SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY DALIBOR DVOŘÁK OSTRAVA

2 Obsah Úvod do problematiky 4 Historiké poznámky 4 Vývoj fyziky v 9 století 4 3 Aberae stáli 5 4 Strhávání světla 6 Lorentzova transformae 7 Mihelson Morleyův pokus 7 Einsteinovy postuláty 8 3 Lorentzova transformae 9 4 Vztah mezi Einsteinovým a Galileiho prinipem relativity 3 Důsledky Lorentzovy transformae 3 Relativnost současnosti událostí 3 Prinip kauzality, maximální ryhlost signálu 33 Skládání ryhlostí 3 34 Dilatae času 4 35 Kontrake délek 4 36 Relativistiký výklad aberae světla hvězd 5 37 Relativistiký výklad Fizeauova pokusu 5 38 Relativistiký výklad Mihelson Morleyova pokusu 6 4 Minkowského prostoročas 6 4 Prostoročasový interval 7 4 Čtyřvektory 8 43 Čtyřvektor ryhlosti, vlastní čas 9 44 Geometriké znázornění Minkowského prostoročasu 5 Relativistiká dynamika 5 Invariane fyzikálníh zákonů 5 Relativistiká pohybová rovnie 53 Čtyřsíla 54 Transformae síly 3 55 Ekvivalene hmotnosti a energie 4 56 Relativistiká hmotnost 5 57 Čtyřvektor energie hybnost 6 58 Transformae energie 7 6 Srážky části 8 6 Dokonale nepružná srážka části 8 6 Rozpad částie 9 63 Dokonale pružná srážka části 3 64 Comptonův rozptyl 3 65 Čerenkovovo záření 3 7 Některé důsledky speiální teorie relativity 34 7 Dopplerův jev 34 7 Klasiký Dopplerův jev 34 7 Relativistiký Dopplerův jev 36 7 Rovnoměrně zryhlený pohyb Pohyb nabité částie v homogenním magnetikém poli 38

3 8 Relativistiká elektrodynamika 39 8 Relativistiké rovnie elektromagnetikého pole 39 8 Fyzikální důsledky transformačníh vzorů 4 83 Tenzor energie a hybnosti elektromagnetikého pole 4 9 Relativistiká termodynamika 44 9 Teplo 44 9 Entropie a teplota Relativistiká termodynamika elektromagnetikého pole 45 Pozorovaný tvar těles ve speiální teorii relativity 46 Pozorování tyče 46 Pozorování tělesa 48 Úvod do obené teorie relativity 5 Prinip ekvivalene 5 Einsteinova teorie gravitae obený prinip relativity 5 Černé díry 53 Historie 53 Horizont událostí 54 3 Rotujíí černá díra 54 4 Fyzikální vlastnosti černé díry 55 5 Hawkingovo záření 57 6 Existene černýh děr 58 7 Pozorování černýh děr 59 8 Alternativní modely 6 3 Vznik a vývoj vesmíru 6 3 Postavení Země ve vesmíru 6 3 Vznik a vývoj vesmíru 6 33 Standardní model 6 34 Temná hmota Temná energie 66 3

4 Úvod do problematiky Historiké poznámky Vznik speiální a posléze i obené teorie relativity byl podmíněn historikou situaí, k níž došlo ve fyzie ve druhé polovině 9 století Tyto teorie znamenaly pro fyziku nejen výhodisko ze slepé uličky, ale jsou také příkladem toho, jak je lidské poznání za dané situae shopno setřást a zavrhnout dogmata, s nimiž žilo a z nihž a to nikoliv neúspěšně, vyházelo stovky let Formulae prinipu obeně platnějšího než Galileiho prinip relativity pro ineriální vztažné soustavy byla na přelomu 9 a století již jen otázkou času Je nesporné, že řada vynikajííh fyziků jmenujme zde především HENRIHO JULESE POINCARÉHO a HENDRIKA ANTOONA LORENZE, tušila neudržitelnost postulátů o absolutním čase a prostoru Obava z veřejného vyslovení těhto, v té době kaířskýh myšlenek, je však zastavila na samotném prahu nové fyzikální epohy Tak se stalo, že roku 95 se v sedmnátém svazku odborného periodika Annalen der Physik objevil třietistránkový článek pod názvem K elektrodynamie pohybujííh se těles, jehož autorem byl do té doby téměř neznámý fyzik ALBERT EINSTEIN Článek byl pozoruhodný nejen svým obsahem, ale i tím, že v něm nebyly itovány žádné prameny a že se jeho pisatel neodvolával na žádné autority a zdroje Styl článku byl velmi prostý a jeho značná část byla pohopitelná i bez náročnější matematiké průpravy Uveřejnění tohoto článku znamenalo definitivní rozhodnutí o dalším vývoji fyziky Ve spojení se souběžně se rozvíjejíí kvantovou teorií umožnilo průlom i v rozvoji poznání o mikrosktrukuře hmoty Vývoj fyziky v 9 století Dominujíí fyzikální disiplinou v průběhu elého tohoto období byla Newtonova mehanika zdokonalená EULEREM, LAPLACEM, LAGRANGEEM, BERNOULLIM, HAMILTONEM Axiomy mehaniky a její matematiký formalismus, byly kritériem pro správnost a platnost novýh nemehanikýh fyzikálníh hypotéz a teorií v optie, elektřině, molekulové fyzie, termodynamie apod Mehanika, považovaná za dokonalou formu fyziky a popisu světa jak po stráne obsahové, tak i formální, ovlivnila také filosofii převládajíím světovým názorem byl v tomto období mehanistiký výklad světa Tato hegemonie mehaniky začala být vážně narušována konem 9 století zejména výsledky experimentů v optie a elektřině Již Newtonův současník, holandský fyzik CHRISTIAN HUYGENS, vyslovil domněnku, že světlo je vlněním nevažitelné a blíže nedefinované substane éteru Díky Newtonově autoritě však na dlouhou dobu převládla jeho emanační (výronová, korpuskulární, částiová) teorie světla nad undulační (vlnovou) teorií Huygensovou Nové experimenty prokazujíí ohyb, interfereni a polarizai světla (YOUNG, FRAUNHOFER, FRESNEL aj) tj jevy typiké pro vlnění však stále víe narušovaly představou o tom, že světlo je jen pouhým pohybem části V polovině 9 století již nebylo pohybností o tom, že se světlo hová jako příčné vlnění V zajetí mehanikýh představ si však fyzikové nedovedli představit šíření světla ve vakuu bez nosiče Proto byl po staletíh oprášen Huygensův pojem éteru Představa klidného, nevažitelného a elý vesmír vyplňujíího éteru byla velmi lákavá mohl být totiž ztotožněn 4

