6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

Transkript

1 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a příslušných parametrů generátorů pseudonáhodných čísel, jejchž úkolem je produkovat vstupní proudy do smulačního modelu. Výklad v tomto bloku se zejména zaměří na problematku praktckého formulování a testování hypotéz ohledně rozdělení pravděpodobnost náhodné velčny s cílem následně určt typy generátorů, které budou příslušné vstupní proudy realzovat. Doba nutná k nastudování 3 hodny 6.1 Určení teoretckého rozdělení pravděpodobnost náhodné velčny Př dalších úvahách vycházejme z předpokladu, že bylo rozhodnuto rozdělt pracovní dobu banky na šest úseků po jednotlvých hodnách (tento předpoklad vznkl nterpretací výsledků regresní analýzy a klouzavého průměru uvedených v předešlém bloku). Pro každý tento úsek je třeba vytvořt generátor příchodů zákazníků do systému. Kromě toho je třeba ještě generovat typ požadované transakce a dobu obsluhy zákazníka. Aby bylo možné vytvořt příslušné generátory, je třeba určt tvar a parametry teoretckých rozdělení pravděpodobnost sledovaných velčn, případně určt emprcké rozdělení pravděpodobnost (není-l žádný z teoretckých modelů vhodný). Určení tvaru rozdělení pravděpodobnost Nejdůležtějším nástrojem př formulac hypotézy o tvaru (typu) rozdělení pravděpodobnost je hstogram. Jak už bylo řečeno, velm důležtá je volba počtu tříd hstogramu. Obrázky 6.1a - c znázorňují několk hstogramů dob mez příchody zákazníků v ntervalu od hod. do hod. Postupným snžování počtu tříd dospíváme ke tvaru hstogramu, na základě kterého lze formulovat hypotézu (h A ), že doby mez příchody zákazníků se řídí exponencálním rozdělením pravděpodobnost. KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 1 (16) Antonín Kavčka

2 Třídy Četnost Třídy Četnost 0:00:00 2 0:00:56 5 0:00: :01:03 5 0:00: :01:10 4 0:00: :01:17 3 0:00: :01:24 1 0:00: :01:31 1 0:00:42 7 Další 0 0:00:49 5 Četnost :00: 00 0:00: 14 0:00: 28 0:00: 42 0:00: 56 0:01: 10 0:01: 24 Další Obr. 6.1a Hstogram četností dob mez přích. zákazn., šířka ntervalu 7 mnut Třídy Četnost Třídy Četnost 0:00: :01:00 9 0:00: :01:10 4 0:00: :01:20 3 0:00: :01:30 2 0:00:50 7 Další 0 Obr. 6.1b Hstogram četností dob mez přích. zákazn., šířka ntervalu 10 mnut KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 2 (16) Antonín Kavčka

3 Třídy Četnost Třídy Četnost 0:00: :01:12 6 0:00: :01:24 2 0:00: :01:36 1 0:00:48 12 Další 0 0:01:00 10 Obr. 6.1c Hstogram četností dob mez přích. zákazn., šířka ntervalu 12 mnut V některých případech je třeba uvážt, podle kterého znaku provádíme třídění hstogramu. Na obrázku 6.2a je uveden hstogram četností transakcí typu H (výběr hotovost) v závslost na době příchodu. Pracovní doba je rozdělena na stejně dlouhé úseky v tomto případě po 15 mnutách a v každém z těchto ntervalů je zjšťován počet zákazníků požadující sledovanou transakc. Porovnáme-l získaný hstogram s obr. 5.3 b (z mnulého bloku), je zřejmé, že tvar prvního z hstogramů je ovlvněn počtem příchodů zákazníků během pracovní doby a není proto vhodný pro formulac hypotézy o typu rozdělení :30 10:00 10:30 Četnost 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 15:30 Obr. 6.2a Hstogram četností transakcí H tříděný podle času příchodu zákazn. KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 3 (16) Antonín Kavčka

