Historie kombinatorických her

Transkript

1 Historie kombinatorických her Václav Vopravil Praha 20. října 2015 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

2 E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy: Winning Ways for your Mathematical Plays; 2ed. vol. 1-4, A. K. Peters Ltd., , ISBN , ISBN X, ISBN , ISBN J. H. Conway: On Numbers and Games, Academic Press, 2ed. 2001, ISBN Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

3 E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy: Winning Ways for your Mathematical Plays; 2ed. vol. 1-4, A. K. Peters Ltd., , ISBN , ISBN X, ISBN , ISBN J. H. Conway: On Numbers and Games, Academic Press, 2ed. 2001, ISBN D. E. Knuth: Surreal Numbers; How two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1974), vi+119 pp. ISBN , Illustrated by Jill C. Knuth; Czech translation by Helena Nešetřilová, Nadreálná čísla, in Pokroky Matematiky, Fyziky a Astronomie 23 (1978), 66 76, , , J. Cihlář, V. Vopravil: Hry a čísla (On Games and Numbers), PF UJEP Ústí nad Labem, 125 str., 1983, 1995, ISBN Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

4 Awari, Kalah, Uri, Sanet, Go... Mlýn 16. stol. NIM, Fan Tan, Tsyan shidzi 1508 Luca Pacioli Nim(30;1 6) 1612 C. G. Bachet Hra C. L. Bouton Hra Nim 1902 H. E. Dudeney Kayles 1907 W. A. Wythoff Wythoffova královna (tsyan shidzi) 1910 E. H. Moore Mooreův Nim$_k$ 1912 E. Zermelo Zermelova věta (1913) 1914 S. Loyd Kayles 1931 E. Lasker Laskerův Nim 1935 R. P. Sprague Sprague Grundyova teorie nestranných her 1935 T. R. Dawson Dawsonovy šachy, betlové hry 1937 R. P. Sprague Nim na schodech 1939 P. M. Grundy Sprague Grundyova teorie nestranných her (Matematika a hry), 1964 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

5 1940 Nimatron Nimrod (1951) 1942 P. Hein Hex 1948 J. Nash Hex 1949 R. K. Guy Řešení Dawsonových šachů 1952 C. P. Welter Welterova hra 1952 F. Schuh Chomp! 1953 J. Milnor Součtové hry bez porovnání 1954 G. Mott Smith Hra P. M. Grundy a C. A. B. Smith Disjunktivní hry 1956 R. K. Guy a C. A. B. Smith Dawsonovy šachy, betlové a oktalové hry 1959 O. Hanner Poziční hry 1960 S. Loyd Rip Van Winkle s Game, Kayles, The Canterbury Puzzles, Problem No C. Berge Teorie grafů a jejich aplikace 1962 A. Resnais film Vloni v Marienbadu 1969 A. J. Cole, A. J. T. Davie Euklidova hra Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

6 1974 D. E. Knuth Nadreálná čísla, cz D. Gale Chomp! (Divisor Game) 1976 J. H. Conway On Numbers and Games, B. Kummer Hry na grafech 1985 N. Allign axiómatický přístup, 87, vektorový prostor 1986 H. Gonshorn nerekurzivní přístup, J. Nowakowski Hry bez náhody 1991 R. Gasser Mlýn 1994 J. Nowakowski Hry bez náhody 1998 T. Ferguson Odeber a rozděl 2003 Romein, Bal Awari 2005 M. Stoll, D. Schleicher Úvod do Conwayových her a čísel 2006 Fraenkel Seznam literatury (Dynamic Survey) 2007 M. H. Albert, R. J. Nowakowski, D. Wolfe Lesson in Play (LIP) 2007 Schaffer Checkers 2008 J. Nowakowski Hry bez náhody Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

7 2008 R. K. Guy Neřešené problémy CGT 2008 J. Nowakowski Historie CGT 2008 Tromp Spoj E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy Winning Ways for your Math. Players ( ), WW P. M. Grundy betlové hry C. A. B. Smith betlové hry T. Plambeck betlové hry A. Siegel betlové hry Shanon prvočíselný Nim 2013 A. Siegel Nadreálná čísla, CGSuite Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

8 Hraje se jako na obrázku, 1 hráč na tahu položí buď jednu nebo dvě sousedící figurky. Hráči se střídají a vyhraje hráč, který položí poslední figurku. Který hráč vyhraje? 1 Sam Loyd s Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks, and Conundrums, Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

9 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

10 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

11 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

12 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

13 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

14 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

15 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

16 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. 6 Hra je bez náhodných prvků. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

17 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. 6 Hra je bez náhodných prvků. 7 V normální variantě hráč na tahu, který nemůže táhnout, prohrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

18 Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. 6 Hra je bez náhodných prvků. 7 V normální variantě hráč na tahu, který nemůže táhnout, prohrál. 8 Hra skončí po konečně mnoha tazích (není dovolena nekonečná posloupnost tahů). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

19 Nim Dva hráči střídavě odebírají sirky z několika hromádek. V jednom tahu je možno odebrat z libovolné hromádky libovolný počet sirek. (Existuje mnoho variant, kde jsou povoleny jiné tahy.) Kdo nemá tah, prohrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

20 Nim Dva hráči střídavě odebírají sirky z několika hromádek. V jednom tahu je možno odebrat z libovolné hromádky libovolný počet sirek. (Existuje mnoho variant, kde jsou povoleny jiné tahy.) Kdo nemá tah, prohrál. Dominové dláždění Dva hráči, Levý a Pravý, střídavě kladou kameny domina (2 1 čtvereček) na hrací plochu, Levý svisle, Pravý vodorovně, jednotlivé kostky se nemohou překrývat. Hrací plocha je nejčastěji mřížka z n n čtverečků. Kdo nemůže táhnout, prohrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

21 Nim Dva hráči střídavě odebírají sirky z několika hromádek. V jednom tahu je možno odebrat z libovolné hromádky libovolný počet sirek. (Existuje mnoho variant, kde jsou povoleny jiné tahy.) Kdo nemá tah, prohrál. Dominové dláždění Dva hráči, Levý a Pravý, střídavě kladou kameny domina (2 1 čtvereček) na hrací plochu, Levý svisle, Pravý vodorovně, jednotlivé kostky se nemohou překrývat. Hrací plocha je nejčastěji mřížka z n n čtverečků. Kdo nemůže táhnout, prohrál. = = = + + Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

