Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Text a příklady.

Transkript

1 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Tet a příklad. Ročník. Datum tvorb Anotace 1) pro žák jako tet látk, do kterého si mohou po vtisknutí psát poznámk podle výkladu učitele (nezdržují se opisováním pouček a mohou se soustředit na výklad) ) pro učitele k promítnutí na tabuli a názornému výkladu 3) pro žák, kteří chběli (nemusí si látku opisovat od spolužáků) 4) základní učivo je na boku zvýrazněno dvojitou modrou čárou

2 VLASTNOSTI FUNKCE Prostá funkce Funkce f je prostá, právě kdž pro libovolné dvě 1, Df platí: Je-li 1, pak f( 1 ) f( ). Tzn. pro různá jsou různé hodnot. Je-li funkce jen rostoucí (nebo jen klesající) v celém Df, pak je prostá. f () h() g() funkce f() je prostá g() je prostá h() není prostá (je jen rostoucí) (je jen klesající) Rostoucí funkce Funkce f je rostoucí v množině M, právě kdž pro každé dva prvk 1, M platí: Je-li 1 f( 1 ). Tzn. s rostoucím roste. = f() f( ) f( 1 ) 0 1 je prostá Př. Dokažte podle definice, že funkce f : = 5 je funkce rostoucí. Důkaz : Předpokládejme f( 1 ) funkce je rostoucí

3 Klesající funkce Funkce f je klesající v množině M, právě kdž pro každé dva prvk 1, M platí: Je-li 1 f( 1 ). Tzn. s rostoucím klesá. f( 1 ) f( ) = f() 0 1 je prostá Př. Dokažte užitím definice, že funkce f : = 5 je funkce klesající. Důkaz : Předpokládejme 1.(-) změní se znaménko nerovnosti f( 1 ) funkce je klesající Neklesající funkce Funkce f je neklesající v množině M, právě kdž pro každé dva prvk 1, M platí: Je-li 1 f( 1 ). = f() f( 4 ) f( )=f( 3 ) f( 1 ) není prostá

4 Nerostoucí funkce Funkce f je nerostoucí v množině M,právě kdž pro každé dva prvk 1, M platí: Je.li 1 f( 1 ). f( 1 ) f( )=f( 3 ) f( 4 ) =f() není prostá Monotónní funkce: Funkce rostoucí, klesající, neklesající,nerostoucí se souhrnně nazývají funkce monotónní. Rze monotónní funkce: Funkce rostoucí a klesající se souhrnně nazývají funkce rze monotónní. Rze monotónní funkce (tzn. funkce jen rostoucí nebo jen klesající) je vžd prostá. Shora omezená funkce Funkce f je shora omezená v množině M, právě kdž eistuje na ose číslo h takové,že pro všechna M jsou funkční hodnot f( ) h. omezená jen shora,celkově není omezená

5 Zdola omezená funkce Funkce f je zdola omezená v množině M, právě kdž eistuje na ose číslo d takové, že pro všechna M jsou funkční hodnot f( ) d. omezená jen zdola, celkově není omezená Omezená funkce Funkce f je omezená v množině M, právě kdž je omezená v M současně shora i zdola. omezená shora i zdola, je omezená Maimum funkce Funkce f má v bodě a maimum, právě kdž pro všechna Df je f() f(a).

6 f(a) funkce má maimum v bodě a f() a Minimum funkce Funkce f má v bodě b minimum, právě kdž pro všechna Df je f() f(b). =f() f() f(b) funkce má minimum v bodě b b Sudá funkce Funkce je sudá, právě kdž zároveň platí: 1) Pro každé Df je také - Df. ) Pro každé Df je f(-) = f(). Jinými slov: Funkce se nazývá sudá, kdž: 1) pro každé z def.oboru eistuje číslo opačné z def.oboru ) pro každá dvě opačná čísla z def.oboru platí,že mají stejné funkční hodnot Graf sudé funkce je souměrný podle os. Př. Graf funkce = -1 Důkaz : f() = -1 f(-) = (-) -1 = -1 z toho plne f() = f(-)

7 Lichá funkce Funkce f je lichá, právě kdž zároveň platí:1) Pro každé Df je také Df. ) Pro každé Df je f( ) = f(). Jinými slov: Funkce se nazývá lichá, kdž: 1) pro každé z def.oboru eistuje opačné číslo z def.oboru ) pro každá dvě opačná čísla z def.oboru platí, že mají opačné funkční hodnot Graf liché funkce je souměrný podle počátku souřadnic O. Př. Graf funkce = 3 Důkaz : f() = 3 f( ) = ( ) 3 = 3 z toho plne f() = f( ), tj. f() = f( ) Periodická funkce Funkce f je periodická, právě kdž eistuje takové číslo p 0 (toto číslo p se nazývá perioda funkce), že pro každé k Z zároveň platí: 1) Je-li Df, pak kp Df. ) f( kp) = f(). Tzn., že se funkční hodnot po určité periodě opakují. Př. Funkce = sin hodnot funkce = sin se opakují po periodě, tj. asi 6,8.

8 Doporučeno: Vlastnosti funkcí test s řešením: Doporučeno: Video funkce: