objevil pímý kruhový konoid a helikoid. Studenti pozdji objevili i jinou plochu, která má hyperboly jako vrstevnice hyperbolický paraboloid. Pokusili jsme se ve všech pípadech urit spádnice. Intuitivní

43 (správné) ešení jsme našli u helikoidu, u konoidu byl popis složitjší, u zbývajících ploch jsme spádnice neurili. Konoid Válcová plocha Vrstevnice Spádnice Obr. Obr. 3 Pokusili jsme se ešit poslední pípad zastešení vchodu kosým kruhovým válcem, obr. 3. Nártek v axonometrii nebyl problém, vrstevnice ano. Ukázalo se, že akoli jde o analogickou úlohu, byla pro vtšinu student obtížná. ešení je na obr. 3. Problém jsme popsali analyticky popis jednoparametrické soustavy kivek, její diferenciální rovnice, DSolve[(1-x)^9(y'[x])^(x-x^),y,x] 1 x y Functionx, x x C 1, 31 x 1x y Functionx, x x C 1 31 x diferenciální rovnice ortogonálního systému. ešení jsme ukázali v softwaru Mathematica. DSolve[ y'[x]3sqrt[(x-x^)]/(1-x),y,x] y Functionx, 31 x x x x x ArcTan x 1x x 1 x x C1, y Functionx, 31 x x x x x ArcTan x 1 x x 1 x x C1 3. Jeden obrázek je více než tisíc slov. ínské písloví Bakaláský studijní program Geodézie a kartografie na Fakult stavební VUT v Praze patí mezi ty studijní programy, jejichž hodinová dotace matematiky je vysoká. Program má v porovnání se srovnatelnými studijními programy nejvíce hodin matematiky, a to jak vzhledem k potu týdenních hodin, tak vzhledem k potu semestr. Po tyech povinných semestrech základního kurzu 3+3 (z,zk), 3+ (z,zk), + (kz),

44 + (z,zk) je šestý semestr 0+ (kz) povinný pouze pro jeden ze studijních smr technická geodézie (40 student). Tento semestr je vnován numerické matematice. Více jak plroní pestávka mezi tvrtým a šestým semestrem se však negativn projevuje na matematických znalostech student. Je teba více asu vnovat opakování pojm z minulých semestr a motivaci pro novou látku. Pedmt je zakonen klasifikovaným zápotem, a proto bylo teba pipravit k probíraným tématm úlohy k samostatné práci. Scéná pro každé z probíraných témat je stejný: opakování pojm probíraných v pedchozích semestrech, nové pojmy, demonstraní píklady, samostatná domácí práce. Následující ást je ukázkou jednoho takového tématu. Maticový poet a ešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Maticový poet, probíraný v prvním semestru, je doplnn o práci s blokovými maticemi, o normy matic a o íslo podmínnosti matice. Zopakovány jsou pímé metody ešení soustav lineárních rovnic probírané v prvním semestru: Cramerovo pravidlo, Gaussova eliminace, LU rozklad. Tyto postupy jsou doplnny o iteraní metody Jacobiovu, Gaussovu-Seidelovu a gradientní metodu. Pokud iteraní metoda tetího ádu pro ešení Keplerovy rovnice z pedchozího tématického celku zaujala, iteraní metody pro soustavy rovnic u student propadly. ešení úloh vyrovnávacího potu prakticky každého ze student pivedlo k používání inteligentního kalkulátoru nebo poítae a matematického softwaru. A tak významnou úlohu sehrála a sehrává interpretace podmínek iteraního ešení pomocí geometrického znázornní. Na píkladu soustavy dvou rovnic pro dv neznámé x y 3 = 0, x 3y + = 0 (1) je ukázán význam normy matice a geometrie jednotlivých iteraních metod. Rovnice urují dv rznobžné pímky v rovin, jejichž spolený bod [.;1.4] pedstavuje ešení soustavy. K soustav (1) mžeme sestrojit iteraní soustavu ( k + 1) ( k ) ( k+ 1) ( k ) x = + 3y, y = 3 + x, () nebo ( k + 1) 3 1 ( k ) ( k+ 1) 1 ( k ) = + y, y = + x. (3) Pehlednjší bude maticový zápis x 3 3 x y ( k + 1) ( k ) 0, = + 3 3, x 0 y ( k + 1) ( k ), ( ) 3 1 x 0, x = + y. (3 ) 1 3, 0 3 y ( 0) Pi stejné poátení aproximaci x = ( 0,0) posloupnost ( ) diverguje, kdežto posloupnost (3 ) konverguje. Geometrickou interpretaci obou posloupností mžeme sledovat na obr. 4, 5. Soustava ( ) nespluje nutnou podmínku konvergence, norma matice soustavy je vtší než jedna. Vzorec (), resp. ( ) pedstavuje Jacobiovu metodu - 4 -

45 3 x n = bi a aii j= 1, j i ( k + 1) 1 i ij ( ) k x j Obr. 4 Posloupnost (3) Obr. 5 Posloupnost () Na obr. 6 mžeme sledovat zrychlení konvergence Gaussovy-Seidelovy metody i 1 n ( ) ( ) ( k+ 1) 1 k + 1 k x = i bi aij x j aij x j. aii j= 1 j= i Obr. 6 Gaussova-Seidelova metoda Obr. 7 Vrstevnice funkcionálu (5) a jeho parciální derivace Na rovnice (1) mžeme pohlížet jako na nulové parciální derivace kvadratické funkce F Fx = x y 3, Fy = x + 3y, (4) které jsme zapsali tak, aby splovaly Eulerovy podmínky F = F. Využijeme-li postup z. semestru (ešení exaktní diferenciální rovnice), pípadn ze 4. semestru (urení potenciálu vektorového pole), dostaneme 3 F( x, y) = x xy + y 3x y. (5) V maticovém tvaru 1, 1 x 3 F ( x, y) = ( x, y) ( x, y). 1, 3 y xy yx

46 Grafem funkce F je eliptický paraboloid jehož vrchol je ešením dané soustavy, tj. ešení je extrémem kvadratického funkcionálu (5). Tak ešení soustavy lineárních rovnic (se symetrickou maticí) pevádíme na hledání minima kvadratického funkcionálu: 1 T T Ax = b F( x) = x Ax xb. Hledání minima piblížíme na funkcionálu (5). V teorii funkce více promnných poznal student derivaci v libovolném jednotkovém smru a gradient jako smr, ve kterém je tato derivace extremální. Z tchto poznatk vychází iteraní metoda nazývaná metoda nejvtšího spádu. Zvolíme libovolnou vrstevnici a na ní bod. Tento bod a gradient v nm urí pímku, nad kterou se hledá minimum funkce F. Píslušný stacionární bod je dalším lenem iteraní posloupnosti. Metoda nejvtšího spádu je píliš závislá na volb poátení aproximace, proto je vhodnjší metoda sdružených gradient. Místo kolmých smr tený vektor a gradient, se volí v bod elipsy dvojice smr sdružených prmr. Tedy místo kanonického skalárního souinu, který do této doby studenti používali, se využívá skalární souin urený pozitivn definitní maticí A funkcionálu F. 4. Závr Píklad podobného charakteru bychom mohli ukázat více. Geometrické pístupy v matematice a matematizace geometrie jsou pirozené. Pivádí studenta k hlubšímu pochopení fakt a hledání širších souvislostí. Významn však pi jejich aplikaci záleží na úrovni student a klimatu a prostedí celého studia. asto je totiž pístup student ke studiu velmi pragmatický až utilitaristický. Proto se snaha o hledání motivaních a aplikaních úloh, zvlášt v úvodu bakaláského studia, a jeho souasné podob, asto mine úinkem. Takové úlohy jsou v úvodu studia vhodné pouze pro malou ást student, pevážná vtšina touží totiž po jediném: co bude v písemce. Zaleží však také na chuti a entuziasmu uitele. Rutinní, frontální výuka je snažší než problémov orientovaná, komplexní a sofistikovanjší výuka. Užití takových metod má však nadji na uplatnní ve vyšších semestrech, zvlášt v magisterském studiu. Nadjí jsou matematické pedmty v úvodu magisterského studia. Ony mohou pinést komplexnjší pístup k problémm, nejen matematickogeometrický, ale aplikované úlohy užívající znalosti z matematice blízkých pedmt. Hledání vhodných problém, vytváení metodiky jejich prezentace a hledání spojenc v inženýrských oborech bude pro matematiky dležitým úkolem do nejbližších let. Literatura [1] LEOPOLD, C., MATIEVITS, A., Studies of Geometry Integrated in Architectural Projects, Journ. for Geom. And Graphics, vol. 5 (001), No., pp , ISSN [] CHEN JIANNAN. Kernel Problems of the Modernization of Engineering Graphics Education, Journ. for Geom. And Graphics, vol. (1998), No. 1, pp , ISSN [3] KOUKAL, S., KÍŽEK, M., POTUEK, R., Fourierovy trigonometrické ady a metody konených prvk v komplexním oboru, ACADEMIA

47 VYUŽITÍ VARIAČNÍ GEOMETRIE VE VÝUCE NA TECHNICKÝCH FAKULTÁCH Jaromír Dobrý 1 a Miroslav Lávička Abstrakt: V článku je diskutováno zařazení variační geometrie do výuky na technických fakultách Západočeské univerzity (ZČU) v Plzni. Využití programu Cabri do výuky na základních a středních školách je dnes již poměrně běžné, ukazuje se však, že tento software je vhodný i pro školy vysoké. Příspěvek dále prezentuje jeden příklad tak, jak bývá probírán na konkrétních cvičeních předmětů Geometrie pro FST 1,. Program Cabri je úspěšně doplněn programem 3D Geometrie, jenž slouží k nácviku algoritmizace konstrukcí a částečně tak nahrazuje klasický náčrtek. Navíc je zde zmíněna i možnost praktického využití tisku z programu Cabri. 1 Úvodem Tak jako na řadě ostatních vysokých školách, proběhlo v uplynulých letech na Západočeské univerzitě v Plzni významné zvýšení podílu elektronické podpory výuky geometrických předmětů, u nichž buďto došlo ke snížení kontaktních hodin, anebo jejichž elektronickou podporu si vyžádalo zařazení do učebních plánů studentů kombinovaného (distančního) studia. Na serveru oddělení geometrie katedry matematiky FAV ZČU v Plzni ( lze nalézt elektronickou podporu téměř všech předmětů geometrického kurikula nabízených studentům Fakulty aplikovaných věd, Fakulty pedagogické, Fakulty strojní a Ústavu umění a designu hlavní náplň se nachází v sekci Materiály pro studenty a Zajímavé odkazy. Jako příklad modernizace výuky uvedeme v tomto článku zařazení počítače do standardního kurzu geometrie na Fakultě strojní předměty Geometrie pro FST 1 a Geometrie pro FST (podrobné sylaby na Variační geometrie aneb geometrie v pohybu Programy jako Cabri, Sketchpad či Cinderella představují produkty dynamické planimetrie a nejsou tedy primárně určené pro modelování konstrukcí v trojrozměrném prostoru. Pochopitelně i zde můžeme bez problémů aplikovat známé metody deskriptivní geometrie a provádět stereometrické konstrukce s využitím průmětů. Pro hlavní nevýhodu takovéhoto postupu však nemusíme chodit příliš daleko. Přestože řešení v průmětech je matematicky přesné a konstrukce např. v Mongeově projekci jsou relativně jednoduché, velmi zde chybí názornost, což studentům činí značné obtíže. Výuku je třeba doplňovat kreslením obrázků, ukazováním modelů apod. Jako jedna z možností byl vyvinut program 3D Geometrie, který bude podrobně rozebrán v kapitole 4. Celý proces výuky ukážeme na jednoduché úloze deskriptivní geometrie. 1 Západočeská univerzita, Univerzitní, Plzeň, dobry@kma.zcu.cz Západočeská univerzita, Univerzitní, Plzeň, lavicka@kma.zcu.cz

48 Obrázek 1: Konstrukce v programu 3D Geometrie 3 Úloha Zadání. V prostoru jsou dány body V, M a rovina ϱ. Sestrojte rotační kužel s podstavou v rovině ϱ a vrcholem V, tak aby bod M ležel na plášti kužele. Princip řešení. Osa kužele o je kolmá na rovinu podstavy ϱ a prochází vrcholem kužele V. Střed podstavy S je pak průsečík o s rovinou podstavy ϱ. Dále bod M leží na plášti kužele, přímka a = V M je tedy površka kužele. Bod A a ϱ je bod podstavné hrany kužele. Dále stačí jen určit vzdálenost bodů A, M a sestrojit podstavu (zobrazení kružnice), konstrukci kužele pak již snadno dokončíme. 4 3D Geometrie Jak jsme již zmínili, použitím průmětů se v řadě případů zakrývá skutečná myšlenka postupu řešením dílčích problémů zobrazovacích metod. Je tedy vhodné pro potřeby výuky deskriptivní geometrie najít nástroj, který by umožnil přehledně zpracovávat prostorové konstrukce pro potřeby rozboru úlohy. Přestože existuje varianta Cabri 3D, bylo rozhodnuto, že pro naše účely bude nejlepší vytvořit zcela novou aplikaci nazvanou 3D Geometrie. Základními požadavky na program 3D Geometrie byly: Jednoduchost ovládání Co nejméně ovládacích prvků, pokud možno jasný význam. Student se nemá učit specializovaný software, ale pochopit problém

49 Přehlednost zobrazení Program má sloužit k pochopení problému, je tedy třeba se zamyslet nad tím, aby konstrukce byla zobrazena co nejpřehledněji. Je také bezpodmínečně nutné, aby konstrukci bylo možné krokovat, podobně jako je tomu v Cabri. 1:1 se základními úlohami Mongeovy projekce Pokud má program sloužit k nácviku algoritmizace, je nutné, aby si student zvykl na fakt, že má k dispozici určitou omezenou množinu konstrukcí, které smí použít k řešení problému. Pouze tato omezená množina je mu zpřístupněna. Tak se snažíme docílit toho, aby student nevymýšlel postupy, které jsou založeny pouze na jeho, často chybné, intuici. Variační geometrie Možnost měnit zadání a sledovat, jak se v důsledku těchto změn bude chovat celá konstrukce. Tato vlastnost je klíčová pro to, aby student mohl okamžitě zavrhnout nesmyslný postup, který náhodou funguje pro jednu konfiguraci zadání, ale obecně ne. Zkracuje se tím doba, za kterou se dozví, že udělal chybu. Dříve se tento fakt student měl šanci dozvědět až na konzultaci, v horším případě dokonce až u zkoušky. Řešením se tedy zdá být jednoduchá aplikace, která zobrazí konstrukci přímo ve 3D, např. v perspektivní projekci, jež byla zvolena z důvodu její názornosti. Nutností je pochopitelně možnost pohybovat kamerou, dále též možnost měnit zadání úlohy, čímž uspokojíme požadavek variační geometrie. Nejsou potřeba žádné numerické vstupy, které by v tomto případě pouze zvyšovaly počet ovládacích prvků. Krokování konstrukce bude prováděno dvěma tlačítky (dopředu, zpět) tak, jak očekáváme. Vše se tedy orientuje na jednoduchost použití. Vlastní konstrukci je možné v programu 3D Geometrie editovat jako posloupnost kroků, přičemž každý krok má několik vstupů a výsledek. Výsledek pak může být vstupem do jiného kroku konstrukce. Takto je vytvořen jednoduchý objektový model konstrukce. Do budoucna se počítá s určitými rozšířeními např. možnost bodové konstrukce, apod. Řešení ukázkové úlohy vidíme na obrázku 1. 5 Cabri návrat do roviny Výsledkem použití programu 3D Geometrie by mělo být vyudování představy prostorové situace a pochopení postupu konstrukce. Tento postup je pak univerzálně použitelný, ať již řešíme úlohu prostředky deskriptivní či analytické geometrie. Pokud má být cílem řešení úlohy v průmětech, můžeme úlohu zpracovat např. v Cabri jako v dnes již standardním nástroji dynamické planimetrie. Oproti klasické tabuli má zpracování v Cabri mnoho dnes již obecně známých výhod, z kterých snad jen připomeneme zejména možnost použití různých barev a stylů čar, což konstrukci velmi zpřehlední, a dále možnost úlohu předem připravit a docílit tak lepší účinnosti vyhneme se např. nepřehledným situacím, kdy student letmým pohledem na tabuli špatně pochopí postup a chybu pak zaručeně zopakuje v nejméně vhodnou chvíli, tedy u zkoušky. Výhoda postupného použití nejprve programu 3D Geometrie a následně Cabri se projeví nejvíce u složitějších úloh. Nejprve ukážeme obecný, snadno pochopitelný postup, technickým detailům konstrukce v průmětech se věnujeme až v druhé části

50 o a=l V n M S A S1 SA M1 a1 o1 = k1 V1 p1 Obrázek : Konstrukce v programu Cabri II Plus

51 Obrázek 3: Rozvinutí v Cabri II Plus výkladu. Oddělíme tak obecně platné poznatky od zvláštností použité projekce. Naši ukázkovou úlohu vidíme zpracovanou v Mongeově projekci programem Cabri na obr.. Pochopitelně zde využíváme možnost krokování konstrukce, a to nejen dopředu, ale při nejasnostech se můžeme k problematickému kroku vrátit a vše v klidu objasnit bez improvizovaných prostředků, jako je zakrývání částí konstrukce nebo dokonce mazání, což situaci ve výsledku jen zhoršuje. 6 Tisk z Cabri aneb když si matematik hraje s nůžkami Na závěr si ukážeme ještě jeden, a to poněkud kuriózní způsob využití Cabri, který však můžeme velmi elegantně použít k procvičení tématu rozvinutelných ploch. Přestože zde nejde o skutečné využití variační geometrie, dle našeho názoru tento postup stojí za pozornost. Budeme řešit úlohu sestrojení rozvinutí určité plochy, k čemuž můžeme použít klasické metody, jakou je triangulace nebo metoda normálového řezu, a to úplně stejně jako na tabuli nebo do papírových předtisků. Vzhledem k tomu, že rozvinutí sestrojené pomocí Cabri není o nic méně hodnotné než rozvinutí sestrojené jakýmkoli jiným způsobem, nic nám nebrání tuto vyřešenou úlohu z Cabri vytisknout na kladívkovou čtvrtku a sestrojit model. Důležité je, že pokud máme úlohu již vyřešenou, nepřidáváme již téměř žádnou práci navíc, nemusíme dále už nic měřit, stačí sestrojenou síť vystřihnout a slepit. Pokud použijeme barevnou tiskárnu a konstrukci obarvíme, dosáhneme tak vizuálně velmi

52 přitažlivých pomůcek, jejichž použití při výuce snad ani není třeba obhajovat, zvlášť pokud na těchto pomůckách ukazujeme přímo úlohu, která vedla k jejich sestrojení a kterou současně řešíme i v Cabri. Studenti tak velmi přesvědčivě vidí, že postup, který jim ukazujeme lze skutečně použít v praxi. Jak vypadá sestrojení rozvinutí kosého kužele v Cabri, vidíme na obr. 3. Jako perličku pak můžeme pro zajímavost tyto vystřihovánky ve formátu *.pdf umístit ke stažení na webovské stránky předmětu. 7 Závěr V dnešní době se klade stále větší důraz na rozvoj a upevňování prostorové představivosti a tvůrčího myšlení studentů a absolventů vysokých škol. Tato situace úzce souvisí se vstupními předpoklady, které se formují již na středních a základních školách. Problémem však je, že zatímco výstupní požadavky na znalosti vysokoškolských studentů matematických a technických disciplín se stále stupňují, vstupní předpoklady díky redukci učiva geometrie a deskriptivní geometrie na středních školách silně zaostávají. Použití variační geometrie v základních geometrických kurzech na technických fakultách přináší nové možnosti v pojetí těchto předmětů a umožňuje studentům lépe zvládnout geometrické učivo, které je pro ně poměrně obtížné. Současné zařazení dvou programů variační geometrie (Cabri a Geometrie 3D) jednak zdůrazňuje vlastní algoritmické řešení stereometrických úloh nezávisle na zobrazovací metodě, ale na druhé straně neopomíjí ani standardní metody klasické deskriptivní geometrie. Hlavním smyslem uváděné modernizace je tedy změna v přístupu student se nepotýká s vlastním technickým provedením konstrukce, ale opravdu řeší zadaný problém. Navíc je patrné, že student je lépe připraven řešit reálné úlohy v geometrických 3D modelářích (např. CATIA, Rhinoceros apod.), neboť již od počátku je zvyklý pohybovat se v 3D světě a ne jen ve světě půdorysu a nárysu. Ohlasy ze studentských anket, které se na Západočeské univerzitě konají pravidelně po skončení každého semestru, ukazují, že navržený způsob výuky je studenty vítán a i pohled ze strany vyučujících ukazuje na fakt, že studenti chápou předkládanou problematiku lépe. Literatura [1] [] [3] VRBA, A. Oživlá geometrie. Matematika, fyzika, informatika. 000, č. a 3. [4] ŠTAUBEROVÁ, Z. Axonometrie, křivky, plochy. Plzeň: ZČU v Plzni,

53 ÚROVEŇ UCHAZEČŮ O STUDIUM NA TECHNICKÝCH FAKULTÁCH VŠB-TUO Jarmila Doležalová 1, Pavel Kreml Abstrakt: Od školního roku 003/04 vyučují všechny technické fakulty VŠB TU Ostrava podle učebních plánů strukturovaného studia. Nové učební plány znamenaly významné snížení počtu hodin a z toho vyplývající změnu učebních osnov. V článku uvedený přehled studijních výsledků na středních školách (SŠ) ukazuje, že úroveň matematických znalostí zapsaných studentů je většinou velmi nízká a v podstatě se v uplynulých třech letech nezměnila. Vzhledem k neklesající propadovosti studentů v prvním ročníku je třeba hledat řešení jak dál. 1. Studijní výsledky na střední škole Od uvedeného školního roku máme k dispozici ucelené soubory výsledků studia na středních školách pro studenty zapsané do prvního ročníku prezenčního studia technických fakult. Každoročně jsme sledovali pět parametrů: složení zapsaných studentů, jejich průměrný prospěch na střední škole, průměrný prospěch u maturity, průměrný prospěch z matematiky na střední škole a maturitu z matematiky. Tyto údaje jsme zjišťovali jednak pro soubor všech studentů prvního ročníku technických fakult VŠB TUO, jednak pro soubory tvořené studenty jednotlivých fakult. Zjistili jsme, že podle výsledků středoškolského studia můžeme fakulty rozdělit do dvou tříd. Studenti s lepšími výsledky studují na fakultě elektrotechniky a informatiky (FEI), fakultě stavební (FAST) a fakultě bezpečnostního inženýrství (FBI). Tuto skupinu v našem příspěvku zastupují studenti FAST. Studenti s horšími výsledky jsou na fakultě strojní (FS), fakultě materiálového inženýrství (FMMI) a fakultě hornicko-geologické (HGF). Tuto skupinu reprezentují studenti FS. Výuku matematických předmětů na ekonomické fakultě (EkF) zajišťuje katedra matematických metod v ekonomice, proto jsme se výsledky studentů EkF nezabývali Složení zapsaných studentů podle typu střední školy /04 004/05 005/06 Graf 1: Složení studentů VŠB TUO 0 SOU G SOŠ 1 Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB TU Ostrava, 17. listopadu 15, Ostrava Poruba, jarmila.dolezalova@vsb.cz Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB TU Ostrava, 17. listopadu 15, Ostrava Poruba, pavel.kreml@vsb.cz

54 Z grafu 1 je zřejmé, že zhruba dvě třetiny studentů absolvovaly střední odborné školy (SOŠ). Jejich počet pomalu vzrůstá. Absolventů středních odborných učilišť s maturitou (SOU) je těsně nad 10% a absolventů gymnázií (G) přes 0%. Z grafu je vidět rozdíl mezi FS, kde je více absolventů SOU (kolem 0%) na úkor absolventů gymnázií (kolem 10%), a zbývajícími fakultami, kde je situace opačná absolventi gymnázií převažují nad absolventy SOU (graf 3) SOU G SOŠ 003/04 004/05 005/ SOU G SOŠ 003/04 004/05 005/06 Grafy, 3: Složení studentů FS a FAST 1.. Studijní průměr na střední škole Podle studijního průměru ze všech vyučovaných předmětů na SŠ převažují mezi studenty VŠB TU spíše ti s horšími výsledky (graf 4). Při jemnějším třídění bychom zjistili, že na všech fakultách je výrazné maximum 37-4% ve třídě,01-,5. Je to dáno jednak velkým počtem absolventů SOŠ a SOU, jednak tím, že výborní studenti gymnázií vesměs pokračují na atraktivnějších vysokých školách. Z tohoto zřetele jsou nejhorší studenti na FS (graf 5, téměř žádní jedničkáři, kteří by táhli studijní skupinu dopředu, skoro dvě třetiny v kategorii,01-3). Na druhé straně více než 40% studentů FAST má průměr lepší než (graf 6) /04 004/ ,01-,01-3 3, /06 Graf 4: Studijní průměr na SŠ VŠB-TUO - 5 -

55 ,01-,01-3 3, /04 004/05 005/ ,01-,01-3 3, /04 004/05 005/06 Grafy 5, 6: Studijní průměr na SŠ FS a FAST 1.3. Maturitní průměr O studijních kvalitách vypovídají rovněž výsledky maturitní zkoušky. Z grafu 7 vidíme, že maximum ve třídě,01-3 není tak výrazné jako v případě studijního průměru na SŠ, při čemž nastal posun směrem k lepším výsledkům. Pro studium na vysoké škole by výsledek mohl signalizovat schopnost studentů připravit se jednorázově cíleně na zkoušky. Mezi studenty jednotlivých fakult jsme tentokrát nezjistili žádné významné rozdíly (grafy 8, 9), na všech fakultách je při jemnějším třídění nevýrazné maximum kolem 5% ve třídě, / /05 005/ ,01-,01-3 3,01-4 Graf 7: Maturitní průměr VŠB-TUO ,01-,01-3 3, /04 004/05 005/ ,01-,01-3 3, /04 004/05 005/06 Grafy 8, 9: Maturitní průměr FS a FAST

56 1.4. Průměrný prospěch z matematiky na střední škole V tomto případě jsou studijní výsledky opačné než u průměrného prospěchu u maturity (graf 10). Maximum kolem 45% je sice opět ve třídě,01-3, ale nastal výrazný posun směrem k horším známkám (ve třídě 3,01-4 je kolem 35% studentů). Rozdíly mezi studenty jednotlivých fakult jsou opět výraznější (grafy 11, 1). Potvrzuje se známá skutečnost, že matematika je dlouhodobě problémovým předmětem už na střední škole. Nedostatečné znalosti ze středoškolského učiva, a často i z učiva základní školy, se nutně odráží v dalším studiu na technické vysoké škole / /05 005/ ,01-,01-3 3,01-4 Graf 10: Průměrný prospěch z matematiky na SŠ VŠB-TUO ,01-,01-3 3, /04 004/05 005/ ,01-,01-3 3, /04 004/05 005/06 Grafy 11, 1: Průměrný prospěch z matematiky na SŠ FS a FAST 1.5. Maturitní zkouška z matematiky Maturitní zkouška z matematiky je z pohledu katedry matematiky až na dvě fakulty noční můrou. Vzhledem k předchozím údajům je samozřejmé, že dobrovolně z matematiky maturuje necelá polovina studentů (graf 13), na většině fakult je to pouze kolem 30% studentů (graf 14), pouze na FAST maturuje z matematiky 75% studentů (graf 15), na FEI dokonce 80% studentů. Je otázkou, zda se se změnou vlády nemáme znovu pokusit o povinnou maturitu z matematiky (jak se o tom hovořilo na nedávném sjezdu JČMF), v prvním kroku alespoň na gymnáziích a SOŠ technického zaměření

57 /04 004/ / není Graf 13: Maturita z matematiky VŠB-TUO / /05 005/ není Graf 14: Maturita z matematiky FS / /05 005/ není Graf 15: Maturita z matematiky FAST. Jak dál Vzhledem k tomu, že uvedené středoškolské studijní výsledky vykazují dlouhodobě v podstatě nezměněný stav (na FS nedochází k žádným změnám k lepšímu již od školního roku 1990/91), je třeba zvážit řešení této situace. V úvahu je nutno vzít také očekávané změny na středních školách. Vedení některých fakult po seznámení s těmito výsledky a zejména v zájmu zvýšení propustnosti do druhého ročníku (graf 16) přistoupilo k zavedení povinného předmětu Základy matematiky v rozsahu 0+, který je ukončen pouze zápočtem. Obsahem předmětu je opakování základním matematických znalostí ze střední školy. Je jasné, že za dvě hodiny týdně všechno naučit nelze, zvláště při nízké pracovní morálce řady studentů

58 Průchodnost z I. do II. ročníku, FS počty studentů v % 60,0 50,0 40,0 30,0 0,0 10,0 0,0 36,9 31,9 3, 44,3 38,6 9, 34,4 36,8 33,9 90/91 91/9 9/93 93/94 94/95 95/96 96/97 97/98 98/99 45,9 99/00 34,7 00/01 5,7 44,1 45,5 48, 0/0 0/03 03/04 04/05 Graf 16: Průchodnost z I. do II. ročníku na FS FS zařadila do učebního plánu prvního semestru povinný předmět Základy konstruktivní geometrie rozsahu 0+1. Slouží jako příprava pro předmět Konstruktivní geometrie, který dlouhodobě činí studentům FS největší potíže. A tak zůstává hamletovská otázka: Přizpůsobit osnovy jednotlivých předmětů uvedené situaci či ne? Máme ustoupit ve svých požadavcích na znalosti studentů či ne? Literatura [1] DOLEŽALOVÁ, J., KREML, P.: Nová koncepce studia na VŠB-TU Ostrava. In. Sborník Konf. Moderní matematické metody v inženýrství. Ostrava: ES VŠB-TUO, 001. ISBN , s [] DOLEŽALOVÁ, J., KREML, P.: Strukturované studium na VŠB-TU Ostrava. In Sborník 1 st International Conference Aplimat. Bratislava: 00. ISBN , s [3] DOLEŽALOVÁ, J., KREML, P.: Jsou studenti připraveni ke studiu na technických fakultách VŠB-TU Ostrava? In. Sborník 8. mezinárodní konference VŠTEZ. Žilina: EDIS - vydavatelstvo ŽU, 004. ISBN X, s

59 ELEKTRONICKÁ A MULTIMEDIÁLNÍ PODPORA VÝUKY NA VŠCHT PRAHA Miroslava Dubcová 1, Alois Klí, Daniel Turzík 3, Lucie Purmová 4, Pavla Pavlíková 5 Rychlý rozvoj internetu a multimediálních systém a v neposlední ad i poítaových algebraických systém vedl k poteb zaadit tyto prvky do výuky na vysokých školách. Již tyi roky se Ústav matematiky VŠCHT Praha podílí na Transformaním rozvojovém projektu MŠMT "Implementace moderních informaních technologií ve strukturovaném studiu vybraných chemicko-inženýrských, potravináských a chemicko-technologických oborech". Krom ústavu matematiky se projektu úastní tém všechny ústavy Fakulty chemického inženýrství, Fakulty potravináské a biochemické technologie a nkteré ústavy Fakulty chemické technologie. Výstupy projektu jsou elektronické a multimediální uebnice, skripta, výukové materiály, testovací prostedky, uební texty a tabulky a programy dostupné studentm na poítaové síti. Umístní tchto produkt na poítaové síti umožní využít jejich dvou podstatných charakteristik: 1. Okamžitá dostupnost ihned po vytvoení (není zde žádná prodleva mezi vlastním vytvoením a vydáním v tištné form).. Možnost astých zmn a úprav s minimálními náklady. Zejména posledn jmenovaná charakteristika je významná pro magisterský stupe studia, nebo umožuje okamžité zaleování nejnovjších poznatk vdy do výukového procesu. Na tvorb elektronických pomcek se na Ústavu matematiky podílí velká ást pracovník ústavu. Vedle elektronických verzí skript vznikají na našem ústavu hlavn elektronické pomcky využívající nkteré z matematických softwarových produkt, tzv. poítaových algebraických systém (PAS). Na Ústavu matematiky VŠCHT jsou využívány pedevším systémy MAPLE, MATHEMATICA a MATLAB. V rámci zmínného projektu vznikly elektronické pomcky pro pedmty základního studia: Základy matematiky Matematika I Matematika II Aplikovaná statistika a pro pedmty povinn volitelné nebo volitelné: 1 VŠCHT Praha, Technická 5, 166 8, Miroslava.Dubcova@vscht.cz VŠCHT Praha, Technická 5, 166 8, Alois.Klic@vscht.cz 3 VŠCHT Praha, Technická 5, 166 8, Daniel.Turzik@vscht.cz 4 VŠCHT Praha, Technická 5, 166 8, Lucie.Purmova@vscht.cz 5 VŠCHT Praha, Technická 5, 166 8, Pavla.Pavlikova@vscht.cz

60 Poítaové algebraické systémy Numerické metody Matematika pro technické aplikace Soustavy obyejných diferenciálních rovnic Základy matematické optimalizace Fourierova transformace a její využití v infraervené spektroskopii Protože v posledních letech se na technických vysokých školách stále více zaazují poítaové algebraické systémy do výuky, byl na naši škole od školního roku 004/05 zaazen do výuky nový volitelný pedmt Poítaové algebraické systémy. V tomto pedmtu uíme studenty pracovat se systémem MAPLE. Snažíme se nauit studenty smyslupln využívat tento systém pedevším v matematice ale i v ostatních technických pedmtech. Vzhledem ke kladnému postoji našich student k poítam pedpokládáme, že tento pedmt uiní matematiku pro adu z nich názornjší a pochopitelnjší. Oekáváme vtší zájem o matematicky zamené volitelné pedmty, a již v bakaláském studiu, tak dále ve studiu magisterském. Krom tohoto pedmtu mají studenti možnost nauit se používat PAS v matematice pomocí kurz, které jsou voln pístupné na internetu. Tyto kurzy vznikly práv v rámci Transformaního rozvojového projektu MŠMT v roce 004 a 005. Výuka pedmtu Poítaových algebraických systém a zmínné kurzy by mly rozšíit možnost využívání PAS pímo pi výuce matematiky a v navazujících technických pedmtech. Podobn jako kurzy MAPLE na Ústavu matematiky vznikly na Ústavu poítaové a ídicí techniky kurzy pro systém MATLAB. Na tomto ústavu byl zpístupnn i vzdálený pístup k výpoetnímu a vizualizanímu prostedí systému MATLAB pomocí Matlab Web serveru. V rámci projektu vznikly i nkteré programové nadstavby systému MAPLE a MATHEMATICA využívané napíklad v pedmtu Soustavy obyejných diferenciálních rovnic, jako jsou program pro kreslení fázových portrét lineárních i nelineárních soustav a program pro výpoet a grafické znázornní prvých integrál. Psaní tchto program i v systému MAPLE nebo MATEMATICA by bylo pro studenty obtížné a zdlouhavé, proto dostanou k dispozici hotové programy s návody na použití. V pípad diferenciálních rovnic je pak více asu na procviování kvalitativní teorie diferenciálních rovnic. Výhodou celého projektu je, že všechny elektronické pomcky jsou pístupné jednak na webových stránkách ústavu matematiky, ale hlavn na celoškolském portálu elektronických a multimediálních pomcek Elektronické Studijní Opory (ESO) Tento portál vznikl také v rámci Transformaního rozvojového projektu MŠMT

61 ANIMACE MATEMATICKÉHO MODELU DIFUZNÍHO PROCESU PŘI ODVÁPŇOVÁNÍ HOLINY VYTVOŘENÁ SYSTÉMEM MAPLE Miloslav Fialka 1, Hana Charvátová, Dagmar Janáčová 3 Abstrakt Na Univerzitě Tomáše Bati ve Zlíně probíhá dlouhodobě výzkum v oblasti modelování a řízení zpracovatelských procesů přírodních polymerů, jehož součástí je optimalizace procesu odvápňování holiny. Metody založené jen na zkušenostech a experimentálních technikách byly totiž vždy ekonomicky velmi nákladné a příslušné výpočty poměrně komplikované. Každý krok vedoucí k hlubšímu pochopení procesu odvápňování může vyústit v návrh levnější výrobní technologie. Ve snaze učinit jeden z takových kroků byl na ústavu matematiky ve spolupráci s ústavem automatizace a řídicí techniky Fakulty aplikované informatiky vytvořen v systému počítačové algebry Maple program umožňující na základě zadaných vstupních parametrů vizualizovat časový průběh odstraňování nevázané vápenaté složky z holiny pro případ lázňového praní. Klíčová slova Rovnice difuze, evoluční matematický model, lázňové praní, odvápňování holiny, systém Maple, barevná animace evoluce difuze v holině. 1. Úvod Odvápňování jako součást kožedělné technologie navazuje na loužení a mechanické opracování kůže. Příspěvek je zaměřen na materiál, jimž je vzorek holiny. Holina vzniká v určité fázi technologického procesu zpracování surové kůže. Loužená holina obsahuje kromě zbotnalých kolagenových vláken i zbytky nevláknitých bílkovin a značné množství vápníku, který musí být odstraněn, aby byla holina vhodná pro moření a pro další procesy, jež ji připravují k činění. Vápník je v holině jednak vázán na kolagen ve formě kolagenátu vápenatého, a je rovněž rozptýlen v prostoru mezi vlákny. V průběhu odvápňování se neutralizací přítomných zásad sníží ph holiny na hodnotu umožňující odbotnání a činnost mořicích enzymů. Proto se v praxi provádí odvápňování ve dvou na sebe navazujících operacích. Nejdříve se provede prosté odvápňování nevázané složky, tj. vápníku, lázňovým praním holiny vodou, což je čistě mechanické rozpouštění vápníku, kdy se odstraní velká část nevázaného vápníku, přesněji vápenatých iontů, a poté se použije k odstranění vázané složky přísada odvápňujících chemikálií [3]. 1 Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav matematiky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, fialka@fai.utb.cz Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav automatizace a řídicí techniky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, charvatova@ft.utb.cz 3 Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav automatizace a řídicí techniky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, janacova@fai.utb.cz

62 Pro proces prostého odvápňování lázňovým praním holiny byl vytvořen v systému počítačové algebry Maple animovaný evoluční matematický model, tj. model vizualizující časový průběh tohoto procesu.. Prostorově jednorozměrný matematický model lázňového praní U tohoto procesu se pevná fáze vzorek holiny o průměrné tloušťce b (Viz obr. 1), kdy celkový objem všech vzorků je V, ponoří do většího objemu V 0 prací kapaliny vody v pracím sudu, přičemž voda během procesu do zařízení nepřitéká ani z něj neodtéká. Obr. 1 Výchozí část popisu vzorku holiny pro model prostého odvápňování Při sestavení modelu prostého odvápňování holiny v případě lázňového praní předpokládáme, že plochy stejné koncentrace jsou v každém okamžiku (vč. t = 0 ) kolmé k ose x, vliv okrajů na difuzi uvnitř vzorku holiny je zanedbatelný, difuze hydroxidu vápenatého (Ca(OH) ) probíhá v lineární oblasti Langmuirovy sorpční izotermy, obsah hydroxidu vápenatého v holině je nižší než jeho rozpustnost ve stejném objemu čisté vody při dané teplotě, koncentrace difundujících vápenatých iontů je malá (B c << 1). Za výše zmíněných předpokladů lze prostorově jednorozměrný model operace lázňového praní vzorku holiny vodou vyjádřit difuzním modelem transportu vypíraného vápníku uvnitř vzorku holiny, jenž je reprezentován parciální diferenciální rovnicí (1) parabolického typu a následujícími doplňujícími podmínkami zaručujícímí existenci

63 a jednoznačnost řešení exaktně formulovaného modelu. Toto řešení je vyjádřeno koncentračním polem c(x, t) vápníku na polopásové oblasti Řešíme tedy počáteční okrajovou úlohu {( x, t) R 0 x b >0} + G = R, t. c c D * = 0 t x ( ( x 0) c p * D 0 < x < b, t > 0, kde konstanta D = ) (1) 1+ A c, = ( 0 x b ) () c x c x ( 0 t ) = 0, ( t > 0 ) (3) ( b, t) ε c ( t) c 0 = ( t > 0 ) (4) V D S dc dt 0 0 ( b, t) = () t ( 0) 0 0 = ( t > 0 ) (5) c. (6) Rovnice (1) je rovnicí pro vnitřní difuzi, tj. difuzi vápenatých iontů ze vzorku holiny směrem do vodní lázně. Difuze je vlastně desorpční proces, tj. v našem případě proces uvolňování vápenatých iontů z holiny. Nehomogenní počáteční podmínka () znamená, že při začátku praní je rozdělení koncentrace v pevné fázi, tj. vzorku holiny konstantní. Vztah (3) je homogenní Neumannova okrajová podmínka a značí, že koncentrační pole v pevné fázi je symetrické. Vztah (4) je nehomogenní Dirichletova okrajová podmínka a je matematickým vyjádřením předpokladu dokonalého míchání lázně. Rovnice (5) je bilanční a udává, že rychlost sdílení hmoty prané složky na povrchu pevné fáze je rovna akumulaci této složky v lázni. Vztah (6) vyjadřuje, že pro lázňové praní používáme čistou vodu vzhledem k prané složce v holině. Pro obecnější vyjádření řešení rovnice (1) s doplňujícími podmínkami počáteční okrajové úlohy ( 6) zavedeme bezrozměrné veličiny: c C =, c p c0 C0 =, F c p = b D t ( 1+ A) o, x X =, b V =. V N a 0 Analytické řešení úlohy (1 6) je možno provést Fourierovou separací proměnných nebo Laplaceovou integrální transformací vzhledem k časové proměnné, což je náš případ. Laplaceova transformace je obzvlášť výhodná u prostorově jednodimenzionálních úloh, a také u úloh s nehomogenními okrajovými podmínkami, které závisí na čase. Výsledné řešení bezrozměrného koncentračního pole C ( X, F o ) v holině má tvar C ( X, F ) ε ( 1+ A) ( 1+ A) + ( X qn ) exp( Fo qn ) cos o = Na, (7) ε N a n= 1 ε ( ) ( ) ( 1+ A) ε 1+ A cos qn sin ( qn ) Na qn sin( qn ) q kde q n je n-tý kladný kořen následující transcendentní rovnice n

64 a kde N a q = tan( q) ε ( 1+ A), (8) 1 X 1, 0< F. (9) I když cílem tohoto příspěvku není podrobně analyzovat matematickou stránku difuzního modelu a jeho řešení C ( X, F o ), poznamenejme pouze, že každý člen řady (7) obsahuje exponenciální součinitel (váhu) se záporným argumentem, což má za následek velmi rychlou konvergenci této řady. Důsledkem toho je mj. také to, že v krátkém čase je řešení libovolně hladké (tzv. zhlazovací neboli regularizační jev) u řešení difuzní rovnice. Naopak v blízkosti charakteristiky t = 0 difuzní rovnice (1) má řešení naší úlohy singularitu, kdy roste nade všecky meze, což je obvyklá situace u difuzních modelů. Nyní uvedeme označení a názvy symbolů, které používáme v textu. Symbol Název symbolu o Měřicí jednotka V objem pevné fáze, tj. vzorku holiny m 3 V 0 objem prací vody jakožto odvápňovacího činidla m 3 t čas s c objemová koncentrace Ca(OH) v holině kg m -3 c 0 objemová koncentrace Ca(OH) v lázni kg m -3 c p počáteční koncentrace Ca(OH) v holině kg m -3 D efektivní difuzní koeficient vymývané složky z pevné fáze m s -1 D * modifikovaný difuzní koeficient (lázňového praní) m s -1 x souřadnice polohy m b poloviční tloušťka holiny m ε porozita (je poměr objemu pórů k objemu vzorku holiny) 1 N a námokové číslo (je podíl V 0 / V ) 1 q n n-tý kořen jisté transcendentní rovnice 1 A rovnovážná konstanta sorpce (z Langmuirovy izotermy) 1 B konstanta z Langmuirovy izotermy m 3 kg -1 S obsah plochy vzorku holiny z jedné strany m F o Fourierovo kritérium (bezrozměrný čas) 1 C bezrozměrná objemová koncentrace Ca(OH) v holině 1 C 0 bezrozměrná objemová koncentrace Ca(OH) v lázni 1 X bezrozměrná prostorová souřadnice 1-6 -

65 3. Vizualizace matematického modelu lázňového praní Vizualizovaný model odvápňování holiny lázňovým praním znázorňuje časový vývoj koncentračního pole v pevné fázi v bezrozměrném tvaru na základě zvolených vstupních parametrů. Výsledná animace je tvořena třemi vzájemně se doplňujícími částmi (viz obr. ). Stěžejní částí je animovaný D model představující příčný řez odvápňovanou holinou, v němž je barevně znázorněna koncentrace vápníku ve směru od povrchu do středu vzorku holiny v příslušném čase, přičemž tmavší odstín představuje vyšší koncentraci vápenaté složky. Druhá část animace představuje statický 3D model koncentračního pole v holině, na němž probíhá křivka odpovídající koncentraci vápníku ve vzorku v příslušném bezrozměrném čase F o. Tato část animace slouží zároveň jako ukazatel tohoto času. Třetí část animace vykresluje v D projekci úbytek vápenaté složky v pevné fázi pro příslušné hodnoty bezrozměrného času F o. F o = 0,067 F o = 0,187 F o = 0,307 F o = 0,571 t = 70 s t = 755 s t = 140 s t = 306 s Obr. Snímkování animace jednodimenzionálního modelu difuze zachycující časový průběh procesu vypírání vápenaté složky v příčném řezu holiny

66 4. Závěr Animovaný model procesu, který jsme představili v tomto příspěvku, doplňuje dosavadní možnosti sledovat vliv zvolených vstupních parametrů na průběh lázňového praní holiny, což je velmi významné pro optimalizaci tohoto procesu. Jak jsme byli informováni významnými odborníky v dané oblasti, je námi vytvořená animace jednodimenzionálního modelu vizualizující časový průběh procesu vypírání vápenaté složky v příčném řezu holiny, kterou představujeme na této konferenci, prezentována na veřejnosti vůbec poprvé. Hlavní část programu pro animování zmíněného modelu vytvořeného systémem Maple lze velmi snadno modifikovat i pro modelování jiných procesů. Tento evoluční animovaný model lze rovněž využít pro zvýšení názornosti výuky příslušných odborných předmětů jak na Fakultě aplikované informatiky, tak na Fakultě technologické Univerzity Tomáše Bati ve Zlíně. Poděkování Tato práce byla podporována Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy České republiky výzkumným záměrem MSM Modelování a řízení zpracovatelských procesů přírodních a syntetických polymerů. Literatura [1] GILMORE W. Jason PHP 5 & MySQL Kompendium znalostí pro začátečníky i profesionály. Jan Pokorný. 1. vyd. Brno: Zoner Press, 005, 711 s. ISBN X [] KEVORKIAN, J. Partial differential equation. New York: Springer Verlag, 000. ISBN [3] KOLOMAZNÍK, K. Analýza dynamických systémů. 1.vyd. Skriptum, Brno: VUT v Brně, určeno pro FT ve Zlíně, 1988, 13 s. [4] KOLOMAZNÍK, K. Modelování zpracovatelských procesů. 1.vyd. Skriptum, Brno: VUT v Brně, určeno pro FT ve Zlíně, 1990, 191 s. ISBN [5] LYNCH, S. Dynamical systems with applications using Maple. Boston: Birkhäuser, 000. ISBN [6] MRAZÍK, M. Koželužská technologie. Praha: SNTL, [7] SHARPHOUSE, J. H. Leather technician s handbook. Northampton: Leather Producers Association, ISBN [8] TOCCI, CH., ADAMS, S. Applied Maple for Engineers and scientists. London: Artech House ISBN [9] ZELENKA, P. WebML Projektování webových aplikací. Interval.cz [online]. 003 [cit ]. Dostupný z WWW: <

67 WEBOVÁ PREZENTACE GRAFŮ A ANIMACÍ MATEMATICKÝCH OBJEKTŮ VYUŽÍVAJÍCÍ MOŽNOSTÍ MySQL Miloslav Fialka 1, Hana Charvátová, Ivan Pomykacz 3 Abstrakt Příspěvek se zabývá návrhem prezentace grafů, resp. animací matematických objektů, které byly vytvořeny v systému Maple. Řešení návrhu je založeno na webové prezentaci, což je v současné době nejpoužívanější prezentační technika. Výstupem našeho výzkumu je webová aplikace, která generuje na základě zadané struktury zmíněnou prezentaci, jíž lze následně spustit pomocí webového prohlížeče. Klíčová slova Webová prezentace pro matematiku, HTML prezentace, databázový systém MySQL, Česká technická norma. 1. Úvod Grafické soubory obsahující rastrovou reprezentaci vymodelovaných matematických objektů jsou v naší webové prezentaci výsledným produktem systému počítačové algebry Maple. Tyto grafické soubory lze dále ještě rozčlenit na statické obrázky (formát JPEG) a dynamické animace (formát GIF), což je ve své podstatě sled několika statických obrázků, jenž, jak známo, vytváří iluzi vjemu změny statického obrazu. Vnímáme pak např. pohyb objektu jako je jeho rotace, růst křivky nebo souvislé generování plochy. Snažili jsme se uspořádat zmíněná grafická data soubory do logické struktury, a zároveň navrhnout jejich vhodnou prezentační formu. Logická struktura grafických dat byla v našem případě předurčena obsahem učební látky ze dvou skript pro předmět Matematika II. Jedná se o skripta [], [3]: FIALKA, M. Diferenciální počet funkcí více proměnných s aplikacemi.. vyd. Skriptum, Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 005, 145 s. FIALKA, M. Integrální počet funkcí více proměnných s aplikacemi.. vyd. Skriptum, Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 005, 103 s. Shodnou strukturu se skripty má z didaktických důvodů i prezentace grafických matematických objektů. Takovou webovou prezentaci je pak možno využít ve výuce, zejména na přednáškách ve zmíněném předmětu. Přestože jsme řešili úzce vymezený problém, snažili jsme se od samotného začátku o to, abychom nevytvořili produkt s pevně danou strukturou vázanou na konkrétní výchozí 1 Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav matematiky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, fialka@fai.utb.cz Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav automatizace a řídicí techniky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, charvatova@ft.utb.cz 3 Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, i_pomykacz@fai.utb.cz

68 podmínky, ale naopak jsme se snažili vytvořit systém s co nejobecnějším přístupem k vyřešení stanoveného cíle. Proto jsme navrhli koncept, jenž umožňuje dynamicky vytvářet a modifikovat strukturu prezentace. Výhody a nevýhody obou přístupů vytváření struktury jsou zřejmé. Dynamický přístup oproti statickému nabízí snadnou modifikaci struktury i obrazových dat. Navíc fakt, že u dynamického přístupu je oddělen obsah od formy, zvyšuje další potenciální možnosti využití, zobrazení a exportu prezentace.. Technická realizace webové prezentace Z názvu příspěvku je zřejmé, že jako forma prezentace bylo zvoleno webové rozhraní, které je dnes neodmyslitelně spjato se současným Internetem. K prohlížení vytvořené prezentace plně postačí běžně dostupný webový prohlížeč (např. Firefox, MSIE nebo Opera), který zvládá interpretaci XHTML a interpretaci stylizačního mechanismu CSS. Tvorba prezentace samozřejmě nespočívá v psaní HTML, resp. XHTML kódu, ale naopak v použití stejného rozhraní jako pro zobrazování prezentace. Pomocí něj lze pak vytvářet a modifikovat strukturu prezentace. Při jejím návrhu je webový prohlížeč vstupním bodem, v rámci něhož se automaticky spouští webová aplikace naprogramovaná v jazyce PHP. Ta zpracovává uživatelem zadané vstupy, a zároveň generuje výslednou prezentaci. Samozřejmostí pro programátora webových aplikací je nutnost pamatovat na vhodné uchování vložených dat. K tomuto účelu slouží databázový systém MySQL. Výhodou je pak snadný přístup ke zmíněným datům a komfortní manipulace s nimi. 3. Webová prezentace pro matematiku Výslednou webovou prezentaci HTML prezentaci využíváme v současné době pro PC projekci prostřednictvím dataprojektoru na přednáškách z předmětu Matematika II ve vhodně načasovaných vstupech. Webová aplikace obsahuje na promítané stránce zleva doprava následující položky: 1. zmenšeninu obrázku jako hypertextový odkaz na jeho celostránkovou projekci. popř. číslo obrázku a jeho pracovní název ( lze jej vynechat a ušetřit šířku stránky) 3. titulek obrázku ( jako charakteristiku jeho obsahu) 4. animaci obrázku (jde-li o vhodnou prostorovou situaci). Pro rychlejší časovou odezvu i pro přehlednost je uvedená webová prezentace rozčleněna do celkem osmi částí, původně osmi kapitol obou skript. Jde o tyto části: Diferenciální počet funkcí více proměnných s aplikacemi 1. Poznámky k afinním prostorům a vektorové algebře. Poznámky k metrickým prostorům 3. Bodové množiny především v euklidovských prostorech 4. Úvod k diferenciálnímu počtu funkcí více proměnných 5. Diferenciální počet funkcí více proměnných Integrální počet funkcí více proměnných s aplikacemi 7. Riemannův dvojný a trojný integrál na měřitelné množině 8. Křivkový integrál

69 9. Plošný integrál. Nyní uvedeme ukázku vybraných částí webové prezentace z matematiky. 1.5 Skalární násobek vektoru 3.7 Nesouvislá množina Okolí bodu A vzhledem k množině M a spojitost zobrazení (resp. funkce) Ф v bodě A vzhledem k množině M x y Funkce z = nemá 4 x + y v počátku limitu, neboť nemá limitu vzhledem ke svazku parabol s vrcholy v počátku, ačkoli má (nulovou) limitu vzhledem ke svazku přímek, procházecích počátkem Funkce amfiteátr z = ent x + y, která je po částech konstantní a není elementární funkcí Obr. 1 Ukázka z webové prezentace

70 4. Respektujme označování podle České technické normy ČSN ISO z roku 1999 Titulky webové prezentace stejně jako obě skripta obsahují matematické znaky a značky shodné s Českou technickou normou [1]. 5. Závěr Výstupem webové aplikace je HTML prezentace, kterou lze zobrazit v libovolném webovém prohlížeči a to buď přímo on-line z kteréhokoli místa na světě, kde je k dispozici Internet nebo off-line, např. z USB flash disku nebo z CD či DVD datového nosiče. Jsme si dobře vědomi, že prezentovaná webová aplikace není ještě na takové úrovni, které jsme schopni dosáhnout. V dalším období bude proto nutné provést celou řadu dílčích úprav a vylepšení našeho produktu, přestože už máme k dispozici funkční model prezentace i aplikace na její tvorbu. Stávající funkční model je také již úspěšně využíván ve výuce na UTB ve Zlíně a podle průzkumu mezi studenty obou výše zmíněných fakult má mezi nimi značný ohlas. Domníváme se, že by po svém dokončení mohla být uvedená webová prezentace nebo alespoň některé její segmenty využitelné i na univerzitách s inženýrskými obory. Literatura [1] ČSN ISO Veličiny a jednotky část 11: Matematické znaky a značky používané ve fyzikálních vědách a v technice. Praha: Český normalizační institut, 1999, 7s. [] FIALKA, M. Diferenciální počet funkcí více proměnných s aplikacemi.. vyd. Skriptum, Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 005, 145 s. ISBN [3] FIALKA, M. Integrální počet funkcí více proměnných s aplikacemi.. vyd. Skriptum, Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 005, 103 s. ISBN [4] GILMORE W. Jason PHP 5 & MySQL Kompendium znalostí pro začátečníky i profesionály. Jan Pokorný. 1. vyd. Brno: Zoner Press, 005, 711 s. ISBN X [5] KOSEK, J. PHP tvorba interaktivních internetových aplikací. 1. vyd. Praha: Grada Publishing, s.r.o., 1998, 49 s. ISBN [6] MASLAKOWSKI, M. Naučte se MySQL za 1 dní. Bogdan Kiszka. 1. vyd. Praha: Computer Press, 000, 478 s. ISBN [7] ZELENKA, P. WebML: Projektování webových aplikací. Interval.cz [online]. 003 [cit ]. Dostupný z WWW: <

71 MATEMATIKA VE ŠKOLNÍCH VZDLÁVACÍCH PROGRAMECH Eduard Fuchs 1 Abstrakt: Autor píspvku vedl autorský kolektiv, který v rámci JMF zpracoval materiály, které by mly uitelm matematiky pomoci pi tvorb školních vzdlávacích program. V píspvku je obsažena základní informace o tchto materiálech a nkolik zamyšlení nad souasným stavem našeho školství. 1. Školní vzdlávací programy Naše školství prochází permanentními zmnami. Desetiletí proklamovaná pée o zvyšování úrovn vzdlanosti u nás nabyla podoby vymýšlení zásadních zmn, úprav uebních plán, neustálého zavádní nových metod a uebních postup. Školství samozejm musí reagovat na vývoj vdy, na celkový rozvoj spolenosti i na zavádní nových technologií. Jen je nutno mít na pamti, že nov zavádné koncepce budou záhy koncepcemi zastaralými a žádné zmny neumenší rozhodující roli uitel. Ti dobí budou uit dobe i pi špatné reform, jen jejich práce bude obtížnjší, a nkterým vyuujícím žádná reforma ke zkvalitnní výuky nepomže. Hlavním nástrojem práv probíhající reformy mají být Školní vzdlávací programy, které si školy samostatn pipraví na základ tzv. Rámcových vzdlávacích program, které postupn pro jednotlivé typy škol MŠMT zveejuje. Jak už je pro zavádní reforem u nás typické, nikdo v této souvislosti fundovan neodpovdl na zásadní otázku, zda je správné penést tak velkou volnost v tvorb koncepce jednotlivých pedmt a ve formulaci výstupních požadavk na jednotlivé školy. Zcela jist existuje velká ada škol, které takto získané možnosti bezezbytku využijí a na základ etných diskusí mezi vyuujícími jednotlivých pedmt pipraví program, který bude pro žáky znamenat zkvalitnní výuky nejen v jednotlivých pedmtech, ale pinese i nezbytné a dosud obtížn prosazované posílení mezipedmtových vztah. Na druhé stran je nutno si uvdomit, že v R existuje více než základních škol, které mají mén než 100 žák. Na tchto školách asto uí neaprobovaní uitelé, maturanti a pesluhující dchodci. Opravdu i na tchto školách budou probíhat kvalifikované diskuse mezi vyuujícími, které posléze vyústí ve formulaci školního programu, který bude znamenat kvalitativní zlepšení souasného stavu? Opravdu jsou na všech základních i stedních školách editelé, kteí mají pochopení pro rozvoj a adekvátní postavení všech pedmt ve výuce na dané škole? 1 Pírodovdecká fakulta MU, Janákovo nám. a, Brno, fuchs@math.muni.cz

72 Dochází k naprosto kuriózní situaci. Když pipravujeme na fakult akreditaní materiály, musí být rozepsané do nejmenších podrobností a po akreditaci se musíme tchto dokument bezpodmínen držet. Jakákoliv zmna v hodinové dotaci napíklad ve cviení k nkteré pednášce je tém neprchodná s odvodnním, že není v souladu s akreditovanými materiály. Fakulty jsou násiln tlaeny do bakalásko-magisterské unifikace, která je pro nkteré obory nevyhovující a mnohdy doslova absurdní. Zdvodnní je fiktivní a nesmyslné: je motivováno pedstavou nkterých byrokrat (a bohužel i ady akademických pracovník), že je nutno v rámci Evropské unie umožnit nekomplikovaný pechod bakalám z jedné univerzity na magisterské pokraování i jiného typu studia na univerzit jiné. S jistou dávkou nadsázky: absolvent bakaláského studia djin umní v Bruselu by ml mít možnost bez problém pokraovat v magisterském studiu jaderné fyziky v Praze (a naopak). A v této situaci se základním a stedním školám dává pravomoc, díky níž se Pepíek, který se pesthuje z Horní Lhoty do Lhoty Dolní a takové sthování je na rozdíl od výše zmínného pechodu Praha-Brusel reálné a obvyklé ocitne sice ve stejné tíd, le se zcela jinými vyuovacími pedmty a s odlišnou náplní. Základní právní prostedí je však nutné respektovat a výuka musí probíhat v tch mantinelech, které jsou vymezeny. Za každé situace pesto zstává dost prostoru pro aktivní vklad jednotlivc i institucí. Nevím, zda si všichni uvdomujeme, že souasná reforma je poátkem stejného kvalitativního zvratu v našem školství, jakou byla liberalizace školského prostedí na poátku devadesátých let. Na tehdejší celkové (a logické) rozvolnní školských pomr, kdy se by jen zmínka o njakých osnovách na nov vznikajících školách považovala pinejmenším za nepatinou, jsme se již v r. 199 na 4. setkání uitel matematiky všech typ a stup škol rozhodli vytvoit v rámci JMF pro základní školy a pro všechny typy stedních škol standardy pro výuku matematiky, které by formulovaly názor Jednoty na to, jaká by mla být výstupní úrove žák, a to bez ohledu na to, kdy, jak a zda vbec k obdobnému názoru dospje Ministerstvo školství. Toto rozhodnutí se po letech ukázalo správným a prozetelným. Standardy, které jsme vytvoili, sehrály dležitou roli a dodnes patí k dokumentm, které ani oficiální instituce nemohou obejít pi formulaci základních programových dokument. Poznamenejme, že k podobnému stavu se nedopracovala pedagogická veejnost v žádném z dalších vyuovacích pedmt. Proto jsme považovali za samozejmé, že je nutno reagovat i na souasný stav. Na 9. setkání uitel matematiky v Srní v r. 004 jsme ohlásili, že ve spolupráci s nakladatelstvím Prometheus chceme pichystat sérii materiál na pomoc uitelm matematiky pi tvorb školních vzdlávacích program. Pro nezasvcené mohla až kuriózn a nepochopiteln vypadat následující vzrušená debata. Na jedné stran následoval tém jednotný souhlas uitel, na stran druhé až pekvapiv negativní reakce zástupc oficiálních institucí (pedevším VÚP), kteí v tom zejm vidli nepimený zásah do svých kompetencí a do centrálních jednostranných pedstav o tom, jak mají být školní vzdlávací programy tvoeny. Pes tyto reakce jsme se rozhodli na oznámených materiálech pracovat. Podobn jako u standard jsme se dohodli, že s pípravou materiál nebudeme u jednotlivých typ škol ekat na zveejnní definitivních a oficiálních Rámcových program, nebo základní parametry probíhající reformy nastaveny byly a náš materiál, jakkoliv ml být

73 zamen jako pomocný text pro pípravu školních program, jsme nikdy nechápali jako ryze úelový bezduchý rozpis programu rámcového, ale chtli jsme uitelm nabídnout své zkušenosti, návrhy, metodické postupy, argumenty pro vedení školy i širší veejnost atd. S potšením mžeme konstatovat, že materiály, které jsme v r. 004 avizovali, byly zpracovány a nakladatelství Prometheus je v prbhu roku 006 vydalo (viz [], [3], [4], [5]).. Souasné postavení matematiky Jak již bylo naznaeno, jedním z cíl zmínných materiál bylo poskytnout uitelm dostatek argument pro zajištní odpovídajícího postavení matematiky ve školních vzdlávacích programech. Všichni dobe víme, jak módní je dnes vystupovat proti matematice a exaktním vdám vbec. Velmi astá, avšak v celkovém kontextu mén nebezpená, je rodiovská argumentace typu K emu to budou dti potebovat? nebo Náš František (Anika) bude lékaem (historikem, umlcem...) a matematiku nebude nikdy potebovat. Smyslem školy pece není jen pedání jistého souhrnu vdomostí, ale pedevším výchova a vzdlávání v tom nejširším slova smyslu. Jak již bylo mnohokrát eeno, to nejpodstatnjší, co si absolvent školy do života odnáší, je to, co mu zstane, až zapomene všechny dílí poznatky. Proto je diskuse na téma K emu to budu potebovat? zcela pomýlená a kontraproduktivní. Kdybychom situaci hodnotili jen z tohoto hlediska, mohli bychom odbourat ze školy tém vše. Vtšinu vdomostí, a to se samozejm vbec netýká jen matematiky, nebudeme v praktickém život potebovat nikdy a navíc dopedu ani nevíme, co opravdu potebovat budeme. Bohužel však k tmto diskusím velmi nešastn pispívají i nkteí pedstavitelé JMF, kteí v médiích zcela vážn vyhlašují, že je napíklad zbytené ve školách uit kvadratické rovnice apod. Jak by takto vychovávaní žáci porozumli napíklad elementárním základm mechaniky, to mn vru uniká. A lze rozumn argumentovat rodim zmínného Frantíka nebo Aniky? Samozejm. I když pomineme skutenost, že není vbec jisté, zda zmínný František bude opravdu tím, co si rodie desetiletého klouka pejí, je jejich vidní svta naprosto deformované. Pro by se ml matematiku uit teba historik? Protože si neumím pedstavit, jak mže historik vysvtlit a pochopit smysl toho, co se odehrálo napíklad v 16. a 17. století, když nepochopí dosah toho, co znamenali nap. Descartes, Newton nebo Leibniz. Vhled do jejich vidní svta je pro pochopení djin dležitjší než znalost chronologie panovník tehdejší doby. Opravdový znalec umní nemže pochopit kompozici obrazu bez znalosti perspektivy a znalosti toho, co je to zlatý ez. (Abychom byli spravedliví: mže význam zlatého ezu studentm vysvtlit matematik, který se nikdy nevnoil do kompozice obraz a jejich zákonitostí?) Potebuje matematiku léka? Pokud ne, tak pro k nám na fakultu chodí lékai z fakultní nemocnice, kteí se marn snaží pochopit návod k moderním pístrojm, kde se na první stran hovoí o vlastnostech rychlé Fourierovy transformace?

