EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "EUKLIDOVSKÉ PROSTORY"

Transkript

1 EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x, y) x, y L, λ R, 4. (x + z, y) = (x, y) + (z, y) x, y, z L, se nazývá skalární součin na prostoru L. Lineární vektorový prostor nad R se skalárním součinem se nazývá euklidovský prostor. Věta: (základní vlastnosti skalárního součinu) Necht L je euklidovský prostor. Potom platí: 1. (x, λy) = λ(x, y) x, y L, λ R, 2. (x, y + z) = (x, y) + (x, z) x, y, z L, 3. (0, x) = (x, 0) = 0 x L. Příklady lineárního vektorového prostoru se skalárním násobením: V lineárním vektorovém prostoru R 3 uspořádaných trojic reálných čísel definujeme (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 pro každé x = [x 1, x 2, x 3 ] T R 3 a pro každé y = [y 1, y 2, y 3 ] T R 3. Takto definované zobrazení je skalární součin na prostoru R 3. Zcela analogicky lze definovat skalární násobení v prostoru R n uspořádaných n-tic reálných čísel: n (x, y) = x T y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = x i y i i=1 pro každé x = [x 1, x 2,..., x n ] T R n, y = [y 1, y 2,..., y n ] T R n. 1

2 V lineárním vektorovém prostoru C(a, b) všech reálných funkcí spojitých na intervalu a, b lze definovat skalární násobení předpisem (f, g) = b pro libovolné dvě funkce f, g C(a, b). a f(x)g(x)dx Speciálně v lineárním vektorovém prostoru P všech polynomů nebo P n polynomů do daného stupně n, n N, lze definovat skalární násobení předpisem (p, q) = b a p(x)q(x)dx pro libovolné dva polynomy p(x), q(x) z tohoto prostoru, kde a, b jsou libovolná reálná čísla, a < b. Věta: (Cauchy-Schwarzova nerovnost) Necht L je euklidovský prostor, necht x, y L jsou libovolné dva prvky. Potom platí (x, y) 2 (x, x)(y, y). Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Reálná funkce ν: L R se nazývá norma, jestliže platí: 1. ν(x) 0 pro každé x L, ν(x) = 0 x = 0, 2. ν(λx) = λ ν(x) pro každé x L a pro každé λ R nebo C, 3. ν(x + y) ν(x) + ν(y) pro každé x, y L. Poznámka: Bývá zvykem normu prvku x značit x. 2

3 Věta: (norma indukovaná skalárním součinem) Necht L je euklidovský prostor. Potom zobrazení ν: L R definované předpisem ν(x) = (x, x) pro každý prvek x L je norma na prostoru L. Tato norma se nazývá norma indukovaná skalárním součinem. Necht L je euklidovský prostor, necht x, y L. Řekneme, že prvky x, y jsou kolmé prvky (ortogonální prvky), jestliže (x, y) = 0, zapisujeme to potom jako x y. Necht L je euklidovský prostor, necht S 1, S 2 jsou podmnožiny prostoru L. Řekneme, že množiny S 1, S 2 jsou kolmé množiny (ortogonální množiny), jestliže pro každé x S 1 a pro každé y S 2 je x y, t.j. (x, y) = 0, kolmost množin zapíšeme symbolicky S 1 S 2. Věta: (Pythagorova věta) Necht L je euklidovský prostor, necht x, y L. Potom platí: x y x + y 2 = x 2 + y 2. Věta: (lineární nezávislost navzájem ortogonálních prvků) Necht L je euklidovský prostor, v 1, v 2,..., v k nenulové, navzájem ortogonální prvky prostoru L (to znamená, že v i 0 pro každé i = 1,..., k a (v i, v j ) = 0 pro každé i, j = 1,..., k, i j). Potom jsou tyto prvky v 1, v 2,..., v k lineárně nezávislé. Necht L je euklidovský prostor dimenze n, n 0. Každá množina n prvků prostoru L, které jsou nenulové a navzájem ortogonální, se nazývá ortogonální báze prostoru L. 3

