Tepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má

Transkript

1 Tepelná kapacta C x = C V = ( ) dq ( ) du Dulong-Pettovo pravdlo: U = 3kT N C V = 3kN x V = T ( ) ds x Tepelná kapacta mřížky Osclátor s kvantovanou energí E n = ( n + 2) hν má střední hodnotu energe (po označení x = hν/kt ) Použtím n e Ē = En e En/kT E n/kt = d (ln ) e dx = 2 hν + hν n e = d ( ln dx ) = e x e x dostaneme Ē = 2 hν + hν e hν/kt Enstenův výpočet (97): Soustava N nezávslých osclátorů se stejnou vlastní frekvencí má vntřní energ U = 3NĒ, jejíž dervací získáme tepelnou kapactu C V = du ( ) 2 hν = 3Nk e hν/kt kt (e hν/kt ) 2 Tento jednoduchý výpočet sce ukazuje, že tepelná kapacta musí za nízkých teplot klesat k nule, průběh spočítaného poklesu ale neodpovídá realtě. Debye počítal s tím, že exctacem krystalové mřížky jsou stojaté vlny s maxmální frekvencí ν D. Počet vln g(ν)dν v oblast frekvencí mez ν a ν + dν je přímo úměrný ν 2. Debyeova frekvence ν D je defnovaná vztahem g(ν)dν = 3N (N je počet atomů mřížky). Po spočítání vntřní energe a její dervac vychází U = Ēg dν = 9 8 Nhν D + 9N ν 3 D ( T C V = 9kN T D T DT ) 3 h x 4 e x (e x ) 2 dx, ν 3 dν e hν/kt

2 kde T D = hν D /k se nazývá Debyeova teplota. Pro nízké teploty platí lmta ( ) 3 T C V, pro vysoké teploty C V teplota považuje za funkc teploty. T D T 3kN. Nedokonalost modelu lze částečně odstrant tím, že se Debyeova Born a von Kármán doplnl Debyeův model tím, že započítal rozdílnou rychlost podélných a příčných fononů. Blackman a Parknson dále započítal nterakce mez vzdálenějším atomy. Tepelná kapacta mřížky spočítaná podle Debyeova modelu. Tepelnou kapactu ovlvňuje také povrch krystalu, přítomnost vakancí a nterstcálů, dslokací nebo např. uspořádávání struktury sltn. Například vlv bodových poruch s energí E p a hustotou způsobí příspěvek k tepelné kapactě C = d(ϱe p) Tepelná kapacta vodvostních elektronů ϱ = ϱ e Ep kt = ϱ E 2 p Ep kt 2 e kt Elektrony se řídí Ferm-Dracovou statstkou. Pro jejch střední energ proto platí přblžně E de U E e E µ kt + Za dostatečně nízkých ( pokojových) teplot platí pro jejch tepelnou kapactu C = du T 2

3 Jné příspěvky k tepelné kapactě V magnetckých materálech přspívá k tepelné kapactě také exctace magnonů. Za velm nízkých teplot je často domnantní tepelná kapacta způsobená nterakcí jader s jejch okolím. Tepelná kapacta způsobená exstencí několka dskrétních energových hladn se obecně nazývá Schottkyho příspěvek k tepelné kapactě. Ten lze jednoduše spočítat pomocí vntřní energe Schottkyho systému U = n E n = N e E /kt e E /kt kde E je energe -té hladny, n její populace a N celkový počet částc. V případě nejjednoduššího systému dvou hladn oddělených energí E dostaneme U = EN e E/kT + e E/kT = C = du = N E2 kt 2 EN e E/kT + e E/kT (e E/kT + ) 2 Zejména v amorfních látkách se může projevt časová závslost měrné tepelné kapacty, jev svázaný s relaxací ochlazené látky. Př ochlazení může látka zůstat v metastablním stavu, který během času přechází do nžšího stavu a uvolněná energe vzorek ohřívá. Tepelná roztažnost Tepelná roztažnost je způsobena anharmonctou kmtů mřížky a také (slabším) vlvem elektronů. Tepelná roztažnost se popsuje koefcentem lneární tepelné roztažnost který je funkcí teploty: α = 3V dv, α = c T 3 + c 2 T. E harmon. realta r 3