22 Ropuchy a skokani (Toads and Frogs) Hru lze hrát na libovolné desce o rozměrech 1 m s n kameny pro každého hráče. Levý hráč (toad, T) tahá doprava, pravý hráč (frog, F) tahá směrem vlevo. Cílem hry je znemožnit protihráči provést tah. Na začátku hry jsou kameny soupeřů na protilehlých stranách desky. Hráči se v tazích pravidelně střídají. Hráč na tahu musí provést jednu z následujících akcí: 1 Posunout kámen o jedno pole (ve svém směru) vpřed na prázdné pole. 2 Přeskočit soupeřův kámen a položit kámen na bezprostředně dalším volném poli. Hráč, který provede poslední tah, se stává vítězem. Typické základní postavení může být třeba: T T T F F F, nebo T T T F F F. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

23 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

24 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

25 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. 3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

26 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. 3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem. 4 Hráč, který ve hře zahraje poslední pravidly povolený tah, vyhrál. Poslední hráč odebere poslední kámen a následující hráč již žádný pravidly povolenými tahy, nemůže kameny odebírat. (Jinak by porušil pravidla.) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

27 Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. 3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem. 4 Hráč, který ve hře zahraje poslední pravidly povolený tah, vyhrál. Poslední hráč odebere poslední kámen a následující hráč již žádný pravidly povolenými tahy, nemůže kameny odebírat. (Jinak by porušil pravidla.) 5 Ve hře je vždy jeden z hráčů vítězem. (Ve hře nemůže nastat patová nebo remízová situace). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 13

28 Historie kombinatorických her Nadreálná čísla Václav Vopravil Praha 20. října 2015 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

29 Definice Hra je uspořádaná dvojice množin her. Všechny hry jsou vytvořeny pomocí tohoto pravidla. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

30 První hry Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

31 Conwayova indukce Předpoklad, že hra neobsahuje nekonečný do sebe vnořený řetězec jednodušších her, umožňuje vyslovit tvar důkazu indukcí, která se nazývá infinite descent. Nechť P(X) je nějaké tvrzení, které chceme dokázat, tj. je pravdivé pro každé X. Potom stačí dokázat: Platí-li P(Y) pro všechny možnosti Y v X, potom P(X) platí. Protože pokud vlastnost P(X) neplatí pro nějakou hru X 0, potom věta také neplatí pro nějaké X 1 (možnost v X 0 ), možnost X 2 v X 1,..., což vede na nekonečnou množinu do sebe vnořených her, což není možné, tedy vlastnost P(X) platí pro všechny hry X. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

32 Uspořádání Definice Jsou-li X a Y hry, říkáme, že levý preferuje X nad Y (nebo pravý preferuje Y nad X) a píše se X Y, pokud neplatí Y L X nebo Y X R, kde Y L reprezentuje libovolnou levou možnost v Y a X R reprezentuje libovolnou pravou možnost v X. X Y Y X hra X je nejméně tak dobrá pro prav X = Y X Y Y X X je ekvivalentní s Y X «Y neplatí X Y ani Y X hry X a Y jsou fazy. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

33 Úloha 1 Dokažte následující vztahy: /2 0. Například 1 1, podle definice 1 L R. Protože 1 L ani 1 R neexistují, je tvrzení pravdivé. 2 Dokažte, že následující tvrzení nejsou pravdivá: / Například neplatí 1 1, protože existuje 1 L = 0, 0 1 a existuje 1 R = 0 tak, že Ověřte platnost rovností: 1 2 = {0,1 } 2 2 = {1 } = { 1,1 } = {0, 1,1 }. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

34 Věta Relace je tranzitivní. (Infinite descent). Předpokládejme X Y a Y Z. To znamená, že neplatí Y L X Y X R Z L Y Z Y R. Naším cílem je dokázat X Z, což znamená, že neplatí Z L X Z X R. Nejdříve dokážeme první tvrzení. To, že máme dokázat tvrzení o Z L nám napoví, že máme použít indukci. To znamená, že budeme předpokládat, že podobné tvrzení platí pro všechny dříve vytvořené (jednodušší) hry. Proto předpokládejme, že věta platí pro všechny možnosti hry Z, speciálně pro Z L. Nyní použijeme navíc důkaz sporem. Sporem předpokládejme, že platí Z L X pro nějakou možnost Z L. To ale znamená, že díky X Y, platí i Z L Y, což je v rozporu s naším předpokladem. Tedy Z L X neplatí. Analogicky se dokáže druhá část důkazu, že ani Z X R neplatí. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

35 Úlohy 1 Pro libovolnou hru X dokažte: 1 nerovnost X X R není platná 2 nerovnost X L X není platná 3 X X. Poznámka: Všechny tři tvrzení dokazujte současně pomocí infinite descent. Příklad: Dokážeme neplatnost X X R. Budeme předpokládat, že tvrzení platí pro všechny jednodušší hry, možnosti v X. Neplatnost X X R znamená, že existuje X RL X nebo existuje X R tak, že X R X R. Poslední tvrzení díky indukci předpokládáme. 2 Dokažte X = X. 3 Dokažte, že = je ekvivalence. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

36 Věta (Klasifikační věta) Nechť X je libovolná hra, potom: 1 X > 0, X je kladná, což znamená, že je X 0 a rovnost nenastane, tj. existuje vyhrávající strategie pro levého hráče. 2 X < 0, X je záporná, což znamená, že je X 0 a rovnost nenastane, tj. existuje vyhrávající strategie pro pravého hráče. 3 X = 0, X je nulová, což znamená, že existuje vyhrávající strategie pro II. hráče. 4 X «0, X je fazy, což znamená, že existuje vyhrávající strategie pro I. hráče. Důsledek Každá hra X má buď vyhrávající strategii pro 1. hráče, nebo druhého, nebo vyhrávající strategii pro levého, popřípadě pravého hráče. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

37 Úlohy 1 Dokončete důkaz klasifikační věty. 2 Věta o dominujících prvcích: Nechť X = {A,B,C,... D,E,...} a předpokládejme, že A B a D E. Potom X = {B,C,... E,...}. Dokažte! Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

38 Sčítání Definice Nechť X,Y jsou hry. Potom součet X +Y je X +Y { X L +Y,X +Y L X R +Y,X +Y R}. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

39 Důkazy hraním her Úlohy 1 Dokažte: Následující tvrzení dokazujte hraním příslušných her: 1 2+( 1) ( 1)+( 1) = = 0 4 1/2+1/2+( 1) = 0. Příklad: Dokážeme 1+( 1) = 0. Protože 1 {0 } a 1 { 0}, ve hře {0 }+{ 0} může první hráč zahrát v jedné komponentě a druhý hráč dotáhne. Proto ve hře 1+( 1) existuje vyhrávající strategie pro II. hráče. 3 Dokažte X + 0 X pro libovolnou hru X. 4Václav Pokud Vopravil Y (Praha) je nulová hra, potom Historie hracgt X +Y má stejný výsledek 20. října 2015jako 12 hra / 33

