Minkowského operace. Použití. Světlana Tomiczková. Rozmisťování Robot Motion Planning Offset Optics. Pojmy:

Transkript

1 Minkowského operace Hermann Minkowski Narodil se Studoval na univerzitách v Berlíně a Königsbergu. Učil na univerzitách v Bonnu, Königsbergu and Zurichu. V Zurichu byl jeho studentem A. Einstein. V roce 1907 Minkowski pochopil, že práce Lorentze and Einsteina budou lépe pochopitelné v neeuklidovském prostoru. Jeho hlavní práce v tomto oboru jsou Raum und Zeit (1907) and Zwei Abhandlungen über die Grundgleichungen der Elektrodynamik (1909). Minkowski se zabýval hlavně čistou matematikou a věnoval mnoho času zkoumání kvadratických forem a continued fractions. Jeho nejoriginálnějším činem byla 'geometry of numbers'. Toto studium vedlo k práci o konvexních objektech a k otázkám okolo packing problems. Zemřel 12. ledna Použití Rozmisťování Robot Motion Planning Offset Optics Rozmisťování Strojírenský průmysl Oděvní průmysl Obuvnický průmysl Pojmy: Containment problem Packing problem Nesting problem Compaction Pálící programy 3 4 1

2 Robot Motion Planning Work space Configuration space Forbidden space Free space Offset Ekvidistantu hraniční křivky oblasti A lze vyjádřit pomocí Minkowského sumy oblasti A a kruhu S d se středem v počátku a poloměrem d. 5 6 Optika Minkowského součin můžeme využít při hledání křivky nebo plochy, která se nazývá anticaustica. Minkowského suma (Minkowski sum) 7 8 2

3 Vlastnosti Minkowského sumy 9 10 Použití pro rozmisťování a pohyb Algoritmy pro výpočet Minkowského sumy ve 2D - Naivní pro konvexní mnohoúhelníky. 1. Součet polohových vektorů vrcholů mnohoúhelníků A a B. 2. Konvexní obal mn bodů. 3. Výpočetní složitost O(mnlog(mn))

4 Algoritmy pro výpočet Minkowského sumy ve 2D - pro konvexní mnohoúhelníky. 1. Suma konvexních mnohoúhelníků je konvexní mnohoúhelník. 2. Vrcholy sumy jsou součty vrcholů. 3. Pořadí vrcholů a hran pomocí odchylek hran původních mnohoúhelníků od pevné přímky. 4. Složitost O(m+n). Algoritmy pro výpočet Minkowského sumy ve 2D- pro nekonvexní množiny. Množiny aproximujeme mnohoúhelníky P, Q. Mnohoúhelníky P, Q rozdělíme na sjednocení disjunktních konvexních množin P i, Q j. Vypočítáme Minkowského sumy všech dvojic P i, Q j. Sjednocení výsledných sum. Složitost O(m 2 n 2 ) Konvoluce (convolution) Minkowského rozdíl podle autorů R. Farouki, H. P. Moon a B. Ravani Minkowského suma: Minkowského rozdíl:

5 Minkowského rozdíl podle Zhenyu Li Minkowského rozdíl: Formulace podmínky umístění jedné množiny do druhé Minkowského rozdíl (Minkowski difference)

6 Operace Minkowského rozdíl je inverzní operací (vratná) k Minkowského sumě Příklad: Formulace podmínky umístění jedné množiny do druhé: Problém Minkowského rozdílu Minkowského součin (Minkowski product)

7 Násobení bodem Násobení dvou přímek Důkaz Úpatnice a inverzní úpatnice Pomocí násobení jednoprvkovou množinou transformujeme obě přímky do svislých přímek procházejících bodem [1, 0], tj. A={[1,t], t R}, B={[1,s], s Ρ}. Vynásobením B bodem ležícím na A, dostaneme otočenou přímku B, která je kolmá na přímku určenou body [0,0],[1,t]. Rovnice přímky B je x + ty - t 2 1 = 0 Jednoparametrická soustava přímek Φ(x,y,t): x + ty - t 2 1 = 0. Derivací a eliminací t dostaneme obálku této soustavy, tj. parabolu y 2 = 4( 1 - x ) vrchol [1,0], ohnisko [0,0]

8 Násobení křivky a přímky Příklad: Násobení kružnice a přímky Minkowského operace v E 3 (Minkowski operation in E 3 )

9 Proč kvaterniony? Komplexní čísla nemůžeme rozšířit do E 3. Nemůžeme vytvořit algebru dimenze 3 bez dělitelů nuly. Kvaterniony tvoří algebru. Pomocí součinu kvaternionů můžeme vyjádřit otočení. Související témata: Definice dalších operací jako mocniny, odmocniny, konvoluce a akci. Algoritmy. Vlastnosti těchto operací z hlediska algebraického i geometrického. Operace v E 3. Aplikace těchto operací v geometrii (nové způsoby vytvoření křivek a ploch) a v technické praxi (rozmisťování, optika). V dostupné literatuře jsou algoritmy a aplikace Minkowského operací pro lomené čáry a kuželosečky. Zajímavou možností další práce je i otázka spline a NURBS objektů v souvislosti s Minkowského operacemi asi nelze. Blaschke sum Literatura Děkuji za pozornost Daniels, Karen McIntosh; Zhenyu Li; Milenkovic, Viktor J.: Multiple Containment Methods. Technical Report TR Center for Research in Computing Rechnology, Harvard University, Cambridge, Farouki, Rida T.; Moon, H. P.; Ravani, B: Minkowski geometric algebra of complex sets. Geometriae Dedicata 85: , Farouki, Rida T.: Minkowski Combinations of Complex Sets. Curve and SurfaceFitting. Saint-Malo de Berg, Mark; van Kreveld, Marc; Overmars, Mark; Schwarzkopf, Otfried: Computational geometry. Algorithms and applications. Berlin: Springer Verlag ISBN