74 Potebujeme vbec umt poítat, když pece v knihách (v kalkulace, v poítai) jsou všechny vztahy uvedeny a jde jen o to dti nauit tyto prameny používat? Pokud ne, pro se pi výuce cizího jazyka biflujeme cizí slovíka? Vždy pece ve slovníku (translátoru, na internetu,...) jsou všechna tato slova uvedena. Napadne nkoho, že to je dvod k tomu, abychom se jazyky neuili? Takových píklad bychom mohli jmenovat nepebern. Samozejm, že škola nemá uit zbytenou faktografii, musí reagovat na moderní vdecké trendy, musí využívat a souasn uit i dti využívat moderní technologie atd. Nic z toho však neumenšuje zásadní roli uitele. Jak již bylo eeno, patí zmínné argumenty mezi ty mén nebezpené. Pro vývoj naší vzdlanosti jsou mnohem zhoubnjší názory, kterým se zhusta dostává sluchu v našich médiích nebo které média pímo vytváejí. Nejde jen o vícemén omluvitelné deformace i zploštní nkterých názor, o poskytování neúmrného prostoru rzným pavdeckým názorm atd. Mnohem škodlivjší jsou ty názory, které se zdánliv fundovan vyjadují k problematice školství a spoluvytváejí klima, které budoucí tvá našeho školství pímo ovlivuje. Uvdomme si jen, kolik nesmyslných názor zaznlo napíklad v souvislosti s tzv. novými maturitami. Uveme za mnohé alespo názor R. Kvakové, který nedávno vyjádila v lánku [5]. Za vtší komentá snad ani nestojí základní základní téze tohoto lánku, která je vnována hrzám, kterým jsou dti vystaveny tím, že dostávají vysvdení se známkami. Jak praví paní redaktorka: vysvdení pedstavuje jeden z nejzávažnjších omyl lidstva. Tžko íct, kdo první pišel s myšlenkou vzdlání mit a klasifikovat, ale je to myšlenka stejn scestná, jako kdybychom chtli mit a klasifikovat teba vdnost. Možnost vzdlávat se a uit se dovednostem je pece primárn vymoženost. Vdní by se proto mlo rozdávat jako bonbony: máš-li chu, vezmi si a nco si nech na zítek, a se nepejíš, nemáš-li chu, zkus teba jiný druh. Jak vzdlané budou naše dti, pokud si budou vybírat zmínné bonbónky dle svého vkusu, to radji nebudeme domýšlet. Jistou pedstavu ovšem máme. Kdo ml možnost blíže poznat prmrnou úrove stedních škol napíklad v USA, umí si dopad tchto návrh vcelku vrohodn pedstavit. Zmínný lánek ovšem neuvádíme kvli tomuto názoru, ale pro obraz budoucí maturity, který R. Kvaková pedestela: Srovnávat absolventy gymnázií s tmi, kdo strávili tyi roky napíklad na zdravotní škole nebo na odborném uilišti s maturitou je prý nesmysl. Maturita se má nechat jen v kompetenci školy. Nco na tom je, na druhou stranu je tu ale otázka toho vysvdení, které poád existuje a je posvceno státním znakem: má se dávat každému, kdo pobyl uritou dobu u stolu vdní, bez ohledu na to, jestli z nj pojedl alespo záchovnou dávku? To zas kdekdo pipustí, že nejspíš ne. Njaká základní laka by se asi nastavit mla, aby se vdlo: má maturitu, je tudíž schopen domluvit se njakým cizím jazykem, tuší, že neexistuje jen jedno náboženství, a umí spoítat pinejmenším procenta a sestavit jednoduchou rovnici. Co nad to jest, dobe jest, ale pod to nelze

75 Tak si jen pedstavuji ty kvalitní inženýry, které ve velkém vychová naše technické školství z takových maturant. Jen v jednom R. Kvaková nezklamala. Kdykoliv má odborník jejího formátu uvést píklad tžkého maturitního uiva z matematiky, neomyln nezapomene uvést procenta. Pokud by se však tená domníval, že se nelze dokat názor podstatn vtšího kalibru, je snadné vyvést ho z omylu. Pímo esencí tch nejzrdnjších názor na vývoj našeho školství je nedávný lánek O. Botlíka uveejnný rovnž v Lidových novinách ([1]). Autor nejprve pedestel falešný obraz našeho souasného školství. Citujme: (Žáci) byli sice ve škole pítomni fyzicky, ale ne duchem. Pro by taky mli vnímat nešastnici, která na tabuli pepisovala ze svých dvacet let starých píprav svtová nalezišt erného uhlí a ropy? Do protikladu pak postavil ideál toho, jak by škola v blízké budoucnosti mla vypadat. Nejprve urazí vtšinu uitel, fakult, autor uebnic atd. (Teba osnovy a metody výuky jsou v podstat stejné jako v polovin minulého století. Tahle setrvanost vždy vyhovovala vtšin uitel ve školách, mnoha jejich uitelm na pedagogických fakultách i autorm uebnic.), nezapomene udlat standardní mediální omyly, když napíklad nezaznamená, že vtšinu stedoškolských uitel nevychovaly pedagogické, ale filozofické, pírodovdecké, matematickofyzikální fakulty apod. a poté pedvede svj obraz ideálního školství, v nmž se nebudou žáci nic muset uit postaru. Podle Botlíka lze poty odbourat: Dnes už se žáci uí poítat z hlavy spíš kvli tomu, že to rozvíjí jejich myšlení. Potebovat to nebudou. Ostatn i uit psaní je zbytené:...na poítai se malé dti nauí produkovat text rychleji: výroba písmenek se zásadn zjednoduší, chyby lze snadno opravit a vytištný výsledek vypadá skvle. Dti navíc nemusí do omrzení opakovat stejné znaky a slova jako v písance... Psát rukou se dti snadno nauí o rok i dva pozdji. Tak jen nevím, pro napíklad sportovci tak usilovn trénují. Podle Botlíkova modelu by se ml napíklad budoucí skokan do výšky dívat na rozbory skoku na internetu, napsat o tom nkolik dmyslných esej a pak, až bude poteba, za njaký ten rok svtový rekord klidn skoí. Podle Botlíka ovšem ani tch uitel nebude píliš zapotebí. Rozumná škola si za pár let nechá tak nanejvýš dva nebo ti, které ovšem bude moci poádn zaplatit, další místa obsadí uitelskými pomocníky bez patiného vzdlání: Škole na n rázem pibylo penz, nebo ostatní zamstnanci uitelští pomocníci mají jen maturitu. To je však dobe, nebo jak Botlík uvádí: Mladí lidé nikdy nemli s novými technologiemi vážnjší potíže zato škola ano. Bylo by to úsmvné, kdyby to nebylo svým zpsobem tragické. Lidé s takovými názory mají v dnešní spolenosti, bohužel, vliv nikoliv zanedbatelný. 3. Závr Jsou vci, které obas mohou lovka deprimovat, souasn však na každou takovou myšlenku existuje protilék. Tím jsou napíklad akce jako je napíklad toto setkání. Vždycky je potšující vidt a poslechnout si lidi, kteí svou dennodenní inností vyvracejí slova všech Botlík, postdomodernist a dalších. Díky jim a nejen jim si snad naše školství i nadále alespo podrží úrove, kterou má

76 ím víc jsem ml možnost poznat úrove školství v zahranií, tím více si vážím toho našeho. Tím samozejm ani v nejmenším nechci naznait, že není co zlepšovat. Práv akce našeho typu je však dokladem toho, že se o to spolen snažíme. Literatura [1] BOTLÍK, O.: Zanou eští uitelé rozbíjet poítae? Lidové noviny, [] FUCHS, E., BINTEROVÁ, H.: Postavení matematiky ve školním vzdlávacím programu. SOU. Praha, Prometheus 006. [3] FUCHS, E., HOŠPESOVÁ, A., LIŠKOVÁ, H..: Postavení matematiky ve školním vzdlávacím programu. Základní školství. Praha, Prometheus 006. ISBN [4] FUCHS, E., HRUBÝ, D.: Postavení matematiky ve školním vzdlávacím programu. Gymnázia. Praha, Prometheus 006. [5] FUCHS, E., PROCHÁZKA, F., STAN K, M. Postavení matematiky ve školním vzdlávacím programu. SOŠ. Praha, Prometheus 006. [6] KVAKOVÁ, R.: Známkování je omyl, Lidové noviny,

77 VÝUKA VYSOKOŠKOLSKÉ MATEMATIKY: KREDITY A KOMPETENCE Tatiana Gavalcová 1 Abstrakt. Píspvek se zabývá charakterizací studijních výstup (learning outcomes) ze studia nkterého pedmtu nebo ze studijního programu na vysoké škole obecn a poukazuje na specifika studia matematiky. Uvádí výsledky a doporuení projektu Evropské komise "Tuning Project", který byl rozpracován na nkterých univerzitách v Evrop a je pedmtem zájmu kvli pístupm jeho autor k evropským integraním procesm v oblasti vzdlávání. Boloskou deklarací v r byly v Evrop nastartovány mechanizmy k vytváení spoleného evropského prostoru vysokoškolského vzdlávání. Tato innost je odrazem obecné shody o tom, že jednotný hospodáský prostor vyžaduje také spolený prostor vzdlávání (viz [1], kumulovaný zdroj informací o historii procesu a aktuálních aktivitách). Jako prostedek pro studentskou mobilitu, ekvivalentní mobilit v ekonomickém prostoru, slouží kreditní systém ECTS/DS ([3]) doplnný o vydávání tzv. dodatku k diplomu (Diploma Supplement). Jeho významnou funkcí krom transferu je také akumulaní funkce. V evropských státech se ECTS/DS prosazuje jako systém umožující uznávání jednotlivých stup vzdlání dosaženého pi studiu na vysoké škole v jedné zemi institucí v jiné zemi. Vzdlávací instituce není povinna ani nucena ho pijmout, nicmén se jeho pijetí doporuuje. Základní a pitom však pirozenou otázkou v této souvislosti je: Co uznávat, jak porovnávat, na základ eho mit kompatibilnost vzdlání dosaženého na rzných vzdlávacích institucích? Podle názor velkého potu evropských univerzit je totiž práv automatické uznávání dosaženého vzdlání nutnou podmínkou vytváení evropského prostoru vzdlávání. Navíc, systém vzdlávání musí být nastaven tak, aby umožnil porovnávat porovnatelné veliiny. Uvedenými otázkami se zabývala skupina akademických pracovník z rzných evropských univerzit v rámci projektu Evropské komise "Tuning Project"; zastoupení institucí pokrývalo všechny státy EU a EFTA a také instituce z pistupujících stát v tom období. Výsledky projektu za období byly uvedeny v publikaci "Tuning Educational Structures in Europe" ([4]). Týkaly se výstup studia matematických pedmt nebo celých matematických program studia, ale rovnž dalších jako kup. chemie, pedagogických vd, geologie, historie, fyziky atd. Autoi zdraznili, že v evropském prostoru velice rozmanitých kultur nejde o unifikaci studijních program - jejich cílem bylo najít hlediska, která znamenají možné vzájemné pochopení pi existující rznorodosti systém. I když se autoi nedefinují jako reprezentativní skupina, jejich výsledky pinášejí relevantní a koncentrované poznatky o výstupech studia. Jsou také doplnny hlediskem kvality na základ ideí neformální skupiny Joint Quality Initiative (JQI), které se pozdji oznaují jako tzv. "Dublin's descriptors". Uvedeme strun výsledky projektu a dsledky pro studium a výuku matematických disciplin. 1 Fakulta informatiky a managementu, Univerzita Hradec Králové, Rokitanského 6, Hradec Králové, tana.gavalcova@uhk.cz

78 . "Tuning project". Projekt navrhl metodologii pro chápání studijních program a pro jejich srovnávání. Za základní mítko pro srovnávání dosaženého stupn vzdlání považují autoi studijní výstupy a nabyté kompetence - zavádjí pojem learning outcomes and competences (kompetence ve smyslu schopností dobe a efektivn nco konat, vykonávat). Za studijní výstupy se považují schopnosti zahrnující znalosti, chápání a dovednosti, které se u studujícího pedpokládají jako získané po ukonení urité etapy studia, a to kratší nebo delší. Obecn, kompetence a studijní výstupy mají korespondovat s celkovým vymezením studijního programu. Kompetence jsou dvojího typu: obecné (generic competences) - nezávislé na pedmtu studia, nebo specifické podle druhu studovaného pedmtu. ešitelé projektu sestavili dotazníky pro sledování obecných, generických kompetencí 3 typ (instrumentální, komunikaní a systémové, spolu 30); považují je za závažné pro další úely. Výsledky dotazníkového šetení získané od respondent z akademického prostedí a souasn od zamstnavatel ukázaly, že následujících 8 z 18 sledovaných základních kompetencí jsou nejdležitjší pro ob skupiny respondent: (1) schopnost analýzy a syntézy, () schopnost uit se, ešit problémy, (3) schopnost aplikovat poznatky v praxi, (4) schopnost adaptovat se na novou situaci, (5) zájem o kvalitu, (6) schopnost práce s informacemi, (7) schopnost pracovat autonomním zpsobem, (8) schopnost týmové práce. Speciální kompetence, tj. dovednosti a znalosti, jsou specifické pro jednotlivé studijní programy. Autoi Tuning project navrhují, že ukonením 1. cyklu studia na vysoké škole má student nabýt kompetence nebo má být schopný: - prokázat, že zná základy a historii svého pedmtu; - sdlit získané základní znalosti koherentním zpsobem; - zalenit novou informaci a interpretovat ji v píslušném kontextu; - prokázat, že rozumí obecné struktue pedmtu a vztahm mezi jejím ástmi; - prokázat pochopení metod kritické analýzy a jejího použití pi vytváení teorií; - správn používat metody a techniky plynoucí z pedmtu; - prokázat pochopení kvality výzkumu plynoucího z pedmtu; - prokázat pochopení experimentálních metod a zpsob testování vdeckých metod. Následn, kompetence plynoucí z ukonení. cyklu studia znamenají, že student: - zvládá speciální oblasti svého pedmtu na pokroilé úrovni; - je schopný kriticky vyhodnotit a interpretovat nejnovjší vývoj v teorii a praxi; - má dostaující schopnosti v metodách nezávislého výzkumu a je schopný interpretovat výsledky na pokroilé úrovni; - je schopný podat vlastní píspvek k pedmtu; - prokazuje originalitu a tvoivost pi práci s pedmtem; - prokazuje profesionální úrove získaných kompetencí

79 Autoi pracující na projektu vytvoili dotazník pro klasifikaci významu specifických kompetencí akademickými pracovníky v jednotlivých studijních pedmtech.u každé otázky se oznaí stupe její významnosti pro studujícího v 1. a. cyklu ve stupnici žádný - slabý - znaný - silný význam. Dotazník týkající se matematiky uvádíme vetn sloupc navržených k vyplnní - pedpokládáme zájem itatele zaít s nimi pracovat: Specifické kompetence 1. Dkladná znalost elementární matematiky na úrovni stedoškolského vzdlání. Schopnost sestavit a rozvíjet logické matematické argumentování s jasnou identifikací pedpoklad a závr 3. Schopnost abstrahování vetn logického rozvíjení formálních teorií a vztah mezi nimi 4. Schopnost modelovat matematicky reálnou situaci a petransformovat matematickou zkušenost do nematematického kontextu 5. Pipravenost zvládnout nové problémy z nových oblastí 6. Schopnost kvantitativního uvažování 7. Schopnost získat kvalitativní informace z kvantitativních dat 8. Schopnost obsáhnout, pochopit problémy a abstrahovat jejich podstatu 9. Schopnost formulovat problém matematicky a v matematické symbolice kvli usnadnní jeho analýzy a ešení 10. Schopnost navrhnout experiment nebo pozorování a analyzovat data plynoucí z experimentu/pozorování 11. Schopnost formulovat problém optimalizace a rozhodovací problém a schopnost interpretovat ešení v pvodním kontextu problému 1. Schopnost používat výpotové nástroje jako pomcku v matematických procesech a kvli získání další informace 13 Znalost specifických programovacích jazyk nebo softwaru 14. Schopnost prezentovat argumenty matematiky a jejich dsledky s pehledností a pesností ve form, která je vhodná pro posluchae, a to jak v ústní, tak v písemné form 15. Znalost o uení se matematice a o vyuovacích procesech v matematice 16. Jiné (uvete) Význam v 1.cyklu Význam. v.cyklu. "Dublin" descriptors - podmínky pro klasifikaci pi udlování titulu bakalá, magistr, doktor. Zpráva neformální pracovní skupiny Joint Quality Initiative (bezen 004; poprvé bezen 00, kvli detailm viz []) poskytuje jiný pístup k výukovému

80 procesu. Zabývá se {\it kvalitou produktu} z ekonomického hlediska ve svt studia je student produktem. Proto uvádí podmínky k uznání kvality absolventa, a to zvláš podle jednotlivých cykl. Formulace tchto podmínek jsou obecné a nezávislé na studovaném oboru. Je také významné, že klasifikaní podmínky zahrnují hledisko dalšího, celoživotního vzdlávání, tudíž požadují dynamiku osobnosti absolventa jako známku kvality. 3. Studijní programy v matematice. Ve výuce matematiky lze konstatovat speciální podmínky: - všechny studijní programy mají podobnou, akoliv ne nutn identickou strukturu; - v dsledku velice pirozené, logické struktue matematiky je možné kurikula sestavit úeln, a to také z hlediska kreditového ohodnocení zejména v prvních dvou nebo prvních tech letech studia; pozdji, ve druhém, magisterském cyklu, lze nabízet velice odlišné programy. Skupina pracující na projektu podporuje co nejvtší diverzifikaci studijních program ve druhém cyklu, protože takový pístup odráží funkci matematiky ve vztazích k jiným disciplinám a je ku prospchu samotné matematiky. Pracovní skupina navrhuje zabývat se konkrétním studijním programem nebo jeho ástí, zda spluje požadavky na zaazení do tzv. core curriculum, ze tí hledisek: (1) jak je sestaven obsah programu, () k jakým dovednostem má program svým obsahem vést, (3) na jaké úrovni má studující zvládnout pojmy, které jsou v obsahu programu. Pitom se názory shodují v tom, že spolený základ pro všechny matematické programy musí pedstavovat - kalkulus funkcí jedné a více promnných - lineární algebra. Na ilustraci aplikace výše uvedených 3 bod uveme velice obvyklý pojem uritého integrálu funkce jedné promnné. (1) Obsah programu pro uritý integrál se mže chápat následovn: jde o - výpoet jednoduchých uritých integrál, - pochopení definice uritého integrálu podle Riemanna, - dokazování existence a vlastností Riemannova integrálu pro nkteré tídy funkcí, - použití uritého integrálu na modelování a ešení problém v rzných disciplinách. () Hlavním cílem studia bude vytváení intelektuálních schopností, zejména uvažování, analytických schopností, analytického pístupu k ešení problém. Proto od každého absolventa pi studiu matematického pedmtu se oekávají ti základní dovednosti:

81 - schopnost zformulovat dkaz, - schopnost matematicky modelovat reálnou situaci, - schopnost ešit problém pomocí matematických prostedk. Není obtížné vyjádit tyto dovednosti v kontextu studia uritého integrálu. Výpotové metody nebo speciáln numerické metody vyžadují pehledné zvládnutí algoritm, programování a používání odpovídajícího softwaru (vetn numerických nebo obecn výpotových postup). V dsledku kumulativní podstaty matematiky lze dovednosti a úrove zvládnutí pedmtu nebo programu vytváet pouze postupnou praxí v mnoha pedmtech. Není možné zaít matematický program krátkým kurzem "jak sestavit dkaz" ani "jak modelovat danou situaci" a není možné pak oekávat okamžité nabytí tchto dovedností. (3) Studující tématu uritý integrál by po ukonení studia mli mít znalosti a chápání rozvinuté do vyšší úrovn práv podle specifického obsahu konkrétního programu. V uritých integrálech by to mohlo znamenat znalost a pochopení podstaty teorie integrování, vyselektování problém ešitelných metodami vyžadujícími použití uritého integrálu a použití tchto metod na ešení speciálních problém se speciálními vlastnostmi. 4. Prostedky pro uznávání. Základní myšlenkou uznávání uritého stupn vzdlání, který nkdo nabyl v njakém pedmtu (kup. v matematice) ve stát A, státem B znaí: (1) tato osoba bude uznána jako nositel piznaného titulu a právní normy státu B nebudou vyžadovat další dokladování schopností této osoby; () potenciální zamstnavatel ve stát B mže pedpokládat obecné znalosti (kup. o matematice) u této osoby tak, jak se oekávají od nkoho práv s tímto titulem nebo dosaženým stupnm vzdlání. Proto idea spoleného vzdlávacího rámce se má kombinovat s obecn použitelným systémem vzájemného uznávaní dosažených stup ve vzdlávání. Vrame se ke kreditovému systému ECTS/DS. Od doby, kdy tento systém se zaal používat nejdíve jako pilotní projekt v 80. letech minulého století, stal se nejpoužívanjším kreditovým systémem ve vysokém školství Evropy. Kreditový systém ECTS/DS nebyl navržen jako náhrada za národní systémy, ale jeho cílem bylo zvýšení míry srozumitelnosti tchto jednotlivých národních systém v jiných státech. Zdá se, že je dost obtížné kombinovat základní kurikula se systémem ECTS/DS. Je však nutno vzít v úvahu, že jeden kredit jako jednotka v tomto systému se vyjaduje jako celková studijní zátž studenta mená nebo vyjádená asem. To znaí, že kredit neodpovídá pouze potu kontaktních hodin výuky. Dále, dohoda, že 60 kredit má být mírou studijní zátže studenta v denní form studia v prbhu 1 akademického roku, ve kterém se obvykle pedpokládá 36 až 40 studijních nebo pracovních týdn, vede k následující formulaci: jeden kredit odpovídá 4-30 hodinám celkové práce studenta (do tohoto potu se zahrnuje jeho/její celkový as vnovaný pednáškám, seminám, vlastnímu samostatnému studiu, vlastní píprav na zkoušku a také na vykonání zkoušky)

82 Proto dsledkem obecné shody o nutnosti existence spoleného evropského prostoru vzdlávání je poteba jednotného kreditového systému s jasnými pravidly. Podle autorit tímto systémem je práv ECTS/DS. Klíovou úlohou v zavádní kreditového systému je výpoet studijní zátže studenta v rzných pedmtech studia, speciáln tedy také v matematice. Pro vyuující vyplývají pinejmenším dva úkoly: - výpoet studijní zátže formou potu pidlených kredit je odvozen z konkrétní výuky, proto má být proveden vyuujícími, - urení doby studia potebné a nutné pro konkrétní pedmt je ovlivnno množstvím tradic konkrétní zem, návaznostmi pedmt kurikula, vyuovacími a studijními metodami,schopnostmi a pílí student a také financováním studia; nutná doba studia uritého pedmtu má vyjadovat pedpokládanou prmrnou dobu, za kterou lze dosáhnout studijní výstupy pedmtu na urité postaující úrovni, a tuto informaci lze vytvoit pouze na základ zkušeností z konkrétní výuky. 5. Závry. ešitelé Tuning projektu jsou toho názoru, že existuje obecná shoda o seznamu pedmt, které by mly tvoit jádro kurikula pro 1. cyklus vzdlávání: jde o kalkulus reálných funkcí jedné a více promnných a o lineární algebru. Programy ve druhém cyklu nad rámcem základního kurikula mohou být a mly by být naprosto odlišné a variabilní. Procesy vytváení spoleného evropského vzdlávacího prostoru vyžadují mnohem vtší shodu zúastnných než pouhý souhlas o struktue vzdlávání. V oblasti matematiky je žádoucí akceptovat pojetí výuky vedoucí ke kompetencím a zabývat se stanovením studijních výstup v matematických pedmtech. Takový pístup mže mít pro studujícího znaný pínos a mže ho vést v jeho ochot a snaze celoživotn se vzdlávat. V koneném dsledku tím také vznikají zdroje vtší ekonomické prosperity, což nás pivádí opt na zaátek úvah o významu spoleného hospodáského prostoru. Literatura [1] Boloský proces: [] Dublin descriptors: [3] ECTS/DS: [4] González, J., Wagenaar, R. (editors): Tuning Educational Structures in Europe, Final Report, Phase 1. University of Deusto, University of Groningen, 003. ISBN

83 O SME ROBILI A O BUDEME ROBI VO VYUOVANÍ MATEMATIKY Pavol Grešák 1 Abstrakt: V príspevku budem charakterizova niektoré svoje skúsenosti pri výube matematiky na fakultách Žilinskej univerzity minulosti a dnes s pohadu svojej mnohoronej uiteskej práce. 1. Ako to bolo pred 40 rokmi V školskom roku 196/63 ke som nastúpil Vysokú školu dopravnú v Žiline, ktorá sa len krátko predtým presahovala z Prahy, zaal som ako odborný asistent katedry matematiky a deskriptívnej geometrie Strojníckej a elektrotechnickej fakulty prednáša predmet Matematická analýza pre kombinované štúdium v rozsahu 4 hod. prednášok a 5 hodín cviení. V prednáškach bola veká as viet dokazovaná a študenti mali záujem pochopi aj dôkazy, študenti hodnotení známkou vemi dobre a výborne ich aj pri skúške vedeli vykona. Preo som sa rozhodol zaa svojimi prvými krokmi na technickej vysokej škole, je iná skutonos, medzi študentmi boli študenti, ktorí sa chceli poas svojho štúdia aj nieo teoretické naui, spomínam rád že mimoriadne nadaný študent Doležal už poas prednášky sledoval v zbierke Berman G. N.: Sbornik zada po kursu matematieskogo analyza, príklady odpovedajúce prednášanému uivu, viem si predstavi kokým svojim kolegom dával konzultácie z tohto predmetu. Pripomínam, že v tomto ase aj garanti inžinierskych odborov na technikách sa hrdili teoretickým vedomosami svojich absolventov. Rad si spomínam na toto obdobie, kedy bola naša vysoká škola celoštátna, jasne sa prejavovalo, že absolventi stredných škôl, ktoré mali mnohoronú tradíciu z eskej asti vtedajšieho štátu boli výrazne schopnejší úspešne študova na vysokej škole. Nemôžeme však zosta len pri takýchto spomienkach, vývoj išiel alej, na všetkých typoch škôl sa robili reformy, resp. niekedy sa to nazývalo aj prestavba. Výsledky týchto zmien nepriniesli želané výsledky a preto sa asto aj menili. Spoloným znakom prevažnej asti týchto zmien bolo znižovanie rozsahu potu hodín z matematiky, fyziky a deskriptívnej geometrie. Mnohé katedry však asto nezmenili odpovedajúco obsah uvedených predmetov, o ako sa mi zdá pretrváva dodnes. Samozrejme je otázne v akej podobe sú predložené vo výube obsahy jednotlivých predmetov ale hlavne, aký je výsledok vo vedomostiach potrebných pre výubu predmetov, ktoré používajú matematiku v svojom výklade. asto sa nám stáva, že uitelia odborných predmetov konštatujú, o všetko študenti nevedia, žia je to pravda, my však vieme, že nedostatky sú až na úrovni základnej školy. Na Slovensku ústredné školské orgány hovoria o znižovaní obsahu všetkých predmetov na základných a stredných školách, táto neahká úloha je stále trvalá a vene zelená pre každú vládnu garnitúru. osi sa však predsa zmenilo, neviem, i k lepšiemu, realizujú sa rôzne Monitory na základných a stredných školách, na základe ktorých sa hodnotia školy, robia sa rôzne poradia, metódami štatisticky problematickými. o je však horšie, že na školách sa vedie mimoriadne vea inností, ako úspešne vyrieši typové úlohy predložené vo vyhodnocovanom Monitore, o urite nie je 1 Katedra kvantitativných metód a hospodárskej informatiky, Fakulta prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov, Žilinská univerzita, pavol.gresak@fpedas.ut.sk

84 najdôležitejším kritériom pre meranie vedomostí z monitorovaného predmetu. alšie podrobnosti z histórie vyuovania matematiky na Žilinskej univerzite s príslušným hodnotením nájdete v príspevku V. Bálinta: Inžinier a jeho matematická príprava v sborníku 7. konferencie VŠTEZ, Hejnice Dnešné problémy Bolonský proces, ktorý zaal v roku je významnou koordinanou aktivitou EU, ktorá zmenila svet vysokoškolských študentov, uiteov a samozrejme aj zamestnávateov. Pripomeme si, že jeho hlavným cieom je zvýši atraktívnos a konkurencie schopnos európskeho vysokého školstva vo svetovom merítku a zvýšenie konkurencie schopnosti ich absolventov na trhu práce. K omu sa pomôc transparentnos a vzájomná zrovnatenos vzdelávania, prijatie dvojcyklového systému štúdia, t.j. samostatného bakalárskeho a magisterského programu, zavedenie európskeho kreditného systému (ECTS). Ukazuje sa, že tento proces je jednou z ciest k realizácii Lisabonskej stratégie, prijatej v roku 000, ktorá si kladie za ciel vytvori z EU do roku 010 najkonkurencieschopnejšiu a najdynamickejšiu znalostnú ekonomiku, schopnú udržateného ekonomického rastu. Reálnos týchto cieov ukáže ich vyhodnotenie v roku 010. Ako sa na našich vysokých školách vytvárali uebné plány bakalárskeho a magisterského štúdia? Ako vzor sa vzali existujúce plány inžinierskeho štúdia, ktoré sa rozrezali na dve asti, nie vždy sa to uspokojivo dalo, pretože bolo treba naplni ciele bakalárskeho štúdia, v každom prípade treba poveda, že sa to udialo vo väšine prípadov bez experimentu, bez akéhokovek zhodnotenia predošlého systému, hlavne v našich podmienkach bez súvislosti so strednými odbornými školami. Predpokladá sa, že bakalárske štúdium je doménou neuniverzitných vysokých škôl, o sú zatia len prevažne súkromné vysoké školy. Vysoké odborné školy na Slovensku neexistujú verejné vysoké školy prevažne sú ustanovené ako univerzity. Pokus vytvori výskumné univerzity je problémom, ktorých termín preklasifikovania doterajších je neuritý. Finanný normatív odvodený od potu študentov vedie k tomu, že študenta si musíme udrža za každú cenu, jeho kvalita sa nehodnotí, staí poet skonených študentov jednotlivých typov štúdia. Napriek zníženej populanej krivke sa poet absolventov magisterského štúdia zvýšil. Nie je jednoznané ani celkove hodnotenie odborných kruhov, i je úrove magisterského štúdia je nižšia alebo nie. Nepatrím medzi odborné kruhy pre posudzovanie úrovne absolventov, ale poda informácií, ktoré mám od kolegov zo skúšobných komisií na štátnych záverených skúškach prikláam sa k tým, o tvrdia, že je nižšia. K tomuto názoru ma vedie aj konštatovanie o znížení úrovne základných a stredných škôl. Zatia je situácia taká, že prevažne absolventi bakalárskeho štúdia chcú pokraova v magisterskom štúdiu. Odhady niektorých expertov sú také, že v magisterskom štúdiu by mala pokraova najviac polovica absolventov bakalárskeho štúdia, žia nie je to tak aj v závislosti od financovania poda potu študentov a absolventov. Závažným nedostatkom je aj zaraovanie do kvalifikaných tried poda absolvovania typu štúdia, urité profesie by mali ma stanovené platové tabuky nezávisle od toho, i funkciu plní absolvent bakalárskeho štúdia alebo magisterského štúdia. V tomto je ešte vea náronej práce v budúcnosti. Doteraz je viac menej nepísaná požiadavka, že absolvent bakalárskeho štúdia pokrauje v nadväzujúcom type magisterského štúdia

85 3. o s matematikou našou Zdá sa, že sú za nami asy, ke garanti študijných programov majú záujem o teoretické vzdelávanie a o matematiku vzhadom na jej obtiažnos zvláš. Nie je možný žiadny spoloný tlak na zachovanie toho, o sme mali, pretože každá fakulta je svojim pánom a v podstate jej orgány schvaujú uebné plány, recenzia týchto plánov sa nekoná, vyjadrenie AK (Akreditaná komisia) je problematické vzhadom na názor príslušnej odbornej skupiny AK. Preto nám zostáva len cesta nových predmetov v svojej podstate aplikaných (finanná matematika, operaná analýza, teória grafov, teória informácií, teória hromadnej obsluhy, stochastické procesy, matematická ekonómia a pod.) za predpokladu, že budú ma záujem o tieto predmety garanti študijných programov, resp. vedenia fakúlt. Použitie výpotovej techniky vo výube matematiky je iste cesta efektívnosti, ak nechceme vidie do podstaty, ale len do kalkulu. Pri tejto tzv. laboratórnej forme výuby sú niektoré problémy ako: zakúpenie dostatoného potu inštalácií príslušných programov, o je v niektorých prípadoch nemalá finanná iastka, alebo využívanie len bezplatných vone šíritených programov. Rovnako musím poveda, že je nevyhnutné, aby aj ostatní používatelia matematiky z radov uiteov odborných predmetov, vedeli používa programy, ktoré poznajú študenti. Predpoklad, že študenti sú schopní samostatne študova z dostupných aj elektronických zdrojov, je pekný ale jeho realita je malá, pretože nie je zanedbatená as študentov, ktorí to chcú ma iba zapísane a nie, že by chceli vedie viac. Budem rád, ke sa zvýši poet študentov, ktorí prídu na fakultu sa nieo naui aj z teórie. Nakoniec iste stojí za zmienku, že univerzity vo všetkých európskych krajinách a u nás okato trpia nedostatkom finanných prostriedkov, o pre ich rozvoj je nedostatoné. 4. Záver Vedomosti z matematiky vedú v rámci interdisciplinárnych vzahov k pochopeniu prírodných technických a spoloenských javov. Matematika rozvíja samostatné a logické myslenie, vedie k presnosti a racionálnej analýze javov. Preto je naša práca vemi potrebná a v každom období nenahraditená. Je to však práca vemi nároná, vyslovujem presvedenie, že si k nej zachováme vernos. Literatura BÁLINT, V: Inžinier a jeho matematická príprava. Sborník 7. Konference VŠTEP Vydavatestvo UT, 00, JMF str ERNÝ, J.: Od inženýra pes baláe k magistrovi. Sborník 7. Konference VŠTEP Vydavatestvo UT 00, JMF str

86

87 E-LEARNINGOVÁ PODPORA VÝUBY MATEMATIKY NA UNIVERZITÁCH TECHNICKÉHO ZAMERANIA Anna Grinová 1, Monika Molnárová, Viktor Pir 3 Abstrakt: lánok sa venuje problematike hadania alternatívnych postupov pri výube matematiky na univerzitách technického zamerania, ktorých potreba bola vyvolaná ažkosami, ako sú veké poty študentov, možnosti zabezpeenia študijnej literatúry, nedostatoné vedomosti študentov zo stredných škôl a pod. 1. Formy podpory výuby výpotovou technikou Po zavedení nových študijných programov na TU v Košiciach sa ukazuje, že znaný poet študentov má problémy so zvládnutím základných matematických pojmov. Jednou z príin môže by prevažne klasický spôsob výuby matematických a teoretických predmetov vôbec. Riešením by teda mohla by zmena tohto prístupu. Skúsenosti vo svete ukazujú, že implementácia elektronickej formy štúdia (e-learning) poskytuje študentom väšie možnosti. V tejto súvislosti musíme rozlišova dva prístupy Výuba cez internet Nové softvéry, prijatené ceny poítaov a prístupu na internet vytvárajú technické predpoklady výuby prostredníctvom internetu. Študent môže absolvova bez fyzickej prítomnosti uitea celé kurzy zodpovedajúce jednotlivým predmetom. Na druhej strane sa núka otázka, i je takáto forma štúdia vhodná pre všetkých študentov. Skupiny študentov, pre ktoré je štúdium výhradne cez internet výhodné: študenti v dištannej forme štúdia Súasná doba prináša so sebou zvýšené nároky na spôsobilosti udí už zaradených v pracovnom procese. alšie vzdelávanie poas celého života sa stáva nevyhnutným. Forma dištanného vzdelávania cez internet je z tohto hadiska vemi perspektívna. zahraniní študenti Pri výube zahraniných študentov klasickou formou sa stretávame s rôznymi problémami. Jednak prebieha výuba v cudzom (spravidla anglickom) jazyku, a teda nemôžu by títo pripojení k ostatným študentom. Jednak je poet študentov zo zahraniia vemi kolísavý, o otvára otázku efektívnosti výuby. Štúdium cez internet je preto vhodným spôsobom nielen na vyriešenie týchto problémov, ale aj na zvýšenie záujmu v zahranií o štúdium na našich univerzitách. zdravotne postihnutí študenti Štúdium cez internet rieši problém obmedzenej mobility i možnej momentálnej indispozície vzhadom na zdravotný stav týchto študentov. Nespornou výhodou 1 KM FEI TU, Boženy Nmcovej 3, Košice, Anna.Sedlackova@tuke.sk KM FEI TU, Boženy Nmcovej 3, Košice, Monika.Molnarova@tuke.sk 3 KM FEI TU, Boženy Nmcovej 3, Košice, Viktor.Pirc@tuke.sk

88 je i možnos upravova texty, používa vo vekej miere matematické softvéry ako sú MATLAB, MAPLE, MATEMATIKA a alšie. 1.. Kombinovaná výuba Otázka, do akej miery štúdium cez internet nahradí klasickú formu v dennom štúdiu, je predmetom mnohých polemík. Zo zaiatoných skúseností získaných pri zavedení výuby elektronickou formou na bakalárskom štúdiu sa prikláame k názoru, že úplne vylúi kontakt študenta s uiteom nie je možné. Základné kurzy matematiky sú totiž na technických univerzitách vyuované v prvých semestroch štúdia. Samoštúdium uebných materiálov cez internet (nehovoriac o virtuálnych triedach a komunikácii online) vyžaduje ale urité skúsenosti, ktoré študenti zaínajúci štúdium ešte nemajú. Riešením je kombinovanie klasických prednášok a cviení s cvieniami, na ktorých sa má študent možnos zoznámi s elektronickými študijnými materiálmi. Tieto materiály má potom k dispozícii na internete a sám si môže voli priestor, ktorý tomuto štúdiu venuje mimo povinnej výuby.. Príprava e-learningových materiálov na FEI TU Všetky vyššie spomenuté skutonosti a skúsenosti získané z projektov na našej univerzite zameraných na e-vzdelávanie viedli k rozhodnutiu vedenia TU v Košiciach vytvori e-portál univerzity. Jednou z úrovní jeho využitia je aj iastoná elektronická podpora výuby, v rámci ktorej budú vytvárané kompletné kurzy. Ich neodmyslitenou súasou sú uebné materiály..1. Princípy tvorby e-learningových materiálov Zo skúseností s tvorbou podobných materiálov v prostredí U-lernu (prvé pokusy s implementovaním e-štúdia do uebného procesu na TU v Košiciach) sme dospeli k týmto záverom: 1. Štruktúra e-learningového materiálu Materiály by mali by rozdelené na kapitoly, ktoré zhruba zodpovedajú týždennému rozsahu klasickej formy výuby. Je vhodné také delenie kapitol na podkapitoly, ktoré sa zobrazia približne na dvoch obrazovkách. Medzi nimi by okrem vlastného študijného materiálu zodpovedajúceho danej kapitole nemali chýba podkapitoly: Cie a okruh otázok Riešené príklady Cvienia Test. Obsah a forma e-learningového materiálu Jednou z nevýhod študijných materiálov, s ktorými sa študenti stretávali donedávna, bol spôsob, akým boli tieto spracované. Nezáživná forma bez sprievodných komentárov, historického pozadia danej problematiky, bez motivácie a prípadných ilustrácií mnohokrát študujúcich odrádzala. Tieto okolnosti nás priviedli k názoru, že je vhodné obohati obsah materiálov o: kliparty,

89 struné informácie o niektorom z vedcov, ktorí významným spôsobom prispeli k rozvoju uvádzanej problematiky, prílohy obsahujúce alšie poznatky z danej problematiky, ktoré nie sú obsiahnuté v základnom uive (ani požadované ku skúške) a sú urené študentom, ktorí majú záujem o hlbšie štúdium predmetu, príklady použitia vhodného softvéru pri riešení konkrétnych problémov, príklady aplikovania popisovaných teoretických poznatkov pri riešení praktických úloh z odboru špecializácie študentov cieovej skupiny. Celý materiál je vhodné spracova farebne, atraktívnos sa dá navyše dosiahnu zvýraznením astí materiálov použitím rôzneho typu písma, blokov s farebným pozadím a pod... Príklady e-learningových materiálov Prechod na trojstupové štúdium na univerzitách viedol aj na FEI TU v Košiciach nielen k formálnej, ale aj k obsahovej reorganizácii štúdia. Priestor pre výubu matematiky na novoakreditovaných študijných odboroch sa znane zmenšil. Tento fakt spolu s už spomínanými problémami (veké poty študentov, nedostatok študijnej literatúry at.) nás na katedre matematiky viedol k hadaniu efektívnych a zárove atraktívnych spôsobov výuby. Prvé e-learningové materiály boli vytvorené pre predmety Matematická analýza 1 a Matematická analýza, s ktorými sa študenti bakalárskeho štúdia na FEI TU stretnú hne v prvom, resp. druhom semestri štúdia. Obr. 1: Podkapitola Cie a okruh otázok

90 Pri spracovaní materiálov sme pre spomínané predmety dodržiavali horeuvedené pravidlá pre štruktúru a obsah. Ako ilustráciu uvádzame niekoko pohadov do e-learningových materiálov pre predmet Matematická analýza. Kurz sme rozdelili na 18 kapitol. Po úvodnej nasleduje 11 kapitol obsahujúcich študijné materiály. Pre názornos nahliadnime do kapitoly Diferenciálne rovnice n-tého rádu, ktorá rovnako ako ostatné zodpovedá obsahu uiva jedného týžda. Prvou podkapitolou je Cie a okruh otázok (vi obr.1). Obsahuje okrem iného súbor otázok, na ktoré by mal študent po úspešnom zvládnutí danej kapitoly vedie odpoveda. Pohad na život výnimonej osobnosti eskoslovenskej matematiky akademika Bor vku zatraktívuje obsah tejto podkapitoly. Pozornos študenta upútajú na zaiatku vložené kliparty. Nasleduje šes podkapitol vlastného študijného materiálu z teórie diferenciálnych rovníc n-tého rádu. Záver kapitoly tvorí podkapitola Cvienia, ktorá obsahuje neriešené úlohy s výsledkami, a podkapitola Test, v ktorej má študent možnos po otvorení súboru s testovými otázkami absolvova test spolu s vyhodnotením. V duchu spomínaných princípov tvorby e-learningových materiálov nasledujú kapitoly, ktoré jednak rozširujú poznatky v danej disciplíne, jednak prispievajú k jej atraktívnosti. Ide o kapitoly Príloha, Výsledky testov, Použitie MATLAB-u, Použitie MAPLE-u, Aplikácie a Literatúra. Obr. : Riešenie diferenciálnej rovnice pomocou MAPLE-u

91 Príklady použitia matematických softvérov MATLAB a MAPLE na konkrétnych riešených úlohách pokrývajú každú z 11 kapitol obsahujúcich študijné materiály. Tieto softvéry je vhodné používa na riešenie zložitejších problémov, ke si výpoet tradiným spôsobom ozrejmil študent na jednoduchších úlohách. Navyše je potrebné študentov upozorni aj na riziká, ktoré sú spojené s formálnym používaním týchto softvérov a súvisia s neznalosou hraníc použitenosti jednotlivých matematických metód. Pozrime sa teraz na riešenia niektorých diferenciálnych rovníc. MAPLE v porovnaní s MATLAB-om ponúka napríklad možnos grafického zobrazenia funkcií. V našom príklade môže študent porovna grafy riešení tej istej diferenciálnej rovnice s rôznymi zaiatonými podmienkami (vi obr. ). Navyše zápis riešenia je v prípade MAPLE-u (verzia 9.5), na rozdiel od MATLAB-u (vi obr. 3), takmer identický s klasickým. Obr. 3: Riešenie diferenciálnej rovnice pomocou MATLAB-u Používanie matematických softvérov na zaiatku štúdia má niekoko výhod. Z hadiska výuby matematiky je to už spomínaná atraktívnos a z toho vyplývajúca zvýšená motivovanos študenta. Nezanedbatený je aj psychologický efekt straty zábran pri využívaní tohoto softvéru pri alšom štúdiu. 3. Záver V štádiu rozpracovania sú alšie e-learningové materiály z matematiky na bakalárskom stupni štúdia na FEI TU v Košiciach. Chceme v nich zužitkova poznatky, ktoré sme

92 získali z prezentovaných kurzov. Tieto kurzy, dostupné na internete, prinášajú okrem iných aj tú výhodu, že ich študent môže neskôr využíva aj pri štúdiu iných disciplín, ktoré využívajú príslušný matematický aparát. Navyše v matematických disciplínach, ktoré sa vyuujú na druhom (inžinierskom) stupni si vieme predstavi komplexnejšie využitie e-learningu. Študent, ktorý získal skúsenosti z kombinovaného štúdia na bakalárskom stupni, by nemal ma problém samostatne si prostredníctvom e-learningu, v súlade s podmienkami urenými vyuujúcim, organizova štúdium daného predmetu. Ide o samoštúdium, samohodnotenie, povinné priebežné kontroly, konzultácie at., a to všetko na základe on-line komunikácie študenta s uiteom. Naalej by mal študent k dispozícii klasické prednášky i cvienia a prípadnú záverenú skúšku by vykonal tradiným spôsobom. Naalej totiž platí: akokovek kvalitne a atraktívne budú tieto elektronické materiály spracované, fundovaného a pre predmet hlboko zaujatého uitea nenahradia. Literatúra [1] DŽURINA, J., GRINOVÁ, A., PIR, V.: Matematická analýza 1. Miesto vydania: TU v Košiciach, 005. ISBN [] DŽURINA, J., GRINOVÁ, A., PIR, V.: Matematická analýza. Miesto vydania: TU v Košiciach, 005. ISBN [3] PIR, V.: Transformácia štúdia na FEI TU v Košiciach s dôrazom na výubu matematiky. Reforma vysokoškolského vzdelávania. Zborník. Miesto vydania: Nitra, 001. ISBN X, s [4] PIR, V., OSTERTAGOVÁ, E., SEDLÁKOVÁ, A.: Využitie matematických softvérov pri výube niektorých matematických predmetov. Aplimat nd International Conference. Zborník. Miesto vydania: STU Bratislava, 003. ISBN , s

93 FINANNÁ MATEMATIKA A POITAE Guttenová Danuše 1, Vojteková Mária Abstrakt: Každá teória nepodoprená praktickými príkladmi je pre študentov suchopárna a vzdialená. Burzová hra Atlantik im umožnila nahliadnu do sveta vekých financií a spoji teóriu s realitou. Úvod V prvom roníku inžinierskeho štúdia odboru Manažment a ekonomika podniku na fakulte Prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov bol od minulého roku zaradený do letného semestra predmet Finanná a poistná matematika v dotácii hodiny prednáška, hodiny cvienie a 1 hodina laboratórne cvienie v poítaovej miestnosti. Uvedený rozsah dovouje na prvých prednáškach vybudova matematický aparát potrebný pre výpoty spojené s jednoduchým a zloženým úrokovaním, sporením, finannými rentami a umorovaním pôžiiek. Tieto témy sú pre študentov pomerne príažlivé a dobre zvládnutené, pretože ani najväší odporcovia matematiky nepochybujú o ich využitenosti a väšina študentov má aj urité osobné skúsenosti. Problémy nastávajú v druhej asti semestra, ke sú preberané témy týkajúce sa obchodovania s cennými papiermi ako sú zmenky, dlhopisy a akcie, ktoré sú študentom pomerne vzdialené a neprístupné. Teória portfólia Jedna z prednášok je venovaná riziku vo finannej matematike a analýze portfólia. V ekonómii sa pojem portfólio používa na oznaenie súboru aktív, kde pod aktívom v užšom slova zmysle rozumieme ubovoný cenný papier obchodovaný na finanných trhoch. Vytvorenie optimálneho portfólia obnáša dva aspekty je to jednak výber konkrétnych aktív z celkovej ponuky na finannom trhu a tiež urenie pomerného zastúpenia zvolených aktív vo vytváranom portfóliu. Cieom každej investície je zisk ako výnos z investície, ktorý však nie je dosiahnutený bez uritého rizika. Pod rizikom rozumieme uritú mieru neistoty návratnosti vložených prostriedkov. ím väší je požadovaný výnos z investície, tým väšie riziko investícia prináša. Snahou každého investora je minimalizova riziko a nájs najvýhodnejší pomer medzi predpokladaným výnosom a rizikom portfólia. Problém alokácie kapitálu bol už na zaiatku 50. rokov minulého storoia rozpracovaný v tzv. teórii portfólia, ktorá má v súasnosti dominantné postavenie vo finannej teórii. Jej hlavným predstaviteom je nosite Nobelovej ceny z r H. Markowitz, na ktorého práce naviazal W. Sharpe a alší. Výnos cenného papiera je daný rôznymi formami dividendou, úrokovou sadzbou, prémiou, kapitálovým ziskom alebo stratou. Výnosnos akcií alebo tiež výnos po dobu držby udáva investorovi efektívnos jeho investície a vyjadrujeme ju vzahom P1 + D i = 1, P

94 i - úroková miera, resp. investorom požadovaná výnosnos, vyjadrená v tvare desatinného ísla, D - dividenda vyplatená po dobu držby, P - nákupná cena akcie, 0 P 1 - predajná cena akcie. Pre zjednodušenie vzahov uvažujeme jednoroné držanie akcie bez reinvestície zisku. Oakávaný výnos jednotlivých akcií ovplyvuje aj pravdepodobnos, s akou tento výnos nastane. Stredná miera zisku jednotlivých cenných papierov i n i = i k p k, kde i k sú miery zisku v jednotlivých obdobiach s pravdepodobnosami k = 1 n p k = 1 k = 1. Na meranie rizika je používaná smerodajná odchýlka r = ( i i ) p + + ( in i ) pn p k, t.j. alej sa zameriame na zjednodušenú úlohu nájdenie optimálneho portfólia, ktoré je tvorené dvoma akciami A, B s príslušnými strednými mierami zisku i A, ib a rizikami r A, rb. Stredná miera zisku i P a riziko r P portfólia nimi vytvoreného sú potom dané vzahmi i P = v i + 1 A ( v) i B, r P A ( 1 v) rb + v ra ( v) rb ρ AB = v r + 1, kde v 0, 1 je váha akcie A, ( 1 v ) je váha akcie B, t.j. podiely akcií A, B v portfóliu. Korelaný koeficient akcií Hodnota korelaného koeficientu ρ AB vyjadruje mieru lineárnej závislosti medzi mierami zisku týchto n ( i i ) ( i, i ) 1 A, k A B k B k = 1 ρ AB =. n r r ρ 1, 1, priom, ak je AB ρ AB 1, potom výnosy akcií sa pohybujú súasne rovnakým smerom, ρ AB 1, potom výnosy akcií sa pohybujú súasne opaným smerom, (ak jeden klesá, druhý rastie a naopak) ρ AB 0, potom výnosy akcií sa správajú nezávisle. Každému cennému papieru môžeme priradi usporiadanú dvojicu [ r, i ] a túto graficky znázorni ako bod v rovine. Obdobne každému portfóliu tvorenému v podielom akcie A a 1 v podielom akcie B prislúcha uritý bod v rovine. Pre každú hodnotu v 0, 1 postupne dostávame spojitú krivku. Tvar krivky závisí od korelaného koeficientu, ako je r, =[ 14,5] a 5,16 predstavujú prípad, ke je portfólio tvorené len akciami A, resp. B. možné vidie na obrázku. Dva spoloné body všetkých kriviek [ A i A ] [ r B, i B ] =[ ] A B - 9 -

95 0% Výnos a riziko portfólia korel.k. 1 Výnos 15% 10% korel.k. 0,5 korel.k. 0 5% korel.k. -0,5 0% 0% 5% 10% 15% 0% 5% 30% korel.k. -1 Riziko Investor získava názornú predstavu o možných výnosoch ním zvoleného portfólia. Z grafu je vidie, že vhodnou vobou podielu akcií je možné vybra optimálne portfólio tzv. diverzifikované, ktoré umožní podstatne zníži riziko akcií bez nutnosti zníženia výnosu (zvyajne sa nachádza v avej asti príslušnej krivky a závisí od osobných preferencií investora). Pre zníženie rizika sú vhodné aktíva, ktorých výnosy sú aspo slabo korelované ( ρ AB 0). V prípade, že sa nám podarí nájs akcie, ktorých výnosy sú korelované záporne, je možné zostavi bezrizikové portfólio. Burzová hra Atlantik Na priblíženie danej problematiky, sme sa na zaiatku semestra, po krátkom oboznámení študentov s princípom obchodovania na burze, zapojili so študentmi do burzovej hry Atlantik, ktorá je prevádzkovaná na internetovom portále Centrum.cz. Hra je založená na fiktívnom obchodovaní s akciami spolonosti a investiných fondov, ktoré sú obchodované na kapitálových trhoch v USA. Každý hrá pri zapojení do hry dostane fiktívnych dolárov, fiktívne sú samozrejme aj všetky jeho obchody, straty a výhry. Aby hra zodpovedala realite, jednotlivé obchody sú spoplatnené príslušnými poplatkami. Hrá zadáva pokyny k nákupu i predaju akcií vybraných firiem, ktoré sú realizované poda požadovanej i ponúkanej ceny. Svoje investície môže realizova naraz alebo priebežne dokupova alebo predáva. Na portále sú dostupné reálne údaje s 0 minútovým spozdením oproti reálnej situácii na burze. Má možnos priebežne sledova, ako sa mení hodnota jeho portfólia, vyhadáva údaje o okamžitých pohyboch cien akcií, sledova odporúania expertov. Praktické využitie hry v uebnom procese V rámci semestrálnej práce každý študent vytvoril portfólio z akcií dvoch firiem, s ktorými fiktívne obchodoval.. Na základe historických cien týchto akcií, teórie portfólia a pomocou tabukového procesoru Excel vypoítal príslušné údaje, zostrojil krivku portfólií a graficky odítal svoje optimálne portfólio. Nasledujúci obrázok predstavuje ukážku študentskej práce

