CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

Transkript

1 CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt ještě jednou, desetkrát nebo kolkrát ještě? Jaká hodnota je ta pravá? Jná stuace: Teore praví, že ta a ta fyzkální velčna má nabývat určté hodnoty. Vaším úkolem je přesvědčt se o tom. Provedete měření. Velce pravděpodobně naměřená hodnota nebude stejná s teoretckou. Znamená to, že teore neplatí? Pro odpověď na tyto otázky se musíme obrátt na teor chyb. Ta nám umožní ohodnott kvaltu měření a na výše uvedené otázky odpovědět. Základním axomem, který musíme vždy podržet v pamět je: ŽÁDNÉ MĚŘENÍ NENÍ DOBRÝM MĚŘENÍM, POKUD NENÍ URČENA JEHO CHYBA. (Pozn.: Můžeme, a často je to nutné, mluvt o chybě teoretckých výsledků. Tím se však zde nebudeme zabývat.) Podrobný výklad teore chyb zde není možný, uvedeme proto jen základní pojmy a výsledky této teore. Chybou měření ε budeme rozumět rozdíl mez naměřenou hodnotou x m a skutečnou (pravou) hodnotou x měřené velčny X. Je tedy ε = x m x. Problém je, že skutečnou hodnotu měřené velčny neznáme a nemůžeme tedy takto chybu spočítat! (Pozor! Tabulková hodnota není skutečnou hodnotou! Je to také výsledek měření, a jako takový známý jen přblžně. Stejně není skutečnou hodnotou teoretcká předpověď: skutečnost může být jná než teore předvídá.) Teore chyb proto musí skutečnou hodnotu odhadnout a také odhadnout přesnost tohoto odhadu. Jedné měření k odhadu chyby nestačí není s čím srovnávat. Je proto třeba měřt vícekrát. (Mohl bychom sce použít chybu danou přístrojem, ale další naměřená hodnota může být jná.) Úkolem teore chyb je tedy na základě souboru měření najít nejlepší odhad x o skutečné hodnoty x měřené velčny X (v podstatě takový, aby rozptyl naměřených hodnot byl nejmenší) a určt jak přesný tento odhad je, tj. stanovt jeho absolutní chybu δ x o. Tato chyba není odchylkou od skutečné hodnoty (jak se často student domnívají), ale charakterzuje velkost ntervalu, v němž můžeme s nějakou dohodnutou pravděpodobností očekávat, že bude skutečná hodnota ležet. Standardně se volí pravděpodobnost výskytu skutečné hodnoty v ntervalu ( xo δ xo, xo + δ xo ) rovna 0, (vz dále). Výsledek pak uvádíme ve tvaru x = x ± δ. o x o 1