40 Věta Pro všechny hry X, Y, Z platí 1 X +Y = Y +X 2 X +(Y +Z) = (X +Y)+Z. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

41 Věta Pro všechny hry X, Y, Z platí 1 X +Y = Y +X 2 X +(Y +Z) = (X +Y)+Z. Věta Pro všechny hry X,Y platí: X 0 Y 0 X +Y 0. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

42 Definice Pro libovolnou hru X, opačná hra X ke hře X je tato hra: X { X R X L}. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

43 Definice Pro libovolnou hru X, opačná hra X ke hře X je tato hra: X { X R X L}. Věta Pro libovolné hry X, Y platí: 1 (X +Y) = ( X)+( Y) 2 ( X) = X 3 X Y Y X. Věta Pro libovolnou hru X,Y platí: X Y X Y 0. Věta Pro libovolnou hru X platí X +( X) = 0. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

44 Úlohy 1 Dokažte předcházející věty! Často můžete nalézt více důkazů: zahráním si příslušných her, infinite descent, nebo použitím předcházejících dokázaných vět. 2 Dokažte X = Y W = Z X +W = Y +Z. 3 Dokažte, že nestranné hry jsou samy k sobě opačné. Udělejte z toho závěr, že v nestranných hrách existuje vyhrávající strategie pro I. hráče nebo existuje vyhrávající strategie pro II. hráče. 4 Definujte 1 {0 0}, 2 {0, 1 0, 1}, 3 {0, 1, 2 0, 1, 2},..., obecně n {0, 1,..., (n 1) 0, 1,..., (n 1)}. Dokažte, že součtem dvou her tohoto tvaru je opět hra tohoto tvaru. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

45 Nadreálná čísla Definice Nadreálné číslo x je hra x, pro kterou 1 všechny možnosti x jsou čísla 2 neplatí x L x R. Slovy: Žádná levá možnost hry x není větší ani rovna žádné pravé možnosti hry x. Všechna čísla jsou vytvořena tímto způsobem. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

46 Dne nula se narodí nadreálné číslo 0 { }. Obě části definice jsou splněny triviálně. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

47 Dne nula se narodí nadreálné číslo 0 { }. Obě části definice jsou splněny triviálně. Jinými příklady čísel narozených v několika následujících dnech, jsou: 1 {0 },2 {0,1 },3 {0,1,2 },... 1 { 0}, 2 { 0, 1}, 3 { 0, 1, 2},... Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

48 Dne nula se narodí nadreálné číslo 0 { }. Obě části definice jsou splněny triviálně. Jinými příklady čísel narozených v několika následujících dnech, jsou: 1 {0 },2 {0,1 },3 {0,1,2 },... 1 { 0}, 2 { 0, 1}, 3 { 0, 1, 2},... n {0,1,2,...,(n 1) } n { 0, 1, 2,..., (n 1)}. Tato čísla vznikají ntého dne. Je celkem jednoduché si rozmyslet, že tato nadreálná čísla a jejich sčítání je to samé jako obvyklé sčítání s celými čísly. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

49 Dne nula se narodí nadreálné číslo 0 { }. Obě části definice jsou splněny triviálně. Jinými příklady čísel narozených v několika následujících dnech, jsou: 1 {0 },2 {0,1 },3 {0,1,2 },... 1 { 0}, 2 { 0, 1}, 3 { 0, 1, 2},... n {0,1,2,...,(n 1) } n { 0, 1, 2,..., (n 1)}. Tato čísla vznikají ntého dne. Je celkem jednoduché si rozmyslet, že tato nadreálná čísla a jejich sčítání je to samé jako obvyklé sčítání s celými čísly. 1/2 {0 1},1/4 {0 1/2},3/4 {1/2 1},... Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

50 Věta 1 Nechť x je nadreálné číslo, potom i x je nadreálné číslo. 2 Nechť x, y jsou nadreálná čísla, potom i x + y je nadreálné číslo. 3 Nechť x, y jsou nadreálná čísla, potom buď x y nebo x y. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

51 Věta 1 Nechť x je nadreálné číslo, potom i x je nadreálné číslo. 2 Nechť x, y jsou nadreálná čísla, potom i x + y je nadreálné číslo. 3 Nechť x, y jsou nadreálná čísla, potom buď x y nebo x y. Úlohy 1 Ověřte, že 2+1 = 3, 2+2 = 4, 2+3 = 5, atd. 2 Dokažte trichotomii nadreálných čísel. 3 Pro libovolné nadreálné číslo x platí x L < x < x R. Dokažte! 4 Nalezněte všechna čísla narozená dne 0, 1, 2 a 3. Nalezněte pravidlo, která čísla vznikají? Pravidlo dokažte! Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

52 Definice Nechť x, y jsou čísla. Potom x y { x L y +xy L x L y L,x R y +xy R x R y R x L y +xy R x L y R,x R y +xy L x R y L Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

53 Definice Nechť x, y jsou čísla. Potom x y { x L y +xy L x L y L,x R y +xy R x R y R x L y +xy R x L y R,x R y +xy L x R y L Úloha Podle definice vypočtěte 0 1, 1 1, 1 2, 2 2, 2 1/2 a podobně. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

54 Věta Nechť x, y a z jsou nadreálná čísla. 1 x x 1 x 3 xy yx 4 ( x)y x( y) (xy) 5 (x+y)z = xz +yz 6 (xy)z = x(yz). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

55 Věta Nechť x, y a z jsou nadreálná čísla. 1 x x 1 x 3 xy yx 4 ( x)y x( y) (xy) 5 (x+y)z = xz +yz 6 (xy)z = x(yz). Věta Nechť x, y jsou nadreálná čísla, potom x y je nadreálné číslo. Je-li navíc x > 0 a y > 0, potom xy > 0. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

56 Věta (Věta o nejstarším prvku) Nechť x { x L x R } je číslo. Nechť z je číslo mezi x L a x R, ale žádná možnost čísla z tuto vlastnost nemá. Potom x = z. Příklad Například { 1 2} = 0, protože 0 je nejjednodušší mezi 1 a 2. Pár příkladů: Například { 1,0 1} musí být číslo mezi 0 a 1. Nejstarším prvkem je 1/2. Proto { 1,0 1} = 1/2. 1/2+1/2 {1/2 1+1/2}. Nejstarší číslo mezi 1/2 a 1+1/2 je jedna, proto 1/2+1/2 = 1. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

57 Úlohy 1 Dokažte větu o zjednodušování. Nápověda: Nejdříve dokažte x z. 2 Ukažte, že v seznamu jsou všechna nová čísla, která vznikla 3. dne. 3 Uvažte, že jsme nová čísla označili dobře, tj. například: 3 = 2+1 2(3/2) = 3 3/4+3/4 = 3/2 1/4+1/4 = 1/2,... 4 Každý konečný den vznikne pouze jedno číslo mezi dvěma staršími čísly. 5 Dokažte, že v konečný den vznikají pouze dyadická čísla. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