5 s Newtonovým absolutním prostorem Fyzikům se tak zdánlivě otevřela možnost určení absolutního pohybu těles vůči nehybnému éteru Hypotéza o existeni éteru tak postavila před fyziky důležitý úkol určit pohyb Země, především pak ryhlost jejího translačního pohybu vůči éteru Podstata všeh experimentů, které byly k tomuto účelu konány, spočívala v použití klasikého předpokladu o skládání ryhlosti pohybu světla s ryhlostí pohybu jeho zdroje nebo pozorovatele 3 Aberae stáli Vliv pohybu Země na směr, v němž registrujeme zdroj světla, objevil r 78 angliký astronom J BRADLEY v jevu označovaném aberae stáli Bradley zjistil, že stálie opisují na obloze během roku malé elipsy, jejihž velké osy jsou rovnoběžné s ekliptikou a mají nezávisle na vzdálenosti jednotlivýh hvězd stejnou úhlovou velikost 4 S S v prosine červen Z v v Z Z v Z Obr : Sklon dalekohledu při pohybu po ekliptie Uvedený jev lze jednoduše vysvětlit za předpokladu konečné hodnoty ryhlosti světla Pro sklon tubusu dalekohledu platí, viz obr, kde byl použit zhledem k tomu, že přibližný vztah tg tg Z v, () 8 - Dosadíme-li hodnotu ryhlosti světla ve vakuu = 3 ms a hodnotu ryhlosti Země 4 - vzhledem k Sluni v Z = 3 ms, dostaneme ε,5 Tato hodnota je ve velmi dobrém souladu s experimentálně zjištěnou hodnotou aberae Zdálo by se, že jev aberae stáli dokazuje pohyb Země vůči éteru Je nutné však vzít do úvahy, že uvedený výsledek byl získán použitím hodnoty ryhlosti Země vůči Sluni, tzn za předpokladu, že Slune je vůči éteru v klidu Tento předpoklad však není přesný i Slune je vůči soustavě spojené se stáliemi v pohybu ( vs 3 km s ) Detailní rozbor ukazuje, že vztah () je pouze přibližný a popisuje pouze tzv aberai řádu Přesnost měření, která činí u aberae stáli přibližně, je však pro přesnější měření, které by zahytilo i vliv pohybu Slune nedostatečná 5

6 4 Strhávání světla Tento pokus navrhnul franouzský fyzik FIZEAU (85) Vyhází z představy, že ryhlost světla v pohybujíím se látkovém prostředí se sčítá s ryhlostí pohybu tohoto prostředí v důsledku strhávání éteru Prinip pokusu je na obr Zd P Z + Int Obr : Fizeauův pokus určena hodnotou indexu lomu 4 n u u 5 kms 3 Jako pohybujíí se látkové prostředí použil Fizeau vodu proudíí trubií T, ryhlostí v 5 ms Paprsek světla po průhodu polopropustnou destičkou P prohází trubií T před i po odraze na stěnáh hranolu H souhlasným směrem jako voda Ryhlost paprsku má naopak v trubii T vůči ryhlosti proudíí vody v směr opačný Ryhlost světla u v klidné vodě je Podle Fizeauovýh předpokladů se v proudíí vodě měla ryhlost světla zvětšit nebo zmenšit v závislosti na ryhlosti proudění vody v, a tedy : u u kv ; : u u kv ; k, kde k je tzv strhávaí koefiient, harakterizujíí velikost strhávání éteru proudíí vodou Rozdílná ryhlost obou paprsků v trubii měla vést k jejih časovému posunutí poli interferometru Int l l 4kl 4kl 4kl t n u k u k v u v u v, v v kde byl ve jmenovateli zanedbán, vzhledem k tomu, že v, výraz kv t v zorném k u Na základě předpokládaného fázového posunu byla očekávána interferene paprsků a, pozorovatelná interferometrem Interferenční proužky byly skutečně zjištěny a zpětným výpočtem byl pro strhovaí koefiient k odvozen výraz k n Pro ryhlost světla v proudíí vodě získáme vztah v v l T u u kv v () n n strhovaí koefiient k, by měl tedy záviset na indexu lomu a index lomu přitom závisí na frekveni světla (disperze) Při přijetí tohoto faktu byhom museli přijmout hypotézu o existeni nikoliv jediného, ale nekonečně mnoha éterů pro každou frekveni světla jiného Vzhledem k této skutečnosti byl předpoklad o skládání ryhlostí a částečném strhávání éteru 6

7 zpohybněn Výklad výsledku Fizeauova pokusu na základě speiální teorie relativity je uveden v kap 3 Lorentzova transformae Mihelson Morleyův pokus Klíčovým pro potvrzení existene éteru se ukázal být experiment, který navrhl ameriký fyzik ALBERT ABRAHAM MICHELSON (85 93) Při svém návrhu vyházel z předpokladu, že ryhlost světla šíříího se klidným éterem je závislá na ryhlosti a směru pohybu pozorovatele O svém pohybovém stavu vůči klidnému éteru by tedy pozorovatel mohl rozhodnout podle jím naměřené ryhlosti světla Navrhnul proto pokus, při kterém se porovnávaly časové intervaly, během nihž světlo proběhne dvě stejné dráhy různě orientované vzhledem k Zemi, pohybujíí se s pozorovatelem vůči klidnému éteru Shéma experimentálního uspořádání je uvedeno na obr Světelný paprsek vyhází ze zdroje Zs a polopropustným zradlem Z je rozdělen na dva navzájem kolmé paprsky, které po odrazu na zradleh Z, Z spolu interferují v interferometru Int Nehť rameno L ZZ leží ve směru pohybu Země Čas, za který světelný paprsek urazí dráhu ZZZ, je potom roven Z L Z Zs Z L Z L v Int Z Z Obr : Shéma Mihelson Morleyůva pokusu L L L L vz vz v β Z t () Protože se elé zařízení pohybuje spolu se Zemí, pohybuje se druhý paprsek po dráze ZZ Z Čas k tomu potřebný dostaneme použitím Pythagorovy věty ve tvaru L v t Z t L t () 7

8 Časový rozdíl mezi dráhami obou paprsků pak bude L L t t t Otočíme-li elé zařízení o 9, bude ve směru pohybu Země rameno L a analogikou úvahou získáme časový rozdíl pro oba paprsky ve tvaru L L t Při otočení elého zařízení by tedy mělo dojít k posunutí interferenčníh proužků, které odpovídá časovému rozdílu L L t t t L L (3) Z optiky bylo známo, že k posunutí o jeden interferometriký proužek dojde tehdy, je-li časový rozdíl t a tedy musí platit L L, ož při hodnotáh 4 7 ; 5 m vyžaduje aby L L 5 m Tuto podmínku je možno splnit víenásobnými odrazy paprsků na zradleh První série pokusů konanýh Mihelsonem v r 88 v Postupimi byla nepoužitelná, neboť předpokládaný interferenční posun byl v mezíh hyby měření Dostatečnou přesnost měla až druhá série pokusů, konanýh společně s amerikým hemikem E Morleyem v Clevelandu v roe 887 K překvapení experimentátorů i napjaté fyzikální veřejnosti však ani při opakování pokusu nedošlo k žádnému posunutí interferenčníh proužků Pro vysvětlení negativního výsledku Mihelson Morleyova pokusu (i dalšíh důmyslnýh experimentů podobného typu) byla vymyšlena a zkonstruována řada hypotéz Vysvětlení negativního výsledku Mihelson Morleyova pokusu byly velmi blízko zejména holandský fyzik Lorentz a Franouz Poinaré Nejen oni, ale i řada dalšíh fyziků tušila podstatu problému, žádný z nih se však neodhodlal naplno ji vyslovit Řešení i vysvětlení problému podal ve fyzikálníh kruzíh téměř neznámý zaměstnane patentního úřadu v Bernu Albert Einstein v r 95 Jeho teorie založená na dvou základníh postuláteh byla nazvána speiální teorie relativity Einsteinovy postuláty Hluboká analýza tehdejšíh představ o prostoru a čase, která přivedla Einsteina k jeho výsledkům, vyvolala obrovský ohlas nejen ve fyzie, ale i ve filosofii Einstein navždy pohřbil pojem absolutního času a prostoru a dospěl k závěru, že prinipiálně není možné fyzikálně od sebe odlišit žádné dvě různé ineriální soustavy I postulát speiální teorie relativity prinip relativity Pro formulai všeh fyzikálníh zákonů jsou všehny ineriální soustavy rovnoenné II postulát speiální teorie relativity prinip konstantní ryhlosti světla Světelné signály se šíří ve všeh ineriálníh soustaváh konstantní ryhlostí (pro vakuum = ms - ) 8

