INPROFORUM Juno 2008, České Budějovce, ISBN 978-80-7394-130-7 MULTINOMICKÉ REGRESNÍ MODELY V ŘÍZENÍ RIZIKA MULTICATEGORICAL RESPONSE MODELS FOR RISK MANAGEMENT KLICNAR, Matn Abstact Fo managng of cedt sk n banks t s fundamental to decde to whch custome a loan o sevce wll be offeed and to whch ones t wll not The banks used many methods modelng and foecastng sk pobablty of default Bnay models ae most often and logstc one among them The atcle ntends to shotly llustate and descbe extenson of these models on stuatons whee esponse (depended vaable has moe than two categoes Key wods: cedt scong, genealzed lnea egesson model, logstc egesson, logt, bnay model, multnomal/multcategocal model Abstakt Př řízení kedtních zk v bankách a jných fnančních nsttucí je zásadní ozhodování, kteému klentov se poskytne úvě č jná služba a kteému nkolv K tomu slouží celá řada metod modelujících a předpovídajících zko (pavděpodobnost nesplácení Nejčastěj se používají bnání modely a v ámc nch logstcká egese Tento článek se má za pokust lustovat a seznámt s ozšířením těchto modelů na stuac, kde vysvětlovaná poměnná má více stavů Klíčová slova: kedtní skóng, zobecněný lneání egesní model, logstcká egese, logt, bnání model, multnomcký model Úvod V řízení zka v ámc stategckého plánování a ozhodování fnančních nsttucí poskytujících úvěy je klíčovým nástojem kedtní skóng a segmentace klentů dle skóe Základní úlohou cedt scongu je ozlšení mez dobým a špatným klentem, tedy mez tím, kdo bude spíše platt a kdo nebude, a to na základě získaných nfomací o zákazníkov Většna používaných metod, například bnání logstcká egese, stanovují učtou pavděpodobnost č číslo (skóe, že klent bude dobý (č špatný, tj bude platt (č nebude, tedy přechod od dobého ke špatnému je svým způsobem plynulý (zjednodušeně spojtý Ncméně způsob, jak se k tomuto škálování dostanou, často pacuje dle zvolené defnce č metodky pouze s čstě dobým a špatným klenty, a tím mnoho pozoování (často označované jako ndetemnate s nějakou nfomací vůbec nepoužje Na duhou stanu se př takovém výběu najdou největší odlšnost v chaaktestkách po dobé a špatné klenty Paleta cílů a požadavků na modelování č předpověd se ovšem ozšřuje Předěl mez špatným a dobým klentem není ostý, ostoucí konkuence tlačí na využtí hoších klentů majících učté poblémy se splácením Poto se nabízí pestřejší segmentace výstupu (závslé 79
INPROFORUM Juno 2008, České Budějovce, ISBN 978-80-7394-130-7 poměnné než jen na dobé č špatné Motvem může být jednak aby se z vyloučených záznamů neztatla nfomace, jednak aby modelování lépe vysthovalo svůj zámě Komě základní úlohy - ozdělt klentelu ať už současnou v potfolu, č tu nově příchozí na dobé, platící klenty a špatné, neplatící - může úloha znít na splnění několka ktéí současně Například vybe potfolo s co nejnžším zkem a současně největší odezvou (největším podílem klentů, kteří využjí nabízený podukt Zde je tedy nutné kombnovat více ktéí č defnovat více stavů závslé poměnné Tento článek s poto klade za cíl jednoduše a zkáceně představt modely a metody vycházející ze zobecněných lneáních egesních modelů, kteé