58 Po všech konečných dnech přichází následující den. Nazývá se ω. Tohoto dne vzniká mnoho dalších čísel. Například číslo a = { všechna starší čísla y;3y < 1 všechna starší čísla y;3y > 1}. Některé prvky a = {1/4,5/16,21/64,... 1/2,3/8,...}. Podle věty o zjednodušování to znamená, že a+a+a = 1 a tedy a = 1/3. Podobným způsobem získáme i další reálná čísla, která se doposud nenarodila, racionální a iracionální, včetně π, 2, ϕ a třeba e. Všechna vzniknou v den omega. Největší číslo narozené v den ω je samo ω. ω = {0,1,2,3,... }, které je samo větší, než všechna předcházející čísla (dříve vytvořená). Také vznikne číslo ω = { 0, 1, 2, 3,...}, a nejmenší kladné číslo dne ω je číslo: 1/ω = {0 1,1/2,1/4,1/8,...}. Tato čísla jsou nekonečně velká a malá v rámci nadreálných čísel. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

59 Tvorba čísel nekončí ve dne ω, ale pokračuje dále, např. následujícího dne vznikne i: a podobně i v následujících dnech... ω +1 = {0,1,2,3,...,ω } {0,1,2,3,... ω}, Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

60 Úlohy 1 Dokažte a+a+a = 1. 2 Dokažte, že 2 vznikne ve dne ω. 3 Dokažte: 4 Dokažte: 5 Dokažte: {0,1,2,3,...,ω } = ω +1 {0,1,2,3,... ω} = ω 1. {0,1,2,3,...,ω,ω +1 } = ω +2. {0,1,2,3,..., ω,ω 1} = ω 2. Obecně {0,1,2,3,..., ω,ω 1,ω 2,...,ω (n 1)} = ω n. 6 Který den vznikne číslo z = {0,1,2,3,..., ω,ω 1,ω 2,...,}? Ukažte, že z = ω/2. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

61 Lemma Každé kladné nadreálné číslo x má tvar, ve kterém nula leží vlevo a všechny další levé prvky jsou kladné. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

62 Definice Nechť x je kladné nadreálné číslo. Nechť x je ve tvaru předcházejícího lemmatu. Potom inverzním (převráceným) prvkem k prvku x je y = {0, 1+(xR x)y L x R, 1+(xL x)y R x L 1+(x R x)y R x R, 1+(xL x)y L x L Například: Nechť x = 3 = {0,1,2 }. A vypočteme y = 1/3. Vzhledem k definici { dostaneme y = {0,... }...}, y L použije pro výpočet y R, tedy y = 0,... 1+(2 3) 0 2,... = {0,... 1/2,...}. Nyní máme dokonce y R, které použijeme pro výpočet y L, tedy { } y = 0, 1+(2 3)1 2, /2,... = {0,1/4,... 1/2,...}. Budeme-li takto pokračovat, získáme konečně y = {0,1/4,5/16,21/64,... 1/2,3/8,11/32,...}. Tento proces nikdy neskončí, protože y bude mít nekonečně čísel vlevo i vpravo, získáváme lepší a lepší aproximaci čísla 1/3. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

63 Úlohy 1 Dokažte předcházející lemma. 2 Spočtěte ještě několik dalších prvků čísla 1/3. 3 Použitím definice 1/x, spočítejte několik prvních omezení čísel pro: 1 2 = {0,1 } 2 5 = {0,1,2,3,4 } 3 1/2 = {0 1}. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

64 Věta Nechť x je kladné nadreálné číslo. Předpokládejme, že y je převrácený prvek k prvku x. Potom 1 xy L < xy R 2 y je číslo 3 (xy) L < 1 < (xy) R 4 xy = 1. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

65 { x x = L, x+yl y R y L +y R x R, x+yl y L, x+yr y R } y L +y L y R +y R Úlohy 1 Vypočtěte několik prvních levých a pravých částí 2, 3. 2 Dokažte, že x definuje nadreálné číslo. 3 Dokažte, že x je druhá odmocnina x. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

66 Úloha 1 Sestrojte nadreálná čísla 3/8 a 5/8 a dokažte, že 3/8 + 5/8 = 1. Definujte všechna ostatní čísla, která použijete. 2 Sestrojte 2/5 a 3/5 jako nadreálná čísla a ověřte, že 2/5+3/5 = 1. Můžete předpokládat, že jsou již vytvořena všechna dyadická čísla. (Dyadická čísla jsou racionální čísla tvaru m/2 k, kde m Z a k N.) 3 Definujme reálné číslo x jako takové číslo, pro které n < x < n pro nějaké přirozené číslo n a je-li x {x 1,x 1/2,x 1/4,... x+1,x+1/2,x+1/4,...}. Ukažte, že každé reálné číslo má jednoznačně určený tvar {L R}, kde L, R jsou množiny dyadických čísel takových, že 1 L, R jsou neprázdné. 2 L nemá největší prvek a R nemá nejmenší prvek. 3 Všechna dyadická čísla (mimo jedno) jsou obsažena v L a R. 4 Zopakujme, že ω = {0,1,2,... } je nadreálné číslo. Sestrojte ω 1 a (ω +1) 1. Můžete předpokládat, že všechna reálná čísla jsou již vytvořena. Pravděpodobně budete muset vytvořit i další čísla. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

67 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

68 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

69 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

70 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

71 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

72 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω 6 {ω } = ω +1 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

73 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω 6 {ω } = ω +1 7 {0,1,2,3,... ω} = ω 1 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

74 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω 6 {ω } = ω +1 7 {0,1,2,3,... ω} = ω 1 8 {ω,ω +1,ω +2,ω +3,... } = 2ω Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

75 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω 6 {ω } = ω +1 7 {0,1,2,3,... ω} = ω 1 8 {ω,ω +1,ω +2,ω +3,... } = 2ω 9 {ω,2ω,3ω,4ω,... } = ω 2 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

76 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω 6 {ω } = ω +1 7 {0,1,2,3,... ω} = ω 1 8 {ω,ω +1,ω +2,ω +3,... } = 2ω 9 {ω,2ω,3ω,4ω,... } = ω 2 10 {0,1,2,3,... ω,ω 1,ω 2,ω 3,...} = ω 2 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

77 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω 6 {ω } = ω +1 7 {0,1,2,3,... ω} = ω 1 8 {ω,ω +1,ω +2,ω +3,... } = 2ω 9 {ω,2ω,3ω,4ω,... } = ω 2 10 {0,1,2,3,... ω,ω 1,ω 2,ω 3,...} = ω { ,1,2,3,... ω, ω 2, ω 3, ω 4,...} = ω Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