9 3 Lorentzova transformae Odvození Lorentzovy transformae ze základníh postulátů Pro konkrétní aplikae obou výše uvedenýh postulátů je nutná znalost transformae prostorovýh souřadni x i, i,, 3 a času t při přehodu z ineriální soustavy S do ineriální soustavy S, která se vůči soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře ryhlostí v, viz obr v S S 3 3 Obr : Shéma pro odvození Lorenzovy transformae Protože i sama transformae představuje fyzikální zákon, musí splňovat oba uvedené postuláty Vyloučíme-li singularity, musí být hledaná transformae lineární v proměnnýh x i, t Nejobenější lineární vztah mezi proměnnými x i, t a, t vyjádříme ve tvaru x x i ij t x j j x x x t, j i t , x i x i (4) Při odvozování vyjdeme z nejjednodušší konfigurae, kdy osy a splývají a leží ve směru ryhlosti v, osy a a 3 a 3 jsou rovnoběžné a téhož smyslu Nehť v čase t t počátky obou soustav splývají, potom musí konstantní členy v rovniíh (4) vymizet ; i,, 3 i Protože dále při x x3 musí být rovněž x x 3, je 3, resp Pro x musí být x a obdobně pro x musí být x a tedy Výrazy pro x a x 3 se tak zjednoduší na tvar Z rovnoennosti všeh směrů kolmýh na osu osy a že vyplývá, Z prinipu relativity, tj rovnoennosti obou systémů pak plyne a tedy x x, x 3 x (5) 9

10 Zbývá určit transformační vztahy pro x a t Nejprve opět z rovnoennosti všeh směrů kolmýh na osy a vyplývá, že transformační vztahy pro x a t nemohou záviset na x a x 3 Transformační vztahy mají tedy tvar x x t, t x t Konstanty a jsou určitě nenulové Zavedeme nové konstanty, v a první ze vztahů (6) upravíme na tvar (6) x x vt, (7) z něhož je patrné, že každý bod soustavy S se pohybuje vůči soustavě S ve směru osy konstantní ryhlostí v Za předpokladu, že osy a mají stejnou orientai, je konstanta kladná Prinip relativity vyžaduje, aby pro inverzní transformai současně platil vztah x x vt, (7a) který se liší od vztahu (7) znaménkem ryhlosti v Pomoí vztahů (7) a (7a) dostaneme pro čas t vztah t x t, (8) v a pomoí vztahů (6) a (8) dostáváme pro konstanty a vyjádření ; t v Hodnotu koefiientu určíme pomoí postulátu o konstantní ryhlosti světla Světelný signál vyslaný v čase t t urazí v obou soustaváh S a S dráhu x t, resp x t Dosazením vztahů (7) a (8) a následnou úpravou dostaneme pro koefiient vyjádření ; v Transformační vztahy (4) lze tedy vyjádřit ve tvaru x v t x v t x x v t, x x, x 3 x3, v v x (9) t x t t t v x v Pro inverzní transformai platí stejní vztahy jen ryhlost v má opačnou orientai, tedy v Uvedená transformae nese označení Lorenzova transformae V obeném případě, kdy se ineriální soustava S pohybuje vzhledem k soustavě S obeně orientovanou ryhlostí v onst, rozložíme polohový vektor r libovolného bodu na složku

11 r kolmou k vektoru ryhlosti v a na složku r, která je s vektorem v rovnoběžná, viz obr 3 Platí r v v r, v r v v r v S r r r r, v r v v r v v r r r r r r v v S Při přehodu do soustavy S se složka r nemění a složka r se transformuje podle vztahu (9), takže Obr 3: Obený případ r v v r v v r t r v, v v v r v v r v r r v t ; t t v 4 Vztah mezi Einsteinovým a Galileiho prinipem relativity Při posuzování vztahu mezi Galileho prinipem relativity a Einsteinovým prinipem relativity je dobré si uvědomit, že Galileho prinip je vlastně důsledkem Newtonovýh pohybovýh rovni, z kterýh přímo vyplývá, že rovnoměrný přímočarý pohyb neovlivňuje pohybový stav systému a dále, že čas plyne nezávisle na pohybovém stavu systému tedy, že čas je absolutní Uvedené skutečnosti vyjadřuje Galileho transformae udávajíí změnu prostorovýh souřadni x i, i,, 3 a času t při přehodu od jedné ineriální soustavy do druhé, tj při přehodu od soustavy S do soustavy S, která se vůči soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře ryhlostí v x, i xi vit t t ; i,, 3 () Z uvedeného výkladu je zřejmé, že rozšíření platnosti Galileho prinipu relativity na jiné jevy než mehaniké je diskutabilní Je historikým paradoxem, že i Lorenzova transformae byla původně odvozena z Maxwellovýh rovni a tedy např i fakt, že světlo se šíří konstantní ryhlostí ve všeh soustaváh, pro které platí Lorenzovy transformae, se jevil jako důsledek struktury Maxwellovýh rovni Teprve Einstein na základě experimentálníh výsledků a hluboké analýzy Newtonova pojetí času a prostoru zformuloval dva základní obené postuláty a pomoí těhto obenýh postulátů odvodil potřebné transformační vztahy Ukázalo se, že tato transformae je totožná s transformaí Lorenzovou A protože Maxwellovy rovnie jsou vůči Lorenzově transformai invariantní, a tedy jsou v souladu se základními postuláty, vyslovil Einstein zela evidentní požadavek na přeformulování vztahů platnýh dosud pro mehaniku tak, aby rovněž byly v souladu se základními postuláty Jistou heuristikou podporou na uvedený Einsteinův požadavek je i splnění prinipu korespondene, podle kterého každá nová, obenější teorie musí zahrnovat teorii starší, pokud se tato osvědčila, jako speielní případ Pro v platí pro poměr v a vztahy

