Řešení úloh 1. kola 48. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autořiúloh:J.Jírů(1,3,4,7),I.Čáp(5),I.Volf(2),J.JírůaP.Šedivý(6)

Transkript

1 Řešení úloh 1. kola 48. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autořiúloh:J.Jírů(1,3,4,7),I.Čáp(5),I.Volf(2),J.JírůaP.Šedivý(6) 1.a) Jetliže kolo automobilu neprokluzuje, je velikot okamžité rychloti automobilu rovna velikoti obvodové rychloti libovolného bodu kola ve vzdálenoti r od oy otáčení. Pro výpočet hodnot okamžité rychloti automobilu, okamžité úhlové rychloti kola, uražené dráhy a úhlu otočení ve vybraných čaech použijeme vzorce v=at, ω= v r, =1 2 at2, ϕ= r, kde a= v 1 t 1 =1,5m 2. Hodnoty zapíšeme do tabulky a etrojíme grafy: t v m ω rad m ϕ rad ω rad ϕ rad t Obr. R1 Obr. R2 6bodů b) Obahplochypodgrafemje 18rad 1 +48rad 1 5 = 165 rad. 2 Obahudáváúhelotočeníkolaautomobiluvčaovémintervaluod3do 8. c) Zgrafunapř.vyčteme,žeza10pohybuodjehopočátkueúhlovérychlot zvětšilaznulovéhodnotyna60rad 1.Směrnicepřímkyje t 1

2 ω 1 =60rad =6rad t Fyzikální význam této veličiny je změna úhlové rychloti za jednotku čau, v našem případě e úhlová rychlot za každou ekundu rovnoměrně zvětšila o6rad 1. Poznámka:Veličina ε= ω e nazývá úhlové zrychlení. t 2.Označme v 1 =60km h 1, v 2 =50km h 1, t 1, t 2 dobybrzdění, 1, 2 brzdné dráhy. a) Zrovnic Ft 1 = mv 1, Ft 2 = mv 2 plyne t 2 t1 = v 2 v 1.Hledanýpoměrje t 1 t 2 t 1 =1 t 2 t1 = =1 6 =16,7%. b) Zrovnic F 1 = 1 2 mv2 1, F 2 = 1 2 mv2 2 plyne 2 = 1 Hledaný poměr je =1 2 1 =1 ( v2 v 1 ) 2. ( ) 2 50 = =30,6%. c) Dleúlohya)platí t 1 = mv 1 F =3,8.Obdobně t 2= mv 2 F =3,1. Dleúlohyb)platí 1 = mv2 1 2F =31m.Obdobně 2= mv2 2 2F =22m. 3body d) Dleúlohya)platí t 1 = mv 1 F = mv 1 0,4mg = v 1 0,4g =4,2. Obdobně t 2 = v 2 0,4g =3,5. Dleúlohyb)platí 1 = mv2 1 2F = mv ,4mg = v2 1 0,8g =35,4m. Obdobně 2 = v2 2 0,8g =24,6m. 3body 2

3 3.a) Hledaná práce je rovna přírůtku kinetické energie: W= 1 2 (m 0+8m 1 )v (m 0+8m 1 )v 2 1 =1 2 (m 0+8m 1 )(v 2 2 v2 1 )=81,9MJ. 3body b) Tažením oupravy ilou o velikoti F po dráze vykonala lokomotiva práci W = F, (1) která je rovna přírůtku kinetické energie oupravy. V analogii úlohou a) platí: Zrovnic(1)a(2)plyne W = 1 2 8m 1v m 1v1 2 =4m 1(v2 2 v2 1 ). (2) F= 4m 1(v 2 2 v2 1 ) =50,4kN. (3) c) Velikot zrychlení vlaku je rovna velikoti zrychlení oupravy: a= F 8m 1. Užitím rovnice(3) dotaneme a= v2 2 v2 1 2 =0,21m 2. (Velikot zrychlení lze též zíkat z kinematických rovnic 3body =v 1 t+ 1 2 at2, v 2 = v 1 + at vyloučením čau t.) 4.a) Rozložením tíhové íly do měrů vláken dotaneme rovnoběžník il, kterým jekoočtverecvnitřnímúhlem60.zobr.r3plyne F 1 = F 2 = F G 2co30 = mg =1,42N. 3 3