4 Třídy Četnost Relatvní četnost Třídy Četnost Relatvní četnost , , , , , , , , , , , , , , ,38 Obr. 6.2b Hstogram četností transakcí H tříděný podle pořadí zákazníka Obrázek 6.2b znázorňuje stejnou velčnu zatříděnou podle pořadí příchodů zákazníků. Postupně přcházející zákazníc jsou rozdělen do skupn v našem případě bylo vytvořeno 15 tříd po 58 zákaznících. Přtom je zachováno pořadí zákazníků. Dále v každé skupně zjšťujeme počet zákazníků požadujících sledovanou transakc. Na základě takto získaného hstogramu lze vyslovt domněnku, že relatvní četnost transakcí typu H je v průběhu celého dne konstantní. Průměrná relatvní četnost je 0,41. Můžeme tedy formulovat hypotézu (h B ), že relatvní četnost zákazníků požadujících transakc H je v lbovolném ntervalu 0,41. Očekávané četnost ve všech třídách by tedy byly: 58 * 0,41 = 23,78. Z tohoto očekávání by vycházel test uvedené hypotézy (jak bude uvedeno v dalším výkladu) Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnost Způsob konstrukce bodových a ntervalových odhadů se odvíjí od typu rozdělení pravděpodobnost, jehož parametry chceme odhadovat. Běžně je známa konstrukce odhadů pro normální rozdělení. V dalších případech je zpravdla nutné vyhledat odbornou lteraturu. KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 4 (16) Antonín Kavčka

5 V následujícím příkladu provedeme odhad parametrů rozdělení pravděpodobnost doby obsluhy zákazníků, kteří požadují výběr hotovost. Data potřebná pro výpočet byla získána vyfltrováním údajů o dobách obsluhy zákazníků požadujících transakc H z původního souboru dat a jsou uvedena v tabulce 6.5 v příloze tohoto bloku. Obr. 6.3 Hstogram četností dob obsluh zákazn. požadujících transakc typu H Nejprve vytvoříme hstogram dob obsluhy - je uveden na obrázku 6.3. Z něho je patrné, že dobu obsluhy je nejspíš možné popsat exponencálním rozdělením. Jelkož v tomto případě exstuje určtá mnmální doba obsluhy, je třeba použít dvouparametrcké exponencální rozdělení, které lze popsat hustotou pravděpodobnost: µ f ( x) = µ ( x A e ), pro x A 0, pro x < A Bodové odhady parametrů A a μ můžeme získat ze vztahů: ˆ mn(,, ) A = x1 K x n ˆ µ = 1 x Aˆ kde x 1,..., x n jsou naměřené hodnoty doby obsluhy a x je artmetcký průměr těchto hodnot. Oba tyto odhady jsou ovšem vychýlené. Chceme-l získat odhady nevychýlené (nestranné), je třeba tyto vztahy upravt: KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 5 (16) Antonín Kavčka

6 ˆ ˆ na x A0 = n 1 n 1 ˆ µ 0 = n( x Aˆ ) Z dat uvedených v příloze P.6 dostaneme výsledky: mn( x, K, x ) = 24 1 n x = 30,75 Po dosazení do výše uvedených vztahů získáme: A ˆ = 24 1 ˆ µ = = 0,148 30,75 24 ˆ ,45 A 23,98 0 = = ˆ µ 0 = = 0, (30,75 24) Oboustranný ntervalový odhad parametru μ lze konstruovat na základě vztahu: 2 2 Χ α Χ α ;2n 2 1 ;2n µ 2 n( x Aˆ ) 2 n( x Aˆ ) kde Χ, Χ 2 2 α α ;2n 2 1 ;2n jsou α/2 a 1- α/2 procentní kvantly X 2 -rozdělení s 2n - 2 stupn volnost, kde: n α je počet hodnot souboru se kterým pracujeme, je hodnota nám zvolené hladny významnost. V našem případě a pro α = 0,05: 653,00 777, (30,75 24) µ (30,75 24) a tedy µ 0,14; 0,16 KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 6 (16) Antonín Kavčka

7 V případě parametru A je stuace poněkud neobvyklá. Za horní mez ntervalového odhadu můžeme považovat s pravděpodobností blízkou jedné nejmenší z hodnot x 1,..., x n. Dolní mez odhadujeme pomocí jednostranného ntervalu spolehlvost, který dostaneme ze vztahu: ˆ ˆ x A A A Fα ;2,2n 2 n 1 kde F α;2,2n 2 je α-procentní kvantl F-rozdělení s 2 a 2n - 2 stupn volnost. Po dosazení dostaneme pro α = 0,05: 30,75 24 A 24 3,008 = 23, takže A 23,95; 24. Poznámky V lteratuře se často namísto parametru μ exponencálního rozdělení pravděpodobnost používá parametr δ = 1/µ. Pokud nenajdeme požadované hodnoty kvantlů ve statstckých tabulkách, je možné použt např. statstcké funkce MS Excelu (CHIINV, FINV). Přtom je třeba mít na pamět rozdíl mez kvantly a krtckým hodnotam.obecně pro kvantl x α platí P(X < x α ) = α. Krtcké hodnoty x α jsou v případě asymetrckých rozdělení (X 2, F) dány obvykle vztahem P(X > x α ) = α, v případě symetrckých rozdělení (Studentovo) vztahem P(X > x α ) = α. Intervalový odhad parametrů rozdělení se v prax často neprovádí. 6.2 Testování hypotézy o tvaru rozdělení pravděpodobnost Nejčastěj používaným testy hypotéz o tvaru rozdělení jsou Χ 2 -test a Kolmogorovův- Smrnovův test. Testuje se nulová hypotéza H 0 : výběr pochází ze základního souboru s rozdělením... s parametry.... Χ 2 -test vyžaduje velké množství naměřených hodnot. Testovacím krtérem je statstka k 2 Χ = í = 1 ( m np ) np 2 KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 7 (16) Antonín Kavčka

8 kde k je počet tříd, m je pozorovaná četnost v -té třídě, n je počet všech pozorování a p je teoretcká pravděpodobnost výskytu pozorované hodnoty v -té třídě. Přtom bývá požadováno, aby ve většně tříd (80%) platlo np > 5. Není-l toto splněno, přstupuje se ke sdružování tříd. Teoretcké pravděpodobnost p se v případech dskrétních náhodných velčn počítají přímo jako hodnoty pravděpodobnostní funkce v daném bodě. V případech spojtých náhodných velčn je vypočítáme jako rozdíl hodnot dstrbučních funkcí v krajních bodech třídního ntervalu. Nulovou hypotézu zamítáme, pokud hodnota testovacího krtéra přesáhne hodnotu 1-α % kvantlu rozdělení X 2 s k - r - 1 stupn volnost, kde k je počet tříd a r je počet odhadovaných parametrů. V následujícím příkladu je proveden X 2 -test pro případ doby mez příchody zákazníků v ntervalu od hod. do hod. Z hstogramů a hodnot uvedených na obrázku 6.1c můžeme dospět k závěru, že tato náhodná velčna se řídí exponencálním rozdělením. Z dat získaných sledováním nás nyní zajímají doby příchodů všech zákazníků, kteří přšl mez hod. a hod. Je jch celkem 162. Z nch postupným odčítáním získáme doby mez příchody a vypočítáme průměrnou dobu mez příchody: x = 22 s V tomto případě stačí pracovat s jednoparametrckým exponencálním rozdělením s parametrem μ (A = 0). Bodový odhad parametru tohoto rozdělení je: 1 µ = = 0,045 s x 1 95% nterval spolehlvost tohoto odhadu dostaneme jako Χ Χ 2nx µ 2nx 2 2 α α ;2n 1 ;2n ,02 375, µ tedy µ 0,039;0,053. KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 8 (16) Antonín Kavčka

9 Budeme tedy testovat nulovou hypotézu: Výběr pochází ze souboru s exponencálním rozdělením s parametrem 0,045 s -1. Tabulka 6.1a vychází z hodnot, které poskytne MS Excel na základě automatcké volby počtu tříd. Vdíme, že hrance první třídy je nastavena zcela nevhodně, a že 4 ze 13 z tříd nesplňují podmínku np > 5. Tabulka 6.1 b obsahuje stejné výpočty po úpravě hranc tříd a je doplněná o hodnotu testovacího krtéra a krtckou hodnotu pro α = 0,05 a = 5 stupňů volnost. V tomto případě je hodnota testovacího krtéra menší než hodnota krtcká, takže nulovou hypotézu nezamítneme (vždy je třeba ctlvě posoudt míru přípustnost redukce počtu tříd). Pro úplnost uveďme příklad testování hypotézy (h B ), uvedené v část pojednávající o určení tvaru rozdělení pravděpodobnost, že relatvní četnost zákazníků požadujících transakc H je v lbovolném ntervalu 0,41. V tomto případě je postup o něco jednodušší výpočet testovacího krtéra opět vychází ze zjštěných četností požadavků na transakc H v jednotlvých třídách a četností teoretcky předpokládaných. Teoretcky předpokládaná četnost je dána součnem relatvní četnost a počtu zákazníků v uvažované třídě (zde 58 * 0,41 = 23,78) tabulka 6.1c. třídy repr. třídy n F(x) p n p X :00, ,00 0,00 0, :07,4 3,7 34 0,153 0,153 24,85 3, :14,8 11,1 37 0,393 0,240 38,85 0, :22,2 18,5 25 0,565 0,172 27,84 0, :29,7 25,9 21 0,688 0,123 19,96 0, :37,1 33,3 13 0,777 0,088 14,30 0, :44,5 40,7 9 0,840 0,063 10,25 0, :51,9 48,1 4 0,885 0,045 7,35 1, :59,3 55,5 8 0,918 0,033 5,27 1, :06,7 62,9 2 0,941 0,023 3,78 0, :14,2 70,3 5 0,958 0,017 2,71 1, :21,6 77,7 1 0,970 0,012 1,94 0, Další 1 1,000 0,030 4,91 3,11283 Tab. 6.1a Výpočet testového krtéra testu X 2 Test Kolmogorovův-Smrnovův se zpravdla používá v případech, kdy máme k dspozc pouze omezené množství dat. Na rozdíl od X 2 testu, který sčítá odchylky od předpokládaného stavu v jednotlvých třídách, Kolmogorovův- Smrnovův test porovnává předpokládaný a naměřený tvar dstrbuční funkce a KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 9 (16) Antonín Kavčka

10 nulová hypotéza je zamítnuta, překročí-l krtckou hodnotu největší ze zjštěných odchylek. třídy repr. třídy n F(x) p n p X 2 1 0:00: ,443 0,443 71,75 0, :00: ,690 0,247 39,97 0, :00: ,827 0,137 22,27 0, :00: ,904 0,077 12,41 0, :01: ,946 0,043 6,91 0, :01: ,970 0,024 3,85 1, :01: ,000 0,030 4,84 1, , krterum 11,07048 krt. h. Tab. 6.1b Výpočet testového krtéra a krtcká hodnota testu X 2 (α = 0,05) změna hranc ntervalů tříd Třídy (poř. zákaz.) Četnost transakce H Předpokl. četn. trans. H ,78 0, ,78 0, ,78 0, ,78 0, ,78 0, ,78 0, ,78 0, ,78 0, ,78 0, ,78 1, ,78 0, ,78 0, ,78 0, ,78 0, ,78 0,03 4,11 krterum X 2 23,68 krt. h. Tab. 6.1c Výpočet test. krtéra a krt. hodnota testu X 2 (α = 0,05) pro test hodnoty relatvní četnost KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 10 (16) Antonín Kavčka

11 Obecně platí, že Kolmogorovův-Smrnovův test má menší sílu k zamítnutí neplatné hypotézy než X 2 test. V následujícím příkladu, testujeme hypotézu o rozdělení pravděpodobnost doby obsluhy zákazníků, kteří požadují transakc H,V,S (tzn. výběr hotovost, výpsy zůstatků na účtech a vydání šekové knížky) v ntervalu hod. Způsobem, který byl demonstrován v odstavc pojednávajícím o odhadu parametrů, bylo zjštěno, že výběr pravděpodobně pochází z exponencálního rozdělení s parametry A = 53 s, μ = 0,07 s -1. Testujeme tedy nulovou hypotézu: Výběr pochází ze základního souboru s exponencálním rozdělením s parametry A = 53 s, μ = 0,07 s -1. Obr. 6.4a Hstogram četností k tabulce 6.1a Obr. 6.4b Hstogram četností k tabulce 6.1b KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 11 (16) Antonín Kavčka