78 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω 6 {ω } = ω +1 7 {0,1,2,3,... ω} = ω 1 8 {ω,ω +1,ω +2,ω +3,... } = 2ω 9 {ω,2ω,3ω,4ω,... } = ω 2 10 {0,1,2,3,... ω,ω 1,ω 2,ω 3,...} = ω { ,1,2,3,... ω, ω 2, ω 3, ω 4,...} = ω { 0,1,2,3,... ω,ω 2,ω 3,ω 4,... } = ε ω 12 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

79 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω 6 {ω } = ω +1 7 {0,1,2,3,... ω} = ω 1 8 {ω,ω +1,ω +2,ω +3,... } = 2ω 9 {ω,2ω,3ω,4ω,... } = ω 2 10 {0,1,2,3,... ω,ω 1,ω 2,ω 3,...} = ω { ,1,2,3,... ω, ω 2, ω 3, ω 4,...} = ω { 0,1,2,3,... ω,ω 2,ω 3,ω 4,... } = ε ω {0,1,2,3,... ω, 2 ω, 3 ω, 4 ω,...} = logω. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

80 Návrhy definic čísel 1 n+1 = {n } 2 n 1 = { n} 3 n+ 1 2 = {n n+1} 4 ω = {0,1,2,3,... } 5 ε = { 0 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} = 1 ω 6 {ω } = ω +1 7 {0,1,2,3,... ω} = ω 1 8 {ω,ω +1,ω +2,ω +3,... } = 2ω 9 {ω,2ω,3ω,4ω,... } = ω 2 10 {0,1,2,3,... ω,ω 1,ω 2,ω 3,...} = ω { ,1,2,3,... ω, ω 2, ω 3, ω 4,...} = ω { 0,1,2,3,... ω,ω 2,ω 3,ω 4,... } = ε ω {0,1,2,3,... ω, 2 ω, 3 ω, 4 ω,...} = logω Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

81 Návrhy definic čísel s ε 1 1 ω = ε Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

82 Návrhy definic čísel s ε 1 1 ω = ε 2 {0 ε} = ε 2 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

83 Návrhy definic čísel s ε 1 1 ω = ε 2 {0 ε} = ε { } ε 2 = ε 4 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

84 Návrhy definic čísel s ε 1 1 ω = ε 2 {0 ε} = ε { } ε 2 = ε { ε 2, ε 4, ε 8,...} = ε 2 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

85 Návrhy definic čísel s ε 1 1 ω = ε 2 {0 ε} = ε { } ε 2 = ε { ε 2, ε 4, ε 8,...} = ε 2 { 5 ε 1, 1 2, 1 4,...} = 2ε Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

86 Návrhy definic čísel s ε 1 1 ω = ε 2 {0 ε} = ε { } ε 2 = ε { ε 2, ε 4, ε 8,...} = ε 2 { 5 ε 1, 1 2, 1 4,...} = 2ε { 6 2ε 1, 1 2, 1 4,...} = 3ε Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

87 Návrhy definic čísel s ε 1 1 ω = ε 2 {0 ε} = ε { } ε 2 = ε { ε 2, ε 4, ε 8,...} = ε 2 { 5 ε 1, 1 2, 1 4,...} = 2ε { 6 2ε 1, 1 2, 1 4,...} = 3ε { 7 ε,2ε,3ε,... 1, 1 2, 1 4,...} = ε Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

88 Návrhy definic čísel s ε 1 1 ω = ε 2 {0 ε} = ε { } ε 2 = ε { ε 2, ε 4, ε 8,...} = ε 2 { 5 ε 1, 1 2, 1 4,...} = 2ε { 6 2ε 1, 1 2, 1 4,...} = 3ε { 7 ε,2ε,3ε,... 1, 1 2, 1 4,...} = ε 8 etc. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 33

89 Historie kombinatorických her Hra Černobílý Nim Václav Vopravil Praha 20. října 2015 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

90 Hra Černobílý Nim Pravidla Budeme předpokládat hru dvou hráčů. Na počátku hry budeme mít k dispozici kameny dvou barev, bílé a černé. Jeden z hráčů může odebírat pouze bílé kameny (budeme hráči říkat levý hráč) a druhý hráč může odebírat pouze černé kameny. Dohodněme se, že kameny na hromádkách budeme zapisovat do řádků. S každým odebraným kamenem hráč ještě odebere všechny kameny vpravo od něj. Hráči hrají do té doby, dokud mohou odebírat své kameny. Hráč, který nemůže odebírat (na hromádkách již není kámen jeho barvy) prohrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

91 Hra Černobílý Nim Pravidla Budeme předpokládat hru dvou hráčů. Na počátku hry budeme mít k dispozici kameny dvou barev, bílé a černé. Jeden z hráčů může odebírat pouze bílé kameny (budeme hráči říkat levý hráč) a druhý hráč může odebírat pouze černé kameny. Dohodněme se, že kameny na hromádkách budeme zapisovat do řádků. S každým odebraným kamenem hráč ještě odebere všechny kameny vpravo od něj. Hráči hrají do té doby, dokud mohou odebírat své kameny. Hráč, který nemůže odebírat (na hromádkách již není kámen jeho barvy) prohrál. Například jedna řada může vypadat takto: a podobně. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

92 Hra Černobílý Nim Pravidla Budeme předpokládat hru dvou hráčů. Na počátku hry budeme mít k dispozici kameny dvou barev, bílé a černé. Jeden z hráčů může odebírat pouze bílé kameny (budeme hráči říkat levý hráč) a druhý hráč může odebírat pouze černé kameny. Dohodněme se, že kameny na hromádkách budeme zapisovat do řádků. S každým odebraným kamenem hráč ještě odebere všechny kameny vpravo od něj. Hráči hrají do té doby, dokud mohou odebírat své kameny. Hráč, který nemůže odebírat (na hromádkách již není kámen jeho barvy) prohrál. Například jedna řada může vypadat takto: a podobně. Příklad takové partie může být takový: Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

93 Hra Černobílý Nim Strategicke úvahy Základní postavení bude a začne bílý hráč (levý). Hráč třeba odebere z první hromádky bílý kámen a s ním všechny vpravo takto:, černý odebere z poslední hromádky (řádku) opatrně, a bílý hráč neopatrně z druhé hromádky, atd. do té doby, dokud na hráče zbyde kámen. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