4 Tepelná vodvost j Q = λ T λ je tepelná vodvost R = λ tepelný odpor λ = λ F + λ e fononová a elektronová vodvost = R F = λ F λ F = R e = λ e λ e Každá ze složek (R ) tepelného odporu je způsobena konkrétním srážkovým procesem, který brzdí přenos energe fonony, elektrony, event. magnony. Často lze pro konkrétní rozptylový proces použít vztah odvozený z knetcké teore plynů λ = 3 c vvl, kde c v je tepelná kapacta jednotkového objemu plynu, v střední velkost rychlos částc plynu a l střední volná dráha částc mez srážkam -tého typu. Přenos tepla fonony je zpomalován srážkam fononů s povrchem vzorku a hrancem krystalových zrn, srážkam s příměsem a nečstotam a prostřednctvím tzv. reverzních procesů (U-procesů) srážkam s ostatním fonony. Dále se uplatňují srážky s vodvostním elektrony, dslokacem, vakancem, nterstcály atd. Pomocí zmíněného vztahu λ = c 3 vvl lze odvodt, že tepelný odpor způsobený rozptylem fononů na povrchu a hrancích zrn je přímo úměrný T 3, protože tepelná kapacta fononů je úměrná T 3 a rychlost fononů an rozměry látky na teplotě praktcky nezávsejí. Normální srážky fononů s fonony nemají na tepelnou vodvost přímý vlv, protože př nch nedochází ke změně toku hybnost. Pokud je ale celková hybnost srážejících se fononů dostatečně velká, může dojít k reverznímu procesu a část hybnost je předána krystalové mřížce jako celku. Pravděpodobnost srážky s fononem s dostatečnou hybností je za nízkých teplot úměrná e E/T a za vysokých teplot T 4. Za nízkých teplot bude proto tepelný odpor způsobený fonon-fononovým srážkam přblžně úměrný T 3 e E/T, za vysokých teplot bude přímo úměrný teplotě T. Výpočet teplotní závslost tepel- Závslost tepelné vodvost safíru na teplotě pro tř různé průměry vzorku (A: 3 mm, B:,55 mm, C:,2 mm). Převzato z L. Skrbek a kol.: Fyzka nízkých teplot, Matfyzpress, 2. 4

5 ného odporu pocházejícího od srážek fononů s příměsem, vakancem a nterstcály je obtížnější, protože pravděpodobnost rozptylu slně závsí na vlnové délce fononu. Přblžně ale platí, že tento příspěvek tepelného odporu je úměrný T 3/2. Vdíme tedy, že za nízkých teplot je tepelná vodvost fononů omezena rozptylem na površích, zatímco za vysokých teplot j omezují rozptyly na bodových poruchách a fononech. Z toho vyplývá nemonotónní závslost tepelné vodvost na teplotě s maxmem, vz obr. Za nízkých teplot je výraznou překážkou vedení tepla fonony tzv. Kapcův odpor. Jde o tepelný odpor rozhraní dvou materálů lšících se rychlostí zvuku. Od takovéhoto rozhraní se může většna fononů odrazt a nepřspěje proto k vedení tepla do sousedního materálu. Přblžně platí r K = T S Q T 3 kde r K je měrný Kapcův odpor, T rozdíl teplot obou materálů, Q tok tepla rozhraním a S plocha rozhraní. Domnantním procesy omezujícím tepelnou vodvost elektronů jsou rozptyl elektronů na bodových poruchách (příměsích a pod.) a rozptyl elektronů na fononech. Protože tepelná kapacta elektronů je přímo úměrná teplotě, je odpor způsobený příměsem nepřímo úměrný teplotě, zatímco odpor vyvolaný srážkam s fonony roste s druhou mocnnou teploty. I pro tepelnou vodvost elektronů tak dostáváme teplotní závslost vykazující maxmum v oblast relatvně nízkých teplot. Pro některé teploty lze tepelnou vodvost elektronů spočítat z elektrcké vodvost (σ) podle Wedemannova-Franzova zákona λ σt = L 8 WΩ 2.5 K 2 Tepelná vodvost elektronů prudce poklesne př přechodu kovu do supravodvého stavu, čehož se využívá př konstrukc tepelných klíčů. 5