4 Věta: (existence ortogonální báze) V každém nenulovém euklidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báze. V důkazu této věty je popsán Gram-Schmidtův ortogonalizační proces, tedy postup, jak určit ortogonální bázi prostoru. Poznámka: Gram-Schmidtův proces Je-li y 1, y 2, y 3,... báze euklidovského prostoru L, potom ortogonální bázi v 1, v 2, v 3,... získáme následujícím postupem: v 1 = y 1. v 2 = y 2 + αv 1, kde α = (y 2, v 1 ) (v 1, v 1 ). v 3 = y 3 + β 1 v 1 + β 2 v 2, kde β 1 = (y 3, v 1 ) (v 1, v 1 ), β 2 = (y 3, v 2 ) (v 2, v 2 ). - dále analogicky. Necht L je euklidovský prostor, prvky e 1, e 2,..., e k L jsou prvky prostoru L. Řekneme, že množina těchto prvků je ortonormální množina, jestliže platí: 1. (e i, e j ) = 0 i, j = 1,..., k, i j 2. (e i, e i ) = 1 i = 1,..., k. Jestliže ortonormální prvky tvoří bázi prostoru L, potom mluvíme o ortonormální bázi prostoru L. 4

5 Poznámka: Prvky e 1, e 2,..., e k L jsou ortonormální, jestliže jsou ortogonální, t.j. (e i, e j ) = 0 pro každé i j, a navíc jejich norma je 1, t.j. e i = (e i, e i ) = 1 = 1. Věta: (existence ortonormální báze) V každém nenulovém euklidovském prostoru konečné dimenze existuje ortonormální báze. 5

6 ORTOGONÁLNÍ PRŮMĚT PRVKU DO PODPROSTORU Necht L je nenulový euklidovský prostor konečné dimenze, necht L 1 je nenulový podprostor prostoru L, necht pro prvek v platí v L, v L 1. Prvek v 0 se nazývá ortogonální průmět prvku v do podprostoru L 1, jestliže jsou splněny tyto dvě podmínky: v 0 L 1 a (v v 0 ) L 1. Označme b 1, b 2,..., b k bázi podprostoru L 1. Prvek v 0 L 1 lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci bázových prvků tohoto podprostoru ve tvaru v 0 = λ 1 b 1 + λ 2 b λ k b k. Druhá podmínka (v v 0 ) L 1 znamená, že prvek (v v 0 ) musí být ortogonální na každý prvek podprostoru L 1, speciálně tedy na všechny prvky báze tohoto podprostor: (v v 0 ) b i pro i = 1,..., k, tedy (v v 0, b i ) = 0 pro i = 1,..., k. Odtud po dosazení lineární kombinace odvozené z první podmínky za prvek v 0 dostáváme rovnice: (v λ 1 b 1 λ 2 b 2 λ k b k, b 1 ) = 0, (v λ 1 b 1 λ 2 b 2 λ k b k, b 2 ) = 0,... (v λ 1 b 1 λ 2 b 2 λ k b k, b k ) = 0. Rovnice nyní upravíme s využitím vlastností skalárních součinů (roznásobíme a převedeme vybrané sčítance na pravou stranu), tím získáme rovnice (v, b 1 ) = λ 1 (b 1, b 1 ) + λ 2 (b 2, b 1 ) + + λ k (b k, b 1 ), (v, b 2 ) = λ 1 (b 1, b 2 ) + λ 2 (b 2, b 2 ) + + λ k (b k, b 2 ),... (v, b k ) = λ 1 (b 1, b k ) + λ 2 (b 2, b k ) + + λ k (b k, b k ). Odpověd na otázku existence a následně i jednoznačnosti ortogonálního průmětu v 0 dává následující úvaha. 6