12 (9) přejdou ve vztahy () To je také důvodem, proč lze pro běžné situae, kdy je uvedená podmínka splněna, použít pro praktiké aplikae Newtonovy pohybové rovnie Vyslovením dvou základníh postulátů Einstein s konečnou platností zamítl konepi Newtonova absolutního prostoru a absolutního času Jak vyplývá ze vztahů (9) i čas je závislý na pohybovém stavu systému, i čas je relativní 3 Důsledky Lorentzovy transformae 3 Relativnost současnosti událostí Ztráta absolutnosti času vede k vážným důsledkům Jedním z nejdůležitějšíh je pojem současnosti dvou událostí z hlediska speiální teorie relativity Nehť soustava S se pohybuje vůči soustavě S rovnoměrně přímočaře ryhlostí v Jsou-li A, B dvě bodové události, které mají v soustavě S časoprostorové souřadnie A xa,,, ta a B xb,,, tb, potom se časový interval t tb ta, který proběhne mezi těmito událostmi v soustavě S, přetransformuje v soustavě S pomoí vztahu pro transformai času vx t t následujíím způsobem v v t t B ta t B ta xb xa t x (3) Nehť uvažované události A, B proběhnou v soustavě S současně, tj ta tb t Ze vztahu (3) je zřejmé, že pozorovateli v soustavě S se události A, B nejeví jako současné ( t t B ta ), je-li xa xb Pojem současnosti je tedy relativní Z uvedeného vztahu dále vyplývá t B t A x B x A To znamená, že jsou-li dvě události A, B v ineriální soustavě S současné, pak v žádné ineriální soustavě S nemůže být jejih časový rozdíl větší než doba, kterou potřebuje světlo, aby dospělo z místa jedné události do místa druhé události 3 Prinip kauzality, maximální ryhlost signálu Současnost událostí je v Newtonově mehanie pojem absolutní Je to dáno absolutním plynutím času Ve speielní teorii relativity je však čas závislý na pohybovém stavu soustavy, ke které posuzovanou událost vztahujeme Protože však podle Einsteinova prinipu relativity jsou všehny ineriální soustavy fyzikálně zela rovnoenné, musíme současnost událostí zjištěnou měřením v soustavě S pokládat za stejně pravdivou, skutečnou a objektivní, jako jejih různý časový průběh v soustavě S Je jasné, že vztahy ta tb ; t A t B ; t A t B neodporují obené logie, neboť to jsou vztahy mezi údaji různýh hodin, i když se ve všeh třeh případeh týkají téže dvojie událostí Není však již tak zřejmé, zda logiká rovnoennost těhto vztahů neodporuje jiným, obeně uznávaným fyzikálním prinipům Jedním z těhto prinipů je prinip kauzality (příčinnosti) Tento prinip má přímý vztah k časovému sledu událostí a vyžaduje, aby příčina vždy předházela následek Tento prinip je základem všeho našeho poznání a jeho porušení by zrelativizovalo veškeré naše dosud získané poznatky o vnějším světě Jako příčina a následek spolu mohou souviset pouze následné události A a B, jejihž prostorové a časové souřadnie splňují ve všeh ineriálníh soustaváh nerovnost t t x x (3) B A B A

13 Z nerovnosti (3) vyplývá pro zahování prinipu kauzality požadavek na ryhlost šíření fyzikálníh signálů v Ryhlost světla ve vakuu představuje tedy maximální ryhlost šíření signálů Časové pořadí následnýh událostí splňujííh podmínku (3) je absolutní (stejné ve všeh ineriálníh soustaváh) Platí-li pro tyto události naví také podmínka tb ta, je A vůči B událostí absolutně budouí a B vůči A událostí absolutně minulou - t absolutně vzdálené t + A absolutní budounost absolutní minulost + B + A absolutně vzdálené + B Obr: 3: Struktura časoprostoru z hlediska průběh událostí t x Prostoročas v okolí daného prostoročasového bodu lze rozdělit na tři oblasti znázorněné na obr 3 Fyziké těleso nebo signál v oblasti absolutní minulosti se může dostat z libovolného bodu B ryhlostí menší než je ryhlost světla do bodu a ovlivnit zde probíhajíí události Události proběhlé v minulosti v bodě B, který leží ve stejném bodu prostoru jako bod, ovlivňují proto události probíhajíí v bodě nyní Události probíhajíí v bodě nyní, ovlivní běh událostí v bodě A v budounu a mohou ovlivnit události v libovolném bodě A v oblasti absolutní budounosti Body nebo události ležíí v oblasteh absolutně vzdálenýh nemají k událostem probíhajíím v bodě žádný kauzální vztah 33 Skládání ryhlostí Negativní výsledek Mihelson Morleyova pokusu a prinip konstantní ryhlosti světla dává tušit, že pro skládání ryhlostí musí ve speiální teorii relativity platit jiná pravidla než v Newtonově mehanie Nehť se daný bod pohybuje v soustavě S obeně ryhlostí u o složkáh u u, u, u 3 Pro jednotlivé souřadnie v soustavě S potom platí x ut x u t x ut,, 3 3 Po dosazení transformačníh vztahů vyplývajííh z Lorenzovy transformae, jejih derivaí a následném vydělení dostaneme u v v u v v v v u u u ; u u ; u3 u 3 (33) To jsou hledaná pravidla pro skládání ryhlostí Jejih správnost ověříme následujíím příkladem: Nehť se v soustavě S, pohybujíí se ryhlostí v, pohybuje bod rovněž ryhlostí u Podle pravidel klasiké mehaniky by měla výsledná ryhlost bodu v systému S být rovna u Po dosazení do vztahu (33) dostaneme u, tedy výsledek, který je v souladu s prinipem konstantní ryhlosti světla 3

14 34 Dilatae času S relativností současnosti úze souvisí další relativistiký jev, tzv dilatae času neboli zpomalení hodu hodin, které jsou v pohybu vůči zvolenému systému Porovnání hodu hodin provedeme tak, že porovnáme časový interval t na hodináh v soustavě S, která je v klidu, s časovým intervalem t v soustavě S, která se vůči soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře ryhlostí v Časový interval t určíme tak, že na hodináh, které jsou vůči soustavě S v klidu, odečteme čas v okamžiíh t a t, přičemž t t, a určíme jejih rozdíl vx t t t t t t, vx t t a tedy t t (34) Z uvedeného vztahu vyplývá, že časová jednotka t je v soustavě S -krát delší než soustavě S a tedy hodiny systému S jdou -krát pomaleji než hodiny v systému S Čas tedy plyne nejpomaleji v soustavě, vůči které jsou hodiny v klidu Tento čas označujeme jako vlastní čas Dilatai času lze potvrdit experimentálně názorně na rozpadu mionů Jsou to elementární částie, které vznikají jako druhotné produkty při srážkáh části primárního kosmikého záření s molekulami plynů atmosféry Miony se rozpadají na elektron a dvě neutrina Z pozorování vyplývá, že miony vznikají zhruba ve výše 3 km se pohybují ryhlostí,9 Z této výšky pak dopadají na zemský povrh Měření ukazují, že v klidu se miony rozpadají 6 s harakteristikou dobou života, s Z uvedenýh údajů tak vyplývá, že při průletu 3 km zemskou atmosférou, mají dobu života podstatně delší t 4 s 5 Vysvětlení dává vztah (34), který byl i na základě experimentálníh výsledků potvrzen Pozn: V souvislosti s dilataí času se zmiňme o tzv paradoxu dvojčat Jedná se o následujíí problém: Dva kosmonauti dvojčata A, B, se rozhodnou, že jeden z nih kosmonaut A, zůstane na Zemi a druhý, kosmonaut B, odletí do vesmíru, kde se pohybuje velkou ryhlostí Vzhledem k dilatai času by měl být po návratu kosmonaut B mladší než kosmonaut A Ovšem tuto úvahu lze obrátit z hlediska kosmonauta B se pohyboval kosmonaut A a mladší by měl být kosmonaut A Pro objasnění uvedeného paradoxu je nutné podrobněji analyzovat podmínky pro aplikai prinipu relativity Aby se kosmonaut B mohl vrátit, musel obrátit raketu zpět k Zemi a jeho pohyb byl alespoň po určitou dobu zryhlený a toto zryhlení musel kosmonaut B poítit Tím je dán mezi oběma kosmonauty rozdíl v absolutním smyslu Problém není symetriký Mladší může být pouze kosmonaut B 35 Kontrake délek Dalším relativistikým efektem je tzv kontrake délek neboli zkraování délky ve směru pohybu Mějme opět dvě ineriální soustavy S a S, které se vůči sobě pohybují rovnoměrně přímočaře ryhlostí v Naším úkolem bude porovnat délku měřií tyče ve směru pohybu v těhto soustaváh Nehť měřií tyč délky l je vůči soustavě S v klidu Che-li pozorovatel, který je v klidu vůči soustavě S, změřit délku měřií tyče, může to např udělat tak, že v okamžiku t, kdy ho míjí počátek měřií tyče zmačkne stopky a zastaví 4