96 - 94 -

97 Záver Práca s Internetom nám umožnila prístupnou a zábavnou formou pracova s reálnymi údajmi, o pre študentov bolo názornejšie ako poíta s vymyslenými ni nehovoriacimi všeobecnými hodnotami, naviac každý musel pracova na inom zadaní. Využitie tabukového procesoru Excel ich ušetrilo od zdhavých výpotov. Pozitívne bolo aj to, že si ujasnili význam pojmu korelaný koeficient a dôsledky zmeny jeho hodnoty. Každý zo študentov si vyskúšal zárove bez finanných strát obchodovanie na finannom trhu, priebežne samostatne vyhodnocoval dostupné informácie a pri obchodovaní postupoval poda vlastnej stratégie. Odmenou bolo nielen osvojenie si teórie, ale v niektorých prípadoch aj zaujímavé, hoci len fiktívne výnosy. Najlepší investor roníka dosiahol v priebehu dvoch mesiacov zisk 450%. Hra Atlantik tak obohatila našu výubu o praktické aplikácie s aktuálnymi údajmi. Literatúra CIPRA, T.: Praktický prvodce finanní a pojistnou matematikou. Praha: HZ, 001. ISBN CIPRA, T.: Matematika cenných papír. Praha: HZ, 000. ISBN SK IVÁNEK, J., SK IVÁNKOVÁ, V.: Kvantitatívne metódy finanných operácií. Bratislava: Iura Edition, 006. ISBN BALÁŽ, V.: Je výnos všetkým?. In Investor. Bratislava: Fond Shop, 005, ro. 6,. 1, s SEKERKA, B.: Matematické a statistické metody ve financování, cenných papírech a pojištení.. Praha: Profess Consulting, 00. ISBN RADOVÁ, J., DVO ÁK, P., MÁLEK, J.: Finanní matematika pro každého. Praha: GRADA, 005. ISBN X. CHOVANCOVÁ, B., JANKOVSKÁ, A., HÁJNIKOVÁ, J., MAJCHER, M., ŠTURC, B.: Finanný trh, nástroje, transakcie, inštitúcie. Bratislava: Eurounion, ISBN RADOVÁ, J., CHÝNA, V., MÁLEK, J.: Finanní matematika v píkladech. Praha: PROFESSIONAL PUBLISHING, 005. ISBN X. Domovská stránka hry Atlantik: 1 Katedra kvantitatívnych metód a hospodárskej informatiky Fakulta Prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov Žilinská univerzita Univerzitná Žilina danuse.guttenova@fpedas.utc.sk Katedra kvantitatívnych metód a hospodárskej informatiky Fakulta Prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov Žilinská univerzita Univerzitná Žilina maria.vojtekova@fpedas.utc.sk

98

99 POZNÁMKA K INOVACÍM NA NEVEEJNÉ VYSOKÉ ŠKOLE Josef Hos 1 Abstrakt: Neveejné vysoké školy, v jejichž programech je zaazena matematika, jsou vystaveny tlaku konceptor svého vzdlávacího schématu i tlaku student, aby se tato výuka pragmatizovala, tzn. aby se efekt - získané dovednosti, provovaly praktickou použitelností sdlovaných a rovnž osvojených poznatk. Historická zkušenost státních vysokých škol podobné aspirace neregistruje a dosud povtšin vystaí s encyklopedickým konceptem matematických disciplin. Okolnost, že ped obma typy škol stojí poteba pípravy distanních vzdlávacích opor, a že je živá zetelná tendence k e-learningové vzdlávací technologii, je startovacím rámcem inovaního úsilí. 1. Triviální východiska Volitelnost matematiky v rámci maturitních zkoušek zvýraznila rozdíly v míe pipravenosti stedoškoláka. Jeho cílem je absolvovat dvou nebo více semestrální kursy matematiky. Není ojedinlé, že se uchazei o studium na neveejné vysoké škole netají s pedstavou, že se chtjí setkat s matematikou bez schématu vta dkaz. Vítané je spíše schéma co pro jak? Jakkoli je nároné definovat k emu mají matematické dovednosti z bakaláského studia sloužit, ml by být takový požadavek rozhodující pro pípadné inovaní zámry. Nezídka by stailo povšimnout si témat bakaláských prací, aby se ozejmilo, co všechno vyžaduje matematickou erudici, nebo jak málo se vyžaduje použití matematického nástroje a prostedku. Vysokoškolští uitelé, zvlášt pak ti, kdož se zabývají aplikacemi, dají potebnou požadavky dohromady snáze než encyklopedití vykladatelé, reprodukující historický vývoj. Tak jak se potáští staromilci smíili se setením rozdíl v matematické prprav absolvent reálek a gymnasii, nebo obchodních akademií, vetn zbytku stedních škol s maturitami, tak je na ase tyto rozdíly již dnes nevyhledávat. Je teba vzít na vdomí, že to, co je mitelné už dnes, není matematická disposice maturanta, ale jeho uživatelská dovednost pracovat s poítaem. I zde jistá volnost v osnovách vyvolává diference v osvojených dovednostech. Nicmén existence základního uživatelského standardu podléhá veejné kontrole pouené rodiovské obce a školská zaízení to vícemén respektují. Pitom je v komfortním hardwarovém prostedí s aktuálním softwarovým zázemím bhem nkolika týdn snadno dosažitelná uživatelská obratnost, v jistém smyslu jednotná, jež pispívá ke kvalifikované odpovdi na otázku JAK? Je-li posluchai ve vhodném tutoriálu ozejmeno CO? a PRO, pak mžeme být spokojeni.. Netriviální východiska Poslucha bakaláského studia by neml být vystaven celistvému výkladu témat od Cauchyho po Zadeha a další. Ml by se setkat s vybranými a problémov vyloženými kapitolami, ml by být zpsobilý orientovat se v kardinalit, nebo ordinalit úlohy, se kterou se setkává a bezpen rozpoznat, je-li jeho problém provázen numerickými i lexikálními promnnými. Ml by vdt, jaký nástroj zvolit a 1 Moravská vysoká škola Olomouc

100 pro. Ml by mít k dispozici stále aktualizovaný archív seminárních a zápotových prací, v nichž jsou obdobné matematické prostedky využity. Mla by pro nj být trvale konstruována banka praktických úloh odvozených z hlavních profilových disciplín jeho studijního programu. Jeho zkušení uitelé by ped ním nemli utajovat své ešitelské zkratky a postupy a pro ty studenty, kteí tendují k magisterské graduaci na veejných vysokých školách, by mla být organizována hostující sdlení. Tmi se zajistí tak eená prostupnost studia Totiž ona míra matematických znalostí, která pedstavuje nezbytné pensum pro ten který magisterský program. Je pirozené požadovat, aby student uml hledat další pouení na veejn pístupných portálech i jiných vysokých škol, než na své Alma Mater. Aby o tchto svých zjištních informoval v rámci seminá resp. tutoriál, které by nahradily to, emu se dnes ješt íká cviení a jehož smyslem je dosud jen pstování a utvrzování dovedností v aplikan málo dimenzovaných lekcích z matematiky. Dosavadní diskrepance matematiky a aplikací matematiky, zvlášt v jejich lhtovém zaazení do vzdlávacích program, pináší více škody než užitku. Student je ošizen nejmén o ono radostné poznání, že jeho vdní a každá matematická dovednost jsou bezprostedn použitelné a velmi života schopné. 3. Závr Inovacím peje nálada, k inovacím vybízí dosud jen nemnoha nadšenci využívaná informatická podpora. Na poctivé inovace se eká. Literatura [1] Hos, J.: Prezentace ke sdlení, Konference MIV, Mutnice,

101 VPLYV INFORMANÝCH A KOMUNIKANÝCH TECHNOLÓGII NA VYUOVACÍ PROCES MATEMATIKY PROSTREDNÍCTVOM BLENDED LEARNING Daniela Hricišáková, Lívia Hasajová 1 Abstrakt. Article discribes and presents, sham operation into matematics. Accent is put on the necessity whilst complicated matematics cases are presented. Creation of electronic materials, which are needed while teaching matematics by blended learning. Means and programs, which make the presentation of compucated abstract phenomena possible. 1. Informané a komunikané technológie ako prostriedok rozvoja vyuovania matematiky Výskumy z histórie vedy poukazujú, že možnosti materiálneho prezentovania mali podstatný vplyv na vývoj matematiky. Presnejšie to vystihuje myšlienka: Matematika ako umenie prezentácie našich myšlienok o abstraktných súvislostiach. Umenie, kde subjektívne, individuálne aspekty musia získa vyššiu hodnotu. (Fischer, 199) Z didaktického hadiska nám IKT vo vyuovaní matematiky umožujú sprostredkova: vizualizáciu abstraktných predstáv - uahuje predstavu daného myšlienkového procesu i javu, ím bezprostredne skracuje samotný proces uenia. Simulácia procesov, zmenou vstupných parametrov javu, možno prezentova proces, vytvori adekvátny model a pochopi hierarchiu. Dnes už môžeme konštatova, že poíta predstavuje najvyvinutejšiu formu prezentácie abstraktných vzahov, resp. procedúr v materiálnej forme. Elektronicky svet v poítai, vytvorený z textov, obrázkov, databáz, matematických modelov alebo iných prístupných prostriedkov, umožuje podpori a bezpochyby skvalitni proces vyuovania.(fulier, 005) Moderné technológie ponúkajú široké spektrum grafických objektov, ktoré možno vklada do elektronických kurzov. Nielen pri samoštúdiu, pri práci študenta, ale aj priamo na vyuovacích hodinách z matematiky používame programové produkty dynamickej geometrie, napríklad Cabri Geometria, Euklides. Vemi významné použitie v matematike a v jej vyuovaní majú matematické softvérové produkty: typu CAS (Computer Algebra Systems) svojimi možnosami aleko presahuje obsah bežných i špecializovaných kurzov nielen školskej, ale aj vysokoškolskej matematiky (matematickej analýzy, numerickej matematiky, matematickej štatistiky, maticového potu a pod.). (Fulier, 005) Stretávame sa s názorom, že kvalitný a profesionálny kurz obsahuje krátke obrázky a videá. Je nesporné, že profesionálna grafika zlepšuje celkový dojem z kurzu, na druhej strane výrazne zvyšuje výrobné náklady kurzu. Výsledky mnohých vedeckých výskumov [4], [5] 3, [6] 4 ukázali, že proces uenia je ovea efektívnejší pri spojení písaného textu a obrázkov. Študujúci aktívnejšie pristupujú ku vzdelaniu, majú si možnos vytvára spojenia medzi informáciami získanými z textu a z grafiky. 1 Trencianska univerzita Alexandra Dubeka v Trenín, ikalaziova@ukf.sk [4] MAYER, R.E. Systematic Thinking Fostered by Illustrations in Scientific Text. Journal of Educational Psychology, 81, 1989, s [5] MAYER, R.E. ANDERSON, R.B.: Animations Need Narrations: An Experimental Test of a Dualprocessing Systems in Working Memory. Journal of Educational Psychology, 90, 1991, s [6] MAYER, R.E. GALLINI, J.K.: When Is an Illustration Worth Ten Thousand Words? Journal of Educational Psychology, 88, 1990, s

102 1.. Vplyv blended learning na vyuovanie matematiky Každá dôsledná príprava na cvienia matematiky je pre vyuujúceho asovo nároná, platí to však viacnásobne, ak sa rozhodne použi poíta. Príprava matematických úloh vhodných na cvienia, resp. ich spracovanie do elektronickej podoby predstavuje pomerne nároný proces. Za vekú výhodu môžeme považova skutonos, že všetky matematické úlohy zostávajú k dispozícii pre využitie v alších semestroch. Ideálna situácia nastane, ke sa nám podarí vytvori elektronické materiály pre cvienia z matematiky kompletne. Okrem klasického prezentovania uiva na cvieniach sa do popredia dostáva aj poítaom podporovaná forma prezentácie, kde majú študenti možnos pracova aj s materiálmi v elektronickej forme. Kombinovaná forma vyuovania matematiky - blended learning v doslovnom preklade znamená miešané vyuovanie. iže kombinácia klasickej prezentanej formy (cvienia, prednáška) vyuovania a e-learningovej podpory (elektronické materiály prístupné na Internete v prostredí moodle). Výhodu v samoštúdiu predstavuje možnos pokraova v úlohach na ubovonom mieste, ase, v samostatnom opakovaní, v predbežnom overovaní vedomostí. Grafické možnosti programov (dynamickej geometrie a typu CAS), napomáhajú rozvíja názorné geometrické predstavy o objektoch. Experimentovaním s týmito modelmi, tvorbou hypotéz, rýchlym a spravidla i pohodlným overovaním týchto hypotéz pomocou týchto programov, je možné prirodzeným spôsobom a vemi prijatenou formou rozvíja experimentálnu zrunos, túžbu po poznaní a tvorivos študentov v matematike. (Fulier, 005) Napísa kvalitný elektronický materiál pre vyuovanie matematiky technického zamerania je namáhavá práca, vemi sa odlišuje od obyajného napísania skrípt pre klasické vyuovanie. Text musí by kratší, ale kvalitnejší a predovšetkým musí by jednoznane zrozumitený ako jeho samotný obsah, tak aj ovládanie, orientácia študenta v om. Pokia chceme vytvori uebnú oporu pre e-learning, nemusíme ma od zaiatku žiadne špeciálne a nákladné programové vybavenie. Pre tvorbu jednoduchých textov nám dostatone poslúži akýkovek textový editor, vrátane voných, dostupných. Text možno zaa písa v tom najjednoduchšom, v poznámkovom bloku, prípadne použi textový editor, ktorý nám umožní štrukturova text, umožní nám voli typ písma (kurzíva, tuné at.).takéto programy sú vemi rozšírené, dos asto vone dostupné, pre prvé verzie e-learningových textov postaujúce. Výsledkom sú texty bežného formátu txt, html, doc alebo pdf. Takéto formáty slúžia iba v prípade, ak chceme študentom distribuova holý statický text s obrázkami a grafmi. Obr.. 1: Ukážka implementácie jednoduchej formy elektronickej opory na cvieniach z matematiky. Vo Word dostaneme výsledný dokument formátu doc alebo html, výhodnejší je rovnako rozšírený Acrobat, kde môžeme vygenerova formát pdf, ktorý sa používa na Internete na

103 prenos textových dokumentov. Pre znázornenie zložitejších matematických funkcií v rovine alebo v priestore možno použi programový systém napr. Mathematica, Derive, Matlab, programy v jazyku GW-BASIC (podnetné ukážky sú prezentované v [6]). Matlab je skratka Matrix Laboratory, vysoko výkony jazyk urený pre technické výpoty. Pozostáva z piatich astí: programovací jazyk Matlabu, pracovné prostredie Matlabu, grafika, knižnica matematických funkcií Matlabu a Application Program Interface. V asti grafika ide o graficky systém v Matlabe, ktorý v sebe zaha od príkazov na vytvorenie D a 3D vizualizácie dát, spracovanie obrázkov, animácie a prezentanú grafiku, až po základné príkazy pre prispôsobenie grafiky poda predstáv užívatea, vybudovanie grafického užívateského rozhrania pre užívateské aplikácie v Matlabe. Všetky uvedené možno úinne využíva v elektronickom vzdelávaní. Jednoduchou simuláciou funkcie dvoch premenných v Matlabe kvalitnejšie vysvetlíme, zmaterializujeme úlohu založenú na hadaní lokálnych extrémov funkcie. Prvý graf na obrázku znázoruje funkciu, bez premietania do roviny, druhý graf je doplnený o premietanie do roviny, kde máme priestor pre podrobnú analýzu úlohy na základe reálnej predstavy skutonosti. Úloha programových systémov spoíva, v o najpresnejšom zobrazení funkcie v rovine, v priestore, aby dokázali študenti odhali ich reálny obraz. V uritej miere im urýchlili, sprehadnili a zjednodušili v niektorých prípadoch komplikovaný matematický postup riešenia úlohy. Sú odbory, v ktorých takto vyrobené jednoduché uebné kurzy postaia, napríklad ekonomika, v iných odboroch však s jednoduchým textom s obrázkami a grafmi neobstojíme. Potrebujeme využi animáciu, video a použi zvuk, jednoducho využi všetky možnosti, ktoré nám poítae umožujú. Potom už nevystaíme s jednoduchým textovým editorom. Treba sa ohliadnu po náronejších programoch, ktoré vedia pracova so zvukom, animáciami a videom, zakomponova ich do textu, vytvára tak moderné multimediálne, pokia je možné aj interaktívne uebné opory. Jedným z takýchto programov je produkt Toolbook tento program umožuje vytvára uebné opory pomerne jednoduchou cestou. Intuitívne ovládanie, lenenie obrazoviek pripomína programy ako MS Power Point, v tomto programe sa dajú vytvára jednoduchšie animácie, tvori interaktívnejšie texty, vklada animáciu, zvuk alebo video. Výstupom z programu môže by súbor v grafickom formáte, o znamená využitie všetkých grafických možností, ktoré program ponúka, ale študent bude nútený po spustení nainštalova asi 8MB veký plug-in. Druhá možnos ponúka použitie výstupu v dhtml verzii, kedy dostaneme dokument menší, prehadnejší v najrozšírenejšom Internet Explorer, ale v použití grafiky budú obmedzené limity html štandardu, ktorý sa používa na Internete. alšou alternatívou je program Macromedia Flash. V tomto omnoho náronejšom programe, ktorý jednoznane vyžaduje špecialistu, nepracujeme s jednotlivými obrazovkami, ale s asovou osou, na ktorú nanášame úlohy. Výstupom z toho programu sú plne animované, interaktívne kurzy, ktoré vaka možnostiam tohto SW už nemusia poskytova uebné materiály lineárne za sebou. Svojim charakterom sa viac blížia výukovým CD-ROMom, ktoré študentovi poskytnú sumu poznatkov, je na om, ktorú cestu pri ich spoznávaní zvolí. Samozrejme na záver musí študent, nezávisle na ceste, spôsobom ktorý pri štúdiu zvolil, prís k jednotnému výstupu. Obdobným programom je taktiež Authoware Špecifikácia výskumného problému, jeho kvantifikácia a verifikácia Na našej katedre matematiky používame blended learning viac ako dva roky, pripravujeme si elektronické materiály pre vyuovanie cviení z matematiky I., II.(vi ukážka obr..1). Treba prizna, môžeme stále nieo vylepšova, tento proces nie je to uzavretý. Zaujímala nás otázka, do akej miery ovplyvní používanie blended learning úspešnos závereného testovania študentov, konkrétne zápotové písomné práce z cviení z matematiky. Poas semestra písali rovnaké zápotové previerky, pre zaujímavos uvádzame výsledky oboch skupín. Stanovili sme si výskumný problém zaoberajúci sa vplyvom použitia

104 informaných a komunikaných technológii vo vyuovaní matematiky, na výkonoch študentov celoživotného vzdelávania na detašovanom pracovisku TnUAD v Prievidzi. Sledovali sme ich v priebehu dvoch semestrov na prednáškach, cvieniach matematika I., matematika II., následne sme porovnávali obidve skupiny študentov. Išlo o kvantitatívny výskum, na spracovanie ktorého sa použili štandardné štatistické metódy vyjadrujúce významnos rozdielu medzi získanými íselnými údajmi reprezentujúcimi premenné vstupujúce do vzájomných vzahov. Na riešenie výskumného problému s cieom dodrža základné zásady realizácie kvantitatívneho výskumu sme sa rozhodli použi experimentálnu metódu. Do procesu experimentu vstupuje nezávisle premenná ako oznaenie pre experimentálnu zmenu, ktorou v našom prípade bol blended learning vo vyuovaní matematiky. Závislá premenná uruje dôsledok nezávislej premennej, t.j., o bolo spôsobené vplyvom experimentálnej zmeny. Pre úspešný a relevantný priebeh experimentu je dôležité vybra dve, o najviac, rovnocenné skupiny subjektov. Preto sme vytvorili dve skupiny študentov, skupina.1 predstavovala poet 67 študentov, skupina. poet 68 študentov celoživotného vzdelávania. Študenti prvej skupiny mali možnos pracova s materiálmi s elektronickej podpory, mohli sa prihlási. Študentom druhej skupiny bol prístup znemožnený, nemohli sa prihlási. Je ažké vytvori úplne náhodný výber, preto sme pracovali s už hotovými krúžkami, ktorých úrove bola podobná. Výber súboru subjektov bol zameraný poda porovnatenosti relevantných znakov dôležitých pre skúmanie, t.j. rovnaké podmienky pre obe skupiny z hadiska materiálneho zabezpeenia a tiež z hadiska kvalifikovanosti a odbornej spôsobilosti uiacich. Študenti výberového súboru navštevovali rovnakú školu, rovnaký roník a absolvovali ten istý uebný plán s rovnakou hodinovou dotáciou. Overovanie stanovenej hypotézy prebiehalo poda samostatného experimentálneho plánu. Spracovanie, vyhodnotenie a analýza získaných údajov prebehla prostredníctvom použitia štandardných metód matematickej štatistiky, ktorých výber závisel od typu a vzahu použitých premenných. Overovanie hypotézy H: Študenti celoživotného vzdelávania vzdelávaní pomocou blended learning dosahujú minimálne rovnocenné výsledky vo vyuovaní matematiky ako študenti bez jeho použitia. Charakteristika výskumného súboru: Výskumný súbor tvorilo 135 študentov celoživotného vzdelávania, priom experimentálna skupina pozostávala zo 67 študentov, porovnávaciu skupinu tvorilo 68 študentov. Z hadiska zastúpenia pohlavia ( Tab. 1)boli skupiny porovnatené. skupina študenti študentky spolu experimentálna skupina 9 44% 38 56% 67 kontrolná skupina 6 38% 4 6% 68 spolu 55 41% 80 59% 135 Tab. 1: Prehad subjektov výskumu poda pohlavia. Experimentálny plán: Realizácia experimentu na overenie hypotézy H prebiehala poda experimentálneho plánu dvoma priebežnými testmi. Po absolvovaní testu sme skúmali vzájomný vzah bodových ziskov testu jednotlivcov medzi oboma skupinami. Test 1 Pôsobenie (rozdielna metodika) Test experimentálna skupina áno blended learning áno kontrolna skupina áno tradiné vyuovanie áno Schéma 1: Experimentálny plán s priebežnými testami. Spôsob spracovania a výsledky experimentu: Dôležitým prvkom pri overovaní hypotézy je správny výber testovacieho kritéria. Ak predpokladáme, že základné súbory majú približne normálne rozdelenie použitím F-testu zistíme, i rozdiel medzi ich rozptylmi je štatisticky

105 významný. Pri testovaní významnosti rozdielu medzi rozptylmi formulujeme nulovú hypotézu H0: Rozptyly základných súborov sú rovnaké, t.j. σ 1 = σ. Testovacím kritériom je veliina F=σ 1 /σ. Jej porovnaním s kritickou hodnotou na hladine významnosti α=0,05, zistíme a vyhodnotíme výsledok. Pomocou programu MS Excel sme vypoítali údaje zhrnuté v Tab., priom vstupnými údajmi sú súty bodov jednotlivcov získaných v testoch z experimentálnej skupiny a k ním zodpovedajúce súty bodov v kontrolnej skupine. Keže vypoítaná hodnota testovacieho kritéria je F= 1, a príslušná kritická hodnota je F krit. =1, , t.j. F< F krit. nastáva prípad, ktorý sme oakávali skoro s istotou. Nezamietame nulovú hypotézu ( rovnos rozptylov základných súborov) a hovoríme, že rozdiel medzi rozptylmi nie je štatisticky významný, t.j. oba výbery pochádzajú z tej istej populácie. Je dôležité, že rozptyly oboch súborov sú rovnaké. Ak by sa významne líšili, tak rozdiel medzi priemermi môžeme iba odhadova. 5 Tab. : Prehad štatistických charakteristík F-testu. Tab. 3: Prehad štatistických charakteristík t-testu. Po vykonaní F-testu môžeme skúma vplyv experimentálneho zásahu na vekos aritmetického priemeru, ktorý overujeme t-testom, konkrétne t-testom pre súbory s rovnakým rozptylom. Pri teste významnosti rozdielu dvoch priemerov formulujeme dvojstrannú nulovú hypotézu µ 1 = µ, to znamená, že predpokladáme rovnos priemerov: H0: Dva sledované súbory pochádzajú z tej istej populácie a rozdiel medzi ich priemermi je spôsobený náhodou. Základné charakteristiky výberového súboru vypoítané pomocou MS Excel sú uvedené v Tab. 3. Vypoítaná hodnota testovacieho kritéria je t=0, Porovnaním tejto hodnoty s kritickými hodnotami jednostranného testu t krit1.=1, a dvojstranného testu t krit. =, zisujeme, že t< t krit1 a taktiež t< t krit. To znamená, že nulovú hypotézu nezamietame a rozdiel priemerov považujeme za štatisticky nevýznamný. Overili sme platnos hypotézy H, že študenti vzdelávaní prostredníctvom blended learning dosahujú rovnocenné výsledky ako študenti vzdelávaní bez IKT. Zhrnutie výsledkov verifikácie výskumného problému zaoberajúceho sa vplyvom použitia informaných a komunikaných technológii vo vyuovaní matematiky na výkon študentov sme sledovali v priebehu dvoch semestrov celoživotného vzdelávania na detašovanom pracovisku TnUAD v Prievidzi na prednáškach, cvieniach matematika I.. Porovnávali sme dve skupiny študentov, z ktorých sa jedna podrobila experimentálnemu pôsobeniu, používala blended learning. Overili sme platnos všetkých stanovených hypotéz. Zistili sme, že študenti vzdelávaní pomocou IKT dosahujú minimálne rovnocenné výsledky v riešení matematických úloh, ako študenti vzdelávaní bez použitia IKT. Medzi sledovanými skupinami nebol štatisticky významný rozdiel vo výsledkoch získaných testovaním a teda inovaná metóda 5 Komárik, Emil: Metódy vedeckého poznávania loveka. Bratislava: Vydavatestvo UK, 00, 1 s., ISBN experimentálna skupina kontrolna skupina stredná hodnota 7, , rozptyl 6, , pozorovanie F 1, P(F-f) (1) 0, F krit.(1) 1, experimentálna skupina kontrolna skupina stredná hodnota 7, , rozptyl 6, , pozorovania spoloný rozptyl 5, hypoteticky rozdiel stred.h. 0 t štatistika 0, P(T-t) (1) 0, t krit (1)jednostranný test 1, P(T-t) () 0, T krit ()dvojstranný test,

106 založená na elektronickej podpore vyuovania matematiky nemala zásadný okamžitý vplyv na kvalitu a hbku nielen za uspokojivé, ale aj prínosné. Literatúra [1] FULIER, J., MICHALIKA, P. Informané a komunikané technológie vo vzdelávaní v matematike In: IKT vo vyuovaní matematiky, UKF Nitra, Edícia Prírodovedec. 199, Vydavatestvo Michala Vašku, Prešov, 005, 11-1 s. ISBN [] FISCHER, R., MALLE, G. lovek a matematika. Bratislava : SPN, s. ISBN [3] KOMÁRIK, E.: Metódy vedeckého poznávania loveka. Bratislava: Vydavatestvo UK, 00, 1 s., ISBN [4] MAYER, R.E. Systematic Thinking Fostered by Illustrations in Scientific Text. Journal of Educational Psychology, 81, 1989, s [5] MAYER, R.E. ANDERSON, R.B.: Animations Need Narrations: An Experimental Test of a Dual-processing Systems in Working Memory. Journal of Educational Psychology, 90, 1991, s [6] MAYER, R.E. GALLINI, J.K.: When Is an Illustration Worth Ten Thousand Words? Journal of Educational Psychology, 88, 1990, s [7] ZALABAI, Z., POKORNÝ, M.: Vzdialenos dvoch útvarov, In: IKT vo vyuovaní matematiky, UKF Nitra, Edícia Prírodovedec. 199, Vydavatestvo Michala Vašku, Prešov, 005, s. ISBN Summary Article discribes and presents, sham operation into matematics. Accent is put on the necessity whilst complicated matematics cases are presented. Creation of electronic materials, which are needed while teaching matematics by blended learning. Means and programs, which make the presentation of compucated abstract phenomena possible

107 MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ S VYUŽITÍM MAPLE Jií Hebíek 1, Michal Škrdla Abstrakt: Matematické modelování proniklo do rzných odvtví prmyslu a stalo se dležitým pomocníkem pi simulacích, analýzách a pedvídání rzných jev. S rostoucím významem matematického modelování na vysokých školách technického typu roste i poteba efektivn ešit, vizualizovat, zpesnit i zpehlednit tyto modely. Do tchto, jako i do jiných, odvtví pronikly informaní a komunikaní technologie (ICT). Požadavky na matematické výpoty jako vysoká pesnost, symbolické výpoty, atd. vedly k vytvoení komplexních programových systém jako jsou nap. Mathematica, MATLAB, MathCAD nebo Maple. Tyto programy lze využít bhem procesu vývoje, implementace, ešení a analýzy matematického modelu. Dalším významným požadavkem pi modelování je neuritost, která se objevuje bhem vývoje matematického modelu jak v parametrech tak i datech, mezerách ve znalostech o tom, jak je vytváený model citlivý na zmnu parametr i dat, pípadn tato neuritost mže být zpsobena zjednodušením modelu do vhodných matematických výraz, chybami v mení, nedostatkem zkoumaných dat nebo nedokonalostí použitých ICT nástroj. V tomto lánku je pedstaven postup vytváení matematického modelu s využitím programového systému Maple jak obecn, tak na píkladu implementace a vizualizace jednoduchého modelu koist-dravec. 1. Matematické modelování Model popisuje obvykle za uritých pedpoklad zjednodušené chování zkoumaného fyzického systému, objektu i procesu. Matematický model jej transformuje do matematického jazyka, který má znané výhody: - formalizaci zápisu danou historickým vývojem, - pesná pravidla pro manipulaci se symboly, - možnost využití ICT pro zpracování vytvoeného modelu. I pes velký potenciál matematického jazyka není možné popsat reálné systémy, objekty i procesy, které jsou velmi komplikované. Proto musíme nejdíve identifikovat nejdležitjší ásti zkoumaného systému, který budeme modelovat a ty musí vytváený model popisovat. Ostatní prvky systému mžeme bu zcela vylouit nebo podstatn zjednodušit. Bhem studia modelovaného systému je vhodné urit do jaké kategorie model spadá, což nám umožní snadnji rozpoznat základní vlastnosti a strukturu hledaného modelu. Podle zpsobu zda zahrnujeme do modelu náhodné veliiny lze modely rozdlit do dvou skupin: deterministických a stochastických model. Dále lze tyto skupiny rozdlit dle vztahu k prbhu asu (dynamické, statické) nebo spojitosti (spojité, diskrétní). Mezi tmito skupinami leží mnoho dalších typ model, dále tídných podle mnoha dalších kriterií, které lze využít. 1 Centrum Biostatistiky a Analýz (CBA LF a PF MU),, Kamenice 16/3, Brno, hrebicek@cba.muni.cz Fakulta Informatiky MU, Botanická 68a, Brno, xskrdla@fi.muni.cz

108 . Vývoj modelu Proces vytváení matematického modelu se sestává ze spirálového modelu obsahující následující úlohy: identifikace problému, vývoj modelu, jeho implementace a vyešení, analýza získaného modelu a následn modifikace pro další zpesnní nebo rozšíení zkoumaného systému. Obrázek 1 zobrazuje vývojový cyklus matematického modelu. Znovupoužití podvýraz Symbolické vztahy Technické dokumentace Pipojení k elektronickým zdrojm IDENTIFIKACE modelu Uživatelské komunity, knihy, konference, asopisy, elektronické zdroje (problémy a algoritmy a data) Symbolické rovnice Specializované matematické funkce Maticové formulace Diferenciální rovnice Optimalizace Matematické slovníky Uživatelské prostedí MODIFIKACE modelu VÝVOJ rovnice a algoritmy ešený Problém ANALÝZA a publikování výsledk Interaktivní grafika Specializované D a 3D grafy, animace HTML, XML, MathML, LaTeX, RFT, PDF export VYEŠENÍ výpoetního modelu IMPLEMENTACE výpoetního modelu Programovací jazyky Pipojení k elektronickým zdrojm Unikátní datové struktury Interaktivní pomocníci Nástroje pro kontrolu syntaxe Nápovda Analytické ešení Pesné numerické ešení Fortran, C, Java, MS Visual basic Obr. 1: Vývojový cyklus matematického modelu Iniciálním krokem pi vytváení modelu (nebo jeho modifikaci) je jeho identifikace, kdy se rozhodujeme o typu modelu a vlastnostech systému zahrnutých do tohoto modelu. Jako píklad uvedeme modelování rstu populace. Tato populace pi ideálních podmínkách roste exponenciáln. Pirozený úbytek populace je nepatrný a je pouze snižuje pirozený pírstek. Tuto populaci omezíme pouze dalším druhem populací dravce. V literatue lze nalézt Lotka-Volterrv model ovlivujících se populací, popsaný následujícími rovnicemi: diff X ( t) = α1 * X(t) - β1 * X(t) * Y(t) t, (1) diff Y ( t) = α * Y( t) + β * X ( t) * Y( t) t kde 1 je konstanta pirozeného rstu populace koisti (X) a 1 konstanta úmrtnosti populace v závislosti na potu dravc (Y). Konstanta uruje pirozený úbytek

109 populace dravce (Y) a konstanta pírstek populace dravce v závislosti na potu ulovené koisti. Tento model je dynamický a spojitý, nebo simuluje vývoj populace v ase. Implementace v Maple mže být následující: > lotka_volterra := proc(alpha1, alpha, beta1, beta, step) local eqprey, eqpred, init, opts, pred, prey: eqprey := diff(x(t), t) = alpha1*x(t) - beta1*x(t)*y(t); eqpred := diff(y(t), t) = -alpha*y(t) + beta*x(t)*y(t); init := [X(0) = 00, Y(0) = 80]; opts := stepsize=0.1, arrows=none, thickness=1: prey := DEplot([eqPrey, eqpred], [X, Y], t=0..step, [init], scene=[t, X], linecolor=red, linestyle=solid, opts): pred := DEplot([eqPrey, eqpred], [X, Y], t=0..step, [init], scene=[t, Y], linecolor=blue, linestyle=dot, opts): display(prey, pred); end proc: Výsledek je zobrazen na obrázku a zobrazuje vývoj potu obou populací v ase. Na grafu lze pozorovat periodické stídání období velkého rozmnožení koisti, po kterém pichází rozšíení dravce. To následn vede k znanému úbytku koisti a tedy i potravy pro druh dravce a jeho postupné vymírání. Po té se opt dostáváme do stavu, kdy koist nemá pirozeného soupee a zaíná se pemnožovat. Obr. : ešení základního Lotka-Volterrova modelu > lotka_volterra(1.0, 0.5, 0.01, 0.005, 0);

110 Nyní se dostáváme k fázi modifikace, kdy zjistíme, že model nevyhovuje pesn našim požadavkm a modelovanému systému. Rozhodneme se tedy pro úpravu modelu tentokráte o omezení rstu populace koisti, napíklad kvli omezeným zdrojm potravy nebo prostoru, kde se mže vyskytovat. V tomto pípad už populace koisti bez dravce neroste neomezen, ale po dosažení uritého potu jedinc se tento poet ustálí. I pro tuto modifikaci lze nalézt upravený Lotka-Volterrv model popsaný rovnicemi (). diff X ( t) X(t) = α1 * X(t) * (1- ) - β1 * X(t) * Y(t) t L, () diff Y ( t) = α * Y ( t) + β * X ( t) * Y ( t) t kde L je zavedený limit a vše ostatní zstává. Úprava implementace v Maple je snadná a proto zde uvádíme pouze výsledný graf, který je zobrazen na obrázku 3. Obr. 3: ešení upraveného Lotka-Volterrova modelu > lotka_volterra(1.0, 0.5, 0.01, 0.005, 40); Z tohoto ešení lze opt vypozorovat periodicky se opakující stavy, kde populace koisti nebo predátora dosahuje extrému. Tyto extrémy se postupn snižují až dochází k postupnému ustálení potu obou populací. 3. Analýza citlivosti parametr Lotka-Volterrova modelu Analýza citlivosti parametr [4] studuje jak je neuritost ve výstupu modelu pomrn zastoupena vzhledem k rozdlení neuritosti ve vstupních parametrech matematického modelu. Je proto považována za jeden z pedpoklad úspchu vytvoení dobrého modelu, jeho diagnostiky a prognózy výsledk. Pro názornost je uveden pohyb parametru o ±0% vzhledem k pvodn zvoleným hodnotám. Zvýšení koeficientu rstu populace obti ( 1 ) vede k zvtšení amplitudy obou kivek popisujících velikosti populací. Intuitivn lze tuto skutenost popsat tak, že populace obti roste rychleji, což vede k jejímu rozšíení a zárove dochází i rstu populace

111 dravce v závislosti na dostatku potravy. Naopak snížení 1 vede k opanému jevu: ob populace nedosahují tak velkého rozšíení. Oba grafy vývoje populace je možné vidt na obrázku 4. Obr. 4: Vývoj populací pi zmn 1 (vlevo 1 = 0.8, vpravo 1 = 1.) Podobný efekt zpsobí i zmna pomru potu zabitých jedinc obti na velikosti populace predátora ( 1 ). Zmenšení 1 je ekvivalentní zvtšení 1 respektive zvtšení 1 je ekvivalentní zmenšení 1 Zmna koeficientu vymírání dravce ( ) se zmnou pomru rstu populace dravce ( ) v závislosti na velikosti populace obti (potenciální potravy) souvisí podobn. Pomalejší vymírání dravce vede k jeho vtšímu rozšíení (neumírá tolik jedinc) na úkor populace obti stejn tak pi rychlejším rstu populace dravce vzhledem k potu zabitých obtí. Rychlejší vymírání nebo pomalejší rst populace dravce vzhledem k potu zabitých obtí má opaný efekt jak ukazuje obrázek 5. Obr. 5: Vývoj populací pi zmn a (vlevo = 0.004, vpravo = 0.06) Jak je vidt z uvedených graf, zmna jednoho parametru je ekvivalentní zmn libovolného jiného parametru v uritém smru o stejnou pomrnou ást

112 4. Závr Ukázali jsme jak probíhá vývoj matematického modelu od samotného poátku, kdy definujeme modelovaný systém a jeho nejdležitjší cíle. Dále vytvoení modelu pomocí již existujících model nebo nadefinování nového, jeho implementace a ešení v systému poítaové algebry Maple. Dále jsme jeho grafický výstup použili k další analýze modelovaného problému a na základ této analýzy jsme definovali další zpesnní modelu a opakovali celý vývojový cyklus. V závrené ásti byla provedena analýza citlivosti jednotlivých parametr, která ukázala, že zmny jednotlivých parametr jsou ekvivalentní se zmnou libovolného druhého parametru ve správném smru. Literatura [1] BARNES, B., FULFORD, G.: Mathematical Modelling with Case Studies: A Differential Equation Approach Using Maple. T&F STM, [] TAKEUCHI, Y.: Global Dynamical Properties of Lotka-Volterra Systems. World Scientific Publishing Company, [3] CAPASSO, V., BAKSTEIN, D.: An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes Theory, Models, and Applications to Finance, Biology, and Medicine. New York: Springer, [4] SALTELLI, A., TARANTOLA, S., CAMPOLONGO, F., RATTO, M.: Sensitivity Analysis in Practice: A Guide to Assessing Scientific Models. Wiley, [5] SALTELLI, A., CHAN, K., SCOTT, E. M.: Sensitivity Analysis. Wiley,

113 MATEMATICKÝ MODEL LÁZŇOVÉHO PRANÍ HOLINY A KOMPLEXNÍ ZPRACOVÁNÍ JEHO CHARAKTERISTIK SYSTÉMEM POČÍTAČOVÉ ALGEBRY Hana Charvátová 1, Dagmar Janáčová, Miloslav Fialka 3 Abstrakt Proces lázňového praní holiny, který je nedílnou součástí modelování a řízení zpracovatelských procesů přírodních polymerů, je z ekonomického hlediska velmi nákladný, neboť se při něm spotřebovává značné množství prací kapaliny, tj. vody a elektrické energie. Proto se v současné době hledají cesty pro jeho optimalizaci. Tento příspěvek popisuje matematický model lázňového praní holiny vodou zpracovaný systémem počítačové algebry Maple. Podrobně rozebírá vliv jeho statických i dynamických charakteristik na časový průběh vypírání hydroxidu vápenatého z holiny při tomto procesu. Klíčová slova Matematický model, lázňové praní, koncentrační pole, odvápňování holiny, systém Maple. 1. Úvod Z hlediska uspořádání lze odvápňovací systémy rozdělit na průtočné a neprůtočné, které v praxi převládají, neboť se při jejich použití spotřebovává menší množství vody, a tudíž jsou z ekonomického hlediska výhodnější. Z tohoto důvodu v tomto příspěvku popisujeme matematický model odvápňování holiny vodou v neprůtočném systému, který bude v našem případě představovat lázňové praní holiny vodou.. Matematický model lázňového praní V tomto procesu se pevná fáze holina ponoří do většího objemu prací kapaliny v jednom cyklu, přičemž kapalina voda během procesu do zařízení nepřitéká ani z něj neodtéká. Při sestavení modelu prostého odvápňování holiny pro případ lázňového praní prozatím předpokládejme, že obsah hydroxidu vápenatého v holině je nižší než jeho rozpustnost ve stejném objemu čisté vody při dané teplotě, a že vliv okrajů na difuzi uvnitř vzorku holiny lze zanedbat. Za uvedených předpokladů můžeme prostorově jednorozměrný model operace lázňového praní vzorku holiny vodou vyjádřit difuzním modelem transportu vypíraného vápníku uvnitř vzorku holiny pomocí parciální diferenciální rovnice (1) parabolického typu s následujícími doplňujícími podmínkami, které zajistí existenci a jednoznačnost 1 Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav automatizace a řídicí techniky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, charvatova@ft.utb.cz Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav automatizace a řídicí techniky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, janacova@fai.utb.cz 3 Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav matematiky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, fialka@fai.utb.cz

114 řešení níže popsané úlohy. Řešením modelu bude koncentrační pole c(x, t) vápníku + G = x, t R R 0 x b, t >0. na polopásové oblasti ( ) { } Chceme tedy nalézt funkci c(x, t), která vyhovuje počátečně okrajové úloze c D x c c = + t t A (1) Ac c A = () Bc +1 ( x 0) c p c, = (3) c x c x ( 0 t ) = 0, (4) ( b, t) ε c ( t) c 0 = (5) = V0 dc0 D S dt t (6) ( b, t) () ( 0) 0 c. (7) 0 = Rovnice (1) je rovnicí pro vnitřní difuzi, tj. difuzi vápenatých iontů ze vzorku holiny směrem do vodní lázně. Vyjádření posledního členu pravé strany rovnice (1) závisí na mechanizmu desorpce prané složky z pevné fáze. Za předpokladu, že určující rychlostí je difuze, je možno závislost c A (vázané složky) na koncentraci nevázané složky c vyjádřit z některých vztahů pro sorpční izotermu. V našem případě jsme volili Langmuirovu izotermu, jejíž kvantitativní vyjádření je dáno vztahem (). Počáteční podmínka (3) znamená, že při začátku praní je rozdělení koncentrace v pevné fázi, tj. vzorku holiny konstantní. Vztah (4) je Neumannova okrajová podmínka a značí, že koncentrační pole v pevné fázi je symetrické. Vztah (5) je Dirichletova okrajová podmínka a je matematickým vyjádřením předpokladu dokonalého míchání lázně. Rovnice (6) je bilanční a udává, že rychlost sdílení hmoty prané složky na povrchu pevné fáze je rovna akumulaci této složky v lázni. Vztah (7) vyjadřuje, že pro lázňové praní používáme čistou vodu vzhledem k prané složce v holině. Přijmeme-li nyní další předpoklad, že uvažovaná koncentrace c(x, t) vápníku bude velmi nízká, tj. B c << 1, můžeme vymezit oblast, kdy má sorpční izoterma lineární tvar, čímž se vztah () zjednoduší na tvar a systém rovnic (1 7) se stane lineárním c A c c D * = 0 t x ( = A c (8) * D kde konstanta D = ). (9) 1+ A Pro velké koncentrace, kdy B c >> 1, dostáváme, že c A = A B, což je maximální hodnota koncentrace sorbované složky, nazývaná někdy sorpční kapacita pevné fáze. Pro zjednodušení řešení rovnice (9) s doplňujícími podmínkami (3 7) zavedeme bezrozměrné veličiny:

115 c C =, c p C c 0 =, 0 b ( 1+ A ) c p F = D t o, x X =, b V =. V N a 0 Analytické řešení lze získat Laplaceovou transformací. Výsledné řešení zapsané pomocí bezrozměrného koncentračního pole C ( X, F o ) v holině má tvar C ( X, F ) ε ( 1+ A) ( 1+ A) + ( X qn ) exp( Fo qn ) cos o = Na, (10) ε N a n= 1 ε ( ) ( ) ( 1+ A) ε 1+ A cos qn sin ( qn ) Na qn sin( qn ) q kde q n je n-tý kladný kořen následující transcendentní rovnice N a q n = tan( q) ε ( 1+ A). (11) Nyní uvedeme označení a názvy symbolů, které používáme v textu. Symbol Název symbolu Měřicí jednotka V objem pevné fáze, tj. vzorku holiny m 3 V 0 objem prací vody jakožto odvápňovacího činidla m 3 t čas s c objemová koncentrace Ca(OH) v holině kg m -3 c 0 objemová koncentrace Ca(OH) v lázni kg m -3 c p počáteční koncentrace Ca(OH) v holině kg m -3 D efektivní difuzní koeficient vymývané složky z pevné fáze m s -1 D * modifikovaný difuzní koeficient (lázňového praní) m s -1 x souřadnice polohy m b poloviční tloušťka holiny m ε porozita (je poměr objemu pórů k objemu vzorku holiny) 1 N a námokové číslo (je podíl V 0 / V ) 1 q n n-tý kořen jisté transcendentní rovnice 1 A rovnovážná konstanta sorpce (z Langmuirovy izotermy) 1 B konstanta z Langmuirovy izotermy m 3 kg -1 S obsah plochy vzorku holiny z jedné strany m F o Fourierovo kritérium (bezrozměrný čas) 1 C bezrozměrná objemová koncentrace Ca(OH) v holině 1 C 0 bezrozměrná objemová koncentrace Ca(OH) v lázni

116 X bezrozměrná prostorová souřadnice 1 3. Parametry ovlivňující průběh lázňového praní Celkové množství vápenaté složky v daném odvápňovacím systému lze vypočítat jako součet množství hydroxidu vápenatého volného a vázaného v holině a množství vápenatých iontů, které přešly do lázně cs V = c A V + c { V + c0 V celkové množství vápníku množství vápníku vázaného ve vzorku množství volného vápníku ve vzorku množství vápníku v odvápňovac prostředku ím Pro časový průběh lázňového má velký vliv síla vazby A, kterou se vypíraný hydroxid vápenatý váže na kolagenová vlákna. Sílu vazby lze zjistit stanovením sorpční izotermy, tj. závislostí rovnovážné koncentrace vypíraného hydroxidu vápenatého v pevné fázi na jeho rovnovážné koncentraci v lázni znázorněné na obr. 1, přičemž pojem rovnovážná koncentrace označuje takovou koncentraci, která se nemění s časem při konstantních podmínkách experimentu. Obr. 1 Obecná sorpční izoterma V části C grafu závislosti c A versus c, která přísluší intervalu J C () c nezávisle proměnné c, je vypíraná složka volná (neváže se), v intervalu J A B ( c ), jenž mu předchází, a který je sjednocením dvou částečných intervalů J A ( c ), J B () c, je vypíraný hydroxid vápenatý vázán na pevnou fázi. V intervalu J A B ( c ) lze vymezit částečný interval J A ( c ), v němž je sorpční izoterma prakticky lineární, přičemž konstanta úměrnosti (rovnovážná konstanta sorpce) charakterizuje sílu vazby. Síla J A c proces praní. vazby dovoluje do značné míry určit, jak účinný je v intervalu ( ) Obr. znázorňuje dvě rozdílná koncentrační pole C ( X, F o ) v holině pro případ, kdy se v ní hydroxid vápenatý neváže a v případě, kdy je za stejných podmínek vázán na kolagenová vlákna

117 A = 0, t [ s, 40s] C 0, 0,054 C 0, 1,004 = 0, ( ) ( ) 630 A = 100, t [ 00 s, 40580s] C 0, 0,054 C 0, 1,004 = 0, ( ) ( ) 013 Obr. Porovnání koncentračních polí v holině zpracovaných systémem Maple pro proces vypírání volného hydroxidu vápenatého (vlevo) a vázaného hydroxidu vápenatého (vpravo) z holiny vodou za stejných podmínek Je zřejmé, že v případě, kdy je vápenatá složka silně vázána, bude vypírání vodou málo účinné, a tedy je nutné použít pro odvápňování chemické odvápňovací prostředky. Dalším parametrem, který ovlivňuje časový průběh vypíraní hydroxidu vápenatého z holiny je námokové číslo N a udávající v našem případě poměr objemu prací vody k objemu vzorku holiny, tj. udává bezrozměrnou spotřebu prací vody. Z obr. 3 je patrné, že zvýšením námokového čísla je možné zefektivnit proces lázňového praní holiny vodou. Zároveň však rostou ekonomické náklady, a proto připomeňme, že se v praxi provádí odvápňování při nízkých hodnotách N a. N a = 1, t [ 70 s, 3954s] C 0, 0,067 C 0, 0,979 = 0, ( ) ( ) 017 N a = 3, t [ 70 s, 3954s] C 0, 0,067 C 0, 0,979 = 0, ( ) ( ) 05 Obr. 3 Vliv námokového čisla na efektivitu lázňového praní

118 Důležitým faktorem je také efektivní difuzní koeficient, který je ukazatelem mechanického účinku pracího zařízení. V případě nedokonalého míchání dochází k jeho výraznému snížení. Vliv nedokonalého styku kapalné a tuhé fáze se projeví v okrajové podmínce, která popisuje nedostatečný přestup hmoty mezi fází kapalnou a pevnou, což by se v našem případě projevilo změnou okrajové podmínky (5) za následující Newtonovu okrajovou podmínku c x 1 1+ A ( b, t ) = [ ε c () t c( b, t )] 0. (1) Praktický důsledek nedokonalého míchání při lázňovém praní spočívá v tom, že stoupne spotřeba elektrické energie na pohon pracího zařízení, neboť se prodlouží doba procesu. Časový průběh lázňového praní závisí samozřejmě také na teplotě prací vody a na vlastnostech holiny, především na jeho tloušťce a porozitě definované jako poměr objemu pórů k objemu vzorku holiny. 4. Závěr Časový průběh lázňového praní holiny vodou je závislý na řadě parametrů. Vliv jednotlivých veličin je možné zkoumat různými laboratorními technikami. Jejich použití je však většinou časově náročné. V současné době se však nabízejí výkonné softwarové prostředky, kterými lze tento výzkum ve vhodných případech doplnit o graficky atraktivní výstupy a získat tak základní údaje o časovém průběhu procesu blízkého reálnému stavu a to v krátké odezvě na vstupní data. Z tohoto důvodu jsme v systému Maple sestavili program umožňující přehledně sledovat vliv vstupních charakteristik procesu lázňového praní holiny na jeho modelování. Poděkování Tato práce byla podporována Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy České republiky výzkumným záměrem MSM Modelování a řízení zpracovatelských procesů přírodních a syntetických polymerů. Literatura [1] KOLOMAZNÍK, K. Analýza dynamických systémů. 1.vyd. Skriptum, Brno: VUT v Brně, určeno pro FT ve Zlíně, 1988, 13 s. [] KOLOMAZNÍK, K. Modelování zpracovatelských procesů. 1.vyd. Skriptum, Brno: VUT v Brně, určeno pro FT ve Zlíně, 1990, 191 s. ISBN [3] KEVORKIAN, J. Partial differential equation. New York: Springer Verlag, 000. ISBN [4] LYNCH, S. Dynamical systems with applications using Maple. Boston: Birkhäuser, 000. ISBN [5] MRAZÍK, M. Koželužská technologie. Praha: SNTL, [6] SHARPHOUSE, J. H. Leather technician s handbook. Northampton: Leather Producers Association, ISBN [7] TOCCI, CH., ADAMS, S. Applied Maple for Engineers and scientists. London: Artech House ISBN

119 MOŽNOSTI SYSTÉMU MAPLE PŘI VIZUALIZACI EVOLUČNÍCH MODELŮ A JEHO POUŽITELNOST NEJEN VE ZPRACOVATELSKÝCH TECHNOLOGIÍCH Hana Charvátová 1, Miloslav Fialka Abstrakt Autoři hodnotí možnosti systému Maple pro tvorbu animovaných evolučních modelů ve zpracovatelských technologiích. Popisují postup, kterým sestavili program generující v Maple animovaný model lázňového praní holiny vodou. Klíčová slova Systém Maple, evoluční animovaný model lázňového praní, odvápňování holiny, systém Maple, grafické nástroje. 1. Úvod Systém počítačové algebry Maple obsahuje řadu grafických nástrojů určených pro tvorbu statických i animovaných obrázků v D a 3D projekci. Tyto nástroje jsme se rozhodli použít pro sestavení animovaných evolučních modelů určených pro zobrazení zpracovatelských procesů přírodních polymerů. V následující části tohoto příspěvku podrobně popisujeme program určený pro vizualizaci časového průběhu lázňového praní holiny vodou, jenž jsme vytvořili.. Tvorba animovaného modelu lázňového praní holiny vodou Náš animovaný evoluční model lázňového praní holiny vodou je složen ze tří vzájemně se doplňujících animací v D a 3D projekci. Každou animaci tvoří 40 snímků zobrazujících odvápňovací proces ve zvolených časových krocích. Matematické vztahy, které jsme použili pro sestavení modelu, uvádíme v našem dalším příspěvku [] této konference. Program je vytvořen tak, aby automaticky sestavil animovaný model časového průběhu lázňového praní holiny vodou v bezrozměrném tvaru ze vstupních hodnot, jež mu zadáme. Tyto hodnoty je nutno zapsat do příslušných příkazů, které jsme umístili kvůli přehlednosti na začátek zdrojového programu. Časový interval určujeme volbou času počátku procesu a kroku pro jeho zvyšování. Po zadání vstupních hodnot již stačí zvolit na panelu nástrojů ikonu execute worksheet a systém Maple začne automaticky vytvářet model. Program nejprve provede numerický výpočet deseti kořenů transcendentní rovnice, jejichž hodnoty je nezbytné dosadit do vztahu pro výpočet bezrozměrné koncentrace. Poté vypočítá pro jednotlivé okamžiky příslušné hodnoty Fourierova kritéria a příslušné hodnoty bezrozměrné koncentrace ve středu i na povrchu holiny. 1 Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav automatizace a řídicí techniky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, charvatova@ft.utb.cz Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ústav matematiky, Nad Stráněmi 5411, Zlín, fialka@fai.utb.cz

120 V další části procedury program vygeneruje animovaný model příčného řezu odvápňovanou holinou, v němž sytost zvolené barvy představuje koncentraci vápenatých iontů v příslušném časovém okamžiku. Přestože výsledná animace znázorňuje vzorek pouze v D projekci, konkrétně rovinou OXZ, kde X je bezrozměrná tloušťka a Z bezrozměrná výška vzorku holiny, vytvořili jsme ji ve skutečnosti v 3D grafice. Tuto možnost jsme volili proto, abychom mohli použít parametr color potřebný pro vybarvení vzorku ve tvaru, se kterým lze v systému Maple pracovat pouze při vybarvování 3D objektů. V našem případě jsme tedy parametr color použili ve tvaru color=color(rgb,r,g,b), kde r, g, b, vždy představují hodnotu nebo funkci dvou proměnných, jejíž hodnota musí patřit do intervalu [0, 1], přičemž 0 vždy představuje nejsytější odstín příslušné barvy a hodnota 1 naopak odstín nejsvětlejší. Při vybarvování objektu jsme postupovali tak, že jsme si nejdříve zvolili požadovanou barvu, a za zbylé dvě barvy jsme volili jako hodnoty 0. Aby číselná hodnota koncentrace C padla vždy do intervalu [0, 1], bylo nutno ji transformovat lineárním vztahem, který jsme si odvodili. Požadovavanou barvu je samozřejmě možné vytvářet mísením dvou, popř. všech tří barev, přičemž opět použijeme výše uvedený postup. Program následně vytvoří druhou část vizualizovaného modelu, která představuje vývoj koncentračního pole C v holině v závislosti na bezrozměrné tloušťce X. V této části animace jsou postupně vykreslovány příslušné křivky v D projekci. Tyto křivky zobrazují rozložení koncentrace vápenaté složky v holině v příslušném časovém okamžiku, což umožňuje sledovat úbytek koncentrace v konkrétních číselných hodnotách. Křivka odpovídající rozložení koncentrace v daném okamžiku je vždy zvýrazněna jinou barvou, která ji viditelně odlišuje od ostatních křivek vykreslených v předešlých časových krocích. Poslední část našeho programu má za úkol sestavit statický 3D model koncentračního pole vápenaté složky v holině, na němž probíhá barevně odlišná křivka znázorňující koncentraci vápníku v holině v příslušném okamžiku. Současně s touto křivkou probíhá na ose F o další křivka poskytující informace o aktuální hodnotě bezrozměrného času F o. Abychom mohli sledovat všechny tři výše popsané animace současně ve vhodném prohlížeči, musí být převedeny ze zdrojového mapleovského souboru. Maple provádí export animací do formátu GIF. Tento systém však bohužel neumožňuje nastavit všechny potřebné parametry, především pro časování (rychlost) výsledné animace. Z tohoto důvodu jsme použili pro její úpravu grafický editor GIMP, v němž jsme provedli uvedené časování a ořez animací. Do zdrojového souboru jsme zároveň vložili příkaz plotsetup s příslušnými parametry, který umožňuje vyexportovat požadované snímky animovaných obrázků do zvoleného grafického formátu (v našem případě do postscriptu), čímž získáme v případě potřeby obrázek vhodný pro tisk. Nevýhodou systému Maple je skutečnost, že nemá dostatečně propracovaný nástroj určený pro popis os. Nabízí se zde pouze podle našeho názoru nevhodný parametr labels, do nějž je možné vepsat požadovaný symbol či text. Maple je pak automaticky umístí k příslušným osám. Toto umístění je však ve většině případů naprosto nevyhovující nebo dokonce zavádějící

121 Při popisu os u 3D objektů totiž může nastat situace, při které dojde pro určité natočení souřadnicových os mezi sousedními osami k záměně popisů. Z tohoto důvodu jsme pro popis os použili příkaz textplot (textplot3d), v němž jsme podle potřeby zvolili umístění příslušného symbolu pro popis příslušné osy. Další nepříjemnou skutečností je, že systém nepodporuje matematický popis objektů. Proto není možné vepsat do statického či animovaného obrázku např. některé v matematice běžně užívané symboly, rovnice ve tvaru zlomku, horní či dolní index apod. V případě popisu osy F o jsme museli použít samostatný příkaz textplot pro vepsání písmene F a poté použít nový příkaz pro vepsání písmene o, aby bylo výsledné označení v souladu s Českou technickou normou [1]. Výše zmíněný popis je samozřejmě možné provést dodatečně u objektu po jeho exportu do požadovaného formátu. To lze realizovat poměrně snadno u statických obrázků. V případě animovaných obrázků je však tento postup časově dosti náročný. Z didaktického hlediska jsme také považovali za vhodné označit orientaci příslušných os šipkami. Bohužel ani pro tento účel nemá Maple vytvořený nástroj. Proto jsme šipky vytvořili tak, že jsme na konce os vždy umístili pomocí příkazu arrow vektor či polygon příkazem polygonplot (polygonoplot3d) požadovaného tvaru. Toto řešení však není dokonalé, protože pokud si vymezíme prostor v němž se má objekt zobrazit pomocí intervalu, tj použijeme parametr view, jsou osy systémem automaticky vždy umístěny na dolní či horní hranici těchto mezí. V důsledku toho část vektoru či polygonu, která leží mimo tento interval, není možné zobrazit. Jako alternativní řešení tohoto nedostatku se opět nabízí možnost vytvořit šipky ve vhodném grafickém editoru, což je ovšem stejně jako v předchozím případě z časového hlediska velmi nevýhodné. Obr. 1 Ukázka snímku animovaného modelu lázňového praní holiny vodou

