Analytická geometrie v prostoru

Transkript

1 Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková Období vytvoření: prosinec 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět: Matematika 4. ročník - obor Ekonomické lyceum Klíčová slova: bod, přímka, rovina, vzdálenost, rovnice, parametr Výstižný popis způsobu použití výukového materiálu ve výuce: Jedná se o zadání čtvrtletní práce, kterou ověřujeme znalosti a dovednosti žáků řešit komplexní úlohy získané během čtvrtletí. Časová dotace na vypracování je jedna vyučovací hodina, další hodinu věnujeme rozboru, opravě a vysvětlení řešení úloh. Každou úlohu hodnotíme 1 až 20 body. Hodnotíme postup, sestavení rovnic, jejich řešení, numerické výpočty, způsob zápisu řešení úlohy, vyhodnocení a formulace závěru řešení. Hodnocení: 100 až 90 bodů výborný 89 až 75 bodů chvalitebný 74 až 50 bodů dobrý 49 až 33 bodů dostatečný

2 2. čtvrtletní práce z matematiky pro 4. ročník EL A VY_32_INOVACE_MAT_ Vyšetři vzájemnou polohu přímek a a b. a : x = t, y = 7 - t; z = 2t ; b : x = -5 - r; y = 3 2r; z = 5 + r; t; r R 2. Zapiš rovnici roviny, která je k dané přímce a : x = t, y = 7 - t; z = 2t, kolmá a prochází bodem P 1;1; Určete vzájemnou polohu přímky p: x = t, y = t, z = 1 + 3t, r R a roviny ρ: 2x + y - z + 1 = Rozhodněte, zda bod A[1,2,-3] leží a) v rovině 2x-y+z+3=0 b) na přímce x=t, y=3-t, z=3-2t, 3;2; Napište obecnou rovnici roviny, která je rovnoběžná s rovinou xy a prochází bodem 2. čtvrtletní práce z matematiky pro 4. ročník EL B 1. Vyšetři vzájemnou polohu přímek a a b. a : x = 2, y = 4 - t; z = 1 + 2t ; b : x = 1 - r; y = 2 + 3r; z = -1-2r; t; r R 2. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem M 3;2; 1 a je kolmá na přímku b : x = 2 - t ; y = 3 + 2t; z = -t; t R. 3. Určete vzájemnou polohu přímky p: x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3 - t, t R a roviny ρ: 3x - y + z + 1 = Napište obecnou rovnici roviny, která je rovnoběžná s rovinou xz a prochází bodem 1;1; Rozhodněte, zda bod A[7,-7,6] leží a) v rovině x-y+z-6=0 b) na přímce x= 5-2t, y=-3+4t, z=2-4t,

3 Řešení A 1. směrové vektory přímek (1,-1,1) (-1,-2,1) jsou lineárně nezávislé mají společný bod přímky jsou různoběžné 2. normálový vektor hledané roviny je směrový vektor přímky (1,-1,2) x-y+2z+d=0 dosadíme souřadnice bodu P d =0 d=4 x-y+2z+4=0 3. směrový vektor přímky (1,1,3) normálový vektor roviny (2,1,-1) jejich skalární součin =0 přímka je rovnoběžná s rovinou nebo v ní leží, hledáme společný bod 2t+t-1-3t+1=0 0=0 rovnice má nekonečně mnoho řešení, přímka leží v rovině 4. a) (-3)+3=0 A leží v rovině b) 1=t 2=3-t -3=3-2t nemá řešení - A neleží na přímce 5. z=-1 z+1=0

4 Řešení B 1. směrové vektory přímek (0,-1,2) (-1,3,-2) jsou lineárně nezávislé nemají společný bod mimoběžky 2. normálový vektor hledané roviny je směrový vektor přímky (-1,2,-1) -x+2y-z+d= d =0 d=-2 x-2y+z+2=0 3. směrový vektor přímky (1,2,-1) normálový vektor roviny (3,-1,1) jejich skalární součin (-1)+(-1).1=0 přímka leží v rovině nebo je s ní rovnoběžná nemají společný bod, protože rovnice 3.(2+t)-(1+2t)+3-t+1=0 nemá řešení přímka je s rovinou rovnoběžná 4. y=1 y-1=0 5. a) 7-(-7)+6-6=14 bod neleží v rovině b) 7=5-2t -7=-3+4t 6=2-4t t=-1 bod leží na přímce

5 Zdroje: KOLOUCHOVÁ, Jana, Václav ŠOBR a Jana ŘEPOVÁ. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť. 4. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 176 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN Není-li uvedeno jinak, jedná se o autorskou práci.