15 v okamžiku, kdy ho míjí kone tyče Potom pro délku měřií tyče v soustavě S platí l vt Pozorovatel v soustavě S zmačkne stopky v okamžiku t, kdy např počátek soustavy S míjí počátek měřií tyče a zastaví je v okamžiku, kdy počátek soustavy S míjí kone měříí tyče Potom v soustavě S platí l v t, a tedy t l v Vezmeme-li v úvahu dilatai času, vztah (34), pak platí t l v l vt v l l (35) Pozorovateli, který je v klidu vůči soustavě S, se měřií tyč jeví kratší, dohází ke kontraki délky ve směru pohybu 36 Relativistiký výklad aberae světla hvězd Nehť S je soustava spojená s hvězdou a S soustava spojená se Zemí, která se vzhledem k soustavě S pohybuje ryhlostí v Z, viz obr 3 y y v Z H Obr 3: Aberae hvězd Svírá-li směr světelného paprsku v rovině xy v soustavě S' s osou x, tj se směrem ryhlosti pohybu v Z úhel, jsou složky jeho ryhlosti vx os, vy sin Pro úhel světelného paprsku v soustavě S vx os, vy sin plyne ze vztahů pro skládání ryhlostí (33) x, x v v os os ; sin sin (36) v v os os Ze vztahu (36) plyne pro úhel aberae světla pro sin, os a pro v Z a sin s přesností do členů prvního řádu v proměnné v Z klasiký vztah vz 37 Relativistiký výklad Fizeauova pokusu Nehť soustava S je v klidu vůči laboratoři a soustava S, spojená s izotropním průhledným prostředím o indexu n > (voda), se vůči soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře 5

16 ryhlostí ve směru osy () v V uvedeném prostředí se tedy šíří světlo všemi směry ryhlostí u n Světelná vlna postupujíí ve směru osy () pak bude postupovat vůči soustavě S ryhlostí u v n u u vu n To je přesný vztah pro strhávání světla Pro dostaneme přibližný Fizaeuův vztah, viz () kap, u u n u v n n, který potvrdil experimentálně Fizaeu již v roe 85! Strhávání světla zjištěné Fizaeu je tedy důsledkem relativistikého skládání ryhlostí 38 Relativistiký výklad Mihelson Morleyova pokusu Kontrake délky ve směru pohybu vysvětluje negativní výsledek Mihelson Morleyova pokusu Negativní výsledek Mihelsonova pokusu lze objasnit mylným předpokladem, že délky L a L jsou skutečné délky ramen Pozorovatel měřil délku ramen interferometru ovšem měřítkem, jehož délka závisí na jeho orientai vůči směru ryhlosti pohybu V základním postavení () interferometru měřením zjistil délky ramen L L a L L nezávisle na orientai interferometru Protože se domníval, že má dobré měřítko, položil při otočení interferometru o, případ (), L L a L L a očekával nenulový výsledek podle (3) Správně měl však v základním postavení interferometru položit L L L a L, neboť délku L měřil zkráeným měřítkem a na základě vztahu () očekávat časový interval t Po otočení interferometru o měl položit časový interval t L L L L β L a L L L β a podle () očekávat tj stejný jako v případě základního postavení přístroje a ve shodě s výsledkem experimentu dostaneme nulové posunutí proužků 4 Minkowského prostoročas V roe 97, dva roky po publikování základů speiální teorie relativity, zavedl němeký matematiký fyzik HERMANN MINKOWSKI (864 99) pojem čtyřrozměrného časoprostorového kontinua umožňujíí novou formu zápisu veličin a fyzikálníh zákonů ve čtyřsložkovém tvaru Minkowského prostoročas umožnil zajímavou geometrikou interpretai Lorentzovy transformae a vybudování matematikého aparátu, díky němuž se speiální teorie relativity stala velmi přehlednou Minkowski poukázal na to, že prostorové a časové údaje jsou, 6

17 vzájemně neoddělitelné a provázané Každá událost musí tedy být popsána třemi prostorovými a jednou časovou souřadnií Těmito čtyřmi souřadniemi x, x, x3, x 4 je jednoznačně určen bod (bodová událost) v abstraktním čtyřrozměrném prostoru tzv Minkowského prostoročase M 4 Pro zahování stejného rozměru všeh čtyř souřadni x, x, x3, x 4 má časová souřadnie tvar x4 it, kde i je imaginární jednotka, a je ryhlost světla ve vakuu Podle Minkowského je svět čtyřrozměrným souborem bodovýh událostí o prostoročasovýh souřadniíh x x, x y, x z, x it (4) 3 4 Formální analogie s třírozměrnou euklidovskou geometrií je důvodem, proč označujeme Minkowského prostoročas za pseudoeuklidovský 4 Prostoročasový interval Uvažujme dvě bodové události o prostoročasovýh souřadniíh x, y, z,it a x, y, z,it Analogiky s třírozměrnou euklidovskou geometrií zavedeme metriku čtyřrozměrného prostoročasu vztahem s x x y y z z t t s x x x x ;,,3, 4, definujíím tzv prostoročasový interval s mezi bodovými událostmi () a () (4) Pro formální odlišení třírozměrného euklidovského prostoru od čtyřrozměrného prostoročasu při použití Einsteinova sčítaího pravidla používáme pro sčítaí index probíhajíí hodnoty,,3,4 malá písmena řeké abeedy Při Lorentzově transformai vztahu (4) dostaneme Prostoročasový interval s x x y y z z t t x x y y z z t t s s x x x x ;,, 3, 4 dvou bodovýh událostí ve čtyřrozměrném prostoročase je invariantem Lorentzovy transformae Invariantem je tedy i elementární posunutí ds dx d x ;,, 3, 4 (43) V klasiké fyzie jsou výrazy dx dy dz a dt invarianty Galileiho transformae Ve speiální teorii relativity tyto výrazy invariantnost, tj neměnnost vůči Lorentzově transformai ztráejí a invariantem vůči Lorentzově transformai je teprve jejih spojení do jediného výrazu ve tvaru dx d y dz dt 7

18 4 Čtyřvektory Dosadíme-li prostoročasové souřadnie (4) do Lorentzovy transformae dostaneme x ix4 x4 ix x ; x x; x 3 x3; x 4 Zaveďme úhel vztahy os i ; sin Lorentzovu transformai pak přepíšeme na tvar x x os x sin, 4 x x x 3 3, x, x x sin x os 4 4 (44) Výrazy (44) jsou transformačními vztahy pro otočení soustavy souřadni v rovině xx 4 o úhel Přehodu z ineriální soustavy S do ineriální soustavy S, která se vůči soustavě S pohybuje ryhlostí v onst ve směru osy x odpovídá otočení soustavy souřadni o úhel v rovině xx 4 Pro úhel platí tg i Odvodíme pro příklad pomoí uvedené interpretae vztah pro relativistiké skládání ryhlostí Nehť se soustava S pohybuje vůči klidné soustavě S ryhlostí v onst a daný bod má vůči soustavě S ryhlost u Transformai z S do S přiřadíme úhel tg iv Ryhlosti u přiřadíme úhel tg iu Pro transformai ze soustavy S do soustavy S, které přiřadíme úhel tg iu, potom platí a tedy tg +tg tg = tg + =, - tg tg i i u v u uv Transformai kartézskýh tenzorů můžeme ve čtyřrozměrném prostoročase vyjádřit matií, jejímiž prvky jsou směrové kosiny úhlů os obou soustav souřadni Lorentzově transformai (44) odpovídá matie i i Prvky matie (45) splňují relae ortonormality aa (45) Čtyřvektor polohy x harakterizuje polohu bodové události v časoprostoru M 4 8

