Historie kombinatorických her
|
|
|
- Blanka Bártová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Historie kombinatorických her Nestranné hry Václav Vopravil Praha 11. dubna 2017 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
2 E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy: Winning Ways for your Mathematical Plays; 2ed. vol. 1-4, A. K. Peters Ltd., , ISBN , ISBN X, ISBN , ISBN J. H. Conway: On Numbers and Games, Academic Press, 2ed. 2001, ISBN Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
3 E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy: Winning Ways for your Mathematical Plays; 2ed. vol. 1-4, A. K. Peters Ltd., , ISBN , ISBN X, ISBN , ISBN J. H. Conway: On Numbers and Games, Academic Press, 2ed. 2001, ISBN D. E. Knuth: Surreal Numbers; How two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1974), vi+119 pp. ISBN , Illustrated by Jill C. Knuth; Czech translation by Helena Nešetřilová, Nadreálná čísla, in Pokroky Matematiky, Fyziky a Astronomie 23 (1978), 66 76, , , J. Cihlář, V. Vopravil: Hry a čísla (On Games and Numbers), PF UJEP Ústí nad Labem, 125 str., 1983, 1995, ISBN Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
![CONWAY John [1976], On Numbers](/docs-images/76/73509038/images/4-0.jpg "and Games, Londres, Academic")
4 CONWAY John [1976], On Numbers and Games, Londres, Academic Press Inc., 1976 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
5 CONWAY, John H., Über Zahlen und Spiele, Vieweg, (1983) EBBINGHAUS, Heinz-Dieter, et al., Numbers, Volume 123 of Graduate Texts in Mathematics (1990). (Translation of the German version Zahlen.) The Book of Number. By John Horton Conway and Richard K. Guy. Springer-Verlag, 1996, 320 SCHLEICHER Dierk, STOLL Michael, An Introduction to Conway s Games and Numbers, arxiv:math/ (2005) et Moscow Math Journal 6 2 (2006), FERGUSON Thomas S., Game Theory, Impartial Combinatorial Games (UCLA lecture), 2nd ed. (2014) tom/game Theory/comb.pdf Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
6 BERLEKAMP Elwyn et CONWAY John et GUY Richard, Winning Ways for your mathematical plays, Vol. 1-4, 2nd Edition, Wellesley (Massachusetts), A K Peters, Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
7 BERLEKAMP Elwyn et CONWAY John et GUY Richard, Winning Ways for your mathematical plays, Vol. 1-4, 2nd Edition, Wellesley (Massachusetts), A K Peters, E. R. Berlekamp, J. H. Conway, and R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays. Academic Press, 1982; Gewinnen: Strategien für mathematische Spiele, Vieweg, 1985 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
8 M. Albert, R. Nowakowski, D. Wolfe: Lessons in play: An introduction to combinatorial game theory, A K Peters, Ltd. / CRC Press, Natick, MA, 2007 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
9 A. Siegel: Combinatorial Games Theory, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 146, AMS 2013 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
10 16. stol. Nim, Fan Tan, Tsyan shidzi 1508 Luca Pacioli ekv. Nim(30;1 6) 1577 G. Cardano x nestranná hra 1612 C. G. Bachet Hra D. Schwenter 1694 J. Ozanam 1769 E. G. Guyot (Francie), Anglie: 1820 J. Badcock, 1821 J. Jackson 1901 C. L. Bouton Hra Nim 1902 H. E. Dudeney Kayles 1907 W. A. Wythoff Wythoffova královna (tsyan shidzi) 1910 E. H. Moore Mooreův Nim$_k$ 1912 E. Zermelo Zermelova věta (1913) 1914 S. Loyd Kayles 1931 E. Lasker Laskerův Nim 1935 R. P. Sprague Sprague Grundyova teorie nestranných her 1935 T. R. Dawson Dawsonovy šachy, betlové hry 1939 P. M. Grundy Sprague Grundyova teorie nestranných her (Matematika a hry), 1964 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
11 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
12 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
13 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
14 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
15 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
16 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. 6 Hra je bez náhodných prvků. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
17 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. 6 Hra je bez náhodných prvků. 7 V normální variantě hráč na tahu, který nemůže táhnout, prohrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
18 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. 6 Hra je bez náhodných prvků. 7 V normální variantě hráč na tahu, který nemůže táhnout, prohrál. 8 Hra skončí po konečně mnoha tazích (není dovolena nekonečná posloupnost tahů). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
19 Nestranné hry Nim Dva hráči střídavě odebírají sirky z několika hromádek. V jednom tahu je možno odebrat z libovolné hromádky libovolný počet sirek. (Existuje mnoho variant, kde jsou povoleny jiné tahy.) Kdo nemá tah, prohrál. Vim Máme několik řad černých a bílých koleček. Například. Hráči se střídají v tazích, v každém tahu hráč 1) vybere řádek 2) jako první vymění v řádku černé na bílé a může měnit všechna kolečka libovolně vpravo (bílé za černé nebo naopak). Hráč, který udělá poslední pravidly povolený tah, vyhrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
