Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Transkript

1 Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze je tedy popsat přblžně stejným modelem rozdělení pravděpodobnost. Typové modely takových rozdělení byly stanoveny teoretcky a jejch platnost pro různé náhodné velčny byla ověřena epermentálně. Mějme výběrový soubor z nějaké populace. Jsou to reálná - emprcká data. Snažíme se stanovt parametry výběrového souboru a nalézt teoretcké rozdělení tak, aby to co nejlépe odpovídalo emprckému rozdělení četností. Jným slovy: Vybíráme takový model rozdělení, který vysthuje povahu našch reálných - emprckých dat.

2 Rovnoměrné dskrétní rozdělení Náhodná velčna má rovnoměrné dskrétní rozdělení, jestlže k - hodnot, kterých může nabývat, se vyskytuje s pravděpodobností Rozdělení je modelem pokusů házení mncí (k) nebo házení hrací kostkou (k6) Střední hodnota je a rozptyl je var()e[-e()] E( ) - [E()] k k P...,,,, ) ( k k k P E ) ( ) ( ) var( k k k k

3 Příklad: Rovnoměrné dskrétní rozdělení Hod mncí. stranu označíme druhý způsob výpočtu podle klasckého vzorce E( ) var( ) n σ n ( ) 3, var( ) ( 0,5 ). stranu označíme [(,5) + (,5) ] [ 0,5 + 0,5 ] [ 0,5 + 0,5] 0, 5 Hod kostkou E( ) ,5 var( ) ,9

4 Bnomcké rozdělení B (n; π) Toto rozdělení má náhodná velčna, která vznkne jako součet n nezávslých alternatvně* rozdělených náhodných velčn se stejným parametrem π (pravděpodobnost úspěchu). Dskrétní náhodná velčna má bnomcké rozdělení s parametry n, π, π Є (0, ), B ( n, π ) resp. B( n, π ) nabývá-l hodnoty 0,,,.., n s pravděpodobností n ) π π Střední hodnota: E ( ) n π Rozptyl: var ( ) n π ( π ) n ( ) *Alternatvně - mají jen možné výsledky: úspěch neúspěch

5 Bnomcké rozdělení B (n; π) Příklad: Hokejsté mají proměnt 5 trestných střílení. Jsou vybrán hráč, u nchž pravděpodobnost vstřelení branky je 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že vstřelí branku ze všech pět pokusů? Podle pravdla násobení pravděpodobností: p 0,8*0,8*0,8*0,8*0,8 Jaká by byla pravděpodobnost, že vstřelí branku jen ve třech stříleních? Z defnce bnomckého rozdělení: p počet možností * (0,8) 3 * (0,) n n ( ) ) π π 3) 5 3 0,8 3 ( ) 5 0,8 3 Bnomcké rozdělení je rozdělením nezávslých pokusů alternatvní velčny se stejnou pravděpodobností úspěchu.

6 Bnomcké rozdělení B (n; π) Máme alternatvní velčnu např. ndkující, že daná osoba trpí dabetem s pravděpodobností p π a osoba je zdravá s pravděpodobností p - π Předpoklady: všechny osoby mají stejnou pravděpodobnost výskytu onemocnění výskyt dabetes je u jednotlvých osob nezávslý (nejedná se o nakažlvou chorobu) Sledovaná populace: Ve výběru bude: n osob nemocných n ) π π n Pravděpodobnost, že ( )

7 Bnomcké rozdělení - grafcké znázornění náhodná velčna hodnota NV, které dosáhne (např. pro 30 měření 0,,,, 30) π pravděpodobnost, s jakou je jev pozorován -π pravděpodobnost, s jakou jev nenastane n π n ) π ( ) π0,5 π0,0 π0, π0,95

