em do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
|
|
- Klára Simona Svobodová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete předat osobně či zaslat em do konce semestru. Obsah Problém č.5: Průhyb nosníku - metoda sítí/metoda konečných diferencí Vetknutý nosník, str. 2 Problém č.6: Průhyb nosníku - metoda sítí/metoda konečných diferencí Prostě podepřený nosník, str. 3 Problém č.7: Průhyb nosníku - Ritzova metoda Vetknutý nosník, str. 4 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda Prostě podepřený nosník, str. 5 Problém č.9: Průhyb nosníku - metoda konečných prvků Vetknutý nosník, str. 6 Problém č.10: Průhyb nosníku - metoda konečných prvků Prostě podepřený nosník, str. 7 Problém č.11: Průhyb nosníku - kvartický spline Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.12: Průhyb nosníku - kvartický spline Prostě podepřený nosník, str. 9 Problém č.13: Průhyb nosníku - kvartický spline Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.14: Průhyb nosníku - kvartický spline Prostě podepřený nosník, str. 9
2 Problém č.5: Průhyb nosníku - metoda sítí/metoda konečných diferencí Vetknutý nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 5.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 5.1 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 5.1 metodou sítí s krokem sítě h = 1/4, tedy x i = ih pro i = 0,1,2,3,4. Řešíme-li diferenciální rovnici metodou sítí konečných diferencí, nahradíme derivace vhodnými diferencemi. Pro čtvrtou derivaci funkce u lze odvodit následující diferenční náhrady: u 12 x 11h 4 2ux h+h 2 u x h+5ux 4ux+h+ux+2h, 5.2 u 12 x 11h 4 ux 2h 4ux h+5ux+h 2 u x+h 2ux+h, 5.3 u 2 x 3h 4 11ux h 6hu x h+18ux 9ux+h+2ux+2h, 5.4 u 2 x 3h 4 2ux 2h 9ux h+18ux+6hu x+h 11ux+h, 5.5 u x 1 ux 2h 4ux h+6ux 4ux+h+ux+2h h Vyberte 3 diferenční náhrady vhodné pro uvedenou diferenciální rovnici. Sít je tvořena 5 uzly, z toho jsou 3 uzly vnitřní. Diferenční náhrady vybereme tak, abychom pro každý vnitřní uzel x i mohli aproximovat hodnotu u x i pomocí hodnot funkce u ve vnitřních uzlech sítě nebo pomocí známých okrajových podmínek. 2. U vybraných diferenčních náhrad ověřte jejich přesnost pro všechny funkce ux {1,x,x 2,x 3,x 4 }. Tzn. dosad te vždy konkrétní u z uvedené množiny do pravé strany některých vybraných rovnic a výraz co nejvíce zjednodušte. Následně spočítejte u x a ověřte,že získáte to samé. Přitěchto výpočtech NEdosazujte za h konkrétní hodnotu. 3. Ve vnitřních bodech sítě nahrad te derivace vhodnými diferenčními náhradami a dosad te za okrajové podmínky. Ze tří rovnic u x i = qx i, i = 1,2,3, tak získáte soustavu tří rovnic pro tři neznámé hodnoty U i ux i, i = 1,2,3. Soustavu rovnic vyřešte. 4. Přenásobte každý řádek předchozí soustavy rovnic vhodným číslem tak, aby vektor u 1 = 1,2,1 T byl vlastním vektorem matice takto vzniklé soustavy rovnic a aby stopa této matice byla rovna 42. Nalezněte vlastní čísla a zbývající vlastní vektory této matice. 5. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte max 1 i 3 U i ux i. Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciálnírovniceaporovnánímlevéapravéstranydiferenciální rovnice spočtete některé z koeficientů µ i. Zbylé koeficienty pak zjistíte z okrajových podmínek.