20 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
21 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
22 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. 3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
23 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. 3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem. 4 Hráč, který ve hře zahraje poslední pravidly povolený tah, vyhrál. Poslední hráč odebere poslední kámen a následující hráč již žádný pravidly povolenými tahy, nemůže kameny odebírat. (Jinak by porušil pravidla.) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
24 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. 3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem. 4 Hráč, který ve hře zahraje poslední pravidly povolený tah, vyhrál. Poslední hráč odebere poslední kámen a následující hráč již žádný pravidly povolenými tahy, nemůže kameny odebírat. (Jinak by porušil pravidla.) 5 Ve hře je vždy jeden z hráčů vítězem. (Ve hře nemůže nastat patová nebo remízová situace.) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
25 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
26 Tajemství hry Nim Nim je klasická hra, která jako první přilákala pozornost profesionálního matematika Ch. L. Boutona ( ), který také vyřešil a publikoval její teorii. Na počátku máme několik hromádek kamenů (nebo jiných předmětů). Hráč na tahu si vybere jednu hromádku a z ní odebere několik kamenů (odebere alespoň jeden kámen, ale může odebrat i celou hromádku). Hráči se v tazích střídají a hráč, který odebere poslední kámen, vyhrál a jeho soupeř prohrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
27 Tajemství hry Nim na jedné hromádce Máme-li pouze jednu hromádku, její analýza je jednoduchá: Pro každou neprázdnou hromádku, může hráč odebrat všechny kameny a vyhraje. Pokud hromádka je prázdná (bez kamenů), potom předcházející (previous) hráč má vyhrávající strategii. Výsledek je možné zapsat do tabulky: n výsledek P N N N N N Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
28 Tajemství hry Nim na dvou hromádkách Hra na dvou hromádkách není pro analýzu opět příliš složitá. Pokud hromádky mají různý počet kamenů, hráč na tahu (následující, next) může svým tahem dorovnat počty kamenů na obou hromádkách. Například, máme-li dvě hromádky o 4 a 6 kamenech (situaci reprezentuje uspořádaná dvojice Nim[4,6]), potom prvním dobrým tahem zanechat situaci Nim[4,4]. Nyní s každým tahem prvního hráče, druhý hráč může opět hromádky dorovnat v druhé hromádce (zanechá stejný počet kamenů). Typ této strategie se nazývá Tweedledum and Tweedledee. Charakteristiku pozic na dvou hromádkách lze zapsat takto: { P, je-li n = m Nim[n,m] = N, je-li n m. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
29 Tajemství hry Nim Pro tři a více hromádek je analýza již složitější. Budeme potřebovat zavést nové pojmy. Předně zavedeme tzv. nim součet dvou nezáporných celých čísel x,y zapsané ve dvojkové soustavě a sečteme jejich cifry modulo 2, tj. 0+0 = 0,0+1 = 1+0 = 1 a 1+1 = 0. Pro nim součet budeme používat značku. Např. uvažujme 5 7. Dostaneme: 5 = = Proto ve dvojkové soustavě dostaneme Součtem cifer modulo 2 dostaneme: Protože (010) 2 = 2, je 5 7 = 2. 5 = (101) 2 7 = (111) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
30 Tajemství hry Nim nim součet Nim součet má zajímavé vlastnosti: 1 je asociativní: x (y z) = (x y) z, 2 je komutativní: x y = y x, 3 má neutrální prvek 0: x 0 = 0 x = x 4 každé číslo je svým opačným prvkem, tj. x x = 0, 5 má vlastnost krácení: x y = z y x = z. Tato operace je důležitá, protože Bouton charakterizuje pozice v obecné hře Nim pomocí nim součtu počtu kamenů na jednotlivých hromádkách. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
31 Tajemství hry Nim Pokud budeme reprezentovat pozici n hromádek s x 1,x 2,...,x n jako Nim[x 1,x 2,...,x n ] dostaneme tento výsledek (charakteristiku pozic): Věta (Bouton, 1901) Pozice Nim[x 1,x 2,...,x n ] je P pozice právě tehdy a jen tehdy, je-li x 1 x 2 x n = 0. Poznamenejme, že toto tvrzení platí i pro jedno a dvouhromádkovou variantu hry Nim. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
32 Tajemství hry Nim Nyní je čas na příklady: Uvažujme hru Nim na 4 hromádkách v pozici Nim[3,5,7,9]. Musíme spočítat Protože 3 = (11) 2, 5 = (101) 2, 7 = (111) 2 a 9 = (1001) 2, dostaneme je = 8 0 a tedy pozice je N. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
33 Tajemství hry Nim Nyní je čas na příklady: Uvažujme hru Nim na 4 hromádkách v pozici Nim[3,5,7,9]. Musíme spočítat Protože 3 = (11) 2, 5 = (101) 2, 7 = (111) 2 a 9 = (1001) 2, dostaneme je = 8 0 a tedy pozice je N. Jediný vyhrávající tah je odebrat 8 kamenů z poslední hromádky, dostaneme Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
34 Pojďte, pane, budeme si hrát... Nim[2,3,4] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
35 Pojďte, pane, budeme si hrát... Nim[2,3,4] Amoves Bmoves Amoves Bmoves Amoves Blooses Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
36 Pojďte, pane, budeme si hrát... Nim[2,3,4] Amoves Bmoves Amoves Bmoves Amoves Blooses Nim[3,4,5] Nim[5,10,15] Nim[2,3,4,5,6] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