19 Pohybuje-li se částie v E 3 po reálné trajektorii, pohybuje se v M 4 po tzv světočáře Světočárou částie, která je vzhledem k dané ineriální soustavě v E 3 v klidu je v M 4 přímka rovnoběžná s časovou osou Analogie s euklidovským prostorem umožňuje pomoí Minkowského formalismu rozšířit definii tenzorů i do čtyřrozměrného prostoročasu Čtyřvektor A je veličina, která se transformují podle zákona A a A, kde a jsou kosiny úhlů os obou soustav Rozepíšeme-li tento vztah pomoí transformačníh vztahů (44), dostaneme A A i A ; A A ; A A ; A ia A Definie tenzorů vyššíh řádů v M 4 je analogiká definii kartézskýh tenzorů v E 3 43 Čtyřvektor ryhlosti, vlastní čas Ryhlost částie v M 4 získáme jako první derivai čtyřvektoru elementárního posunutí ds částie v soustavě S podle invariantu, který je relativistikou analogií času v klasiké fyzie V klasiké kinematie je čas t invariantem Galileiho transformae Derivaí libovolného tenzoru podle invariantu se řád tenzoru nemění V relativistiké kinematie přestal být čas invariantní Derivae podle času je derivaí podle souřadnie, a proto při ní dohází ke zvýšení řádu derivovaného tenzoru o jednotku K tomu, aby bylo možno definovat veličinu (čtyřryhlost), která by přešla v limitním přehodu ve vektor ryhlosti klasiké mehaniky, je nutné pro derivování zkonstruovat invariant, který má rozměr času Tomuto požadavku vyhovuje výraz d definovaný vztahem x, d dx d který je vzhledem k platnosti (43) invariantem Lorentzovy transformae Ve vlastní soustavě částie tj v soustavě S, v níž je částie v klidu platí d dxdx i dt dt Invariant d má tedy význam časového intervalu, měřeného hodinami pevně spojenými s uvažovanou částií je tzv vlastní čas částie V obeném případě, kdy se částie pohybuje vůči soustavě S ryhlostí u dui dt, i,, 3 dostaneme d dx d d dy dz dt x x u u u dt d dt dt dt dx dy dz x y z t u d dt, (46) tedy výraz odpovídajíí dilatai času v pohybujíí se soustavě, registrovanou pozorovatelem v soustavě S, vůči které je v klidu 9

20 Čtyřryhlost u je definována vztahem u Dosazením vztahů (43) a (46) dostaneme dx d ;,, 3, 4 d x d x u x i ; ; 4 u u u d u d t u u u u u i u ; u ; u ; u u u u u x y z 3 4 Velikost čtyřryhlosti je invariantem Lorentzovy transformae, neboť platí u u (47) Tato vlastnost zahování velikosti vůči Lorentzově transformai je obenou vlastností čtyřvektorů Je to analogie se situaí v E 3, v němž se při otočení soustavy souřadni velikost vektorů nemění Derivaí vztahu (47) podle d dostaneme důležitý vztah w u du du d d kde u du dt je čtyřzryhlení w 44 Geometriké znázornění Minkowského prostoročasu Normální euklidovský prostor E 3 je podprostorem v Minkowského prostoru, a proto pro znázornění časoprostorovýh vazeb vyplývajííh ze speiální teorie relativity zvolíme rovinu xx 4 s počátkem v bodové události o souřadniíh t x 4 t x x, viz obr 4 absolutně vzdálené absolutně budouí absolutně minulé absolutně vzdálené x 4 Světelný kužel vyházejíí z dané bodové události, na obr 4 počátek, rozděluje prostoročas na oblasti absolutní minulosti a absolutní budounosti a na oblast událostí absolutně vzdálenýh Prostoročasový interval mezi kteroukoliv bodovou událostí a danou bodovou událostí v oblasti absolutní minulosti a absolutní budounosti je vždy imaginární s, ož znamená, že intervaly mezi těmito událostmi jsou časupodobné a tyto události samy následné

21 Ke kterékoliv události v uvedené oblasti lze nalézt soustavu S, v Obr 4: Struktura prostoročasu níž tyto události proběhnou v témže bodě Naopak nelze najít ineriální soustavu, v níž by tyto události proběhly v témže okamžiku Pro události v oblasti absolutní budounosti je t, takže tyto události proběhnou až po události v počátku Oblast absolutní minulosti představuje naopak vzhledem k události v počátku události absolutně minulé Prostoročasový interval mimo oblast absolutní minulosti a absolutní budounosti je vždy prostorupodobný s a události probíhajíí v této oblasti a bodovou událostí v počátku jsou proto kvazisoučasné V různýh ineriálníh soustaváh proběhnou s různou následností Proto jsou pojmy jako současně, dříve, později, budounost, minulost ve vztahu těhto událostí a události v počátku pouze relativní V žádné ineriální soustavě však nemohou tyto události proběhnout v témže místě jako bodová událost v počátku Proto tyto oblasti označujeme jako události absolutně vzdálené od bodové události v počátku 5 Relativistiká dynamika 5 Invariane fyzikálníh zákonů Podle speiální teorie relativity jsou všehny ineriální vztažné soustavy ekvivalentní pro popis fyzikálníh dějů Matematiký zápis těhto dějů musí mít tedy ve všeh ineriálníh soustaváh stejný tvar musí být invariantní vůči Lorenzově transformai Rovnii, jejímiž stranami jsou tenzory stejného řádu, označujeme jako kovariantní Fyzikální zákon je invariantní, je-li vyjádřen kovariantní rovnií Klasiká Newtonova pohybová rovnie částie d p dt F, není z hlediska speiální teorie relativity kovariantní, neboť na obou stranáh této rovnie jsou tenzory různýh řádů Je tomu tak proto, že čas podle Newtona invariant, není ve speiální teorii relativity invariantní, je souřadnií a derivae tenzoru podle souřadnie zvyšuje jeho řád o jednu Newtonova pohybová rovnie tedy není kovariantní (na její levé straně je tenzor druhého a na pravé straně tenzor prvého řádu), a proto nemůže být invariantem Lorentzovy transformae Je proto nutné najít novou pohybovou rovnii, která je kovariantní a tedy i invariantní vůči Lorentzově transformai, splňuje prinip korespondene, tj v limitním přiblížení přejde do klasikého Newtonova tvaru 5 Relativistiká pohybová rovnie Při relativistikém zobenění Newtonovy pohybové rovnie d p d mv F dt dt (5)

