Lokace odbavovacího centra nákladní pokladny pro víkendový provoz

Transkript

1 Markéta Brázdová 1 Lokace odbavovacího centra nákladní pokladny pro víkendový provoz Klíčová slova: odbavování záslek, centrum grafu, vážená excentrcta vrcholů sítě, časová náročnost odbavení záslky, vážená excentrcta odbavení záslky. Úvod Př víkendovém provozu ČD Cargo, a.s. je omezen počet pokladen odbavujících záslky nákladní přepravy. Proto je třeba stanovt jednu centrální pokladnu dané oblast, která bude záslky odbavovat. Cílem úlohy je vybrat, která ze stávajících pokladen na sít má být tímto víkendovým odbavovacím centrem. 1. Charakterstka úlohy odbavování záslek Během víkendového provozu ČD Cargo, a.s. nejsou všechny stance pro nákladní provoz plně obsluhovány. Zákazník, který chce podat záslku, musí k záslce přpojt nákladní lst. Tento nákladní lst vyřzuje zákazník v odbavovacím centru, kterým má být jedna ze stávajících pokladen na sít. Pokud záslka projíždí odbavovacím centrem, nákladní lst lze vyřídt přímo v tomto centru během průjezdu záslky. Pokud záslka odbavovacím centrem neprojíždí, je třeba nákladní lst vyřídt v odbavovacím centru ještě před začátkem přepravy záslky. Úkolem je určt na sít takové centrum, které mnmalzuje celkový čas potřebný na vyřízení nákladního lstu - odbavení záslky. 2. Řešení lokačních úloh Popsaná úloha je jednou z mnoha různorodých úloh spadajících do kategore lokačních problémů. Stuac je možné nterpretovat pomocí teore grafů (1) následovně. Stávající pokladny tvoří vrcholy sítě, železnční tratě pak chápeme jako hrany grafu. Cílem je určt na sít jedno depo (obecně je možné umísťovat více dep), ze kterého (ze kterých) budou zbývající vrcholy sítě obsluhovány. Podle charakteru úlohy je možné použít k řešení různé typy algortmů. Př umísťování objektu s krtérem mnmalzace součtu eukldovských vzdáleností je vhodné použtí např. metodu hyperbolcké aproxmace (2). Tato metoda může sloužt k numerckému řešení úloh umístění jednoho bodového objektu v rovně vzhledem ke stávajícím objektům na sít. Jsou známy souřadnce stávajících objektů o (a, b ) a jejch váhy w. Úloha vede na nalezení mnma účelové funkce 1 Ing. Markéta Brázdová, Ph.D., ČVUT Praha Fakulta elektrotechncká, obor Techncká kybernetka, v současnost odborná asstentka - Unverzta Pardubce DFJP, zaměření Operační analýza. 1

2 m = 2 2 ( x a ) + ( y b ) mn f ( x, y) w. (1) = 1 Z nutných a postačujících podmínek pro nalezení extrému funkce se terační procedurou postupným zpřesňováním určí souřadnce umísťovaného objektu (x, y). Výsledné umístění objektu však př použtí této metody nemusí být totožné s některým ze stávajících objektů. Pro úlohu umístění odbavovacího centra tedy není tato metoda přílš vhodná, protože je dle zadání třeba, aby tímto odbavovacím centrem byla některá ze stávajících pokladen na sít. Pro umístění jedného objektu na sít, kde krtérem je mnmalzace vážených excentrct, se používá také Hakmho algortmus (3). Hakmho algortmus slouží k nalezení optmálního umístění jednoho bodového objektu vzhledem ke stávajícím objektům na sít na základě mnmalzace vážené excentrcty bodu y na hraně grafu. Vážená excentrcta bodu y na hraně (v, v j ) se určí jako ec( = max u V { d( y, w( u) }, (2) kde vzdálenost bodu y na hraně (v, v j ) od vrcholu u určíme jako [ ] {[ e( v, y) + d( v, u) ]; e( y, v ) d( v u) } d( y, u) = mn + j j, Bod y je na hraně (v, v j ) umístěn ve vzdálenost ( v y) od vrcholu v j. Optmálním umístěním je pak bod y *, pro který platí { ec( ec( y * ) = mn y y G. (3) e, od vrcholu v a e ( y, ), (4) An tento algortmus se však pro popsanou úlohu nejeví jako vhodný, protože výsledné umístění centra obsluhy v tomto případě opět nemusí být do stávajících vrcholů na sít, ale může dojít (a často dochází) k stuac, kdy optmální umístění depa je na hraně grafu. Z těchto důvodů se zdá být pro umístění odbavovacího centra nejvhodnější vycházet z algortmu pro hledání centra grafu. Protože ale zadání úlohy přesně neodpovídá charakteru centra grafu, je třeba krtérum úlohy (4) upravt, aby odpovídalo požadavkům kladeným na umístění odbavovací pokladny. v j 3. Metoda stanovení odbavovacího centra Výchozím algortmem pro řešení úlohy je algortmus na určení centra grafu. Centrum grafu je tvořeno množnou centrálních vrcholů. Pro centrální vrchol platí: e ( = r( G), (5) kde e( je excentrcta vrcholu v, r(g) je rádus grafu G (3). 2