37 Pojďte, pane, budeme si hrát... Nim[2,3,4] Amoves Bmoves Amoves Bmoves Amoves Blooses Nim[3,4,5] Nim[5,10,15] Nim[2,3,4,5,6] Nim[20,35,41,62] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
38 Prolog Matematická teorie nestranných her začíná v roce 1901 (1902). Rámec předteorie je v renesanci. Základy teorie nalezneme v Evropě v rekreační matematice v Itálii 16. století. Luca Pacioli (asi ) a jeho Viribus Quantitatis (Síla a množství). V roce 1612 (první vydání) francouz Claude Gaspard Bachet ( ) přinesl mnoho aritmetických problémů, které nastínil Pacioli, ve své knize Problemes... (Problémy rozumu, které jsou podle čísel). Tato knížka putovala po cele Evropě během 17. století, měla odezvu v rekreační matematice v Německu, Itálii, Francii a v Anglii, najde se v 18. a 19. století. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
39 Prolog Matematická teorie nestranných her začíná v roce 1901 (1902). Rámec předteorie je v renesanci. Základy teorie nalezneme v Evropě v rekreační matematice v Itálii 16. století. Luca Pacioli (asi ) a jeho Viribus Quantitatis (Síla a množství). V roce 1612 (první vydání) francouz Claude Gaspard Bachet ( ) přinesl mnoho aritmetických problémů, které nastínil Pacioli, ve své knize Problemes... (Problémy rozumu, které jsou podle čísel). Tato knížka putovala po cele Evropě během 17. století, měla odezvu v rekreační matematice v Německu, Itálii, Francii a v Anglii, najde se v 18. a 19. století. Matematické rekreace jsou samy tak staré, jako je matematika sama. Rekreace se najdou již ve starých dokumentech, příklady lze nalézt v Rhindově papyrusu ( 1650 př.n.l.) nebo v babylonských tabulkách ( 1750 př.n.l.). Tenkrát byly rekreace integrální součástí matematiky, každá velká kultura přispěla k její historii. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
40 Prolog Bouton položil základ výzkumu v oblasti CGT. Analýza Nimu a jeho řešení, pokládání otázek a zobecňování výsledků. Tak například Moore (Nim k ) může se odebírat i nejvíce z k hromádek současně. Emanuel Lasker ( ) přinesl v roce 1931 novou variantu, zobecnění Nimu. Matematici R. Sprague ( ) a P. Grundy ( ) nezávisle zobecnili výsledky ( ) pomocí SG věty, která redukuje výsledek každé nestranné hry na nějakou konfiguraci Boutonovy hry Nim. S tímto výsledkem se CGT stává obecnou a abstraktní. Později (1982) vychází [WW], která se stává referenční knížkou, obsahuje doporučení pro hraní her a jejich analýzy. Před tím ještě vychází [ONAG] (Conway *1937) v roce 1976 teorie nadreálných čísel a ukazuje analogii mezi čísly a hrami. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
41 Luca Pacioli (Itálie, 1508) Fra Luca Bartolomeo de Pacioli ( ) PACIOLI Luca, De Viribus Quantitatis, 1508 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
42 Luca Pacioli (Itálie, 1508) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
43 Luca Pacioli (Itálie, 1508) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
44 Pacioli nepodává žádná vysvětlení a tím i obecnou metodu pro řešení jakékoliv podobné úlohy. (Zpětná indukce.) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
45 Pacioli nepodává žádná vysvětlení a tím i obecnou metodu pro řešení jakékoliv podobné úlohy. (Zpětná indukce.) V 16. století chybí vhodná symbolika reprezentovat neznámou a psát rovnice. Nebylo možné nalézt obecné řešení, každý případ byl řešen (analyzován) nezávisle bez vzorce. Nicméně celá staletí s použitím aritmetiky matematikové dosahují pozoruhodných výsledků. Vznikají důmyslné metody k řešení příkladů, které bychom řešil dnes algebrou. Rekreační problémy a triky jsou předávány ústně dlouho před tiskem první knihy. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
46 Gerolamo Cardano (Itálie, 1577) Gerolamo Cardano ( ) CARDANO Gerolamo, Practica arithmetice et mensurandi singularis, Milan, 1577 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
47 Gerolamo Cardano (Itálie, 1577) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
48 Claude-Gaspard Bachet (Francie, 1612) Claude Gaspard Bachet de Méziriac ( ) 1 BACHET Claude-Gaspard, Problemes plaisans et delectables, qui se font par les nombres, Lyon, 1ere édition, BACHET Claude-Gaspard, Problemes plaisans et delectables, qui se font par les nombres, Lyon, 2eme édition, 1624 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
49 Claude-Gaspard Bachet (Francie, 1612) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
50 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
51 Claude-Gaspard Bachet (Francie, 1612) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
52 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
53 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
54 Daniel Schwenter (Německo, 1636) Daniel Schwenter ( ) SCHWENTER Daniel, Deliciae Physico-Mathematicae, Nuremberg, 1636 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
55 Daniel Schwenter (Německo, 1636) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
56 Daniel Schwenter (Německo, 1636) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
57 Daniel Schwenter (Německo, 1636) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