2 Kvaltu měření pak hodnotíme buď pomocí této absolutní chyby, nebo častěj pomocí chyby relatvní, defnované jako podíl absolutní chyby a odhadované hodnoty: ξ x o = δ xo / xo. Relatvní chyba je bezrozměrná, nebo j vyjadřujeme v procentech (po vynásobení čntelem 100). Toto vyjádření chyby odpovídá lépe logartmcké reakc našch smyslů běžné ntuc. (Zjevně je něco jného obdržet záslku uhlí na zmu s přesností jeden klogram a znát se stejnou absolutní chybou velkost rodnných zásob zlata. Zde je evdentně výhodnější uvést přesnost pomocí relatvní chyby.) Chyby obvykle rozdělujeme na soustavné a náhodné. Soustavné chyby, zvané též systematcké, jednosměrně zkreslují výsledek měření. Jsou dány metodou měření (tzv. chyba metody jde pak o ne zcela vhodně provedené měření), kvaltou přístrojů (tzv. přístrojová chyba, kterou obvykle lze na základě údajů výrobce odhadnout) a kvaltou prováděných měření (tzv. osobní chyba). Soustavnou chybu nelze odstrant výpočtem. Projeví se až porovnáváním daného měření s měřením provedeným jnou metodou, s měřením provedeným jným (lepším) přístroj nebo jným osobam. Je-l ovšem chyba jž zjštěna, můžeme provést odpovídající korekce. V rámc fyzkálního praktka by měly být zvolené metody dostatečně vhodné a přístroje dostatečně kvaltní. Náhodné chyby jsou dány ne úplně kontrolovatelným vnějším (tlak, teplota, vlhkost vzduchu, elektromagnetcké rušení, vbrace, sesmcké vlvy,...) a vntřním (kolísání měřené velčny, tepelný šum, ) vlvy. Obecně předpokládáme, že takové vlvy jsou malé, že je jch mnoho a že přblžně se stejnou pravděpodobností zvyšují nebo snžují měřenou velčnu. Nestejnost výsledků měření nterpretujeme jako důsledek přítomnost náhodných chyb a metody teore pravděpodobnost využívané v teor chyb nám dovolí tuto skutečnost kvantfkovat. Může se také stát, že mez naměřeným hodnotam je údaj, který je na první pohled zjevně výrazně odlšný. Vznkl nejspíše nepozorností, č nějakým netypckým ovlvněním systému. Takovéto chybě říkáme hrubá. Níže uvedeme konvenční pravdlo pro vyřazení takovéhoto údaje ze souboru naměřených hodnot. Dále se postupně zaměříme na určení odhadu výsledku měření a odhadu chyby v případě přímých měření. Ukážeme, jak provádět odhady chyb měřcích přístrojů. Uvedeme, jak zvolt optmální počet měření a kdy je možno vyškrtnout hrubou chybu. Poté se budeme věnovat odhadu výsledku měření a odhadu chyby pro nepřímé měření. Specálně se budeme věnovat chybám parametrů funkčních (lneárních a na lneární převodtelných) závslostí. Nakonec ukážeme, v jaké podobě uvádíme výsledky měření. A. Přímé měření fyzkální velčny zatížené náhodnou chybou Proveďme N měření fyzkální velčny X. Výsledky měření nechť jsou x 1,, x N. Zajímá nás, jaký je nejlepší odhad x o skutečné hodnoty x měřené velčny X a s jak velkou chybou δ x je určen. o 13

3 Budeme předpokládat, že rozložení náhodných chyb je takové, že nejlepším odhadem skutečné hodnoty je artmetcký průměr: 1 x = x. N To je např. splněno, je-l rozložení chyb dáno tzv. Gaussovým rozdělením (též zvaným normální). Pravděpodobnost dp, že chyba měřené hodnoty x m x leží v ntervalu ( ε, ε + dε) je pak dána vztahem 1 ε d p = G ( ε ) dε =.exp dε π. σ σ, kde parametr σ (tzv. směrodatná odchylka) charakterzuje šířku Gaussova rozdělení, a tím velkost očekávatelné chyby. Funkce G(ε) má význam hustoty pravděpodobnost, tj. pravděpodobnost přpadající na chybu jednotkové velkost (obr. 1). Pravděpodobnost výskytu chyby v nějakém ntervalu ε 1, ε zjstíme pak ntegrací uvedeného výrazu. hustota pravděpodobnost G( ) 0,683 0,1355 0,1355 0,017 0,017 0, , Obr. 1 Gaussovo rozdělení hustota pravděpodobnost Pravděpodobnost výskytu chyby ε jedné naměřené hodnoty uvntř určtého ntervalu je rovna velkost plochy (pod křvkou) vymezené hrancem tohoto ntervalu. (P ±σ = 0,683, P ±σ = 0, ,1355 = 0,954, P ±3σ = P ±σ + 0,017 = 0,9974, P ± = 1) Matematkové umějí dokázat, že pro nekonečně mnoho nekonečně malých náhodných vlvů dostaneme Gaussovo rozdělení přesně (tzv. centrální lmtní věta). Pro fyzkální stuace nemusí a často an nemůže (např. u velčn, které jsou vždy kladné) Gaussovo rozdělení popsovat rozdělení chyb. Předpokládá se ale, že odchylky artmetckých průměrů od skutečné hodnoty jsou už rozloženy podle Gaussova rozdělení. Pro dostatečně velké soubory měření, kde N 30, jž bývá tento předpoklad splněn. (Př menším počtu měření, jak tomu bývá ve fyzkálním praktku, s pouze hrajeme na správný výpočet. Můžeme ovšem provést korekc 14