3 Excentrcta vrcholu v se určí jako maxmální vzdálenost k jnému vrcholu na grafu G: { d( u, e( = max v u V, (6) kde e( je excentrcta vrcholu v, d(u, je vzdálenost vrcholů u a v (3). Rádus (poloměr) grafu G je číslo stanovené jako mnmum z excentrct všech vrcholů na grafu G: { e( r( G) = mn v v V, (7) kde e( je excentrcta vrcholu v, r(g) je rádus grafu G (3). 3.1 Vážená excentrcta vrcholů sítě Pro účely umístění odbavovacího centra za podmínek stanovených v zadání úlohy je však třeba vzít v úvahu také počty odbavených záslek v pokladnách na železnční sít. Tyto počty odbavených záslek budou představovat váhy jednotlvých vrcholů sítě. V úloze je proto nutné uvažovat mnmalzac vážené excentrcty vrcholů. Váhy budou stanoveny podle počtu odbavených záslek ve vrcholech a také podle toho, kolk dalších záslek podaných v jných vrcholech sítě bude procházet přes daný vrchol. Vážená excentrcta vrcholu v se určí jako maxmum ze součnů váhy vrcholu a vzdálenost mez vrcholy na grafu G: { w( u) d( u, ec( = max v u V, (8) kde ec( je vážená excentrcta vrcholu v, w(u) je váha vrcholu u a d(u, je vzdálenost vrcholů u a v (3). Vzdálenost d(u, mez vrcholy u, v je defnována jako délka mnmální cesty mez těmto vrcholy: d ( u, = mn o( h), (9) m( u, M h m ( u, kde d(u, je vzdálenost vrcholů u a v, M je množna všech cest, které exstují mez vrcholy u a v, o(h) je ohodnocení hrany h (3). Toto ohodnocení hrany bude představovat délku úseku železnční tratě mez vrcholy u a v. Vzdálenost d(u, mez vrcholy u a v je možné získat několka různým algortmy. Vhodnost použtí těchto algortmů je závslá na typu železnční sítě, a tím tedy na typu grafu, který vznkne převedením železnční sítě na tento matematcký útvar. Pravděpodobně nejvhodnějším algortmem, který je unverzálně použtelný pro 3

4 získání vzdáleností d(u, mez vrcholy u a v, je Floydův algortmus (5), jehož výstupem je tzv. dstanční matce. Prvky této matce jsou přímo hledané vzdálenost d(u, (6). Floydův algortmus vychází z matce přímých vzdáleností na grafu (prvek d(,j) matce obsahuje délky hran grafu, pokud mez vrcholy v a v j exstuje hrana, prvek d(,j) je, pokud hrana neexstuje a prvek d(,j) je nulový pro =j). Postupným přepočtem matce se matce přímých vzdáleností převádí na dstanční matc. V každé terac výpočtu se určuje, zda je možné dosud nejlepší nalezenou cestu mez vrcholy v a v j zkrátt přes vrchol v k. Za vrchol v k jsou postupně dosazovány všechny vrcholy grafu (k = 1,..., n; kde n je počet vrcholů grafu). 3.2 Časová náročnost odbavení záslky Př stanovení krterální (účelové) funkce úlohy (7) je nutné uvažovat časovou náročnost odbavení záslky. Př odbavení záslky mohou nastat následující stuace: Záslka bude projíždět odbavovacím centrem, nákladní lst bude vyřízen v průběhu přepravy záslky. Časová náročnost úkonu je t (časových jednotek). Tuto hodnotu lze považovat za konstantní pro všechny vrcholy sítě, jde o čas potřebný pro vyřízení dokumentu přímo na odbavovací pokladně, který by měl být na všech odbavovacích místech přblžně stejný. Záslka nebude odbavovacím centrem projíždět nákladní lst je třeba vyřídt předem - časová náročnost úkonu je t uv (časových jednotek). Tato hodnota je závslá na vzdálenost odbavovací pokladny umístěné ve vrcholu v od místa podání záslky ve vrcholu u. Je tedy přímo úměrná vzdálenost d(u, mez vrcholy u a v. 3.3 Vážená excentrcta odbavení záslky Z časové náročnost odbavení záslky a váhy vrcholů bude stanovena vážená excentrcta odbavení záslky ve vrcholu v. Tato vážená excentrcta pak bude použta do krterální funkce úlohy. Vážená excentrcta odbavení záslky ve vrcholu v: etc( * = ( w( + w ( u )) t + u V uj V w ** ( u ) t j u v j, (10) kde etc( je vážená excentrcta odbavení záslky ve vrcholu v, w(, w * (u ), w ** (u j ) jsou váhy vrcholů v, u, u j. Časová náročnost odbavení záslky je t, pokud záslka bude projíždět odbavovacím centrem. Časová náročnost odbavení záslky podané ve vrcholu u j na pokladně umístěné ve vrcholu v je t v u j. Záslky podané ve vrcholech u projíždí odbavovacím centrem, a budou tedy odbaveny v průběhu přepravy záslky, záslky podané ve vrcholech u j odbavovacím centrem neprojíždí, a musí být tedy odbaveny ještě před začátkem přepravy záslky. 4