12 x (-1)/n /n F(x) F(x)-(-1)/n F(x)-/n 1 52,6 0 0,025 0,00 0,000 0, ,7 0,025 0,05 0,00 0,025 0, ,6 0,05 0,075 0,04 0,010 0, ,9 0,075 0,1 0,06 0,013 0, ,0 0,1 0,125 0,13 0,032 0, ,1 0,125 0,15 0,14 0,013 0, ,2 0,15 0,175 0,14 0,010 0, ,2 0,175 0,2 0,20 0,026 0, ,2 0,2 0,225 0,20 0,002 0, ,3 0,225 0,25 0,21 0,019 0, ,6 0,25 0,275 0,22 0,027 0, ,6 0,275 0,3 0,27 0,002 0, ,6 0,3 0,325 0,28 0,024 0, ,6 0,325 0,35 0,28 0,049 0, ,7 0,35 0,375 0,28 0,069 0, ,0 0,375 0,4 0,34 0,030 0, ,2 0,4 0,425 0,39 0,006 0, ,7 0,425 0,45 0,42 0,009 0, ,7 0,45 0,475 0,42 0,032 0, ,3 0,475 0,5 0,48 0,004 0, ,9 0,5 0,525 0,53 0,034 0, ,6 0,525 0,55 0,56 0,032 0, ,8 0,55 0,575 0,56 0,013 0, ,9 0,575 0,6 0,59 0,020 0, ,3 0,6 0,625 0,61 0,007 0, ,3 0,625 0,65 0,63 0,008 0, ,0 0,65 0,675 0,65 0,001 0, ,1 0,675 0,7 0,65 0,023 0, ,1 0,7 0,725 0,68 0,024 0, ,4 0,725 0,75 0,72 0,001 0, ,3 0,75 0,775 0,74 0,009 0, ,4 0,775 0,8 0,74 0,033 0, ,9 0,8 0,825 0,82 0,025 0, ,0 0,825 0,85 0,87 0,044 0, ,4 0,85 0,875 0,89 0,039 0, ,7 0,875 0,9 0,89 0,016 0, ,8 0,9 0,925 0,91 0,013 0, ,5 0,925 0,95 0,94 0,012 0, ,6 0,95 0,975 0,97 0,019 0, ,8 0, ,98 0,006 0,019 krt. h. 0,21 Tab. 6.2 Výpočet testového krtera a krtcká hodnota Kolmogorovova- Smrnovova testu (α = 0,05) KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 12 (16) Antonín Kavčka

13 Obr. 6.5 Graf teoretcké a emprckých dstrbučních funkcí k tabulce 6.2 Tabulka 6.2 obsahuje potřebné výpočty a krtckou hodnotu pro hladnu významnost 0,05. Ve druhém sloupc tabulky jsou zjštěné doby obsluhy, seřazené vzestupně. Následující dva sloupce představují hodnoty emprckých dstrbučních funkcí získaných z naměřených dob obsluhy. Pátý sloupec obsahuje teoretcky předpokládané hodnoty dstrbuční funkce v daných bodech. Testovacím krtérem je maxmální rozdíl emprcké a teoretcké dstrbuční funkce. Hypotézu zamítáme, pokud jeho hodnota přesáhne krtckou hodnotu, kterou hledáme v tabulkách krtckých hodnot pro Kolmogorovův-Smrnovův test. V tomto případě je hodnota testovacího krtera 0,094 menší než krtcká hodnota 0,21, takže nulovou hypotézu na hladně významnost 0,05 nezamítneme. 6.3 Závěry z analýzy vstupních dat Po ukončené analýze vstupních dat získáme podklady pro parametrzace příslušných generátorů vstupních proudů, které budou ntegrovány v rámc budovaného smulačního modelu. Výsledky statstckého šetření popsovaného v rámc toho bloku lze shrnout do tabulek 6.3, 6.4a b. KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 13 (16) Antonín Kavčka

