38. VZNIK TLAKOVÉ ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ TEKUTINY Jiří Škorpík Laminární proudění viskozita 1 Stanovení ztráty při laminárním proudění 3 Proudění turbulentní Reynoldsovo číslo 5 Stanovení střední rychlosti tekutiny v kanále 6 Vznik a vývoj mezní vrstvy 7 Výpočet tloušťky mezní vrstvy 8 Tlaková ztráta v potrubí nejen kruhového průřezu 9 Určení ztrátového součinitele potrubí 10 Ztrátový součinitel potrubí nekruhového průřezu 12 Tlaková ztráta v místních odporech 12 Charakteristika potrubního systému 13 Vznik tlakové ztráty při adiabatickém proudění plynů 15 Proudění plynu v kanálu konstantního průřezu za přítomnosti tření 16 Tabulky a nomogramy 18 Odkazy 25 Přílohy Článek z on-line pokračujícího zdroje Transformační technologie. ISSN 1804-8293 www.transformacni-technologie.cz Copyright Jiří Škorpík, 2018 All rights reserved. Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou.
10.324 Vznik a vývoj mezní vrstvy v kanále. (a) proudění v kanále; (b) rovnice pro výpočet délky vstupního úseku pro případ laminárního proudění v potrubí (7) (za Re se dosazuje takové, které nastane při plně vyvinuté mezní vrstvě), pro případ turbulentního proudění v potrubí vstupní úsek nezáleží na Re a je dlouhý přibližně 10 až 60 průměrů potrubí [17, s. 66]. x e [m] vstupní úsek (není dokončen vývin mezní vrstvy); E [m] oblast plně vyvinutá mezní vrstvy; d [m] vnitřní průměr potrubí (charakteristický rozměr pro případ kruhového průřezu). Zdroj: [16, s. 8-4], [17, s. 66]. (7) Poznámka Hodnotu 0,065 odvodil francouzký fyzik a matematik Joseph Boussinesq (1842-1929), hodnotu 0,025 německý fyzik Ludwig Schiller (1882-1961). Přičemž lze říci, že vyšší hodnoty jsou vhodné pro kratší úseky a nižší pro delší vstupní úseky [3, s. 194]. Délka úseku, na které začne proudění turbulizovat také záleží na geometrii vstupu, kde se mohou narušovat proudnice o vstupní hrany a také drsnosti povrchu. Výpočet tloušťky mezní vrstvy Tloušťku mezní vrstvy je obtížné spočítat, ale lze využít toho, že mezní vrstva snižuje průtok, tekutina v ní ztrácí hybnost a kinetickou energii oproti nevazkému proudění [20, s. 71]. Odtud lze stanovit tři charakteristické tloušťky mezní vrstvy (8, 9, 10) : (8) Pošinovací tloušťka mezní vrstvy je vrstva, o kterou by se mohl snížit průtočný průřez kanálu při nevazkém proudění, přičemž hmotnostní průtok by byl stejný jako při vazkém proudění původním (větším) průtočným průřezem. Lze ji vypočítat z rozdílu skutečného a teoretického průtoku. (9) Impulsní tloušťka mezní vrstvy je vrstva, o kterou by se mohl snížit průtočný průřez kanálu při nevazkém proudění, přičemž průtok i hybnost by byly stejné jako při vazkém proudění původním (větším) průtočným průřezem. Hybnost síla, kterou vyvolá proud tekutiny při nárazu do nehybné stěny (m c). Znamená to, že mezní vrstva přenáší od tření sílu na kanál. Lze ji vypočítat z rozdílu síl, kterou působí tekutina na kanál oproti nevazkému proudění při stejném hmotnostním průtoku. (10) Energetická tloušťka mezní vrstvy je vrstva, o kterou by mohl být zvětšen obtékaný profil lopatky při proudění bez mezní vrstvy, přičemž kinetická energie pracovní tekutiny takto zmenšeným lopatkovým kanálem by byla stejná. Lze ji vypočítat z rozdílu kinetické energie nevazkého proudění a vazkého proudění při stejném průtoku. 8