3 Problém č.6: Průhyb nosníku - metoda sítí/metoda konečných diferencí Prostě podepřený nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 6.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 6.1 můžeme interpretovat jako je na obou koncích prostě podepřený. dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 6.1 metodou sítí s krokem sítě h = 1/4, tedy x i = ih pro i = 0,1,2,3,4. Řešíme-li diferenciální rovnici metodou sítí konečných diferencí, nahradíme derivace vhodnými diferencemi. Pro čtvrtou derivaci funkce u lze odvodit následující diferenční náhrady: u 12 x 11h 4 2ux h+h 2 u x h+5ux 4ux+h+ux+2h, 6.2 u 12 x 11h 4 ux 2h 4ux h+5ux+h 2 u x+h 2ux+h, 6.3 u 2 x 3h 4 11ux h 6hu x h+18ux 9ux+h+2ux+2h, 6.4 u 2 x 3h 4 2ux 2h 9ux h+18ux+6hu x+h 11ux+h, 6.5 u x 1 ux 2h 4ux h+6ux 4ux+h+ux+2h h Vyberte 3 diferenční náhrady vhodné pro uvedenou diferenciální rovnici. Sít je tvořena 5 uzly, z toho jsou 3 uzly vnitřní. Diferenční náhrady vybereme tak, abychom pro každý vnitřní uzel x i mohli aproximovat hodnotu u x i pomocí hodnot funkce u ve vnitřních uzlech sítě nebo pomocí známých okrajových podmínek. 2. U vybraných diferenčních náhrad ověřte jejich přesnost pro všechny funkce ux {1,x,x 2,x 3,x 4 }. Tzn. dosad te vždy konkrétní u z uvedené množiny do pravé strany některých vybraných rovnic a výraz co nejvíce zjednodušte. Následně spočítejte u x a ověřte,že získáte to samé. Přitěchto výpočtech NEdosazujte za h konkrétní hodnotu. 3. Ve vnitřních bodech sítě nahrad te derivace vhodnými diferenčními náhradami a dosad te za okrajové podmínky. Ze tří rovnic u x i = qx i, i = 1,2,3, tak získáte soustavu tří rovnic pro tři neznámé hodnoty U i ux i, i = 1,2,3. Soustavu rovnic vyřešte. 4. Přenásobte každý řádek předchozí soustavy rovnic vhodným číslem tak, aby vektor u 1 = 1,2,1 T byl vlastním vektorem matice takto vzniklé soustavy rovnic a aby stopa této matice byla rovna 4. Nalezněte vlastní čísla a zbývající vlastní vektory této matice. 5. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte max 1 i 3 U i ux i. Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciálnírovniceaporovnánímlevéapravéstranydiferenciální rovnice spočtete některé z koeficientů µ i. Zbylé koeficienty pak zjistíte z okrajových podmínek.
4 Problém č.7: Průhyb nosníku - Ritzova metoda Vetknutý nosník Uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici čtvrtého řádu s 4 xu +s 3 xu +s 2 xu +s 1 xu +s 0 xu = qx v intervalu 0,l, 7.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Za určitých podmínek viz úkol č.1 níže lze rovnici 7.1 převést do divergentního tvaru p2 xu + p1 xu +p0 xu = qx v intervalu 0,l. 7.2 Speciálním případem obyčejné diferenciální rovnice čtvrtého řádu zapsané v divergentním tvaru je rovnice EIu = qx v intervalu 0,l, 7.3 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 7.3 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 7.3 Ritzovou metodou. 1. Odvod te podmínky, jaké musí splňovat funkce s i x, i = 0,1,...,4, aby bylo možné převést rovnici 7.1 do divergentního tvaru Zapište rovnici 7.3 v operátorovém tvaru, ukažte že příslušný operátor A je symetrický na svém definičním oboru DA a s využitím Friedrichsovy nerovnosti rovněž ukažte, že je na DA pozitivně definitní. 3. Nalezněte polynom Px čtvrtého řádu, který splňuje okrajové podmínky P0 = Pl = 0 a P 0 = P l = Odvod te tvar funkcionálu energie Fv a minimalizujte jej po řadě na množinách M 1,M 2,M 3 a M 4, kde M 1 = {α 11 Px, α 11 R}, M 2 = {α 21 Px+α 22 xpx, α 21,α 22 R}, M 3 = { α 31 Px+α 32 xpx+α 33 x 2 Px, α 31,α 32,α 33 R }, { M 4 = αsin 2 π } l x,α R. Funkce, v nichž se minima nabývají, označme u i = arg min v M i Fv, i = 1,2,3 a Pro funkci u 1 spočtěte odhad chyby u u 1 L 2 0,l 1 c q Au 1 L 2 0,l, kde c je konstanta pozitivní definitnosti Au,u c u 2 L 2 0,l. 6. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte přesnou chybu u u 1 L2 0,l = l 0 ux u 1x 2 dx 1/ Výsledek porovnejte se spočteným odhadem chyby. Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 7. Pomocí matematického softwaru sestrojte grafy funkcí u, u i a u u i, i {1,4}. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u u i L 0,l = max x [0,l] ux u ix, i {1,4}.
