Základní vlastnosti funkcí

Transkript

1 teorie řešené úloh vičení tip k maturitě výsledk Základní vlastnosti funkí Víš, že Tomáš Garrigue Masark zastával funki prezidenta víe než 17 let? rodina plní řadu funkí reprodukční, soiálně ekonomikou, výhovnou atd.? funkí rozumí biologové fziologikou činnost orgánu nebo části těla? Naučíš se základní vlastnosti funkí. určovat monotonii funke. praovat s grafem funke.

2 Funke je jedním z nejdůležitějšíh matematikýh pojmů. S jednoduhými funkemi jste se setkali již na základní škole. V této rozsáhlé kapitole rozšíříme podstatným způsobem znalosti o funkíh, jejih grafeh a některýh vlastnosteh. Také si ukážeme, jak můžeme tto vědomosti vužít v běžném životě. Zkoumání funkí a jejih vlastností se věnuje oblast matematik nazývaná matematiká analýza. Funkí na množině M rozumíme předpis, který každému číslu množin M přiřadí právě jedno reálné číslo. Množina M se nazývá definiční obor funke. English Terms funtion / funke graph / graf artesian oordinates / kartézské souřadnie oordinate origin / počátek souřadni oordinate / souřadnie dereasing funtion / klesajíí funke domaine / definiční obor maimum / maimum minimum / minimum non-dereasing / neklesajíí non-inreasing / nerostouí aial smmetr / osová smetrie Funke označujeme zpravidla malými písmen f, g, h atd. Definiční obor funke f značíme D ( f ). Podobně D ( g), resp. D (h) označíme definiční obor funke g, resp. h. Není-li definiční obor blíže speifikován, hledáme k dané funki vžd maimální možný definiční obor. Je-li f funke na množině M, pak číslo, které funke f přiřadí číslu M, označíme f () a nazveme funkční hodnotou (hodnotou funke) v bodě nebo obrazem bodu při funki f. Množinu všeh, ke kterým eistuje aspoň jedno D ( f ) takové, že = f (), nazýváme oborem hodnot funke f a značíme H ( f ). Funki na množině M si můžeme představit jako mlýnek, do kterého vstupují čísla z množin M a výstupem jsou odpovídajíí funkční hodnot. Fungování takového mlýnku v případě funke f () = + je znázorněno na následujíím obrázku: = = 1 = 3 f () = 6 + f ( 1) = 3 + f (3) = 11 + Na základní škole jste sestrojovali graf některýh funkí v kartézské soustavě souřadni O. Grafem funke f ve zvolené soustavě souřadni O v rovině je množina všeh bodů [, f ()], kde D ( f ). Nní se seznámíme s některými vlastnostmi funkí, ož nám může významně pomoi při sestrojování jejih grafů. Funke f se nazývá sudá funke, pokud:. pro každé D ( f ) platí f () = f ( ). Poznámka: Uvědomte si, že 1. podmínka v definii sudé funke říká, že definiční obor takové funke je množina smetriká kolem bodu a graf sudé funke je osově souměrný podle os. teorie 1 zadejte kód 93

3 Funke f se nazývá lihá funke, pokud:. pro každé D ( f ) platí f () = f ( ). Poznámka: Uvědomte si, že 1. podmínka v definii lihé funke opět říká, že definiční obor takové funke je množina smetriká kolem bodu a graf lihé funke je středově souměrný podle počátku soustav souřadni O. Funke f se nazývá 1. rostouí,. neklesajíí, 3. klesajíí,. nerostouí na množině A D ( f ), pokud pro všehna, A, < platí: f ( ) < f ( ), 1. f ( ) f ( ), 1 3. f ( 1 ) > f ( ),. f ( 1 ) f ( ). Má-li funke f na množině A D ( f ) některou z vlastností 1.., říkáme, že funke f je monotónní na množině A. Příklad grafu rostouí, neklesajíí, klesajíí a nerostouí funke je na následujíím obrázku. Funke f se nazývá zdola omezená na množině A D ( f ), pokud eistuje číslo d takové, že pro všehna A, platí f () d. Funke f se nazývá shora omezená na množině A D ( f ), pokud eistuje číslo h takové, že pro všehna A, platí f () h. Funke f se nazývá omezená na množině A D ( f ), pokud je omezená zdola i shora. teorie 5 zadejte kód 93 5

4 Při sestrojování grafů funkí platí několik obenýh pravidel. Mějme nějaký graf funke 1 = f (). Ukážeme si, jak nakreslit graf následujííh funkí: 1. = f () +, kde > je reálné číslo. Zvětšíme-li každou možnou hodnotu f () o konstantu, dostaneme výraz f () +. Zvětšení funkční hodnot představuje posun grafu po ose směrem nahoru o konstantu, jak vidíme na obrázku. V případě, že < se graf posouvá po ose směrem dolů.. = f ( + ), kde > je reálné číslo. Zvětšíme-li každou možnou hodnotu o konstantu, dostaneme výraz +. Ted například f () = f ( ), protože + =. Znamená to, že hodnotu, které nabývá funke f () v bodě, nabývá funke f ( + ) již v bodě. Posouváme ted graf po ose směrem vlevo o konstantu, jak vidíme na obrázku. V případě, že < se graf posouvá po ose směrem vpravo. 3. = f () Přidáním znaménka minus se všehn kladné hodnot f () změní na záporné (a také všehn záporné hodnot se změní na kladné), ale se stejnou vzdáleností od os. Ted graf f () a f () musí být osově souměrné podle os, jak vidíme na obrázku. teorie 3 6 zadejte kód 93 6