4 na malý počet měření pomocí tzv. Studentova rozdělení odhad očekávané chyby se pak zvětší.) Je možno dokázat, že rozdělení chyb artmetckých průměrů (získal bychom je z mnoha měření po N hodnotách, přčemž z každé N-tce hodnot by se vypočítal jeden artmetcký průměr) je N -krát užší než je rozdělení chyb jednotlvých naměřených hodnot. Lze vypočítat, že parametr σ Gaussova rozdělení je roven střední kvadratcké odchylce od skutečné hodnoty: ( ε ) σ = ε G dε. Velčna σ se nazývá rozptyl a lze jej odhadnout pomocí tzv. výběrového rozptylu naměřených hodnot od průměru, tj. velčny 1 s = ( x x). N 1 Ukazuje se, že nejlepší odhad rozptylu je σ s. Rozptyl σ, jenž charakterzuje rozdělení odchylek (chyb) artmetckých průměrů od skutečné hodnoty, bude pak N-krát menší: ( x x) σ σ =, tj. N N ( N 1) ( x x) σ σ =. N N ( N 1) Pro hodnocení přesnost měření se používá tzv. směrodatná (nazývaná též standardní nebo střední kvadratcká) chyba artmetckého průměru, která je rovna parametru σ. Výsledek měření pak konvenčně vyjadřujeme takto: Naměřená hodnota velčny X je rovna x ±σ. Pro správné pochopení výrazu x ± σ je vhodné s uvědomt tuto skutečnost: Pravděpodobnost, že chyba měření bude menší než E dostaneme ntegrací Gaussova rozdělení (vz obr. 1): E 1 ε E E p( E) = exp dε = Φ Φ, π. σ σ σ σ E 1 z z kde Φ( z) = e dz π je tzv. gaussovská dstrbuční funkce chyb, která bývá často tabelována. Provedeme-l ntegrac v mezích σ až + σ zjstíme, že pravděpodobnost výskytu chyby našeho artmetckého průměru v ntervalu ( σ, + σ ) je 0, (tečky symbolzují další neuváděná desetnná místa). Máme tedy 68,3% pravděpodobnost, že náš artm. průměr leží v oblast ± σ okolo skutečné hodnoty. Nebo obráceně: máme 68,3% pravděpodobnost, že skutečná hodnota leží v oblast ± σ okolo našeho průměru. Pokud bychom např krát změřl N hodnot a vypočetl 15

5 z nch 1000 artmetckých průměrů, pak přblžně 683 získaných průměrů bude ležet v oblast ± σ kolem skutečné hodnoty. Vdíme, že změření N hodnot a určení artmetckého průměru je vlastně náhodný výběr jednoho průměru z nekonečného množství potencálně možných artmetckých průměrů. Pro prax jsou důležté ještě následující případy: Pravděpodobnost chyby menší než: ± σ je 0,954..., ± 3σ je 0, , ± 0,674...σ je 0,5. Nejníže uvedená chyba se nazývá pravděpodobná a v dřívějších dobách byla užívána jako charakterstka chyby měření. Chybu o velkost 3σ nazýváme krajní. Pokud j použjeme, máme pravděpodobnost, že skutečná hodnota leží vně ntervalu ( x 3σ, x + 3σ ) as 0,007 tedy praktcky nulovou. Poznámka: Chyba σ je ovšem také jen odhadnuta. Lze ukázat, že chyba chyby ční přblžně δ σ σ ( N 1), což pro N = 50 dává chybu chyby as 10 %! Nemá tedy smysl uvádět ve výsledcích chybu přílš přesně. Doplňme nyní, kdy je možno vyloučt ze souboru měření hrubou chybu H. Můžeme to udělat tehdy, je-l její výskyt málo pravděpodobný. K tomu stačí, aby se příslušná naměřená hodnota lšla od artmetckého průměru o více než 3 σ. B. Odhad přístrojové chyby Protože není možno se věnovat odhadu přístrojové chyby obecně, omezíme se jen na dva nejvýznamnější případy: 1) Chyba čtení stupnce a dspleje Pro odhad chyby měření na stupnc se předpokládá, že skutečná hodnota leží s přblžně konstantní pravděpodobností v ntervalu ± 1/ dílku. Rozdělení odchylek tedy v tomto případě není gaussovské, ale přblžně obdélníkové, šroké 1 dílek. Směrodatnou chybu pak získáme (tak, aby byla rovna střední kvadratcké odchylce od skutečné hodnoty) jako odmocnnu z ntegrálu kvadrátů odchylek přes toto rozdělení. Výsledkem pak bude hodnota = 0, , 3 dílku. Jako směrodatnou chybu stupnce budeme proto uvažovat 0,3 dílku. Měřcí přístroje s dgtálním výstupem zaokrouhlují sgnál na poslední platnou číslc, přčemž rozdělení odchylek je opět přblžně rovnoměrné v ntervalu ± 1/ řádu poslední číslce dspleje. Směrodatná chyba proto bude opět 0,3 řádu poslední číslce. ) Chyba elektrckých měřcích přístrojů udávaná výrobcem Starší ručkové elektrcké měřcí přístroje mají uvedenu tzv. třídu přesnost, udávající kolk procent zvoleného rozsahu ční maxmální možná chyba. Např. třída přesnost 0, znamená, že maxmální absolutní chyba ční 0, % rozsahu, bez ohledu na to, jakou hodnotu na daném rozsahu právě měříme. (Rozsah proto volíme tak, aby výchylka ručky zasahovala do horní třetny stupnce, jnak neúměrně narůstá relatvní chyba měření.) 16