58 Jacques Ozanam (Francie, 1694) Jacques Ozanam ( ) OZANAM Jacques, Récréations mathématiques et physiques, Qui contiennent les Problemes et les Questions les plus remarquables, et les plus propres a piquer la curiosité, tant des Mathématiques que de la Physique ; le tout traité d une maniere a la portée des Lecteurs qui ont seulement quelques connaissances légeres de ces Sciences, Paris, 1778 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
59 Jacques Ozanam (Francie, 1694) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
60 Matematické rekreace Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
61 Matematické rekreace Edme Gilles Guyot (Francie, 1769) John Badcock (Anglie, 1820) John Jackson (Anglie, 1821) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
62 Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
63 Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
64 Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
65 Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů. První stopy hry Nim jsme objevili, abychom lépe porozuměli původu kombinatorických her, které jsou na křižovatce čistě zábavné hry a výchovné problémy, jejichž řešení vyžaduje jisté matematické znalosti. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
66 Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů. První stopy hry Nim jsme objevili, abychom lépe porozuměli původu kombinatorických her, které jsou na křižovatce čistě zábavné hry a výchovné problémy, jejichž řešení vyžaduje jisté matematické znalosti. Hry a matematické hádanky zaujaly lidi celá staletí. Lidská fascinace záhadných problémů je universální. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
67 Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů. První stopy hry Nim jsme objevili, abychom lépe porozuměli původu kombinatorických her, které jsou na křižovatce čistě zábavné hry a výchovné problémy, jejichž řešení vyžaduje jisté matematické znalosti. Hry a matematické hádanky zaujaly lidi celá staletí. Lidská fascinace záhadných problémů je universální. Boutonovým přístupem se objeví netriviální řešení, je algoritmizovatelné, umožňuje použít na více možností, zobecnění...tato teorie nemohla být dříve, vzhledem k velmi omezenému vývoji algebry a absence abstraktní a obecné teorie struktur matematiky. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
68 Článek Ch. Boutona (1901) se stal milníkem v historii kombinatorických her. Hra Nim se stává předmětem vážného studia matematiky, dovoluje různé alternativy. Od aritmetického řešení se ustupuje směrem k vítězné strategii. Hra Nim ale nezmizí z rekreační matematiky, ihned se objevuje hra Kayles Sam Loyd ( ) a Henry Dudeney ( ). Studium je završeno na konci 30. let tzv. Sprague Grundyovou větou: Každá nestranná hry (hra typu Nim) je ekvivalentní hře Nim na jedné hromádce. V padesátých letech Richard Guy a Cederic Smith řeší oktalové hry. Od roku vzniká [WW] a teorie dosáhla svého vrcholu v roce 1976 [ONAG] v teorii nadreálných čísel Johna Hortona Conwaye. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
69 Článek Ch. Boutona (1901) se stal milníkem v historii kombinatorických her. Hra Nim se stává předmětem vážného studia matematiky, dovoluje různé alternativy. Od aritmetického řešení se ustupuje směrem k vítězné strategii. Hra Nim ale nezmizí z rekreační matematiky, ihned se objevuje hra Kayles Sam Loyd ( ) a Henry Dudeney ( ). Studium je završeno na konci 30. let tzv. Sprague Grundyovou větou: Každá nestranná hry (hra typu Nim) je ekvivalentní hře Nim na jedné hromádce. V padesátých letech Richard Guy a Cederic Smith řeší oktalové hry. Od roku vzniká [WW] a teorie dosáhla svého vrcholu v roce 1976 [ONAG] v teorii nadreálných čísel Johna Hortona Conwaye. Hra Nim se stává objektem seriózního matematického výzkumu. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
70 Charles Leonard Bouton (1901) Charles Leonard Bouton ( ) BOUTON Charles, Nim, A Game with a Complete Mathematical Theory, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 3, No. 1/4, ( ), pp Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
71 Charles Leonard Bouton (1901) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
72 Charles Leonard Bouton (1901) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
73 W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) Willem Abraham Wythoff ( ) WYTHOFF Willem, A Modification of the Game of Nim, Nieuw Archief voor Wiskunde, 2e Reeks VI, ( ), pp Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
74 W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
75 W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) { } { } 1 1 E 2 k(1+ 5), E 2 k(3+ 5) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
76 W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
77 W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) x n = nϕ ϕ = y n = nϕ 2 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
78 W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) 1 1 Half a century later (around 1960) and unaware of this, the mathematician Rufus P. Isaacs (of Johns Hopkins University) gave another description of the same game in terms of the moves of a chess queen allowed only to travel south and/or west [the heap sizes are the queen s cartesian coordinates, both of which are zero when the queen is at the chessboard s southwest corner]. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