22 vyjdeme z Minkowského formalizmu a přejdeme do čtyřrozměrného časoprostoru Abyhom zahovali kovariani rovnie (5) musíme derivovat podle invariantu času d t d u tedy podle vlastního času částie pohybujíí se vůči klidné ineriální soustavě S ryhlostí u u, u, u 3 d d m u Potom K kde K je čtyřsíla a u čtyřryhlost o složkáh ; μ =,, 3, 4, (5) u u u i u ; u ; u ; u u u u u x y z 3 4 (53) Skalár m označuje hodnotu skalární veličiny, která je analogiká konstantní setrvačné hmotnosti m částie v Newtonově rovnii; index nula vyjadřuje předpoklad invariane m vůči Lorentzově transformai 53 Čtyřsíla Čtyřvektor K na pravé straně rovnie (5) je časoprostorovým analogem vektoru síly F Fx, Fy, Fz, tedy čtyřvektor síly neboli čtyřsíla Musí mít takový tvar, aby při limitním přehodu do nerelativistiké fyziky u platilo Položme, potom platí kde K F, K F, K F, (54) x y 3 z d m u x d u mu K F x, (55) dt u dt m m u (56) Vztah (55) splňuje podmínku (54) Pro určení čtvrté složky čtyřsíly K 4 vynásobíme rovnii (5) skalárně čtyřryhlostí u a tedy d d u m u m uu Ku d d Fx ux Fz uz i Ku K4 u u u u u

23 K 4 i F u u Složky čtyřsíly K jsou tedy určeny vztahy F F F i F u K, K, K, K u u u u Poznámka: x y z 3 4 (57) Pod názvem Minkowského síla je v literatuře často uváděn vektor F M F u jehož složkami jsou první tři složky čtyřsíly K, 54 Transformae síly Pro přehod z ineriální soustavy S do ineriální soustavy S, která se vůči soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře ryhlostí v platí obené transformační vztahy A i A4 A4 i A A ; A A ; A 3 A3 ; A 4 (58) Pohybuje-li se daná částie vůči soustavě S ryhlostí u a vůči soustavě S ryhlostí u, platí pro čtyřsílu K působíí na částii v soustavě S vztahy (57) a pro její čtyřryhlost u vztahy (53) Obdobné vztahy platí pro čtyřsílu K působíí na částii v soustavě S a pro její čtyřryhlost u Aplikaí transformačníh vztahů (58) na čtyřsílu K, dostaneme pro složku K F F v F u K u v u u x x (59) Z transformačníh vztahů (58) aplikovanýh na složku čtyřryhlosti u vyplývá ux ux v u (5) u v u u Po dosazení vztahu pro skládání ryhlostí ux v ux uxv, do vztahu (5), dostaneme po jednoduhýh úpraváh 3

24 uxv (5) u u v Dosazením (5) do (59) dostaneme uxv Fx v F u K F x u v v u u Z uvedeného vztahu vyplývá pro složku síly F x vztah F F x x F u F u v y y z z uxv Stejným postupem odvodíme výrazy pro zbylé složky síly Transformae síly F při přehodu z ineriální soustavy S, která je klidná vůči pozorovateli do ineriální soustavy S, která se vůči soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře ryhlostí v je pak určena vztahy v v F u F u F F v; F F ; F F y y z z x x y y z z uxv uxv uxv 55 Ekvivalene hmotnosti a energie Časovou složku pohybové rovnie (5) upravíme na tvar dm u4 d m K 4 F u d d t (5) u V klasiké mehanie m onst lze pohybovou rovnii částie upravit následujíím způsobem d mu d d E u F u mu F u (53) d t d t d t Skalární součin vtištěné síly a okamžité ryhlosti částie je v klasiké mehanie roven okamžité časové změně energie E částie Použijeme-li na vztah (5) v duhu prinipu korespondene analogii ke vztahu (53) dostaneme de d m m E dt dt u u 4

25 Rozvineme-li odmoninu ve jmenovateli do binomiké řady a omezíme-li se pouze na její první dva členy, dostaneme m u E m m m u u (54) Ve výrazu pro energii se objevuje nový člen m, který popisuje tzv klidovou energii E částie, tj tu část elkové energie, kterou má částie v soustavě, ve které je v klidu Výraz (54) tedy vyjadřuje elkovou energii volné částie E a platí E E T m m u m (55) Vztah (55) vyjadřuje vztah ekvivalene mezi hmotností a energií volné částie Pro elkovou energii volné částie platí E = m 56 Relativistiká hmotnost Rozebereme nyní podrobněji problém hmotnosti v speiální teorii relativity, viz vztah (56) V důsledku prinipu relativity není hmotnost konstantní, jak je tomu v Newtonově mehanie, ale závisí na ryhlosti vztažné soustavy Uvedenou skutečnost budeme demonstrovat na příkladu srážky dvou hmotnýh části Nehť částie a jsou dvě totožné částie, které se pohybují proti sobě stejnou ryhlostí Za uvedenýh podmínek se zahovává elková energie a hybnost O hybnosti samotné budeme předpokládat, že ji lze zapsat jako součin hmotnosti, která může být funkí ryhlosti a ryhlosti samé p m v v Celková hybnost uvažované soustavy je rovna nule V důsledku zahování elkové hybnosti musí být po sráže směry pohybu obou části přesně opačné Naví musí mít v důsledku zahování energie i stejné ryhlosti, viz obr 5a v w u u a) b) Obr 5: Srážka dvou totožnýh části v soustavě, ve které mají obě částie stejnou, ale opačnou ryhlost (a), částie je vůči ose () v klidu (b) Úhel θ je roven odhyle částie Vztažná soustava je zvolena tak, že osa půlí úhel θ Na obr 5b je tatáž srážka zahyená ve vztažné soustavě, která se pohybuje spolu s částií ve směru osy Změna hybnosti částie je v této soustavě rovna 5

26 p m w w w V uvedené soustavě se složka u ryhlosti částie ve směru osy nemění Změnu ryhlosti částie ve směru osy určíme nejsnáze tak, když tutéž situai posoudíme v soustavě, která se pohybuje s částií ve směru osy ryhlostí ( u ) Použitím vztahu pro skládání ryhlostí v u w, v u kde položíme v u, u, dostaneme pro změnu hybnosti částie vztah u u u p m u u m u w Protože elková hybnost se nemění a platí prinip relativity p p a tedy mw w u m u u a pro w m w m Konečný výsledek je m u m u u (56) Pro m u je m Konstanta m je tedy rovna hmotnosti uvažované soustavy v případě, že tato soustava je jako elek v klidu Proto ji označujeme jako klidovou hmotnost Setrvačná hmotnost částie je ve speiální teorii relativity funkí ryhlosti částie m m v 57 Čtyřvektor energie hybnost Časoprostorovým zobeněním hybnosti je čtyřvektor hybnosti (čtyřhybnost) p m u o složkáh m ux m uy m uz p mu ; p mu ; p 3 m u3 ; u u u mi i i p4 i m m E u Pomoí čtyřhybnosti p můžeme relativistikou pohybovou rovnii částie zapsat ve tvaru 6

