PRACOVNÍCH LISTŮ DO MATEMATIKY II

Transkript

1 ZKUŠENOSTI S PŘÍPRAVOU A VYUŽITÍM PRACOVNÍCH LISTŮ DO MATEMATIKY II Petra Schreiberová, Petr Volný VŠB - Technická univerzita Ostrava Abstrakt: V letošním roce na Katedře matematiky a deskriptivní geometrie probíhá tvorba pracovních listů do matematiky v rámci projektu FRVŠ 113/13 Vytvoření e-learningových kurzů s multimediálními studijními materiály pro matematické předměty na vybraných fakultách Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava. Prezentujeme naše zkušenosti s tvorbou a zařazením pracovních listů do výuky. Klíčová slova: GeoGebra, Gnuplot, pracovní listy, matematika. Experiences with preparation and use of worksheets to Mathematics II Abstract: Worksheets to Mathematics II are being created at the Department of Mathematics and Descriptive Geometry within the project FRVŠ 113/13 in this year. We present our experience with the creation and inclusion of worksheets in teaching. Key words: GeoGebra, Gnuplot, worksheets, mathematics. Studium na technické univerzitě je obecně náročné, především studenti kombinovaného studia se bez jisté formy samostudia neobejdou. Navíc, motivace studentů ke studiu matematiky je poměrně nízká a jejich znalosti matematiky jsou většinou limitované. Naší snahou je reagovat také na vývoj v oblasti informačních technologií (netbooky, smartphony, tablety, atd.). Většina studentů nečte klasické knihy, nelze tedy očekávat, že budou číst skripta, případně další odbornou literaturu. Abychom studentům kombinovaného studia studium matematiky usnadnili, rozhodli jsme se vytvořit sady pracovních listů, aplikací a komentovaných videí, které pokryjí obsah základních kurzů z matematiky v rámci prvních ročníků na jednotlivých fakultách VŠB- TUO s tím, že tyto materiály budou použitelné i pro studenty prezenční formy studia. Autoři děkují za podporu svému pracovišti a projektu FRVŠ 113/

2 Budou připraveny pracovní listy shrnující teorii kurzu Matematika I (diferenciální počet funkcí jedné proměnné, lineární algebra, analytická geometrie v prostoru) a kurzu Matematika II (integrální počet funkcí jedné proměnné, diferenciální počet funkcí dvou proměnných, obyčejné diferenciální rovnice) doplněné o sady řešených a neřešených úloh, aplikací a komentovaných videí. Počítá se, že všechny takto připravené materiály budou studentům a samozřejmě i našim kolegům k dispozici v rámci webových stránek naší katedry. Na tvorbě pracovních listů se podílí (kromě autorů příspěvku) následující kolegové: M. Bobková, D. Dlouhá, R. Hamříková, Z. Morávková a R. Paláček. Pro pracovní listy byl vytvořen jednotný latexovský styl. Sazba textu probíhá v prostředí Miktexu v..9. Obrázek 1: Pro tvorbu d grafiky jsme používali GeoGebru a také Gnuplot (volně přístupný vizualizační software). GeoGebra je velmi efektivní nástroj pro matematiku a deskriptivní geometrii. Je velmi snadno použitelná a má celkem intuitivní ovládání. Není cílem tohoto příspěvku podat úplný popis GeoGebry. Rádi bychom pouze zmínili možnost exportu grafického návrhu přímo do L A TEXu. GeoGebra vygeneruje kód, který lze přímo použít ve zdrojovém souboru. Situace ovšem není úplně ideální, nicméně lze si snadno vygenerovaný kód individálně upravit. 338

3 Obrázek : Gnuplot byl použit především pro zpracování 3d grafiky, v případě funkcí více proměnných a také některých apliakcí integrálního počtu (objem a obsah pláště rotačních těles) je vhodné studentům vizualizovat plochy reprezentující grafy funkcí. Obrázek 3: Gnuplot lze přímo propojit s L A TEXem a při kompilaci zdrojového souboru je možné nechat Gnuplot vygenerovat data pro křivky (grafy studovaných funkcí), která poté L A TEX interně zpracuje a zobrazí. To vše se přitom děje na pozadí. Nyní následuje sada pracovních listů do Matematiky II týkající se vrstevnicového grafu funkcí dvou proměnných. Jedná se o ukázku listu obsahujícího teorii, dále je prezentován list s řešenou úlohou a také list obsahující neřešenou úlohu. 339