vysvětlují více stavů závslé poměnné (tedy více než dva, případně je poovnat s běžným dvoustavovým metodam Lteání přehled Bnání modely Nejčastějším způsobem modelování bnáních (dvoustavových poměnných je pomocí logstcké egese Ta předpokládá, že pavděpodobnost zkoumaného jevu y (označeném jako 1 za podmínky výskytu konkétních hodnot vektou vysvětlujících poměnných x se řídí logstckým 1 exp( x ozdělením nebol y 1 x π, kde značí pořadí 1+ exp( x 1+ exp( x pozoování a je vekto neznámých paametů Pavděpodobnost doplňkového (a opačného 1 jevu 0 se pak učí předpsem y 0 x 1 π 1+ exp( x Na základě vztahů výše se defnuje tzv logt jako logatmus podílu obou předchozích pavděpodobností: π exp( x 1 l o g t π ln ln ln(exp( x x 1 π 1 exp( x 1 exp( x + + Zlomek uvntř přozeného logatmu vyjadřuje elatvní šanc, že nastane altenatva 1 vůč altenatvě 0 Jným slovy je to podíl šance (pavděpodobnost, že nastane událost/altenatva 1, a šance (pavděpodobnost, že tato událost nenastane čl nastane altenatva 0 V anglcké temnolog se běžně po tento podíl užívá temín odds nebo odds ato Multnomcké modely Multnomcké (multkategoální č vícestavové modely jsou ozšířením bnáních modelů, kde vždy pot sobě stály jen dvě altenatvy Modely s vícestavovou vysvětlovanou poměnnou se dělí do dvou základních skupn s nomnální závslou poměnnou mez jednotlvým stavy není uspořádání, nehodnotí se, kteá kategoe je lepší č hoší, s odnální závslou poměnnou zde naopak je uspořádání mez stavy K případům s nomnální závslou poměnnou dochází, pokud jednec čelí výběu z několka možností, u kteých nemá dopředu žádnou nebo velm malou pefeenc (výbě značky pačky, vysoké školy, místa dovolené apod a jstý úsudek a pefeence s vytváří postupně 80
INPROFORUM Juno 2008, České Budějovce, ISBN 978-80-7394-130-7 Jedním ze zástupců nomnálních modelů je multkategoální logstcký model Ten může exp( x být zapsán v případě q stavů jako y x π, po kategoe q + 1 1 exp( x j 1 j 1 1,, q-1 a y q x π, q po efeenční q-tou katego q + 1 1 exp( x j 1 j Opět se defnuje logt, tentokát pomocí podílu pavděpodobností dané kategoe vůč y x pavděpodobnost efeenční q-té kategoe jako l o g t π, ln x y q x Daný logt je dán poměem šancí nastání stavu vůč nastání stavu q a je učen vektoem x Přejdeme-l k modelům s odnální závslou poměnnou, jejchž paktckým příkladem je pávě segmentace klentů dle očekávaného zka níže v textu, pak v ámc ní exstuje několk skupn modelů, nejznámější jsou kumulatvní a sekvenční modely Jako příklad zastupující celou množnu modelů s odnální vysvětlovanou poměnnou uvádím kumulatvní logstcký model, kteý bude pezentován ve výsledcích příkladu Dalším modely jsou například Coxův skupnový model, pobtový kumulatvní model exp( θ + x Kumulatvní logstcký model lze psát jako y x, po nějž platí 1+ exp( θ + x 1 θ 0 < θ 1 < < θ q Potože y > x 1 y x, pak 1+ exp( θ + x y x lze odvodt jná vyjádření tohoto modelu ve tvau exp( θ + x nebo ve y > x y x fomě logtu ln θ + x y x > Mateál a metodka Po paktckou ukázku metod bnání a multnomcké logstcké egese byla použta skutečná data Z důvodu požadavku na zakytí původního smyslu velčn a jejch hodnot byla