94 Hra Černobílý Nim Strategicke úvahy Základní postavení bude a začne bílý hráč (levý). Hráč třeba odebere z první hromádky bílý kámen a s ním všechny vpravo takto:, černý odebere z poslední hromádky (řádku) opatrně, a bílý hráč neopatrně z druhé hromádky, atd. do té doby, dokud na hráče zbyde kámen. Ve hře je jasné, že hra je výhodná pro hráče s bílými kameny a hra není nestrannou. Z příkladu je také vidět že pozici, klidně můžeme i psát, nebo, resp. jako dvě hry vedle sebe +. Z příkladu je vidět, že na hromádce (řádku) bez kamenů nezávisí. Jaké další vlastnosti takový součet má? Výměnou dvou řádků se také nic nezměnilo, hráči mají stejné tahy. Budou-li dva řádky přesně opačně obarvený, nemusíme tyto dva řádky vlastně uvažovat, protože, co je dovoleno v jednom řádku jednomu z hráčů, je dovoleno také druhému hráči ve druhé hře. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

95 Hra Černobílý Nim Strategicke úvahy Oba hráči hrají optimálně a snaží se vyhrát. Hráč svým tahem v jedné řadě neovlivní kameny v jiných řadách. Předcházející hru také můžeme zapsat jako disjunktní součet + +. Například ve hře Černobílý Nim součet dvou her + se hraje jako hra. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

96 Pokud hra obsahuje v každém řádku pouze jednobarevné kameny, je hra jednoduchá. Například ve hře vyhraje bílý hráč. Dokonce můžeme říct, že hráč má jeden tah navíc. Hodnotu takové hry označíme 1. Podobně ve hře má výhodu dvou tahů a její hodnotu označíme 2. Opačně třeba ve hře má naopak výhodu tří tahů černý hráč a její hodnotu označíme 3, atd. Například výhodný tah pro levého hráče ve hře je odebrání posledního kamene. Budeme-li hrát na více řádcích, strategie bude jednoduchá, stačí spočítat černé a bílé kameny, a součet ukáže výsledek hry. Například ve hře má výhodu černý hráč a její hodnota je = 2 (dva tahy navíc). Samozřejmě, že všechny tahy nejsou optimální a hráči se budou snažit snižovat počty kamenů v řádcích od konce. Jaký výsledek bude ve hře +? Zahrajte si hru. Pokud hodnota hry je nula, první hráč prohrává (a druhý hráč je vítězem). Ve hře existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče a její hodnota je nulová. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

97 Hra Černobílý Nim Analýza, hra 1/2 Dohodneme se na tom, že hra, kde existuje vyhrávající strategie pro bílého hráče bude kladná a naopak. Hodnotou budeme rozumět o kolik má bílý výhodu. Jak je to ale s hrou? Začne-li černý, bude mít bílý výhodu jednoho tahu a černý prohraje. Začne-li naopak bílý, odebere svůj kámen a černý a nedovolí černému hráči hrát! V každém případě je hra tedy kladná (vyhraje bílý) a nejvyšší výhodu má bílý hráč o jeden tah. Hodnota hry tedy bude někde mezi 0 a jedničkou. Dohodněme se, že hodnotu této hry budeme označovat 1/2 a nazývat ji půl. Zahrajte si hru! Skutečně půl plus půl je jedna, protože 1/2+1/2 1 je nula (vyhraje druhý). Hra je menší než jedna, protože ve hře má převahu černý hráč (začíná-li, prvním tahem zahraje v prvním řádku.), tj. hodnota 1/2 1 je záporná. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

98 Hra Černobílý Nim Analýza Rozeberme si ještě hru. V této hře vyhraje jistě bílý hráč (hra začíná bílým kamenem) a hra je kladná. Začne-li bílý hráč, raději bude odebírat svůj poslední kámen a hodnota hry bude 1/2. Začne-li naopak černý hráč, může zahrát pouze do hry, která má hodnotu 1. Hodnota hry je ale menší než jedna, protože například ve hře + má převahu černý hráč! Dohodneme se, že hodnotu hry označíme jednoduše 3/4, a nějakým výpočtem prokážeme oprávněnost. Například 3/4+3/4 1 1/2 = 0 a tedy ve hře + + existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče (hra je nulová). Dokažte! Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

99 Hra Černobílý Nim Analýza Rozeberme si ještě hru. V této hře vyhraje jistě bílý hráč (hra začíná bílým kamenem) a hra je kladná. Začne-li bílý hráč, raději bude odebírat svůj poslední kámen a hodnota hry bude 1/2. Začne-li naopak černý hráč, může zahrát pouze do hry, která má hodnotu 1. Hodnota hry je ale menší než jedna, protože například ve hře + má převahu černý hráč! Dohodneme se, že hodnotu hry označíme jednoduše 3/4, a nějakým výpočtem prokážeme oprávněnost. Například 3/4+3/4 1 1/2 = 0 a tedy ve hře + + existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče (hra je nulová). Dokažte! Opačné hry jistě znamenají změnu barev kamenů. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

100 Hra Černobílý Nim Analýza Rozeberme si ještě hru. V této hře vyhraje jistě bílý hráč (hra začíná bílým kamenem) a hra je kladná. Začne-li bílý hráč, raději bude odebírat svůj poslední kámen a hodnota hry bude 1/2. Začne-li naopak černý hráč, může zahrát pouze do hry, která má hodnotu 1. Hodnota hry je ale menší než jedna, protože například ve hře + má převahu černý hráč! Dohodneme se, že hodnotu hry označíme jednoduše 3/4, a nějakým výpočtem prokážeme oprávněnost. Například 3/4+3/4 1 1/2 = 0 a tedy ve hře + + existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče (hra je nulová). Dokažte! Opačné hry jistě znamenají změnu barev kamenů. Budeme-li v našich výpočtech pokračovat, získáme například hodnoty her = 1/4, nebo = 3/8, atd. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

101 Hra Černobílý Nim Úlohy Úloha 1 Kdo vyhraje ČBNim bez kamenů? Tuto hru označíme 0 a budeme ji nazývat nulou. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

102 Hra Černobílý Nim Úlohy Úloha 1 Kdo vyhraje ČBNim bez kamenů? Tuto hru označíme 0 a budeme ji nazývat nulou. 2 Kdo vyhraje hru? Hodnotu hry označíme 1. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

103 Hra Černobílý Nim Úlohy Úloha 1 Kdo vyhraje ČBNim bez kamenů? Tuto hru označíme 0 a budeme ji nazývat nulou. 2 Kdo vyhraje hru? Hodnotu hry označíme 1. 3 Jaké hře přiřadíme hodnotu 1? Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

104 Hra Černobílý Nim Úlohy Úloha 1 Kdo vyhraje ČBNim bez kamenů? Tuto hru označíme 0 a budeme ji nazývat nulou. 2 Kdo vyhraje hru? Hodnotu hry označíme 1. 3 Jaké hře přiřadíme hodnotu 1? 4 Jaká hra se bude nazývat 2? Nalezněte více možností! Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