5 . = f () Z definie absolutní hodnot víme, že pro nezáporná je =. Pro nezáporné hodnot f () jsou ted graf f () a f () totožné. Pro záporná je =. Ted pro záporné hodnot f () jsou graf f () a f () = f () osově souměrné podle os (to víme z předhozího bodu 3). 5. = f ( ) Přidáním znaménka minus se kladné hodnot změní na záporné a naopak. Ted graf f () a f ( ) budou osově souměrné podle os. 6. = f ( ) Z definie absolutní hodnot víme, že pro nezáporná je =. Pro nezáporné hodnot jsou ted graf f () a f ( ) totožné. Pro záporná je =. Ted pro záporné hodnot f () jsou graf f () a f ( ) = f ( ) osově souměrné podle os (to víme z předhozího bodu 5). teorie 7 zadejte kód 93 7

6 S řadou dalšíh vlastností a pojmů, které se týkají funkí, se seznámíme v ostatníh kapitoláh tématu Funke. Z důvodů rhlejší orientae uvádíme na tomto místě přehled všeh definovanýh pojmů a vlastností. Jejih podrobnější vsvětlení, provičení a příklad najdete v konkrétníh kapitoláh. pojem / vlastnost funke definiční obor obor hodnot graf funke funke sudá/lihá vsvětlení Funkí na množině M rozumíme předpis, který každému číslu množin M přiřadí právě jedno reálné číslo. Množina M se nazývá definiční obor funke a značíme D ( f ). Množinu všeh, ke kterým eistuje aspoň jedno D ( f ) takové, že = f (), nazýváme oborem hodnot funke f a značíme H ( f ). Grafem funke f ve zvolené soustavě souřadni O v rovině je množina všeh bodů [, f()], kde D ( f ). Funke f se nazývá sudá funke, pokud:. pro každé D ( f ) platí: f () = f ( ). Funke f se nazývá lihá funke, pokud:. pro každé D ( f ) platí: f () = f ( ). funke periodiké funke rostouí/klesajíí funke omezené maimum/minimum funke Funke f se nazývá periodiká funke, pokud eistuje reálné číslo d > takové, že pro všehna, + d D ( f ) platí: f () = f ( + d). Nejmenší takové d se nazývá periodou funke. Funke f se nazývá rostouí, resp. neklesajíí, resp. klesajíí, resp. nerostouí na množině A D( f), pokud pro všehna 1, A, 1 < platí: f ( 1 ) < f ( ), resp. f ( 1 ) f ( ), resp. f ( 1 ) > f ( ), resp. f ( 1 ) f ( ). Funke f se nazývá zdola omezená na množině A D ( f ), pokud eistuje číslo d takové, že pro všehna A platí f () d. Funke f se nazývá shora omezená na množině A D ( f ), pokud eistuje číslo h takové, že pro všehna A platí f () h. Funke f se nazývá omezená na množině A D ( f ), pokud je omezená zdola i shora. Řekneme, že funke f má v bodě s maimum, jestliže pro všehna D ( f ) platí: f () f (s). Řekneme, že funke f má v bodě t minimum, jestliže pro všehna D ( f ) platí: f () f (t). funke konvení/konkávní Řekneme, že funke f je konvení na intervalu I D ( f ), je-li množina N I ( f ) = {[, ] I, f ()} konvení množina. Řekneme, že funke f je konkávní na intervalu I D ( f ), je-li množina P I ( f ) = {[, ] I, f ()} konvení množina. funke prostá Funke f se nazývá prostá, jestliže pro všehna 1, D ( f ) platí: Je-li 1, pak f ( 1 ) f ( ). funke inverzní funke složená Inverzní funkí k prosté funki f je funke f 1, pro kterou platí: 1. D ( f 1 ) = H ( f ). Každému D ( f 1 ) je přiřazeno právě to D ( f ), pro které je f () =. Pokud funke g: = g(t) má definiční obor D (g) a funke f: t = f () má obor hodnot H ( f ) splňujíí podmínku H ( f ) D (g), pak funki h: = g (f()) nazýváme složenou funkí a značíme h= g f. teorie 5 8 zadejte kód 93 8

7 Příklad 1 Určete definiční obor funke: a) f 1 : = 5 + b) f : = 5 ) f 3 : = řešení a) f 1 : = krok Do výrazu 5 + můžeme za dosadit libovolné reálné číslo a výraz má smsl.. krok Odtud plne, že D ( f 1 ) = (, ). b) f : = 5 1. krok Do výrazu můžeme za dosadit jen taková čísla, ab hodnota výrazu 5 bla různá od nul. 5. krok Řešíme nerovnii 5 3. krok Ted 5.. krok Odtud plne, že D ( f ) = (, 5) (5, ). ) f 3 : = krok Do výrazu 5+ 6 můžeme za dosadit jen taková čísla, ab hodnota výrazu 5+ 6 bla různá od nul.. krok Řešíme nerovnii krok Rozkladem výrazu na součin dostáváme ( )( 3 ) a ted a 3.. krok Odtud plne, že D ( f 3 ) = (, ) (, 3) (3, ). řešené úloh 1 9 zadejte kód 93 9