5 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda Prostě podepřený nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 8.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 8.1 můžeme interpretovat jako je na obou koncích prostě podepřený. dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 8.1 Ritzovou metodou. 1. Zapište rovnici 8.1 v operátorovém tvaru, ukažte že příslušný operátor A je symetrický na svém definičním oboru DA a s využitím Poincarého 1 a Friedrichsovy nerovnosti rovněž ukažte, že je operátor A na DA pozitivně definitní. 2. Nalezněte polynom Px čtvrtého řádu, který splňuje okrajové podmínky P0 = Pl = 0 a P 0 = P l = Odvod te tvar funkcionálu energie Fv a minimalizujte jej po řadě na množinách M 1,M 2,M 3 a M 4, kde M 1 = {α 11 Px, α 11 R}, M 2 = {α 21 Px+α 22 xpx, α 21,α 22 R}, M 3 = { α 31 Px+α 32 xpx+α 33 x 2 Px, α 31,α 32,α 33 R }, { π } M 4 = αsin l x,α R. Funkce, v nichž se minima nabývají, označme u i = arg min v M i Fv, i = 1,2,3 a Pro funkci u 1 spočtěte odhad chyby u u 1 L 2 0,l 1 c q Au 1 L 2 0,l, kde c je konstanta pozitivní definitnosti Au,u c u 2 L 2 0,l. 5. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte přesnou chybu u u 1 L2 0,l = l 0 ux u 1x 2 dx 1/ Výsledek porovnejte se spočteným odhadem chyby. Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 6. Pomocí matematického softwaru sestrojte grafy funkcí u, u i a u u i, i {1,4}. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u u i L 0,l = max x [0,l] ux u ix, i {1,4}. 1 Poincarého nerovnost je nutné využít, nebot nelze na člen u 2 L 2 použít Friedrichsovu nerovnost. Není totiž splněna 0,l podmínka u 0 = 0 nebo u l = 0. Nejčastěji používaná verze Poincarého nerovnosti zní: Pro všechny funkce v C 1 [a,b] je v v 2 L 2 0,l 1 2 b a2 v 2 L 2 0,l, kde v = 1 b b a a vxdx. My ji tu použijeme na funkci v = u. Čemu se potom rovná v?
6 Problém č.9: Průhyb nosníku - metoda konečných prvků Vetknutý nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 9.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 9.1 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešmediferenciální rovnici 9.1 Galerkinovou metodou konečných prvků. K aproximaci řešení použijeme hermitovské kubické konečné prvky, jejichž bázové funkce mají tvar: ϕ j x = 3 x h j x h j x h j 2 +2 x h j 3 pro x [j 1h,jh], pro x jh,j +1h], jinak. j 1h jh j+1h ψ j x = h x h j +1 3 x h j +1 2 pro x [j 1h,jh], h x h j 3 2 x h j 2 + x h j pro x jh,j +1h], jinak. j 1h jh j+1h Při výpočtech využijte vztahy: ϕ j,ϕ j = 24 h ϕ 3 j,ψ j+1 = 6 h ψ 2 j,ψ j+1 = 2 h ϕ j,ϕ j+1 = 12 h ϕ 3 j,ψ j 1 = 6 h x,ϕ 2 j = jh 2 ϕ j,ψ j = 0 ψ j,ψ j = 8 h x,ψ j = h Zapište rovnici 9.1 v operátorovém tvaru, ukažte že příslušný operátor A je symetrický na svém definičním oboru DA a s využitím Friedrichsovy nerovnosti rovněž ukažte, že je na DA pozitivně definitní. 2. Necht N = 2 a h = l N+1. Přibližné řešení rovnice 9.1 hledejte ve tvaru u hx = 2N j=1 α jv j x, kde v j x = ϕ j x a v N+j x = ψ j x, pro j = 1,2,...,N. Koeficienty α j, j = 1,2,...,2N, získáte řešením soustavy 2N rovnic o 2N neznámých Au h,v j = q,v j, pro j = 1,2,...,2N. 3. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte přesnou chybu u u h L 2 0,l = l 0 ux u hx 2 dx 1/ Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 4. Pomocí matematického softwaru sestrojte grafy funkcí u, u h a u u h. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u u h L 0,l = max x [0,l] ux u hx.