105 Hra Černobílý Nim Úlohy Úloha 1 Kdo vyhraje ČBNim bez kamenů? Tuto hru označíme 0 a budeme ji nazývat nulou. 2 Kdo vyhraje hru? Hodnotu hry označíme 1. 3 Jaké hře přiřadíme hodnotu 1? 4 Jaká hra se bude nazývat 2? Nalezněte více možností! 5 Porovnejte hru s předcházejícími hrami. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

106 Hra Černobílý Nim Úlohy Úloha 1 Kdo vyhraje ČBNim bez kamenů? Tuto hru označíme 0 a budeme ji nazývat nulou. 2 Kdo vyhraje hru? Hodnotu hry označíme 1. 3 Jaké hře přiřadíme hodnotu 1? 4 Jaká hra se bude nazývat 2? Nalezněte více možností! 5 Porovnejte hru s předcházejícími hrami. 6 Nalezněte hodnotu hry. Jak vám pomohou výsledky předcházejících úloh? Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

107 Hra Černobílý Nim Úlohy Úloha 1 Kdo vyhraje ČBNim bez kamenů? Tuto hru označíme 0 a budeme ji nazývat nulou. 2 Kdo vyhraje hru? Hodnotu hry označíme 1. 3 Jaké hře přiřadíme hodnotu 1? 4 Jaká hra se bude nazývat 2? Nalezněte více možností! 5 Porovnejte hru s předcházejícími hrami. 6 Nalezněte hodnotu hry. Jak vám pomohou výsledky předcházejících úloh? 7 Nalezněte hry s hodnotami 1/4, 3/8, 9/16, nebo s hodnotou 1/3. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

108 Hra Černobílý Nim Výpočty Hodnoty 1 černo-bílých hadů hry Nim můžeme získat například tímto postupem (Berlekampovo pravidlo): Budeme vyšetřovat hodnoty hadů, které začínají bílým kolečkem. Pro hady začínající černým kolečkem je algoritmus stejný, ale s opačnými hodnotami. Pro více hadů výsledky získáme disjunktním součtem. Na hadu vyznačíme situaci, kdy poprvé dochází k barevné změně koleček. Tato kolečka označíme a budou mít význam desetinné čárky racionálního čísla. Sečteme všechna předcházející bílá kolečka a dostaneme celou část hodnoty hledaného hadu. Nyní budeme kódovat zbylá bílá kolečka jedničkou a černá kolečka nulou, dokud nevyčerpáme všechny články hadu. Na závěr ještě napíšeme jedničku. Toto číslo ve dvojkové soustavě odpovídá necelé části hodnoty hry. Příklad = ( ) = 1+(0, ) 2 = = Algoritmus výpočtu hodnot hadů odshora je popsán v [OGAN, str ]. Zde jsou také uvedeny důkazy tvrzení. Jinak viz [ONAG, str. 90] a [WW, str. 77] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

109 Přirozenějším algoritmem výpočtu hodnot hadů je následující druhé pravidlo: Začíná-li hra bílým kamenem, označíme ho +1, naopak 1. Dále budeme předpokládat bez újmy na obecnost, že řádek začíná bílým kamen (pro černý kámen je situace opačná). Nasčítáme hodnoty bílých kamenů od začátku bez přeskoku nějakého černého kamene (dostaneme celé kladné číslo). Bude-li následovat černý kámen, připočteme 2 n, v opačném případě připočteme 2 n. Například náš první příklad má hodnotu +1 1/2 1/4+1/8 1/16 1/32 1/64+1/128. Má-li hra více řádků, sečteme hodnoty všech řádků. Pokud výsledná hodnota je kladná vyhraje bílý hráč, v opačném případě černý. Je-li hodnota nulová, první hráč nemůže zahrát dobře (bez chyb druhého) a nemůže si zajistit vítězství. Pro nulovou hodnotu existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče. Jak tedy budeme hrát? Z předcházejících pravidel je vidět, že nejlepším tahem je odebírat nejpravější kámen své barvy z nejdelšího řádku, protože odebráním tohoto kamene snížíme hodnotu hry vždy nejméně. Všechna pravidla lze jednoduše dokázat indukcí. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

110 Hra Černobílý Nim Sendvičový zápis Černo-bílé sloupce budou vždy zastupovat racionální čísla se jmenovatelem mocniny dvou. Zápisy typu {a,b,c,... p,q,r,...} znamenají možné tahy a,b,c,..., pro bílého hráče, a pro tahy černého hráče p, q, r,.... Hra {1 2} znamená, že nejlepší tah levého je táhnout do 1, a nejlepším tahem pravého je zahrát do 2. Několik dalších prvních složitějších her, které je možné analyzovat rekurzívně: = {0 } = 1, = {0 1} = 1 2, = { 0, 1 } 2 1 = 3 4, = { 0, ,1} = 5 8, = {0,,, } = { 0, , 3 4,1} = 9 16 a podobně. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

111 Hra Černobílý Nim Úlohy Úlohy 1 Nalezněte ČBNim s hodnotami: 4, 21/2, 31/4, 3/8, 5/16,... 2 Kolik je možných různých hadů délky sedm? 3 Nalezněte hodnotu hry. Hra = +. 4 Nalezněte pozice s těmito hodnotami: 1 4, 5 8, 3 4, 11 16, 4 3,21 2, Napište jako reálné číslo pozice:,,,. 6 Nalezněte hodnoty pozic:,,,,,,,. 7 Jak bude vypadat ČBNim s hodnotou ω? Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

112 Hra Černobílý Nim Nekonečné hry Několik dalších nekonečných periodických her: = 1 3, = ω, = ω +1, = 1 ω = ε a podobně. Všimněte si, že všechny možnosti hráčů jsou konečné. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

113 Hra Černobílý Nim Nekonečné hry Několik dalších nekonečných periodických her: = 1 3, = ω, = ω +1, = 1 ω = ε a podobně. Všimněte si, že všechny možnosti hráčů jsou konečné. Úlohy 1 Nalezněte hodnotu hry. 2 Analyzujte součet her +. 3 Nalezněte +, + 4 Navrhněte situaci s hodnotou ω/2+ω/2. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