7 Je-li báze podprostoru L 1 ortogonální, potom výše odvozená soustava rovnic má tvar (v, b 1 ) = λ 1 (b 1, b 1 ), (v, b 2 ) = λ 2 (b 2, b 2 ),... (v, b k ) = λ k (b k, b k ). Matice této soustavy je tedy diagonální a také regulární, protože skalární součiny (b i, b i ) jsou nenulové pro všechna i = 1,..., k (je to proto, že prvky b 1, b 2,..., b k jsou prvky báze prostoru L 1 a musí být proto nenulové). Soustava k rovnic pro k neznámých s regulární, diagonální maticí má právě jedno řešení: λ i = (v, b i) pro každé i = 1,..., k. (b i, b i ) Protože víme, že v každém nenulovém euklidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báze, existuje i ortogonální průmět v 0 prvku v do podprostoru L 1 a je jednoznačně určen souřadnicemi v této ortogonální bázi podprostoru L 1. I v obecném případě je maticí soustavy, kterou musíme vyřešit při určování ortogonálního průmětu, matice tvořená pouze skalárními součiny prvků b 1, b 2,..., b k. Tato matice má dokonce své jméno. Necht L je euklidovský prostor, necht jsou dány prvky b 1, b 2,..., b k L. Matice (b 1, b 1 ) (b 1, b 2 ) (b 1, b k ) (b 2, b 1 ) (b 2, b 2 ) (b 2, b k ) G = [(b i, b j )] =... (b k, b 1 ) (b k, b 2 ) (b k, b k ) se nazývá Gramova matice prvků b 1, b 2,..., b k. 7

8 Věta: (vlastnosti Gramovy matice) Necht L je euklidovský prostor, necht jsou dány prvky b 1, b 2,..., b k L. Pro Gramovu matici G prvků b 1, b 2,..., b k platí: 1. G je symetrická matice, 2. G je regulární právě tehdy, když prvky b 1, b 2,..., b k jsou lineárně nezávislé. Důsledkem právě formulované věty je mimo jiné to, že soustava, jejíž řešení potřebujeme určit k nalezení ortogonálního průmětu, má právě jedno řešení. Protože totiž prvky b 1, b 2,..., b k tvoří bázi podprostoru L 1, musí být lineárně nezávislé, a proto matice uvažované soustavy je regulární. Vyřešením této soustavy získáme koeficienty λ 1, λ 2,..., λ k, pomocí kterých určíme hledaný ortogonální průmět v 0. Věta: (ortogonální průmět prvku do podprostoru) Necht L je nenulový euklidovský prostor konečné dimenze, necht L 1 je podprostor prostoru L (nenulový), necht v L, v L 1. Potom existuje jednoznačně určený ortogonální průmět v 0 prvku v do podprostoru L 1. Jestliže b 1, b 2,..., b k je báze podprostoru L 1, potom v 0 = λ 1 b 1 + λ 2 b λ k b k, kde [λ 1, λ 2,..., λ k ] T je řešením soustavy rovnic (v, b 1 ) = λ 1 (b 1, b 1 ) + λ 2 (b 2, b 1 ) + + λ k (b k, b 1 ), (v, b 2 ) = λ 1 (b 1, b 2 ) + λ 2 (b 2, b 2 ) + + λ k (b k, b 2 ),... (v, b k ) = λ 1 (b 1, b k ) + λ 2 (b 2, b k ) + + λ k (b k, b k ). Je-li báze b 1, b 2,..., b k podprostoru L 1 ortogonální, potom platí: λ i = (v, b i) pro každé i = 1,..., k. (b i, b i ) Pro každý prvek x L 1 je v x v v 0, přičemž rovnost nastává pouze pro x = v 0. 8

9 Příklad Najděte polynom stupně 2, který je nejlepší aproximací funkce f(x) = 1 v normě indukované skalárním součinem (g, h) = 1 0 g(x)h(x) dx. x + 1 Označíme-li b 1 (x) = 1, b 2 (x) = x, b 3 (x) = x 2 bázi prostoru všech polynomů stupně maximálně 2, pak hledáme polynom f 0 (x) = a + bx + cx 2 = ab 1 (x) + bb 2 (x) + cb 3 (x), který je ortogonálním průmětem funkce f(x) do tohoto podprostoru. Výše zdůvodněným postupem získáme soustavu lineárních algebraických rovnic ve tvaru: ln 2 = a + b c 1 3, 1 ln 2 = a b c 1 4, ln 2 = a b c 1 5. Tato soustava má řešení a = ln 2. = 0, 9860, b = ln 2. = 0, 8040, c = ln 2. = 0, Nejlepší aproximací v zadané normě je polynom f 0 (x) = ln 2 + ( ln 2)x + ( ln 2)x 2, resp. f 0 (x). = 0, 3274x 2 0, 804x + 0, 986. x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f 0 (x) 0,986 0,838 0,717 0,621 0,552 0,509 f(x) 1 0,833 0,714 0,625 0,556 0,5 9