79 W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
80 Wilhelm Ahrens (1910) AHRENS, Wilhelm ( ) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
81 Danzinger Zeitung (1907) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
82 E. H. Moore (1910) Eliakim Hastings Moore ( ) MOORE Eliakim, A Generalization of the Game Called Nim, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 11, No. 3, avril 1910, pp Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
83 E. H. Moore (1910) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
84 Le Rip Van Winkle Puzzle (1914), The Game of Kayles (1907) Samuel Loyd ( ), Henry Ernest Dudeney ( ) DUDENEY Henry [1907] 2, The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems, a l adresse suivante (2nde édition, Thomas Nelson and sons, LTD, London, Edimbourg, New York, 1919) LOYD Samuel, Cyclopedia of Puzzles, New York, The Lamb Publishing Company, , The Weekly Dispatch Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
85 Samuel Loyd Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
86 Henry Ernest Dudeney Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
![DUDENEY Henry [1907] Václav Vopravil](/docs-images/76/73509038/images/87-0.jpg "(Praha) Historie CGT 11.")
87 DUDENEY Henry [1907] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
![DUDENEY Henry [1907] Václav Vopravil](/docs-images/76/73509038/images/88-0.jpg "(Praha) Historie CGT 11.")
88 DUDENEY Henry [1907] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
89 Cyclopedia of Puzzles, Samuel Loyd Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
90 Hraje se jako na obrázku, 3 hráč na tahu položí buď jednu nebo dvě sousedící figurky. Hráči se střídají a vyhraje hráč, který položí poslední figurku. Který hráč vyhraje? 3 Sam Loyd s Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks, and Conundrums, Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
91 Kayles Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
92 Kayles Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
93 Kayles Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
94 Kayles Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
95 Emanuel Lasker (1931) Emanuel Lasker ( ) LASKER Emanuel, Brettspiele der Völker, Berlin, August Scherl, str , 1931 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
96 Emanuel Lasker (1931) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
97 Laskerův Nim (1931) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
98 Roland Sprague (1935) Roland Sprague ( ) SPRAGUE Roland, Über mathematische Kampfspiele, Tôhoku Mathematical Journal, Vol. 41, 1935/36, pp Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
99 Patrick Grundy (1939) GRUNDY Patrick, Mathematics and Games, Eureka, No. 2, mai 1939, pp. 6-8 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
100 Patrick Grundy (1939) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
101 Claude Jacques Berge, Francie, 1958 Claude Berge ( ) BERGE Claude, Théorie des graphes et de ses applications, Paris, Dunod, 2nde édition, 1967 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
102 Dawson s Chess (1935) Thomas Rayner Dawson ( ) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
103 Dawsonovy šachy (1935) Úloha (Dawsonovy šachy a ) Na šachovnici 3 n jsou pěšci, jako na obrázku. Pěšci chodí stejně jako v šachu, braní figurek je povinné. Kdo nemůže táhnout a) vyhrál b) prohrál. Který z hráčů vyhraje v závislosti na n? (Dawsonovy šachy II) Hraje se na pásku čtverečků, které nejsou zpravidla obsazené znaky. Hráči se pravidelně ve svých tazích střídají, každým svým tahem umístí znak X na nějaký dosud prázdný čtvereček. Omezení pro tah je, že hráč, který je na tahu, nemůže znak X položit bezprostředně vedle již položeného znaku. Hráč, který udělal poslední tah, vyhrál. a Caissa s Wild Roses (1935), republished in Five Classics of Fairy Chess by Dover (1973), Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
104 Je ještě nekonečně mnoho tvrzení, která jsou třeba ověřit, ale máme jen konečně mnoho času... (D. Knuth) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
105 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
106 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
107 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna / 76
Conwayova teorie na příkladu hry Snort
Conwayova teorie na příkladu hry Snort Václav Vopravil Budeme hrát specifické hry, které nazýváme kombinatorické. Stručně takové hry jsou charakterizovány takto:. Hru hrají dva hráči. Tito hráči jsou tradičně
Historie kombinatorických her
Historie kombinatorických her Václav Vopravil Praha vopravilv@post.cz 20. října 2015 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října 2015 1 / 13 E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy: Winning Ways for
Conwayova teorie na příkladu hry Domino
1 Conwayova teorie na příkladu hry Domino D R A F T 1.0.1 Vlastnosti her Všechny hry, které zde budeme zkoumat, jsou kombinatorické hry. Kombinatorické hry (dále jen hry) mají následující vlastnosti: 1.