114 Hra Černobílý Nim Počítání s ω Úloha 1 Jak bude vypadat pozice v ČBNimu s hodnotou 2ω? Jak vznikne ČBNim s hodnotou 3ω,4ω,5ω? 2 Zobecněte předcházející výsledky a definujete nω pro libovolné přirozené číslo n. 3 Když nyní máme k dispozici transfinitní ordinální čísla ω, 2ω, 3ω,..., které číslo bude bezprostředním následovníkem? Jak ho označíme? 4 Zdůvodněte, proč předcházející hledané číslo je vhodné označit ω 2? 5 Znova můžeme pokračovat vytvořením čísel ω 2 +1,ω 2 +2,ω Jak bude vypadat jejich bezprostřední následovník? 6 Jak bude vypadat definice ČBNimu s hodnotami 2ω 2,3ω 2,4ω Jak dostaneme nadreálné transfinitní číslo 2ω 2 +3ω +4? 8 Nalezněte bezprostřední následovník posloupnosti 2ω 2,3ω 2,4ω Navrhněte definici pro ω 3,ω 4,ω 5,... a ω ω. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

115 Hra Černobílý Nim Nekonečné řady kamenů Budeme-li pracovat pouze s konečnými řadami, budeme dostávat pouze dyadická racionální čísla (analogie desetinných čísel se základem 2) tvaru p/2 q, p Z,q N. Co se stane, budeme-li předpokládat, že naše řady mohou být také nekonečné? Dostaneme například periodická čísla (racionální) a neperiodická čísla (iracionální). Například hra má hodnotu 1/3, nebo hra má hodnotu π. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

116 Hra Černobílý Nim Nekonečné řady kamenů Budeme-li pracovat pouze s konečnými řadami, budeme dostávat pouze dyadická racionální čísla (analogie desetinných čísel se základem 2) tvaru p/2 q, p Z,q N. Co se stane, budeme-li předpokládat, že naše řady mohou být také nekonečné? Dostaneme například periodická čísla (racionální) a neperiodická čísla (iracionální). Například hra má hodnotu 1/3, nebo hra má hodnotu π. Opakující se část budeme značit čárkou nad (perioda). Například =. Z typografického hlediska je možné použít také například závorky, závorky s naznačenou mocninou, nebo jen mocninu. Například má hodnotu 3/4, a odpovídá hře ω ω ω, její hodnota je 3 4 ω. Hru 3 4 ω můžeme také označovat ( ) ω ( ) ω ( ) ω nebo jen ( )( )( ). Při další analýze využijeme mj. tyto tyto hodnoty: hodnota hry je 1 1/2 1/4+1/8 1/16+1/32 = 11/32 = 1/3+1/96, a hodnota hry je 1 1/2 1/4+1/8 1/16 = 11/32 = 1/3 1/48. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

117 Jak se asi bude hrát hra + + +? Analýza hry nás přivede na konstatování, že 1) existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče, 2) hra je nulová 3) přirozený 3. násobek 1/3 je přesně 1. Nyní můžeme zkontrolovat, že hodnota hry je 1/3. Jak se bude hrát ve hře + + 1? Hrát do hry 1 se žádnému hráči nechce. (Proč?) Začne-li černý hráč, vybere si nějakou nekonečnou část a udělá z ní konečný řetězec. Například: Bílý hráč je ve výhodě, protože může táhnout do lepšího postavení ve druhé hře takto: Zatímco hodnota prvního členu je 1/3+1/96, druhý člen má hodnotu 1/3 1/192 a tedy hra je lepší pro bílého hráče. Výsledná hodnota hry 1/3+1/96+1/3 1/192+1/3 1 je tedy kladná. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

118 Hra Černobílý Nim Nekonečné hry Označení periodických ČBNimu nám umožní efektivněji pracovat s nekonečnými hrami. Například hra je lepší než jakákoliv neperiodická hra. Pokud zahraje bílý hráč v této hře, první hra je delší. Hra hraje roli nekonečna. Zatímco hra je s hrou ekvivalentní, hra má význam nekonečno plus jedna, protože + + má vyhrávající strategii pro druhého hráče. Podobně hra je hra nekonečno plus půl, apod. Hra je nekonečno krát nekonečno, ale můžeme získávat i komplikovanější hry, například. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

119 Hra Černobílý Nim Hra číslo 0,9 a 1 Viděli jsme, že v našich výpočtech získáváme nekonečně malé a nekonečně velké veličiny. Přeci jen je tu ještě jeden rozdíl. Soustředíme se na hru. Její hodnota je 1 1/2+1/4+1/8+1/16+ a porovnáme tuto hodnotu s 1. Je vidět, že tato hodnota hry není rovna 1. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

120 Hra Černobílý Nim Hra číslo 0,9 a 1 Viděli jsme, že v našich výpočtech získáváme nekonečně malé a nekonečně velké veličiny. Přeci jen je tu ještě jeden rozdíl. Soustředíme se na hru. Její hodnota je 1 1/2+1/4+1/8+1/16+ a porovnáme tuto hodnotu s 1. Je vidět, že tato hodnota hry není rovna 1. Napíšeme-li tuto hru jinak, tj. +, je její hodnota 1 ε. V běžné matematice ale hodnota 1/2+1/4+1/8+1/16+ = 1, což je způsobeno limitním procesem, který je závislý na tzv. Archimédovu axiómu, kterému vyhovují reálná čísla, a který nepřipouští existenci nekonečně malých veličin. Rovnost 0,9 = 1 je závislá na uspořádání! A tedy 0,9 je o trošku (tj. o epsilon) menší jak 1. Je jistě zajímavé, že 3 0,3 je přesně 1 a ne 0,9 jak by bylo možné také očekávat. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

121 Hra Černobílý Nim Hra číslo 0,9 a 1 Viděli jsme, že v našich výpočtech získáváme nekonečně malé a nekonečně velké veličiny. Přeci jen je tu ještě jeden rozdíl. Soustředíme se na hru. Její hodnota je 1 1/2+1/4+1/8+1/16+ a porovnáme tuto hodnotu s 1. Je vidět, že tato hodnota hry není rovna 1. Napíšeme-li tuto hru jinak, tj. +, je její hodnota 1 ε. V běžné matematice ale hodnota 1/2+1/4+1/8+1/16+ = 1, což je způsobeno limitním procesem, který je závislý na tzv. Archimédovu axiómu, kterému vyhovují reálná čísla, a který nepřipouští existenci nekonečně malých veličin. Rovnost 0,9 = 1 je závislá na uspořádání! A tedy 0,9 je o trošku (tj. o epsilon) menší jak 1. Je jistě zajímavé, že 3 0,3 je přesně 1 a ne 0,9 jak by bylo možné také očekávat. Úloha Hra... je nekonečné číslo ostře menší než 1. Tedy v naší matematice platí 0, < 1. A nemůžeme získat 1. Zatímco číslo... je přesně 1/3. Ve hře 3 1/ vyhraje levý hráč. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19

122 vopravilv(at)post.cz Je ještě nekonečně mnoho tvrzení, která jsou třeba ověřit, ale máme jen konečně mnoho času... (D. Knuth) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 20. října / 19