10 Necht L je euklidovský prostor, necht U je podprostor prostoru L. Množina všech prvků x prostoru L ortogonálních k podprostoru U se nazývá ortogonální doplněk podprostoru U v prostoru L a značí se U = {x L : x U}. Poznámka: Uvědomme si, že v euklidovském prostoru je U U = 0, nebot pro prvek x U U je x U a také x U, neboli x U, proto (x, z) = 0 pro každé z U. Tedy i pro z = x je (x, x) = 0, a to je právě tehdy, když je x = 0. Věta: (ortogonální doplněk je podprostor) Ortogonální doplněk U podprostoru U v euklidovském prostoru L je podprostor prostoru L. Věta: (dimenze ortogonálního doplňku) Necht U je podprostor euklidovského prostoru L konečné dimenze n. Potom platí dim(u) + dim(u ) = dim L. 10

11 METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ Uvažujme soustavu lineárních algebraických rovnic Ax = b, matice A je reálná matice typu m/n, vektor pravých stran b R m. Soustava lineárních algebraických rovnic nemá podle Frobeniovy podmínky řešení, pokud se nerovnají hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené matice soustavy, tj. hod([a b]) hod(a). Potom ale pro každý vektor x R n je Ax b, tedy b Ax 0. Budeme-li na prostoru R m uvažovat normu indukovanou skalárním součinem, znamená tato podmínka, že b Ax 0 pro každý prvek x R n. Pokusíme se najít prvek x 0 R n takový, aby norma prvku b Ax 0 byla nejmenší možná. Necht uvažovaná soustava lineárních algebraických rovnic Ax = b nemá řešení. Označme R(A) = {Ax; x R n }. Tato množina je podprostor euklidovského prostoru R m. Pokud označíme a 1, a 2,..., a n sloupce (sloupcové vektory) matice A, bude platit, že prvek y R(A) právě tehdy, když existuje prvek x = [x 1, x 2,..., x n ] T R n takový, že y = Ax = a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n. To znamená, že prostor R(A) je vlastně generován sloupci matice A, nazývá se proto sloupcový prostor matice A. Pravá strana b R m uvažované soustavy, která nemá řešení, nemůže být tudíž prvkem tohoto podprostoru, tj. b R(A). Pokusíme se proto najít lepší pravou stranu b 0 pro zadanou soustavu jako ortogonální průmět prvku b do podprostoru R(A). Ze zadání máme určen podprostor R(A) euklidovského prostoru R m, který je generován sloupci matice A, a prvek b R m, b R(A), nebot soustava Ax = b nemá řešení. Podle věty o ortogonálním průmětu prvku do podprostoru existuje jednoznačně určený ortogonální průmět b 0 prvku b do podprostoru R(A), v prostoru R m přitom uvažujeme skalární násobení (u, v) = u T v a normu indukovanou tímto skalárním součinem. Protože b 0 R(A), existuje x 0 R n tak, že Ax 0 = b 0. Přitom platí b Ax 0 2 = b b 0 2 b Ax 2, 11