6 U novějších přístrojů bývá maxmální chyba udávána předpsem výrobce např. jako součet procentové chyby rozsahu a procentové chyby měřeného údaje nebo jako součet procentové chyby údaje a určtého počtu jednotek posledního místa dspleje. (vz odst. Dgtální měřcí přístroje na str. 37) Zbývá otázka, jak tuto maxmální chybu nterpretovat. Protože se zde také předpokládá přblžně rovnoměrné (obdélníkové) rozdělení odchylek o šířce ± 1 maxmální chyba, bude odpovídající směrodatná chyba rovna ,6 maxmální chyby. Nakonec je třeba se zmínt o problematce skládání chyb. Někdy musíme např. uvážt jak chybu stupnce, tak náhodnou chybu č chybu udanou výrobcem. Pro celkovou chybu σ vznklou skládáním nezávslých chyb σ 1 a σ platí: σ = σ 1 + σ (obdobně př skládání více chyb). Z daného výrazu vyplývají tyto závěry: 1) Je-l jedna z chyb více než 3 menší než druhá, lze j zanedbat. Celkovou chybu to ovlvní o méně než 5,5 %, což je vzhledem k nepřesnost určení chyby zanedbatelné. ) Protože náhodná chyba průměru s velkostí souboru obvykle klesá jako 1 N, může její hodnota být př dostatečně velkém N lbovolně malá. Optmální počet měření pak zřejmě odpovídá případu, kdy je tato chyba zanedbatelná vzhledem k přístrojové chybě č chybě stupnce, tj. je alespoň 3 menší. C. Chyba nepřímo měřené velčny Zatím jsme se zabýval stanovením chyby přímého měření, často ovšem fyzkální velčny měříme nepřímo. Pak je daná velčna funkcí několka přímo měřených velčn. (Např. hustotu látky zjšťujeme na základě měření hmotnost a objemu. Výsledná hustota je pak podílem těchto velčn.) Je-l výsledná velčna Z dána funkcí přímo měřených velčn A, B, C,, tj. Z = f (A, B, C, ), pak, pokud relatvní chyby ξ a, ξ b, ξ c, velčn A, B, C, jsou dostatečně malé (malost ovšem závsí na tvaru funkce f), pro vyhodnocení výsledku platí: 1) Rozumný odhad z o skutečné hodnoty z velčny Z, je dán funkcí f odhadů a o, b o, c o, příslušných velčnám A, B, C, : z o = f (a o, b o, c o, ). ( Rozumný proto, že tento odhad není vždy nejlepší např. artmetcký průměr kvadrátů je vždy větší než kvadrát artmetckého průměru. Obecně však tento odhad použtelný je.) ) Odhad směrodatné chyby σ z je dán vztahem kde σ a, σ b, f f f σ z = σ a + σ b + σ c + K, a b c σ, jsou směrodatné chyby velčn A, B, C,. c 17