11.409 Charakteristické tloušťky mezní vrstvy pro případ proudění mezi dvěma deskami. (a) pošinovací tloušťka mezní vrstvy; (b) impulsní tloušťka mezní vrstvy; c energetická tloušťka mezní vrstvy. h [m] šířka kanálu; Δm [kg s -1 ] rozdíl mezi hmotnostním průtokem při nevazkém proudění a vazkém proudění; ΔH [N] rozdíl mezi hybností tekutiny při nevazkém proudění a vazkém proudění při stejném hmotnostním průtoku; ΔE k [J kg -1 ] rozdíl kinetické energie nevazkého proudění a vazkého proudění při stejném průtoku. Rovnice jsou odvozeny pro symetrický rychlostní profil. Stejným postupem jako je uvedeno v Příloze 409 lze odvodit charakteristické tloušťky i pro jiné typy kanálů nebo osamocených profilů [20, s. 71]. Tyto charakteristické tloušťky mezní vrstvy se uplatňují v aerodynamice kanálů a to především v aerodynamice lopatkových kanálů. Podle jednotlivých tlouštěk lze porovnávat typy kanálu mezi sebou z pohledu rychlostí, hybnosti a energetických ztrát, protože jsou aplikace, kde je důležitá například co nejmenší ztráta hybnosti a u jiné energetická ztráta a podobně. Například hybnost je důležitá při vyhodnocování citlivosti mezní vrstvy na odtržení profilu v difuzoru. Výpočítejte charakteristické tloušťky mezní vrstvy, jestliže víte, že rychlostní profil je parabolický. Potřebné rychlosti, šířku, výšku kanálu a hustotu tekutiny si zvolete. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 413. Úloha 3.413 Tlaková ztráta v potrubí nejen kruhového průřezu Zřejmě nejčastějším případem výpočtu tlakového ztráty je jeho výpočet v potrubí kruhového průřezu, ale je nutné také řešit potrubí jiných tvarů a tlakové ztráty v místních odporech (armatury a potrubní tvarovky). Z výše uvedených vztahů pro viskozitu lze snadno odvodit vztah pro výpočet tlakové ztráty pro případ laminárního ustáleného proudění jako funkce dynamického tlaku. Tato rovnice se nazývá Darcy- Weisbachova rovnice, kterou sestavil francouzský inženýr Henrym Darcym (1803-1858) pro potrubí. Později, na základě dlohodobých experimentů a dedukce, potrdil platnost tohoto vztahu německý inženýr Julius Weisbach (1806-1871) i pro proudění přechodové a turbulentní a dokonce i pro ztrátu v potrubních tvarovkách a ventilech: 12.657 Darcy-Weisbachova rovnice pro výpočet tlakové ztráty. c [m s -1 ] střední rychlost proudění (od nadtržítka nad c se upouští i v následujícím textu); ζ [-] ztrátový součinitel prvku (definovaný Weisbachem [3, s. 82]). 9
Z Darcy-Weisbachovy rovnice tedy plyne, že tlaková ztráta je vztažena jako určitý podíl z dynamického tlaku, který určuje ztrátový součinitel. Pokud se hustota, například na uvažované délce potrubí, mění, tak se vychází ze střední hodnoty hustot mezi vstupem a výstupem. U velkých změn hustoty lze rozdělit potrubí na úseku, ve kterých se hustota významně nemění [14, s. 71]. Jako porovnávací dynamický tlak se bere dynamický tlak (rychlost) na vstupu do počítaného prvku, ke kterému bývá vztažen i ztrátový součinitel. Ztrátový součinitel se stanovuje nejlépe měřením, ale existují i přibližné analytické vztahy pro jeho výpočet. Protože ztrátový součinitel je funkcí tvaru a velikosti kanálu a Reynoldsova čísla uvádí výrobce daného potrubního prvku někdy několik hodnot ztrátového součinitele (podle druhu pracovní látky, teploty, tlaku a objemového průtoku). Určení ztrátového součinitele potrubí Pro kanály stálého průřezu respektive potrubí lze ztrátový součinitel docela dobře vypočítat. K výpočtu se používají poloempirické vztahy získané na základě dlouhodobého měření a pozorování proudění v potrubích. Rovnic pro výpočet ztrátového součinitele v potrubí je několik a zvlášť jsou vztahy pro laminární proudění a zvlášť pro turbulentní, také záleží na drsnosti a tvaru potrubí. Pro potrubí kruhového průřezu lze použít tyto rovnice: 13.855 Rovnice pro výpočet ztrátového součinitele potrubí. (a) vztah používaný pro případ laminárního proudění; (b) Colebrookova rovnice používána pro případ proudění přechodového a turbulentního (polemepirický vztah sestavený britským fyzikem Cyrilem Colebrookem (1910-1997) [15, s. 150]). λ [-] součinitel tření v potrubí (tento součinitel lze považovat