tato data náhodně vybána z původního soubou, tansfomována a názvy pozměněny všechny velčny a hodnoty nejsou tedy eálné (a ovněž se běžně od klentů nepožadují Použtá data se týkala výhadně běžících smluv, po kteé se dle jejch chování defnoval stav dobý, špatný, neozhodnutý (např pohřešek v platební hsto není tak vážný - (good /G/, bad /B/, ndetemnate /I/ Následně byla povedena logstcká egese pomocí statstckého balíku v softwau SAS, nejdříve po bnání model s vybaným stavy dobý vesus špatný, pak po model se všem 3 stavy závslé poměnné konkétně kumulatvní logstcká egese Výsledky a dskuse Z důvodu malého postou po celý článek je uvedena pouze část výsledků ze standadního výstupu pogamu SAS (z poceduy Logstc hodnoty paametů neefeenčních vaant a shoda modelu s daty měřená ůzným ndkátoy (např Some s D, což je známější GINI 81
INPROFORUM Juno 2008, České Budějovce, ISBN 978-80-7394-130-7 koefcent Konečné modely byly vybíány podobným způsobem metodou FORWARD selecton s paametem po zařazení SLENTRY 0,01, přčemž se do modelu nezařadly všechny vybané velčny, ale pouze ty nejlepší do okamžku než se významně zvýšlo SC (Schwatz kteum A Bnání model Analyss of Maxmum Lkelhood Estmates Paamete DF Estmate StEo Wald Ch-Squae P > ChSq Intecept 1 14895 01312 1288823 <0001 Bava_oc Cena 1 04294 00949 204894 <0001 Bava_oc Hneda 1 01958 00804 59269 00149 Bava_oc Moda 1-01695 00834 41286 00422 Bava_oc Sedv 1 01379 01257 12039 02725 Aut_v_domacnost 1 1-02194 00762 82987 00040 Aut_v_domacnost 2 1 05527 01112 247200 <0001 Svet_jazyku 1 1-00586 01145 02621 06087 Svet_jazyku 2 1 00226 01007 00506 08221 Svet_jazyku 3 1 03671 00960 146158 00001 Intenet_doma 1 1 04174 00690 365599 <0001 Bydlste Obec do 10 tsc 1-00215 01115 00371 08472 Bydlste Obec nad 10tsc 1 03779 01053 128684 00003 Chod_volt 1 1 02931 00625 220042 <0001 Pef_obdob Leto 1 02545 00908 78579 00051 Pef_obdob Zma 1-000213 00756 00008 09775 Pef_alkohol Jny 1 02340 00608 147950 00001 Pef_alkohol Pvo 1-01591 00668 56769 00172 Dovolena_letos Cesko 1 01122 00802 19566 01619 Dovolena_letos Venku 1 02402 01309 33681 00665 Assocaton of Pedcted Pobabltes and Obseved Responses 82
INPROFORUM Juno 2008, České Budějovce, ISBN 978-80-7394-130-7 Pecent Concodant 715 Pecent Dscodant 280 Somes' D 0436 Gamma 0438 Pecent Ted 05 Pas 1718080 Tau-a 0157 c 0718 Pozn1 Všechny poměnné byly nastaveny jako kategoální (tedy ne spojté, tudíž na všechny se aplkoval CLASS statement v PROC Logstc Pozn2 Oba modely byly fomulovány pomocí tzv effect codng nebol po danou poměnnou se daná altenatva fomulovala jako její výskyt a nevýskyt efeenční altenatvy To může vést k tomu, že pavděpodobnost nulového paametu takto fomulovaného složení je přílš vysoká (větší než 5% ve skutečnost pouze 3x u bnáního modelu a 2x u multnomckého nevycházela konkétní altenatva jako významná pot efeenční katego Ncméně všechny velčny v modelu vycházely významné, dokonce na hladně 0,001, tedy 1 pomle Pozn3 Na základě předchozí poznámky, pokud by se stanovovalo skóe, tak by se po běžné altenatvy přpočítával a přepočítával koefcent z výsledků výše, po efeenční katego by se použl