7 Problém č.10: Průhyb nosníku - metoda konečných prvků Prostě podepřený nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 10.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 10.1 můžeme interpretovat jako je na obou koncích prostě podepřený. dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 10.1 Galerkinovou metodou konečných prvků. K aproximaci řešení použijeme hermitovské kubické konečné prvky, jejichž bázové funkce mají tvar: 1.2 ϕ j x = 3 x h j x h j x h j 2 +2 x h j 3 pro x [j 1h,jh], pro x jh,j +1h], jinak. j 1h jh j+1h x h h j x h j pro x [j 1h,jh], 0.6 x ψ j x = h h j 3 2 x h j 2 + x h j pro x jh,j +1h], jinak. j 1h jh Při výpočtech využijte vztahy 1 j N: ϕ j,ϕ j = 24 h 3 ψ j,ψ j = 8 h x,ϕ N+1 = 10lh 3h2 20 x,ϕ 0 = 3h2 20 ϕ j,ϕ j+1 = 12 h 3 ψ j,ψ j+1 = 2 h x,ψ N+1 = 2h3 5lh 2 60 x,ψ 0 = h3 30 ϕ j,ψ j =0 ψ j,ψ j 1 = 2 h ϕ N+1,ϕ 12 N+1 = 0,ϕ 12 0 = h 3 ϕ ϕ j,ψ j+1 = 6 h 2 x,ϕ j =jh 2 ψ N+1,ψ N+1 = 4 h ψ 0,ψ 0 = 4 h ϕ j,ψ j 1 = 6 h 2 x,ψ j = h3 15 ϕ N+1,ψ N+1 = 6 h 2 ϕ 0,ψ 0 = 6 h 2 1. Zapište rovnici 10.1 v operátorovém tvaru. Předpokládejte, že u 0 = a 0, u l = b 0 a DA = {v C 4 0,l C[0,l], v0 = vl = 0} a formulujte úlohu slabě, tj. ve tvaru u,v A = Fv, kde, A je bilineární forma a Fv spojitý funkcionál na DA. Funkcionál Fv je tvořen nejenom členem q,v, ale i některými členy, které vznikly použitím metody per partes. S využitím Friedrichsovy a Poincarého 1 nerovnosti ukažte, že bilineární forma u,v A je skalárním součinem na prostoru V = {v C 2 0,l C[0,l], v0 = vl = 0} Necht a = b = 0, N = 1 a h = l N+1. Přibližné řešení rovnice 10.1 hledejte ve tvaru u hx = 2N+2 j=1 α j v j x, kde v j x = ϕ j x, pro j = 1,2,...,N, a v N+j+1 x = ψ j x, pro j = 0,1,...,N + 1. Koeficienty α j, j = 1,2,...,2N +2, získáte řešením soustavy 2N +2 rovnic o 2N +2 neznámých u h,v j A = Fv j, pro j = 1,2,...,2N Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte přesnou chybu j+1h h 3 u u h L2 0,l = l 0 ux u hx 2 dx 1/ Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 4. Pomocí matematického softwaru sestrojte grafy funkcí u, u h a u u h. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u u h L 0,l = max x [0,l] ux u hx. 1 Poincarého nerovnost je nutné využít, nebot nelze na člen u 2 L 2 použít Friedrichsovu nerovnost. Není totiž splněna 0,l podmínka u 0 = 0 nebo u l = 0. Nejčastěji používaná verze Poincarého nerovnosti zní: Pro všechny funkce v C 1 [a,b] je v v 2 L 2 0,l 1 2 b a2 v 2 L 2 0,l, kde v = 1 b b a a vxdx. My ji tu použijeme na funkci v = u. Čemu se potom rovná v? 2 Hermitovské konečné prvky sice neleží v prostoru V, ale pouze v {v C 1 [a,b], v0 = vl = 0}, lze však ukázat, že, A je rovněž skalárním součinem na H0 20,l = {v L2 0,l; v L 2 0,l, v0 = vl = 0}, ve kterém hermitovské konečné prvky leží.