za konstantní pouze na úsecích s plně vyvinutou mezní vrstvou); k [m] absolutní drsnost vnitřních stěn potrubí (hodnoty například v viz. [14], Tabulka 1194); ε [-] relativní drsnost potrubí viz. také Nomogram 1195. Odvození rovnice (a) tedy rovnice ztrátového součinitele pro laminární proudění potrubím je uvedeno v Příloze 855. Rovnice Colebrookova vychází z experimentálních dat shromážděných z velkého množství měření. Kombinací Hagen-Poiseuilleho rovnice a rovnice Colebrookovy lze vytvořit tzv. Moodyho diagram pro určení součinitele tření v potrubí, ve kterém je patrno několik oblastí. Tento diagram přináší projektantům potrubí rychlý přehled o charakteru proudění v navrhovaném potrubí a navíc i rychlý odečet součinitele tření v potrubí. Diagram se jmenuje po americkém inženýrovi Lewisu Moodym (1880-1954): 10
1193 Viskozita vlhkého vzduchu při 0,1 MPa. φ [-] relativní vlhkost vzduchu. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- μpa s -1 μm 2 s ---------------------------------------------------- ------------------------------------------- C φ=0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 10 17,73 17,71 17,69 17,67 17,65 14,67 14,63 14,60 14,57 14,54 20 18,20 18,16 18,12 18,09 18,05 15,63 15,56 15,49 15,43 15,36 40 18,91 18,79 18,67 18,56 18,45 17,35 17,11 16,87 16,64 16,42 60 19,75 19,43 19,13 18,85 18,59 18,86 18,17 17,53 16,93 16,38 80 20,15 19,45 18,86 18,35 17,91 19,77 18,16 16,80 15,62 14,60 100 20,12 18,96 18,10 17,43 16,90 19,66 16,75 14,60 12,93 11,61 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 1194 Orientační hodnoty absolutních drsností trubek. Výběr z [14]. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ k [mm] ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Tažené (nové) z: 0,001..0,002 Drawn pipes (new) from: měď, mosaz, sklo Copper, Brass, glass Plast nebo pryž 0,0015..0,007 Plastic and ruber Ocelové bezešvé válcované 0,04..0,1 Steel Ocelové svařované pod. švem 0,04..0,1 Weld steel Litinové 0,2..0,6 Cast iron Ocelové pozinkované 0,07..0,1 Galvanized steel Ocelové trubky korodované 0,15..0,2 Corrosion steel (cleaned) vyčištěné ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 10 3 1195 Nomogram pro výpočet relativní drsnosti trubky. ε [-] 100 d [mm] 10 ε= k d 1 10-3 k [mm] 10-2 0,1 1 10 2014 Jiří Škorpík 19
Přílohy
228 Výpočet střední rychlosti tekutiny v kanále Při výpočtu z rovnice kontinuity lze využít rovnosti: ṁ=c m ρ A c m = ṁ ρ A. Při výpočtu z kinetické energie proudu lze využít vztahu pro měrnou kinetickou energii tekutiny: e k = c 2 e 2 c e = 2 e k. 266 Výpočet střední rychlosti tekutiny protékající mezi dvěma deskami Průběh rychlosti skrz kanál je funkcí polohy v kanálu tj. c=f(x). Střední rychlost z této závislosti se vypočítá z rovnosti ploch: c t= c(x)dx c= 1 t/ 2 c(x)dx. t Z rychlostního profilu lze odvodit rovnici pro hmotnostní průtok, která bude při délce desek 1 m a konstantní hustotu ρ=konst.: t / 2 d ṁ=ρ c(x) 1 dx ṁ=ρ c(x) 1dx. Takže rovnice pro výpočet střední rychlosti vypočítaná z rovnice kontinuity by měla tvar [38.228a]: t/ 2 c m = ṁ ρ A = 1 c(x) 1 dx. A Protože A= t 1: c m = 1 t/ 2 c(x)dx= c. t Z rychlostního profilu lze odvodit rovnici pro měrnou kinetickou energii proudu, která bude při délce desek 1 m a konstantní hustotu ρ=konst.: e k ṁ= c 2 (x) 2 dṁ=ρ t / =ρ 2 c 3 (x ) 2 1 dx e k = ρ t/ 2 c 3 (x) ṁ 2 1 dx= 1 t / 2 c t c 2 (x) c(x) 1 dx= 2 c 3 (x) 2 dx. Takže rovnice pro výpočet střední rychlosti vypočítaná z kinetické energie proudu by měla tvar [38.228c]: c e= 2 1 t / 2 c 3 (x ) c t 2 dx= 1 c l c 3 (x )dx. Pro parabolický profil při c max =4 m s -1 : Hledá se řešení pro rovnici paraboly ve tvaru: a 1 x 2 + a 2 x+ a 3 =c Z okrajových podmínek: a 1 0 2 + a 2 0+ a 3 =c max 1