7 Toto je tzv. věta o přenosu chyby. Výše uvedená dvě tvrzení umožňují výpočet odhadu skutečné hodnoty nepřímo měřené velčny a její směrodatné chyby. Specálně pro součet a rozdíl přímo měřených velčn dostaneme a ± b a σ = σ + σ a vztah pro chybu výrazu a m b n, kde m a n jsou číselné parametry (součn velčn odpovídá m = n = 1, podíl m = 1, n = 1), můžeme elegantně zapsat ve tvaru: b m n ( a b ) ( mξa) ( nξb) ξ = +, kde ξ a a ξ b jsou relatvní směrodatné chyby výchozích velčn. (Rozšíření vzorců na případ více velčn je přímočaré.) Ve vztazích vyjadřujících nepřímo měřené velčny často vystupují konstanty. Nechceme-l zvětšt chybu výsledné velčny, je třeba, pokud je to možné, vyjádřt konstantu tak přesně, aby její příspěvek k celkové chybě byl zanedbatelný. Obyčejně volíme relatvní chybu konstanty o řád menší než je velkost ostatních chyb. Není-l to možné, je zapotřebí započítat chybu příslušné konstanty. D. Lneární regrese a její chyba Často nezjšťujeme výslednou velčnu jako funkční vyjádření jných přímo měřených velčn, ale jako parametr vyjadřující charakter závslost měřených velčn. Příkladem může být určení elektrckého odporu na základě voltampérové charakterstky. Níže se omezíme na lneární závslost mez vystupujícím velčnam. Procedura je ovšem použtelná pro závslost převodtelné, např. logartmováním, na lneární. Předpokládejme, že máme dvě řady souvsejících velčn x a y ( = 1 N) a že jejch vzájemná závslost je vyjádřtelná ve tvaru: y = k.x + q. Nejlepším odhadem parametrů k a q, ve smyslu nejmenšího součtu kvadratckých odchylek, je: ( x x) y k = x x a q = y k. x. ( ) V těchto výrazech pruh označuje artmetcký průměr. Geometrcky se jedná o proložení přímky daným (naměřeným) body. Druhá rovnce zjevně říká, že přímka prochází těžštěm bodů grafu. Nalezení optmální přímky aproxmující daná data se nazývá úlohou (jednoduché) lneární regrese. Chyby parametrů k a q jsou dány vztahy: ( y k. x q) ( x x) 1 σ k = a N σ q 1 x = + ( ) N x x ( y k. x q) N 18