8 Problém č.11: Průhyb nosníku - kvartický spline Vetknutý nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 11.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 11.1 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 11.1 konstrukcí kvartického splinu čti splajnu. Rozdělme výpočetní oblast na N = 4 intrvaly I j = [x j 1,x j ], kde x j = jh, j = 0,1,...,N a h = l/n. Na každém intervalu I j aproximujme funkci ux polynomem čtvrtého stupně p j x = a j x 4 +b j x 3 +c j x 2 +d j x+c j. Funkci p C 3 [0,l] takovou, že p Ij = p j pak nazveme kvartickým splinem aproximujícím řešení diferenciální rovnice11.1. Pozn.: Kvartický spline p je tedy spojitá funkce, která má spojitou první, druhou a třetí derivaci a na každém z intervalů I j je rovna polynomu p j. Z uvedených podmínek na funkci p tak zíkáme následující sadu rovnic Spojitost ve vnitřních bodech p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 11.2 Diferenciální rovnice x j 1 p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 11.3 p jx j = p j+1x j, j = 1,2,...,N 1, 11.4 p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 11.5 dx ExIxp jx = qxdx, j = 1,2,...,N x j 1 Na každém z N intervalů potřebujeme nalézt 5 neznámých koeficientů, celkem tedy 5N neznámých. Rovnice však poskytují pouze 5N 4 rovnic. Zbylé 4 rovnice získáme z okrajových podmínek, konkrétně: p 1 0 = u0, p 1 0 = u 0, p N l = ul a p N l = u l. Ačkoli by se mohlo zdát, že řešit soustavu 5N rovnic o 5N neznámých může být náročné, lze k řešení soustavy poměrně jednoduše dospět následujícím algoritmem. 1. Nejprve uvažujte nekonstantní funkce Ex a Ix a zjednodušte levou stranu rovností 11.6 obsahují integrál z derivace. Následně dosad te konkrétní data a spočtěte tak koeficienty a j, j = 1,2,...,N. 2. Využijte znalosti koeficientů a j a z rovnic 11.5 odvod te závislost mezi koeficienty b j a b j+1. Obdobně postupujte u rovnic 11.4, 11.3 a Vždy využijte znalosti již spočtených koeficientů, či vztahu mezi nimi a odvod te závislost mezi koeficienty c j a c j+1, d j a d j+1 a nakonec e j a e j Z okrajových podmínek v bodě x = 0 spočtěte koeficienty d 1 = p 1 0 a e 1 = p 1 0. Využijte odvozených vztahů mezi koeficienty d j,d j+1 a e j,e j+1 a spočtěte koeficienty d j,e j, j = 2,3,...,N. Následně vyřešte soustavu dvou rovnic p N l = ul a p N l = u l o dvou neznámých b N a c N. Nakonec využijte odvozených vztahů mezi koeficienty b j,b j+1 a c j,c j+1 a spočtěte koeficienty b j,c j, j = 1,2,...,N Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte jedná se jen o integrály z polynomů u p 2 L 2 0,l = N j=1 u p j 2 L 2 I j = N j=1 x j 1 ux p j x 2 dx Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 5. Pomocímatematického softwaru sestrojte grafy funkcí p,p,p,p a u p. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u p L 0,l = max x [0,l] ux px.
9 Problém č.12: Průhyb nosníku - kvartický spline Prostě podepřený nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 12.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 12.1 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 12.1 konstrukcí kvartického splinu čti splajnu. Rozdělme výpočetní oblast na N = 4 intrvaly I j = [x j 1,x j ], kde x j = jh, j = 0,1,...,N a h = l/n. Na každém intervalu I j aproximujme funkci ux polynomem čtvrtého stupně p j x = a j x 4 +b j x 3 +c j x 2 +d j x+c j. Funkci p C 3 [0,l] takovou, že p Ij = p j pak nazveme kvartickým splinem aproximujícím řešení diferenciální rovnice12.1. Pozn.: Kvartický spline p je tedy spojitá funkce, která má spojitou první, druhou a třetí derivaci a na každém z intervalů I j je rovna polynomu p j. Z uvedených podmínek na funkci p tak zíkáme následující sadu rovnic Spojitost ve vnitřních bodech p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 12.2 Diferenciální rovnice x j 1 p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 12.3 p jx j = p j+1x j, j = 1,2,...,N 1, 12.4 p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 12.5 dx ExIxp jx = qxdx, j = 1,2,...,N x j 1 Na každém z N intervalů potřebujeme nalézt 5 neznámých koeficientů, celkem tedy 5N neznámých. Rovnice však poskytují pouze 5N 4 rovnic. Zbylé 4 rovnice získáme z okrajových podmínek, konkrétně: p 1 0 = u0, p 1 0 = u 0, p N l = ul a p N l = u l. Ačkoli by se mohlo zdát, že řešit soustavu 5N rovnic o 5N neznámých může být náročné, lze k řešení soustavy poměrně jednoduše dospět následujícím algoritmem. 