12 tedy b Ax 0 b Ax pro každé x R n a rovnost nastává pouze pro x = x 0. Při normě indukované skalárním součinem v eukleidovském prostoru R m tedy platí b Ax 0 b Ax pro každé x R n. Označíme-li b Ax = [r 1 (x), r 2 (x),..., r m (x)] T, minimalizujeme hodnotu b Ax 2 = (r 1 (x)) 2 + (r 2 (x)) (r n (x)) 2, což zdůvodňuje název metoda nejmenších čtverců, kde pod pojmem čtverec se rozumí druhá mocnina čísla. Pro samotný postup výpočtu je podstatné, zda sloupce a 1, a 2,..., a n matice A, generátory sloupcového prostoru R(A), jsou či nejsou lineárně nezávislé. 1. Jsou-li sloupce a 1, a 2,..., a n, které generují prostor R(A), lineárně nezávislé, tvoří bázi sloupcového prostoru R(A). Proto lze vyjádřit prvek b 0 = λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n jako lineární kombinaci bázových prvků. Dále má pro tento vektor platit podmínka (b b 0 ) R(A). Při výpočtu ortogonálního průmětu dostaneme soustavu (b, a 1 ) = λ 1 (a 1, a 1 ) + λ 2 (a 2, a 1 ) λ n (a n, a 1 ), (b, a 2 ) = λ 1 (a 1, a 2 ) + λ 2 (a 2, a 2 ) λ n (a n, a 2 ),... (b, a n ) = λ 1 (a 1, a n ) + λ 2 (a 2, a n ) λ n (a n, a n ). Najdeme-li řešení této soustavy [λ 1, λ 2,..., λ n ] T, známe vlastně koeficienty té lineární kombinace bázových prvků prostoru R(A), která se rovná hledanému ortogonálnímu průmětu b 0. Ortogonálním průmětem pravé strany b do prostoru R(A) je tedy b 0 = λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n. Soustava rovnic Ax = b 0 již má řešení, protože je b 0 R(A). Řešení x 0 této soustavy nemusíme hledat novým výpočtem, nebot platí x 1 a 1 + +x n a n = Ax a b 0 = λ 1 a 1 + +λ n a n, což dosazeno za levou a pravou stranu soustavy Ax = b 0 dává vztah x 1 a x n a n = λ 1 a λ n a n. Jelikož jsou sloupcové vektory a 1, a 2,..., a n matice A lineárně nezávislé, musí být x i λ i = 0 pro všechna i = 1, 2,..., n, tedy x i = λ i pro 12

13 všechna i = 1, 2,..., n. Soustava rovnic Ax = b 0 s pravou stranou b 0 má řešení x 0 = [λ 1, λ 2,..., λ n ] T. 2. Jsou-li sloupce a 1, a 2,..., a n matice A, které generují prostor R(A), lineárně závislé, vybereme z nich bázi prostoru R(A). Je-li dimenze dim R(A) = k, označme vybrané prvky báze a i1, a i2,..., a ik. Ortogonální průmět b 0 vektoru pravých stran b do podprostoru R(A) je tedy jednoznačně určen jako lineární kombinace těchto k bázových prvků, tj. b 0 = λ 1 a i1 + λ 2 a i2 + + λ k a ik. Koeficienty [λ 1, λ 2,..., λ k ] T nalezneme jako řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (postup viz hledání kolmého průmětu prvku do daného podprostoru) (b, a i1 ) = λ 1 (a i1, a i1 ) + λ 2 (a i2, a i1 ) + + λ k (a ik, a i1 ), (b, a i2 ) = λ 1 (a i1, a i2 ) + λ 2 (a i2, a i2 ) + + λ k (a ik, a i2 ),... (b, a ik ) = λ 1 (a i1, a ik ) + λ 2 (a i2, a ik ) + + λ k (a ik, a ik ). Dosazením nalezených koeficientů určíme ortogonální průmět b 0. Nyní již stačí vyřešit soustavu lineárních algebraických rovnic Ax = b 0, jedním řešením je vektor, který má na pozici i j číslo λ j, a to pro všechna j = 1, 2,..., k, a zbytek je doplněn nulami. Metoda nejmenších čtverců je metoda užívaná k aproximaci funkcí, které jsou určeny tabulkou hodnot získaných nejčastěji z konkrétního měření. Tabulkové body se načrtnout do roviny s kartézským systémem souřadnic a z tohoto náčrtku se odhadne, jakého typu má být funkce, jejíž graf má být proložen tabulkovými body. Dosadíme-li do obecného předpisu pro tuto funkci všechny body z tabulky, dostaneme tzv. přeurčenou soustavu, tj. soustavu, kde počet rovnic převyšuje počet neznámých, a proto obvykle přímo tato soustava nemá řešení. Následující příklady jsou již zadány včetně typu hledané funkce a jsou doplněny příslušnými výsledky. 13