součet všech koefcentů po danou s poměnnou ale s opačným znaménkem (vlastnost effect codngu B Model se třem stavy Analyss of Maxmum Lkelhood Estmates Paamete DF Estmate StEo Wald Ch-Squae P > ChSq Intecept 0 1-04815 00810 353066 <0001 Intecept 1 1 17231 00846 4149625 <0001 Bava_oc Cena 1 01533 00527 84580 00036 Bava_oc Hneda 1 01412 00473 89132 00028 Bava_oc Moda 1-000172 00532 00010 09742 Bava_oc Sedv 1 01112 00748 22061 01375 Aut_v_domacnost 1 1-00847 00403 44210 00355 Aut_v_domacnost 2 1 02899 00532 296941 <0001 Svet_jazyku 1 1-00645 00660 09563 03281 Svet_jazyku 2 1 00683 00569 14403 02301 Svet_jazyku 3 1 01865 00502 137927 00002 Intenet_doma 1 1 02976 00417 510091 <0001 Bydlste Obec do 10 tsc 1-00375 00591 04035 05253 Bydlste Obec nad 10tsc 1 02018 00537 141079 00002 83
INPROFORUM Juno 2008, České Budějovce, ISBN 978-80-7394-130-7 Chod_volt 1 1 01572 00332 223993 <0001 Dovolena_letos Cesko 1 01268 00437 84010 00038 Dovolena_letos Venku 1 00675 00684 09749 03235 Geneace_v_dom 2 1 00508 00394 16612 01974 Geneace_v_dom 3 1 01535 00579 70344 00080 Haje_golf 0 1 01772 00460 148629 00001 Assocaton of Pedcted Pobabltes and Obseved Responses Pecent Concodant 619 Pecent Dscodant 371 Somes' D 0249 Gamma 0251 Pecent Ted 10 Pas 8817392 Tau-a 0151 c 0624 Komentář k výsledkům, poovnání modelů 1 Poovnáme-l výsledky modelu, pak vdíme, že do obou modelů bylo vybáno po 9 velčnách, což je ovšem do jsté míy náhoda Těchto 9 velčn ovšem není shodných, vždy 2 velčny jsou jné (Pef_obdob a Pef_alkohol pot Geneace_v_dom a Haje_golf 2 Jný, ovšem mnohem zásadnější fomální ozdíl ve výsledcích jsou 2 odhadnuté konstanty v tnomckém modelu, což je dáno specfckým tvaem kumulatvního logstckého modelu skutečně přbude jen 1 paamet po každý další stav vysvětlované poměnné Ten pvý - 0,4815 (označen 0 udává v logatmu přblžně výchozí podíl pavděpodobnost, že nastane stav 0 (G, vůč pavděpodobnost nastání zbytku, tj stavům 1 nebo 2 (I č B a přblžně odpovídá výchozímu ozdělení (G 2360, I 2999, B 728 G je o něco méně než I+B Ten duhý odhad 1,7231 ( Intecept 1 pak říká to samé, ale o nastání 0 a 1 pot zbytku (tj pouze stav 2 nebol měří v logatmu pavděpodobnost nastání G nebo I vůč nastání B Je kladný a výazně větší než předchozí odhad, neboť klentů B je výazná menšna (as 1/7 z celého výběu 3 Konkétní vaanta dané poměnné pak zvyšuje (kladný odhad paametu č snžuje (záponý odhad danou pavděpodobnost (espektve výsledný logt po každou katego (0 č 0+1 Např Budeme-l poovnávat vaantu 0 (G vesus zbytek 1+2 (I+B a daný subjekt č záznam bude mít nejlepší vaanty po všechny velčny, pak bude výsledný logt oven - 0,4815(odhad konstanty 0+ 0,1533+0,2899+0,1865+0,2976+0,2018+0,1572+0,1268++0,1535+0,17 72 1,2623 Zde tedy jž bude mnohem pavděpodobnější, že daný zákazník patří do skupny 0 (G než do skupny 1+2 (I nebo B, potože logt ovný 1,2623 je větší než 0 čl pavděpodobnost stavu 0 je exp(1,26233,5335kát větší než pavděpodobnost doplňku, tedy stavu 1 č 2 Podobně uvažujeme-l pavděpodobnost nabytí stavu menšího než 1 (G+I pot pavděpodobnost nabytí doplňku, tj stavu 2 (B, se stejným vaantam, dostáváme 84