4 F F1 F2 F2 F1 FG Fv Obr. R3 FG Obr. R4 b) Rovinatrojúhelníkuevychýlítak,ževýlednice Fvtíhovéíly FG= mga etrvačné íly F = mabude ležet v rovině určené trojúhelníkem. V rovnoběžníku il z úlohy a) nahradíme tíhovou ílu výlednicí Fv. Tíhová a etrvačná íla jou navzájem kolmé, pro velikot výlednice platí: F v = FG 2+ F2 = m g 2 + a 2. (1) Podle úlohy a) dotaneme F F 1 = F 2 = v 2co30 = m g2 + a 2 =1,43N. 3 c) Tentokrát etrvačná íla půobící na kuličku leží v rovině trojúhelníku. Tíhová a etrvačná íla jou navzájem kolmé, pro velikot výlednice platí(1). Výlednici Fv rozložíme do měrů vláken(obr. R4). Celou kontrukci ve zvoleném měřítku provedeme a velikoti il F1 a F2 změříme. Výledek lze ověřitvýpočtempomocíinovévěty: F 1 =1,79N, F 2 =1,04N. 5.a) Označme v 1 velikotrychlotivozíkuetřeloubezprotředněpozáahu.ze zákona zachování hybnoti během záahu plyne: mv=(m+ m)v 1. (1) Z rovnic rovnoměrně zpomaleného pohybu vozíku nábojem, při kterém zpočátečnírychlotiovelikoti v 0 zatavilnadráze d: v 0 = at, d= 1 2 at2, 4

5 dotaneme velikot zrychlení a= v2 0 2d. (2) Během zatavování po záahu třely potřebuje brzdící íla práci rovnou počáteční kinetické energii vozíku nábojem: Zrovnic(2)a(3)dotaneme 1 2 (m+m)v2 1 =(m+m)a D. (3) v 1 = v 0 D d. Doazením do vzorce(1) dotaneme velikot rychloti třely: v= m+m D m v 0 d =250m 1. b) Kinetická energie třely před záahem je E k = 1 2 mv2, kinetická energie vozíku nábojem bezprotředně po záahu je E k =1 2 (m+m)v2 1. 5bodů Energie jou v poměru E k = (m+m)v2 1 E k mv 2. Užitím rovnice(1) dotaneme konečný výledek E k = m E k m+m =0,0032=0,32%. Výrazný pokle mechanické energie je způoben tím, že většina kinetické energie třely(99,68%) e přeměnila na vnitřní energii, která e projevila deformací obou těle a zvýšením teploty. Pouze 0,32% kinetické energie třely e zachovalo ve formě kinetické energie vozíku e třelou. 1bod 6.Výledkyměřeníavýpočtůproetavuvýškouvýtokovéhootvoru H=51cm jou v tabulce. Změřená délka dotřiku je vždy menší než teoretická vypočítaná podlevzorce(1).ipřivýšcehladinyvětšínež20cmnadvýtokovýmotvorem doahujejenai90%. 5

6 K FP h /cm 0,5 G FP G WH FP G G WH î + FP Závilotdélkydotřiku dna hjelineární,nejednáevšakopřímouúměrnot. Lineární trend určený EXCELem můžeme pro délky měřené v centimetrech přepat na rovnici pro číelné hodnoty {d}=14,60{ h} 7,68. (2) Vzorec(1)přidanévýšcevýtokovéhootvoru H=51cmvedekrovnici {d te }=14,3{ h}. (3) Doazením h=30cmdo(2)dotáváme d=72,3cm. d cm d te d \ [ h cm 0,5 6

7 7.a) Pohyb ve vilém měru probíhá jako volný pád. Z rovnice h= 1 2h 2 gt2 0 plyne t 0 = g =3,03. Ve vodorovném měru e třela pohybuje rovnoměrně počáteční rychlotí ovelikoti v 0 = d t 0 =29,7m 1. b) Označme mhmotnottřely.voutavěpojenéezemíoznačme u 1 vodorovnououřadnicirychlotilehčíčátiau 2 vodorovnououřadnicirychloti těžšíčátipooddělení.voutavěpojenéletícítřelouoznačme u 1 vodorovnououřadnicirychlotilehčíčátiau 2vodorovnououřadnicirychloti těžší čáti po oddělení. Má-li čát třely o hmotnoti m/3 dopadnout k patě věže, muí plňovat rovnici Z rovnice dotaneme v 0 t 1 = u 1 (t 0 t 1 ). u 1 = t 1 t 0 t 1 v 0 = 0,493v 0 = 14,6m 1. Pak u 1 = u 1 v 0 = 44,4m 1. Zezákonazachováníhybnotive vztažné outavě pojené letící třelou plyne Z rovnice dotaneme Hledaná vzdálenot je 0= 1 3 mu mu 2. u 2= 1 2 u 1=22,2m 1. d 1 = v 0 t 1 +(v 0 + u 2 )(t 0 t 1 )=135m. c) Otočenímtřelyo180 evevztažnéoutavěpojenéletícítřelouvelikoti ložek rychloti zachovaly, ale jejich měr e změnil na opačný: Hledané vzdálenoti jou u 1 =44,4m 1, u 2 = 22,2m 1. d 2 = v 0 t 1 +(v 0 + u 1)(t 0 t 1 )=180m, d 3 = v 0 t 1 +(v 0 + u 2 )(t 0 t 1 )=45m. 7