Kombinatorické hry. Michal Bulant. Masarykova univerzita. Ústav matematiky a statistiky
Kombinatorické hry Michal Bulant Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky 2. 9. 2008 Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry 2. 9. 2008 1 / 51 Obsah přednášky 1 Hry
Abstrakt. V příspěvku se budeme zabývat kombinatorickými hrami s úplnou informací
Teorie her Viki Němeček Abstrakt. V příspěvku se budeme zabývat kombinatorickými hrami s úplnou informací pro dva hráče. Vysvětlíme si základní pojmy, zahrajeme si několik jednodušších her a naučíme se
Kombinatorické hry. Michal Bulant. Masarykova univerzita. Ústav matematiky a statistiky
Kombinatorické hry Michal Bulant Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky 7. 3. 2011 Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry 7. 3. 2011 1 / 59 Obsah přednášky 1 Hry
Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru
Teorie her a ekonomické rozhodování 4. Hry v rozvinutém tvaru 4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících
Václav Vopravil. (a) Hra má několik (zpravidla konečný) počet pozic. Jedna z těchto pozic se nazývá
Hry a strategické myšlení Václav Vopravil Kombinatorickými hrami budeme rozumět hry dvou hráčů (hráči se tradičně označují Levý a pravý, bílý a černý,..., stručně L a R hráč), které splňují následující
Fibonacciho čísla na střední škole
Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods
Úvod do kombinatorické teorie her
Úvod do kombinatorické teorie her Lucie Mohelníková Lucka.Mohelnikova@gmail.com Lucie Mohelníková Úvod do kombinatorické teorie her 1 / 21 P ehled 1 Úvod 2 Základní typy her 3 Teorie okolo pi²kvorek 4
Legendary Inventors. Komponenty. 20 karet vynálezců a 33 startovních žetonů znalostí:
Legendary Inventors Cíl hry V průběhu hry se hráči budou podílet na tvorbě vynálezů a získávat patenty, aby získali co nejvíce vítězných bodů a stali se nejúspěšnějším týmem vynálezců, které kdy poznal
Úvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková
Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková Abstrakt Předložený text Úvod do teorie her pokrývá čtyři nejdůležitější, vybrané kapitoly z této oblasti. Nejprve je čtenář seznámen s předmětem studia
ODDVILLE hra pro 2 4 hráče od 10 let
ODDVILLE hra pro 2 4 hráče od 10 let Obsah hry: 64 karet budov/mincí 1 karta startovního náměstí 16 karet dělníků (4 od barvy) 36 figurek (9 od barvy) 1 deska zdrojů 12 karet postav (3 od jené gildy) Hráči
TGH13 - Teorie her I.
TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2014, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a,
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Historie matematiky a informatiky
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A
Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy
V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací),
L i t e r a t u r a [1] Calábek, P. Švrček, J.: Úvod do řešení funkcionálních rovnic. MFI, roč. 10 (2000/01), č. 3. [2] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc., 1998. [3]
označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics
Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních
Teorie her(povídání ke čtvrté sérii)
Teorie her(povídání ke čtvrté sérii) Je velice obtížné definovat obecně, co je to hra. Navíc tento pojem intuitivně chápeme. Budeme se zabývat takovými hrami jako jsou šachy nebo pišqorky hrami dvou hráčů,
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
O dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald
Zlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079
Rekurentní rovnice, strukturální indukce
, strukturální indukce Jiří Velebil: Y01DMA 23. února 2010: Strukturální indukce 1/19 Backusova-Naurova forma Například syntaxe formuĺı výrokové logiky kde a At. Poznámky 1 Relaxace BNF. ϕ ::= a tt (ϕ
Rekurentní rovnice, strukturální indukce
Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
59. ročník Matematické olympiády 2009/2010
59. ročník Matematické olympiády 2009/2010 Úlohy ústředního kola kategorie P 1. soutěžní den Na řešení úloh máte 4,5 hodiny čistého času. Řešení každé úlohy pište na samostatný list papíru. Při soutěži
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
O dynamickém programování
O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801
Úvod do teorie her ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ
ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková OSNOVA Úvod (hra n hráčů ve strategickém
Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací
Teorie her a ekonomické rozhodování 7. Hry s neúplnou informací 7.1 Informace Dosud hráči měli úplnou informaci o hře, např. znali svou výplatní funkci, ale i výplatní funkce ostatních hráčů často to tak
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co
Aritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 12 Diofantovské rovnice O čem budeme hovořit: Lineární neurčité rovnice a jejich řešení Diofantovské rovnice a jejich řešení Začněme
Jakhrátavyhrát Robert Šámal
Jakhrátavyhrát Robert Šámal V přednášce si ukážeme efektivní způsob, jak analyzovat hry. U jednodušších her objevíme úplnou strategii, tj. postup, jak o každé pozici poznat, kdo vyhraje a jak má správně
DIDAKTICKÁ BINÁRNÍ HRA
DIDAKTICKÁ BINÁRNÍ HRA THE DIDACTIC BINARY GAME MARIE TOMANOVÁ Resumé Tato hra si klade za cíl podpořit výuku binární soustavy, se kterou se žáci základních škol a nižších stupňů gymnázií setkají v informatice,
Statistická teorie učení
Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální
TEORIE HER
TEORIE HER 15. 10. 2014 HRA HRA Definice Hra je činnost jednoho či více lidí, která nemusí mít konkrétní smysl, ale přitom má za cíl radost či relaxaci. HRA Definice Hra je činnost jednoho či více lidí,
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce.
Kapitola 7 Limita funkce V této kapitole budeme studovat pojem ita funkce, který lze zařadit mezi základní pojmy matematiky, speciálně pak matematické analýzy Využití ity funkce je široké Pomocí ity lze
Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
KOLÉBKA RENESANCE. (Die Wiege der Renaissance)
KOLÉBKA RENESANCE (Die Wiege der Renaissance) Hanno Kuhn Wilfried Kuhn Počet hráčů: 2-4 Věk: od 12 let Délka hry: 45-60 min Herní materiál 36 historických událostí Poznámka: Texty událostí mají různou
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Cvičení Programování I. Stručné poznámky ke cvičení ze
Cvičení Programování I Cvičící: Pavel urynek, KIM, pavel.surynek@seznam.cz emestr: Zima 2005/2006 Kroužek: Matematika/59 Rozvrh: Pátek 10:40-12:10 (učebna K2) tručné poznámky ke cvičení ze 14.10.2005 1.
Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů
Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY PETROHRADSKÝ PARADOX TEREZA KIŠOVÁ 4.B 28.10.2016 MOTIVACE: K napsání této práce mě inspiroval název tématu. Když jsem si o petrohradském paradoxu zjistila nějaké informace
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy
Oceňování finančních derivátů ve spojitém čase Václav Kozmík Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy 4. 10. 2010 Úvod Stochastický kalkulus Wienerův proces stochastické procesy Itoovo lemma změna
Základy umělé inteligence
Základy umělé inteligence Hraní her (pro 2 hráče) Základy umělé inteligence - hraní her. Vlasta Radová, ZČU, katedra kybernetiky 1 Hraní her (pro dva hráče) Hraní her je přirozeně spjato s metodami prohledávání
Úvod do teorie her
Úvod do teorie her. Formy her a rovnovážné řešení Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 208 ÚTIA AV ČR Program. Definujeme 2 základní formy pro studium různých her: rozvinutou, strategickou. 2.