122 3. Závěr Pro sestavení prezentovaného programu určeného pro generování animovaného modelu procesu lázňového praní holiny vodou jsme použili grafické nástroje systému počítačové algebry Maple. Vlastnosti vybraných nástrojů a vhodnost jejich použití jsme podrobně rozebrali v hlavní části tohoto příspěvku. Obecně lze říci, že velká část z těchto nástrojů je pro výše zmíněný účel vhodná. Postrádali jsme však nástroje pro přesné zobrazení orientovaného souřadnicového systému i nástroje pro popis matematických znaků a značek korespondujících s Českou technickou normou [1]. Program je možné podle potřeby modifikovat a využít pro modelování dalších procesů přírodních polymerů. Jednotlivé snímky animovaného modelu je navíc možné převést ze zdrojového souboru systému Maple do vhodného grafického formátu a následně použít k tisku. Poděkování Tato práce byla podporována Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy České republiky výzkumným záměrem MSM Modelování a řízení zpracovatelských procesů přírodních a syntetických polymerů. Literatura [1] ČSN ISO Veličiny a jednotky část 11: Matematické znaky a značky používané ve fyzikálních vědách a v technice. Praha: Český normalizační institut, 1999, 7 s. [] FIALKA, M., CHARVÁTOVÁ, H., JANÁČOVÁ, D. Animace matematického modelu difuzního procesu při odvápňování holiny vytvořená systémem Maple. In Matematika v inženýrském vzdělávání. Mutěnice: UTB ve Zlíně a ČVUT v Praze, 006. [3] CHARVÁTOVÁ, H., FIALKA, M. Modelování matematických funkcí systémem Maple v D a 3D pro PC projekci včetně animací. Univ. S. Boh. Dept. Math. Rep. ISSN , 005, Ser. Vol. 13, No. 1, s [4] LYNCH, S. Dynamical systems with applications using Maple. Boston: Birkhäuser, 000. ISBN [5] SHARPHOUSE, J. H. Leather technician s handbook. Northampton: Leather Producers Association, ISBN [6] TOCCI, CH., ADAMS, S. Applied Maple for Engineers and scientists. London: Artech House ISBN

123 ZMNY V TERCIÁRNÍM VZDLÁVÁNÍ A VE VÝZKUMU JAKO VÝZVA PRO MATEMATIKY František Ježek 1 Abstrakt: Píspvek je pohledem na zmny v oblasti terciárního vzdlávání zejména v souvislosti s boloským a lisabonským procesem a na dsledky tchto trend ve vyuování matematiky na vysokých školách technických. Diskutovány jsou možnosti zmn obsahu vysokoškolské matematiky i forem vzdlávání z hlediska výstupních kompetencí technik. Úvaha je doplnna o konkrétní zkušenosti ze Západoeské univerzity v Plzni. 1. Úvod V komunit matematik psobících na vysokých školách technických nevládne nadšení z provádných zmn. Boloský proces se jeví nap. jako viník klesajícího potu vyuovacích hodin vnovaných uitelem oblíbené partii. Tento píspvek vychází z motta Zmna mže být velmi nepíjemná, pokud jsem jejím pasivním adresátem, ale tatáž zmna mže být snesitelná až píjemná, jsem-li jejím architektem i implementátorem. Ovšem vtšina zmn v dnešním svt není proveditelná jednoduchým peskupením komponent. V pípad vysoké školy tedy zmna není proveditelná jen perovnáním pedmt bez závažné zmny jejich obsahu a forem práce student. Opt si dovolím uvést motto (dle O. Pytely) Studijní plány nejsou kompost, nejsou tím lepší, ím astji se pehazují.. Zmny v oblasti terciárního vzdlávání.1. Boloský proces Pro a pro koho se zmna zahájená Boloskou deklarací provádí? V em tkví zdroje skepse k tomuto procesu i projektu? Jaký je dopad na teoretické základy studia technických obor, zejména na matematiku? Cílem boloského procesu je pedevším otevení terciárního sektoru vtší ásti populace (zpravidla na více než 50 %), zvýšení prostupnosti mezi studijními programy, vtší možnosti mobility a také naplnní konceptu celoživotního vzdlávání, tedy rozložení studia do nkolika etap v prbhu života. Je zejmé, že prvotn by pízniv mla tato zmna psobit na studenty. Pro zamstnavatele tento model pináší pestejší nabídku kvalifikací, kterou v této fázi implementace boloských myšlenek teprve objevují. Je nesporné, že pro vysoké školy je pínos daleko nejmén, ale to je zejm logické. Vysoké školy jsou v tomto ohledu v pozici instituce veejné služby. Mnohé problémy s uplatnním boloského modelu vyplývají z jeho okleštní na problém strukturace studia na bakaláský a magisterský stupe. Nejvtší problémy vznikly tam, kde již latentn existovalo naptí mezi šíí a kvalitou teoretického základu a reálnými potebami studijního programu (strojní inženýrství, informatika apod.), resp. pedstavami jeho pedstavitel. Pak se boloský proces stal nástrojem pro prosazení zmn, které s tímto procesem vlastn nesouvisejí. Ovšem za deformování 1 Západoeská univerzita v Plzni, Univerzitní 8, Plze, JEZEK@KMA.ZCU.CZ

124 struktury vzdlávání, v nmž skuten mnohde vítzí pragmatické škrtání ped úvahou o vazbách a dsledcích, nemže boloský model. Je zajímavé se v této souvislosti podívat, jak výrazn se liší matematické kurikulum stejnojmenných studijních program na rzných vysokých školách. Boloský proces má ovšem i zcela zejmý dopad na stední školství. Dominantní proud, kterým je (ke škod vysokého technického školství) stední odborné školství, se dostává logicky do složité situace. Vtšina zamstnavatel není ochotna pijmout absolventa stední školy, zejména ne ve vku 19 let, kdy je nezralý a pro pracovní trh velmi tžko využitelný. ešení situace stedních odborných škol pomocí masivního zakládání vyšších odborných škol problém nevyešilo, nebo šlo do jisté míry a na mnoha místech o pragmatický pokus o zajištní práce pro stávají personál stední školy. Pokus se zavedením státní maturity a rámcových vzdlávacích program by ml být chápán v souvislosti s boloským procesem ve vysokém školství. Pak se tyto reformní kroky jeví mén sporné a dokonce možná i jako správné a nutné... Lisabonská strategie Je Evropská unie a eská republika schopna naplnit ambice lisabonské strategie? Jaké zmny jsou nutné ve vysokoškolském vzdlávání? Pro vysoké školství pedstavuje lisabonská strategie velkou výzvu a spolen bychom si mli pát, aby Evropská unie nerezignovala na její ambici, totiž dovést evropský prostor k vyšší atraktivit a konkurenceschopnosti cestou investic do výzkumu a vývoje a široce dostupného vzdlávání pi zvýšení sociální soudržnosti tohoto prostoru. Lisabonská strategie uvádí cíl, který má zásadní význam pro vysoké školy, zejména pak v zemi, jako je eská republika, totiž do roku 010 využívat alespo 3 % HDP ve prospch výzkumu a vývoje. Je ovšem nutné zdraznit, že vtší ást tohoto vkladu by mla pocházet ze soukromého sektoru ( % HDP). Pipravované programy na podporu výzkumu, vývoje a inovací ze strukturálních fond jsou neopakovatelnou šancí pro vysoké školy a zárove pro rozvoj region. Jedním z výrazných problém eské republiky je totiž vysoká koncentrace vzdlávacích a výzkumných kapacit do dvou lokalit (Praha a ásten Brno) viz [3]. Tuto skutenost musely respektovat materiály pipravované pro orgány EU a v programovacím období dojde k zásadním rozvoji kapacit mimo Prahu. Celkové mimoádné a jednorázové investiní výdaje do oblasti výzkumu a vývoje a terciárního vzdlávání mžou dosáhnout pi zapotení prostedk plynoucích z partnerství s podnikovým sektorem až k hranici 100 mld. K..3. Hlavní ukazatele Jaké jsou hlavní charakteristiky eské republiky v porovnání se zemmi EU z hlediska vývoje vysokých škol a lidských zdroj pro konkurenceschopnost? Jaká je struktura absolvent vysokých škol? Základní údaje vycházejí ze zdroj [1], [], [4] a [6] a jsou shrnuty v tabulce 1. Z tchto údaj a z údaj týkajících se podpory a úspšnosti výzkumu a vývoje se pokusíme v závru vyvodit doporuení pro výuování matematiky na vysokých školách

125 Ukazatel R EU-15 EU-5 Zdroj Obyvatelstvo ve vku 5-64 let se SŠ vzdláním (%) Obyvatelstvo ve vku 5-64 let s terciárním vzdláním (%) Obyvatelstvo ve vku 5-9 let s terciárním vzdláním (%) Matematická gramotnost - ve vku 15 let (poadí mezi 1 zemmi OECD) Využívání internetu ve vkové skupin 16-4 let (%) Absolventi pírodovdných a technických obor ve vkové skupin 0 9 let (%) Tab EUROSTAT EUROSTAT Viz [] OECD SU 005 5,7 1,4 11,3 Viz [1] Z tabulky 1 a z dalších podklad lze vyvodit následující hypotézy: 1. Celková gramotnost obyvatelstva je velmi dobrá, velká ást populace má stedoškolské vzdlání.. S vysokou gramotností je v rozporu celkové nízké procento obyvatelstva s terciárním vzdláním, navíc tento stav je v podstat reprodukován i u mladé generace. 3. Mladá populace vykazuje relativn vysokou matematickou a pírodovdnou gramotnost, ale procento osob s terciárním vzdláním v této oblasti je nízké. 3. Zmny v oblasti výzkumu a vývoje 3.1. Hlavní ukazatele vývoje Jaká je pozice R v oblasti podpory a výsledk výzkumu a vývoje? Které obory jsou na srovnatelné úrovni se svtovým a evropským mítkem? Platí co ech to výzkumník? Jak odstranit zásadní regionální rozdíly v podpoe výzkumu a vývoje? Ukazatel R EU-15 EU-5 Zdroj Veejné výdaje na výzkum a vývoj v roce 004 (% HDP) Celkové výdaje na výzkum a vývoj v roce 004 (% HDP) Celkové výdaje na výzkum a vývoj v roce 004 pepotené na obyvatele pomocí parity kupní síly (USD) Podíl celkový prostedk na výzkum a vývoj využitých na vysokých školách (%) Pepotený poet výzkumných pracovník na 1000 obyvatel v roce 004 Tab. 0,53 0,66 0,64 OECD 005 1,8 1,94 1,85 OECD ,7 531,8 46,6 OECD ,8 1,9,0 OECD 005 3, 5,9 5,5 OECD 005 Vysoké školy se postupn dostávají od redukce jejich funkce na roli vzdlávací k naplnní standardního modelu, v nmž se kombinuje jejich vzdlávací funkce s funkcí

126 výzkumnou. Nov se mluví i o roli veejné služby, tedy psobení vysokých škol jako expertního a poradenského zázemí, prostedí pro zakládání inovativních firem cestou spin-off apod.. Z toho lze mimo jiné odvodit i zásadní regionální význam vysokých škol. V tabulce jsou uvedeny základní charakteristiky národního prostoru výzkumu a vývoje. Klíovým problémem je nepijatelná regionální nevyváženost, která se pak projevuje v rzných šancích na lepší konkurenceschopnost i zamstnanost. Tyto údaje dokumentuje tabulka 3. Pokud provedeme oborové porovnání výsledk výzkumu nap. pomocí citaního indexu, zjistíme tabulka 4, že oblast matematiky a technických vd patí mezi obory, které velmi dobe reprezentují eskou republiku. Vtšina údaj je erpána z [1]. Kraje (region NUTS 3) / druh výdaje celkové veejné celkové veejné celkové veejné Hl. m. Praha 34,5% 58,3% 36,8% 60,9% 37,9% 58,0% Stedoeský kraj 5,8% 6,0% 1,6% 6,5% 0,6% 8,3% Jihoeský kraj,9% 4,0% 3,% 4,1% 3,3% 4,6% Plzeský kraj,8% 3,%,% 1,4%,4% 1,% Karlovarský kraj 0,3% 0,1% 0,3% 0,1% 0,3% 0,% Ústecký kraj 1,5% 0,4% 1,9% 0,4% 1,5% 0,4% Liberecký kraj,6% 0,8%,5% 1,3%,5% 0,9% Královéhradecký kraj,% 1,8%,4% 1,5% 3,4% 3,9% Pardubický kraj 3,4% 0,8% 3,9% 0,9% 3,9% 0,8% Vysoina 1,4% 0,0% 1,3% 0,0% 1,5% 0,1% Jihomoravský kraj 10,6% 16,8% 10,8% 16,% 11,3% 15,6% Olomoucký kraj 3,0%,1%,8% 1,8% 3,0%,0% Zlínský kraj 4,%,7%,8% 1,3%,% 0,5% Moravskoslezský kraj 4,8%,9% 7,5% 3,4% 6,3% 3,6% Tab. 3 Ukazatel R EU-15 Relativní citaní index za období ,69 1,05 Ekonomie a obchod - oborový citaní index ve vztahu k celosvtovému oborovému ukazateli (%) Vzdlávání - oborový citaní index ve vztahu k celosvtovému oborovému ukazateli (%) Inženýrství - oborový citaní index ve vztahu k celosvtovému oborovému ukazateli (%) Matematika - oborový citaní index ve vztahu k celosvtovému oborovému ukazateli (%) Fyzika - oborový citaní index ve vztahu k celosvtovému oborovému ukazateli (%) Tab. 4 Formulujme z uvedených údaj opt pracovní hypotézy: Podpora výzkumu a vývoje v eské republice zaostává stále za podporou vysplých zemích, by trend je zejména od roku 00 pozitivní

127 . Zásadním problémem je nízká podpora výzkumu provádného na vysokých školách, což je siln rizikovým faktorem v prostedí, kde chybí cca polovina výzkumných pracovník oproti prmru Evropské unie. 3. Je-li žádoucí, aby soukromý sektor vkládal podstatn vtší zdroje do oblasti výzkumu a vývoje, pak je nutné, aby veejné zdroje byly lépe rozmístny po území republiky. Koncentrace veejných zdroj z více než 8 % do pražské a brnnské aglomerace je jednou z píin horší spolupráce soukromého a veejného sektoru v oblasti výzkumu a vývoje. 4. Matematika a technické vdy (spolu s klinickou medicínou) pedstavují obory, které jsou v eské republice na srovnatelné svtové úrovni a mohou být zdrojem konkurenceschopnosti, resp. jím již jsou. 3.. Dlouhodobé základní smry výzkumu Podívejme se, jaké základní smru výzkumu pijala eská republika prostednictví Rady pro výzkum a vývoj. Dlouhodobými základními smry výzkumu v eské republice jsou: 1. Biologické a ekologické aspekty udržitelného rozvoje. Molekulární biologie 3. Energetické zdroje 4. Materiálový výzkum 5. Informaní spolenost 6. Konkurenceschopné strojírenství 7. Bezpenostní výzkum Pedpokládá se, že tento seznam bude rozšíen v roce 006 o téma spoleenskovdního výzkumu. Matematika v její aplikované podob nachází uplatnní prakticky ve všech uvedených smrech. Nejsilnjší podporu však lze oekávat v tématu vnovanému informaní spolenosti. Dá se ale zárove oekávat, že vzroste poptávka po matematicích, kteí pracují v oblasti diskrétní matematiky (nap. teorie graf), numerické matematiky a také geometrie. Zajímavé je porovnání tchto témat eské republiky s akcenty Evropské unie, které jsou vyjádeny ve struktue 7. rámcového programu. Téma informaní a komunikaní technologie má v tomto zásadním evropském programu nejvtší podporu (pes 9 mld. Euro). Naopak v evropském grantovém schématu nenajdeme analogii k tématu konkurenceschopného strojírenství. Ovšem je na každé zemi, aby si stanovila priority, by práv tato priorita je sporná, nebo v moderním prmyslu se stírají rozdíly mezi strojírenstvím, elektronikou, kybernetikou atd. Ostatn tuto skutenost potvrzuje píklon k termínu mechatronika na ad svtových pracoviš. 4. Výstupní kompetence technik a obsah a forma výuky matematiky Jaké kompetence oekává u absolvent technických vysokých škol praxe? Podporuje matematika svým obsahem a formami výuky utváení tchto kompetencí?

128 Pedstavitelé zamstnavatel uvádjí, že vysokoškolsky vzdlaní absolventi jsou na dobré úrovni v rovin teoretické, ale že jim zpravidla chybí organizaní a komunikaní schopnosti, jazykové kompetence a ochota pebírat odpovdnost. Tento popis stavu je logický, ale není zejmé, zda je podložen objektivizujícím przkumem (výzkumem). Úrove teoretických poznatk se zúrouje v dlouhém asovém období. Je vlastn základem pro schopnost se opakovan uit a obnovovat potenciál i výkonnost podle aktuálních poteb zamstnavatele. Vysoká škola rozhodn mže zlepšit pípravu absolvent v rovin komunikaních dovedností a zejména jazykových kompetencí (zde ve spolupráci se stedními školami), ale v ostatních položkách je nutná adaptace v prostedí firmy. Je ale nutné podotknout, že již dnes ada osvícených zamstnavatel volá po kvalit základ vzdlanosti, mezi nž matematika nepochybn patí, a tito zamstnavatelé se hlásí k odpovdnosti za další rozvoj zamstnance. Pro obsah a formy výuky matematiky lze vyslovit tato doporuení (podložená kontaktem se zamstnavateli a zejména se studenty a absolventy): a) Úloha matematiky v technických oborech se mní smrem od výpotáských dovedností k pojmovému zázemí a zázemí metod a algoritm pro jiné disciplíny. Je opravdu nutné zvážit, zda dovednosti v derivování a integrování jsou klíové pro další studium. Zdá se, že dležitý je jazyk matematiky a pochopní pojm (lineární závislost, souiny vektor, derivace, integrál atd.). Nejde však o klasické definice, ale o opravdové pochopení podstaty (asto v geometrické interpretaci). Ovšem i základní poetní dovednosti jsou nutné, ale nemohou nahrazovat práv zmínné zvládnutí pojm a jazyka. b) Výuce matematiky na vysokých školách neprospívá, je-li výrok o schopnostech studenta vynesen píliš brzy, nap. pi prvním zápotu, tedy již po tech až tyech msících. Oprávnn lze tvrdit, že pak se velice asto vyjadujeme spíše k matematické kultue stední školy, z níž student pišel. Kvalitní výuka matematiky, tedy výuka, která vede k rozvoji myšlení, a dokonce psobí studentovi (i uiteli) i jistou radost, je píliš asto nahrazována zejména ve stedním odborném školství drilem, memorováním, a dokonce aktem msty pro nevychované a zpupné jedince. Matematika je pravdpodobn používána místo rákosky tam, kde již selhaly nástroje moderní pedagogiky, resp. pesnji, kde sbor výchovné nástroje nezná i znát nechce. c) Potíže s matematikou v prvních ronících technických vysokých škol jsou velmi asto odrazem neutšeného stavu pípravy uitel stedních škol a také úrovn jejich dalšího vzdlávání. Osobn považuji za velkou chybu, když píprava stedoškolských uitel byla svena pedagogickým fakultám. Uitel stední školy by ml mít svj obor pedevším rád a ml by vit v jeho aplikaní pínos. V pípad matematiky by ml mít zkušenost s technickými i jinými aplikacemi a ml by vidt širší souvislosti, které mu umožní obhájit danou disciplínu u editele, koleg ve sboru i ped rodii a žáky. Tím nezpochybuji nutnost osvojení si postup pedagogiky a psychologie, resp. didaktiky. Zárove se domnívám, že velký dluh mají pedagogická centra a zejména vysoké školy v nabídce a realizaci dalšího vzdlávání uitel stedních odborných škol. Ovšem i pro uitele gymnázií jsou nabízeny vzdlávací akce, kde je tak málo prostoru pro aplikace, pro krásu dané disciplíny, pro podporu tvoivosti. Za to ale mžeme my, kteí psobíme na vysokých školách, by vím o mnohých upímných snahách tento stav mnit. Tuto zmnu nezajistí metodici pedagogických center a kolegyn a kolegové z pedagogických fakult

129 d) Domnívám se, že na vysoké škole je nutné sledovat pírstek znalostí studenta více než momentální stav jeho matematických dovedností. Tolerovat ale studentm nelze neochotu pracovat na zmn, resp. hledání cesty nejmenšího odporu. Otázkou je, jak toto sledování zajistit v masových ronících. Dovolím si tvrdit, že toho lze dosáhnout, ale znamená to uplatnní kvalitní informaní podpory a výrazn lepší komunikaci mezi uiteli. Chybt nesmí rovnž pedagogický optimismus, by je to opravdu tžké. Ve strukturovaném studiu máme ale šanci vidt téhož studenta v prvním a druhém roníku a pak i zpravidla ve tvrtém roce jeho studia. Je to obrovský rozdíl a snad to mže být i zdroj optimismu. e) Pijmeme-li myšlenky lisabonského procesu, má matematik na vysoké škole technické odpovdnost za úspch technik v prostoru výzkumu a vývoje. Ideální je, když doktorand, tedy osoba, která vstupuje do prostoru výzkumu a vývoje, nachází znovu cestu (zpravidla již potetí) k matematice. To, že technické katedry a jejich doktorandi tento kontakt vyhledávají, je nejvyšším ocenním naší práce. Zde ale již nelze odpednášet tradiním zpsobem píslušné partie. Je nutné vdt nco o oboru tchto osob a diskutovat o jejich potebách. Práv zde se pravdpodobn nejvíce rozhoduje o pozici matematiky, o omezování i naopak o zvtšování prostoru pro její výuku. Katedry matematiky by si mly hýkat osoby, které v tomto prostedí obstojí. f) Otázkou je, jak matematiku na vysokých školách technických vyuovat. Rozhodn je nutné nabídnout mnoho forem a dát studentovi šanci, aby si zvolil, co mu vyhovuje. Klasické pednášky podle mého názoru dokonce nabývají na významu. Zárove si dovolím tvrdit, že o jejich kvalit více než kdy jindy rozhoduje kvalita a charisma pednášejícího. Je rozhodn dobré, je-li výklad názorný, emuž napomohou technické prostedky, ale není to rozhodujícím faktorem úspchu. Metody je nutné stídat a hlavn se nestat štvancem povinného obsahu a nedostatku asu. Klasická cviení s poítáním píklad na tabuli bu uitelem, nebo jedním studentem, jsou dnes do jisté míry anachronismem Z osobní zkušenosti vím, že pokus o zmnu se rychle obrátí v požadavek student, aby se zvýšil poet hodin klasických cviení. Vyšší míra samostatné práce, innost ve skupinách a píprava prezentací student je rozhodn úinnjší, ale její uplatnní naráží v poátcích studia na nezralost student, na absenci základních pracovních návyk u vtšiny z nich, na nízkou míru odpovdnosti k ostatním apod. Snad jednou i u nás dojdeme k tomu, že nekvalitn pipravený referát jedním studentem urazí i rozzlobí zbývající studenty (jednu takovou stížnost jsem již zažil a vím, že musíme najít odvahu perušit i ukonit takové vystoupení). g) V eské republice se ron investují velké prostedky do pípravy e-learningových kurs pro výuku matematiky (odhaduji, že z rozvojových projekt a z Fondu rozvoje pjde cca o 10 mil. K, celkov za všechny disciplíny o cca 00 mil. K). Využití a pínos této investice je sporný. Jsem pesvden, že kvalitní (tedy struné a jasné) voln dostupné texty, ešené a neešené píklady, simulace a animace apod. nabízejí více, než poskytuje nákladný ucelený kurs s celým prostedím e-learningu. Velmi dobré zkušenosti jsou s vytváením diskusních skupin k ešení píklad i problém. V Plzni se velké pozornosti a zájmu student tší TRAL, což je generátor píklad ke zvolenému tématu založený na symbolických výpotech. Zajímavé je, že ada student se zajímá i o podstatu fungování tohoto systému

130 5. Závr V evropském prostoru výzkumu poroste poptávka po nové generaci výzkumných a vývojových pracovník, a to zejména v pírodovdných a technických oborech. Pechod ke strukturované podob studijních program je vhodné spojit s dávkováním matematických disciplín z hlediska obsahu a forem. Na bakaláské úrovni je nutné dosáhnout kvality v pojmovém základu pro budoucí studium, mén dležitá se dnes jeví výpotáská zrunost testovaná zpravidla na Gaussov eliminaci, derivacích a integrálech. Jsem hluboce pesvden, že vysokoškolská matematika na technikách se nemže obejít bez geometrických motivací a interpretací a bez geometrické pedstavivosti. V mnoha partiích matematiky lze použít metodu od obrázku k rovnicím a od rovnic k obrázku. Práv v takto pojaté výuce ztratí šance uení se jednotlivých píklad jako algoritm i básniek. Pokud se matematika objevuje v navazujícím magisterském studiu, je velice dležitý výbr partií a schopnost uitele vstoupit do studovaného oboru. Domnívám se, že zde by mlo být místo pedevším pro poítaov orientované kapitoly matematiky, tedy numerickou matematiku, grafové algoritmy, výpoetní složitost, geometrické modelování apod. Matematici na vysokých školách technických mají velkou odpovdnost za další rozvoj technických vd v evropském prostoru tím, že vstupují do pípravy doktorand v technických oborech. Zde by ml být prostor pro pedstavení metod vdecké práce v matematice a jejich aplikací. Vtší pínos lze oekávat od výuky formou seminá s využitím host než od uceleného klasického výkladu formou pednášky. Zde zárove vzniká prostor pro dlouhodobjší životní spolupráci technika a matematika. Tato spolupráce mže pízniv ovlivnit i kvalifikaní rst každého z vyuujících matematiky na vysoké škole technické. Literatura [1] Analýza stavu výzkumu a vývoje v eské republice a jejich srovnání se zahraniím v roce 005. Praha: Úad vlády R, 005. ISBN [] KADEÁVKOVÁ, A. a kol.: Roenka konkurenceschopnosti eské republiky. Analýza. Praha: Linde, 005. ISBN [3] Operaní program Výzkum a vývoj pro inovace. Verze k Praha: MŠMT. [4] Statistická roenka Vda a technologie. Praha: eský statistický úad, 005. ISBN [5] Thematic Review of Tertiary Education. Country Background Report for Czech Republic. Praha: Centre for Higher Education, 006. (

131 USING MATHML IN WEBMATHEMATICA APPLICATIONS Monika Kováová 1 Abstrakt: MathML is designed to allow mathematical, scientific, and other technical information to be served, received, and processed on the World Wide Web. It is an official recommendation of the World Wide Web Consortium (W3C) working group on mathematics. Users of Mathematica and also webmathematica can benefit from MathML in a number of ways. They can use MathML for documents that contain a mixture of mathematics and text, they can generate MathML dynamically on their webmathematica site, and they can use a MathML entry mechanism to enter mathematical notation into their web browser and sent this to the webmathematica for computation. We will try to explain these situation in this paper. 1. What is webmathematica Users of Mathematica and also webmathematica can benefit from MathML in a number of ways. They can use MathML for documents that contain a mixture of mathematics and text, they can generate MathML dynamically on their webmathematica site, and they can use a MathML entry mechanism to enter mathematical notation into their web browser and sent this to the webmathematica for computation. Wolfram Research Inc. has long been involved in the development of MathML, both as a founding member of the mathematics working group of W3C and as the host of the first two official MathML conferences in 000 and 00. CAS system Mathematica contains many features for working with MathML and there is strong relationship between the Mathematica typesetting system and MathML. We would like describe also relationships between webmathematica, as a environment for distributed computation via web and MathML in this paper. webmathematica enables the creation of web sites that allow users to compute and visualize results directly from a web browser. This paper will show the basics of webmathematica and how to develop material for visualization and computation. It will also show how webmathematica can use MathML and work with other MathML tools. webmathematica enables users of Mathematica in commercial, schools, research, and other institutions to provide their colleagues with online, interactive access to their Mathematica functions and packages. All of the computational power in Mathematica is available to build special calculators and problem solvers that are delivered over the web or over your corporate intranet to the specific intranet site. The development process is so simple that most Mathematica users can proceed through it without having to go through long development cycles or needing the services of dedicated developers. In many cases, all that is required is adding the Mathematica commands and a couple of simple tags to a web page. 1 Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Slovak Technical University in Bratislava, Námestie Slobody 17, Bratislava, monika.kovacova@stuba.sk

132 webmathematica is the ideal web environment for creating online courseware structured to meet the specific needs of any classroom setting. webmathematica's graphics and functions - all built upon Mathematica's intuitive programming framework - help students learn and retain more material in less time. In many cases, you can take your pre-existing Mathematica educational applications and incorporate them as webbased education tools. Thus educators can quickly build special calculators and problem solvers and deliver them online. webmathematica made it possible for us to develop algorithmic calculus tutorials and tests in MathML and to evaluate the students' answers. Using webmathematica, we can continue to add capabilities to MathML to make sure it remains the best online mathematics testing and tutorial program out there webmathematica Technology The web interaction of webmathematica is provided by a Java web technology called Java servlets. Servlets are special Java programs that run on a web server machine. Support is provided by a separate program called a servlet container (or sometimes a "servlet engine") that connects to the web server. One popular servlet container is Apache Tomcat, Essentially all modern web servers support servlets natively or through a plug-in servlet container. This includes Apache, Microsoft's IIS and PWS, Netscape Enterprise Server. Closely related to Java servlets are Java Server Pages (JSPs); both servlets and JSPs integrate very closely with webmathematica. The computation and visualization engine for webmathematica is Mathematica. Some of the useful features that make Mathematica powerful for use in web sites are: numerical and symbolic computation, visualization, programming, connectivity to other languages such as Java, the Mathematica notebook user interface (front end) and mathematical typesetting. In this paper we would like to show how to render MathML code via webmathematica, as well as some other examples and techniques. 1.. Mathematica Server Pages webmathematica is driven by a technology called Mathematica Server Pages. This involves inserting Mathematica commands into HTML pages, a form of HTML templating. These pages, called JSP scripts, are easy to write and fit well with HTML development tools such as editors. Part of a sample JSP script is shown below. <form action="expand" method="post"> Enter a polynomial (eg x+y): <input type="text" name="expr" size="10"> Enter a positive integer (eg 4): <input type="text" name="num" size="3"> <br/> <%Mathlet MSPBlock[{$$expr,$$num}, Expand[$$expr^$$num]] %> <br/> <input type="submit" name="button" value="evaluate"> </form>

133 This is all HTML except for the Mathlet tag. Its contents are computed by Mathematica on the server and the result inserted into the page. The generated page is then returned to the browser. Due to functionality of Mathematica is the same as the XML functionality in webmathematica, first of all we will investigate Mathematica s XML functionality.. Mathematica's XML functionality The latest version of Mathematica has implemented the ability to flexibly handle XML documents at a fundamental level. There are extremely close parallels between the way Mathematica and XML represent data structures. XML documents are basically tree structures, and Mathematica is, among other things, an extremely efficient processing language for tree structures. Thus, Mathematica allows us to process XML structures with ease, since we can utilize the full power of Mathematica's pattern matching language working on symbolic XML structures. Mathematica's processing capabilities for MathML are built on top of its XML handling..1 XHTML XHTML is an XML compliant form of HTML, available as an official W3C recommendation, It is very similar to HTML, except that for a document to be valid it must follow the rules of XML. To use documents that mix mathematics and text, XHTML is required. Use of XHTML is needed anyway, since the W3C intends that HTML will not be developed further. The sample XHTML document illustrated below is very similar to HTML, except for the initial XML declaration and the DTD reference. The latter can be used by an XML parser to validate that the input document is indeed valid XHTML. This demonstrates one of the benefits of XML technology. That is, a parser can validate a document, checking details such as the different tags being in the correct places and holding the correct number of arguments, without specializing in the particular flavor of XML. The reference to the DTD is not required; however, it is necessary if the document is to be validated. In case You need to use native languages, we strongly recommended page coding addition to the xml declaration - in our source code we use the western Europe coding. And the last notice: the line must be first in the source code on your pages. <?xml version="1.0" encoding="iso-8859-"?>

134 . XHTML and MathML To add mathematics and other technical notation to a text document, it is possible to write one document that contains both XHTML and MathML. A sample document follows. This could be read into a browser that provides native support for MathML and would be read as expected. Note the reference to a DTD that allows the embedding of MathML into XHTML to form an XHTML+MathML document. Unfortunately, not all browsers support MathML natively. While Mozilla, Amaya, and the most recent versions of Netscape do give native support for MathML, Internet Explorer does not. For MathML to work with Internet Explorer or older versions of Netscape, a plug-in mechanism must be used..3 Rendering XHTML and MathML Documents It was explained that the previous declaration does not work with browsers that rely on a plug-in mechanism. We will show how to write documents that will work in a wide range of browsers now

135 To support MathML in browsers using a plug-in mechanism, the document must use special tags that are relevant to the particular plug-in used. If the browser supports MathML natively, then no special tags are needed. Of course, an author does not want to produce different versions of each document specific to each rendering technology. The solution is to make use of XSLT stylesheet technology to convert the document in the browser before it is viewed. This automatically inserts any special tags that are needed for plug-ins. An XSLT stylesheet that implements this solution is available from the W3C Math site, Here is a document that uses the MathML stylesheet. By using an absolute reference to the stylesheet, documents that use the stylesheet found on the W3C site can be moved from one server to another or saved locally and continue to work. One issue with an absolute stylesheet reference is that Internet Explorer may, according to its configuration, give a warning or even reject the stylesheet altogether (leading to a failure to render the MathML). This can be solved with a relative reference to the stylesheet and by placing a copy of the stylesheet on the same server as the document. For example, the document can start as follows: <?xml version="1.0"?> <?xml-stylesheet type="text/xsl" href="/webmathematica/resources/xsl/mathml.xsl"?> This means that the stylesheet will be found at the URL /webmathematica/resources/xsl/mathml.xsl relative to the root of the server from which the document is being retrieved. If a server chooses to do this, it will work well with Internet Explorer, but it will be necessary to ensure that the server has an up-todate version of the stylesheet. It will also mean that documents will not be quite so portable when moved from one server to another. Note that the XHTML+MathML document shown above that uses the MathML stylesheet does not contain a DOCTYPE declaration. This is, of course, a limitation because the document cannot now be validated. Another consequence is the XML system that renders it will not be aware of any special entity names. The DTD is missing because Internet Explorer does

136 not accept all the entities in the MathML DTD. The solution is to use MathML which refers to numerical rather than named entities. Here is an example that uses a named entity reference, &af;. <math xmlns=' <mrow> <mi>sin</mi> <mo>&af;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> This example uses the numerical value. It is the preferred form. <math xmlns=' <mrow> <mi>sin</mi> <mo> </mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> 3. Generating MathML from webmathematica Certain webmathematica applications generate results that contain mathematical expressions suitable for formatting with MathML. This section shows how to generate MathML with webmathematica and take advantage of the rendering techniques described in the previous section.the main webmathematica documentation describes how MathML can be generated with MSPFormat using a format style of MathMLForm. The following will format the expression expr into MathML. <msp:evaluate> MSPFormat[ expr, MathMLForm] </msp:evaluate> MathML comes in two different varieties: presentation MathML specifies the appearance of the MathML whereas content MathML attempts to specify what the MathML means. Since MathML contains no general extension mechanism, the amount of information that can be encoded with content MathML is limited. However, if presentation MathML is generated from Mathematica, it will always work when sent back to Mathematica. It is also possible to use other formatting styles such as StandardForm or TraditionalForm, in which case the format type RawMathML should be selected, as shown here. The following shows how to generate presentation MathML

137 <msp:evaluate> MSPFormat[ expr, TraditionalForm, PresentationMathML] </msp:evaluate> The following generates content MathML. <msp:evaluate> MSPFormat[ expr, TraditionalForm, ContentMathML] </msp:evaluate> Tools for working with MathML typically support both content and presentation. 4. Sending MathML to webmathematica Many of the webmathematica examples provide XHTML forms for users to enter input. This imposes certain limitations; for example, the input must use a onedimensional syntax and cannot really use special characters. Further, it is often desirable to use special palettes to enter templates to be filled in. Although these are features provided by the Mathematica front end, they are not available in a web browser. Although it is not possible to provide an alternative input mechanism in a pure browser such as Internet Explorer, more powerful input features are available with a plug-in. One suitable plug-in is the Input Control, included in the WebEQ suite of tools. WebEQ is a suite of tools for building web pages that involve dynamic math

138 One suitable plug-in is the Input Control, included in the WebEQ suite of tools. WebEQ is a suite of tools for building web pages that involve dynamic math. Another is MathIWYGTM v..0. MathIWYG is a Flash application that can be embedded into any web page and requires no end-user download other than the Flash plugin. Both plug-ins can sent to webmathematica MathML code in the MathMLRaw format. Reference [1] KOVÁOVÁ M.: webmathematica dynamická matematika v prostredí www, Zborník z medzinárodnej konferencie Aplimat, Aplimat 004, Bratislava,SK, str [] KOVÁOVÁ M.: Matematika ON - LINE, Mezinárodní vdecko-odborná konference Trendy technického vzdlávání 004", Olomouc 004, R, str [3] KOVÁOVÁ M., Matematika na webe: Statická vs. dynamická matematika, Sborník z 1. semináe Moderní matematické metody v inženýrství. Ostrava 003, ISBN , str

139 Numerické řešení problému průhybu desky: Některé principy matematického modelování a jejich počítačových realizací. Ivo Marek Souhrn Je navrženo numericky velmi účinné aproximativní řešení problému výpočtu průhybu desky. Jeho přednostmi jsou jeho robustnost, přesnost a vysoká výpočtová účinnost. Výklad je veden v duchu posílení moderních trendů ve výuce studentů vysokých škol technického zaměření. 1 Úvodní poznámky Úvodem se rád přihlašuji k myšlenkám zesnulého přítele Bruna Budínského a zejména pak jeho postoji k výuce matematiky na technikách a jeho filosofickému pojetí této výuky. Nápad vrátit se k odkazu doc. Budínského patří mentorovi tohoto letošního setkání panu docentovi Jaroslavovi Černému, CSc. a je další vizitkou jeho odborných a organizátorských počinů. Rád bych též vyjasnil otázku do jaké kategorie patří tento příspěvek. Není to ani práce didaktická ani vědecko-výzkumná ani přehledový článek. Je to něco z každé z uvedených oblastí. Tedy, tak bych si představoval jeho hodnocení. Rád bych v tomto příspěvku chtěl ukázat na potřeby výuky budoucího inženýra s jeho představami a ambicemi jakož i jeho postavením v akademické a technické obci a to v nynější době, tedy době počítačové. Obsahově je má přednáška směřována na posluchače jakožto studenta techniky a teprve potom by mohl přijít na pořad jeho obor či zaměření. To, že používám modely z oboru stavebního inženýrství je zdůvodněno tím, že musím a chci být konkrétní. Můj výklad je proto veden metodou od konkrétního příkladu k obecnějšímu závěru. Přesto, že středem mého zájmu je student techniky, stává se nejbližším druhoplánovým příjemcem mých úvah učitel matematiky na školách technického zaměření. Zde jsou některé možné otázky, jež mohou být před učitele matematiky položeny Co podniknout k tomu, aby matematici, tedy učitelé matematiky, mohli být anebo raději, byli pověřováni výukou pro studenty profilových předmětů? České Vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavebního inženýrství, Thákurova 7, Praha 6, Česká republika (marek@ms.mff.cuni.cz)

140 Kdo bude vyučovat studenty technik předmětům jejichž podstatou je počítačové modelování? Učitele matematiky by nemělo uspokojovat vyučovat jen s cílem eliminovat ty méně schopné. Co učit na úrovni bakalářského studia? Co vyučovat na úrovni magisterského studia? Jak naložit se skutečností, že látky potřebné probrat v omezeném čase, je příliš? Jak zařídit, aby znalosti z matematiky potřebné pro pochopení profilových předmětů byly dostatečné, ale raději náležité? Dále ještě několik velice konkrétních otázek jako např. Mají studenti univerzit tecnického zaměření rozumět teorii Sobolevových prostorů? Nebo aspoň jak je aplikovat? V případě kladné odpovědi je tu další otázka. Co všechno je zapotřebí studentům vyložit, aby chápali potřebné souvislosti? Mezi cíli mé přednášky je ukázat, že matematika na technikách nemusí být jen strašákem na studenty ale i užitečným nástrojem pro pochopení a rozvíjení potřebných inženýrských znalostí a dovedností. V reakci na některé z výše uvedených otázek je mým cílem ukázat na možné služby matematiků našim kolegům-specialistům v oblasti technických předmětů a tím nasměrovat jejich součinnost s inženýry v rámci moderního technického vzdělání. Modely desky Pro naše účely je vhodný příklad desky vetknuté podél celé její hranice, tedy.1 Problém Najít u splňující rovnici (.1) u = f v oblasti Ω a okrajové podmínky (.) kde ( u)(x, y) a / ν značí směr vnější normály k Ω. u = 0 = u na hranici Ω, ν [ ( ) ( ) ] x + u(x, y) pro (x, y) Ω. y

141 Historicky se k řešení uvedené úlohy používalo metody sítí, jež od 50. let byla vytěsňována různými variantami metody konečných prvků. Úloha (.1) (.) pro konformní metody konečných prvků však vyžaduje prvky mající globální hladkost typu C 1. Zvládnutí takové metodiky je však poměrně obtížné a standardní komerční softwarové produkty potřebné problémy řešit neumožňují. Namísto konformní metodiky se nabízejí tyto možnosti. (i) použít nějakého zjednodušeného modelu (ii) použít metody nekonformní. Abychom měli možnost dosahovat potřebné přesnosti výsledků musíme dát přednost metodě nekonformní. 3 Faktorizace biharmonického operátoru Nabízí se možnost operátor faktorizovat. Z pohledu algebry však proces faktorizace nevede k cíli, protože algebraická faktorizace není jednoznačná. Tedy, přesněji, pro rezultující rovnice. řádu u = φ v oblasti Ω, u = 0 na hranici Ω, φ = f v oblasti Ω φ =? na hranici Ω vzhledem k nejednoznačnosti ve skutečnosti nemáme data pro určení pomocné veličiny φ. O faktorizaci lze tedy usilovat spíše prostředky matematické analýzy, o což se pokusíme v následujících odstavcích tohoto pojednání. Současně tím ukážeme jak prostředky a metody soudobé matematiky mohou významným způsobem přispět ke zkvalitnění výuky typicky inženýrských problémů. 4 Potřebná značení Ω - oblast v rovině R Ω - hranice oblasti Ω H m (Ω), 1 m - prostor řešení v m,ω = ( α m Ω α v ) 1/ - norma v prostoru H m (Ω) H m 0 (Ω) - prostor řešení s nulovými stopami H 1/ ( Ω) - prostor stop

142 M - komplementární podprostor Hilbertova prostoru H 1 (Ω) vzhledem k prostoru H0(Ω) 1 tudíž splňuje relaci H 1 (Ω) = H0(Ω) 1 M (.,.) M - skalární součin na M indukující na M normu ekvivalentní s normou zděděnou z H 1 (Ω) 5 Duální přístup Inženýrskou problematiku průhybu desek lze v jazyce matematiky formulovat pomocí jistých okrajových úloh 4. řádu. Jednotlivé typy desek se liší okrajovými podmínkami, jež charakterizují vyšetřované desky z pozic inženýra. Jako typickou vybíráme úlohu (5.1) (5.1) u = f v Ω a u = 0 = u na Ω, ν tedy desku vetknutou podél celé její hranice. Jednak je to úloha, jejíž varianty vzhledem k okrajovým podmínkám, byť vyžadované jen na částech hranice Ω, se v praxi vyskytují velmi často a jak již uvedeno, algebraické faktorizace právě zmíněných variant možné nejsou. 5.1 Formulace problému Nalézt u H 0(Ω) takové, aby platila relace (5.) J(u) = min { J(v) : v H 0(Ω) }, kde J(v) = 1 (5.3) v fv, v H 0(Ω). Ω Ω Místo (5.3) lze minimalizovat funkcionál J (v, ψ) = 1 (5.4) ψ fv Ω Ω za předpokladu, že v H0 and ψ L (Ω) a součsně v = ψ. Podprostory odpovídající později zavedenému variačnímu principu jsou charakterizovány pomocí: kde (5.5) V = { (v, ψ) H 1 0(Ω) L (Ω) : µ H 1 0(Ω) splňující β ((v, µ), µ) = 0 }, β ((v, ψ), µ) = Ω gradv gradµ Vztah mezi přirozeným variačním principem (5.)-(5.3) a tím daným pomocí (5.4) je dán v následující větě 5. Věta Předpokládejme, že u je řešení Problem 5.1. Potom platí Ω ψµ J (u, u) = min {J (v, φ) : (v, φ) V}. Tato skutečnost zaručuje možnost faktorizace Problému 5.1 na postupné řešení Poissonových problémů, tedy problémů. řády. Je patrné, že funkce φ lze interpretovat jako aproximaci či reprezentaci pro u

143 6 Algoritmus řešení Vstupní data: f L (Ω), λ 0 M 1 0 Klademe postupně k = 0, 1,... 0 Hledáme φ k H0(Ω) 1 takové, aby v klasické formulaci φ k = f v Ω ve variační formulaci φ k = λ k na Ω; Ω gradφk gradµdω = Ω fµdω φ k λ k H 1 0(Ω) µ H1 0(Ω) 3 0 Hledáme u k H 1 0(Ω) takové, aby v klasické formulaci u k = φ k in Ω u k = 0 onω; ve variační formulaci Ω graduk gradµdω = Ω φk µdω u k H 1 0(Ω) µ H 1 0(Ω) 4 0 Hledáme λ k+1 M takové aby v klasické formulaci λ k+1 = λ k + ρ [ u k φ k] on Ω ve variační formulaci ( λ k+1 λ k, µ ) M = ρ [ Ω graduk gradµdω Ω φk µdω ] µ M Konvergence tohoto algoritmu je charakterizována v následující větě. 6.1 Věta Za předpokladu, že parametr ρ je vybírán z intervalu (0, c σ ), kde { } v L σ = inf (Ω) v : v H (Ω) H0(Ω) 1 ν L (Ω)

144 a konstanta c > 0 vyhovuje nerovnostem c µ L ( Ω) (µ, µ) 1/ M, µ H 1 (Ω), platí, že veličiny vyskytující se v Algoritmu 1 splňují relace lim k uk u 1,Ω = 0, a lim k φk + u L (Ω) = 0. Tedy, hledané řešení u i jeho záporný laplacián jsou uvedenými limitami počítaných přiblížení. 7 Diskretní verze vyšetřovaných úloh Jedním z kladných rysů popisovaného způsobu výkladu je skutečnost, že diskrétní verze je takřka doslovným přepisem verze kontinuální a podobné tvrzení platí o matematické teorii obou verzí. Využijeme toho i při našem odvozování: I při stručném vyjadřování máme tak zachovánu kontinuitu výkladu. Z předchozích poznámek je jasné i to, že analogické zůstane i značení diskrétních analogií. Prostor přibližných řešení: V h H 1 (Ω) Prostor přibližných řešení s nulovými stopami: Prostor přibližných řešení s omezeními: V 0h = {v h V h : v h = 0 na Ω} V h = {(v h, ψ h ) V 0h V h ; µ h V h, β((v h, ψ h ), µ h ) = 0} Prostor přibližných řešení s omezeními a nulovými stopami: W h = {(v h, ψ h ) V 0h V h ; µ h V 0h, β((v h, ψ h ), µ h ) = 0} Komplementární prostor k V 0h in V h. je patrné, že V h = V 0h M h 7.1 Algoritmus 1 h Vstupní data: f h V h, λ 0 h M. Klademe postupně k = 0, 1, Hledáme φ k h splňující relace φ k h λ k h V 0h a v h V 0h, grad φ k h grad v h = Ω Ω fv h

145 0 Hledáme u k h V 0h takové, aby v h V 0h, Ω grad u k h grad v h = Ω φ k hv h. 3 0 Hledáme λ k+1 h M h takové, aby ( µ h M h, λ k+1 h λ k h, µ h = ρ β )M ( ) u k h h, φ k h), µ h = 0. Operátor A h : V h V 0h je definován prostřednictvím vztahů A h ψ h = v h µ h V 0h, grad v h gradµ h = Podobně B h : V h M h za použití systému rovností: B h Ω Ω ψ h µ h µ h M h : (B h ψ h, ψ h ) Mh = β ((A h ψ h, ψ h ), µ h ) = 0. Tedy, B h ψ h je zúžení operátoru A h ψ h na Ω. (Jest totiž A h 1 s okrajovými podmínkami danými pomocí A h ψ h ). Výsledek podobný tomu, jenž je obsahem Věty 6.1 je formulován ve větě 7. Věta Za předpokladu, že parametr ρ je vybírán z intervalu (0, σ h), kde σ h = 1 B, a B označuje operátorovou L -norm, platí vztahy lim u k φ k Vh h u h = 0, lim h φ h = 0. k V0h k Tedy, podobně jako v kontinuálním případě, diskretizované veličiny konvergují k analogům svých kontinuálních protějšků. 8 Prostory konečných prvků V této části konkretizujeme naše diskrétní prostory pomocí klasické metodiky metody konečných prvků. Triangulace T h oblasti Ω sestává z prvků K takových, že Ω = K T h a každý prvek K splňuje pro všechny triangulace s krokem 0 < h h 0 standardní geometrické podmínky ve smyslu monografie [5]. Rovněž předpokládáme, že každý element K je affinním obrazem referenčního elementu ˆK : K = F K ( ˆK). Pomocí triangulace T h je generován prostor V h = { } v h C(Ω) : K T h, v h K P K kde P K = { v : K R; v = ˆv FK 1, ˆv ˆP } při čemž se předpokládá, že P 1 ˆP kde P 1 označuje množinu všech polynomů stupně 1 ve dvou proměnných

146 8.1 Definice Pod regulární třídou triangulací rozumíme systém {T h } splňující s vhodnými konstantami α and τ nezávislými na h, takový, že max { h(k) : K T } δ(k) h α, τ max {h(k) : K T h } min {h(k) : K T h }, h = max {h(k) : K T h } kde h(k) = průměr K, δ(k) = sup{průměr kružnic vepsaných do K}. Výše rozvíjená teorie nevyžadovala jakýchkoliv požadavků na vlastnosti prostorů V h, V 0h a M h. K určení náležité hodnoty ρ je však zapotřebí určité specifikace. Volíme proto M h v souladu s volbou V h a V 0h následovně: Prostory M h nechť jsou podprostory prostorů V h sestávající z funkcí, jež se anulují ve všech vnitřních uzlech oblasti Ω. Platí potom následující 8. Věta Předpokládejme, že skalární součin (.,.) Mh je L -skalární součna Ω. Dále, nechť V h a V 0h a M h buďte vybrány tak jak uvedeno výše. potom lim σ h = σ, k kde σ je veličina zavedená v části této práce věnované spojitému připadu. 9 Znaménkové změny v problematice průhybu desek Vyšetřujme rovinnou oblast D R. Symbolem A označujme operátor definovaný pomocí Au u pro (x, y) D u(x, y) = 0 = u(x, y) ν pro (x, y) D kde [ ( ) ( ) ] ( u)(x, y) x + u(x, y) pro (x, y) D. y Hypotéza (Hadamard) Implikuje platnost bodová relace Au(x, y) 0 pro všechny body (x, y) D platnost vztahů u(x, y) 0 pro všechny body (x, y) D? Odpověď Ne vždy! Dle Duffina [7] odpověď na položenou Hadamardovu otázku je ne, jestliže D obdélník vhodných rozměrů, tedy čtverec, pro nějž poměr délek jeho nerovnoběžných stran je dostatečně malý, tedy, obdélník je tvarem dostatečně vzdálený od čtverce

147 Na druhé straně, podle [7] odpověď je kladná, je-li D kruh. Další negativní výsledek je obsahem práce [8] pro vhodně excentrické elipsy. Přehled výsledků kolem nezápornosti řešení biharmonických úloh lze nalézt v [13]. V [7] Duffin formuluje hypotézu, podle níž Hadamardova hypotéza platí pro čtverec. Toto tvrzení však bylo posléze vyvráceno na př. [13]. Výše uvedené výsledky ukazují, že superbiharmonické funkce se zcela zásadně odlišují od funkcí superharmonických. O to více překvapí, že námi uvedená metoda řešení problému průhybu desky dovoluje využít některých vlastností superharmonických funkcí na numerické řešení úloh s biharmonickými operátory. 10 Závěrečné poznámky Původní problém (5.1) 4. řádu se podařilo převést na postupné iterování dvou úloh Poissonových a jedné funkcionální rovnice platné na hranici desky. Struktura diskrétních verzí Poissonových úloh je vhodná pro použití těch nejefektivnějších metod rychlého řešení (na př. multigridních metod) rezultujících soustav algebraických. Tyto soustavy jsou dány symetrickými M-maticemi. Operátor určující hraniční funkcionální rovnici, je dán výrazem 1 P M,H 1 0 (Ω) 1 v němž P M,H 1 0 (Ω) značí projekci prostoru H 1 (Ω) na M podél podprostoru H 1 0(Ω). Tento operátor je tudíž symetrizovatelný a pozitivně semidefinitní. Prostou Richardsonovu iteraci doporučovanou v [6] k počítání přibližných hodnot hraničních dat pro pomocnou Poissonovu úlohu, lze nahradit některou ze třídy Krylovových metod, tedy metod účinnějších, na př. metody sdružených gradientů. Lze tak docílit toho, že uvedené úlohy jsou škálovatelné ve smyslu použití výpočetní techniky s paralelní strukturou procesorů. Jako přidanou hodnotu lze považovat zisk v podobě spojitosti veličiny u, kde u značí hlednaý pruo hyb desky. To se obecně nepodaří ani při použití konformní metodiky metody konečných prvků na původní problém (5.1). Jako hlavní a pro praxi vitální přínos našeho postupu spočívá v tom, že k řešení uvedených úloh lze spolehlivě a bez dalších úprav používat standardní software určený k řešení úloh. řádu. Poděkování Výzkumná činnost, na jejímž základě je založena tato práce, byla finančně podpořena programem Informační Společnost jakožto projekt 1ET a dále grantem č. 01/0/

148 Grantové Agentury České republiky a grantem č. MSM ministerstva školství, mládeže a tělesné výchovy České republiky. Citovaná literatura [1] Aronszajn N. Theory of reproducing kernels. Trans. Amer. Math. Soc. 68 (1951), [] Aronszajn N., Smith K.T. Characterization of positive reproducing kernels. Applications to Green s functions. (1957), [3] Bittnar Z., Šejnoha J. Numerical Methods of Mechanics 1. Vydavatelství ČVUT, Praha 199. [4] Bittnar Z., Šejnoha J. Numerical Methods of Mechanics. Vydavatelství ČVUT, Praha 199. [5] Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. SIAM, Philadelphia 00. [6] Ciarlet P.G., Glowinski R. Dual iterative techniques for solving a finite element approximation of the biharmonic equation. Computer methods in Applied Mechanics and Engineering 5 (1975) [7] Duffin R.J. On a question of Hadamard concerning superharmonic functions. Journal of Mathematics and Physics 1 (1949), [8] Garabedian P.R. A partial differential equation arizing in conformal mapping. Pacif. Journal Math. 1 (1951), [9] Hlaváček I. A mixed finite element method for plate bending with a unilateral obstacle. Appl. Math. 39, 5-44 (1994). [10] Hlaváček I. Plate bending problems with uncertain input data. Unpublished manuscript, Srní, September 005. [11] Mayer P. Computational experiments with plates. Research papers ČVUT K Praha 005. [1] Mitsuru Nakai and Leo Sario Duffin s function and Hadamard s conjecture Pacif. Journal of math. 75, No. 1, 1978, 7-4. [13] Sweers G. When is the first eigenfunction for the clamped plate equation of fixed sign?

149 NEÚSPŠNOST STUDIA POSLUCHA 1. RONÍK TECHNICKÝCH STUDIJNÍCH PROGRAM VEEJNÝCH VYSOKÝCH ŠKOL A JEJÍ PÍINY Lenka Menclová 1, Jarmila Baštová, Kvtuše Kronrádová 3 Abstrakt: V rámci projektu Neúspšnost studia poslucha 1. roník technických studijních program veejných vysokých škol a její píiny se uskutenilo v dubnu až ervnu 003 na vybraných fakultách eského vysokého uení technického v Praze, Vysokého uení technického v Brn a Vysoké školy báské Technické univerzity Ostrava ve spolupráci s uvedenými vysokými školami sociologické dotazníkové šetení na toto téma. Cílem projektu bylo zmapovat v terénu píiny vedoucí k opakování prvního roníku, pípadn k pechodu nap. na jinou fakultu nebo k odchodu z vysoké školy perušením nebo ukonením studia vbec. 1. Vybrané výsledky šetení Osloveno bylo celkem 363 poslucha 1. roník vybraných fakult uvedených vysokých škol (tch, kteí mli studijní problémy). Výbr byl proveden tak, aby zkoumaný soubor sploval podmínky reprezentativnosti pedevším z hlediska lokality sledovaných fakult Pechod ze stední na vysokou školu Nejvíce student pichází na technické studijní programy ze stedních odborných škol (49, %), dále následují víceletá (4,3 %) a tyletá gymnázia (3,7 %). Již tento ukazatel zachycuje jistou specifinost oslovených student, protože na vysokých školách jako celku studují pevážn studenti ze tyletých gymnázií (40, %). 1.. Volba fakulty Pi zkoumání píin neúspšnosti student 1. roník technických studijních program je dležitým aspektem, zda byla souasná studovaná fakulta pro studenta tou, na které si pál studovat, nebo zda se jednalo pouze o východisko z nouze i náhradní ešení pi nepijetí na jinou fakultu. Odpovdi všech respondent jako celku naznaily, že více než polovina z nich si pála studovat práv tu fakultu, na níž studují. Pro více než tvrtinu je souasná fakulta pijatelná, pestože nebyla pi jejich volb na prvním míst. Nouzovým ešením byla volba stávající fakulty pouze pro 5 % respondent Motivace mladých lidí ke studiu technických obor Poslucham byly nabídnuty podnty, u nichž je pedpoklad, že mohou být motivaními impulzy pi výbru a volb studijního zamení. 1 Centrum pro studium vysokého školství, U Lužického semináe 13, Praha 1, menclova@csvs.cz Centrum pro studium vysokého školství, U Lužického semináe 13, Praha 1, bastova@csvs.cz 3 Centrum pro studium vysokého školství, U Lužického semináe 13, Praha 1, kronradova@csvs.cz

150 Zjištné poadí okolností, které v souasné dob rozhodujícím zpsobem motivují k volb studia technických obor, bylo následující: 1. Rozvoj své vzdlanosti, znalostí a schopností 69,7 4. Získání možností dobré profesionální kariéry 64, 3. Získání vysokoškolského titulu 56,8 4. Získání možnosti dobe placeného zamstnání 51,8 5. Prohloubení zájmu o obor 39, 6. Získání dobrého postavení ve spolenosti 33, 7. Oddálení praxe, studentský život 4,6 8. Pokraování v rodinné tradici 5,9 Ze získaných odpovdí lze vyvodit urité závry: studenti technických obor vstupují na vysokou školu pedevším s cílem rozvíjet svoji vzdlanost, znalosti a schopnosti. Následuje kategorie zamstnání a kariéra, do které patí získání dobré profesionální kariéry i její doprovodné znaky, vysokoškolský titul a dobe placené zamstnání. Prohloubení zájmu o obor a získání dobrého postavení ve spolenosti jsou faktory, které studenty pi jejich volb ovlivují, ale nepovažují je za zcela rozhodující jsou pro n pouze jedním z dvod, ne však hlavním. V tomto aspektu lze nalézt zásadní rozdíl mezi studenty technických obor a studenty všech veejných škol obecn. Studenti ostatních vysokých škol a univerzit v R staví v poadí okolností motivujících mladé lidi pro vstup na vysokou školu faktory, související pedevším se získáním dobe placeného zamstnání, resp. možností kariérního rstu a jejich, dalo by se íci, doprovodným znakm, kterými jsou získání vysokoškolského titulu a dobrého postavení ve spolenosti. Rozvoj vzdlanosti, znalostí a schopností dávají tito studenti až na 5. místo, na rozdíl od student technických studijních program, které tato okolnost motivuje pi volb fakulty dle jejich názoru zcela rozhodujícím zpsobem. Je však nutno poznamenat, že výsledky mohly být ovlivnny také vkem dotázaných respondent. U zmiovaného výzkumu student všech veejných vysokých škol v R se jednalo o starší studenty, pedevším ze 3. roník, na technických fakultách byli dotazováni ješt málo zkušení posluchai 1. roník, jejichž názory se v prbhu studia budou jist vyvíjet a mnit Možné píiny neúspchu pi studiu poslucha 1. roník technických studijních program Na neúspšnosti studia poslucha 1. roník technických studijních program se podílejí jak subjektivní, tak objektivní píiny. Sociologické šetení zjišovalo adu dležitých faktor, které mají vliv na studijní výsledky vysokoškolák v prvním roce jejich vstupu na vysokou školu. Dležitým identifikaním ukazatelem sociologického šetení o neúspšnosti poslucha 1. roník technických studijních program na vysokých školách je problematika perušení studia nebo jeho rozložení na více let. Bylo zjištno, že více než 17 % dotázaných je rozhodnuto studium perušit, tetina z nich o tom uvažuje, ale pes 50 % chce ukonit vysokoškolské studium ve standardní dob. Další otázka vedla ke zjištní dvod vedoucích k perušení studia, resp. jeho rozložení na více let (u tch respondent, kteí uvedli, že své studium již perušili, resp. 4 Poadí bylo vytvoeno na základ procentuálního potu v kategorii Rozhodn ano

151 rozložili, i o tom alespo uvažují). Respondenti uvedli, že nejastjším dvodem perušení i rozložení studia na více let je podle jejich názor píliš rychlé a nároné tempo studia na fakult. Tento postoj lze vnímat z rzného pohledu. Nap. i když jde o obtížné studium, pesto nelze pominout, zda se u student nkdy nejedná o nedostatený návyk i uritou únavu, píp. pohodlnost zvládnout systematickou prací vtší souhrny poznatk v daném ase. Z uvedených dat vyplývá, že relativn vysoký poet student upednostní možnost získání atraktivního zamstnání na úkor studia na vysoké škole. Oba dvody lze oznait z hlediska chodu školy i pístupu respondenta za problematické. Jinou skupinu tvoí další ti v poadí uvedené dvody (neutšená finanní situace, studium v zahranií a zdravotní problémy); patí mezi dvody, které lze akceptovat. Získané názory dokumentují, že pístup k problematice perušení studia, píp. jeho rozložení na více let, je rznorodý, závislý na individualit a ovlivuje ho nejen neúspšnost ve studiu, ale také charakterové postoje, specifické názory i osobní situace jednotlivc Píiny vedoucí k neúspšnosti pi studiu V této kapitole se sociologické šetení zabývalo již konkrétními píinami, které studenty dle jejich vlastního názoru vedou k neúspchm pi studium, k perušení i dokonce k ukonení studia na fakult. Výsledky zachycuje následující pehled: 1. Nezájem o studium 75,1. Neschopnost zvládnout uivo tohoto zamení 73,1 3. Odlišný zpsob studia než na stední škole 68,4 4. Píliš vysoké požadavky zkoušejících u nkterých zkoušek 67,0 5. Nedostatená píprava na stední škole 64,0 6. Špatná volba fakulty 54,0 7. Malá podpora ze strany uitel 31,4 8. Nekvalitní pednášky, cviení 31,4 Obecn lze konstatovat, že: studenti jsou pravdpodobn po urité dob strávené na vysoké škole do jisté míry rozarováni, nápl studia nesplnila jejich pedstavy, které mli ped vstupem na fakultu, a toto zklamání perstá až v nezájem o studovaný obor, ve zkoumaném vzorku student je patrná znaná sebekritinost, na druhé a tetí místo v žebíku píin neúspšnosti pi studiu zaadili neschopnost zvládnout uivo technického zamení a adaptovat se na jiný zpsob studia, než na který byli zvyklí na stední škole (absence návyku pravidelného efektivního uení, zvládání uebních celk vtšího rozsahu aj.), pocit vlastní neschopnosti zvládnout probírané uivo je však zárove doprovázen pocitem pílišné náronosti zkoušejících u nkterých zkoušek a také nedostatené pipravenosti ze stední školy, špatná volba fakulty sice není podle názoru student hlavní píinou jejich neúspšnosti pi studiu na vysoké škole technického zamení, ale poet tch, kteí považují tuto skutenost za píinu neúspchu (více než polovina), je však pesto pomrn vysoký

152 Mezi další píiny, které studenti uvádli, patily: lenost, neochota uit se, liknavý pístup ke studiu, asová náronost studia, nedostatek asu na všechny pednášky, nedostatek vhodných skript a studijních materiál, podcenní uiva, malá zodpovdnost, pehnané požadavky v nkterých pedmtech, zaujatost zkoušejících Negativní jevy v prbhu studia V další ásti sociologického šetení, v nmž byli studenti dotazováni, byly vybrány negativní jevy, které se mohou vyskytovat na vysokých školách. Studenti se vyjadovali, zda dle jejich názoru k tmto negativním jevm dochází také na jejich fakult i nikoliv. Negativní reflexi vyjádili respondenti 1. roník technických vysokých škol o upednostování nkterých pedmt na úkor ostatních. Tém polovina z nich hodnotí tento jev jako astý, pouhých 10 % si myslí, že se na jejich fakult nevyskytuje vbec. Dalším relativn nepíznivým jevem je podle názoru poslucha pedpoklad vyuujících, že látka již byla probírána v jiném pedmtu, aniž si oví, zda ji studenti dostaten ovládají Jednání student v pípad neúspchu v 1. roníku Jaká by byla reakce student pi pedstav, že neuspli v 1. roníku studia? Studenti mohli využít nkolik možných variant dalšího jednání a vybrat takovou, podle níž by se s velkou pravdpodobností zachovali. Potšitelné je, že vtšina (45 %) by se znovu pihlásila ke studiu na téže fakult. Stávající fakultu by ukonilo 37 % respondent, z toho asi 19 % by se pihlásilo ke studiu na fakult stejného zamení, zbylí studenti by volili fakultu odlišnou. Avšak 10 % student by pi neúspchu již v žádném vysokoškolském studiu nepokraovalo. Zbylí studenti uvedli, že by si vybrali oddychový as a po njaké dob by se pokusili o stejné studium znovu Hodnocení dosavadního studia posluchai na konci 1. roníku technických studijních program Každý uchaze o vysokoškolské vzdlání vstupuje na vysokou školu s uritými oekáváními. Oslovení studenti mli v dob realizace sociologického šetení na fakult tém za sebou 1. roník vysokoškolského studia. Závrem tedy byly požádáni o hodnocení splnní svých oekávání, která ped vstupem na zvolenou fakultu mli. Vtšin poslucha 1. roník technických studijních program pineslo studium to, co od nho oekávali. Tém dv tetiny až na nkteré výhrady byly spokojeny. Relativn nízký byl však poet tch, jejichž oekávání byla splnna bez výhrad a naopak tém ptina student byla studiem na fakult zklamána.. Shrnutí výsledk Neúspšnost pi studiu technických studijních program je dána adou faktor a jejich kombinací. Pevis uchaze o studium technických studijních program na rozdíl od jiných vysokých škol není veliký a pijímací ízení je celkem prchozí pevážn jsou pijímáni všichni pihlášení. Velká specifická náronost vlastního studia však

153 neodpovídá tomuto trendu pijímacího ízení, které probíhá nkdy i bez výbru, vzhledem k prakticky vyrovnané nabídce a poptávce. Neúspšnost je dále ovlivována pijímáním student, kteí na jimi preferovaný obor nebyli pijati a zvolili technický obor jako ješt pijatelné ešení nebo východisko z nouze. Nutno brát rovnž v úvahu rozdílnost v pipravenosti student v profilových pedmtech (matematika, fyzika, deskriptivní geometrie, u absolvent gymnázií neznalost základ strojírenské, stavební a elektrotechnické prpravy aj.), zvlášt v nkterých regionech, kde se na technické vysoké školy hlásí urité procento uchaze z uebních obor s maturitou. Studenti bez velkých problém s pijímacím ízením jsou pijati na vysokou školu, ale studium je nároné podstatou i rozsahem. Tento uritý rozpor vede k interpretaci, že zaínající studenti tuto skutenost asto podcení a nedomyslí, že technický studijní program vyžaduje každodenní systematickou práci. Nedostatek zodpovdnosti a absence urité kázn pi studiu vede k neúspšnému prbhu studia a k tomu, že poslucha nepostoupí do vyššího roníku. Urité problémy mají studenti i s tempem studia a zvládnutím vtších uebních celk (nejsou na to zvyklí ze stední školy). Obtížná je pro n adaptace na jiný zpsob studia. To vše, je asto provázeno i pocitem pílišné náronosti u zkoušek, preference jednoho pedmtu na úkor druhého a dalších pro n nepíznivých jev. Východiskem se pak pro respondenty jeví možnost perušení studia nebo jeho rozložení do delšího asového období. Tém všichni však chtjí ve studiu rznými zpsoby pokraovat. 3. Závr možné pístupy k ešení studijního neúspchu student technických vysokých škol v R (Návrhy byly pipraveny po konzultaci s vybranými pedagogy technických vysokých škol, na základ výsledk sociologického šetení a pi zvážení všech zmínných okolností a názor.) Na technických vysokých školách astji dochází k tomu, že studenti neuspjí ve studijních programech, kde uspt zamýšleli. Pro zlepšování stavu neúspšnosti je dležité znát charakteristiku a oekávání poslucha technických studijních program. Návrhy, jak dosáhnout zlepšení v oblasti neúspšnosti ve studiu, jsou otázkami praktické školské politiky, zamené na výuku a uení. Jedná se o problémy, které jsou aktuální všude, bez ohledu na typ instituce, studijního programu nebo zemi. Nezbytné jsou dobe cílené pístupy na úrovni vysoké školy, kde je možno identifikovat konkrétní problémy a jejich spojitosti nap. i s jednotlivými studenty. Tmto pístupm by prosply kvantifikace trend a vymezení otázek, které je nutno ešit jednak na úrovni celého systému, jednak na úrovni jednotlivých školských institucí. Jádro neúspšnosti pomrn asto spoívá v kontinuit výuky a studijních požadavk. Nelze opomenout, že celkovému ešení by prosplo zlepšení komunikaních vazeb mezi školskými zaízeními na sekundární a terciární úrovni s ohledem na to, že pedagogové tchto školských institucí mají místy jen kusé a málo aktuální znalosti o tom, co druhá

154 skupina uitel dlá nebo co oekává. Je proto teba vnovat zvýšenou pozornost pelomu, který nastává pi pechodu z jedné úrovn vzdlávání na jinou, odlišnou. Dležitou cestou ke zlepšení je zdokonalit výbr pedagog pro výuku v 1. ronících. Situaci pomže, budou-li v prvních ronících pednášet a vést cviení zkušení vysokoškolští uitelé s odbornou a pedagogickou erudicí, uplatující náronost i shovívavost, trplivost i nesmlouvavost, kteí budou pro posluchae autoritou i píkladem. Zaínající studenty bude nezbytné vybavit didakticky i metodicky vhodnou literaturou a zvlášt pi cvieních respektovat podle možnosti individualitu zaínajících poslucha v tom, že nkteí lépe vnímají psané slovo, jiní obrazové informace, nkteí na papíe tištný text, jiní elektronickou formu uiva. V prvním roníku bude pínosem pro studenty strukturované studium, které rozlení uivo na jednodušší partie, uplatované v bakaláském studiu, a na složitjší v magisterském studiu. Tím budou vytvoeny podmínky pro výraznjší zprhlednní studijních program a pro zdokonalení výuky. Dosažení všeobecného zlepšení bude vyžadovat znané úsilí, zdroje i celosystémové pístupy a pokrok bude záviset do urité míry i na tom, zda vzdlávací instituce piznají otázkám studijního neúspchu vtší prioritu, než je obvyklé. U samotných student bude nutné usilovat výraznji, rznými formami, obas individuálním pohovorem, o zvýšení jejich vlastní zodpovdnosti pi studiu, a to jak po studijní, tak etické stránce. Studenti nkdy neodhadnou správn vyváženost pi kombinaci studijních povinností a volnoasových aktivit, aby tyto aktivity, by i vhodné, nevedly k zanedbávání a zaostávání ve studiu.. Pi zvládání uiva studenti asto pouze memorují, nedokáží hledat souvislosti a postrádají uební návyky. Nechápou nebo pezírají astou nabídku návod pro práci od svých vyuujících a snaží se lehce pijít k uspokojivým výsledkm. Jako užitená se jeví forma státní maturity, která by u ady pedmt vyrovnala kritéria jednotlivých stedních škol. Pínosný a zajímavý by byl przkum o názorech na výuku u vysokoškolských pedagog vyuujících v technických studijních programech v 1. ronících technických vysokých škol. Uritým ideálem, od nhož je praxe vždy vzdálena, je zajistit úspšné studium všech poslucha. V souasné dob však v nkterých pípadech dochází k tomu, že je tato praxe až píliš vzdálena a je nutno podniknout kroky k tomu, aby se její odstup postupn zmenšoval. Literatura 1. MENCLOVÁ, L., BAŠTOVÁ, J., KRONRÁDOVÁ, K.: Vysokoškolský student v eské republice roku 00. Praha, Brno: Ministerstvo školství, mládeže a tlovýchovy, Centrum pro studium vysokého školství, Vysoké uení technické v Brn, nakladatelství VUTIUM, 003. ISBN MENCLOVÁ, L., BAŠTOVÁ, J., KRONRÁDOVÁ, K.: Neúspšnost studia poslucha 1. roník technických studijních program veejných vysokých škol v R a její píiny. Centrum pro studium vysokého školství, Praha,

155 KONSTRUOVÁNÍ VÝROBK BEZ DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Ludvík Novák 1 Abstrakt Technický pokrok, zejména užívaná výpoetní technika si vynucuje zmnu vyuování v matematice a geometrii na vysokých školách technického zamení. Souasný software dostupný a užívaný pro konstruování výrobk umožuje za uritých podmínek výrazn zmnit osnovy vyuování v matematice i v deskriptivní geometrii. Zejména v geometrii lze redukovat nkteré zobrazovací metody pouze na základní úlohy, s kterými využitím vhodného poítaového softwaru dokáže absolvent VŠT úspšn konstruovat. 1.Úvod V krátkém období posledních dvaceti let jsme svdky rychlého rozvoje vdních disciplín a techniky, podmínného zejména objevy z oblasti pírodních vd. Poet významných objev v posledních 0-i letech exponenciáln vzrostl. Vdecký a technický pokrok je nejvíce patrný v oblasti elektroniky a mikroprocesorové techniky. Souasn s tímto procesem vzrstají nároky na výchovu a úrove vysokoškolsky vzdlaných odborník. Používaná technika, zejména výpoetní technika, si vynucuje optimalizovat obsah a metodiku vyuování v matematice i geometrii. Pro matematiky i geometry je pozornost reformy poplatná tomu, aby absolvent napíklad inženýrského studia, byl úspšný v praxi a ml proto spíše obecné poznatky a vdomosti v matematice a geometrii, pomocí nichž bude schopen používat softwarové vybavení poítae. Mnozí reformisté, ale i studenti považují za nutné uit a studovat tzv. Technickou matematiku nebo Geometrii pro techniky, kde v osnovách tchto pedmt dochází k neorganickému spojení vybraných kapitol z tchto vdních disciplín. Pi souasné existenci geometrického softwaru je možné upravit obsah studia, zejména v deskriptivní geometrii, a to promyšlen s využitím poítaového softwaru.. Souasný stav vdomostí a dovedností z geometrie na FT UTB ve Zlín Souasný stav vdomostí a dovedností z geometrie (bohužel i v matematice) na FT UTB ve Zlín nebyl dobrý. Máme dvod se domnívat, že také na ostatních technických a technologických vysokých školách, kde existují konstrukní obory, je situace obdobná. Toto tvrzení vychází z provedeného przkumu, u dvou po sob jdoucích prvních roník, vždy ve dvou skupinách po 80-ti studentech, který byl na TF UTB ve Zlín provedený v letech 00 a 003. Skupinu A tvoili absolventi gymnázií, technicky zamených stedních škol. Skupina B byla z ostatních stedních a soukromých škol. Test obsahoval dv konstrukní úlohy z uiva základní školy ( konstrukce trojúhelníka, Pythagorova vta ), dva píklady na konstrukci trojúhelníka pomocí podobnosti a Eukleidovu vtu, dva píklady na zobrazení bodových množin s mezemi jednoduchých lineárních funkcí, dva píklady z kuželoseek ( tena kružnice, sestrojení paraboly dané ídicí pímkou a ohniskem ) a dva píklady z analytické geometrie ( zobrazit a napsat rovnici tžnice t a a výšky v c v trojúhelníku ureném souadnicemi vrchol ABC ). Pi mírné ptistupové klasifikaci, dopadly testy následovn. (Tab.1.) 1 ÚM FAI UTB ve Zlíne, Nad Stránmi 5411, Zlín, novak.ludvik@seznam.cz

156 A(%) B(%) Tab..1 Výsledky provedeného przkumu nás donutily v prvních hodinách studia pedmtu Algebra a geometrie zopakovat základy geometrie podle osnov státních gymnázií. 3. Dvody a návrhy ke zmn vyuování deskriptivní geometrie na VŠT V této ásti se zabýváme vysokými školami, kde je deskriptivní geometrie alespo v omezeném rozsahu v uebních osnovách, jako disciplína pipravující studenty k aktivní tvrí innosti v konstruování nebo zobrazování výrobk, staveb a ploch. Hlavními dvody zmny vyuování a návrh na úpravu osnov a metodiku vyuování deskriptivní geometrie jsou tyto: - není cílem vychovat z absolventa vysoké technické školy geometra s dokonalou znalostí existujících zobrazovacích metod rovinných a prostorových kivek a ploch, - není nutné uit všechny zobrazovací metody, ale pouze základy tch zobrazovacích metod, které souvisejí se studijním profilem, ale umožnit používání píslušného geometrického software pro konstruování, nebo zobrazování výrobk, staveb a ploch, - neklást draz na grafická ešení a rýsování, napíklad metrických úloh, úloh osvtlení apod., tj. úloh, které jsou souástí používaného softwaru v daném oboru, - je vhodné a motivující, pokud se jako úvod ke studiu dané kapitoly z deskriptivní geometrie vychází z vhodného píkladu z praxe, upozornit, nebo pímo ukázat ešení využívající programové vybavení poítae, - ukázalo se jako vhodné, matematizovat grafická ešení planimetrických a prostorových úloh metodami a prostedky analytické geometrie v E a E 3. Napíklad v kapitole o rovinných kivkách, tj. definici a rýsování úloh o kuželosekách a technických kivkách - pojmy tena, normála, kivost, interpolace, rektifikace - definovat slovn, množinov a souasn pomocí matematického, zpravidla analytického vyjádení a znázornit definovaný pojem, nebo kivku pomocí geometrického grafického programu, - podobn se ukázalo jako vhodné spojit vyuování Mongeovy projekce s analytickou geometrií v E 3. Po definici trojrozmrného Eukleidovského prostoru a operací s vektory, se soubžn zobrazení bodu, pímky, roviny a jejich vzájemná poloha, ale také úlohy metrické, vyjádí analyticky a zobrazí v Mongeov projekci, - mimoádný draz je teba klást na rozvoj prostorové pedstavivosti. Protože zobrazování prostorových objekt v kolmé axonometrii je blízké našemu vidní, je vhodné bhem vyuování deskriptivní geometrie i v analytické geometrii všechny prostorové obrázky kreslit v axonometrii, i když s touto zobrazovací metodou se seznámí pozdji,

157 - protože zkonstruované objekty v Mongeov projekci je možné zobrazit v axonometri ( a nejen v axonometrii ) pomocí programového vybavení poítae, staí pokud se student seznámí v axonometrii pouze se základními úlohami polohy a metrickými úlohami pouze v souadnicových rovinách. 4. Závr Je zejmé, že s rozvojem výpoetní techniky a zejména s dostupností matematického i grafického softwaru a zejména ze skutenosti, že tyto poítaové programy se bžn používají ke konstruování a zobrazování výrobk, staveb a ploch v praxi, musí doznat vyuování zobrazovacích metod v deskriptivní geometrii zmnu. Nkteré z nutných zmn jsou uvedeny v ásti 3 tohoto píspvku. Literatura [1] Jozífek V.: Modernizace vyuování geometrii, PMFA, 1963,ro.VII,.5, s [] Havlíek K.: O významu a budoucnosti deskriptivní geometrie. PMFA, 1971, ro.xvi,.1, s

158

159 TVORBA KORPUSU ANGLICKO-ESKÉHO SLOVNÍKU MATEMATICKÉ TERMINOLOGIE Michal Novák 1 Abstrakt: Pi výuce matematiky hraje již od prvních semestr bakaláských studijních program dležitou roli práce s matematickými výukovými programy, které však vtšinou komunikují v anglitin. Vzhledem k tomu, že se studenti nemohou díky svému dosavadnímu vzdlání orientovat v matematické terminologii v anglickém jazyce, je asto efektivita této práce velmi nízká. V lánku se zabýváme uvedenou problematikou a popisujeme tvorbu korpusu, tj. obsahu, oboustranného slovníku matematické terminologie v anglitin pizpsobeného na míru požadavkm student. 1. Východiska V souvislosti s rozvojem používání informaních technologií ve výuce dochází (zejména na technických vysokých školách) ve výuce matematiky k zajímavému paradoxu. asto již od prvního semestru jsou studenti seznamováni s matematickými výukovými programy (nejastji jeden z trojice produkt Maple, MATLAB, Mathematica), piemž pro efektivní práci s tmito programy postrádají základní pedpoklad, kterým je odpovídající znalost anglického jazyka. Žádný z tchto produkt totiž není lokalizován do eského jazyka, a student je tak nucen používat jejich anglické verze. Požaduje-li se po studentovi bhem práce s programem aktivní pístup, píp. samostatná práce mimo výuku, je teba, aby byl schopen operativn reagovat na rzná chybová hlášení programu a zejména operativn vyhledávat možné návrhy ešení v nápovd. Toho ale student nemže být v prvním semestru schopen, protože ze stední školy si pinesl pouze znalost obecné anglitiny, asto nízké úrovn. Pokud vysoká škola již od prvního semestru nezajišuje povinnou výuku odborné matematické terminologie (což se v praxi nestává), je využívání matematického výukového programu ze strany studenta nejen znan neefektivní ale mnohdy dokonce i kontraproduktivní, nebo hrozí, že student bude práci s jakýmkoliv dalším matematickým programem a priori odmítat. Problematika orientace se v matematické terminologii v anglitin bývá asto podceována, protože vyuující lovk s nkolikaletou praxí jak v matematice tak v práci s daným výukovým programem se asto nemže vcítit do role studenta prvních roník nového uživatele daného programu. lánek [3] se snaží dívat oima studenta nového uživatele na program MATLAB. Závry v nm obsažené potvrzují výsledky dotazníkového šetení mezi studenty druhého semestru FEKT VUT (publikované ásten v [4]), z nichž vyplývá, že pouze 40% student používá nápovdu matematických program (dotazovaní studenti mli zkušenost pouze s programem Maple, který je v tomto smru výrazn uživatelsky píjemnjší než program MATLAB) zpsobem, který lze oznait za efektivní. Podobn 60% procentm student vadí, že nápovda matematických program je v anglitin, a to do té míry, že to komplikuje jejich práci, pípadn je od ní zcela odrazuje. Fakt, že program samotný (tj. píkazy, 1 Ústav matematiky, Fakulta elektrotechniky a komunikaních technologií, VUT v Brn, Technická 8, Brno, novakm@feec.vutbr.cz

160 menu apod.) je v anglitin, pitom stejným zpsobem vadí pouze 41% dotazovaných student Situace na FEKT VUT v Brn Na FEKT VUT v Brn je v bakaláském studiu, v nmž se výše uvedený problém a paradox vyskytují v nejvyšší míe, matematika vyuována v rámci tech povinných jednosemestrálních kurz (v prvním až tetím semestru); dále si studenti mohou zapsat jeden nepovinný matematický pedmt. V praktické výuce jsou v rámci poítaových cviení (jejichž rozsah je vždy polovina celkového potu cviení daného povinného matematického pedmtu) používány programy Maple (v prvním a druhém semestru pro výuku matematické analýzy a lineární algebry) a program MATLAB (ve tetím semestru pro výuku numerických metod). Uvedené programy jsou používány také ve výuce specializovaných volitelných pedmt v navazujícím magisterském studiu. V nedávné dob bylo poízeno nkolik licencí programu Mathematica o jeho využití ve výuce prozatím nebylo rozhodnuto. Ústav matematiky FEKT VUT v Brn zajišuje také výuku na Fakult informaních technologií. Pi praktické výuce jsou používány stejné matematické programy. Na Ústavu jazyk není studentm bakaláského studijního programu v souasné dob nabízen žádný pedmt, který by zahrnoval výuku odborné anglitiny.. Slovníky matematické terminologie v anglitin Jako jedno z možných ešení výše uvedeného paradoxu se jeví používání anglicko eského slovníku matematické terminologie. Musí však být splnno nkolik základních pedpoklad: dostupnost, operativnost a pizpsobení potebám konkrétního studenta. Tyto požadavky bohužel ze širšího používání vyluují v souasné dob již dostupné slovníky. Použití jakýchkoliv knižních publikací se zdá nereálným hned z nkolika dvod: knihu není možné mít vždy po ruce (zvlášt ne ve výuce), její použití není operativní, skuten kvalitní knižní publikace jsou asto zbyten velmi rozsáhlé a jejich poízení je nákladné. Existují sice také specializované nástroje, avšak jedná se bu o publikace, které vyšly již dávno nebo v malých nákladech (nap. []), píp. nejsou dostupné vbec (nap. [6]). Dostupné elektronické slovníky jsou naopak aplikacemi vyžadujícími instalaci (a to na více poíta v uebn a na domácím PC studenta), což pináší problémy s licencováním a cenou, nebo skuten kvalitní aplikace nejsou dostupné zdarma. Znaná ást dostupných produkt je naopak zamena bu na obecnou anglitinu a matematická terminologie v nich tvoí jen nepodstatný doplnk, nebo se jedná o jednoduché translátory, které nap. nezohledují rzné peklady téhož termínu v rzných oblastech matematiky. Z dalších produkt, dostupných mimo vnitní sít vysokých škol, lze jmenovat pouze slovník [1], který však nebyl již mnoho let aktualizován a který navíc nevyhovuje potebám student technických vysokých škol. 3. Zamýšlená podoba slovníku V rámci ešení projektu FRVŠ Jazyková podpora výuky matematických pedmt vzniká na Ústavu matematiky FEKT VUT oboustranný elektronický slovník matematické terminologie v anglitin. Výsledný produkt (pedpokládané dokonení na konci roku 006) bude dostupný na WWW ústavu, píp. fakulty, což umožní jeho využívání jak pímo ve výuce bhem poítaových cviení tak pi samostatné práci student (díky znanému rozšíení poíta pipojených na Internet mezi studenty)

161 V souasné dob je již rozhodnuto o vizuální podob slovníku, který se bude skládat ze dvou ástí místa pro výbr možností filtrování a výpis seznam termín (možnosti byly stanoveny na základ výsledk dotazníkového šetení mezi studenty FEKT VUT) a místa pro vlastní výpisy. Slovník bude fungovat v prostedí internetového prohlížee. 4. Tvorba korpusu V kvtnu 006 byly také ukoneny hlavní práce na sestavení korpusu slovníku, tj. na jeho obsahu. Tvorba korpusu vycházela z požadavk na možnosti filtrování výpis a tvorby seznam a z požadavku pizpsobit slovník potebám konkrétního studijního programu. Vlastní zpracování a forma korpusu pak byly ovlivnny možnostmi zvoleného technického ešení budoucí aplikace (práce s programem PHP Admin a jazykem MySQL). Možnosti filtrování výstup slovníku zahrnují výpis pojm zaínajících daným etzcem, spadajících do urité oblasti matematiky, spadajících do urité úrovn obtížnosti (stední škola, bakalá, magistr, doktor), vztahujících se k njakému píkazu njakého matematického programu, vyskytujících se v uritém pedmtu. Do výpis lze krom pekladu vlastního pojmu zahrnout také gramatické poznámky, oblast matematiky, do níž pojem spadá, obvyklý význam pojmu, související termíny, píkazy program Maple, MATLAB (výhledov Mathematica), které se pojmu týkají, všeobecné poznámky. Veškeré údaje, tj. zejména rozdlení do oblastí matematiky a úrovní obtížnosti, významy pojm a související termíny, respektují studijní program na FEKT VUT v Brn. Vlastní termíny byly získány vypisováním ze všech dostupných uebních text používaných ve všech matematických pedmtech nabízených Ústavem matematiky, piemž z každého textu bylo tímto zpsobem získáno pojm. Korpus byl poté podobným zpsobem doplnn pojmy pocházejícími z takových uebních text používaných na Masarykov univerzit v Brn, které doplují nápl výuky na FEKT VUT (analytická geometrie, teorie graf apod.). Následn byl korpus doplnn relevantními termíny z [1] a [6]. 5. íselné údaje o korpusu Korpus slovníku matematické terminologie má v souasné dob cca 700 jedinených eských pojm. Poítáme-li s duplicitami, tj. situacemi, kdy nkterý pojem spadá do více oblastí matematiky, píp. byl získán z vtšího potu zdroj, obsahuje korpus cca 3600 pojm

162 Rozdlení pojm do oblastí matematiky je následující (v závorce uveden poet termín získaných po vypsání z uebních text, tj. ped jakýmkoliv odstraováním duplicit): výroková logika a teorie množin (131), aritmetika a teorie ísel (40), lineární algebra (569), geometrie (346), matematická analýza (85), ešení diferenciálních rovnic (340), numerické metody (46), pravdpodobnost a statistika (80), operaní výzkum a teorie graf (57), nezaazené pojmy (451) vtšinou bžn se vyskytující termíny, z nichž nkteré budou pravdpodobn pozdji zaazeny do kategorií výroková logika a teorie množin, resp. aritmetika a teorie ísel. 6. Možnosti rozšíení a využití Pipravovaný slovník je koncipován tak, aby jej bylo možné jednoduchým zpsobem rozšíit, píp. využít i pro jiný studijní program na jiné škole. Je možné jej obohatit o další kategorie matematiky a pedmty, píp. kategorizaci pojm libovoln mnit. Podkování: Píspvek byl podpoen grantem FRVŠ 1/006. Literatura [1] Matematický slovník Hort & Filová. [online] Aktualizováno [cit ]. Dostupný z < [] Kožmínová, D.: Matematická terminologie v anglitin. Brno: Vojenská akademie Antonína Zápotockého, [3] Novák, M., Langerová, P.: MATLAB from the point of view of non-native speakers students of technology. In. XXIV International Colloqium on the Acquisition Process Management. Brno: Univerzita obrany, 006. ISBN , s. 1-7 [4] Novák, M., Langerová, P.: Raising efficiency in teaching mathematics in non- English speaking countries: an electronic dictionary of mathematical terminology. In. Proc. 3rd International Conference on Teaching Mathematics (ICTM3). Istanbul, 006. (pijato do tisku) [5] Novák, M., Novák, B.: Computer software as a help provider to students unsuccessful in mathematics. In. Proc. 13th Polish-Czech-Slovak Mathematical School. Krakov, 006. (pijato do tisku) [6] Zachrlová, J.: English-Czech, Czech-English Dictionary of mathematical terms. Brno: Filozofická fakulta Masarykovy univerzity v Brn, 00. (diplomová práce)

163 THEORETICAL REFLECTING POINT OF GPS ALTIMETRY ON THE SURFACE OF ELLIPSOID Stanislav Olivík 1 Abstract: In this paper will be described one solution of one task of GPS Altimetry. The task is to find the point on the surface of the rotational ellipsoid, where reflect the radar signal sent from one satellite and received by another satellite. The path of radar signal has to fulfill the Snell s law. Don t forget that this is a reflecting point on the ideal, theoretical surface of oblate rotational ellipsoid. This solution is based on the solution described in [1] and solve the known issue with accurancy of the computed reflecting points in the area near North and South Pole. 1. Task definition Let have orthogonal geocentric coordinates of positions of two satellites and parameters of reference ellipsoid. Our challenge is to locate the point on the surface of reference ellipsoid, where reflect radar signal sent by one satellite and received by another satellite.. Method of solution The first condition that the satellites have to fulfill is a direct visibility between the satellites. If this term had not been complied, it is totally useless to compute the reflecting point in the case of our task definition. The reflecting point doesn t exist even if both satellites are on the same normal of reference ellipsoid. In all other cases the reflecting point exists. Most computations are made in geocentric Cartesian coordinate system WGS84 (World Geodetic System 1984) used for GPS satellites (Global Positioning System). One of those satellites is marked as S in the text below. Some computations are made in geographic coordinates. Reflecting point lies in the plane defined by three points positions of satellites and reflecting point. In one plane lie also ray of radar signal incident and reflected by ellipsoid and normal of ellipsoid in the reflecting point. Those planes are the same one. In the process of seeking the reflecting point it is possible to elect points from connecting line between satellites S 1 and S. The next step is to project this elected point vertically on the surface of reference ellipsoid. The last step is to test if the obtained point is the reflecting point. Vertical projection is provided with the transformation between geocentric Cartesian coordinate system and geographic coordinate system. After computing the radius of the normal section it is possible to compute Cartesian coordinates of the projected point. 1 Department of Mathematics, Faculty of Civil Engineering, Czech Technical University in Prague, Thákurova 7, Prague 6 olivik@mat.fsv.cvur.cz

164 Equations of transformation from the Cartesian coordinates [ X, Y, Z] to the geographic coordinates [ ϕ, λ] are derived from equations found in [] and so the equation of the radius of the normal section N : X = N cosϕ cosλ (1) Y = N cosϕ sin λ () ( 1 e ) sinϕ Z = N (3) For the radius of the normal section N holds the following equation (see []): From equations () and (3) we obtain the equation: sin a N = (4) 1 e sin ϕ Z ϕ = (5) 4 a a e + a e + Z e After substituting sin ϕ into (4) we obtain equation for N : N = a (6) Z e 1 4 a a e + a e + Z e Now, we can compute the latitude ϕ, resp. longitude λ from equations (3), resp. (): Z ϕ = arcsin N ( 1 e ) (7) Y λ = arcsin N cosϕ (8) The first interior point of a line segment S 1S is computed from equation: where h h 1 q = and Q ( S ) 1 S1 + q S1 =, (9) h 1, h are the altitudes of satellites S 1, S. All other interior points Q i of a line segment S 1S are computed from equation: where and Q i ( S ) = S, (10) 1 + q S1 q = q ± dq (11) hq sin i 1 dα dq = sinτ, (1) S S

165 where hq i is the altitude of the point Q i, d α is the difference between angle of incidence and angle of reflect and τ is the angle between vectors S 1S and P Q (see i i+ 1 Figure 1). Figure 1: A drawing shows the situation of points Q i and Q i+1. From equation (6) is computed the radius of the normal section N. Then the point is transformed to the geographic coordinates (equations (7) and (8)). This way we obtained the point P i. The next step is to compute angles between vectors P i S1, P i S and normal to the ellipsoid in the point P i. Since the point P i was computed as a vertical projection of point Q, both point lie at the normal to the ellipsoid. Angle of incidence will be then i angle between vectors P Q and i i P i S Q i. Angle of reflect will be angle between vectors P Q and i i P i S1. If the angle S PQ 1 i i is less than angle S PQ i i, then q = q dq, otherwise q = q + dq, i =.. n. 9 Computing ends when the angle difference is less than 1 10 rad..1. Numerical data coordinates of satellite S 1 : S = [ ; ; ] m 1 coordinates of satellite S : S = [ ; ; ] m parameters of the reference ellipsoid: a = m, e =

166 .. Numerical results For these input data has the reflecting point following coordinates X = Y = Z = Count of iterative steps is 9. Difference between angles is 3. Conclusion ϕ = λ = rad. After replacing arctan with arcsin (equations (7) and (8)) we are able to compute reflecting points even if they are close to both Earth Poles. References [1] OLIVÍK, S.: Odrazný bod bistatické altimetrie na ploše elipsoidu, In: Matematika na vysokých školách. Praha: Jednota eských matematik a fyzik, 005. ISBN , s [] BARANOVÁ, M.: Multimediální texty k pedmtu Matematická kartografie 1 [online], URL: [3] KOANDRLOVÁ, M., OLIVÍK, S.: Three Ways to GPS Altimetry Problem Solution, In: Proceedings of Workshop 005 [CD-ROM]. Prague: CTU, 005. ISBN , s

167 VYUŽITIE MATLABU PRI RIEŠENÍ NIEKTORÝCH TYPOV ÚLOH Z PRAVDEPODOBNOSTI A MATEMATICKEJ ŠTATISTIKY Eva Ostertagová 1 Abstrakt: V lánku sú prezentované metodické postupy pri výube predmetu Pravdepodobnos a matematická štatistika pomocou matematického softvéru na Fakulte elektrotechniky a informatiky Technickej univerzity v Košiciach. 1. Poítaová podpora výuby matematiky na FEI TU v Košiciach Cieom jednotlivých matematických predmetov na technických univerzitách je poskytnú študentom dorozumievací prostriedok pre pochopenie odborných predmetov a dostatone presnú formuláciu technických problémov. Naša skúsenos ukazuje, že pri získavaní matematického vzdelania je matematický softvér vekým pomocníkom, hoci môže prinies reálne nebezpeenstvo, že študenti nebudú ma matematickú intuíciu, len jediné želanie: pozna, ktoré poítaové klávesy musia stlai pre vyriešenie svojho problému. Aby sme sa vyhli nebezpeenstvu výchovy takýchto klávesových inžinierov je potrebné prispôsobi spôsob vyuovania matematiky tak, aby sme študentov nauili tvori, ukázali im ako prebieha tvorivé myslenie, ako vznikol pred vedou problém, ako vedci prišli k jeho vyriešeniu, ako sa vytyovali hypotézy, at., teda aby inžinier bol inžinierom aj ke vypnú elektrický prúd. Katedra matematiky FEI TU v Košiciach dlhodobo intenzívne využíva poítae vo vyuovaní rôznych matematických disciplín. Experimentuje sa s viacerými možnosami za úelom zabezpeenia lepšej efektívnosti výuby matematických predmetov. V predmete Pravdepodobnos a matematická štatistika (PaMŠ) sme zvolili MATLAB (FEI TU v Košiciach má zakúpenú jeho školskú verziu) ako urité východisko pre celkovú prípravu študentov. Predmet PaMŠ sa v súasnosti ešte vyuuje na FEI v treom roníku inžinierskeho štúdia (starý študijný plán) v zimnom alebo v letnom semestri, poda odborov ako povinný, resp. povinne volitený predmet s rozsahom /3 a je ukonený semestrálnou skúškou. Cvienia, priebežné semestrálne kontroly, ako aj písomná as semestrálnej skúšky, sú realizované v poítaovej uebni. Predmet je dobre zabezpeený študijnou literatúrou. Uebnice [1] a [], vypracované autormi z katedry, v plnom rozsahu pokrývajú uebné osnovy tohoto predmetu. Na podporu samostatnej práce študentov pri poítai, s ohadom na ich individuálne schopnosti, bol kolektívom katedry vytvorený výubový program CVIKO, pracujúci v prostredí MATLAB-u, ktorý obsahuje databázu asi 300 úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Uvedený program ponúka študentovi pre každú úlohu text zadania, návod na riešenie, potrebné teoretické poznatky a podrobné riešenia s výsledkami. Je samozrejmé, že pri riešení úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky sme mohli zvoli aj iný softvér, napr. EXCEL, MAPLE a pod. Ide tu o uritý kompromis, 1 Katedra matematiky, FEI TU v Košiciach, B. Nmcovej 3, Košice, eva.ostertagova@tuke.sk

168 ktorý má za cie pripravi študenta nielen na riešenie úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky, ale hlavne ho pripravi na využitie získaných vedomostí a zruností v práci s MATLAB-om v odborných predmetoch. V nasledujúcom školskom roku sa už zane tento predmet realizova v zmenenej forme spojením s predmetom Numerické metódy (tiež doteraz realizovaným samostatne), a to v novom študijnom programe bakalárskeho štúdia v druhom roníku v zimnom semestri s rozsahom 3/ a s ukonením semestrálnou skúškou.. MATLAB a niektoré jeho aplikácie v predmete PaMŠ Uvedieme aspo jeden príklad metodického postupu pri vedení cvienia z predmetu PaMŠ, napr. pri preberaní uiva o spojitej náhodnej premennej. Pri každom tematickom okruhu sa úloha najprv vyrieši analyticky, potom nasleduje spôsob riešenia použitím MATLAB-u. 0, pre x 0 Príklad. Daná je funkcia F( x) = a + b cos x, pre 0 < x π. Nájdite: 1, pre x > π a) pre aké hodnoty a, b R je F(x) distribunou funkciou spojitej náhodnej premennej X; b) hustotu pravdepodobnosti f(x); c) grafy funkcií F(x) a f(x); d) strednú hodnotu E(X) a disperziu D(X); e) pravdepodobnos P ( 0 < X < π / 4). Riešenie: a) Konštanty a, b vypoítame na základe spojitosti sprava distribunej funkcie náhodnej premennej X: 0 = + x 0 lim F( x) = F(0) = a + b, 1 lim F( x) = F( π ) = a b. = + x π Dostaneme rovnice a + b = 0, a b = 1, odkia získame výsledky: Použitím modulu Symbolic Math môžeme všeobecne poíta limity: syms a b x real limit(a+b*cos(x),x,0,'right') limit(a+b*cos(x),x,pi,'right') b) Hustota pravdepodobnosti f(x) je prvou deriváciou distribunej funkcie: Dostaneme výsledok: f ( x) = F ( x). 1 sin x, pre x ( 0, π f ( x) =. 0, pre x ( 0, π 1 1 a =, b =. Na derivovanie môžeme použi opä MATLAB (distribunú funkciu uložíme do premennej F1, hustotu pravdepodobnosti do f1, pre x (0, π ): syms x real F1=1/-1/*cos(x),f1=diff(F1,x)

169 c) Grafy funkcií F(x) a f(x): Môžeme použi funkciu subplot, ktorá nám umožuje umiestni viac obrázkov do jedného grafického okna: x=0:0.001:pi;f1=[0,subs(f1),1];f1=[0,subs(f1),0];x=[-.5,x,pi+.3];figure; subplot(1,,1);plot(x,f1,'r','linewidth',3) subplot(1,,);plot(x,f1,'k','linewidth',3) Obr. 1: as grafov distribunej funkcie a hustoty pravdepodobnosti d) Stredná hodnota E(X) a disperzia D(X) sa vypoítajú poda vzorcov: E( X ) = x f ( x) dx, D( X ) = E( X ) ( E( X )) Dostaneme integrály, ktoré vypoítame metódou per partes: π 1 π E( X ) = x sin x dx, = = 0 Potom bude D ( X ) = π. 4 π 1 π ( ) = sin = =. E X x x dx V tomto prípade je analytický výpoet pomerne zdhavý, takže oceníme možnosti MATLAB-u (strednú hodnotu uložíme do premennej E a disperziu do premennej D): syms x real f1=0.5*sin(x); F1=1/-1/*cos(x); E=int(x*f1,x,0,pi),D=int(x^*f1,x,0,pi)-E^

170 Alebo použijeme príkaz double, ktorý zabezpeuje prevod symbolu na íslo: E=double(int(x*f1,x,0,pi)),D=double(int(x^*f1,x,0,pi))-E^ e) Pre spojitú náhodnú premennú X platí vzorec pre výpoet pravdepodobnosti: P Teda dostávame: 1 P ( 0 < X < π / 4) = ( a < X b) = P( a X b) = P( a X < b) = P( a < X < b) = π 4 0 b = f ( x) dx = F( b) F( a). a sin x dx = F( π / 4) F ( 0) = 0,1464. Na výpoet danej pravdepodobnosti môžeme využi aj MATLAB, a to použitím hustoty pravdepodobnosti, resp. použitím distribunej funkcie: double(int(f1,x,0,pi/4)),subs(f1,pi/4)-subs(f1,0) 3. Záver Naše skúsenosti s výubou predmetu PaMŠ v poítaovej uebni ukazujú, že vhodné kombinovanie klasických metód vyuovania s novými metódami, ktoré predstavuje napr. interaktívny program CVIKO, pracujúci v poítaovom prostredí MATLAB-u, ako aj samotné využívanie poítaov vo výube PaMŠ, vedie ku skvalitneniu a hlavne zefektívneniu vyuovacieho procesu, ktorý sa môže kladne prejavi aj pri výube odborných predmetov. Je rozumné vysvetova základné matematické pojmy na jednoduchých, zaujímavých príkladoch klasickými vyuovacími metódami. Pri riešení zložitejších, resp. asovo zdhavejších úloh je potrebné ukáza možnosti ich riešenia použitím poítaov a vhodného softvéru. Literatúra [1] GAVALEC, M., KOVÁOVÁ, N., OSTERTAGOVÁ, E., SK IVÁNEK, J.: Pravdepodobnos a matematická štatistika v poítaovom prostredí MATLAB-u. Košice: Elfa, 00. ISBN [] OSTERTAGOVÁ, E.: Pravdepodobnos a matematická štatistika v príkladoch. Košice: Elfa, 005. ISBN X. [3] OSTERTAGOVÁ, E.: Využitie MATLAB-u pri výube pravdepodobnosti a matematickej štatistiky na FEI TU v Košiciach. In. Transfer inovácií 3/001. Košice: KIR SjF TU v Košiciach, 001. ISBN , s [4] OSTERTAGOVÁ, E.: Tréningové metódy výuby štatistiky programovým systémom MATLAB. In. Transfer inovácií 3/001. Košice: KIR SjF TU v Košiciach, 001. ISBN , s [5] OSTERTAGOVÁ, E.: MATLAB a jeho aplikácie pri riešení niektorých typov úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. In. Transfer inovácií 7/004. Košice: ICA SjF TU v Košiciach, 004. ISBN , s [6] PIR, V., OSTERTAGOVÁ, E., SEDLÁKOVÁ, A.: Využitie matematických softvérov pri výube niektorých matematických predmetov. In. Zborník vedeckých prác z. medzinárodnej konferencie APLIMAT 003. Bratislava: SjF STU Bratislava, 003. ISBN , s

171 VYUŽITÍ ZPTNOVAZEBNÍCH INFORMACÍ ZE ZKOUŠKY Z MATEMATIKY VE VÝUCE MATEMATIKY? Jan Ostravský 1 Abstrakt: Píspvek se zabývá využitím zptnovazebních informací získaných pi semestrální zkoušce z matematiky na FaME UTB ve Zlín. Autor popisuje písemný zpsob zkoušení matematiky ve. roníku v prezenní form studia. Zdrazuje, že pi písemném zkoušení teorie mže zkoušející získat mnohem ucelenjší poznatky o nabytých vdomostech student a ukazuje, jak se dají tyto poznatky ve vyuovacím procesu v následujícím akademickém roce V závru píspvku jsou uvedeny názory student na tuto problematiku. V [] se íká, že vyuovací proces mžeme chápat pi uritém zjednodušení jako ízený proces, ve kterém lze rozlišit dv základní fáze: a) sdlovaní nových poznatkových obsah, b) kontrola množství a kvality osvojených vdomostí a dovedností. Fáze vyuovacího procesu tvoí jednotný celek, který nelze násiln rozdlovat. Komunikace mezi studentem a uitelem probíhá ve tech informaních kanálech: 1. Sdlovací kanál penáší informace o uivu a informace, které ídí studentovu innost (instrukce, pokyny atd.).. Zptnovazební kanál penáší informace o tom, jak student uivo pijal a zpracoval. 3. Zptnovazební kanál penáší informace o reakcích uitele na výkon studenta. V píspvku se budu zabývat zptnou vazbou, která se realizuje zkouškou z matematiky a pokusím se využít informace získané ze zptné vazby v následujícím roce k efektivnjšímu ízení výuky matematiky. Pi ústním zkoušení jsem zjistil, že studenti (odhaduji až 75 %) se uí definice a matematické vty nazpam. Mnozí vbec nerozumí používané symbolice, jednotlivé symboly si vzájemn pletou. Abych zjistil emu všemu nerozumí zaal jsem teorii zkoušet písemn, pedevším z toho dvodu, abych se mohl po zkoušce k jednotlivým otázkám vracet. Vytvoil jsem si didaktický test z matematiky M3. Testové položky byly vytváeny jako produkní úlohy v drobných modifikacích, nap. místo definujte lineární funkci r promnných, jsem zadal úlohu definujte lineární funkci o 4 promnných a napište konkrétní lineární funkci o 3 promnných. Dále jsem do testu zadával jednoduché píklady a na nich jsem zjišoval, zda studenti píslušný pojem chápou, eventueln do jaké hloubky. Takto koncipovaný test dlá studentm nepedstavitelné problémy, protože jejich cílem není porozumt probírané látce, ale pouze zkoušku úspšn zvládnout. Jejich postoje se dají shrnout do jedné vty: Na co se mám uit teorii, staí mi když umím poítat. Hlavní problém je v tom, že studenti prakticky prbžn nestudují. I když jsem se je snažil je k této innosti pinutit zadáváním speciálních domácích úloh (viz níže), podailo se mi to jen u nkterých z nich. 1 RNDr. Jan Ostravský, CSc., ÚM FAI UTB Zlín, ostravsky@ft.utb.cz

172 V [4] byl test pedstaven. Testy obsahují 1 testových úloh (9 z diferenciálního potu funkce více promnných, 3 z teorie íselných ad) tak, aby pokrývaly co nejvtší ást probírané látky. Doba trvání testu: 40 minut. Celkový poet bod: 40. K úspšnému zvládnutí testu musí student získat nejmén 0 bod. Pak píše praktickou ást sestávající ze ty stedn obtížných píklad. Mnohem zajímavjší je pro mne, ale teoretická ást. Studenti, kteí ji zvládají nad 30 bod nemají s praktickou ástí žádné vtší problémy. Prost oduené látce rozumí. Ukázka jednoho zkouškového testu. 1a) Definujte funkci r promnných. Co rozumíme pod pojmem obor funkních hodnot? Zvolte libovolnou funkci dvou promnných a urete její defininí obor H f. 4 body D( f ) a obor hodnot ( ) 1b) Definujte graf funkce dvou promnných. Urete souadnice libovolného bodu x log x (oznate jej A) defininího oboru a bodu B grafu funkce f ( x, y) =. y 3 body f x = 4 a f x. y = 4. 3 body 1c) Nartnte grafy funkcí ( ) ( ) Zvolte libovolnou kvadratickou funkci 3 promnných, kterou oznaíte k ( x, y, z ). Urete a) diferenciál d k ( 1,1,1 ) 3 body b) diferenciál. ádu d k ( 1,1,1 ) 4 body c) Hessovu matici H k ( 1,1,1 ) 3 body 3a) Definujte maximum funkce f ( x1, x,, xr ) vzhledem k množin M v bod C M D( f ) E r. Objasnte pojmy: globální a lokální extrém. 4 body 3b) Urete libovolnou funkci dvou promnných, která má maximum v bod [ 1,1 ] rovné 4. 3c) Pro funkce ( ) 3 body f x, y = x + y 3x nemá extrém? 3 body 4a) Definujte nekonenou íselnou posloupnost. Nakreslete graf posloupnosti 4n +. emu se rovná limita této posloupnosti? Utvote nekonenou n n= 1 íselnou adu k této posloupnosti. 4 body 4b) Napište limitní odmocninové kritérium. Stanovte libovolnou adu, která dle tohoto kritéria diverguje. 3 body c) Urete n tý len a n ady + +. Vytvote z této ady adu an a zjistte, zda je splnna nutná podmínka pro konvergenci u této ady. n= 1 3 body

173 Nejvtším pínosem takto koncipované zkoušky je pro examinátora znalost výsledk výukového procesu v teoretické ásti (zptnovazební kanál). To pochopiteln umožuje efektivní ízení vyuovacího procesu pomocí korekního zptnovazebního kanálu. Z toho plyne, že jsem schopen revidovat, jak zpsob výuky, tak obsah pednášené látky, resp. texty ve skriptech v dalších letech. Jak se tedy dá využít tchto jistých neznalostí nevdomostí student ve výuce. Probral jsem všechny odpovdi student k jednotlivým testovým otázkám. Zvlášt asté chybné, ale i správné odpovdi jsem zaznamenal a využil ve cviení z matematiky následujícím zpsobem nap. otázka 1 a): 1 a) Procviení pojmu funkce r - promnných Úkol: Projdte odpovdi student a objasnte jakých chyb se dopustili. 1. Nech existuje množina M E r. f x1, x,, xr, která piazuje každé uspoádané r tici reálných ísel práv 1 reálné íslo X f x pak se tato funkce nazývá funkcí r promnných. nebo ( ) Je dána funkce ( ). Funkce r promnných je pedpis, který piazuje každé r tici reálných ísel práv jedno reálné íslo z defininího oboru. 3. Funkce r promnných = zobrazení f, které každé uspoádané r tici X = ( x1, x,, xr ) piazuje práv jedno reálné íslo z nebo f ( x1, y 1). 4. Zobrazení f, pi kterém ke každé uspoádané r tici ( 1,,, r ) množiny M E piadí jedno íslo z ( R) nebo z f ( x x x ) M X = x x x M r = 1,,, r je reálná funkce r promnných. 5. Nech je dána množina M, M Er. Zobrazení funkce f, které každé r tici x piazuje práv jedno reálné íslo z nazýváme reálnou funkcí r promnných. Dále otázka. 1 b) i): Urete souadnice libovolného bodu (oznate jej A) defininího oboru funkce x log x f ( x, y) =. y Úkol: Vyberte vhodné body z odpovdí student: 1,1,0 3, 0,,0 1, 0,1 A = 1,0, A = [ ], A = [ ], A = [ ], A = [ ], A = [ ], [ ] Otázka. 1b) ii): Urete souadnice libovolného bodu (oznate jej B) grafu funkce x log x f ( x, y) =. y Úkol: Vyberte vhodné body z odpovdí student: 1,1,0 10;1; 4,5, 0,1,0 B =,1,. B = [ ], B = [ ], B = [ ], B = [ ], [ ] 1 c) Procviení pojm: graf funkce dvou a více promnných 1 c) i) Definujte graf funkce r promnných. Úkol: Naleznte a opravte chyby v definici grafu funkce r promnných

174 1. Graf funkce r promnných se promítá do prostoru E r + 1. Bod tohoto grafu má souadnice A = x1, x,, xr, f ( x1. x,, xr ), kde X [ x1, x,, xr ] do defininího oboru funkce a z f ( x x x ) = musí patit = 1,,, r musí vyhovovat oboru hodnot funkce.. Grafem G funkce r promnných rozumíme množina M bod X = [ x1, x,, xr ] vyhovují rovnici xr + 1 = f ( x1, x,, xr ), piemž body [ 1,,, r ] ( ) (,,, ) ; (,, ) ( ) X = x x x D f { 1 r r+ 1 r+ 1 r+ 1 1 r } G = x x x E x = f x x X D f. 3. Je dána reálná funkce r reálných promnných. Graf G funkce r promnných je množina X1 X r + 1 takových, že f = f ( x, x,, x ) a uspoádaná r tice r+ 1 1 X = ( x1, x,, xr ) patí do D( f ) a f = r 1 f ( x1, x,, xr ) + H ( f ). G = ( x1,, xr, f ( x1,, xr ) ) Er+ 1 ; fr+ 1 = f ( x1,, xr ) H ( f ) X D( f ) 4. Nech máme funkci f ( x1, x,, x r + 1) a rovnici xr + 1 = ( x1, x,, xr + 1) a bod X = [ x1, x,, xr ] D ( f ), pak graf funkce je dán množinovým zápisem: G = {( x1,, xr, xr + 1) Er+ 1 ; xr + 1 = f ( x1,, xr ) X D( f )}. 5. Graf funkce r promnných je množina bod X = [ x1, x,, x r + 1] vyhovuje rovnici x f ( x, x,, x ) X D f { }. = a ( r+ 1 1 r ). Množinov se to zapíše: G = x,, x, x E ; x = f x,, x X D f. {( 1 r r+ 1) r+ 1 r+ 1 ( 1 r ) ( )} c) ii) Nartnte grafy funkcí f ( x) f ( x y) = 4 a. = 4. Úkol: Nartnte grafy vytvoené studenty a srovnejte se správnou odpovdí na zadanou otázku. Pokuste se vysvtlit pro student nakreslil graf tímto zpsobem. Co si vlastn popletli? Nejastjší chyby u grafu funkce f ( x ) = 4 : Graf je nakreslený jako pímka x = Je nartnut jako bod na ose x ([ 4,0 ]).. Je nartnut jako bod [ 1,4 ]. Nejastjší chyby u grafu funkce f ( x, y ) = 4 : 1. Graf je nakreslený jako bod [ 1,1,4 ].. Jako bod [ 4,0 ]. 3. Graf je nakreslený jako pímka x = 4. x = 0 4. Jako rovina, ale ne správn (rovina pod pímkou v prostoru z = 4 E Student se domnívá, že takový graf nelze zobrazit. 4, Jako bod [ ] 7. Jako rovinu o úsecích na všech osách délky 4. r

175 Studenti mli za úkol po odpednášené látce jednotlivých pojmech nap. definice funkce r promnných, defininí obor, obor hodnot, graf funkce r promnných atd. na internetu najít zadaný úkol do cviení z matematiky nap. 1 a). Úkol si vytiskli, pipravili si odpovdi a na zaátku cviení s pomocí elektronické tužky opravovali chyby a pokoušeli se vysvtlit emu studenti v odpovdích nerozumli, co udlali nepesn a jak by to napravili. Jaký názor mají na zpsob výuky a zkoušení matematiky studenti. roníku FaME ve Zlín? Po vykonané zkoušce studenti vyplovali dotazník týkající se hodnocení ve cviení a zkoušky z matematiky M3. Dotazník vyplnilo 78 student z toho bylo 1 muž a 66 žen a obsahoval 5 otázek.. Vybral jsem pouze nkteré otázky. Odpovdi jsou uvádny v %. V pípad, že studenti neodpovdli na danou otázku % nejsou uvádna. 1. Zpsob výuky matematiky ve cvieních formou neustálého dialogu mezi vyuujícím a studenty byl po metodické stránce ze strany vyuujícího a) naprosto perfektní 4,3 % b) docela dobrý, adu vcí z pednášek jsem až ve cviení pochopil 70,5 % c) spíše nevhodný radji bych jen poítal 4, % d) úpln nevhodný moc toho namluvil (doporute mi prosím jiný vhodnjší zpsob?) 0,0 %. Na cviení z matematiky jsem se pipravoval: a) prbžn 9,0 % b) tém prbžn 47,4 % c) naprosto nepravideln 33,3 % d) vbec (pro?) 9,0 % 3. Vyuující zavedl ve cviení i opakování teorie netradiním zpsobem. K dané teoretické otázce byly vždy uvedeny chybné (ale i správné odpovdi) a Vy jste mli za úkol opravit chybné odpovdi. Odhadnte na kolik % jste si pipravovali odpovdi na tyto otázky (bez opisování ) do cviení bhem semestru? a) 0 0 0,3 % b) ,6 % c) ,7 % d) ,4 % 4. Domníváte se, že tento zpsob výuky Vám umožnil daleko lépe pochopit matematickou teorii (definice, matematické vty)? a) ani ne, já jsem ji tak chápal vždycky 1,8 % b) je to neuvitelné, ale fakt jsem tomu zaal až te docela rozum 1,8 % c) spíše ano, i když to pro mne bylo dost obtížné 50,0 % d) spíše ne, matematika mi prost vbec nejde 11,5 % 5. Celkov hodnotím vyuujícího ve cviení klasifikaním stupnm a) A 35,9 % b) B 37, % c) C 1, % d) D 5,1 % e) E dostatené (pro?) 0 f) F nevyhovující (pro???) 0 6. Zkoušku z matematiky M3 jsem zvládl na tento klasifikaní stupe: a)a 1,8 % b)b 0,5 % c)c 4,4 % d)d 4,4 % e)e 11,5 % f)f 6,4 % 7. Výsledek zkoušky (známka), dle mého názoru, odpovídá i mému subjektivnímu hodnocení: a) ano 69, % b) uml jsem o 1 stupe lépe 15,4 % c) uml jsem o stupn lépe 9,0 % d) uml jsem he 5,1 % 8. Zpsob zkoušení mne pinutil dívat se na studium matematiku kvalitativn jiným pohledem