5 3.4 Krtérum úlohy Odbavovací pokladna bude umístěna do takového vrcholu grafu, pro který platí, že jeho vážená excentrcta odbavení záslky je mnmální: { etc( f ( r) = mn v v V, (11) kde etc( je vážená excentrcta odbavení záslky ve vrcholu v, r je vrchol, do kterého bude odbavovací centrum umístěno. 4. Modelová stuace Z nformací dostupných u společnost ČD Cargo, a.s. vyplývá, že problematka umísťování odbavovací pokladny byla dosud řešena pouze z organzačních a personálních hledsek kvalfkovaným odhady. Metoda založená na matematckých základech se prozatím př řešení této problematky neuplatňovala. Konkrétní údaje o počtech záslek nejsou veřejně dostupné. Proto bude úloha smulována pouze na modelovém příkladu. Předpokládejme pro názornost jednoduchou stuac znázorněnou na obr. 1: w( w( w( B w( w( A w( C w( w( w( Obr. 1 Modelová stuace Zdroj: autor Vrcholy C představují stávající pokladny na sít. Jsou dány počty záslek, které se podávají v jednotlvých vrcholech C a nebudou projíždět přes ostatní vrcholy. Tyto hodnoty představují váhy vrcholů w(, w(, w(. Dále je známo, kolk záslek bude z vrcholu A projíždět ve směru přes vrchol B a kolk záslek bude z vrcholu A projíždět ve směru přes vrchol C. Tyto hodnoty představují další váhy vrcholů w( a w(. Obdobně známe váhy w(, w( a w(, w(. Určíme vážené excentrcty odbavení záslek pro každý vrchol sítě: [ w( ] t ] t A ] t A etc( = (12) 5

6 [ w( ] t ] ta, B ] t B etc( = [ w( ] t ] ta, C ] tb, C etc( = kde t je časová náročnost odbavení záslky, pokud záslka bude projíždět odbavovacím centrem, t, je časová náročnost odbavení záslky podané ve vrcholu A B A na pokladně umístěné ve vrcholu atd. Podle krtéra lze pak určt optmální umístění odbavovací pokladny: mn { etc ( v { B C} (13) (14) f ( r ) = (15) v, Pokladna bude umístěna do vrcholu r { C} váženou excentrctu odbavení záslky., který bude mít mnmální Závěr Cílem úlohy bylo stanovení optmálního umístění odbavovací pokladny př víkendovém provozu na ČD Cargo, a.s. K řešení úlohy je vhodné použít metody operačního výzkumu, specálně teore grafů. Jako nejvhodnější se ukázalo užtí algortmu pro umístění centra grafu. Algortmus však přesně neodpovídal specfkacím uvedeným v zadání úlohy, bylo proto třeba jej částečně modfkovat. Tato modfkace se týkala stanovení vah vrcholů a určení vážené excentrcty odbavení záslky. S využtím mnmalzačního krtéra pak lze stanovt optmální umístění odbavovacího centra na sít. Použtá lteratura (1) SEDLÁČEK, Jří. Úvod do teore grafů. 2. vyd. Praha: Academa, s. (2) DUDORKIN, Jří. Operační výzkum. Praha: Vydavatelství ČVUT, s. ISBN (3) VOLEK, Josef a Bohdan LINDA. Teore grafů aplkace v dopravě a veřejné správě. Pardubce: Unverzta Pardubce, s. ISBN (4) VOLEK, Josef a Bohdan LINDA. Lneární programování. Pardubce: Unverzta Pardubce, s. ISBN (5) DEMEL, Jří. Grafy a jejch aplkace. Praha: Academa, s. ISBN (6) PASTOR, Otto a Antonín TUZAR. Teore dopravních systémů. Praha: ASPI, s. ISBN

7 (7) BRÁZDOVÁ, Markéta. Řešené úlohy lneárního programování. Pardubce: Unverzta Pardubce, s. ISBN Praha, březen 2016 Lektoroval: RNDr. Josef Rak, Ph.D. Unverzta Pardubce doc. Ing. Josef Volek, CSc. Fakulta dopravní ČVUT Praha 7