14 Podklady pro parametrzac generátorů dob mez příchody zákazníků (řídící se exponencálním rozdělením) µ x µ e, pro x A f ( x) = 0, pro x < A 1 ˆ µ = x Intervaly příchodů Průměrná doba mez příchody [s] Počet příchodů Parametr µ (ntenzta toku) Bodový odhad [s -1 ] 0,024 0,034 0,045 95% dolní mez [s -1 ] 0,020 0,029 0,039 nt. sp. horní mez [s -1 ] 0,030 0,041 0,053 Intervaly příchodů Průměrná doba mez příchody [s] Počet příchodů Parametr µ (ntenzta toku) Bodový odhad [s -1 ] 0,056 0,037 0,045 95% dolní mez [s -1 ] 0,048 0,031 0,039 nt. sp. horní mez [s -1 ] 0,064 0,044 0,053 Tab. 6.3 Podklady pro parametrzac generátorů příchodů zákazníků Podklady pro parametrzac generátorů typů transakcí a dob obsluh typ transakce rovnoměrné rozdělení vzhledem k počtu zákazníků doba obsluhy dvojparametrcké exponencální rozdělení µ f ( x) = ˆ mn(,, ) A = x1 K x n 1 ˆ µ = x Aˆ µ ( x A e ), pro x A 0, pro x < A Typ transakce H V S H, V Podíl zákazníků 0,41 0,10 0,08 0,24 Prům. doba obsluhy [s] 30,75 26,32 20,24 51,01 Parametr A (mn. doba obsluhy) Bodový odhad [s] 24,00 20,12 16,04 40,08 95% nt. sp. dolní mez [s] 23,95 19,91 15,85 39,93 horní mez [s] 24,00 20,12 16,04 40,08 Parametr µ (ntenzta obsluhy) Bodový odhad [s -1 ] 0,15 0,16 0,24 0,09 95% nt. sp. dolní mez [s -1 ] 0,14 0,13 0,19 0,08 horní mez [s -1 ] 0,16 0,19 0,28 0,10 Tab. 6.4a Podklady pro parametrzac generátorů typů transakcí a dob obsluh KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 14 (16) Antonín Kavčka

15 Podklady pro parametrzac generátorů typů transakcí a dob obsluh typ transakce rovnoměrné rozdělení vzhledem k počtu zákazníků doba obsluhy dvojparametrcké exponencální rozdělení µ f ( x) = ˆ mn(,, ) A = x1 K x n ˆ µ = 1 x Aˆ µ ( x A e ), pro x A 0, pro x < A Typ transakce H, S V, S H, V, S Podíl zákazníků 0,10 0,02 0,05 Prům. doba obsluhy [s] 46,05 43,86 66,82 Parametr A (mn. doba obsluhy) Bodový odhad [s] 36,11 32,81 52,60 95% nt. sp. dolní mez [s] 35,76 30,37 51,47 horní mez [s] 36,11 32,81 52,60 Parametr µ (ntenzta obsluhy) Bodový odhad [s -1 ] 0,10 0,09 0,07 95% nt. sp. dolní mez [s -1 ] 0,08 0,05 0,05 horní mez [s -1 ] 0,12 0,12 0,09 Tab. 6.4b Podklady pro parametrzac generátorů typů transakcí a dob obsluh Otázky k procvčení 1. Jaký základní prostředek ze statstky se typcky používá př formulování hypotézy ohledně tvaru rozdělení pravděpodobnost? 2. Jaké základní testy se používají pro potřeby testování hypotéz ohledně tvaru rozdělení pravděpodobnost? KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 15 (16) Antonín Kavčka

16 Příloha doby obsluhy zákazníků požadujících transakc H Vysvětlvky: pořadí zákazníka požadujícího transakc H doba [s] doba [s] doba [s] doba [s] doba [s] doba [s] doba [s] 1 45, , , , , , ,1 2 25, , , , , , ,4 3 24, , , , , , ,0 4 32, , , , , , ,9 5 29, , , , , , ,5 6 31, , , , , , ,1 7 25, , , , , , ,0 8 25, , , , , , ,3 9 30, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 KST/IMOSI Modelování a smulace blok 6, strana 16 (16) Antonín Kavčka