176 a) ano, zaal jsem ji chápat ve smyslu definitorickém tj. k emu jsou dobré definice a matematické vty 4, % b) spíše ano, ale tak mne to uili i na stední škole resp. na FaME 0,8 % c) spíše ne, považuji uení se teorii za celkem zbytené, staí když dovedu poítat 38,5 % d) vbec ne, musel jsem se totiž teorii uit nazpam a to jste asi nechtl 16,6 % 9. Domnívám se, že jsem v pochopení matematiky jako takové pokroil ve srovnání s minulým rokem (roky) výrazn dopedu a) jednoznan ano, nedá se to vbec srovnávat 34,6 % b) spíše ano, ale nedá se íci výrazn 47,4 % c) spíše ne, te jsem se jen zbyten uil spoustu vcí 5,1 % d) vbec ne, matematiku považuji pro mne za naprosto zbytenou 1,1 % e) ne, i když musím piznat, že jste se snažil nás z jakési apatie pokud se týká studia matematiky dostat 10. Formu (písemnou) a provedení zápotu a zkoušky z matematiky (stejný as, stejné zadání ve skupin) ve. roníku považuji za objektivní posouzení mých znalostí z píslušné látky a) ano, bez výhrad 75,6 % b) spíše za objektivní, ale výhrady mám (jaké?) 17,9 % c) spíše neobjektivní (pro?),6 % d) naprosto neobjektivní (pro?) 0,0 % Studenti mohli k dotazníku pipojit i své vlastní názory na tento zpsob výuky. Uvedu ást jednoho z nich (jedná se o slovenskou studentku, ale napíši její text esky). Cituji: Vzpomínám si, jak jste nám oznámil, že v tomto semestru se budeme muset nauit i definice. Musím se piznat, že v té chvíli jsem Vás rozhodn nechválila. Myslela jsem, že v tomto semestru skoní doba, kdy jsem mla matematiku ráda No nyní úpln chápu, pro jste to po nás vyžadoval a kupodivu se mi uili mnohem leheji než jsem oekávala, nebo jste mne nauil íst matematické symboly, které byly pro mne vždy tabu. Díky Vám te aspo nco vidím v tch krkolomných vzorcích, které se uíme nap. ve statistice. Resumé The contribution concerns the ways of examining and education mathematical theories at the Faculty of Management and Economics in Zlín. Author presents advantages of writing examining. The contribution results in higher objectivity by written examinations of varsity mathematical theory. Good knowledge of the results of examined theory allows with the use of feedback channel to manage effectively the teaching process in the following years. Literatura: [1] Bykovský, P.: Základy mení výsledk výuky, VUT Praha, 1985, ISBN [] Chráska, M.: Didaktické testy, Paido, Brno 1999, ISBN [3] Ostravský, J.: Jak napsat srozumitelná internetová skripta z matematiky pro studenty. roníku FaME UTB ve Zlín?, elearning ve vysokoškolském vzdlávání 004, UTB ve Zlín, 004, ISBN [4] Ostravský, J.: Jak objektivnji zkoušet teorii ve vysokoškolské matematice? Zborník 8. konferencie VŠTEP, Rožava 004, ISBN X

177 COMPUTER AND E-LEARNING SUPPORT OF MATHEMATICS IN THE BACHELOR S STUDY PROGRAMME Marie Polcerová 1 Abstract: The contribution is devoted to Computer exercises and e-learning support of mathematics in the Bachelor s study programme at the Faculty of Chemistry of Brno University of Technology. We have introduced computer exercises and two e-learning instructions into regular teaching. Here we put the most emphasis on the individual responsibility of the student, not only during teaching but also when undertaking homework. Students are introduced to the mathematical programme MATLAB, for numeric and symbolic computation, for high-level programming and for advanced graphics and visualization. 1. Computer exercises With the transition to the three-level study system at the Faculty of Chemistry of Brno University of Technology in the academic year 004/005 the contents of the mathematical curriculum have been compressed in time. Simultaneously, there has been a radical reduction in the number of lessons, especially exercise classes. This brings a series of problems and the necessity to change the standard forms and methods of working. We gradually introduce information technology to the teaching of mathematics at our faculty from 1976 and now they form a linked system. One of the possible classification is division according to the placing of the materials or the activity. According to the criterion we can most of computer supports divide into: Mathematics-lectures; Mathematics-exercises; Computer exercises from mathematics; E-learning instructions; Www home page; LMS system MOODLE and Lifelong learning. I am not going to deal with using of information technology in mathematicslectures and mathematics-exercises, because you yourselves use it and adapt it in presentation created by help of Power Point, Excel or other mathematical and computer programmes that are needed in teaching. In my contribution I concentrate especially on computer exercises and e-learning instructions and only marginally I mention www home page, MOODLE and lifelong learning. We have introduced so called Computer exercises into regular teaching. Here we put the most emphasis on the individual responsibility of the student, not only during teaching but also when undertaking homework. Computer exercises take place once every fourteen days, in the specialized Information Technology room which holds 4 students. In this room, in addition to computers with the required software, there are also data projection and overhead projection facilities. Students are introduced to the mathematical programme MATLAB, for numeric and symbolic computation, for high-level programming and for advanced graphics and visualization. Because students use MATLAB in their subsequent studies, especially in technical subjects, we concentrate on these topics: Elementary mathematical functions Polynomials, Partial-fraction expansion, Matrix analysis Graph of a real function 1 Institute of Physical and Applied Chemistry, Faculty of Chemistry, Brno University of Technology, Purkyova 118, Brno, polcerova@fch.vutbr.cz

178 Non-linear equations, Zero points, Maximum, Minimum, Differentiation MATLAB advanced graphics and visualization Analytical geometry, Vector cross product, Vector dot product Conic Sections, Quadratic Surfaces During the semester students have to complete four so called, partial tasks, investigate the graph of a real function and one semester project. A student can receive up to one point for each partial task, but he/she must achieve at least 0.5 point, in order for it to be accepted. For the graph of a real function he/she can receive two points: one point is necessary for it to be accepted. For the semester project he/she can receive.5 points: two points is necessary for it to be accepted. For activity during the exercises he/she can get one point and for attendance 0.5 point. Altogether he/she can receive ten points from the Computer exercises, which contributes to his grading in the examination. Because the subject of mathematics has too few lessons, we must choose a practical approach to teaching. At first students are introduced to a practical problem, then explanations of the problem are usually made and an example problem is solved. The main activity is independent and individual work by the students, who solve analogous problems with modified tasks. They can ask the teacher questions. The selected problems are used to show students the theoretical knowledge that is need to solve the problem correctly. In addition, the importance of monitoring any MATLAB error messages is emphasized. We show the students how to elegantly and quickly find, using MATLAB, the solution of a system of equations which has a unique solution. Then we show systems which have infinitely many solutions and no solutions. Similarly, we illustrate the graph of a real function, finding zeros, searching for extremes and so on. All students have to do homework after each lesson for the next lesson in fourteen days time. This homework is individually assigned for each student. The lessons have a very fast pace and students do not have time to make a complete set of notes. We have produced an Accompanying text to the Computer Exercises from Mathematics I, which is not only a manual for the mathematical programme MATLAB, butt also includes a large number of examples on the utilization of the selected commands and functions. This text is made available on the Internet together with on-line versions of selected exercises and teaching texts which help students to solve problems.. Partial tasks and semester project The first partial task is a word problem from secondary school from different thematic parts and from different practical course; each student has a totally different problem. The objective for students is to find a mathematical method for solving the problem, to implement this method to find the solution, to write the solution on the paper and to interpret the solution in the context of the original problem. Example: There are 5 litres of water with temperature 100 C in a vessel. We take away 1 litre and we pour instead one litre of water with temperature 0 C. Then we take away 1 litre of the mixture from the vessel and pour one litre of water with temperature 0 C again and so on. What is the temperature of the water in the vessel, if this procedure is repeated ten times? How many times do we need to repeat the procedure to decrease the temperature of water in the vessel to 50 C? The second partial task deals with systems of equations and again each student has a completely different word problem. The objective is similar: to construct the appropriate system of equations, to solve it and to write the solution and its interpretation on the paper

179 Example: We equilibrate the body of alloy of two metals with the weight p kg in the air and after immersion into water with the weight q kg smaller. The body made of the first metal of the alloy which we equilibrate in the air with the weight p kg, we equilibrate in the water by weight by m 1 kg smaller. The body made from the second metal of the alloy, which we equilibrate in the air with the same weight p kg, we equilibrate in water with the weight which is by m kg smaller. How many kilograms of each metal are contained in the body this alloy? The next homework is to produce a graph of a real function. Again each student has a totally different function and the objective is to use differential calculus according to fifteen predetermined points to complete a graph of a real function and to write a so-called m-file, which draws the graph of this real function including axes, asymptotes, tangents and so on. The completed document has to include all calculations, the m-file and a graph from MATLAB. y. The fourth partial task is a word problem about the extremes of a function. Again each student has a different word problem from which he/she has to determine the function, find the extremes through calculation and he/she write up the correct answer. Example: A transport company organized a trip. If the number of the participants is a = 00 or less the price of the trip is c = K. If the number of the participants is more than a then the price of the trip for one person is decreased by d = 4 K. How many participants should apply for the trip in case the income is the highest? How much is this income? The fifth partial task is a problem from analytical geometry. Each student has a different problem which usually requires the calculation of the volume, surface area and height some angular body. Example: Calculate the volume of the tetragonal pyramid with the parallelogram base, its surface area, the height of the solid and the area of the base in case its apexes have coordinates: A = (13, 18, 10); B = ( 7, 11, 19); C = (6, 5, 11); V = ( 9, 1, 19). All these problems are organized vertically and horizontally. This means that every set of problems covers different sections of the syllabus and contains problems of different levels of difficulty. Each student is given a group of five problems of different difficulty and nobody has only difficult or only easy or middle problems. A word document was constructed for each set of problems; this was named and consequently sent to the appropriate address. In the semester project, the student has to show that he/she has learnt the required knowledge and skills not only in mathematics, but also in the application of MATLAB and computer technology. This is why the semester project is only available electronically either from the Faculty Intranet (in a directory in which students have only read access), or from the Internet. Students have to work out and hand in this project in electronic form, using the editor Word. The final document has to satisfy all the criteria given in advance and has to be saved on the Faculty Intranet in a directory in which students have only the right to create and scan files. This means that neither the author nor any other student can open, delete or read the file. The semester project contains five basic word problems, which are formulated so as to seem identical for all students. However, each student has a different variation of the problem. For example in the fifth problem students do not have only different numbers in the equation of their conic sections, but some of them analyse parabola and hyperbola, others ellipse and hyperbola and so on and moreover the conic axes are parallel to either x or y-axes. Example: Determine the graph of this real function: = x + 1 ln( x + x + 1)

180 Attention is focused on such problems where non-trivial and meaningful use of computers is required. For example, in the first problem, a polynomial of the fifth degree is in the denominator, and students are not able to solve it. They have to find the roots of this polynomial with the help of MATLAB and then make the partial-fraction expansion, for which they need to know the relevant theory. In the third problem they have to draw the relevant area in order to be able to formulate the integral, which will give the solution of their problem. Ignorance of the relevant theory and mere mechanical computation of the integral generally leads to an incorrect result. Similarity we can get incorrect graphical illustration of surfaces, conic sections and so on. Students work with different forms and different applications in the solution particular problems and this way they learn to put the text, data or pictures from different applications into one document. A student should demonstrate in his/her semester project, that he/she knows how to use computer technology in the creation of a written document, that he/she is able to use the mathematical program MATLAB in solution of mathematical problems, that he/she is able to graphically illustrate results obtained and to present them not only in plane, but also in three-dimensional space and that he/she is ready to take responsibility for the results obtained. The computer exercises should contribute both to better independence of students and to increasing interest in mathematics. A student should demonstrate that he/she is be able to apply the knowledge he/she has learnt in the solution of unseen problems, that he/she understands the connection of mathematics with other technical subjects, that he/she is able to solve problems and analyse the results. 3. E-learning instructions and lifelong learning So far it seems that the study of mathematics is very difficult for students. This is not only because of the necessity to master a large curriculum in a relatively short time, but also because of a lack of knowledge from the secondary school. To support these students, we have introduced two e-learning instructions in teaching. The first of them is called How to make a graph of a real function and the second one is called How to elaborate a semester project. These instructions include not only the necessary theory, but also give exemplary solutions of particular problems and comments and instructions about how to solve the problem with the help of MATLAB. We decided to use colours to make it easier. There are theories green, commands pink, questions and advice red, hypertext references blue underlined, important text blue, examples brown, MATLAB commands blue Courier, annotations orange. Each student chooses his rate and procedure and students appreciate these instructions. Because these instructions help students to solve their homework all these instructions are saved on the Faculty Intranet in the directory in which students have only read access. Students can copy these instructions to their medium and bring them at home. They can always work with them during the day and use them in a way that it suits them. In order to fill in gaps from their secondary education, students can choose the subject Mathematics for chemists in the course of so called lifelong learning. This contains application of secondary mathematics in the chemical profession. Students can choose the subject extra to their study duties and because they pay for this subject we adapt curriculum to their requirements. This subject was taught for the first time this year and 3 students enrolled. After the first three lessons we started teaching the same themes as in the regular exercises and most time was devoted to preparation for the tests and questions of students. Individual lectures were gradually exhibited on Internet. In this

181 way, we try to help the less well-prepared students to master the lessons of mathematics in our faculty. 4. Conclusion Students of the first year hardly find their way in the new environment and they often have problems with searching necessary information. That is way we created www home page which is devoted to the whole subject of Mathematics I and both daily (fulltime) and combined form of study. On this www home page students find all what they need for mastering this subject. Here they find information about why they need to learn mathematics and what will they use it for in the future. There are syllabi of the subject and exercises including conditions for awarding the course-unit credit and instruction about possibilities in case they don t meet these conditions. There are textbooks including links to electronic textbooks, texts and courses. There are assignments of the semester project, instructions for its elaboration, the dates when students must deliver these tasks, when they must sit for the course-unit credit and so on. This www home page is dynamic (it is renewed every day) it means that one week there are assignments of tasks which they are going to solve in exercise and the other week there are the exemplarily solved tasks. Students appreciate these solved tasks because they obtain collection of solved tasks and when we don t solve all the tasks in the exercise at school they can obtain these solutions. When they aren t present in the lecture they catch up with the taught topic very quickly. These documents are opened and shareware so each student can write his notes into the documents, print them, copy them and so on. Further there is a continuous classification, it means that when students write test on Monday or deliver the partial task they can learn about their classification on Thursday in the morning. Further on this web page there are so called optional tasks which are always word problems from the chemistry field and from the contents which are being taught this week and which are different every week. These tasks should motivate students and show them where they can use mathematics in their further study. Furthermore students can obtain some extra points for solving these tasks correctly. There are also tasks, which help students to prepare for tests. Further there are topics (contents of the lessons) of individual computer exercises so that students can individually practise every exercise at their own pace on computer again and repeat explained contents or return to what they don t understand, size up the situation and learn it. For the combined form of study there are also exhibited sets of questions for exams and the most important definitions and theorems for individual themes. This www home page has perhaps only one disadvantage, but not for our students. There is always only the winter or summer semester and students from other faculty write me to them predominantly solved tasks from the other semester or other lecture. Tests, which students write at our faculty are individual and there are 4 of them. It means that each test has about 40 versions (groups have 4 students) and each student will draw out his own test. Each student has a different test, only the theme is same. For example if the first task is the task from a differential calculus of real functions of two or more variables, one student solves the total differential, another the tangent plane, another Taylor polynomial and so on. Each student has a different assignment so he/she must learn the whole theme and cannot crib easily. In order to eliminate fears of tests and in order that students can adequately prepare for these tests, each student can try to write the test in LMS system MOODLE without obligation. There are some possible versions of the tests with the time limitation

182 so that students found out if the test passed in their time limitation or didn t. They always choose answer from four introduced possibilities. Only one answer out of them is correct and when students repeat this test the answer is mixed. Teaching of mathematics in this way conceived has been taking place in our faculty for two years and so I can inform you about the first results and experience. 4 students of the daily (full-time) form of study were accepted to our faculty in the academic year 004/005, but only 15 students came into teaching. The course-unit credit was awarded to % of students from these 15 students and 70.5 % of the students fulfilled conditions for computer exercises. 191 students of the daily (full-time) form of study were accepted to our faculty in the academic year 005/006, but only 180 students came to class. The course-unit credit was awarded to % of students and 6.78 % of students fulfilled conditions for computer exercises. When we looked for a reason why so a few students were not awarded the course-unit credit and we found out that the number of students who didn t come to our faculty increased and that a great number of students dropped study during the first semester. Contrary, the number of students, who were not awarded the course-unit credit, but who tried it, on the decreased. The following graphs show it. Course-unit credit 004/005 Course-unit credit 005/006 Dropped Didn t come Dropped Failed Passed Didn t come Failed Passed We think that the entrance exams were one of many reasons. In 004/005 almost all students took the entrance exam. Only students with average marks were less than 1.5, were accepted to university without the entrance exam. In 005/006 majority of students didn t take the entrance exam. Only students, whose average marks were greater than.5, took the entrance exam. We think that another reason is that students are less and less ready for study of mathematics at university. Some students are badly surprised that they must learn mathematics at the Faculty of Chemistry. Some of them aren t able to learn such large amount of mathematics in such limited time. For example, graduates from secondary schools for nurses don t have mathematics in the last two years. Some students delay studying and drop the Faculty during the semester, when they find out requirements in individual subjects. By all these means we try to make teaching more effective so that reduction of lessons does not reduce the quality of the students learning. We think that we are quite successful in it nevertheless the number of dropped students is still very high. Preparedness of students to study at university and their interest to study hard continues to be smaller and smaller

183 Hodnocení výkon studenta ve vysokoškolské matematice Otakar Pracha 1 Abstrakt Píspvek se zabývá problematikou hodnocení výkon studenta a klasifikací studijních výsledk u zkoušky z matematických disciplín na vysoké škole technického a ekonomického smru. Uvádí výsledky pedagogického experimentu zameného na sledování úspšnosti student v ešení úloh uvádných složek výkonu. 1. Úvod V posledních letech stále ve vtší míe picházejí na vysoké školy technického zamení absolventi stedních škol neuspokojiv pipraveni z matematiky. Absolventi stedních škol nemají trvalé znalosti základních pojm, mají obtíže pi uplatování rznorodých matematických metod i pí ešení slovních úloh. Nejsnáze se vyrovnávají s jednoduchými úlohami, které lze ešit mechanicky podle známých algoritm. Závažným nedostatkem je, že u vtšiny absolvent stední školy není rozvinuta schopnost efektivn se uit z uebnice, íst s porozumním matematický text, samostatn ešit úlohy a matematicky formulovat ešení jednoduchých problém. Pokusme se v tomto píspvku odpovdt na otázku: Jak za tchto podmínek hodnotit výkony studenta a jaké kategorie výkon preferovat pi zkouškách z vysokoškolské matematiky?. Hodnocení studijní innosti Úinné ízení vzdlávacího procesu v každém pedmtu studijního programu na vysoké škole zahrnuje i kontrolu a hodnocení studijní innosti. Hodnocení je závrenou fází, ale zárove východiskem pro zkvalitování vzdlávacího procesu. Kvalitu skutených studijních výsledk ovujeme porovnáváním s vytenými cíli vyjádenými exaktn kvalitativními i kvantitativními znaky. Hodnocení studijních výkon i hodnocení spoívá v porovnání skuteného stavu s plánovanými cíli, v posouzení uritých kvalit studenta (znalostí, schopností, zájm apod.), v interpretaci vzniklých rozdíl a v hledání píin, zahrnuje rovnž vyvození závr a pijetí úinných opatení k optimalizaci výchovn vzdlávacího procesu. 3. Pedagogický experiment zamený na hodnocení výkon studenta V lánku se zamýšlím nad potebou zmny hodnocení studijního výkonu v matematice i zmny klasifikace prospchu v pedmtu zaazeného do studijního plánu. V akademickém roce 005/006 byl realizován pedagogický experiment v 1. roníku Fakulty ekonomicko-správní na Univerzit Pardubice v pedmtu Matematika I, jehož cílem bylo zjistit úspšnost student v ešení teoretických i praktických úloh pi písemných zkouškách a provit systém hodnocení výkon studenta. Pedmt Matematika I tvoí ti tematické okruhy. Prvním je tradiní úvod do matematické analýzy, v nmž je obecný pojem zobrazení rozvíjen jak smrem k diskrétním formám (posloupnosti reálných ísel), tak smrem k formám spojitým (funkce jedné reálné promnné). Druhý okruh tvoí základy diferenciálního a integrálního potu funkcí jedné reálné promnné. Tetím okruhem jsou základní poznatky z nekonených íselných a mocninných ad. Cílem je seznámit studenty se základním matematickým aparátem potebným v disciplínách 1 Prof. RNDr. Otakar Pracha, CSc., ÚM FES Univerzity Pardubice, Otakar.Prachar@upce.cz

184 studovaného oboru pi formulaci a ešení konkrétních úloh a problém, pro efektivní analýzu jednorozmrného reálného systému se spojitým nebo diskrétním popisem. Takovéto systémy budou stedem zájmu budoucího bakaláe jak v odborných pedmtech studia, tak po odchodu do praxe. Pedmt pispívá k rozvoji logického myšlení i k poetní zbhlosti, k zvyšování samostatnosti pi ešení konkrétních problém z matematických, pírodovdných, technických i ekonomických obor. Student má pochopit základní pojmy, umt je definovat, znát dležité vty a umt získané vdomosti a dovednosti aplikovat pi ešení problém. Student má znát nejen definice a matematické vty, ale umt jich s porozumním užívat pi ešení úloh, porozumt vztahm a souvislostem mezi jednotlivými tématy, matematizovat reálné situace a ešit rzné problémy, užívat geometrickou pedstavivost v konkrétních situacích. Úkolem není jen pedávat závažné poznatky, ale také podncovat zvídavost, rozvíjet schopnost klást si otázky, pstovat kritické myšlení a zpesovat vyjadování. V programu pedmtu je uvedena obsahová nápl pednášek i cviení v jednotlivých výukových týdnech. Požadavky ke zkoušce jsou vymezeny souborem studijních cíl formulovaných vzhledem k innosti studenta ve tyech kategoriích: 1) jaké matematické pojmy má student umt definovat a objasnit; ) jaké matematické vty má student umt formulovat a objasnit; 3) jaké úlohy ze všech tematických okruh má student umt vypoítat; 4) jaké aplikace ze všech tematických okruh má zvládnout. Zkrácený soubor požadavk k písemné zkoušce obsahuje Píloha 1. Z hlediska hodnocení výkon studenta lze požadavky ke zkoušce posuzovat ve tyech složkách: U složky V ( vdomosti, fakta, terminologie, symbolika, matematické znaky) se vyžaduje znalost definic, objasování matematických vt, zákon, pravidel, princip a vzorc, zapisování definic a matematických vt pomocí kvantifikátor. Otázky a úlohy v písemné zkoušce jsou uvádny slovesnou vazbou: definovat, vyslovit, zapsat, vybrat, pojmenovat. U složky D ( dovednosti, metody, algoritmy) jde o porozumní a zvládnutí matematických inností, dokazování matematických vt, užívání algoritm, zvládnutí výpot, ešení úloh, zvládnutí grafického znázornní matematických objekt. Užívané slovesné vazby: objasnit, vysvtlit, dokázat, ešit, vypoítat, graficky znázornit. U složky T ( aplikace poznatk a inností pi ešení problém, transfer znalostí do jiných vdních obor a oblastí spoleenské praxe) se jedná o dovednost sestavení pracovního postupu, dovednost aplikovat matematické poznatky, metody a innosti k ešení matematických problém i problém jiných vdních obor a spoleenské praxe. Užívané slovesné vazby: aplikovat, použít,odvodit, prokázat, navrhnout, ešit. U složky K ( tvoivá innost, schopnost logického myšlení) se pedpokládá schopnost objevovat pro studenta nové poznatky a postupy, schopnost matematizace reálných situací, ovládnutí myšlenkových operací, schopnost porovnávání a rozlišování (rozdlování, komparace, diskriminace), rozvíjení matematického myšlení). Užívané slovesné vazby: analyzovat, provést rozbor, navrhnout, specifikovat, porovnat, rozlišit, modifikovat, modelovat, rozhodnout, vyvodit obecné závry. Ukázku formulace kontrolních otázek a úloh k zjišování kvalitativní úrovn složek výkonu studenta v matematice v teoretické i praktické ásti písemné zkoušky obsahuje Píloha. Proces vyuování a uení vyúsující ve výkonu studenta je mnohostranným procesem, jehož výsledek lze stží postihnout jedním íselným údajem (cifern i slovn vyjádeným),

185 tedy veliinou skalární. V souladu s vymezením cíl ve tyech uvedených složkách je žádoucí hodnocení vícesložkové (více íselnými údaji), tedy vektorem. Vyjádeme proto efekt vyuování a uení matematice u studenta vektorem E = ( V, D, T, K) se složkami V (objem a kvalita vdomostí), D (objem a kvalita dovedností), T ( schopnost aplikace vdomostí a dovedností pi ešení problém, úspšnost transferu do jiných oblastí), K (tvoivé ešení problém). Tento tyrozmrný vektor lépe vyjaduje stav vývoje osobnosti studenta. Má vtší vypovídací hodnotu než pouze jednorozmrný klasifikaní stupe, umožuje posuzovat kvalitativní úrove jednotlivých složek výkonu studenta a poskytovat komplexnjší pohled na studijní výsledky v pedmtu. Uvažovanému zpsobu hodnocení výkonu studenta v matematice je teba pizpsobit i strukturu písemné, pípadn ústní zkoušky. Písemná zkouška je integrovanou zkouškou, pi níž zjišujeme u studenta kvalitu výkonu ve složkách V, D, T, K. Teoretická ást písemné zkoušky proto obsahuje 10 otázek a úkol ( 4 ve složce V a po dvou ve složkách D,T,K). Každý úkol v teoretické ásti zkoušky je hodnocen maximáln 5 body.praktická ást obsahuje 5 úloh, z toho 4 ve složce D a jednu úlohu ve složce T K. Každá úloha je hodnocena maximáln 0 body. Hodnocení výkon studenta v teoretické ásti zkoušky je vyjádeno tyrozmrným vektorem E T = ( V, D, T, K), jehož souadnice jsou po ad body dosažené studentem v jednotlivých složkách, piemž max E T = (0,10,10,10 ). V praktické ásti písemné zkoušky hodnocení výkon studenta je vyjádeno dvourozmrným vektorem = ( D, T K), jehož souadnice jsou body dosažené studentem v uvedených složkách, piemž max E U = (80,0) Pro celkové hodnocení výkon studenta je definována kriteriální funkce H = H T + H U, kde H T = V + D + T + K a H U = D + (T K), pi emž max H T = 50, max H U = 100, max H = 150. Podmínkou úspšného hodnocení výsledk studia je však dosažení minimáln 0 bod v teoretické ásti písemné zkoušky a 40 bod v ešení úloh praktické ásti.. Pak celková hodnota H urí klasifikaní stupe pro celkové hodnocení prospchu v pedmtu v souladu s platným Studijním a zkušebním ádem Univerzity Pardubice. Klasifikaní stupnice: bod výborn bod velmi dobe-minus bod výborn-minus bod dobe bod velmi dobe 0-74 bod nevyhovl Zkoušky se uskutenily v šesti vypsaných termínech v prbhu zkouškového období a bylo zadáno celkem 8 variant písemných zkoušek. V pedagogickém experimentu bylo cílem zjistit úspšnost student v ešení teoretických úkol ve všech tyech složkách V, D, T, K a v ešení úkol ve složkách D, T v praktické ásti písemné zkoušky. Výsledky jsou uvedeny v pipojené tabulce. Tab. 1: Úspšnost student v ešení úloh jednotlivých složek E U Teoretická ást písemné zkoušky Praktická Varianta Složka V Složka D Složka T Složka K Úlohy D Úlohy T A 5 Úspšnost v % 3,0 46,0 54,8 31, 6,9 1,1 student Bodový prmr 4,6 4,6 5,48 3,1 50,3 4,

186 B 58 student C 16 student D 115 student E 66 student F 109 student G 106 student H 104 studenti Úsp. v % Bod. pr. Úsp. v % Bod. pr. Úsp. v % Bod. pr. Úsp. v % Bod. pr. Úsp. v % Bod. pr. Úsp. v % Bod. pr. Úsp. v % Bod. pr. 35,3 7,05 35,3 7,05 5, 5,13 56,0 11, 48, 9,63 8,8 5,77,4 4,47 6,,6 43,8 4,38 58,9 5,89 45,3 4,56 45,3 4,53 30,3 3,03 18,9 1,89 18,6 1,86 30,1 3,01 3, 3, 3,1 3,1 31,0 3,1 33,4 3,34 33,1 3,31 17,4 1,74 31,3 3,13 9,3,93 8,3,83 34,9 3,49 11,9 1,19 16, 1,6 6,7 1,4 8,0,4 9,4 3,5 46,7 37,3 4,0 33,6 3,8 9,8 37,8 30,3 15, 3,03 8,6 1,7 14,6,9 14,8,96 1,6,5 44,8 8,96 35,8 7,17 Z údaj tabulky je zejmé, že v teoretické ásti zkoušky jsou studenti nejúspšnjší pi ešení otázek a úkol složek D a V, v nichž se ovují vdomosti, dovednosti a zvládnutí metod. Naopak studenti zaostávají pi ešení úkol složky K, u nichž se pedpokládá tvoivá innost a schopnost logického myšlení. V praktické ásti zkoušky studentm iní potíže ešení úloh složky T, v nichž mají aplikovat osvojené vdomosti a dovednosti pi ešení problém.vyšší úspšnost se oekávala u úloh algoritmického typu složky D. 4. Závr Z rozboru pedagogického experimentu vyplývá, že ve výuce i pi zkouškách je teba omezovat pouhé reprodukování osvojených poznatk, ale naopak klást vtší draz na rozvíjení schopnosti aplikace osvojených vdomostí a dovedností pi ešení problém studovaného oboru. Dále je žádoucí se zamit na rozvoj logického myšlení a na ovování schopností samostatného uvažování a tvoení. Literatura [1] PRACHA,O. Zamyšlení nad hodnocením výkon studenta a klasifikací studijních výsledk v matematice na vysoké škole. In: Scientific Papers of the University of Pardubice, Series D Faculty of Economics and Administration 9 (004). Univerzita Pardubice, 004,s ISBN , ISSN X. [] PRACHA,O. Pojetí a didaktická koncepce vyuování matematice ve strukturovaném studiu na vysoké škole technického zamení. Matematika v inženýrském vzdlávání Sborník 7. mezinárodní konference O matematice na vysokých školách technických, ekonomických a zemdlských, Hejnice 00,s Vydavatelství VUT Praha,00.ISBN

187 Píloha 1. Zkrácený soubor požadavk k písemné zkoušce 1. Definovat a objasnit pojmy: Supremum a infimum íselné množiny.posloupnost reálných ísel, monotónní posloupnost, omezená posloupnost, aritmetická a geometrická posloupnost.vlastní limita a nevlastní limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost.funkce jedné reálné promnné, graf funkce, funkce omezená, monotónní, sudá, lichá, periodická, složená, inverzní. Elementární funkce ( konstantní, mocninná, exponenciální, logaritmická, funkce goniometrické, cyklometrické, racionální). Limita funkce (vlastní, nevlastní), spojitost funkce v bod a v intervalu, spojitost funkce na uzaveném intervalu. Derivace funkce v bod a v intervalu, diferencovatelná funkce v bod, diferenciál funkce. Taylorv polynom, lokální extrémy funkce, absolutní extrémy funkce na uzaveném intervalu, funkce konkávní a konvexní v bod a v intervalu, inflexní bod, asymptota grafu funkce( bez smrnice a se smrnicí). Primitivní funkce a neuritý integrál, integrální souet, norma dlení, Riemannv uritý integrál, Newtonv uritý integrál, zobecnný Riemannv integrál, nevlastní integrál (vlivem funkce, vlivem meze).nekonená íselná ada, souet ady, konvergentní, divergentní, oscilující ada, alternující ada, absolutn a relativn konvergentní ada, funkní ada, mocninná ada, sted, polomr,interval a obor konvergence mocninné ady, Taylorova a Maclaurinova ada.. Umt formulovat a objasnit vty: o limitách posloupností a funkcí, o spojitosti funkcí, o spojitosti funkce v uzaveném intervalu, o derivacích funkcí, o vztahu diferencovatelnosti a spojitosti funkce, o stední hodnot (Rolleovu, Cauchyovu, Lagrangeovu, Taylorovu), vty sloužící k vyšetování prbhu funkce ( rostoucí, klesající,lokální extrémy,konvexní a konkávní, inflexní body,asymptoty grafu funkce), o integraci lineární kombinace funkcí, o integraci per partes a o substituci v neuritém i uritém integrálu, vtu Newton-Leibnizovu, o vlastnostech Riemannnova integrálu, o stední hodnot integrálního potu, nutná podmínka konvergence, kritéria konvergence pro íselné ady s nezápornými leny(srovnávací, podílové, odmocninové, integrální), Leibnizovo kritérium pro alternující ady, o konvergenci absolutn konvergentní ady, Abelovu vtu o konvergenci mocninné ady, nutná a postaující podmínka konvergence Taylorovy ady, o derivaci a integraci mocninné ady len po lenu. 3. Umt zjišovat, vypoítat: defininí obor funkce, obor funkních hodnot, limity funkcí a posloupností, derivace funkcí prvního i vyšších ád, lokální extrémy, prbh funkce a sestrojit graf funkce, limity funkce použitím L Hospitalova pravidla, umt integrovat funkce metodou per partes a substituní metodou, umt integrovat racionální funkce celistvé i lomené, umt užívat speciální substituce, Riemannv integrál podle definice, Riemannv integrál užitím substituní metody a metody per partes, nevlastní integrály (vlivem funkce i vlivem meze), souet ady, užitím vhodného kritéria konvergence rozhodnout o konvergenci ady, rozhodnout o absolutní a relativní konvergenci íselné ady, urovat polomr, interval a obor konvergence mocninné ady, umt derivovat a integrovat mocninnou adu len po lenu, rozvinout funkci v adu Taylorovu (Maclaurinovu). 4. Umt aplikovat: derivaci k vyjádení rovnice teny grafu funkce v daném bod, derivaci k vyjádení okamžité rychlosti, diferenciál k pibližným výpotm pírstku funkce, funkní hodnoty a k urení absolutní, relativní a procentuální chyby, Taylorovu vtu k pibližným výpotm a k odhadu chyby, teorii o extrémech k ešení slovních úloh, uritý integrál k výpotu obsahu rovinného obrazce a objemu rotaního tlesa, délky rovinné kivky a obsahu rotaního tlesa, teorii nekonených ad pi aproximaci soutu ady ásteným soutem a pi odhadu chyby, Taylorovu adu k výpotu integrálu a limit

188 Píloha. Ukázka teoretické ásti písemné zkoušky z pedmtu Matematika I Složka V D T K Úloha Σ Body 1. a) Napište definici limity posloupnosti lim = a. Které leny a n posloupnosti a n n 1 8n jsou v ε - okolí ísla - pro ε = 10 -? 4n n= 1 b) Definujte primitivní funkci F(x) k funkci f(x) na intervalu (a, b). Urete primitivní funkci F(x) k funkci f(x) = tg x, aby F(0) =. c) Uve te definici polynomické funkce P n (x). Napište obecn polynomickou funkci. stupn. Jak se nazývá? d) Kterou íselnou adu nazýváme alternující adou?je ada 1 alternující adou? n=1 n. a) Vyjádete nutnou podmínku existence lokálního extrému funkce f(x) v bod x 0 ve tvaru pravdivé implikace. Má funkce f(x) = x 3 + x lokální extrémy? Zdvodnte. 1 b) Pro neexistuje Riemannv integrál dx? Nartnte si integrand x 0 v daném intervalu. Existuje nevlastní integrál? Vyjádete jej. x 3. a) Jak se zmní meze a integrand v uritém integrálu dx po vhodné + x substituci x = t? b) Užitím definice derivace urete derivaci funkce f(x) = x v bod x 0 = a) Zapište podmínku, aby pímka x = 1 byla vertikální asymptotou grafu arctg x funkce f(x). Mže mít funkce f(x) = vertikální asymptotu? x b) Zapište podmínky, aby funkce y = f(x) byla v intervalu (-3; ) kladná, rostoucí, konvexní a neomezená v levém okolí bodu. Graf takové funkce nartnte. Ukázka praktické ásti písemné zkoušky e x cos x 1. Vypotte užitím L Hospitalova pravidla limitu funkce lim. x 0 x. Urete inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce x f(x) = e. 3. Vypotte neuritý integrál x.ln( x + 9) dx. 4. Rozhodnte, zda ada n 1 ( 1) konverguje absolutn, relativn, n= 1 n + 1 i zda diverguje. 5. Užitím Maclaurinovy ady funkce f(x) = e x vypotte pibližn hodnotu ísla 3 e pomocí šesti len píslušného rozvoje a odhadnte chybu

189 PRVNÍ ZKUŠENOSTI S POUŽITÍM ELEKTRONICKÝCH STUDIJNÍCH OPOR V PEDMTU STATISTIKA Pavel Praks 1, Zdenk Bohá Abstrakt: Cílem píspvku je prezentovat první zkušenosti s tvorbou studijních opor s pevažujícími distanními prvky pro výuku statistiky na VŠB-TU Ostrava. Vzhledem k faktu, že zvlášt distanní studenti mají velmi omezený pístup ke klasickým statistickým balíkm, je pro vznikající studijní opory v pípad výuky statistiky použit program MS Excel, který je všeobecn dostupný. Ukazuje se, že možnosti statistických nástroj programu MS Excel umožují výuku základních kurz statistiky. 1. Úvod Vysoké škole báské Technické univerzit Ostrava se povedlo prostednictvím Katedry matematiky a deskriptivní geometrie získat z Operaního programu rozvoje lidských zdroj Evropských sociálních fond projekt s názvem Studijní opory s pevažujícími distanními prvky pro pedmty teoretického základu studia. Cílem projektu je zpracování studijních opor pro pedmty teoretického základu studia - matematiky, fyziky a chemie tak, aby byly využitelné pedevším pro samostatné studium s minimálním potem kontaktních hodin s uitelem. Jde o zpracování studijních opor pro tchto 4 pedmt bakaláského a magisterského studia pro studenty šesti (technologických) fakult VŠB TU Ostrava: Základy matematiky, Základy geometrie, Základy fyziky, Bakaláská matematika I, Bakaláská matematika II, Matematika I, Matematika II, Inženýrská matematika, Matematika III, Matematika na poítai, Deskriptivní geometrie, Konstruktivní geometrie, Pravdpodobnost, Statistika, Matematická analýza I, Matematická analýza pro IT, Algoritmy a datové struktury, Poítaové praktikum, Numerické metody, Fyzika I, Bakaláská fyzika, Fyzikální mení, Chemie I a Chemie II. Krom klasických tištných text koncipovaných pro samostudium se pedpokládá i vytvoení uebních text v elektronické form a vytvoení systému administrativní podpory využívající LMS, itutor (prostednictvím Internetu). Souástí podpory výuky bude i vytvoení banky testových úloh pro každý pedmt, pípadn vhodn agregovanou skupinu pedmt. Cílem píspvku je prezentovat první zkušenosti s výstupy projektu. Pro tvorbu studijních opor pro pedmt Statistika byl v rámci projektu použit mj. program MS Excel [1], pedevším pro jeho dostupnost. 1 VŠB - TU Ostrava, 17. listopadu 15, Ostrava Poruba, pavel.praks@vsb.cz VŠB - TU Ostrava, 17. listopadu 15, Ostrava Poruba, zdenek.bohac@vsb.cz

190 Obr. 1. Pro aktivaci Analytických nástroj MS Excelu je teba nejdíve zvolit menu Nástroje Doplky a vybrat volbu Analytické nástroje. Obr.. Po aktivaci Analytických nástroj se objeví nová volba Analýza dat

191 . Píklad testování rovnosti stedních hodnot dvou soubor Pro ešení statistických úloh lze použít Analytické nástroje, které je však zpravidla poteba nejdíve aktivovat. Pro aktivaci Analytických nástroj MS Excelu je teba nejdíve zvolit menu Nástroje Doplky a vybrat volbu Analytické nástroje, viz Obr. 1. Po aktivaci Analytických nástroj se objeví nová volba Analýza dat, viz Obr.. Použití Analytických nástroj ukážeme na píkladu testování rovnosti stedních hodnot. Cílem testu je porovnání úspšnosti semestrálních písemných prací ve dvou studijních skupinách, tedy najít odpov na otázku: Jsou ob skupiny stejn úspšné? Test H 0 : µ A = µ B versus H1: µ A µ B. Nejdíve však musíme otestovat rovnost rozptyl obou vzork. Dvouvýbrový F-test pro rozptyl SkupinaA SkupinaB St. hodnota Rozptyl Pozorování 10 8 Rozdíl 9 7 F P(F<=f) (1) F krit (1) P-value pro P(F<f) = Protože tato hodnota P-value je menší než 0.05, odmítneme hypotézu o rovnosti rozptyl. Jinými slovy, je zejmé, že ob skupiny mají statisticky rozdílné rozptyly. Z tohoto dvodu použijeme pro testování rovnosti stedních hodnot t-test pro nerovné rozptyly. (Pokud by p-value testu vyšlo vyšší než 0.05, pijmeme hypotézu o rovnosti rozptyl a použijeme t-test pro rovné rozptyly.) Dvouvýbrový t-test s nerovností rozptyl SkupinaA SkupinaB St. hodnota Rozptyl Pozorování 10 8 Hyp. Rozdíl st. Hodnot 0 Rozdíl 10 t stat P(T<=t) (1) t krit (1) P(T<=t) () t krit ()

192 Obr. 3. Píklad vložených dat pro Dvouvýbrový F-test pro rozptyl. Obr. 4. Dvouvýbrový F-test pro rozptyl: Zadání vstupních parametr

193 Obr. 5. Dvouvýbrový F-test pro rozptyl: Výstup testu. P-value dvouvýbrového t-test s nerovností rozptyl testu vyšlo Protože tato hodnota pevyšuje 0.05, nemžeme odmítnout H 0 :µ A =µ B. Jinými slovy, mezi dvmi skupinami dat (SkupinaA, SkupinaB) není statisticky významný rozdíl, porovnáváme-li jejich stední hodnoty. Ob skupiny dat mají tedy statisticky shodné stední hodnoty. Test ukázal, že rozdíl stedních hodnot obou studijních skupin není statisticky významný. Studijní opory obsahují také kopie obrazovek, které vedou studenta krok za krokem jednotlivými fázemi analýzy dat. Obrazovky jsou popsány (viz Obr. 3 Obr. 5) a v textu jsou rovnž uvedeny alternativy možného vtvení testu (nap. t-test pro rovné rozptyly, t-test pro nerovné rozptyly). 3. Závr Pro vznikající studijní opory byl v pípad statistiky použit program MS Excel. Dosavadní pedagogické zkušenosti naznaují, že takto koncipované studijní opory jsou pro studenty pínosné, zvlášt v pípad distanních student. Lze konstatovat, že výuka pedmtu Statistika koncipovaná s podporou v Excelu dokáže studenty zaujmout tím, že pomrn rychle umožní díky znalosti výpoetního

194 prostedí získávat výsledky, umožuje prhledné experimenty s daty a tím i pochopení podstaty problému. Literatura [1] Microsoft Excel. [] BARRETO H., HOWLAND F. M.: Introductory Econometrics: Using Monte Carlo Simulation with Microsoft Excel. Cambridge University Press. [3] THELWALL M.: Mathematics, Statistics and Operational Research Section. University of Wolverhampton, UK. 4.doc [4] BRIŠ R., LITSCHMANNOVÁ M.: Statistika 1. On-line skripta, VŠB-TU Ostrava. [5] ŠMAJSTRLA V., OTIPKA P.: Pravdpodobnost a statistika. On-line skripta, VŠB-TU Ostrava. Podkování: Tento projekt je spolufinancován Evropskou unií a státním rozpotem eské republiky. Registraní íslo projektu: CZ / /

195 PROJEKT MULTIMEDIÁLNÍ PODPORA STUDIA MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA FAKULT STAVEBNÍ VUT V BRN Oto Pibyl, Josef Roušar 1 Abstrakt: Píspvek strun informuje o nkterých výstupech projektu RA994001/14 Multimediální podpora studia matematiky a deskriptivní geometrie na Fakult stavební VUT v Brn ešeného na pracovišti autor. 1. Jednotlivé dílí výstupy projektu Pi pechodu na bakaláskou formu studia na Fakult stavební VUT v Brn (podrobnosti nap. v []) byla vytvoena sada studijních text a opor pizpsobených nové form studia. Jako doplnk klasických uebních text a skript vzniklo v rámci rozvojového projektu i nkolik multimediálních podpor studia. Hlavní motivací bylo dát studentm k dispozici moderní uební nástroje, které jim usnadní efektivnjší prbžné samostudium, resp. umožní jim cílenjší pípravu na semestrální zkoušky z matematiky nebo deskriptivní geometrie. Pinášíme struný pehled tchto multimediálních podpor Sbírka ešených píklad z deskriptivní geometrie Sbírka ešených píklad dopluje již díve vydaný CD-ROM Deskriptivní geometrie (viz [1]). Sbírka je rozdlena do dvou ástí. V první ásti jsou tzv. základní konstrukce, neboli píklady na procviení dílích konstrukních úloh. Druhá ást obsahuje zkouškové píklady, tedy komplexní úlohy s obtížností srovnatelnou s píklady jaké jsou u zkoušky z pedmtu deskriptivní geometrie. Obr. 1: Ukázka uživatelského prostedí Sbírky ešených píklad z deskriptivní geometrie 1 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brn, Veveí 331/95, Brno, pribyl.o@fce.vutbr.cz, rousar.j@fce.vutbr.cz

196 1.. CD-ROM Descriptive Geometry (english version). esko-anglický a anglicko-eský odborný slovník deskriptivní geometrie a matematiky Jedná se o anglickou verzi díve vydaného CD-ROMu Deskriptivní geometrie (viz [1]). Jako doplnk by zpracován jednoduchý pekladový esko-anglický a anglicko-eský odborný slovník deskriptivní geometrie a matematiky, ve kterém je zahrnuto asi 400 nejzákladnjších pojm z tchto obor Multimediální databáze rys Ústav matematiky a deskriptivní geometrie na Fakult stavební VUT v Brn má ve svém archívu asi 1500 rys. Nejstarší z nich jsou už z roku Multimediální databáze rysu obsahuje zatím asi 100 naskenovaných rys. Jsou tídny podle roku vytvoení a podle typu promítání. Viz Obr. 4 jako malá ukázku uživatelského prostedí Multimediální databáze rys Generátory vzorového zadání zkouškových písemek z matematiky V uplynulých letech byla nkterými zkoušejícími z matematiky na FAST VUT poskytnuta vzorová zadání již probhlých zkouškových písemek. Z takto získaných zkouškových píklad byla vytvoena sada vybraných typových úloh ke zkoušce, která byla následn zpístupnna na Internetu. Studenti nemají z dvodu zabezpeení pímý pístup k celé sad úloh. Jednotlivá vzorová zadání zkouškových písemek jsou s použitím PHP skript generována dynamicky. Obr. : Ukázka vygenerovaného zadání zkouškové písemky v prostedí HTML

197 1.5. Sada ešených píklad z matematiky V návaznosti na výše uvedený generátor zkouškových píklad vznikla sada ešených píklad typových zkouškových úloh. Na ukázku uvádíme píklad ešené úlohy jako iterovaný (fázovaný) text ve formátu PDF (podrobnji viz Pro úplné použití všech funkcí, které prostedí PDF umožuje (nap. kontextové nápovdy atd.), je nutné mít nainstalován prohlíže Adobe READER alespo verze 7.0. Obr. 3a: Nultá iterace Zadání Obr. 3b: První a druhá iterace Metodická poznámka & Zápis rozšíené matice Obr. 3c: Tetí a tvrtá iterace Postupné ádkové úpravy Obr. 3d: Šestá iterace Horní trojúhelníková matice s vyvolanou kontextovou nápovdou Obr. 3e: Sedmá iterace Jednoparametrická množina ešení soustavy Obr. 3f: Finální iterace Zkouška správnosti aneb Zopakujme si násobení matic!

198 . Závr Omezený rozsah tohoto píspvku neumožní více než výet jednotlivých dílích ástí celého projektu s velice struným popisem. Všechny zpracované materiály jsou voln pístupny na internetové adrese kde si je mže každý zájemce o problematiku podrobn prostudovat. Literatura [1] BULANTOVÁ, J., HON, P., PRUDILOVÁ, K., PUCHÝOVÁ, J., ROUŠAR, J., ROUŠAROVÁ, V., SLABÁKOVÁ, J., ŠAFAÍK, J., ŠAFÁOVÁ, H., ZR STOVÁ, L.: Deskriptivní geometrie pro I. roník kombinovaného studia, multimediální studijní opora. Brno: Fakulta stavební VUT v Brn, 004. [] NOVOTNÝ, J.: Problémy s výukou matematiky v bakaláských studijních programech na Stavební fakult VUT v Brn. In. Sborník píspvk XXIII. Mezinárodního kolokvia o ízení osvojovacího procesu. Brno: Univerzita obrany, 005. ISBN [3] PUCHÝOVÁ, J., ŠAFÁOVÁ, H., VALA, J.: Smry a cesty výuky matematiky a deskriptivní geometrie v bakaláském studiu. In. Sborník 4. matematického workshopu v Brn. Brno: FAST VUT, 005. ISBN [4] ROUŠAR, J., ROUŠAROVÁ, V.: Multimediální databáze rys. In. Konference elearning ve vysokoškolském vzdlávání 004. Zlín: Univerzita Tomáše Bati, 004. ISBN [5] ROUŠAR, J., ŠAFAÍK, J.: Multimediální podpora výuky deskriptivní geometrie na Stavební fakult VUT v Brn. In. Konference elearning ve vysokoškolském vzdlávání 003. Zlín: Univerzita Tomáše Bati, 003. ISBN X. [6] ROUŠAR, J., ŠAFAÍK, J.: Zcela nový CD-ROM: Deskriptivní geometrie verze.0. In. Konference elearning ve vysokoškolském vzdlávání 004. Zlín: Univerzita Tomáše Bati, 004. ISBN Obr. 4: Ukázka uživatelského prostedí Multimediální databáze rys

199 PRCHODNOST ABSOLVENT ODBORNÝCH ŠKOL A GYMNÁZIÍ NA FSV VUT Zdenk Šibrava 1 Abstrakt: V lánku je uvedeno srovnání prbžných výsledk student Fakulty stavební v závislosti na typu absolvované stední školy. Je všeobecn známo, že velkou ást uchaze o studium na technických školách tvoí absolventi odborných škol. Nejinak je tomu i se složením uchaze na Fakultu stavební VUT v Praze. V potu zapsaných student standardn pevažují práv absolventi odborných škol. Tento fakt se nezmnil ani s pechodem fakulty na strukturované studium v roce 003, jak je patrné z následující tabulky a grafu. Typ/rok Poty pijatých Odborné Gymnázia Celkem Odborné Gymnázia 100 S narstajícím potem víceletých gymnázií však nastává situace, kdy vtšina žák základních škol, kteí mají pedpoklady ke studiu na vysokých školách, odchází práv na tato gymnázia a pro odborné školy se výrazn sníží možnost výbru kvalitních uchaze. Samozejm i zde existují výjimky, kdy se na odbornou školu dostane uchaze s dobrými studijními pedpoklady, ale obecn lze konstatovat, že úrove absolvent odborných stedních škol klesá. Bohužel mezi absolventy gymnázií není píliš velký zájem o studium na technických školách. Prmry všech známek absolvent gymnázií, kteí se hlásí na FSv, se nejastji pohybují v rozmezí což znamená, že se v žádném pípad nejedná o nadprmrné absolventy gymnázií. Z pohledu na poty pihlášených na školy zamené na ekonomické, humanitní a jiné píbuzné obory je zejmé, kam se upírá zájem absolvent gymnázií. Na druhou stranu je nutno konstatovat, že vtšina dobrých absolvent odborných technických škol se pak hlásí na školy stejného zamení, ímž ásten vyrovnávají handicap oproti absolventm gymnázií. Pesto porovnáme-li poty student, kteí si zapsali 5. semestr (pro rok nástupu 003) a 3. semestr (pro rok 004) ukazuje se, že i ti podprmrní absolventi gymnázií jsou úspšnjší než absolventi odborných škol semestr Typ/rok Odborné Gymnázia Celkem Odborné Gymnázia 1 Katedra matematiky FSv VUT v Praze, Thákurova 7, Praha 6, sibrava@fsv.cvut.cz

200 Z uvedené tabulky je vidt, že propadovost absolvent odborných škol je výrazn vtší než u absolvent gymnázií. Situace je bohužel taková, že u nejvtších dodavatel FSv (ádov se ke studiu po absolvování pijímacích zkoušek zapíše i pes 100 uchaze) se propadovost pohybuje mezi 60 až 70 procenty. Na druhé stran jsou stední školy, kde propadovost je minimální, tj. nuly do deseti procent. Jedná se vtšinou o gymnázia, ale do této skupiny patí i nkolik odborných škol. Jsou to ovšem školy, ze kterých je poet uchaze menší (ádov kolem deseti uchaze). V následujících tabulkách jsou uvedeny školy, ze kterých ve na FSv ve sledovaném roce 003 pihlásilo nejvíce student a souasn jsou zde uvedeny poty student, kteí se úspšn zapsali do 3. resp. 5. semestru. V další tabulce jsou se stejnými údaji uvedena gymnázia, ze kterých na FSv pichází nejvíce uchaze. Škola ulice místo pihl pij. zaps 3s 5s Pr.% SPŠ stavební Družstevní ochoz 3 Praha 4-Nusle ,9 SPŠ stavební Resslova eské Bud ,33 SPŠ stavební Chodské nám. Plze ,34 SPŠ stavební Dušní 17 Praha ,37 SPŠ zemmická Pod Táborem 300 Praha ,9 SPŠ stavební Pospíšilova t. 787 Hradec Král SPŠ stavební Sokolovské nám. 14 Liberec ,5 SPŠ stavební Jihlavská 68 Havlíkv Brod St. odb. škola Cyrila Boudy 954 Kladno ,67 Škola ulice místo pihl pij. zaps 3s 5s Pr.% Gymnázium Nám.Fr.Kižíka 860 Tábor ,71 Gymnázium Vodradská Praha ,18 Gymnázium Mezi Školami 475 Praha ,33 1.es. gym. Národní 5 Karlovy Vary Gymnázium Botiská 1 Praha Gymnázium Pipotoní 1337 Praha ,57 Gymnázium Nad Ohradou 1700 Praha Gymnázium Na Vítzné pláni Praha Gymnázium Nad Alejí 195 Žár nad Sáz V roce 003 byli na FSv VUT pijati první studenti do strukturovaného studia. Uchazei jsou pijímáni do tech program a to do programu Stavební inženýrství (SI), do programu Architektura a stavitelství (A) a do programu Geodézie a kartografie (G). Od 5. semestru se pak studenti programu SI rozdlují na jednotlivé obory a to na základ tí kritérií. Prvním kritériem je zájem student, druhým je kapacita jednotlivých obor a tetím jsou studijní výsledky po 3. semestru (rozdlení se provádí bhem 4. semestru tak, aby se studenti do 3. roníku již zapisovali na jednotlivé obory). Dležitým kritériem pi rozdlování na obory jsou, jak již bylo eeno, studijní výsledky za první ti semestry studia. Pesáhne-li poet zájemc o daný obor jeho kapacitní možnosti, jsou studenti na daný obor vybírání práv podle tohoto kritéria. Základem tohoto hodnocení je poet splnných kredit a vážený prmr jednotlivých

201 student. Za první ti semestry má student pedepsáno 90 kredit. Kreditní systém na VUT však umožuje studentovi zapsat se do dalšího roníku po splnní 30 kredit v pedchozím akademickém roce. Teoreticky se tedy mže stát, že student, který se zapisuje do 4. semestru, má splnno pouze 30 kredit (naštstí od píštího akademického roku se podmínky zpísnily alespo na 40 kredit). Pro výpoet váženého prmru se pak pedmty, které student nesplnil uvažují se známkou 4. Pro vlastní azení se pro každého studenta vypoítá koeficient, který je dán jako pomr potu kredit a váženého prmru. U studenta, který má splnny všechny pedmty s prmrem 1, vychází tento koeficient 90. U studenta, který teoreticky splnil pouze 30 kredit s prmrem 3 a ostatní pedmty má hodnoceny známkou 4, vychází tento koeficient necelých 8. Z tohoto hlediska je zajímavé porovnání absolvent gymnázií a odborných škol. Pedn: pomocí tohoto kritéria se v roce 005 (zápis na fakultu v r. 003) hodnotilo 63 student, z toho 78 absolvent gymnázia a 354 absolvent odborné školy. V roce 006 (zápis v roce 004) to bylo 600 student (64 G, 336 O). V následujících tabulkách jsou uvedeny poty student, kteí splnili uvedený poet kredit, dále prmrný poet kredit pro dané skupiny a prmrnou hodnotu výše uvedeného pomru. 005 Kredity =90 >80 <70 <60 prum koef. Odborné ,87 30,93 Gym ,57 34, Kredity =90 >80 <70 <60 prum koef Odborné ,08 9,61 Gym ,94 36,19 Z obou tabulek jsou opt zejmé lepší výsledky absolvent gymnázií. Pro zajímavost uveme, že v roce 005 byli dva studenti, u nichž koeficient vycházel pibližn 8 (již nestudují) a jeden s koeficientem 90. V roce 006 se žádný student nedostal s koeficientem pod 10 a opt tu byl jeden s maximálním koeficientem. asto se také diskutuje problém zvládnutí teoretických a odborných pedmt u student práv v závislosti na typu absolvované stední školy. Všeobecn se tvrdí, že absolventi odborných škol (samozejm s odpovídajícím zamením) zvládají lépe než absolventi gymnázií odborné pedmty a naopak absolventi gymnázií zase lépe zvládají teoretické pedmty. V následujících tabulkách jsou uvedeny poty student, kteí nesplnili do konce 3. semestru uvedený pedmt. 005 Pedmt MA FYZ KOG SM GEO SHM MA3 PRPE KP1 Gym Odbor Pedmt MA FYZ KOG SM GEO SHM MA3 PRPE KP1 Gym Odbor

202 Pedmty MA (Matematika ), FYZ (Fyzika), KOG (Konstruktivní geometrie), SM (Stavební mechanika ), GEO (Geologie) a SHM (Stavební hmoty) jsou pedmty 1. roníku. Pedmty MA3 (Matematika 3), PRPE (Pružnost a pevnost) a KP1 (Konstrukce pozemních staveb 1) jsou pedmty 3. semestru. Ve výtu nejsou uvedeny dva stžejní pedmty 1. semestru a to Matematika 1 a Stavební mechanika 1. Ve sledovaných skupinách student již prakticky neexistují studenti, kteí uvedené pedmty nemají splnny (tito studenti již školu opustili). V uvedených tabulkách jsou uvedeni studenti, kteí daný pedmt nemají splnný, tj. v pípad, že pedmt mli již zapsaný a byli hodnoceni známkou 4, nebo studenti, kteí pedmt zatím nemohli absolvovat, protože nemají splnný pedmt, na který daný pedmt navazuje. To se týká nap. pedmtu MA3, kde mezi 49 studenty (r. 006), kteí pedmt neabsolvovali, je 30 student, kteí nesplnili pedmt MA, nebo pedmtu PRPE, jehož splnní je podmínno splnním pedmt MA a SM. Z uvedených tabulek je patrné, že absolventi odborných škol mají relativn vtší potíže s absolvováním vtšiny pedmt a to jak teoretických tak odborných, snad s výjimkou Konstrukce pozemních staveb 1. Ale i zde se v navazujících pedmtech absolventi gymnázií postupn dostanou ped absolventy odborných škol. Znovu je ovšem nutno pipomenout, že tento závr nelze paušalizovat a že i mezi absolventy odborných škol je ada dobrých student. Je v zájmu každé školy získávat co nejlepší absolventy stedních škol. Je zejmé, že pesvdit vynikající absolventy stedních škol ke studiu na technických školách je velmi obtížné. Bude ješt asi trvat adu let, než se podaí ve spolenosti vybudovat povdomí, že i absolvent technické školy mže dosáhnout vysokého spoleenského (a finanního) ohodnocení a že studium na technické škole není jen tupé studování vzorc, píruek a norem, nýbrž že to je tvrí a perspektivní práce. A k tomu mžou výrazn pispt práv všichni uitelé z prvních roník technických škol a tím i uitelé matematiky. Není možné stavt matematiku do role strašáka, který je zde uren k selekci student. Pro technické vysoké školy z uvedeného dále zcela jasn vyplývá, že je nutno zvýšit propagaci mezi studenty gymnázií a zamit se na získávání kvalitních absolvent gymnázií. Forma a zpsob této propagace je pedevším záležitostí vedení jednotlivých škol, bez aktivního zapojení adových pracovník fakult však nebude propagace nikdy dostaten úinná. Literatura [1] Šibrava, Z.: Prchodnost studia na FSv VUT. ŽU Žilina, 004. ISBN X. ss