8 Alternatvní (Bernoullho) rozdělení (, π ) je zvláštním případem Bnomckého rozdělení a nazývá se Alternatvní nebol Bernoullho rozdělení. B Alternatvní velčna ndkátor nemoc, symptomu,. NV může nabývat pouze hodnotu s pravděpodobností p nebo hodnotu 0 s pravděpodobností (-p) Střední hodnota E() p Rozptyl var() p(-p) PŘ: počet lvů př hodu mncí - buď padne lev nebo žádný, p 0,5 a PŘ: rzko onemocnění, pravděpodobnost výhry,... p a+ b Kde a počet poztvních odpovědí (nemocných, losů, které vyhrávají). b počet negatvních odpovědí (počet zdravých, losů bez výhry)

9 Possonovo rozdělení U předchozího bnomckého rozdělení byl sledovaný JEV vždy doplňován NEJEVEM. Když nás v kartách zajímá, zda padnou pky, všechno ostatní jsou nepky. Když je pravděpodobnost sledovaného jevu 0, - pak nejev nastane s pravděpodobností 0,8. Ale některé procesy neumíme pomocí tohoto schématu vyjádřt - narodí-l se za jeden den v porodnc 6 dětí, kolk se jch nenarodlo? Napočítáme-l za bouřky 0 blesků, kolk jch neblesklo? Kromě toho jsme navíc sledoval soubor konečného, často malého rozsahu, ale ve skutečnost se stává, že sledovaná populace je velm rozsáhlá nebo dokonce nekonečná - parametr n v tomto případě také neznáme. Početní schéma pro nepatrné pravděpodobnost navrhl na počátku 9. století francouzský matematk Sméon Dens Posson.

10 Possonovo rozdělení - příklad Povahu toho problému vysthl poněkud neobvykle německý statstk Bortkewcz na počátku 0. století, který sledoval po dobu 0 let ve 0-t německých armádních sborech zabtí vojenských osob úderem koňského kopyta. Na základě toho stanovl očekávanou hodnotu λ (lambda), která byla podle propočtu počet mrtvých / počet sledování / 00 0,6 Počet úmrtí λ λ ) e! Vypočtený počet vojenských sborů 0 0,543 08,7 0,33 66,3 0,0 0, 3 0,005 4, 4 0,003 0,6 5 0, ,

11 Possonovo rozdělení - příklad Povahu toho problému vysthl poněkud neobvykle německý statstk Bortkewcz na počátku 0. století, který sledoval po dobu 0 let ve 0-t německých armádních sborech zabtí vojenských osob úderem koňského kopyta. Na základě toho stanovl očekávanou hodnotu λ (lambda), která byla podle propočtu počet mrtvých / počet sledování / 00 0,6 Počet úmrtí λ λ ) e! Vypočtený počet vojenských sborů Porovnání se skutečným sledováním 0 0,543 08,7 09 0,33 66,3 65 0,0 0, 3 0,005 4, 3 4 0,003 0,6 5 0, , 0

12 Bortkewcz - sledování - smrt po úderu koňským kopytem MODŘE - skutečnost ŠEDĚ propočet podle Possonova rozdělení λ λ ) e!

13 Possonovo rozdělení Po(λ) Dskrétní náhodná velčna má Possonovo rozdělení s parametrem λ > 0, nabývá-l hodnot 0,,, Bortkewcz počet úmrtí po úrazu kopnutí koněm u vojenských jednotek s pravděpodobností Základní charakterstky střední hodnota a rozptyl: λ λ ) e! E( ) var ( ) λ Dstrbuční funkce (kumulatvní pravděpodobnost): F ( ) t < e λ t λ t! O Possonovu rozdělení se říká, že je rozdělením řídkých jevů.