8 Víme-l, že parametr q má být roven nule (jde tedy o přímou úměrnost a hledaná přímka prochází počátkem), pak nejlepší odhad směrnce a její chyba jsou dány vztahy: x y k, = x ( y k. x ) = 1 σ k. N 1 x E. Konečný tvar výsledku měření Výslednou hodnotu měřené velčny píšeme ve tvaru : MĚŘENÁ VELIČINA = VÝSLEDNÁ HODNOTA ± SMĚRODATNÁ CHYBA Směrodatná chyba je určena značně nepřesně (s přesností horší než 10 % vz výše), a proto j zaokrouhlujeme na jednu platnou cfru. Pouze v případě, že první cfrou je číslce 1, zaokrouhlujeme na dvě platné cfry. Za platné se považují všechny cfry kromě nul vlevo od první nenulové cfry. Např. číslo 0,0170 má tř platné cfry. Cfra nula na konc je platná číslo je tím udáno s přesností na desettsícny. Vynechání této nuly sníží přesnost čísla desetkrát. Číslo má pět platných cfer a chceme-l jej uvést pouze na tř platné cfry, musíme použít tvaru 1, ! Výslednou hodnotu zaokrouhlujeme na tolk míst, kolk jch má (jž zaokrouhlená) chyba. Ta korguje poslední (resp. dvě poslední) cfry výsledku. Př konečném zápsu využíváme často exponencálního tvaru zápsu čísel: např. číslo 3 44 ± 679 zaokrouhlíme a zapíšeme jako (34 ± 7).10. Přpomeňme ještě, že zaokrouhlujeme podle hodnoty výrazu za poslední platnou cfrou: Je-l větší než 5, zaokrouhlujeme nahoru, je-l menší pak dolů. V případě, že je výraz přesně roven 5, zaokrouhlujeme nahoru, je-l předchozí cfra lchá, a dolů, je-l sudá (pro vyrovnání statstky zaokrouhlování). Příklady zápsu: Správně: 1,50 ± 0,0 0,6 ± 0,3 0,3 ± 0, ± 9 (3,0 ± 0,) km/s Nesprávně: 1,5 ± 0,0 0,56 ± 0,3 0,341 ± 0, ,1 ± ± 0000 km/s Závěr Zjstl jsme, jak určovat odhad skutečné hodnoty měřené velčny a jeho chybu na základě měření. Odpověděl jsme tak na první otázku z počátku kaptoly. Budeme-l mít více souborů měření téže velčny, pak zjštěné odhady hodnoty a směrodatné chyby nejspíše nebudou zcela stejné. Tyto hodnoty pak můžeme snadno porovnat takto: dva odhady výsledku měření budeme považovat 19

9 za souhlasné, pokud jejch rozdíl bude v absolutní hodnotě menší než dvojnásobek směrodatné chyby, která je v daném případě rovna σ = σ 1 + σ, kde σ 1 a σ jsou směrodatné chyby těchto odhadů. (Odpovídá to vytvoření rozdílu obou odhadů a testování, kdy je tento rozdíl nulový.) Pravděpodobnost, že odhady souhlasí, ale my je na základě tohoto testu označíme (nesprávně) za odlšné, ční cca 5 %. Pokud je rozdíl odhadů větší než dvě a menší než tř směrodatné odchylky σ, považujeme stuac za nerozhodnou a vyžadující další měření. Je-l rozdíl větší než 3 σ, považujeme výsledky za různé, a tedy nesouhlasící. Umíme tedy porovnávat soubory měření. (Souborem měření je tabulková hodnota!) Porovnání s teoretckým výsledkem provádíme obdobně. Teoretcký výsledek charakterzujeme parametry x t a σ t (teoretcká hodnota a její směrodatná chyba teoretcká chyba nebývá vždy uvedena: pak j budeme považovat za zanedbatelnou). Pak s představíme teoretcký výsledek jako kdyby to byl soubor měřených dat, reprezentovaný parametry x t a σ t a porovnáme jej s našm naměřeným daty. Experment pak souhlasí s teorí, pokud se rozdíl expermentální a teoretcké hodnoty nelší v absolutní hodnotě o více než dvě směrodatné chyby σ = σ t + σ e, kde σ e je směrodatná chyba našeho měření. I druhá otázka ze začátku kaptoly je tedy odpovězena. Zpracováno podle normy European Cooperaton for Accredtaton of Laboratores EAL R (vyd. 1997). STRUČNÝ POSTUP PŘI VÝPOČTU CHYB SHRNUTÍ V běžných případech můžeme použít schéma výpočtu chyb zobrazené na obr. 1 na následující straně. Př měření každé z velčn A, B, C, je třeba rozhodnout, zda j měřt vícekrát (N-krát), nebo jen jednou. Nejdříve tedy provedeme několk zkušebních měření a pokud se jednotlvá měření velčny vzájemně lší, musíme měřt vícekrát a data zpracovat statstcky podle kaptoly Chyby měření, odst. A. Vychází-l zkušební měření stále stejně, stačí samozřejmě uvažovat jedné. V obou případech je nutné ještě př měření stanovt chybu použtého měřcího přístroje a sloučt j s chybou statstckou (ve druhém případě rovnou nule). Stanovení hodnot jednotlvých chyb je uvedeno v předcházející kaptole. Pops některých měřcích přístrojů a stanovení jejch chyb je uveden v kaptole Přístroje užívané ve fyzkálním praktku. 0

10 1