203 POÍTAEM PODPOROVANÁ VÝUKA MATEMATICKÝCH PEDMT MATEMATIKA PRO BAKALÁE NA VYSOKÉ ŠKOLE LOGISTIKY V PEROV Vladislav Šmajstrla 1 Abstrakt: V píspvku je presentována koncepce kurzu matematiky pro bakaláe, podporované matematickým software, na Vysoké škole logistiky v Perov. Je poukázáno na její klady i zápory. 1. Výuka matematiky na technických školách Vzhledem k tomu, že tém na všech vysokých školách technického typu absolvují studenti bakaláský program, ubylo v teoretických pedmtech pomrn dost prostoru pro základní teoretické pedmty, jako je nap. matematika. A toto manko se jen velmi obtížn (a to jen v nkterých navazujících inženýrských programech) kompenzuje. Tím více musíme tedy vzít v úvahu, že na technikách nevychováváme matematiky, ale techniky, kteí mají vdt, co matematika mže nabídnout pro ešení technických problém, dovedou své (technické) problémy formulovat matematicky pesn. A pro ešení tchto problém se obrátit na matematika nebo na vhodný matematický software. Pry jsou doby, kdy se teba na strojních fakultách vnoval celý semestr výuce integraních metod. Studenti biflovali všeliké rafinované substituce, aby úlohu pevedli na tvar ešitelný standardními integraními metodami, které však nap. potebovaly najít mnoho koeficient parciálních zlomk. Namáhavost ešení zastínila výsledek. A byly to ty vdomosti, které si inženýi mli odnést z výuky matematiky? Pedmty vnující se numerické matematice (pokud byly v uebním plánu) sice probíraly zase chytré metody, jak nkteré úlohy ešit, ale to už vtšinou bylo po tom, co studenti základní kurs matematiky mli za sebou. A když se tyto numerické metody probíraly v rámci výpoetní techniky, stejn se už do základní matematiky nedostaly. A není výbr metod numerické matematiky píliš svázán s historickým pojetím numerických výpot? Pro dnes probírat chytré algoritmy, které proti jiným ušetí dva iteraní kroky, ale zase potebují splnní nkterých dalších podmínek, když rychlost poítae se úinn projeví práv pi jednoduchých algoritmech? 1 Vysoká škola logistiky v Perov

204 V úvodních semestrech studenti zpravidla absolvují pednášky a cviení z lineární algebry a matematické analýzy. Cviení probíhají v klasické uebn, pi procviování se volí jen takové píklady, které jsou ešitelné výpotem na tabuli, v sešit, nanejvýš s použitím kalkulaek. Už jen pi základní aplikaci diferenciálního potu, pi hledání nulových bod nebo extrém funkce, je repertoár píklad velmi úzký (viz kterákoliv sbírka úloh vyšší matematiky.). Matematika pro bakaláe na VŠL v Perov Pedpokladem pro absolvování kurzu matematiky na VŠL je seznámení s programovým vybavením poítae, které je zameno na ešení matematických úloh. Studenti se sice v rámci samostatného pedmtu seznámí se standardním programovým vybavením (MS Office), ale v úvodu matematických cviení (probíhají vždy v poítaových uebnách) se nauí používat nkteré nadstandardní innosti (editor rovnic, ale hlavn ešitel excelu). Bez ohledu na to, že vysokoškolská látka ješt není probrána, je možno ešit problémy známé ze stední školy (rovnice, grafy funkcí, extrémy funkcí). Znalost excelu je pro techniky dležitá ješt i z toho dvodu, že tento produkt je urit k dispozici na všech technických pracovištích a navíc disponuje bohatou podporou nap. pro matematicko-statistické výpoty. ili vdomosti nabyté zde budou dále rozvíjeny ve druhém roníku v pedmtu Pravdpodobnost a statistika, který je celý koncipován s využitím excelovských výpot. Ale excel není na matematické úlohy specialista. Neumí symbolické výpoty, nevytvoí grafy z funkního pedpisu, ale z tabulky hodnot atd. Proto se studentm nabízí celá ada freewarových program, které eší více i mén komplexn nkteré úlohy matematické analýzy: - ešení rovnic - výpoet funkní hodnoty - výpoet limity - výpoet derivace (pop. i symbolicky) - výpoet uritého integrálu (pop. i s aplikací, nap. k funkci nad intervalem vypote na požádání plošný obsah rovinné oblasti, délku oblouku nebo objem rotaního tlesa vzniklého rotací grafu funkce, aniž je teba integrand poítat) - 0 -

205 - konstrukce grafu - výpoet a vykreslení teny ke grafu - výpoet a vykreslení Taylorova polynomu k dané funkci Studenti mají k dispozici (na školní síti nebo na CD spolu s elektronickými pomckami ke studiu) tyto programy: Math Studio ( GraphDrawer ( Funkce ( Analyza ( Matmat ( MathGv ( Nkteré z nabízených program dodávají známé firmy, jiné jsou k dispozici na internetu jako nap. erstvé diplomové práce apod. Úrove tchto program je rzná. Výhodou je jejich snadná ovladatelnost. Studenti si bhem semestru sami najdou program, který jim nejvíce vyhovuje. Když se ješt nauí používat program, který sejme libovolnou ást obrazovky (nap. MWSnap), mohou domácí úlohy, zápotové práce odevzdávat v elektronické kultivované podob. Tyto programy mají studenti k dispozici i pi ešení druhé ásti písemné zkoušky. V první ásti se zkoušejí vdomosti a dovednosti klasicky. Tak mohou být ešeny i píklady, které by pro numerickou náronost byly v daném ase neešitelné. 3. Závr Používání program ve výuce základního kurzu matematiky pro bakaláe samozejm ovlivuje i rozsah i obsah pednášené látky. Nap. v integrálním potu se pednáška omezuje na základní integraní metody (úpravou integrandu, per partes a substitucí), zavedení uritého integrálu a jeho využití. Z tohoto hlediska bych studentm nejradji zatajil program Analyza, který (jak jsem naznail výše) za uživatele udlá skoro veškerou práci. Radji tedy nap. doporuuji program Math Studio, pro njž musí uživatel vytvoit pro danou kivku nap. diferenciál oblouku. To je ovšem hledisko kantora, ne uživatele

206

207 VYHODNOTENIE VÝSLEDKOV BIOTECHNOLOGICKÝCH EXPERIMENTOV POMOCOU MATEMATICKÝCH METÓD Jaroslava Trubenová 1 Abstrakt: Príspevok prezentuje príklad aplikácie matematických metód pri vyhodnotení výsledkov biotechnologických experimentov pomocou štandardných programov WINDIG, ORIGIN a vlastných aplikaných programov. 1. Úvod Pekárenská technológia je jednou z významných oblastí potravinárskeho priemyslu a tvorí neoddelitenú as potravinárskych biotechnológií. V tejto oblasti majú metódy na zisovanie reologických vlastností cesta znané opodstatnenie. Fyzikálne metódy skúšania a skúmania vlastností cesta v priebehu celého technologického procesu a aj finálneho produktu sú dôležitým nástrojom nielen pre prácu v oblasti výskumu a vývoja, ale stále viac prenikajú aj do oblasti výrobnej sféry. Z hadiska ich významu vo výrobnej praxi sa nemožno na tieto metódy pozera len ako na kontrolný nástroj, ale je potrebné akceptova v nich prvok, ktorý má svoje význané miesto aj v riadiacom a rozhodovacom procese, o umožuje rýchlo pozna vlastnosti hlavnej suroviny cesta a následne ovplyvni alšie výrobné procesy.. Formulácia problému Medzi dôležité prístroje na meranie reologických vlastností cesta patrí extenzograf. Údaje získané extenzografom /dopajú údaje získané farinografom/, poskytujú informácie o reologických vlastnostiach cesta stanovením závislosti deformácie vyšetrovanej vzorky cesta od príslušného napätia až po pretrhnutie cesta /extenzia = natiahnutie/. Prístroj je možné použi v mlynskom, pekárskom, peivárskom priemysle, ako aj vo výskume, v šachtiteských laboratóriách pre zisovanie pekárskej kvality a použitenosti múk, ako aj pre prípravu zmesí pšeníc alebo múk s optimálnou pekárskou kvalitou. Používa sa taktiež pri sledovaní vplyvu zlepšujúcich prostriedkov na pekársku kvalitu múky. Meranie na extenzografe je štandardizované normami ICC a táto norma bola prevzatá ako norma ISO. Vzhadom na dôležitos údajov poskytovaných extenzografom je potrebné venova znanú pozornos ich alšiemu spracovaniu a analýze. 3. Opis innosti prístroja Extenzograf (obr.1) pozostáva zo zariadenia na tvarovanie cesta vyguovaa, vakacieho zariadenia, troch temperovaných odležiavacich komôrok, háku napínacej páky, ozubenej vodiacej lišty, vahadiel, tlmia a registraného zariadenia. Pripravená vzorka cesta v tvare valeka presnej hmotnosti sa vloží do žliabku vahadla. Vahadlový systém je spojený s nosnou asou registraného pera, ktoré zaznamenáva výchylku vahadla s cestom odpor cesta proti naahavaniu sa 1 Katedra aplikovanej matematiky, Fakulta prírodných vied UCM, Nám. J. Herdu, Trnava Slovenská republika, trubenova@rsb.sk, tel.: , fax:

208 zaznamenáva na registranom papieri získaný záznam - extenzografická krivka extenzogram (obr. ) predstavuje základ údajov pre zisovanie reologických vlastností cesta. Obr Princíp merania a vyhodnotenia extenzogramu Rovnomerným pohybom háku napínacej páky dochádza k napínaniu vonej asti valeka cesta uloženého v držiaku, ktorý je upevnený v žliabku vahadla v jeho strede, až do roztrhnutia valeka cesta. Celý priebeh odporu valeka cesta proti naahovaniu sa zaznamenáva perom registraaného zariadenia. Posun papiera tohto zariadenia je synchronizovaný s pohybom háku napínacej páky. Na vodorovnej osi registraného papiera je vyznaený as, za ktorý bolo cesto napínané od poiatku experimentu, až po okamih pretrhnutia cesta. Jednotlivé druhy cesta sú charakterizované tvarom extenzografickej krivky extenzogramom. Zo zaznamenaného extenzogramu je potrebné odíta tieto íselné hodnoty (nulovej hodnoty odporu), E (cm ) - extenzografická energia, je meradlom práce potrebnej na deformáciu cesta, uruje sa ako plocha ohraniená celou krivkou extenzogramu a odpovedajúcou asou asovej osi, B (EJ) - extenzografický odpor, je definovaný ako napätie pri konštantnej deformácii, meria sa vo vzdialenosti 50 mm od zaiatku krivky v smere asovej osi ako odpovedajúca výška krivky, C (mm) extenzografická ažnos (deformácia) meraná ako džka krivky od zaiatku naahovania cesta až do okamihu jeho pretrhnutia, je jedným z hlavných parametrov extenzografického hodnotenia, B/C podiel odporu a ažnosti, hodnota pomeru týchto veliín slúži spolu s extenzografickou energiou na predbežný odhad objemu peiva a jeho pomeru výšky k šírke, pre úplnos údajov je vhodné uvádza aj hodnotu odporu, pri ktorej nadobúda krivka (extenzogram) svoje maximum

209 Obr. 5. Spracovanie a vyhodnotenie zaznamenaných údajov Zapisovacie zariadenie je konštrukne riešené tak, že zapisovacie pero je umiestnené na otonom ramene, ktoré sa otáa po asti kružnice okolo bodu S (obr. 3). Obr. 3 Zvislé osi, nie sú teda, ako je bežné v grafickom znázornení závislosti v pravouhlých súradnicových systémoch priamky, ale asti kružníc, v dôsledku oho x-ova súradnica bodu A nie je hodnota získaná ako kolmý priemet bodu A na x-ovu os, ale je urená ako hodnota prieseníka kružnice so stredom v bode S prechádzajúcej bodom A a xovej osi. Zapisovacie zariadenie bolo pôvodne urené na zápis asového priebehu meranej veliiny s následným priamym odítaním nameraných hodnôt obsluhujúcim

210 pracovníkom, iže uvedené nelinearity a nerovnosti osí neboli na závadu merania. Iná situácia nastáva, ke je potrebné spracova väšie množstvo meraní. Je potom prirodzená snaha nahradi "oné" odítanie z nameraného záznamu pomocou poítaa, o výrazne zvýši rýchlos i presnos prepisu. Hoci existuje viac štandardizovaných programových vybavení umožujúcich viac i menej pohodlne a presne digitalizova graficky zadaný priebeh funkcie (krivku), nestretli sme sa zatia so žiadnym programom umožujúcim digitalizova krivku v uvedenom súradnicovom systéme. Zatia jednou z možností sa preto javí digitalizova nameraný priebeh bežným digitalizaným programom (napr. WINDIG) a dodatone pomocou vlastného aplikaného programu prepoíta skutoné x - ové a y - ové hodnoty jednotlivých bodov nameranej krivky. Na obr. 3 je znázornený princíp prepotu nameraných súradníc po digitalizácii do reálnych súradnic: x d = x - ova súradnica bodu A po digitalizácii x s = skutoná x - ova súradnica bodu A ( x s = x d + (d-q) ) n = y - ova súradnica bodu A po digitalizáci u = skutoná y -ova súradnica bodu A ( u=α, v rad ) Po prepoítaní súradníc všetkých bodov krivky extenzogramu - vlastný aplikaný program zárove umožní vypoíta plochu pod krivkou (sprava i zava ohranienou zadanými hodnotami) ako aj jej džku, alej hodnotu pri konštantnej deformácii jako aj maximálnu hodnotu, s presnosou rádovo vyššou, ako je presnos zapisovacieho zariadenia. 6. Záver Príspevok prezentuje možnos automatizovaného spracovania dát získaných v grafickej podobe. Navrhnuté riešenie sa svojou nenáronosou na finanné prostriedky a znanou univerzálnosou stáva možným podkladom pre pomerne jednoduché analyzovanie, spracovanie a archivovanie nameraných údajov, pozitívom je aj vhodnos takto spracovaných dát aj pre iné softwarové aplikácie. Literatura [1] DODOK, L., SZMES, V..Laboratórne kontrolné metódy pre pekársku a cukrársku prax. Pezinok: Gomini,

211 VYUŽITIE FINANNÝCH DERIVÁTOV NA ELIMINÁCIU ÚROKOVÝCH RIZÍK Marta Urbaníková 1 Abstrakt: Finanné deriváty zaujali v posledných rokoch významné miesto v podnikových a verejných financiách. Cieom príspevku je poukáza na hedgingovú funkciu finanných derivátov v súvislosti s elimináciou úrokových rizík a na možnosti aplikácie matematiky v podnikovej ekonómii. 1. Úvod Na ekonomiku má okrem iných faktorov vplyv aj menová politika jednotlivcýh krajín. Cenetrálne banky regulujú krátkodobé úrokové sadzby a takýmto spôsobom ovplyvujú cenovú hladinu na finannom trhu. Akákovek zmena úrokovcýh sadzieb znamená pre firmy úrokové riziko. V prípade zvýšenia úrokovej sadzby riziko spoíva v tom, že v budúcnosti si budú firmy požiiava zdroje na peažnom trhu za vyšší úrok. Uvažujme firmu, ktorá erpá investiný úver v objeme 10 miliónov SKK na obdobie 5 rokov s pohyblivou úrokovou sadzbou naviazanou na 6-mesaný BRIBOR. V poslednom období sa úroková sadzba niekokokrát upravovala smerom hore. V takomto prípade firma zaplatí za takýto úver stále vyšší a vyšší úrok pri každom nasledujúcom 6-mesanom období úroenia. Z uvedeného vyplýva, že pre firmy závislé na cudzích zdrojoch je nutné zaobera sa možnosami eliminácie úrokových rizík. Jednou z možností je využitie finanných derivátov.. Princíp a využitie derivátov Finanné deriváty sú produkty, ktorých hodnota je odvodená ( derivovaná ) od hodnoty podkladového aktíva alebo finanného nástroja. Podkladovým aktívom derivátov môžu by komodity, akcie, dlhopisy, meny, úrokové miery, burzové indexy. Finanný derivát predstavuje finanný produkt, ktorý umožuje v danom okamihu zafixova resp. dohodnú kurz alebo cenu, za ktorú sa môže aktívum, ktoré sa k tomuto kontraktu vzahuje, kúpi alebo preda k uritému budúcemu dátumu. Pre všetky typy derivátov sú charakteristické niektoré spoloné znaky : Finanný derivát predstavuje právo kúpi alebo preda isté aktívum, prípadne získa finanné plnenia. Obchodovanie s finannými derivátmi je teda obchodovaním s právami. Obchody s derivátmi majú charakter termínových kontraktov : medzi uzatvorením dohody a jej plnením uplynie vopred dohodnutá doba. 1 Katedra matematiky, MTF STU Bratislava, Paulínska 16, Trnava, km@mtf.stuba.sk

212 Zmluvné strany uzatvoria kontrakt len vtedy, ke sa ich trhové oakávania líšia, ke jeden partner oakáva rast hodnoty podkladového aktíva a druhý jejho stabilitu alebo pokles. Splni sa môže trhové oakávanie len jednej strany. To, o táto strana získa, druhá stratí. Predpokladom rozvoja obchodovania s jednotlivými typmi derivátov je dostatone likvidný trh podkladových aktív a finanných nástrojov, ktoré deriváty podkladajú ( sú bázickými aktívami i nástrojmi ). Ak sa dostatone aktívne obchoduje s akciami, môžu by úspešné aj deriváty na akcie, at. Finanné deriváty je možné leni z viacerých hadísk. Poda typu podkladového aktíva ich delíme na : - komoditné deriváty ( kontrakty na budúci predaj alebo nákup fyzických komodít, ako napríklad pšenica, ropa, zlato, kakao) - úrokové deriváty ( kontrakty na budúci predaj alebo nákup úrokových nástrojov, ako napríklad úver, krátkodobý i dlhodobý dlhopis ) - menové deriváty ( kontrakty na budúci predaj alebo nákup uritej meny ) - akciové deriváty ( kontrakty na budúci predaj alebo nákup akcií ) - deriváty na akciový index ( kontrakty na budúci vývoj akciového indexu ) Poda vzájomného postavenia oboch úastníkov termínového obchodu možno finanné deriváty rozdeli na : - pevné ( nepodmienené ) deriváty predstavujú termínový obchod, pri ktorom nemá možnos voby ani jeden partner. Teda obaja úastníci sú ho povinný uskutoni k dátumu splatnosti, bez ohadu na to, aká je promtná (skutoná) cena podkladového aktíva k tomuto dátumu a vstup do kontraktu je obvykle pre obe strany bezplatný. - opné ( podmienené ) deriváty predstavujú termínový obchod, pri ktorom má majite opcie právo od kontraktu ustúpi, priom prihliada na to, aká je skutoná cena podkladového aktíva k dátumu splatnosti. Postavenie druhého úastníka je pasívne, lebo závisí na rozhodnutí úastníka v aktívnom postavení. Za túto výhodu musí pri vstupe do termínovaného kontraktu úastník v aktívnom postavení zaplati úastníkovi v pasívnom postavení uritú opnú prémiu. 3. Forwardy na úrokovú mieru (FRA) Forward na úrokovú mieru zabezpeuje dvom zúastneným protistranám fixnú úrokovú mieru z istej peažnej sumy ( istiny ) pre dohodnuté budúce obdobie. Na finanných trhoch sa stretávame s týmito kontraktami pod skratkou FRA ( Forward Rate Agreement ). Ide o pomerne mladý nástroj, prvý krát sa objavil vo Švajiarsku v roku Odvtedy sa na rozvinutých trhoch forwardy tohto typu vemi rozšírili. Centrom obchodov s kontraktami FRA je Londýn. S FRA obchodujú najastejšie banky a firmy s vysokým objemom investícií. Banka, ktorá poskytuje úver, uzatvára FRA zmluvu preto, aby zafixovala pevnú výšku

213 úrokovej sadzby. Chráni sa tým pred rizikom poklesu úrokových sadzieb, ktoré znamená nižší úrokový príjem z poskytnutého úveru. Firma, ktorá si naopak požiiava peažné prostriedky sa chráni pred zvýšením úrokových sadzieb, ktoré by predstavovali splatenie vyššej sumy úrokov z požianých prostriedkov. Predajom FRA investor získa istotu, že príjem z poskytnutej investície bude úroený pevnou úrokovou sadzbou. Kúpou FRA investor získa istotu, že za poskytnutú investíciu bude plati úrok s pevnou úrokovou sadzbou. Väšina kontraktov FRA sa uskutouje v Londýne, a preto sa úrokové sadzby na FRA kótujú väšinou sadzbou LIBOR ( London Interbank Offerred Rate ). Väšina z nich sa uzatvára na trojmesaný LIBOR alebo 3 na 6 mesiacov. V žargóne peažného trhu by sa uvedený kontrakt oznail ako " FRA tri na šes ", tj. úroenie zane za 3 mesiace a skoní za 6 mesiacov. Pôvodnou formou boli forwardy, pri ktorých dochádza medzi partnermi k presunu istej peažnej sumy ( istiny ) a po uplynutí dohodnutého obdobia sa istina zväšená o úroky poítané poda forwardovej úrokovej miery presúva spä k pôvodnému držiteovi. Pre kontrakt sú dôležité tri asové okamihy: - dátum podpisu dohody, pri ktorom sa stanoví nielen nominálna hodnota kontraktu (výška istiny, ktorá sa bude presúva), ale aj zaiatok a trvanie úrokového obdobia a pevná forwardová úroková sadzba ( FRA sadzba ) - zaiatok úrokového obdobia, kedy sa presúva istina a je známa úroková miera k tomuto termínu, ktorú možno porovna s dohodnutou forwardovou úrokovou mierou, kedy sa uruje sa i budúca spotová úroková miera. - koniec úrokového obdobia, kedy sa pôvodnému držiteovi vracia istina zväšená o úrok. Úroky nabiehajú od zaiatku úrokového obdobia až do konca úrokového obdobia, o oznaujeme ako l poet dní úrokového obdobia. asový priebeh transakcie FRA môžeme znázotni nasledovne : Obr. 1: asový priebeh transakcie FRA Druhým variantom je FRA-kontrakt, pri ktorom nedochádza k presunu istiny. Partneri sa len dohodnú na sume ( tzv. nocionálnej hodnote), ktorá sa bude úroi. Na zaiatku úrokového obdobia sa porovná forwardová a spotová úroková miera. Rozdiel sa vynásobí nocionálnou hodnotou kontraktu a výsledná suma je vyrovnávacou platbou, ktorú uhradí jeden partner druhému v závislosti na charaktere rozdielu úrokovej sadzby. Forwardy všeobecne nie sú štandardizovanými kontraktmi, a preto konkrétne podmienky jednotlivých obchodov závisia na dohode partnerov. Kedže sa na vyspelých trhoch s FRA-kontraktmi hromadne obchoduje, British Banker Association ( BBA )

214 vypracovala isté štandardné podmienky, ktoré sa na týchto trhoch väšinou akceptujú. Najdôležitejšie z nich sú: : - kontrakty sa uzatvárajú na nocionálnom princípe ( nedochádza k presunu istiny ) - vyrovnávacia platba sa uruje poda štandardnej formule a uhradzuje sa na zaiatku úrokového obdobia - neplnenie platieb vyplývajúcich z kontraktu sa posudzuje ako neplnenie úverovej zmluvy 3.1. Konštrukcia vyrovnávacej platby Konštrukcia vyrovnávacej platby vychádza z výpotu súinu rozdielu forwardovej a spotovej úrokovej miery a nocionálnej hodnoty kontraktu, ktorý predstavuje vyrovnávaciu platbu k okamihu T. Môžeme ho uri vzahom: * S FRA. T T 360 ( ) ( ) i i. P,kde (1) t T... oznauje súastný dátum... zaiatok úrokového obdobia T... koniec úrokového obdobia, priom platí t <T < T P i S... nominálna ( nocionálna ) hodnota kontraktu FRA... spotová úroková miera i FRA... dojednaná forwardová úroková miera Pretože vyrovnávacia platba sa hradí hne na zaiatku úrokového obdobia ( na rozdiel od variantu FRA s presunom istiny ), má príjemca vyrovnávacej platby príslušnú sumu k dispozícii poas celého úrokového obdobia, môže mu teda prináša úrokový výnos. Preto sa suma vypoítaná poda vzorca (1) odúrouje k zaiatku úrokového obdobia t.j. násobí sa diskontným faktorom tvaru: 1 T T 1+ i S. 360 Po vynásobení vzahov (1) a () dostaneme vekos vyrovnávacej platby pre kupujúceho FRA ( vekos vyrovnávacej platby pre predávajúceho FRA má opané znamienko ) : VP N FRA = VP P FRA = P. ( i i ). S 1+ i S T T 360 T T. 360 FRA () - 1 -

215 Z uzatvoreného kontraktu FRA vyplýva: - kupujúci ( spravidla subjekt, ktorý požial, investoval prostriedky a oakáva zníženie úrokovej miery na trhu a chce si zabezpei pevný úrokový výnos ) sa zaväzuje uhradi predávajúcemu ( spravidla banke ) na zaiatku úrokového obdobia vyrovnávaciu platbu, ak je forwardová úroková miera vyššia, než spotová úroková miera na zaiatku úrokového obdobia ( teda ak platí i FRA > i S ) - predávajúci ( spravidla subjekt, ktorý si vypožial prostriedky a chce si zabezpei pevnú úrokovú mieru, ak oakáva zvýšenie úrokovej miery ) sa zaväzuje uhradi kupujúcemu vyrovnávaciu platbu, ak je forwardová úroková miera nižšia než spotová úroková miera ( napr. LIBOR ) na zaiatku úrokového obdobia ( iže ak i S > i FRA ) isté finanné vyrovnanie pri FRA znázoruje nasledujúca schéma: Kupca dlhá pozícia FRA i LIBOR i < FRA i LIBOR i > FRA Predajca krátka pozícia FRA Obr. : isté finanné vyrovnanie pri FRA 3.. Forwardova úroková miera Ak chceme odvodi vekos úrokovej sadzby FRA, musíme eliminova možnos arbitrážneho zisku. Jej vekos závisí od okamžitých ( spotových) hodnôt bezrizikových úrokových mier. Zaveme oznaenie: i T... bezriziková úroková miera v ase t so splatnosou v ase T i... bezriziková úroková miera v ase t so splatnosou v ase T Uvažujme nasledujúce varianty: Uložíme jednotkový kapitál na obdobie od t do Uložíme jednotkový kapitál na obdobie od t do T a zárove v ase t predáme úrokový forward FRA so splatnosou v ase T, ktorý zafixuje úrokovú mieru pre obdobie od T do T na úrovni i FRA. asovú štruktúru možno znázorni: T T Obr. 3: asová štruktúra pre úrokovú sadzbu FRA

216 Ak nemá nasta arbitrážny zisk, splatné iastky obidvoch variant musia by rovnaké: 1+ i T t. 360 = 1+ i T t.. 1+ i 360 T T FRA. T T 360 Odtia pre úrokovú sadzbu FRA dostaneme po úprave: i FRA = i T 1+ ( T t) it.( T t) T t i..( T T ). T 360 Od úrokových mier i T a i požadujeme, aby boli bezrizikové z toho dôvodu, aby T výsledky transakcií na oboch stranách predchádzajúcej rovnosti boli zaruené. 4. Záver V období globalizácie, ke finanné toky prebiehajú v medzinárodnom priestore a podniky využívajú cudzie zdroje, zaisovanie sa proti finanným rizikám tvorí neoddelitenú súas finanného sveta. Okrem forwardových kontraktov na úrokovú mieru môžu by na zabezpeenie sa proti úrokovému riziku využité aj úrokové opcie. Ich vhodným použitím možno dosiahnu okrem zaistenia úrokovej sadzby aj zlacnenie úveru. Literatúra [1] BLACKE, D.: Analýza finanních trhu. Praha: Grada, ISBN. [] JÍLEK, J.: Finanní a komoditní deriváty. Praha: Grada, 004. ISBN [3] POTOCKÝ, R.: Finanná matematika. Bratislava: UK, ISBN [4] SKIVÁNKOVÁ, V., SKIVÁNEK, J.: Kvantitatívne metódy vo finanníctve. Bratislava: Statis, 001. ISBN

217 POÍTAOVA PODPORA APLIKÁCIÍ MATEMATIKY V INŽINIERSKYCH PREDMETOCH Alena Vagaská 1 Abstrakt: V príspevku sú prezentované niektoré možnosti využitia programového vybavenia MS Excel a Matlab pri aplikáciách matematiky v inžinierskom predmete Pružnos a pevnos. Vhodnos jednotlivých programov je demonštrovaná na konkrétnom aplikanom príklade. 1. Využitie PC pri aplikáciách matematiky v pružnosti a pevnosti V predmete Pružnos a pevnos pri urovaní Fk a σ k pre prút konštantného prierezu s plochou A, ktorý je na jednom konci votknutý a druhý koniec prúta je kbovo uložený, riešime lineárnu diferenciálnu rovnicu II. rádu s konštantnými koeficientmi d w( x) + M x α w( x) = A dx EJ 1 l (1) ktorú spa krivka ohybu w(x). Všeobecné riešenie rovnice (1) nájdeme v tvare M M A w( x) = C x C x A 1 cosα + sinα + x () F F l Využitím okrajových podmienok w ( 0 ) = w( l) = 0 (pre daný prút je v koncových bodoch nulový priehyb) a w ( 0 ) = 0 (na konci, kde je prút votknutý, je nulové pootoenie), M A dostaneme sústavu troch rovníc s tromi neznámymi C 1,C a. Keže chceme Fk netriviálne riešenie, determinant spomínanej sústavy musí by nulový [1]. Z tejto podmienky pomocou Sarussovho pravidla dostaneme nelineárnu rovnicu k tgα l = α l, resp. tg x = x (3) po zavedení substitúcie α l = x. V odbornej literatúre z Pružnosti a pevnosti sa uvádza nanajvýš grafické riešenie rovnice (3) a najmenší kladný kore s presnosou ε = 10 3, t.j. α l = 4, 493 []. Ukážeme si riešenie nelineárnej rovnice (3) s využitím PC. Využitie Matlabu pri grafickom riešení nelineárnych rovníc Prieseníky grafov funkcií f : y = tg x a g : y = x sú riešením rovnice (3) Zapíšeme funkcie v prostredí Matlab (obr. 1) a po potvrdení dostávame grafické riešenie znázornené na obr.., odkia α 4, 5.V prvom príkaze urujúcom interval premennej x je už zohadnená požiadavka pre nájdenie najmenšieho kladného korea rovnice (3). k Obr. 1: Zápis funkcií v prostredí Matlab 1 KMIK FVT v Prešove, TU v Košiciach, Bayerova 1, Prešov, vagaska.alena@fvt.sk

218 Obr. Grafické riešenie nelineárnej rovnice tg x = x v prostredí Matlab MS Excel pri grafickom a numerickom riešení nelineárnych rovníc Pri grafickom riešení rovnice (3) sa využitie MS Excelu z hadiska jednoduchosti vytvorenia grafov ukázalo ako menej vhodné. Graf funkcie y = tg x bolo nutné vytvára po astiach s ohadom na body nespojitosti. Ako je zrejmé z obr. 3, využitie MS Excelu pri numerickom riešení rovnice (3) pomocou viacerých numerických metód nás vemi rýchlo vedie k výsledku s požadovanou presnosou.. Záver Obr. 3 Numerické riešenie nelineárnej rovnice tg x = x pomocou MS Excelu Programové produkty nachádzajú efektívne uplatnenie aj v posilnení aplikaného charakteru matematiky a v podpore medzipredmetových vzahov. Literatúra [1] VAGASKÁ, A.: Aplikácie diferenciálnych rovníc II. rádu. In. 5 nd International conference Aplimat, Bratislava, Bratislava: FX spol. s.r.o., 006. ISBN , s [] TREBUA, F., JURICA, V., ŠIMÁK, F.: Pružnos a pevnos II. Košice: Vienala, 000. ISBN s

219 VARIANÝ POET A JEHO APLIKÁCIE Alena Vagaská 1 Abstrakt: Varianý poet nachádza stále väšie uplatnenie v najrôznejších odvetviach mechaniky a techniky, hlavne v strojárskom a elektrotechnickom inžinierstve. V lánku popisujeme metódu variácií funkcionálu, Eulerovu rovnicu a jej aplikácie na vybraných príkladoch. 1. Extrémaly džky oblúka rovinnej krivky Na nasledujúcom príklade si uvedieme dva rôzne spôsoby urenia extrémaly džky oblúka rovinnej krivky aplikáciou Eulerovej diferenciálnej rovnice. Urme najkratšiu krivku spájajúcu dva rôzne body roviny A ( x 0, y 0 ) a B ( x ) 1, y. Pri 1 urovaní musíme vychádza zo vzahu pre džku oblúka rovinnej krivky l x [ y( x) ] = 1 + y dx 1 (1) x o Ide o typ najjednoduchšieho funkcionálu pre prípustné krivky s pevnými koncovými bodmi typu x [ ( )] = 1 v y x F[ x, y( x), y ( x) ] dx, F ( x, y, y ) = 1+ y x0. () Nutná podmienka pre extrém funkcionálu je, aby variácia funkcionálu bola rovná nule x1 d δ v = Fy Fy δy dx = 0 (3) dx x0 Využitím základnej vety varianého potu [1] vieme, že je to splnené vtedy a len vtedy, d ak F y F y = 0, o je Eulerova rovnica. Pri prvom spôsobe riešenia využijeme dx Eulerovu rovnicu v nerozpísanom tvare, ktorá pre náš prípad potom bude ma tvar: d F dfy' F y F y = 0, t.j. = 0 dx y dx Pri dosádzaní F zo vzahu () do Eulerovej rovnice (4) dostávame 1/ F = 0 a F y = y' ( 1+ y' ) (5) y ' takže napokon získame diferenciálnu rovnicu druhého rádu s poiatonými x 0 y y x 1 = y, z ktorej postupne vyjadríme neznámu extrémalu podmienkami y ( ) = 0, ( ) 1 y ( x), t.j. krivku, na ktorej sa realizuje extrém funkcionálu (1): Potom môžeme vyjadri y a y ( x) ( ( ) ) 1/ ' y ' 1+ y' = 0 y' ( 1+ y' ) 1/ = C1 ( ) 1/ 1 C y = ± C ( C ) 1/ x C y = ± C (4). (6). (7) 1 KMIK FVT v Prešove, TU v Košiciach, Bayerova 1, Prešov, vagaska.alena@fvt. sk

220 ± C 1/ Po zavedení oznaenia ( 1 ) 3 okrajových podmienok y ( ) = 0, ( ) 1 ktorá má riešenie C 1 = C 1 môžeme konštanty C a C 3 získa z x 0 y y x 1 = y, t.j. dostaneme sústavu lineárnych rovníc y = +, (8) 0 C3x0 + C, y1 = C3x1 C y1 y0 x1 y0 x0 y1 C 3 = = a, C = = b. (9) x x x x 1 0 Hadaním extrému funkcionálu (1) sme sa dostali k rovnici priamky y ( x) ax + b ktorá prechádza bodmi A ( x, y 0 0 ), B ( x ) 1, y 1 a úseka y ( x) ax + b x 0, x 1 0 =, =, x 1 bude predstavova najkratšiu spojnicu bodov A, B. Pri druhom spôsobe riešenia taktiež vychádzame zo vzahu (1), avšak využijeme Eulerovu rovnicu (4) v rozpísanom tvare: F y Fxy Fyy y Fy y y = 0 (10) F x, y y = + y platí: Pre parciálne derivácie prvého a druhého rádu funkcie (, ) 1 1/ F F = F = F 0, = y' ( 1 y' ) x = y xy' yy' = 3 / F y, = ( 1 y' ) + F y + Dosadením vzahov (11) do Eulerovej rovnice (10) dostaneme rovnicu ( 1+ y' ) 3 / = 0 y (11) y (1) o môže nasta vtedy a len vtedy, ak y = 0. Riešením diferenciálnej rovnice y = 0 a zárove rovnice (1) je sústava priamok y = C1x + C. Využitím poiatoných y x 1 = y dostaneme sústavu lineárnych rovníc podmienok ( x 0 ) y0 y =, ( ) 1 odkia uríme konštanty y1 y0 C = = a x x y = + (13) 1 1 C1x1 + C, y0 = C1x0 C , C = = b 0 x y x y. (14) x x Vyjadrením konštánt C 1 a C sme zo sústavy integrálnych kriviek, konkrétne y x = ax +, ktorá prechádza bodmi sústavy priamok, získali jedinú priamku ( ) b A ( 0 0 ) x ) 1, y 1. Záver B urenými v zadaní, t.j. získali sme extrémalu funkcionálu (1). Prínosom lánku sú nové spôsoby riešenia, ktorými sme dospeli k tomu istému y x = ax +, x x 0, x1 je najkratšou spojnicou záveru, že úseka ( ) b bodov A ( x, y 0 0 ), ( x ) 1, y 1 Literatúra B, iže je extrémom (minimom) funkcionálu (1). [1],..:. :, [] VAGASKÁ, A., URAM, V., KOCHANÍK, J.: Základné princípy varianého potu. In Manufacturing engineering/výrobné inžinierstvo. ISSN , 004, ro. III.,. 4/004, s

221 APLIKÁCIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC PRI UROVANÍ STABILITY PRIAMYCH PRÚTOV Alena Vagaská 1 Abstrakt: V lánku sú uvedené niektoré aplikácie diferenciálnych rovníc II. rádu s konštantnými koeficientmi v inžinierskom predmete pružnos a pevnos, zohadujúc moderné aplikané trendy v obsahu a štruktúre inžinierskeho štúdia na technických univerzitách. 1. Úvod Vo vyuovaní prírodovedných a odborných predmetov na fakultách technických univerzít ešte aj dnes dominuje nejednotnos a izolovanos. Vzhadom na absenciu aplikaných úloh na prednáškach a cvieniach z matematiky študenti nevnímajú zvládnutie základov vysokoškolskej matematiky (infinitezimálny poet, teória diferenciálnych rovníc) ako nieo nevyhnutné pre úspešné pokraovanie v štúdiu nadväzujúcich technických predmetov. Dosiahnu nápravu možno jedine zaradením aplikácií do výuby matematiky. To je niekedy ažké, pretože uiteom matematiky ako erstvým absolventom pedagogických i prírodovedných fakúlt mnohokrát chýba prehad o aplikáciách matematiky v technických predmetoch. Nápomocným pri takomto probléme môže by predkladaný lánok, v ktorom uvádzam aplikácie diferenciálnych rovníc II. rádu v inžinierskom predmete pružnos a pevnos.. Aplikácie lineárnej diferenciálnej rovnice II. rádu pri posudzovaní stability priamych prútov Lineárna diferenciálna rovnica II. rádu s konštantnými koeficientmi nám umožuje posúdi stabilitu tzv. štíhlych prútov. Ak je štíhly prút namáhaný osovou tlakovou silou F, ktorá neprekroí uritú hodnotu, prút ostáva priamy a namáhaný len na tlak. V takom prípade ak prút mierne vychýlime doasnou prienou silou, vráti sa po jej odstránení do pôvodnej priamej polohy. Ke však sila F dosiahne uritú hodnotu, prút nútene vychýlený z priamej polohy ostane ohnutý. Uvedená situácia nastáva pri kritickej vzpernej sile, ktorá charakterizuje stratu stability prúta a oznauje sa F resp. F k. Pri vemi malom zväšení hodnoty sily nad vychýlení rastie až do porušenia. F, priehyb ( x) k krit w prúta pri jeho Exaktné riešenie niektorých stabilných problémov je vemi obtiažne, preto sa pri riešení štíhlych prútov využíva matematický model, ktorý vypracoval Euler a o ktorom sa zmieujem v lánku [1]. Urovanie kritickej vzpernej sily pre rôzne spôsoby uloženia koncov prúta Prút s obojstranne votknutými koncami Urme kritické napätie σ k a najmenšiu Eulerovu kritickú silu F k, ktorá spôsobí ohyb prúta konštantného prierezu A s obojstranne votknutými koncami, ak vieme, že krivka ohybu spa diferenciálnu rovnicu d w( x) M A + α w( x) = (1) dx EJ 1 KMIK FVT v Prešove, TU v Košiciach, Bayerova 1, Prešov, vagaska.alena@fvt.sk

222 F kde α = k, EJ σ = F k k A moment prierezu prúta,, E je modul pružnosti materiálu prúta v ahu, J je kvadratický M A je ohybový moment v bode A a pre daný prút sú to konštanty. Poznamenajme, že diferenciálnu rovnicu (1) získame z diferenciálnej rovnice d w EJ dx ( x) = M ktorú odvodil Euler. Ak využijeme podmienky rovnováhy pre tento spôsob uloženia M x v ubovonom bode platí prúta, tak pre ohybový moment ( ) M ( x) ( x) Fk w( x) M A () =. (3) Dosadením vzahu (3) do východzej diferenciálnej rovnice () po úprave dostaneme rovnicu (1), o je lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientmi s pravou stranou. Charakteristická rovnica rovnice (1) má tvar r α = 0 r = ± α i a tak + 1, všeobecné riešenie prislúchajúcej diferenciálnej rovnice bez pravej strany bude w 1 ( 1 + x) = C cosα x C sinα x. (4) Po získaní partikulárneho riešenia dostaneme všeobecné riešenie rovnice (1) v tvare M A w ( x) = C1 cosα x + C sinα x +. (5) F Pre prvú deriváciu riešenia (5) platí: w x) = α C sinα x α C cosα x (6) ( 1 + Z okrajových podmienok prúta uríme konštanty C 1,C a moment M A. Pre prút s obojstranne votknutými koncami platí l w ( 0) = 0, w (0) = 0, w = 0 (7) lebo vieme, že priehyb w (x) bude maximálny pre x = l. Dosadením podmienok (7) do (5) a (6) pri netriviálnom riešení získanej sústavy dostaneme, že α sinα l = 0. F k Pre α > 0 ( α = > 0) má táto rovnica riešenie, ak platí EJ l kπ α = kπ α =, k = 1,,..., n; n N (8) l Eulerovu kritickú silu F k a kritické napätie σ k dostaneme, ak položíme k = 1, takže F k Eulerove kritické napätie σ k je k 4π EJ π EJ = α EJ = =. (9) l (0,5l ) - 0 -

223 F k π EJ π E 0,5l L σ k = = = λ = = (10) A A( 0.5l) 0,5l i i i kde i = J A - je kvadratický polomer prieneho prierezu prúta, L je vzperná džka prúta, λ - je Eulerov štíhlostný pomer a v tomto prípade uloženia prúta platí L = 0, 5l. Prút s jedným koncom kbovo uloženým a druhým votknutým Urme Eulerovu kritickú silu F k a kritické napätie σ k pre prút konštantného prierezu s plochou A, ktorý je na jednom konci votknutý a druhý koniec prúta je kbovo uložený, ak vieme, že krivka ohybu spa diferenciálnu rovnicu d w( x) + M x α w( x) = A dx EJ 1 l (11) Diferenciálnu rovnicu (11) je možné získa z podmienok rovnováhy prúta : V A = V B, M A = VB l, kde pre ohybový moment M (x) platí x M ( x) = M A Fk w( x) VA x = M A1 Fk w( x) (1) l Opä ide o lineárnu diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi so špeciálnou pravou stranou. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade všeobecné riešenie w 1( x) príslušnej homogénnej diferenciálnej rovnice k rovnici (11) je w x) = C cosα x C sinα x. (13) 1 ( 1 + Urením partikulárneho riešenia dostaneme všeobecné riešenie rovnice (11) v tvare M M A w( x) = C x C x A 1 cosα + sinα + x (14) F F l odkia k M A w ( x) = α C1 sinα x + α C cosα x (15) F l Z okrajových podmienok prúta uríme integrané konštanty C 1,C a ohybový moment M A. Vieme, že pre tento prút je v koncových bodoch nulový priehyb, t.j. w( 0 ) = 0, w( l) = 0 a na konci, kde je prút votknutý, je aj nulové pootoenie, teda w ( 0 ) = 0. Dosadením týchto okrajových podmienok do (14) aj (15) dostaneme M A sústavu troch rovníc s tromi neznámymi C 1,C a, z ktorej pri hadaní Fk netriviálneho riešenia dostaneme po úprave rovnicu tgα l = α l (16) 4,4934 Najmenší kladný kore rovnice (16) je α l = 4, = 4,4934 α =. l Pre najmenšiu Eulerovu kritickú silu F k platí : k k - 1 -

224 F k (4,4934) π EJ π EJ = α EJ = EJ = = (17) l (0,699l) (0,7l) Pre najmenšie Eulerove kritické napätie σ k využitím vzahu F k i = J dostaneme: A 0,7l L = i π EJ π Ei π E π E σ k = = = = = λ = (18) A A( 0,7l) (0,7l) 0,7l λ i i kde λ je Eulerov štíhlostný pomer a L je vzperná džka prúta pre ktorú platí V praxi to znamená, že ak zaažíme takto upevnený prút silou jednoduchý ohyb (úplný oblúk sínusoidy) na džke 0,7l. V závislosti od uloženia prúta pre Eulerovu kritickú silu L = 0, 7l. F k, prút vytvorí F k dostaneme riešením odpovedajúcej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi nasledujúce vzahy: F k F k F k π EJ = ; vzah pre prút s vonými, resp. kbovo uloženými koncami, L = l l π EJ = ; vzah pre prút s jedným koncom votknutým a druhým voným, L = l ( l) π EJ = ; vzah pre prút s jedným koncom kbovo uloženým a druhým votknutým, ( 0,7l) L = 0, 7l π EJ F k = ; vzah pre prút s obojstranne votknutými koncami, L = 0, 5l ( 0,5l ) Pri porovnaní uvedených vzahov vidíme, že kritickú vzpernú silu, ktorá spôsobí ohyb prúta, môžeme vyjadri jedným tvarom π EJ F k = (19) ( β l) kde β je súinite vzpernej džky a závisí od uloženia koncov prúta. Ak sa súiniteom β vynásobí skutoná džka prúta l, urí sa vzperná džka prúta L ( L = β l). Vzpernou džkou prúta je vždy džka, na ktorej prút zaažený silou F k vytvorí jednoduchý ohyb, t.j. ohybová iara prúta vytvorí úplný oblúk sínusoidy. 3. Záver Eulerovu kritickú silu F k a kritické napätie σ k potrebujeme v praxi kvôli ureniu podmienok bezpenej pevnosti konštrukného materiálu. Literatúra [1] VAGASKÁ, A.: Aplikácie diferenciálnej rovnice II. rádu s konštantnými koeficientmi v predmete Pružnos a pevnos. In. 3nd international conference Aplimat, Bratislava, Bratislava: Sjf STU v Bratislave, 004. ISBN , s

225 PLATEAU BÉZIERV PROBLÉM Jana Vecková 1 Abstrakt. V této práci se zabýváme vyplnním uzavené prostorové polynomiální kivky Bézierovou plochou. Ve stavební praxi se asto využívají minimální plochy pro jejich dobré fyzikální vlastnosti. Výpoty minimálních ploch jsou v mnoha ohledech obtížné. Pi realizaci v praxi obvykle vytváíme minimální plochu pibližn, proto hledáme prostedky, kterými bychom minimální plochu aproximovali s maximálním piblížením k minimálnímu plošnému obsahu. Jednou z možností jak ešit takovou úlohu je studium minimálních Bézierových ploch. K této práci m inspirovaly plachtové konstrukce, Obr. 1. Plachtové konstrukce mají, krom toho, že jsou výtvarn zajímavé, lehké a penosné, mnoho dobrých fyzikálních vlastností. Povrchovou úpravou se mže zabránit prostupování UV záení nebo naopak docílit prsvitnosti. Plachtové konstrukce mají pvod u minimálních ploch. V každém bod minimální plochy je stední kivost nulová, tedy kivosti kivek plochy, v rovinách vzájemn kolmých a navíc kolmých k tené rovin v daném bod, jsou stejné ale s opaným znaménkem. Každý bod si tedy mžeme pedstavit jako sedlo, Obr.. Obr. 1: Plachtové konstrukce. Vlevo: Zastešení u nemocnice na Florid. Vpravo: Penosná plachtová konstrukce Mjme zadanou polynomiální kivku nebo rovnocenn eeno kontrolní body na hranici Bézierovy plochy. ešit Plateau Bézierv problém znamená najít vnitní kontrolní body tak, aby výsledná Bézierova plocha mla minimální povrch mezi všemi Bézierovými plochami se stejnými kontrolními body na hranici. Minimální Bézirovu plochu hledáme ve tvaru: n i kde B ( u) ( t) t n, m n m ( u, v) = Bi ( u) B j ( v) P ij x, (1) i, j= 0 n n i i = 1 jsou Bernsteinovy polynomy a P ij jsou vrcholy v 3 ídicí i sít této plochy. Pro uzavenou prostorovou hraniní kivku, jsou v parametrizaci (1) zadané vrcholy P ij, pro i { 0,n}, j { 0,m}. 1 VUT v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky, Thákurova 7, Praha 6, R, veckova@mat.fsv.cvut.cz - 3 -

226 Nejpirozenjší pi urení parametrizace minimální plochy je hledání minima plošného funkcionálu: A Ω ( ) = x x du dv = x x ( x x ) du dv = EG F du dv Ω u v x,, () Ω u v kde x u, resp. x v jsou parciální derivace funkce x podle promnných u, resp. v, a E, F, G jsou složky první formy plochy. Pesnjší definice [4]. Tato úloha vede na ešení soustavy nelineárních rovnic. Pomocí jednoduché nerovnosti ( E G) EG F EG 1 + integrálem: A u v Ω mžeme integrál () odhadnout shora Dirichletovým 1 Ω Ω u + v Ω ( ) D ( x) = ( x x ) dudv x. (3) Obr. : Sedlový bod Z Dirichletova principu plyne, že funkce, která minimalizuje funkcionál (3) je harmonická (spluje Laplaceovu rovnici). I když zvolená hraniní kivka je polynomiální, není zarueno, že minimální plocha s touto hranicí je opt parametrizována polynomiální bodovou funkcí. Protože hledáme minimum funkcionálu (3) ve tvaru (1), dostáváme minimální Bézierovu plochu, která není minimální pro zadanou hranici v Plateauov smyslu. Lze ukázat, že výsledná funkce obecn není harmonická. Pokud je plocha minimální, lze ji parametrizovat tak, že na ploše vzniknou tzv. symetrické souadnice, nap. [5] str. 73 nebo Lichtensteinova vta v [4], pro které platí: x = a ( x, ) = 0. (4) u x v u x v V takovém pípad je hledání minima plošného funkcionálu stejná úloha jako hledat minimum Dirichletova funkcionálu. Protože body Bézierovy plochy leží uvnit konvexního obalu vrchol ídicí sít, je hledaná plocha omezená. Hledání minima funkcionálu A Ω pevedeme na výpoet gradientu, který bude roven nulovému vektoru. Úpravou parciální derivace podle a-té složky: D Ω xu xu = u v du dv a a a x, x +, x. (5) ij Ω x ij x ij - 4 -

227 Výpotem zjistíme tvar parciálních derivací: xu n 1 n 1 = n B a i 1 u Bi u x ij ( ( ) ( )) B ( v) e a m j, (6) a kde e = 010,,. Dosazením z (6) do (5) a následnými úpravami, které jsou pesn zpracovány nap. v [3], získáme pro i 1, n 1 j 1,, m 1 následující rovnici: e je a-tý vektor kanonické báze, tzn. ( ) {, }, { } m n m n 1 m D n 1, k l Ω a 10 = C ni ( e Pkl ) a ij ( ) +, + x 4 n 1 m i j k, l= 0 m j + l, (7) n n m n m 1 m 1, l k a 01 + C mj + ( e Pkl ) 4( m 1), n i j k, l = 0 n i + k kde : n 1 ni nk i k C k ni =, Pkl = Pk + 1, l Pkl, Pkl = Pk, l+1 Pkl. ( n i)( n 1 i k ) n i + k 1 Dostáváme soustavu (n-1)(m-1) lineárních rovnic se stejným potem neznámých. Pokud m=n, je vyjádení (7) samozejm jednodušší. Nejznámjší polynomiální minimální plocha je Enneperova plocha, Obr u v ( ) x u, v = u + uv ; v + vu ; u v, 3 3 kde vrcholy ídicí sít mají na intervalu 1, 1 1, 1 souadnice: (,, 0) ( 1,, ) ( 1,, ) (,, 0) (, 1, ) (,, 0) (,, 0) (, 1, ) ( , 1, ) (,, 0) (,, 0) ( 1 4, 1, ) (,, 0) ( 1,, ) ( 1,, ) (,, 0) Pi bližším pohledu na pípad vyššího stupn Bézierovy plochy vidíme, Obr. 4, že výsledné stední kivosti nejsou nulové ve všech bodech plochy (ím svtlejší barva, tím více se kivost blíží nulové kivosti). Z tohoto dvodu je nkdy poetn výhodnjší využít tzv. masek. To vychází z bikvadratického pípadu, kdy hledáme pouze jediný 1 vnitní bod plochy ešením rovnice: P 11 = 4 ( P00 + P0 + P0 + P ). Tu mžeme psát v symbolickém tvaru: P 11 = 1 1. (8) Zobecnním (8) mžeme volit hodnotu a hodnotu dopoítáme v masce:

228 P ij α = β β α β α pomocí vztahu 4 α + 4β = 1. Zjednoduší se tím výpoet a mnohdy dokonce zlepší výsledek. β α Obr. 3: Enneperova plocha. Vlevo: ídicí sít. Vpravo: Hrany ídicí sít a výsledná plocha. Obr. 4: Minimální Bézierova plocha s naznaením stední kivosti. Literatura: [1] COSÍN, C., MONTERDE, J.: Bézier Surface of Minimal Area. In. Lecture Notes on Computer Science. Berlin/Heidelberg. Springer, ro. 00, ISBN X,. 330, s [] MONTERDE, J.: The Plateau-Bézier Problem. In. Lecture Notes in Computer Science. Berlin/Heidelberg. Springer, ro. 003, ISBN: ,. 768, s [3] MONTERDE, J.: Bézier surfaces of minimal area: The Dirichlet approach. In. Computer Aided Geometric Design. Ro. 004, ISSN: ,. 1, vyd., s [4] DIERKES, U., HILDEBRANDT, S., KÜSTER, A., WOHLRAB, O.: Minimal surfaces. Springer, [5] OPREA, J.: The mathematics of soap films: explorations with Maple. AMS, 000. [6] MARSH, D.: Applied Geometry for Computer Graphics and CAD. Springer,

229 EURÓPA, E-LEARNING A MATEMATIKA: STRATY A NÁLEZY Daniela Velichová 1 Abstrakt: Príspevok prináša zamyslenie sa nad situáciou vysokoškolských systémov európskych krajín v procese ich transformácie v rámci jednotného európskeho akademického priestoru, postavením a zástojom matematiky v kontexte európskych inžinierskych študijných programov a smerov a predkladá akademickej obci niekoko závažných otázok, na ktoré je potrebné nájs kompetentné odpovede. 1. In medias res Rapídny technologický vývoj informaných a komunikaných technológií v postindustriálnej, tkzv. tretej vlne rozvoja udskej civilizácie [1] spôsobil premenu našej spolonosti na novú informanú spolonos [] a zásadným spôsobom zmenil náš postoj ku získavaniu a spracovaniu informácií i všeobecne k vzdelávaniu, štúdiu, a k nadobúdaniu a využívaniu vedomostí. Civilizácia 1. storoia nebude symbolizovaná vekými stavbami, ale bude to "neviditená civilizácia" [3], ktorej život bude prebieha predovšetkým vo svete informácií. Nastúpený proces spracovávania gigantického množstva informácií objavujúcich sa denne v miliónoch bitov na celosvetovej informanej sieti www si vyžaduje urgentnú zmenu celého vzdelávacieho prostredia a nový spôsob prezentovania aj získavania poznatkov a informácií, rovnako na školách základných a stredných, ako aj na univerzitách. Na 13. Európskom seminári o výube matematiky na technických univerzitách, ktorý sa konal v nórskom mesteku Kongsberg v doch júna 006 na miestnej technickej fakulte Hogskolen i Buskerud - HIBU [4], prebehlo mnoho zaujímavých diskusií a odznelo mnoho inšpirujúcich a podnetných návrhov dotýkajúcich sa spomínaných zmien a potrieb. Všeobecne akceptovaným tvrdením v komunite európskych uiteov matematiky na technických univerzitách a fakultách je hypotéza o existencii hlbokej priepasti medzi matematikou, ktorá je v ponuke Katedier i Ústavou matematiky na väšine európskych technických univerzít a tou matematikou, ktorú skutone potrebuje vzdelaný európsky inžinier na prahu tretieho tisícroia. Bolonská deklarácia prijatá 19. júna 1999 [5], [6], je politické rozhodnutie Európskej únie usilujúce sa zabezpei rovnorodé vzdelávacie prostredie, jednotný hodnotiaci európsky systém prenosu kreditov ETCS [7] a kompatibilitu vzdelávacích systémov európskych krajín vedúcu k vonej mobilite študentov a vedeckých pracovníkov v rámci Európskeho vzdelávacieho a vedeckého priestoru. Bolonský proces a lisabonská stratégia prijatá v marci 000 pre hladké zabezpeenie jeho realizácie však neboli európskou akademickou komunitou akceptované s takým nadšením, aké sa pôvodne oakávalo. Jedným zo závažných a pomerne neoakávaných problémov je práve rôznorodos národných vzdelávacích systémov súvisiaca so sociálno-spoloenským a historickým vývojom, hlboko zakorenenými sociálnymi a kultúrnymi tradíciami a snaha o ich zachovanie, alším je napr. pozícia vzdelania v rebríku spoloensko-kultúrnych hodnôt jednotlivých národných spoloenstiev. 1 Katedra matematiky, Strojnícka fakulta STU, Nám. slobody 17, Bratislava, Slovenská republika, daniela.velichova@stuba.sk - 7 -

230 o vlastne bráni zjednoteniu Európy v oblasti poskytovania vzdelania a transformácii vzdelávacích systémov jednotlivých krajín? Tradície, ktoré sú hlboko späté s historickokultúrnym povedomím každého národného spoloenstva a charakterizujú ho; rôznorodos, ktorá je národným kultúrnym dedistvom a bohatstvom hodným udržania a zveaovania; hodnota vzdelania - spoloenské postavenie a kvalita života, ktoré prináša, a ktoré nie je jednoduché opusti, resp. prispôsobi potrebám globalizácie spolonosti. Cieom Bolonskej deklarácie je homogenizácia a prehadnos hierarchie akademických postov, titulov a celého akademického vzdelávacieho systému. Práve tu, pri strete základných kultúrnych hodnôt východnej a západnej civilizácie, narážame na problémy so všeobecnou legitimizáciou a vzájomnou akceptáciou akademických titulov udeovaných na jednotlivých stupoch vysokoškolského vzdelávania, s udržaním adekvátnej kvality a šírky vzdelania a zachovaním špecifickej európskej dimenzie, špecializácie, kultivovanosti a vysokého štandardu univerzitných štúdií. Uveme aspo dva kontrastné príklady, problémy, o riešení ktorých sa v súasnosti diskutuje v dvoch európskych krajinách s odlišným historickým vývojom, tradíciami, kvalitou vzdelávacích systémov a rebríkom spoloenských hodnôt, nehovoriac už o diametrálne rozdielnej sociálno-ekonomickej situácii a spoloenskom postavení lenov akademickej obce týchto krajín. 40 Mark (out of 50) Obr. 1: Výsledky diagnostických testov v Yorku N91 B99 Arith B.Alg Lines Tris F.Alg Trig Calc Obr.. Výsledky diagnostických testov v Coventry - 8 -