1. Nejprve uvažujte nekonstantní funkce Ex a Ix a zjednodušte levou stranu rovností 12.6 obsahují integrál z derivace. Následně dosad te konkrétní data a spočtěte tak koeficienty a j, j = 1,2,...,N. 2. Využijte znalosti koeficientů a j a z rovnic 12.5 odvod te závislost mezi koeficienty b j a b j+1. Obdobně postupujte u rovnic 12.4, 12.3 a Vždy využijte znalosti již spočtených koeficientů, či vztahu mezi nimi a odvod te závislost mezi koeficienty c j a c j+1, d j a d j+1 a nakonec e j a e j Z okrajových podmínek v bodě x = 0 spočtěte koeficienty c 1 = p 1 0 a e 1 = p 1 0. Využijte odvozených vztahů mezi koeficienty c j,c j+1 a e j,e j+1 a spočtěte koeficienty c j,e j, j = 2,3,...,N. Následně vyřešte soustavu dvou rovnic p N l = ul a p N l = u l o dvou neznámých b N a d N. Nakonec využijte odvozených vztahů mezi koeficienty b j,b j+1 a d j,d j+1 a spočtěte koeficienty b j,d j, j = 1,2,...,N Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte jedná se jen o integrály z polynomů u p 2 L 2 0,l = N j=1 u p j 2 L 2 I j = N j=1 x j 1 ux p j x 2 dx Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 5. Pomocímatematického softwaru sestrojte grafy funkcí p,p,p,p a u p. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u p L 0,l = max x [0,l] ux px.
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
Více(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace
VíceHomogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Literatura:
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceAproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
VíceHomogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Diferenciální operátory Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceLiteratura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceLiteratura: Text o lineární algebře na webových stránkách přednášejícího (pro opakování). Kapitoly 4 a 5 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3,
Předmět: MA4 Dnešní látka Motivační úloha: ztráta stability nosníku Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami a jejich řešitelnost Vlastní čísla a vlastní funkce Obecnější pohled na řešitelnost
VíceMartin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017
Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:
Vícekteré charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VícePozn. 1. Při návrhu aproximace bychom měli aproximační funkci vybírat tak, aby vektory ϕ (i) byly lineárně
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. DISKRÉTNÍ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ použití: v případech, kdy je nevhodná interpolace využití: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceTento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že
Kapitola Zadání Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování alespoň jedné úlohy je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky resp. získaní (klasifikovaného) zápočtu (viz.
VíceNumerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
VíceKatedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceZměna koeficientů PDR při změně proměnných
Změna koeficientů PR při změně proměnných Oldřich Vlach oto pojednání doplňuje přednášku M. Šofera na téma Nalezení složek tenzoru napjatosti pro případ rovinné úlohy s povrchem zatíženým kontaktním tlakem
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
VíceZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A
Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
Více8. Okrajový problém pro LODR2
8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceAproximace funkcí. Polynom Φ m (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c m x m. Φ m (x) = c 0 g 0 (x) + c 1 g 1 (x) + c 2 g 2 (x) +...
Aproximace funkcí 1 Úvod Aproximace funkce - výpočet funkčních hodnot nejbližší (v nějakém smyslu) funkce v určité třídě funkcí (funkce s nějakými neznámými parametry) Příklady funkcí používaných pro aproximaci
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více3. ledna list a odevzdejte tento zvláštní list (listy) i všechny ostatní listy, které jste při řešení
Jméno a příjmení: Písemná část zkoušky z předmětu AN1E 3. ledna 2019 Skutečná písemná práce bude obsahovat 5 příkladů. Zvolte si pořadí, v jakém budete příklady řešit. Vaše řešení nemusí být kulturně zapsané,
VícePřednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012
Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Robert Mařík 23. ledna 2015 2 Obsah 1 Přednášky 2012 5 2 Písemky 2012 9 3 4 OBSAH Kapitola 1 Přednášky 2012 1. prednaska, 16.2.2012 -----------------------
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VícePrůhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník
EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zápočtová písemná práce B Termín pro odevzdání 4. ledna 2019
Jméno: Příklad 2 3 4 5 Celkem bodů Bodů 20 20 20 20 20 00 Získáno Zápočtová písemná práce určená k domácímu vypracování. Nutnou podmínkou pro získání zápočtu je zisk více jak 50 bodů. Pravidla jsou následující:.
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Více