14 Příklad 1. Měřením byla získána data: t y(t) -0,7 0,7 1,7 2,3 3,5 Metodou nejmenších čtverců určete přímku, tj. nalezněte lineární funkci, která nejlépe aproximuje naměřené hodnoty. Řešením je lineární funkce f(t) = t 1/2. Příklad 2. Měřením byla získána data: t y(t) -0,7 0,7 0,7 0,7 1,7 1,7 2,3 3,5 Metodou nejmenších čtverců určete přímku, tj. nalezněte lineární funkci, která nejlépe aproximuje naměřené hodnoty. Řešením je lineární funkce f(t) = 0, 978t 0, 387 (koeficienty lineární funkce jsou zaokrouhleny na tři desetinná místa). Příklad 3. Měřením byla získána data: t y(t) 2,9 0,4-0,1-1,3 0 0,1 Metodou nejmenších čtverců určete parabolu, tj. nalezněte polynom stupně 2, který nejlépe aproximuje naměřené hodnoty. Řešením je kvadratická funkce f(t) = t 2 4t

15 KVADRATICKÉ FORMY. Kvadratické útvary v prostoru (trojdimenzionálním), resp. v rovině, lze analyticky popsat rovnicí κ(x) + µ(x) + γ = 0 pro x R 3, resp. x R 2. První sčítanec na levé straně této rovnice je tzv. kvadratická forma, druhý tzv. lineární forma (to je speciální případ lineárního zobrazení), třetím sčítancem je konstanta γ. Necht A je reálná, symetrická matice řádu n. Zobrazení κ: R n R, definované předpisem κ(x) = x T Ax pro každý prvek x R n, se nazývá kvadratická forma na prostoru R n určená maticí A. Věta: (spektrální vlastnosti reálných symetrických matic) Necht A je reálná, symetrická matice řádu n. Potom platí: 1. Všechna vlastní čísla matice A jsou reálná čísla. 2. Ke každému vlastnímu číslu matice A existuje reálný vlastní vektor. 3. Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům matice A jsou ortogonální při skalárním násobení na prostoru R n daném předpisem (u, v) = u T v. Věta: (Jordanúv kanonický tvar reálné symetrické matice) Necht A je reálná, symetrická matice řádu n, necht platí A = TJT T, kde J je Jordanův kanonický tvar matice A. Potom matice J je diagonální a matici T lze poskládat po sloupcích z vlastních vektorů, které jsou navzájem ortonormální při skalárním násobení (u, v) = u T v na prostoru R n. 15

16 Necht A je reálná, symetrická matice řádu n. Označme k - počet kladných vlastních čísel matice A, z - počet záporných vlastních čísel matice A, d = n (k + z) - násobnost vlastního čísla 0 matice A. Trojice čísel (k, z, d) (uspořádaných v tomto pořadí) se nazývá inercie matice A a značí se in(a) = (k, z, d). Je-li κ = x T Ax kvadratická forma na R n, potom inercie kvadratické formy κ je inercie matice A této kvadratické formy. Píšeme in(κ) = in(a). Jak lze upravit kvadratickou formu na co možná nejjednodušší tvar? Uvažujme kvadratickou formu κ(x) = x T Ax na prostoru R n. Potom matice A je reálná a symetrická, lze ji proto zapsat ve tvaru A = TJT T, kde Jordanův kanonický tvar J matice A je matice reálná diagonální J = diag[λ 1,..., λ n ], přičemž na diagonále jsou vlastní čísla λ 1,..., λ n matice A. Matice T se po sloupcích skládá z ortonormálních vlastních vektorů. Potom pro kvadratickou formu κ(x) platí: κ(x) = x T Ax = x T (TJT T )x = (T T x) T J(T T x). Označíme-li T T x = x = [η 1,..., η n ] T, potom κ(x) = x T J x = [η 1,..., η n ]J[η 1,..., η n ] T = λ 1 η λ 2 η λ n η 2 n. Uvědomme si, že x = [η 1, η 2,..., η n ] T = T T x jsou vlastně také souřadnice prvku x, ale vzhledem k jiné bázi. Tedy κ(x) = λ 1 η λ 2 η λ n η 2 n je vyjádření zadané kvadratické formy v jiné bázi, kvadratická forma je v této bázi vyjádřena ve tvaru lineární kombinace čtverců souřadnic(druhých mocnin) a koeficienty jsou přitom vlastní čísla matice A. 16