231 Koncom devädesiatych rokov minulého storoia sa vo Vekej Británii zaínajú objavova prvé varovné správy prinášajúce zarážajúce výsledky monitorov poukazujúce na sústavne sa zhoršujúce matematické kompetencie absolventov stredných škôl a študentov prvých roníkov univerzít. Postupne sa ukazuje, že spomínaný fenomén nie je len britskou špecialitou, ale je to systematický trend zachvacujúci celú západnú Európu a vyspelú západnú civilizáciu, a to najmä jej technické vysokoškolské inštitúcie. Tento neželatený trend jasne dokumentujú výsledky diagnostických testov zisujúcich matematické zrunosti absolventov britských stredných škôl, ktoré na 13. SEFI MWG seminári prezentoval vo svojom príspevku [8] Duncan Lawson, prodekan Centra pre vzdelávanie CETL pri Coventry University, obr. 1,. Vysokoškolskí uitelia sa ocitajú pod dvoma konfliktnými tlakmi klesajúci poet hodín priamej výuby a narastajúci objem poznatkov, ktoré sa presúvajú z tradine stredoškolskej úrovne na úrove bakalárskeho štúdia. Sú postavení pred dilemu ako udrža štandardnú kvalitu absolventov bakalárskeho a magisterského štúdia pri sústavne klesajúcej úrovni matematických vedomostí študentov prichádzajúcich do prvých roníkov. Obr. 3. Úvodná stránka Matematického centra Mathcentre pri Coventry University Britská akademická verejnos dokázala presvedi vládnucu politickú silu Labor party, že jedine politická vôa a finanná podpora vlády môže prispie k zlepšeniu situácie a získala masívnu podporu pre implantáciu a kompletné finanné zabezpeenie rôznych doplnkových výubových a podporných vzdelávacích aktivít poskytovaných vzdelávacími centrami zriadenými pri univerzitách. Matematické vzdelávacie centrum Mathcentre pri Coventry University [9] sa radí medzi pracoviská dosahujúce vynikajúce výsledky pri poskytovaní podpory študentom pri prechode zo strednej na vysokú školu

232 Centrum získalo v spolupráci s Univerzitou v Loughborough najvyššie ocenenie kvality Centre for Excellence in Teaching and Learning (CETL), obr. 3. Takýto rázny systémový krok vedúci k zamedzeniu poklesu vzdelanosti a udržaniu kvality tradine vysoko hodnoteného britského vysokoškolského vzdelávacieho systému môžeme našim kolegom iba úprimne závidie. Krajiny strednej a východnej Európy sa zmietajú v úplne iných problémoch, za nezávidenia hodnej situácie, ke sú naše školské systémy zúfalo podfinancované ([10]), vzdelanos rapídne stráca svoje prestížne postavenie v rebríku hodnôt našich mladých, dravých a nekompromisne trhovo orientovaných ekonomík, a veká as spolonosti zápasí s existennými a morálnymi problémami asto spôsobenými šokom zo slobody rozhodovania a neschopnosou (alebo neochotou) nies zodpovednos za kvalitu vlastného života, poda vzoru vyspelých demokratických spoloností. Európa neoakávala od nových lenov jej elitného združenia vyjadrenie ich vlastného názoru, ale bezpodmienené prispôsobenie sa jej štandardom. Nepoítala s tým, že vstupujúce krajiny prinesú do spoloného európskeho domu vzácne bohatstvo svojich hlbokých kultúrnych tradícií a zvláštnu širokú vzdelanostnú kultivovanos jednotlivých národov, ktorá v mnohých aspektoch vysoko prevýšila povrchné konzumné spolonosti pôvodných lenských štátov. Zatia o nové lenské krajiny nekompromisne prispôsobili svoje vysokoškolské vzdelávacie systémy požiadavkám unifikácie napriek tomu, že tým vážne narušili (alebo úplne popreli) historickú kontinuitu vývoja svojich kultúrno-spoloenských zvyklostí, mnohé suverénne vedúce štáty spoloenstva (napr. Francúzsko, Švédsko) o reformách svojich vzdelávacích systémov ani neuvažujú a právo na zachovanie osobitosti svojich elitných vysokoškolských inštitúcií a ich rozhodovaciu suverenitu považujú za samozrejmos. Transformácia univerzitných vzdelávacích systémov krajín bývalého východného bloku na trojstupový systém (bakalár magister doktor) prebehla formálnym rozdelením pôvodných 5-roných študijných plánov na dva samostatné cykly s bezprostredným pripojením tretieho, doteraz relatívne samostatného kandidátskeho štúdia premenovaného na doktorandské štúdium, redukciou potu hodín priamej výuby, ktorá väšinou skonila pristrihnutím neobúbených predmetov a udeovaním nových absolventských titulov bez domácich tradícií, ktoré vniesli do už chaotického systému akademických titulov ešte väší zmätok a nesúlad. Úloha európskeho komisára pre vzdelávanie, odborné vzdelávanie, kultúru a mnohojazynos (Commissioner for Education, Training, Culture and Multilingualism) zjednoti európsky vzdelávací systém nie je vôbec jednoduchá, a skutonos, že ju dnes zastáva predstavite Slovenska Ján Fige [11], práve potvrdzuje komplikovanos situácie a neochotu pôvodných lenských štátov vážne sa týmto problémom zaobera. Budúcnos však Ján Fige vidí optimisticky [citácia z 1]: Vzdelávanie je skutone tou najlepšou investíciou, pretože spolu s výchovou a kultúrou formuje vedomie, svedomie, poznanie. Je to nenahraditená cesta pri formovaní tzv. znalostnej ekonomiky a spolonosti v prípade, že je to našim cieom. Investova do vzdelania je dnes dôležitou prioritou pre krajiny, ale aj jednotlivcov. Nie je to úloha len pre štát, ale aj pre loveka. Dnešná Komisia José Manuela Barrosa navrhuje v rámci finannej perspektívy pre obdobie od roku 007 do 013 najvyšší nárast spoloných prostriedkov práve v oblasti vzdelávania, druhý najvyšší sa týka oblasti vedy. Toto sú naše priority, no pripomínam, že nie na úrovni štátnej zodpovednosti, ale v komplementarite so štátnou politikou celej dvadsapäky. To platí rovnako vo vzahu k technickému ako aj humanitnému školstvu. o je však dôležitejšie než samotný objem, sú reformy, ktoré vedú k otváraniu európskeho školstva, jeho zatraktívovaniu a skvalitovaniu. Najznámejšou znakou týchto rokov, ktorá charakterizuje reformy

233 v Európe je Bolonský proces. Da 1. novembra som otváral nový akademický rok na najstaršej univerzite sveta v Bologni, ktorej poiatky siahajú do roku Mnohé univerzity boli v minulosti viac európske než sú dnes. Medzi tým sa celý európsky priestor cez nacionalizmus a rôzne režimy v rámci finannej perspektívy fragmentoval, oslaboval a strácal na kvalite, dynamike. Dnes sa k nemu vraciame cez bolonský proces, ktorý umožuje nielen prenos kreditov, ale aj stupov vzdelania a v týchto rokoch by mal smerova k zabezpeeniu kvality na vysokých školách, ktorá bude vemi rešpektovaná, uznávaná. Toto dnes vytvára prostredie, ktoré je prajné pre študentov a profesorov, aby neboli v Európe len turistami, ale umi so svojou kvalifikáciou, ktorá je uznávaná, ktorá môže by využitá pre ich uplatnenie. Je to veká výzva pre mladých udí obzvláš, pretože generácia pred nami takúto šancu nemala. Dnes je už v Európe viac než 1, milióna Erazmus študentov. Ide o študentov, ktorí sa za dve desaroia zúastnili jednosemestrálnych študijných pobytov ktoré sú rozhodne vekou investíciou do ich kvalifikovanosti. Tento proces sa posunie alej za hranice Únie, Erazmus sa otvorí aj pre študentov z iných kontinentov. Matematika, ktorá nezvykne vies rebríky hitparád obúbenosti, obstála v reformnom procese transformácie technického vysokého školstva stredoeurópskeho regiónu pomerne úspešne, napriek tomu, že poty hodín základných kurzov matematiky boli zredukované až na udržatené minimum v porovnaní s predchádzajúcou bohatšou hodinovou dotáciou. Toto minimum však stále prevyšuje pomerne skromné základné rýchlokurzy matematiky na technických fakultách vysokých škôl západného typu. Akoby tu ešte stále doznievala tradícia svetoznámej elitnej ruskej matematickej školy. Z pohadu skupiny ruských matematikov môžu tieto takzvané inovácie naruši tradície ruského vzdelávacieho systému, nerozumným adoptovaním zlého a neprijateného západného modelu školstva. Bolestne sa obávajú retardácie matematického vzdelania spolonosti a poklesu matematickej kultúry, ktoré sú zvláš dnes, vo veku poítaov a elektronických technológií, nesmierne dôležitou hybnou pákou alšieho vývoja. Suverenita štátu, jeho bezpenostný systém, ekonomika, veda a technická vyspelos sú závislé na matematickom vzdelaní jeho obyvateov. Je preto nevyhnutné zdôrazova význam všeobecného matematického vzdelania v masovom meradle, nie ako výsadu elitnej skupiny jednotlivcov, a argumentova jeho politickou dimenziou. alšia degradácia matematického vzdelania a matematickej kultúry privedie udstvo k závislosti na poítaových systémoch, namiesto toho, aby ich využívalo vo svoj prospech. Globálna komputerizácia nedegradovala postavenie matematiky vo vzdelávaní, ale práve naopak, priniesla vzdelávacím systémom nové ciele, metódy a techniky. Podobné názory zdieajú matematické komunity mnohých alších štátov Európy, napr. Fínska, Maarska, Rumunska, Estónska, ktoré si žiarlivo strážia svoju nedávno nadobudnutú suverenitu a možnos slobodne sa rozhodova o zásadných otázkach kultúrneho smerovania svojich národných spoloenstiev [13], [14]. Poítaovo-podporované vzdelávacie prostredie postavilo pedagógov, vedcov a uiteov pred úlohu zodpoveda mnohé otázky súvisiace s novou formou pedagogického procesu, s e-learningom, v ktorom proces uenia i uenia sa prebieha využívaním softvérových balíkov a elektronických uebných materiálov, ktoré by mali by vytvorené poda nových, odlišných ale doteraz neprebádaných pedagogických princípov a zásad. Nezodpovedanými stále zostávajú otázky: Ako môže použitie poítaov a matematických softvérových balíkov prispie k lepšiemu porozumenie základným matematickým pojmom? Ako by malo ovplyvni osnovy a obsah výuby?

234 Aký význam má dnes runé poítanie v prostredí poítaových algebrických systémov? Ako posilni konceptuálne vzdelávanie v matematike? Aké minimálne základné matematické vedomosti sú nevyhnutné pre efektívne využívanie možností CAS systémov? Akou mierou by mali by vo vzdelávacom procese zastúpené rôzne pedagogické formy - prednáška, cvienia klasické, resp. v poítaovom laboratóriu, semináre, prezentácia referátov, tímová práca na projektoch, at? Akú úlohu má vo vzdelávaní internet ako voný zdroj informácií a akú majú odborne vytvorené elektronické uebné materiály? V snahe zabráni tragickému vývoju vedúcemu k matematickej negramotnosti absolventov vysokých škôl technických smerov vypracovala v roku 00 matematická pracovná skupina pri Európskej organizácii pre vzdelávanie inžinierov SEFI MWG pod vedením prof. Leslie Mustoa z Loughborough University vo Vekej Británii dokument nazvaný Core Curriculum: Mathematics for the European Engineer, A Curriculum for the Twenty-first Century [15]. Dokument bol vytvorený na princípoch postupného budovania pyramídy matematických vedomostí a má slúži ako vodítko pri návrhu sylabu základných kurzov matematiky pre inžinierske európske štúdijné smery. Tento materiál obsahuje learning outcomes hlavné ciele, i výsledky štúdia vyjadrené v nadobudnutých matematických zrunostiach a v úrovni porozumenia fundamentálnym matematickým pojmom, ku ktorých naplneniu by malo smerova štúdium základných kurzov matematiky na inžinierskych odboroch. Materiál je rozvrhnutý do troch úrovní náronosti, základná úrove I zodpovedá základným kurzom matematiky v bakalárskych študijných programoch, úrovne II a III obsahujú návrhy rôznych alších oblastí matematiky vhodných pre špeciálne inžinierske odbory na magisterskom a doktorandskom stupni štúdia. Základom je Core Zero, nevyhnutné minimum, ktoré by malo by záväzným pre absolventa strednej školy uchádzajúceho dsa o štúdium na technickej univerzite. Princípy použité v SEFI CC dokumente možno považova za základné metodické princípy výuby matematiky na technických univerzitách. Vzhadom na sústavný pokles matematických schopností študentov prvých roníkov univerzít sa však stáva široko poatá inžinierska matematika obsiahnutá v Core Curriculum príliš ambicióznym cieom, ktorý siaha nad rámec schopností a možností dnešných absolventov stredných škôl. alším z nedostatkov spomínaného materiálu je nedostatone vyjadrená úloha matematických softvérových produktov a ich zakomponovanie do výuby matematiky, ktoré je práve na technických smeroch štúdia nevyhnutné. Core Curriculum je dostupné k nahliadnutiu na domovskej stránke matematickej pracovnej skupiny SEFI MWG, ktorá je otvorená prija konštruktívne návrhy na jeho aktualizáciu. E-learning je jednou z alternatív, ktorá v blízkej budúcnosti zohrá v propcese vzdelávania a pri výube matematiky dôležitú úlohu. Využívanie integrovaných zdrojov a všetkých dostupných uebných textov a materiálov v tlaenej, resp. elektronickej forme, vo forme DVD záznamov a video nahrávok prednášok, resp. elektronických integrovaných uebných kurzov a databáz matematických e-learningových modulov je jedinou vhodnou alternatívou pre budúcnos. Najbližšou úlohou pedagogických pracovníkov je príprava a štandardizácia elektronických diagnostických materiálov, elektronických formulárov vo forme skúšobných testov a pracovných listov, ktoré budú - 3 -

235 priamou súasou e-learningových portálov európskych univerzít. Tieto portály budú slúži ako virtuálne podporné študijné centrá spravované kompetentnými pracoviskami katedrami alebo inštitútmi, resp. ústavmi matematiky zabezpeujúcimi výubu matematických predmetov. Jedno z prvých podobných centier v Európe je dostupné na adrese Záver Obr. 5. DVD nosie s uebnými materiálmi dostupnými on-line Pokúsme sa zhrnú uvedené fakty a sformulova zaiatoné podmienky, ktoré musí spa strategické riešenie európskej akademickej komunity matematikov pôsobiacich na technických univerzitách. Dospejeme k nasledovným záverom. Matematické nekompetencie študentov univerzít stále narastajú. Slabšie pripravení študenti potrebujú rôzne dodatoné podporné vzdelávacie aktivity, poskytované nad rámec vlastného vzdelávacieho procesu. K dispozícii je stále bohatší okruh rôznorodých zdrojov informácií, ktoré je potrebné patrine využíva. Nové technológie zohrajú v blízkej budúcnosti podstatnú úlohu pri transformácii vzdelávacieho procesu. V záujme zaujatia spolonej stratégie bude potrebné: odmera a porovna matematické poznatky dnešných študentov inžinierskych smerov v jednotlivých európskych krajinách pokúsi sa vytvori dokument deklarujúci minimálne matematické zrunosti a vedomosti, ktoré musí zvládnu študent inžinierskeho smeru bakalárskeho študijného programu na ktorejkovek európskej technickej univerzity

236 vypracova didaktické testy a štandardy na overovanie vedomostí študentov a analyzova používané didaktické metódy pri výube matematiky využívaním rôznych informaných technológií a prostriedkov vrátane najnovších matematických softvérov pre dosiahnutie lepších didaktických výsledkov. Cieom spoloných snáh je, aby študenti v európskom akademickom priestore pochopili lepšie význam matematiky a jej kúovú úlohu v technických disciplínach našli efektívnejšie metódy a prístupy k štúdiu matematiky využívali cieavedome a efektívne matematické poznatky vo svojom odbore používali symbolické algebrické výpotové systémy a programy CAS pri riešení zložitých aplikaných problémov a pri matematickom modelovaní získali porovnatené základné matematické vedomosti na všetkých európskych univerzitách aspo na bakalárskych stupoch vysokoškolského štúdia všeobecne akceptovatené pri mobilitách dosahovali vo väších potoch lepšie výsledky. Vyslovi hypotézu, že dosiahnutie týchto cieov je možné, by bolo naivné. Literatúra [1] TOFFLER, A., TOFFLER, H.: Creating a new civilisation (The politics of the third wave). Turner Publishing, Inc., Atlanta [] Informaná spolonos globálna výzva v novom miléniu. [3] MASUDA, Y.: Managing in the Information Society. Oxford: Basil Blackwell, [4] 13 th Seminar SEFI MWG official web page. [5] Bolonský proces. [6] Európsky vysokoškolský priestor. www3.srk.sk/politickedokumenty/bolonska_deklaracia_sl_(1).pdf [7] ECTS - Európsky systém prenosu kreditov. [8] CARPENTER, S., CROFT, T., LAWSON, D.: Developments in Mathematics Support in the United Kingdom, In. 13 th European Seminar on Teaching Engineering Mathematics, Kongsberg 006, Norway [9] Mathcentre, Coventry university official web page. [10] European education in [11] Ján Fige, európsky komisár [1] Osobnosti.sk, najvýznamnejšie osobnosti Slovenska [13] The international commission on mathematical instruction ICMI [14] SIKK, J.: Challenges for Mathematics Teaching in Engineering Educations, In. 13 th European seminar on teaching engineering mathematics, Kongsberg 006, Norway [15] Sefi MWG official web page

237 ELEKTRONICKÁ SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ Z ANALYTICKÉ GEOMETRIE Radek Výrut 1 a Jaromír Dobrý Abstrakt: V příspěvku je představen systém Trial, vyvinutý na katedře matematiky ZČU v Plzni. Systém Trial slouží ke generování elektronické sbírky příkladů, která je studentům volně dostupná na internetové adrese ( Především je zde kladen důraz na princip fungování tohoto systému z pohledu tvůrce příkladů. V další části je pak ukázán konkrétní příklad aplikace tohoto systému do výuky geometrie pro fakultu strojní a předveden způsob práce se systémem Trial z pohledu uživatele, tedy studenta. 1 Úvod Elektronická podpora výuky je téma dnes velmi diskutované. Zkratka e-learning je v dnešní době velmi módní záležitostí a je skloňována snad ve všech vědních odvětvích. V posledních letech se však ukazuje, že naivní přístup spočívající v prostém přepsání papírových skript do počítače a obohacení o některé jednoduché funkce, např. zkoušející program apod., je nejen drahý, ale také nesplňuje očekávání v něj vložená. Není také divu, vždyť kdo z nás si článek raději nevytiskne, než aby si jej četl z obrazovky počítače. A to je jen jeden argument, kterých by se určitě našlo značné množství. Zařazení počítače do výuky má tedy význam, jen pokud nevýhody s tím spojené budou jasně převáženy výhodami. Proto pokud zde mluvíme o počítačové podpoře výuky, nemyslíme tím nějaké dramatické odstranění učitele z učebního procesu a jeho nahrazení počítačem, ale spíše využití všech možností, které nám nabízí jak počítač přímo na place, tak internet jako komunikační médium. Internet zde může skutečně fungovat jako komunikační médium mezi studenty a počítačem, jak například dokazuje systém Trial, a fakt, že jej studenti hojně využívají. Princip systému Trial Pokud mluvíme o Trialu jako o elektronické sbírce příkladů, nejsme příliš přesní. Je zde na místě zdůraznit, že Trial jako takový je sbírka ne příkladů, ale generátorů typových úloh, tedy pokud jsme schopni vymyslet např. 4 typy příkladů z daného tematického okruhu a tyto 4 typy úloh zpracujeme v systému Trial, díky automatickému generování jsme schopni zajistit dostatečný přísun příkladů i notorickým počtářům, tedy studentům, kteří si všechny typy příkladů několikrát před zkouškou projdou. Je tak větší naděje, že i tito studenti poznají, že příklady stejného typu se skutečně mohou lišit jen v drobnostech a pochopí tak obecný princip. Další velkou výhodou systému Trial je možnost generování písemných prací. Například u zápočtových písemných prací z matematické analýzy je na ZČU již běžné, 1 Západočeská univerzita, Univerzitní, Plzeň, rvyrut@kma.zcu.cz Západočeská univerzita, Univerzitní, Plzeň, dobry@kma.zcu.cz

238 že každý student obdrží unikátní zadání, opravující pak má klíč, ve kterém má výsledky všech zadání, což mu opravování usnadní. Možnost opisování je tak naprosto nulová, spolupráce mezi studenty je podstatně obtížnější. Význam je pochopitelně v tom, že student si je dopředu vědom faktu, že práci musí zvládnout sám, což ho nutí lépe se na ní připravit. Zdroj.m Matlab.ps.tex LA TEX další.pdf zpracování Obrázek 1: Struktura systému Trial Obecná struktura systému Trial je vidět na obr. 1. Jádro systému je naprogramováno v jazyce Matlab, do systému vstupují generátory příkladů jako funkce naprogramované opět v jazyce Matlab. Výstupem těchto funkcí je zdrojový kód pro sázecí systém L A TEX, jehož výstup je buďto již finální produkt, nebo může být dále zpracováván. Použití systému L A TEX má mnoho výhod, zejména umožňuje poměrně bezproblémově sázet matematické vzorce a vkládat obrázky, čímž je pro tento účel předurčen. Výstupem celého procesu pak může být balíček příkladů ve formátu *.ps,*.pdf, webové stránky, písemná práce apod. Protože pro každý účel je třeba příklad upravit jinak, rozlišuje Trial tři části úlohy: Zadání: Plné znění zadání úlohy, jak bude vytištěno např. do písemné práce. Řešení: Text řešení s celým postupem včetně výsledku a doprovodných obrázků. Řešení bude umístěno na webové stránky, do balíčku, pochopitelně v písemné práci jej nechceme. Výsledek: Co nejvíce zkrácená forma výsledku, použije se při opravě písemné práce, případně může být použito k tvorbě klasické sbírky příkladů. Výsledný sázený text se pak vytvoří jen z těch částí, které jsou v dané chvíli žádoucí. Některé části pochopitelně nemusí být použity vůbec. Abychom jen nechválili, musíme říci, že Trial má v současné době bohužel několik zásadních omezení, např. každá část úlohy může mít rozsah max. 1 stránky A4, což činí potíže zejména u geometrických úloh. U nich je třeba výklad doplňovat obrázky, neboť bez obrázků není možné geometrii vykládat. Toto však řeší nová verze systému, která je v současné době ve vývoji a ve které by již mnoho nedostatků mělo být uspokojivě vyřešeno. 3 Trial a geometrie Protože myšlenku Trialu chceme podporovat, zpracovali jsme v tomto systému několik typových úloh z geometrie. Jsou to jak úlohy desriptivní geometrie, zpracované formou rozfázované konstrukce, tak úlohy analytické geometrie, které se však snažíme doplňovat ilustracemi tak, aby výklad byl pokud možno názorný. Konkrétně jsou v současné době zpracovány tyto typy úloh:

239 Základní úlohy na šroubovici (určení stopníku, tečny v daném bodě šroubovice a průsečík šroubovice s danou rovinou). Úlohy nalezení typu a určujících prvků kvadriky zadané obecnou rovnicí a opačně sestavení obecné rovnice kvadriky, když známe určující prvky. Úlohy na sestavení maticového popisu transformací v prostoru. Doufáme, že tento výčet úloh se bude do budoucna rozšiřovat, do budoucna bychom chtěli takto získat ucelenější sbírku příkladů, která by mohla sloužit studentům místo klasické statické sbírky. 4 Příklad určení typu kvadriky V této kapitole si ukážeme, jak konkrétně vypadá programování v systému Trial. Budeme zpracovávat následující úlohu: Zadání: Rovnici kvadriky upravte na kanonický tvar, určete typ kvadriky a její charakteristické prvky ( střed, polohu osy, zda je rotační apod.) 9 x 108 x 1 y + z + 10 z + 35 = 0. Není snad nutno zde rozebírat, jak se takováto úloha řeší, spíše si ukážeme, jak musíme myslet pro účely Trialu. Prvním šokem pro začínajícího tvůrce je zjištění, že se v některých typech úloh uvažuje pozpátku. Místo toho, abychom generovali obecnou rovnici kvadriky a z ní zjišťovali typ kvadriky a určující prvky, bude jednodušší typ a určující prvky kvadriky generovat a zpětně obecnou rovnici sestavit. Celý postup pak přehrajeme pozpátku a doplníme komentáři. Zde se ukázala jako velmi dobrá právě volba kombinace Matlab + L A TEX, neboť symbolické výpočty Matlabu přímo podporují výstup do systému L A TEX funkce latex(<vzorec>) vrátí zdrojový kód v L A TEXu, který daný vzorec vysází. Např. zadání výše uvedeného příkladu vypadá ve zdrojovém kódu takto:... fpr(o,[ Rovnici kvadriky upravte na kanonick\ y tvar, ur\v cete,... typ kvadriky a jej\ \i charakteristick\ e prvky ( st\v red,,... polohu osy, zda je rota\v cn\ \i \ apod.) ]); fpr(o,ss1);... Proměnná ss1 je řetězec obsahující obecnou rovnici kvadriky, kterou sestavíme na základě náhodně vygenerovaných určujících prvků. Podobně tvoříme celý zdrojový kód příkladu. Výsledek, jak jej vidí studenti vidíme na obr.. Webové stránky obsahují mimo jiné i základní vyhledávání příkladů podle předmětů, balíčky příkladů ke stažení apod. 5 Závěr V současné době již Trial funguje jako ucelená sbírka řešených příkladů z některých oborů, nejvíce typových příkladů je zpracováno z matematické analýzy. Geometrie se

240 Obrázek : Webové stránky systému Trial zatím zpracovávat začíná, ale již dnes se některé výsledky ukazují. Vidíme například, že úlohy z oblasti transformací, zpracované v Trialu, zvýšili procentuální úspěšnost u zkoušek. Bohužel nejsou jen pozitivní důsledky, mezi negativní můžeme zařadit např. bezhlavé opisování příkladů z Trialu a učení se pouze těmto typovým příkladům. Právě notoričtí počtáři obvykle postupují podle pravidla: Čím více toho spočítám, tím mám větší šanci, že dostanu něco podobného. Jestli tento případ nastane je dáno hlavně formou zpracování typových příkladů, vhodnou volbou komentářů snad můžeme tento efekt omezit. Do budoucna počítáme s přidáváním dalších typových příkladů. Cíl je zde vytvořit ucelenou sbírku příkladů, která by sloužila studentům k procvičení dané problematiky, v našem případě geometrie. Přidávání typových úloh je sice náročnější, než u klasicky pojatých sbírek, nicméně přináší nespornou výhodu v téměř neomezené variabilitě úloh. Literatura [1] [] JEŽEK, F., MÍKOVÁ, M., TOMICZKOVÁ, S. Geometrie pro FST 1,. [3]

241 EXTERNÍ SPOLUPRÁCE SE SYSTÉMEM MAPLE POMOCÍ OPENMAPLE Vladimír Žák 1 Abstrakt: Systém Maple je jedním z nkolika tzv. CAS systém (Computer Algebra System), které se užívají na vysokých školách. Lze jej užít s výhodou užít jak pro podporu výuky matematiky tak i ostatních inženýrských obor. Výhodná je jeho otevenost, která je nyní obohacena o technologii OpenMaple. Tento lánek se zabývá použitím technologie OpenMaple ve výuce matematiky na vysoké škole. 1. Úvod Systém Maple aktuáln ve verzi je velmi mocným nástrojem nejen pro výuku matematiky a inženýrských obor, ale je také uren k vývoji a výzkumu. Svou bohatou funkností a jednoduchostí v ovládání již neklade vysoké nároky na uživatele. Maple 10 a vyšší poskytuje velmi mocné nástroje pro výpoty a simulaci jen pomocí kontextové nabídky, pop. pomocí interaktivních prvodc, pipravených šablon apod. Dále poskytuje velmi jednoduché rozhraní pro pímou spolupráci se softwarem tetích stran, nejen pomocí volání externích dynamických knihoven, ale již od verze Maple 9 poskytuje rozhraní pro pímou spolupráci s jádrem systému Maple. Tato technologie se nazývá OpenMaple. Jde o soubor funkcí pro pímou spolupráci s jádrem systému Maple, tzv. API (application interface). Tyto funkce umožují využít výpotové možnosti systému z vlastních aplikací, kdy se pomocí tchto funkcí spustí systém Maple pímo z externího programu, provede se výpoet a následn jsou výsledky opt pevzaty zpt do externího programu a dále zpracovány.. Technologie OpenMaple Technologie OpenMaple, jak již bylo naznaeno výše, umožuje pímou spolupráci se systémem Maple. OpenMaple je pipraveno pro nkolik programovacích jazyk, jako jsou nap. jazyk C, Visual Basic, Java a Fortran. Jde o dynamicky linkovanou knihovnu (dll), která poskytuje funkce tohoto rozhraní pro tyto jazyky. Zde je nutné poznamenat, že technologie OpenMaple umožuje pímý pístup k jádru systému Maple a tedy je nutné mít tento systém nainstalován na daném poítai. Postup pi tvorb takového programu lze shrnout do nkolika základních bod: 1. Vytvoení vlastního programu. Zalenní dll pro spolupráci se systémem do programu 3. Vytvoení funkce pro ovládání systému Maple a. Spuštní systému Maple b. Provedení výpot v Maple c. Ukonení systému Maple 4. Peložení programu do spustitelné podoby 1 Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství, Vysoké uení technické v Brn, Technická, Brno, zakyn@centrum.cz

242 3. Aplikace technologie OpenMaple Jak je již z výše uvedeného zejmé, poskytuje systém Maple velmi mocný nástroj pro spolupráci s okolními softwary. Je tedy možné rozšiovat systém Maple svými vlastními ešeními pro rzné speciální výpoty a pi tchto výpotech využít velkou výpoetní sílu Maple. V dnešní dob je trendem použití webových technologií nejen pro práci po síti, ale i práci v rámci jednoho operaního systému. Webové technologie se používají jako tzv. webové služby operaního systému, mluvíme zde o systému Windows, které jsou pak dostupné tém všem programm na tomto systému. Nebudeme zde uvádt žádné programátorské triky a postupy k vytvoení externího volání systému Maple z njakého programu, protože to není náplní tohoto píspvku, ale ukážeme jednoduchý píklad použití. Následující obrázek ukazuje velmi jednoduchou aplikaci, která provádí pomocí webového rozhraní výpoty pomocí jádra systému Maple. Do dialogového okna se zapíší píkazy systému Maple a pomocí tlaítka Vypoítej se provede výpoet. Obr. 1: Ukázka aplikace technologie OpenMaple pomocí webových technologií Nakonec je nutné poznamenat, že licence technologie OpenMaple dovoluje její použití jen na systémech, kde je systém Maple nainstalován. Je tedy zejmé, že tuto technologii nelze využít pro distribuované výpoty pomocí webového rozhraní pístupného široké veejnosti. Lze ji však využít jako nástroj nap. pro testování student v uebn apod., nebo tam je již systém Maple nainstalován. 4. Závr Maple jako hlavní produkt firmy Maplesoft je velmi silným nástrojem nejen svými funkcemi, které jsou jeho souástí, ale i svou oteveností vzhledem k ostatnímu softwaru, nebo práv jednoduchost volání externích program z prostedí Maple ale i opaný postup, tedy volání systému Maple z externích aplikací, je mocným nástrojem pro doplnní systému Maple jako celku. Literatura [1] Webové stránky firmy Maplesoft, ze dne [] Nápovda systému Maple, klíové slovo OpenMaple

243

244

245 NOVÉ MOŽNOSTI SYSTÉMU MAPLE 10 VE VÝUCE Jií Hebíek 1, Vladimír Žák Abstrakt: Systém Maple je jedním z tzv. CAS systém (Computer Algebra System), který je užíván nejen pro výuku, ale i pro výzkum a vývoj. V poslední dob se velmi rychle rozvíjí zejména v oblasti výuky, kdy poskytuje velmi mocné nástroje pro simulaci matematických problém. Tento píspvek se zabývá novými možnostmi systému Maple ve výuce. Stžejním tématem je rozšiující knihovna Student a její jednotlivé ásti. 1. Úvod Poítaový systém Maple ( je jednou z možných informaních a komunikaních technologií, kterou lze velmi efektivn zapojit do výukového procesu v oblasti matematiky, modelování s simulací. Poskytuje nepeberné množství funkcí pro vysvtlení základních i náronjších matematických pojm a velmi intuitivní formou umožuje širokou paletu vdeckých výpot. Obsahuje již i pokroilé nástroje pro tvorbu a vývoj grafických uživatelských rozhraní v rámci systému Maple, kdy uživatel již nemusí znát tém žádné píkazy systému a vystaí si teba jen s kontextovou nápovdou.. Nejdležitjší novinky v systému Maple 10 Obrázek 1 : Ukázka interaktivního dokumentu Zásadní inovací v systému Maple 10 je nový typ dokumentu, který by ml v blízké budoucnosti nahradit tradiní tzv. zápisník (angl. Worksheet). Tento nový typ dokumentu, tzv. Rich Technical Document, umožuje vytváet již pln interaktivní 1 Centrum biostatistiky a analýz, Pírodovdecká a lékaská fakulta, Masarykova univerzita, Kamenice 15/3, Brno, hrebicek@cba.muni.cz Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství, Vysoké uení technické v Brn, Technická, Brno, zakyn@centrum.cz

246 dokumenty, které jsou nejen svým obsahem, ale i formátováním a interaktivními komponentami tém revoluní zmnou v psaní matematických text (viz. Obrázek 1). Obrázek : Interaktivní dokument Další pedností tohoto typu dokumentu je možnost použití systému Maple bez znalosti jeho píkaz. Lze totiž užít následujících možností: palety nástroj, šablony bžných problém (task templates), rozšíené kontextové nabídky, nástroje rozpoznávání znak, interaktivních prvodc nap. import dat a jejich analýzu, apod

247 Obrázek 3 palety nástroj (vlevo), šablony bžných problém (uprosted), kontextová nabídka (vpravo) Dále je již k dispozici i nástroj pro tvorbu tzv. Maplet. Jde o tzv. Maplet builder. Tyto maplety jsou velmi vhodné pro vytvoení grafického rozhraní pro interaktivní výuku nap. diferenciálního a integrálního potu, lineární algebry a ešení njakých matematických problém. Jsou hojn využívány v nových rozšiujících knihovnách (Calculus 1, Linear Algebra). Obrázek 4 - Prvodce výpotem integrálu

248 Nov jsou k dispozici další rozšiující knihovny (balíky): AudioTools - poskytuje nástroje pro tení a zápis do audio formátu wave. DocumentTools - jde o kolekci píkaz, které umožní programov pistupovat k interaktivním komponentám v dokumentu. ImageTools - poskytuje píkazy pro práci s rastrovými obrázky formát *.jpeg, *.tiff, *.bmp - pomocí této knihovny lze provádt i základní obrazové operace, jako nap. konvoluce apod. IntegrationTools - balíek píkaz, které umožují získat jednotlivé ásti poítaných integrál: > with(integrationtools): i:=int(x*exp(x),x=-5..5); 5 i := x e x dx -5 > GetIntegrand(i); x e x > GetRange(i); ProcessControl - poskytuje píkazy pro tvorbu rzných statistických graf vetn výpot mezních hodnot. RegularChains - balíek je uren pro ešení algebraických rovnic a studium jejich ešení. Statistics - je vytvoen pro statistické výpoty a obsahuje pes 35 píkaz, nahrazuje pvodní knihovnu stats, ale není s ní kompatibilní, - obsahuje i interaktivní prvodce. Student[VectorCalculus] - uren jako podpora pro výuku vektorového potu - je obsažen v balíku Student, který obsahuje podobné balíky i pro jiné oblasti matematiky, - obsahuje interaktivní prvodce a mnoho dalších píkaz, - je k dispozici i ukázkový soubor. Tolerances - uren pro výpoty s tolerancemi Typesetting

249 - uren zejména pro ovlivnní sazby v Maple pomocí píkazového ádku 3. Základní podpora pro výuku matematiky - balíek Student Systém Maple poskytuje široké možnosti pro podporu výuky matematiky a dále na ni navazujících vd. Již jsme se zmínili, že systém Maple je vhodný pro výuku matematiky zejména proto, že obsahuje vizuální nástroje, pomocí kterých je možné modelovat základní matematické problémy. Pro podporu výuky je nov vytvoen balík, který se jmenuje Student. Obsahuje následující ásti Calculus1 LinearAlgebra MultivariateCalculus Precalculus VectorCalculus - funkce jedné promnné - lineární algebra - funkce více promnných - základní matematické problémy - vektorový poet Všechny tyto jeho ásti obsahují jak základní píkazy pro znázornní fundamentálních matematických problém, tak i interaktivní prvodce a funkce pro grafické znázorování tchto problém. Jako ilustraní píklad vezmeme knihovnu Student[Calculus1], na které ukážeme sílu systému Maple pi výuce. Ostatní souásti knihovny Student jsou svou strukturou velmi podobné a jejich rozbor by vydal nejmén na stejný poet stran, jako to bude v našem pípad. Systém Maple poskytuje krom tchto píkaz a funkcí ješt možnost, aby se uživateli vypisovaly úvahy, které pi výpotech systém Maple dlá. Lze toho dosáhnout užitím píkazu infolevel[student] := 1 pro nastavení tchto pomocných výpis pro všechny souásti balíku Student. Pro jednotlivé ásti lze užít jen infolevel[student[ název souásti ]] := 1. Více lze nalézt v dokumentaci k systému Maple. Je nutné dále poznamenat, že tato rozšiující knihovna byla vytvoena proto, aby nahradila již díve užívanou knihovnu student. Pináší však mnoho dalších výhod a zejména je kompatibilní se všemi novými balíky. Knihovnu lze nahrát do pamti pomocí píkazu with (více viz nápovda systému Maple). Nyní se podívejme na jednotlivé souásti této velmi rozsáhlé knihovny. 4. Knihovna Student[Calsulus1] Nejprve se podívejme na knihovnu, která je urena k výuce funkcí jedné promnné na vysoké škole. Knihovna je rozdlena do nkolika logických ástí: vizualizace, interaktivní prvodci, výpoty krok za krokem,

250 ostatní píkazy Vizualizace Píkazy urené pro grafické znázorování matematických problém, které jsou ureny pro lepší pochopení dané problematiky, jsou základem této knihovny. Tyto píkazy mají obvykle grafický výstup, ale je možné pomocí parametru output tento výstup zmnit (u nkterých píkaz toto nelze). Více informací je k dispozici v nápovd systému Maple, kde lze nalézt také dokument s píklady pro tuto ást knihovny. Nyní se podívejme na jednotlivé píkazy. AntiderivatePlot Tento píkaz je uren pro zobrazení funkce a jí píslušné primitivní funkce na daném intervalu a to vetn aditivní konstanty, která je vypotena vzhledem k levému krajnímu bodu daného intervalu. Tento bod lze zmnit pomocí parametru value. Píkaz má nkolik dalších nepovinných parametr, které jsou však velmi dobe vysvtleny v nápovd systému Maple. Uveme nkolik píklad. Hledejme primitivní funkci k funkci > with(student[calculus1]): > f := x -> 3*x^ - x; f := x3 x x Nejprve ukažme nalezení primitivní funkce na implicitním intervalu 10,10. Parametr output v následujícím píkazu uruje, že výstupem nebude graf. > AntiderivativePlot(f(x), output = antiderivative); x x > AntiderivativePlot(f(x));

251 Výsledek prvního píklad se mže zdát zvláštní. Jak systém Maple pišel na konstantu 1050? Implicitní interval pro hledání implicitní funkce je nastaven na 10,10. Nyní se podívejme, jak systém Maple dospl dané konstant. Hledáme tvar primitivní funkce, která spluje podmínku F( a ) = 0, kde a je levým krajním bodem zadaného intervalu. V našem pípad jde o bod se souadnicí x = 10. Funkce g je primitivní funkcí k zadané funkci. > g:=unapply(int(f(x), x),x); g := xx 3 1 x Splnní rovnice g( 10) = 0 dosáhneme následujícím zpsobem. > g(x)-g(-10); x x Nyní již víme, jakým zpsobem je aditivní konstanta poítána. Následující píklady ukazují další možná použití tohoto píkazu. Zmna intervalu se provádí pomocí zadaní intervalu pro neznámou x. > AntiderivativePlot(f(x), x = 0..1, output = antiderivative); x 3 1 x Pro výpoet aditivní konstanty lze zadat bod, ve kterém má být splnna výše uvedená podmínka. Zadává se pomocí parametru value. > AntiderivativePlot(f(x), output = antiderivative, value = [0,0]); x 3 1 x > AntiderivativePlot(f(x), x=-1..1, value = 0);

252 Následující píklad ukazuje, jak lze vykreslit primitivní funkce k dané funkci pomocí parametru showclass. > AntiderivativePlot(f(x), -1..1, value = 0, showclass); Poslední píklad ukazuje další možná ovlivnní grafického výstupu. > AntiderivativePlot(exp(x) + x, x=0..3, showclass, showantiderivative=false, functionoptions=[thickness=], classoptions=[color=black]); ApproximateInt Píkaz je uren pro vykreslení aproximace integrálu. Píkaz nabízí asi deset rzných nepovinných parametr, nap. parametr method mní použitou metodu pro aproximaci

253 integrálu. Pomocí parametru output lze mnit výstup tohoto píkazu, což je vidt na následujících píkladech. > with(student[calculus1]): > ApproximateInt(ln(x), x=1..4); 3 10 ln ln 47 0 ln 13 4 ln ln ln 0 71 ln ln 0 77 ln 0 ln 41 0 > ApproximateInt(x^(3/), x=1..4, output=sum); i = i 3 / > ApproximateInt(1/x, x=1..4, output=plot); Poslední píklad ukazuje použití nkterých dalších parametr. Zejména si všimnte typu výstupu, kterým je animace. > ApproximateInt(sin(x), 0..Pi, output=animation, partition=random[1.0], refinement=random, subpartition=width, iterations=30, showpoints=false);

254 ArcLength Píkaz je uren pro výpoet délky oblouku kivky. > restart: with(student[calculus1]): with(vectorcalculus): > ArcLength( <r*cos(t),r*sin(t)>, t=0..*pi ) assuming r>0; r > ArcLength( <cos(t),sin(t),t>, 0..6*Pi ); 6 > ArcLength( <cos(t),sin(t),t>, 0..6*Pi,'inert' ); 0 6 1sin t cos t dt > ArcLength( t -> <t,t^>, 0..1 ); ln 5 4 > evalf(%); > ArcLength( <t,t^>, ); > SetCoordinates( 'polar' ); - 5 -

255 > ArcLength( <exp(-t),t>, t=0..infinity ); DerivativePlot Píkaz urený k vykreslení funkce a jejich derivací do jednoho obrázku. Pomocí nkolika nepovinných parametr lze nastavit vlastnosti obrázku. Dležitý je parametr order, který uruje jaké derivace se mají nakreslit. > restart:with(student[calculus1]): > f := x -> 3*x^ - x; f := x3 x x > diff(f(x), x); 6 x 1 > DerivativePlot(f(x), x=-1..1); > DerivativePlot(exp(x) + exp(-x), -1..1);

256 > DerivativePlot(sin(x) + x, functionoptions=[thickness=], derivativeoptions=[color=green]); Následující píklad ukazuje, jak je možné pomocí parametru order vykresli první a druhou derivaci. > DerivativePlot(sin(x) + x, order=[1,], derivativeoptions[1]=[legend="slope"], derivativeoptions[]=[legend="concavity"]);

257 Poslední píklad ukazuje, jakým zpsobem lze zadat rozsah vykreslených derivací, parametr order. > DerivativePlot(sin(0.98*x), x=0..10, order=1..0, derivativecolors=blue..magenta); FunctionAverage Píkaz je uren k výpotu prmru a to podle následujícího vzorce. > FunctionAverage(f(x),x=a..b);

258 b a f x dx ba Píkaz opt poskytuje rzné parametry, zejména si všimnte parametru output, který uruje formu výstupu. Opt je zde implicitní interval 10,10. > FunctionAverage(x - 3, x=-1..1); 3 > FunctionAverage(ln(x), x=1..4); ln Následující píkaz ukazuje výstup pomocí integrálu > FunctionAverage(x^(3/), 1..4, output=integral); 4 1 x 3 / dx 3 1 Poslední píkaz ukazuje výstup ve form obrázku > FunctionAverage(1/x, x=1..4, output=plot); FunctionChart Píkaz je uren pro vykreslení funkce a zobrazení informací o dané funkci, nap. kde je funkce rostoucí, klesající, kde je konkávní a konvexní apod.. Tyto informace jsou

259 zobrazeny prostednictvím vektor, barev. Jsou vyznaeny i významné body dané funkce. Následující píkaz ukazuje, jakým zpsobem lze jednoduše barevn odlišit, kde je derivace funkce kladná a kde záporná. Parametr concavity=[] je zde uveden proto, aby se nevykreslovaly další informace o dané funkci. Všimnte si ale, že jsou dále zvýraznny zelen všechny významné body. > FunctionChart(x*exp(x),- 6..1,concavity=[],slope=color(red, black)); Následující píklad ukazuje, jak je možné zvtšit velikosti symbol, které reprezentují dležité body dané funkce. > FunctionChart(sin(x) + x, pointoptions=[symbolsize=0]);

260 Pedposlední píklad ukazuje, jakým zpsobem lze zmnit zvýraznní jak vlastností první derivace (parametr slope), tak i zmnu zvýraznní konkávnosti a konvexnosti funkce jen pomocí šipek. > FunctionChart(sin(x) + x/, slope=[thickness(, 1), linestyle(solid, dash)], concavity=arrow, pointoptions=[symbolsize=0]); Poslední píklad ukazuje, kde je funkce kladná a kde záporná pomocí parametru sign. > FunctionChart(*x^3 + 1,x, sign=[linestyle(dash,solid), color(cyan, magenta), filled(coral, wheat), thickness(3,1) ], slope=[], concavity=[]); Více informací o jednotlivých parametrech lze nalézt v dokumentaci k systému Maple

261 InversePlot Píkaz je uren k vykreslení inverzní funkce k zadané funkci. Jde pouze o osovou symetrii vzhledem k pímce y = x. > InversePlot(3*x^ - x, x=-1..1); Následující píklad ukazuje možnosti formátování obou funkcí. Píkaz má nkolik nepovinných parametr, které lze opt nalézt v nápovd. > InversePlot(sin(x) + x, functionoptions=[thickness=], inverseoptions=[color=green], showline=false); MeanValueTheorem Tento píkaz je uren pro vykreslení dané funkce na zadaném intervalu a pro nalezení (f(b) - f(a)) bod, v nichž je derivace funkce rovna smrnici. (b-a)

262 Pomocí parametru output lze zmnit výstup píkazu bu na zobrazení grafu (implicitní), a nebo pouhé vypsání bod, které splují výše zmínnou vlastnost. > MeanValueTheorem(x^3 - x, x=0.., output = points); 3 3 > MeanValueTheorem(x^3 - x, x=0..); > MeanValueTheorem(sin(x), 1..5); NewtonQuotient Píkaz vrací hodnoty Newtonova koeficientu funkce f ( x ), což je smrnice seny daného grafu, která je urena body ( c, f ( c )) a ( c + h, f ( c + h))

263 > NewtonQuotient(sin(x), 1.0, 'h'=0.1); Následujíc píkaz ukazuje, jak lze urit rovnici seny pomocí parametru output. > NewtonQuotient(sin(x), 1.0, output=line, 'h'=0.1); x Další píklad ukazuje grafické znázornní prbhu koeficientu. > NewtonQuotient(x^3 - *x^ - x + 1, x=-.., output=plot); Poslední píkaz ukazuje jak lze vytvoit animaci, opt pomocí parametru output. > NewtonQuotient(x^3-*x^-x+1,x=1/,- 1..,output=animation, 'h'=1.0);

264 NewtonsMethod Tento píklad je uren pro simulaci Newtonovy metody hledání koen dané funkce. Je provedeno pt iterací. Pro více iterací je nutné použít parametr iterations. > NewtonsMethod(sin(x) + 1, x = 1); Pomocí parametru output lze opt mnit výstupy. Následující píklad ukazuje výstup ve form bod v jednotlivých iteracích. > NewtonsMethod(sin(x) + 1, x =, output = sequence);, , , , , Dále lze zobrazit postup iterací na obrázku. > NewtonsMethod(x^3 - x, x = -0.43, view = [-..1, DEFAULT], output = plot); > NewtonsMethod(x^ + x + 1, x =, output = plot); - 6 -

265 A nakonec lze vytvoit i animaci. Více o jednotlivých parametrech lze opt nalézt v dokumentaci. > NewtonsMethod(x*sin(x), x = 1, output = animation); PointInterpolation Píkaz je uren k jednoduché aproximaci funkce. Je zde proto, aby ukázal možné zásadní chyby pi aproximaci dané funkce, tedy zejména žádné další informace o

266 funkci, jako jsou nap. extrémy, monotónnost funkce apod. Jde tedy o odstrašující píklad aproximace funkce. > PointInterpolation(sin(9*x), x=0..pi); > PointInterpolation((x^ - 3*x + 1)/(x^ - 4*x + 3), x=- 3..4); RiemannSum Píkaz je uren pro objasnní pojm Reimannova soutu, a už mluvíme o horním pop. dolním. Píkaz graficky ukazuje tyto souty a dává k dispozici rzné metody jejich

267 výpot, a to pomocí parametru method. Více o možnostech tohoto píkazu lze nalézt v pehledné nápovd. > with(student[calculus1]): RiemannSum(sin(x), x= , method = lower); > RiemannSum(x*(x - )*(x - 3), x=0..5, method = upper, output = plot); > RiemannSum(tan(x) - *x, x=-1..1, method = left, output = plot, partition = 50); Následující píklad ukazuje možnost vytvoení animace pro lepší pochopení tohoto pojmu

268 > RiemannSum(ln(x), x=1..100, method = right, output = animation); > RiemannSum(ln(x), x=1..100, method = random, output = animation); RollesTheorem Tento píkaz je uren pro vysvtlení Rolleovy vty. Výstupem je graf, pop. bod, ve kterém je zobrazena funkce a dále je vyznaen bod, ve kterém je derivace funkce rovna nule. Píkaz má opt nkolik nepovinných parametr, jejichž pehled lze najít v nápovd. Následují píklady, které jsou velmi zejmé. > position := -0.5*9.8*t^ + 1*t;

269 position :=4.90 t 1 t > RollesTheorem(position, t= , output = points); > RollesTheorem(position, t= , labels=["time", "distance"]); > RollesTheorem(x^ - 3*x + 1, -1/..7/); > RollesTheorem(sin(x), 1..5*Pi-1);

270 > RollesTheorem(x^4-3*x^ + 1, x=-..); SurfaceOfRevolution Píkaz je uren pro výpoet obsahu plochy vzniklé rotací kivky kolem nkteré ze souadnicových os. Má nkolik zajímavých parametr, které mohou velmi pomoci pi názorné ukázce studentm

271 Vypoítejme plošný obsah plochy vzniklé rotací kivky kolem jedné ze souadnicových os. Implicitn je volena osa horizontální. > SurfaceOfRevolution(x^ + 1, x=0..1); ln ln Pomocí parametru distancefromaxis lze nastavit vzdálenost osy rotace od dané souadnicové osy. > SurfaceOfRevolution(x^ + 1, x=0..1, distancefromaxis=); ln ln Dále je možné nechat vypsat píslušný integrál a to pomocí parametru output. > SurfaceOfRevolution(sin(x) + 1, x=0..3, output=integral); 0 3 sin x 1 cos x 1 dx Následující píklad ukazuje zmnu rotace a to na rotaci kolem vertikální osy. > SurfaceOfRevolution(x^, x=1.., axis=vertical); > SurfaceOfRevolution(cos(x) + 1, x=0..4*pi, output=plot); 5 > SurfaceOfRevolution(1 + x*(3 - x), x=0..3, output=plot, surfaceoptions=[shading=z], functionoptions=[color=white]);

272 Rotace kolem vertikální osy. > SurfaceOfRevolution(1/x*cos(x), Pi..4*Pi, output=plot, axis=vertical); Tangent Píkaz nalezne tenu ke kivce v zadaném bod. Implicitn je vypsána její rovnice. > Tangent(sin(x) + 1, x = 1); x cos 1 sin 1 1cos

273 Následující píkaz ukazuje možnost nalezení smrnice teny ke kivce v daném bod. > Tangent(sin(x) + 1,, output = slope); cos Dále lze danou situaci znázornit i graficky a to pomocí standardního parametru output. > Tangent(x^3 - x, -0.43, view = [-..1, DEFAULT], output = plot); > Tangent(tan(x), x = 3/, output = plot); Pro nezobrazování bodu, v nmž je tena konstruována, lze užít parametr showpoint. > Tangent(x^, x = 1, output = plot, showpoint = false, tangentoptions = [color=green]);

274 TaylorApproximation Tento píkaz je, jak už sám název napovídá, uren pro aproximaci funkce pomocí Taylorova rozvoje. Stupe je implicitn nastaven na hodnotu jedna. Zmnu lze provést pomocí parametru order. Aproximace funkce pomocí Taylorova rozvoje v daném bod. > TaylorApproximation(sin(x), x = 1); sin 1 cos 1 x cos 1 Stupe je zvýšen na 3. > TaylorApproximation(exp(x) - x, x =, order = 1..3); e e x x, e e x x 1 e x, 1 3 e e x x 1 e x 1 6 e x 3 Pro vykreslení se užívá opt parametru output, stejn jak pro vytvoení animace v posledním píkladu. > TaylorApproximation(cosh(x), x =, output = plot, order=4); - 7 -

275 Pokud do parametru order zadáme rozsah, jsou vykresleny všechny takto požadované aproximace. > TaylorApproximation(cosh(x),, output = plot, order=1..5); > TaylorApproximation(sin(x), order=1..0, view = [-5..5, -..], output = animation);

276 VolumeOfRevolution Píkaz je uren k výpotu objemu urenému plochou, pop. dvma plochami. Více bude zejmé z následujících píklad. Píkaz je velmi podobný píkazu SurfaceOfRevolution. > VolumeOfRevolution(x^ + 1, x=0..1); 8 15 > VolumeOfRevolution(x^10 + 1, x^ + 1, x=0..1, distancefromaxis=-1); Opt lze vypsat pomocí parametru output píslušný integrál. > VolumeOfRevolution(sin(x) + 1, x=0..3, output=integral); 0 3 sin x 1 dx Lze také zmnit osu rotace, pomocí parametru axis. > VolumeOfRevolution(sin(x) + 1, x=*pi..3*pi, output=integral, axis=vertical); 3 x sin x 1 dx Pro vykreslení je nutné použít parametr output, jak již je v této knihovn vznikem

277 > VolumeOfRevolution(cos(x) + 1, x=0..4*pi, output=plot); Pro výpoet objemu mezi dvma plochami staí zadat druhou funkci. > VolumeOfRevolution(cos(x) + 3, sin(x) +, x=0..4*pi, output=plot); > VolumeOfRevolution(sin(x) + 1, x=*pi..3*pi, output=plot, axis=vertical,distancefromaxis=pi);

278 4.. Interaktivní prvodci Knihovna Student[Calculus1] obsahuje nkolik interaktivních prvodc, kteí využívají výše probrané píkazy. Tito prvodci jsou postaveni na technologii Maplet. Uvedeme je v abecedním poadí spolu s ukázkou jejich rozhraní. Jejich funknost je zejmá z názvu pop. z výše uvedených píkaz. AntiderivativeTutor ApproximateIntTutor

279 ArcLengthTutor CurveAnalysisTutor

280 DerivativeTutor DiffTutor

281 FunctionAverageTutor IntTutor

282 InverseTutor LimitTutor

283 MeanValueTheoremTutor NewtonsMethodTutor

284 SurfaceOfRevolutionTutor TangentSecantTutor - 8 -

285 TangentTutor TaylorApproximationTutor

286 VolumeOfRevolutionTutor 4.3. Výpoty krok za krokem

287 Rozšiující knihovna Student[Calculus1] obsahuje další podporu pro výuku matematicky, zejména pro výpoty limit, derivací a integrál. Jde o systém, který je v uritých pípadech schopen pomáhat studentm pi ešení jejich problém. V nápovd je k dispozici ukázkový soubor pro aplikaci tchto píkaz. Mluvíme o následujících píkazech: Clear - smaže všechny zadané výpoetní úlohy (problémy) GetMessage - vypíše doplující hlášení systému Maple GetNumProblems - vypíše poet zadaných úloh v systému GetProblem - vrátí problém s daným poadovým íslem Hint - vypíše nápovdu pro daný problém Rule - aplikuje danou operaci na danou úlohu Show - zobrazí souasný stav dané úlohy ShowIncomplete - zobrazí ástené ešení dané úlohy ShowSteps - zobrazí všechny kroky provedené v dané úloze Understand - píkaz, kterým je možné zadat, které operace mže sám provést Undo - píkaz pro krok zpt WhatProblem - zobrazí íslo problému, který je aktuální Pokud jde o jejich použití, je velmi jednoduché a staí se jen podívat do nápovdy systému Maple. Pokud bychom mli mluvit o jejich využití, staí se podívat do pedchozí kapitoly a najít prvodce LimitTutor, DiffTutor a IntTutor, kde jsou tyto píkazy využívány Ostatní píkazy Tato knihovna nabízí další nkteré píkazy, které se dají využít v souvislosti s diferenciálním a integrálním potem funkcí jedné promnné. Jde o tyto píkazy: Asymptotes CriticalPoints ExtremePoints InflectionPoints Integrand Roots Summand - nalezne asymptoty ke grafu zadané funkce - nalezne kritické body dané funkce - nalezen extrémy dané funkce - nalezne inflexní body dané funkce - píkaz pro pístup i integrandu integrálu - nalezne koeny - píkaz pro pístup k sumandu (vnitku sumy) Nakonec musíme poznamenat, že tato knihovna je ideálním ešením pro výuku funkcí jedné promnné, protože studentm názorn ukazuje tém veškeré základní problémy této ásti matematiky

288 5. Maple a zkoušení Systém Maple umožuje také vytvoit testy pro studenty, a to jak v návaznosti na systém Maple T.A., tak i pro jednotlivé zkoušející. Následující obrázky ukazují jednu z možných testových otázek njakého testu. Obrázek testování Obrázek nápovda

289 Obrázek ešení Jak je z obrázk vidt, lze vytvoit velmi propracovaný systém testování, který lze jednoduše nasadit na jakoukoliv problematiku, která mže být v systému Maple ešena. Takovýto systém lze pak velmi jednoduše uložit ve formátu, který je velmi jednoduše penositelný na systém Maple T.A. 6. Závr Systém Maple je systém, který poskytuje velmi široké možnosti nejen ve výpotech a simulacích, ale i pi výuce matematiky a testování znalostí student. Na pedchozích stránkách byly uvedeny zásadní knihovny, které lze pi výuce matematiky s velkým úspchem využít. Síla tohoto systému je tedy zejmá a nap. ve spojení se systémem Maple T.A. lze pomocí tchto dvou systému vytvoit kompletní ešení elektronické podpory výuky. Literatura [1] Nápovda systému Maple 10, Maplesoft 006 [] Webová prezentace firmy Maplesoft, 5. ervna

290

291 SPONZOŘI

292

293 Adresa: Pod Valy UHERSKÝ BROD Telefon: Fax: raciola@iol.cz Delimax, a.s. Adresa: Bratislavská 1647/ HODONÍN Telefon: Fax: ludmila.varmuza@delimax.cz

294

295 Czech Software First s.r.o. Adresa: K Západí 54, BRNO Tel/Fax: Adresa: Tovární HOLEŠOV Telefon: Telefon, fax: info@dlplast.cz

296

297

298

299

300