4 Matematika II - listy k přednáškám.řy - Funkce dvou proměnných, graf Video teorie Řešené příklady: 14 Řešený video příklad Příklady: 4, Graf funkce dvou proměnných Definice.1.: Grafem funkce dvou proměnných rozumíme množinu G f = {[x, y, z = f (x, y)] [x, y] D f }. Poznámka: Množina G f je podmnožinou v R 3, G f R 3. Nejčastěji budeme pracovat s funkcemi, jejichž grafy jsou nějaké dvojrozměrné plochy v prostoru. Nakreslit graf funkce dvou proměnných tzv. v ruce je poměrně obtížné, a často to vůbec není možné. Jednou z možností, kterou máme k dispozici, je využít průsečnice grafu zadané funkce se souřadnicovými rovinami, především s půdorysnou rovinou. K vizualizaci grafů se používá výpočetní technika, existuje řada komerčních i volně šiřitelných programů (Gnuplot, Maple, Matematika, Matlab, Wolfram atd.). Grafem funkce tří proměnných je plocha v R 4, tzv. nadplocha. Nelze ji ovšem graficky znázornit. Definice.1.3: Řezy grafu funkce z = f (x, y) rovinami rovnoběžnými s půdorysnou rovinou se nazývají vrstvnice. Vrstevnicovým grafem rozumíme průměty vrstevnic do půdorysné roviny z =. Vrstevnice je množina bodů se stejnou funkční hodnotou. S vrstevnicemi se můžeme setkat především na turistických mapách, kde vrstevnice (obvykle šedé křivky) reprezentují množiny bodů se stejnou nadmořskou výškou. Na obrázku se nachází turistická mapa okolí Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava. Zdroj: Obrázek 4: Pracovní list - teorie Matematika II - řešené příklady 14 - Vrstevnicový graf 14. 5x Zadání Nalezněte vrstevnicový graf funkce z = x + y + 1. Řešení Video teorie Řešený video příklad Teorie: Příklady: 4, 43 Dosadíme do zadané funkce z = k, kde k R, tedy 5x k = x + y + 1 x + y + 1 = 5x k x 5x k + y + 1 = Výraz x 5x k jsme doplnili na úplný čtverec, x 5x ( k = x 5 ) 5 k 4k. Nyní je třeba diskutovat konkrétní hodnoty k. 5x 1. Pro k = (řez grafu funkce z s půdorysnou rovinou) dostáváme =. Pro k = dostáváme bude větší než, ( x 5 k ( x 5 ) + y 5 k 4k + 1 =. x + y x =, vrstevnicí je osa y. + 1 ) + y = 5 1. Vrstevnicemi budou kružnice pouze v případě, kdy pravá strana rovnice 4k 5 4k 1 > 5 4k > 1 5 > 4k k < k = ± 5 6 k = ± 5 8 k < x k ( 5 ) (,, 5 ) 3. Pro k = ± 5 platí (x 1) + y =. Jedná se o dvě singulární kružnice (body). Vrstevnicemi jsou dva body, [1, ] a [ 1, ]..5 k = k = ± k = ± 5 z y 3 4 Poznámky Hledáme průniky grafu funkce s rovinami rovnoběžnými s půdorysnou rovinou, tj. dosazujeme z = k, k R. Číslo k je možné volit libovolně. Ovšem může se stát, že při nevhodné volbě se plochy neprotnou. Seznam příkazů pro Gnuplot: set view 6,1; set view equal xy set iso 5; set samp 5 set xrange [-4:4]; set yrange [-4:4] set ztics 1; set pm3d set contour both set cntrparam levels discrete,.485, -.485, 1.5, -1.5,.83, -.83,.65, -.65 set style increment user set style line 1 lc rgb black lw set style line lc rgb red set style line 3 lc rgb red set style line 4 lc rgb yellow set style line 5 lc rgb yellow set style line 6 lc rgb green set style line 7 lc rgb green set style line 8 lc rgb cyan set style line 9 lc rgb cyan set style line 1 lc rgb magenta set grid; unset surf; unset key set xlabel "x" set ylabel "y" set zlabel "z" splot 5*x/(x**+y**+1) Obrázek 5: Pracovní list - řešená úloha 34