INPROFORUM Juno 2008, České Budějovce, ISBN 978-80-7394-130-7 výsledný logt ovný 1,7231 (odhad konstanty 1+0,1533+0,2899+0,1865+0,2976+0,2018+0,1572+0,1268+0,1535+ +0,1772+0,1535+0,17723,4669 Pavděpodobnost nabytí stavu 0 č 1 je pak exp(3,4669 32,0372kát větší než pavděpodobnost stavu 2, slovně popsáno př dané konstelac vaant poměnných je pavděpodobnost být špatným klentem velm nízká (přblžně 1 ku 33, tj as 3% 4 Přímé použtí duhého modelu (multnomcký po vývoj skóe jako budoucího nástoje na dělení klentů je složtější Jednak je model v chaaktestkách po sílu (alas asocac dat s výsledky modelu např zmíněné Some s D přece jen slabší a to z důvodu, že přdáním skupny neozhodnutých klentů se stíají ozdíly mez jednotlvým skupnam, jednak poto, že koefcenty v modelu pokývají oba duhy poovnání (stav 0 pot stavům 1+2 a stavy 0+1 pot 2 a tudíž se vlastně z obou poovnání svým způsobem půměují Z těchto důvodů dopoučuj po modelování skóe, chc-l se vyhnout jednoduchému bnánímu modelu, buď použít model s nomnální (neuspořádanou závslou poměnnou, kteý poovnává konkétní stav vůč efeenčnímu stavu (ne agegovanou skupnu pot doplňku, nebo nějaké ozšíření modelů s odnální poměnnou, ve kteém budou obsaženy paamety závslé na konkétním stavu závslé poměnné vz [2] 5 Paktcký význam tohoto kumulatvního modelu spočívá v učení velčn, kteé slně ovlvňují závslou poměnnou (odhady v modelu jsou obustnější pavděpodobnost chyb, že zamítnu nepávem nulovou hypotézu nulovost paametu, espektve nulovou hypotézu nezařazení poměnné do modelu, jsou v tomto modelu nžší bohužel daná část výstupů zde chybí Tyto modely ovněž umožňují zkoumat vztah extémních skupn (zde G, nebo B vůč zbytku v tomto příkladě G vesus I+B nebo naopak B vesus I+G (bohužel ne odděleně, ale dohomady Závě Uvedené příklady modelů po segmentac klentů ukazují, že ozlšení klentů č záznamů ve výběu obecně, na více kategoí má své opodstatnění a může vést k zajímavým výsledkům, stuktuou, ale míně hodnotam odlšným od nejčastějších bnáních modelů Výhodou je větší poozumění vztahům mez stavy závslé poměnné, samozřejmě využtí více nfomací (není vyloučena část pozoování, kteé se obojí odazí v dentfkac nejvíce pedkujících poměnných Nevýhodou zde použtého kumulatvního modelu je celkové zeslabení pedkce (asocace dat s modelem a obtížnější použtí výsledků po další vývoj skóovacího nástoje To lze však napavt č odstant volbou vhodnějšího (složtějšího multnomckého modelu 85
INPROFORUM Juno 2008, České Budějovce, ISBN 978-80-7394-130-7 Seznam lteatuy [1] HARRELL, FRANK E J: Regesson modelng Stateges wth Applcatons to Lnea Models, Logstc Regesson, and Suvval Analyss Spnge-Velag New Yok, Inc 2001 [2] FAHRMEIR, LUDWIG; TUTZ, GERHARD: Multvaate Statstcal Modellng Based on Genealzed lnea models Spnge-Velag New Yok, Inc 2001 [3] HUŠEK, ROMAN: Ekonometcká analýza Vysoká škola ekonomcká v Paze, Nakladatelství Oeconomca 2007 [4] SAS 91 ONLINE DOCUMENTATION: http://suppotsascom/91doc/docmanpagejsp Adesa autoa: Mg, Ing Matn Klcna Jhočeská unvezta v Českých Budějovcích Ekonomcká fakulta Studentská 13 370 05 České Budějovce matnklcna@centumcz 86