Rudý posuv v úloze z Fyzikální olympiády JAN NOOTNÝ Pedagogiká fakulta Masarykovy univerzity, Brno Příspěvek se zabývá úvahami, k nimž inspiruje zadání úlohy z Fyzikální olympiády a které nás dovádějí až k velmi hlubokým a stále aktuálním problémům. Poukazuje na rozdílné hápání pojmu ryhlost ve speiální teorii relativity a v relativistiké kosmologii a na poučení, které z toho plyne pro zadavatele úloh. Úvod 55. ročníku FO se objevila tato úloha [1]: Rozbor zadání úlohy Na první pohled se zdá, že výhodiskem k řešení úlohy je zodpovězení první otázky. Určíme-li, jakou ryhlostí se od nás vzdaluje objekt s daným rudým posuvem spektra, budeme již moi odpovědět na všehny další otázky na základě vztahů známýh ze speiální teorie relativity. Středoškolák má k dispozii vztah pro nerelativistiký Dopplerův jev a definii rudého posuvu f f f 1 f, z. f 249
Odtud vypočteme: z 2,. Protože zbytek zadání se týká speiální teorie relativity, vzniká otázka, zda nebylo třeba užít relativistikého vztahu pro Dopplerův jev [2] 1 f f 1 f 1 Pro z =,2 pak vyjde 2 z z z 22z z 2 55, 2, 18, 18 61 Rozdíl mezi nerelativistikým a relativistikým výsledkem není z hlediska přesnýh měření zela zanedbatelný, a aby úloha splnila svůj účel, měl by si toho řešitel být vědom a umět oenit nepřesnost, které se dopouští užitím nerelativistikého výsledku v relativistikýh vztazíh. Název úlohy však vyvolává ještě další problém. Kdy je možno označit rudý posuv spojený se vzdalováním objektu za kosmologiký? Patrně jen v případě, že vzdalování je působeno rozpínáním vesmíru. To je ovšem záležitost obené teorie relativity a můžeme se pak spokojit se vzorem užívaným ve speiální teorii relativity? Rudý posuv v kosmologii I. Rozpínání vesmíru je vyjádřeno vztahem k r r R t, kde veličina r k je vzdálenost kosmologikého objektu od místa pozorování v kosmologikém čase t k, v němž se děje pozorování, r je vzdálenost tohoto objektu v čase t, R(t) se nazývá škálový faktor. Pro t = t k klademe R(t k ) = 1. Z předhozího plyne dr v = Hr H 1, dt R dt. 25
ož představuje Hubbleův lineární vztah mezi ryhlostí v, kterou se vzdaluje kosmologiký objekt, a jeho kosmologikou vzdáleností r. Koefiient H v tomto vztahu se nazývá Hubbleova konstanta. Jde ovšem o veličinu, která se s časem mění. II. Frekvene záření f přijímaná pozorovatelem souvisí s frekvení vysílanou kosmologikým objektem vztahem f f R f R f R, z 1. f R Pro nalezení vztahu mezi z a v užijeme [3] pro nepříliš velké vzdálenosti Taylorův rozvoj a skutečnost, že na této vzdálenosti se záření vyslané objektem pohybuje přibližně ryhlostí světla, takže Platí tedy: dt. dr dr dt r dr R R r R r R dt dt R 1 r 1 z 1 H R 1 z r v z H idíme, že kosmologiká ryhlost v se liší od ryhlosti, kterou byhom určili ze speiálně relativistikého Dopplerova jevu a je v prvním přiblížení rovna ryhlosti, kterou byhom určili z nerelativistikého vztahu. Milneho model esmíru Dalo by se pohybovat o tom, zda má ryhlost určená ze vzore pro Dopplerův jev v zakřiveném kosmologikém prostoročase nějaký fyzikální význam. Existuje však jednoduhý Milneho model [4], v němž je vesmírem rovnoměrně se rozpínajíí soustava v Minkowskiho prostoročase. Jde tu o jakýsi velký třesk bez hmoty. Zde je možno bez obav použít jak dopplerovské ryh- 251
losti, tak kosmologiké ryhlosti v, a vzájemně je porovnat. Pro naše účely se můžeme omezit na radiální pohyb. Interval v Minkowskiho souřadniíh T, X je ds dt dx 2 2 2 2, X T. Přehod k souřadniím Milneho t, χ se děje podle vztahů T t osh, X t sinh. Interval v Milneho souřadniíh t, χ získáme přepočtem jako d s (dt t d ) Kosmologiká vzdálenost objektu je pak a jeho kosmologiká ryhlost 2 2 2 2 2. r t v. dt Milneho modelu platí kosmologiké vztahy R onst t, H 1. t Přepočtem do Milneho souřadni dostáváme pro kosmologiký objekt tgh a vztah mezi dopplerovskou ryhlostí a kosmologikou ryhlostí v je tedy v tgh, v artgh. 252
Závěr a diskuse raťme se k otáze: Jakou ryhlostí by se od nás musel vzdalovat objekt, abyhom v jeho spektru změřili rudý posuv z =,2? Již jsme vypočetli, že relativistiká ryhlost =,18, nyní můžeme určit i kosmologikou ryhlost v:, 18 v artgh artgh, 182 I když rozdíl není velký, jeho existene nás upozorňuje na podstatnou odlišnost mezi nerelativistikou fyzikou, speiální teorií relativity a relativistikou kosmologií, o se týče zavedení pojmu ryhlosti. Zamyšlení nad zdánlivě jednoduhou úlohou z FO nám umožnilo tento problém si uvědomit. Zajímavá je otázka, zda ryhlost, kterou jsme zde nazvali dopplerovskou, má fyzikální význam i v zakřiveném prostoročase. ýznamný relativista J. L. Synge ve své monografii odpovídá na tuto otázku kladně [5]. Dodejme ještě, že v současné době je diskutován názor opírajíí se o nová pozorovaí data, že rozpínání vesmíru se děje způsobem blízkým Milneho modelu [6]. Kontakt: novotny@physis.muni.z Literatura [1] Úloha z FO: http://fyzikalniolympiada.z/arhiv/55/fo55a1_z.pdf [2] Novotný J., Horský J., Štefaník M.: Mehanika ve fyzie, Aademia, Praha 22, s. 284. [3] Landau, L. D., Lifši, E. M.: Teorija polja, Nauka, Moskva 1988, s. 475. [4] Mukhanov,.: Physial Foundations of Cosmology, Cambridge Univ. Press, 25, p. 27. [5] Synge, J. L.: Obščaja teorija otnositelnosti, IIL, Moskva 1963. s. 113. [6] Nielsen, J. T., Guffanti A., Sarkar S.: Marginal Evidene for Cosmi Aeleration from Type Ia Supernovae, Sientifi Reports 6, 216. 253