14 0,7 Frekvenční funkce Possonova rozložení v závslost na λ 0,6 0,5 λ λ ) e! 0,4 0,3 0, 0, λ0,5 λ λ λ λ0

15 Possonovo rozdělení Po(λ) Spolu s Bnomckým rozdělením se používá nejčastěj pro pops velčn, které vyjadřují počet nalezených objektů našeho zájmu: Bortkewcz počet úmrtí po úrazu kopnutí koněm u vojenských jednotek - počet vadných výrobků - počet kazů na látce - počet návštěvníků (nakupujících) za jednotku času - počet částc v jednotce objemu Pro velká n a malá p lze Bnomcké rozdělení apromovat Possonovým rozdělením Po (λ np) Vztah platí opačně Possonovo rozdělení můžeme apromovat Bnomckým, když zvolíme dostatečně velké n (řádově větší než λ) a p vypočteme jako p λ/n

16 Possonovo rozdělení Př. Sledujeme počet nfekcí horních dýchacích cest dětí během prvních tří let jejch věku ve velm rozsáhlé populac a z těchto sledování stanovíme pravděpodobnost tohoto onemocnění a označíme j λ. Pravděpodobnost, že ve výběru bude nemocných, vypočteme pomocí Possonova rozdělení za předpokladů: λ λ ) e! všechny dět mají stejnou pravděpodobnost onemocnění výskyt onemocnění je u jednotlvých osob nezávslý

17 Possonovo rozdělení - příklad λ λ ) e! Příklad: Do Bortkewcz podnkové telefonní ústředny přchází v průměru 0 hovorů za hodnu. počet Vypočtěte, úmrtí jaká po je úrazu pravděpodobnost: kopnutí koněm a) u že vojenských za půl mnuty jednotek nepřjde hovor b) že za půl mnuty přjdou méně než tř hovory Řešení: 0 hovorů za hodnu znamená hovor za půl mnuty: λ Jedná se o řídký náhodný jev, proto ho můžeme modelovat Possonovým rozdělením. Pro hledaný časový nterval půl mnuty, tj, λ se vzorec zjednoduší na ) e Pro 0 je 0) 0,368!! e 0! e e Pro je ) 0,368! e e Pro je ) 0,84! e e a) 0) 0,368 b) <3) 0,368+0,368+0,84 0,9

18 Multnomcké rozdělení Příklad: sledujeme nomnální velčnu rodnný stav matky svobodná, vdaná, rozvedená, vdova Pravděpodobnost, že z n matek bude právě k svobodných, k vdaných, k 3 rozvedených a k 4 vdov vyjadřuje vzorec: n! k p p p3 p4! k! k3! k4! k, k, 3 k 3, 4 k 4 ) k k k3 4 k

19 Hypergeometrcké rozdělení H(M,N,n) Mějme: N předmětů, z toho M předmětů jednoho druhu N - M předmětů druhého druhu Vylosujeme n předmětů bez vracení, kde je - předmětů prvního druhu, např. 0 znamená, že. druh nebyl tažen. Sledujeme počet úspěchů v n - závslých pokusech Ne všechny stuace jsou možné, musíme stanovt podmínky. Příklad : Z osudí, ve kterém je N kulček, z toho M bílých, vybíráme náhodně n jednotek a ptáme se, kolk je mez nm bílých kulček. (Losovat můžeme postupně, ale důležté je, že kulčky zpět nevracíme). Příklad : Losování sportky Předměty prvního druhu jsou označeny veřejným losováním ve hře sportka. Výběrem čísel na tketu jsme losoval právě tyto předměty prvního druhu.

20 Hypergeometrcké rozdělení H(M,N,n) Dskrétní náhodná velčna má hypergeometrcké rozdělení s parametry M, N, n, kde M, N, n jsou přrozená čísla a n Є (0, M), nabývá-l hodnoty 0,,,.., n s pravděpodobností M N M n P ( ) N Základní charakterstky: n Střední hodnota: Rozptyl: E ( ) nm N N n nm var ( ) N N M N

21 Hypergeometrcké rozdělení H(M,N,n) Je-l rozsah výběru n oprot počtu jednotek v osudí N malý (provedeme-l třeba jen 0%-ní výběr), pak se hodnota výrazu N n nm M ze vzorce pro rozptyl var ( ) blíží. N N N M označíme jako p N a hypergeometrcké rozdělení lze apromovat Bnomckým rozdělením B n, M N s rozptylem var ( ) n N n N p ( p)