17 Věta: (tzv. zákon setrvačnosti kvadratických forem ) Je-li kvadratická forma κ na reálném lineárním vektorovém prostoru konečné dimenze vyjádřena ve dvou bázích jako lineární kombinace čtverců souřadnic, je v obou vyjádřeních stejný počet kladných koeficientů, stejný počet záporných koeficientů a stejný počet nulových koeficientů, tj. se změnou báze se nezmění inercie kvadratické formy. Říkáme, že kvadratická forma κ na prostoru R n je pozitivně definitní, je-li κ(x) > 0 pro každé x R n, x 0, pozitivně semidefinitní, je-li κ(x) 0 pro každé x R n a existuje x 0 R n tak, že κ(x 0 ) = 0, negativně definitní, je-li κ(x) < 0 pro každé x R n, x 0, negativně semidefinitní, je-li κ(x) 0 pro každé x R n a existuje x 0 R n tak, že κ(x 0 ) = 0, indefinitní, existují-li prvky x 1, x 2 R n tak, že κ(x 1 ) > 0 a zároveň κ(x 2 ) < 0. Věta: (pozitivnost a inercie kvadratických forem) Necht κ je kvadratická forma na prostoru R n. Potom kvadratická forma κ je 1. pozitivně definitní právě tehdy, když in(κ) = (n, 0, 0), 2. pozitivně semidefinitní právě tehdy, když in(κ) = (k, 0, d), d 0, 3. negativně definitní právě tehdy, když in(κ) = (0, n, 0), 4. negativně semidefinitní právě tehdy, když in(κ) = (0, z, d), d 0, 5. indefinitní právě tehdy, když in(κ) = (k, z, d), k 0, z 0. 17

18 Užití Ukažme si jeden z možných případů užití kvadratických forem - nalezení základního tvaru rovnice kvadriky. Necht κ(x) = x T Ax je kvadratická forma na prostoru R n, kde A je reálná symetrická matice. Necht µ(x) = b T x je lineární forma na prostoru R n, kde b R n. Necht γ R je reálné číslo. Potom množina všech prvků x R n, pro které platí κ(x) + µ(x) + γ = 0, se nazývá kvadrika. (V prostoru R 2 se jedná o kuželosečku, v prostoru R 3 je to kvadratická plocha.) Rovnici kvadriky lze přepsat do tvaru x T Ax + b T x + γ = 0. ( ) Protože matice A je reálná a symetrická, lze ji nahradit s využitím Jordanova kanonického tvaru A = TJT T, kde Jordanova matice J = diag[λ 1,..., λ n ] je diagonální matice a regulární matice T se skládá po sloupcích z ortonormálních vlastních vektorů. Rovnici kvadriky ( ) lze psát ve tvaru (x T T)J(T T x) + (b T T)(T T x) + γ = 0. Při označení x = T T x platí x T T = x T a (T T b) T = b T T. V nových souřadnicích x má kvadrika rovnici x T J x + (T T b) T x + γ = 0. Protože víme, že matice J je diagonální, lze již bez větších problémů určit typ kvadriky. Pouhým doplněním na čtverce lze totiž rovnici kvadriky upravit na základní tvar. 18

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Arnoldiho a Lanczosova metoda

Arnoldiho a Lanczosova metoda Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech 7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Definice : Definice :

Definice : Definice : KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení

Více

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ] 1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0

Více

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:

Více

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více