5 Matematika II - pracovní listy Vrstevnicový graf Zadání Rozhodněte, který vrstevnicový graf odpovídá funkci z = x y. Řešení Video teorie Řešený video příklad Teorie: Řešené příklady: 14 1 k y = k x, k > y = x, k > Tahák Hledáme průniky grafu funkce s rovinami rovnoběžnými s půdorysnou rovinou, tj. dosazujeme z = k, k R. Číslo k je možné volit libovolně. Ovšem může se stát, že při nevhodné volbě se plochy neprotnou, průnik bude prázdný. V případě, že průnik je neprázdný, jedná se o prostorovou křivku, kterou promítneme do půdorysné roviny. 3 k = k = 1 k = 9 k = 5 k = 49 Obrázek 6: Pracovní list - neřešená úloha Výstupem je interaktivní pdf, které obsahuje hypertextové odkazy pomocí nichž lze jednoduše přecházet mezi jednotlivými tématicky si odpovídajícími listy. V listech se také nachází odkazy na komentovaná videa, která se po kliknutí na daný odkaz otevřou (v takovém případě je ale vyžadováno připojení na internet, protože videa se nacházejí na našem serveru). Neřešená sada úloh do Matematiky II byla použita v rámci výuky na Fakultě stavební a na Fakultě strojní, VŠB-TUO v minulém semestru (letní semestr 1/13). V závěru semestru studenti vyplnili dotazník, ve kterém zhodnotili pracovní listy a jejich zapojení do výuky. Anketa byla vyhodnocena zvlášt pro dva statistické vzorky dle jednotlivých fakult. Matematika II, pracovní listy do cvičení Hodnocení: 1-určitě ano, 5-určitě ne Fakulta: Jsem: M/Ž Byly pracovní listy přínosné pro Vaše studium?. Byla formální stránka (zadání úlohy, tahák, pracovní prostor) pracovních listů vyhovující? 3. Byl počet úloh dostačující? 4. Vyhovovalo vám tempo výuky? 5. Považujete náročnost úloh v pracovních listech za dostačující? 6. Pomohly Vám pracovní listy k lepšímu pochopení látky? 341

6 Doporučil/a byste pracovní listy ostatním studentům? 8. Byla pro Vás přítomnost taháku v pracovních listech přínosná? 9. Váš komentář k pracovním listům Co se týče zhodnocení použití pracovních listů ve výuce Matematiky II, práce na cvičení byla efektivnější, stihlo se procvičit více látky. Došlo k lepšímu zapojení studentů do výuky. Někteří studenti pro práci s pracovními listy používali tablety. Tahák, který obsahuje každý pracovní list s neřešenou úlohou, se studentům jevil jako velmi přínosný. Závěrem bychom rádi prezentovali některé zajímavé komentáře k pracovním listům ze strany studentů a zpracování ankety. Obrázek 7: Anketa - Fakulta stavební Obrázek 8: Anketa - Fakulta strojní 34

7 Komentáře: chybí výsledky k úlohám, zvetšit pracovní prostor, přínos do výuky, finanční náročnost (tisk), přítomnost taháku velice vítána, fajne, pracovní listy jsem poskytla i své kamarádce, atd. A co dál? Počítá se v příští sezóně s využitím teorie a řešených úloh v rámci přednášky z Matematiky II. Připravují se komentovaná videa, jejich primárním účelem je jejich použití pro samostudium kombinovaných studentů, a soubor testových úloh a otázek. Celý balík bude doplněn aplikačními úlohami. Literatura: [1] P. Kreml, J. Vlček, P. Volný, J. Krček, J. Poláček: Matematika II, Skriptum, VŠB TU Ostrava, 7, ISBN [] P. Schreiberová, P. Volný: Worksheets for Mathematics, Sborník semináře Moderní matematické metody v inženýrství, 13, v tisku. [3] [4] [5] [6] [7] Petra Schreiberová 17. listopadu 15, Ostrava - Poruba petra.schreiberova@vsb.cz Petr Volný 17. listopadu 15, Ostrava - Poruba petr.volny@vsb.cz 343