Teorie her a ekonomické rozhodování. Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her
Teorie her a ekonomické Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her Úvodní informace Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Místnost: 433 NB Konzultace: Středa 6:30 7:30, 19:30 20:30 Čtvrtek E-mail: jana.seknickova@vse.cz
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný
Návody k domácí části I. kola kategorie C
61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x
13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
Úvodní poznámky a literatura. Robotika. Úvodní poznámky a literatura. Vladimír Smutný. Centrum strojového vnímání
a literatura Robotika Úvodní poznámky a literatura Vladimír Smutný Centrum strojového vnímání Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky (CIIRC) České vysoké učení technické v Praze Tyto podklady
Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013. Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze
Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze Co je matematika? Obor, který se hojně používá v dalších oborech
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Aritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 3. Soustavy číselné In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 12 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403031
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Hra Nim a její varianty
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Kurz Vyučování všeobecně vzdělávacího předmětu matematika Mgr. Kristýna Kuncová Hra Nim a její varianty Konzultant závěrečné práce:
UPPAAL příklady. Jiří Vyskočil 2010
UPPAAL příklady Jiří Vyskočil 2010 Hra NIM Někdy se také označuje jako odebírání zápalek (existuje velké množství variant této hry). Hra dvou hráčů Na začátku si oba hráči stanoví počet zápalek, se kterými
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
nad obecným tělesem a lineární kombinace Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 1.10.2015: 1/20 nad obecným tělesem Co
Úlohy krajského kola kategorie C
6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé
Matematika v proměnách věků. IV
Matematika v proměnách věků. IV Martina Jarošová Souvislost Fibonacciho čísel s jinými matematickými pojmy In: Eduard Fuchs (editor): Matematika v proměnách věků. IV. (Czech). Brno: Akademické nakladatelství
Mikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 1 Teorie her pro manažery Obsah 5.1 Teorie her jako součást mikroekonomie 5.2 Základní pojmy teorie
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma V.2.1 Posloupnosti a finanční matematika
Čtvercové, krychlové a teseraktové minipiškvorky
Čtvercové, krychlové a teseraktové minipiškvorky strategie hry Mgr. Michal Musílek červen 2006 1 Pravidla hry minipiškvorky Minipiškvorky jsou zjednodušená verze piškvorek, která se hraje v omezeném prostoru
VŠB Technická Univerzita Ostrava. Teorie her. studijní opora. Zdeněk Sawa
VŠB Technická Univerzita Ostrava Teorie her studijní opora Zdeněk Sawa Verze: 24. září 2015 ii Obsah 1 Úvod 1 1.1 Tutoriályasamostatnáprácestudentů.... 1 1.2 Podmínkyudělenízápočtu.... 1 1.3 Podmínkyvykonánízkoušky...
Dva kompletně řešené příklady
Markl: Příloha 1: Dva kompletně řešené příklady /TEH_app1_2006/ Strana 1 Dva kompletně řešené příklady Úvod V této příloze uvedeme úplné a podrobné řešení dvou her počínaje jejich slovním neformálním popisem
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
ANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Matematika IV 10. týden Kódování
Matematika IV 10. týden Kódování Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 26. 4. 2013 Obsah přednášky 1 (n, k) kódy 2 Polynomiální kódy 3 Lineární kódy Kde je dobré číst? připravovaná učebnice
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Dokumentace programu piskvorek
Dokumentace programu piskvorek Zápočtového programu z Programování II PRM045 Ondřej Vostal 20. září 2011, Letní semestr, 2010/2011 1 Stručné zadání Napsat textovou hru piškvorky se soupeřem s umělou inteligencí.
Teorie her. (ii) pouze triomina typu L:? 1 Ořechynelzejístpočástech.Např.zbývá-li11ořechů,sníhráč1,2nebo3kusy.
½º Ö ÐÓ ½º ÐÓÚ Ö Teorie her ÐÓ ¾º ÐÓ º Ì ÖÑ ÒÓ Ð Ò ºÔÖÓ Ò ¾¼½¾ ( Ó ) ( Ó ) Vkošíkuje17ořechů.MíšasFilipemsepravidelněstřídajívtazích,začínáMíša.Vkaždém tahusníhráčminimálnějedenořechamaximálnětřetinu 1
Habermaaß-hra 3616A /4717N. Zvířecí pyramida karetní hra
CZ Habermaaß-hra 3616A /4717N Zvířecí pyramida karetní hra Zvířecí pyramida karetní hra Rozechvělá hra pro 2-4 hráče ve věku od 5 do 99 let. Obsahuje dvě herní varianty. Autor: Ilustrace: Poskytovatel
B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
Laser game. Návod ke hře. Manual ver. 1.1
Laser game Návod ke hře Manual ver. 1.1 Praha 01/2010 Khet je zábavná a snadno pochopitelná hra, protože se všemi figurami se na rozdíl od šachů pohybuje stejným způsobem. Cílem hry je osvětlení, zasažení
Koaliční hry. Kooperativní hra dvou hráčů
Koaliční hry Obsah kapitoly. Koalice dvou hráčů 2. Koalice N hráčů Studijní cíle Cílem tohoto tematického bloku je získání základního přehledu o kooperativních hrách a jejich aplikovatelnosti. Student
1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
Mikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2013 Téma 4 Teorie her pro manažery Obsah 5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní
Základy algoritmizace 4. Problémy, algoritmy, data
Jiří Vokřínek, 2015 B6B36ZAL - Přednáška 4 1 Základy algoritmizace 4. Problémy, algoritmy, data doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze
becvar
Jindřich Bečvář Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Banská Bystrica, 11. října 2016 becvar@karlin.mff.cuni.cz www.karlin.mff.cuni.cz/ becvar www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm
Minkowského operace. Použití. Světlana Tomiczková. Rozmisťování Robot Motion Planning Offset Optics. Pojmy:
Minkowského operace Hermann Minkowski Narodil se 22. 6. 1864. Studoval na univerzitách v Berlíně a Königsbergu. Učil na univerzitách v Bonnu, Königsbergu and Zurichu. V Zurichu byl jeho studentem A. Einstein.