27 d p d K Ve výrazu pro čtvrtou složku čtyřhybnosti p 4 vystupuje elková energie částie E, a proto se čtyřhybnost často nazývá čtyřvektor energie hybnost částie Kvadrát čtyřhybnosti je invariantem a platí p p m Dále platí E p p p m (57) a tedy E p m Prodiskutujeme nyní možné fyzikální důsledky vztahu (57) E p m a E p Pomoí vztahu (55) dostaneme u Ryhlost u částie je menší, než ryhlost světla ve vakuu Současně musí být také m Ryhlost částie s nenulovou klidovou hmotností je vždy menší než ryhlosti světla ve vakuu E p m a E p V tomto případě u Částie s nulovou klidovou hmotností má ryhlost rovnu ryhlosti světla ve vakuu E p V tomto případě je m imaginární číslo a částie s touto nenulovou klidovou hmotností by se pohybovala ryhlostí u Existeni takovýhto hypotetikýh části, jež byly nazvány tahyony a předpovídaly některé teorie a od začátku 6 let století jsou prováděny pokusy, které by měly potvrdit jejih existeni Poznámka: Předpoklad o existeni části (tahyony), které se pohybují v ineriálníh soustaváh ryhleji, než světlo ve vakuu u by měla velmi vážné důsledky vedla by k porušení platnosti prinipu kauzality 58 Transformae energie Aplikujeme-li transformační vztahy na čtyřvektor energie hybnost dostaneme pro transformai čtvrté složky výraz pro transformai elkové energie při přehodu mezi soustavami S a S E u p E u (58) 7

28 6 Srážky části 6 Dokonale nepružná srážka části Uvažujme dvě částie A a B, které mají shodné klidové hmotnosti m Při jejih dokonale nepružné sráže vznikne částie C = A+B o klidové hmotnosti M Nehť S je vztažná soustava hmotného středu soustavy, kterou tvoří části A, B, v níž mají tyto částie před srážkou ryhlosti ua u; ; a ub u; ; Podle zákona zahování hybnosti platí v soustavě S p p p A, B, C, Po dokonale nepružné sráže je tedy částie C v soustavě S v klidu Nehť se soustava pozorovatele S pevně spojená s částií A pohybuje vůči soustavě S v kladném směru osy x konstantní ryhlostí u V soustavě S mají tedy částie A a C ryhlosti ua ; ; a uc u; ; Soustava u u; ; Ze vztahu pro relativistiké skládání S se vůči soustavě S pohybuje ryhlostí ryhlostí má částie B vzhledem k soustavě S ryhlost V soustavě S platí u u u u u u u B, m M p p p u u A B C B C ub uc Dosazením vztahu (6) a po jednoduhýh úpraváh dostaneme (6) u m M M m (6) Klidová hmotnost částie, vzniklé spojením dvou části, není rovna prostému součtu jejih klidovýh hmotností Co je příčinou této skutečnosti odhalíme rozborem transformae kinetiké energie části při dokonale nepružné sráže Pro kinetikou energii platí T E E m (63) u Pomoí vztahů (6) a (63) dostaneme m M m m m T u u 8

29 Zavedeme-li označení M m m a T E, můžeme poslední výraz upravit na tvar E m Kinetiká energie T části při dokonale nepružné sráže se projeví jako změna klidové hmotnosti vzniklé částie 6 Rozpad částie Rozebereme případ samovolného rozpadu částie (např jádro atomu) Předpokládejme, že do okamžiku rozpadu je částie vůči soustavě S v klidu a její klidová hmotnost je M Celková energie částie je tedy E M Nehť se částie rozpadne na dvě částie o klidovýh hmotnosteh m, m, pro něž je soustava S soustavou, která je spojena s jejih hmotným středem V této soustavě mají pohybujíí se částie nenulové hybnosti p, p pro něž platí p p a jejih elkové energie v soustavě S jsou E m T m, Z prinipu zahování energie plyne E m T m E M E E m T m T m m T T E M m m a podmínkou pro samovolný rozpad částie je tedy M m m V případě, že M m m, je původní částie stabilní a k jejímu rozpadu je nutné dodat zvenčí energii pro překonání tzv vazební energie o velikosti E m m M (64) Veličinu V E V m m M M nazýváme hmotnostní defekt daného rozpadu Z podmínky (64) plyne, že pro samovolný rozpad částie (atomového jádra) musí být hmotnostní defekt záporný Pomoí zákona zahování hybnosti, který má v soustavě S tvar p p, prinipu zahování energie M E E a vztahu pro elkovou energii dostaneme pro energii části, které vznikly při rozpadu vztahy E E M m m, M M m m M Dále uvedeme dva příklady posouzení stability atomového jádra berylia 8 4 Be E m p, 9

30 Klidová hmotnost jádra izotopu berylia 8 4 Be je M 8,785 u Součet klidovýh hmotností nukleonů v jádře tohoto izotopu, ( mn, 893 u, mp,83 u ) má hodnotu mj 4, 893 4,83 8, 68 u j Hmotnostní defekt jádra berylia 8 4 Be je tedy M mj M 8, 68 8, 785, 636 u j Jádro izotopu berylia 8 4 Be je stabilní vůči samovolnému rozpadu Klidová hmotnost částie má hodnotu m 4,39 u Klidová hmotnost dvou části, na něž by se jádro 8 4 Be mohlo rozpadnout, je m 8, 78 u Hmotnostní defekt tohoto rozpadu je tedy roven M m M 8, 78 8, 785, 5 u Vůči radioaktivnímu rozpadu je tedy jádro 8 4 Be nestabilní Kladný hmotnostní defekt M atomového jádra vůči určitému typu rozpadu je tedy postačujíí podmínkou jeho stability pouze pro tento typ rozpadu 63 Dokonale pružná srážka části O dokonale pružné sráže části hovoříme tehdy, jestliže klidové hmotnosti části zůstanou po sráže zahovány Uvažujme pružnou srážku části A a B o klidové hmotnosti m Zvolme soustavu S tak, že částie B je vůči této soustavě před srážkou v klidu u a nahází se v jejím počátku Částie A se před srážkou pohybuje vzhledem k soustavě S ryhlostí u Souřadniové osy x a y soustavy S nehť leží v rovině určené ryhlostmi, které získaly částie po pružné sráže u vyplývá u y B u u A Obr 6: Pružná srážka části a u, viz obr 6 Ze zákona zahování hybnosti p p p Po umonění tohoto výrazu na druhou dostaneme p p os p p p (65) Z prinipu zahování energie vyplývá x m m m m (66) Pomoí vztahu E p m odvodíme p m m (67) a dosazením (66) spolu se vztahem (67) do vztahu (65) dostaneme pro úhel konečný výraz 3

31 os m m m m m m m m Pro p p je m m, m m a tedy m m m m, takže os V relativistiké dynamie trajektorie části po dokonale pružné sráže spolu svírají ostrý úhel na rozdíl od klasiké mehaniky kde pro m m m a p p os ; trajektorie části po dokonale pružné sráže jsou navzájem kolmé, viz obr 6 64 Comptonův rozptyl Obr 6: Trajektorie elementárníh části při srážkáh Při Comptonově rozptylu dohází k rozptylu elektromagnetikého záření na kovovýh terčííh, přičemž u rozptýleného záření dohází ke změně frekvene Fyzikální podstatou tohoto jevu je pružná srážka fotonu s volným elektronem Protože při Comptonově rozptylu dohází k rozptylu fotonů, které se pohybují ryhlostí, je nutné použít při popisu tohoto jevu vztahy vyplývajíí ze speielní teorie relativity Z kvantové mehaniky vyplývá pro energii fotonu vztah h, kde h je Plankova konstanta a frekvene a pro jeho hybnost, vzhledem k tomu, že jeho klidová hmotnost m tak p h Vztahem k zavedeme vlnový vektor a energii a hybnost fotonu upravíme na tvar a k Zavedeme soustavu S a její počátek ztotožníme s polohou elektronu před srážkou Elektron je v soustavě S před srážkou v klidu a jeho hybnost je p a energie m Hybnost a energie dopadajíího fotonu je k a Hybnost a energie elektronu po sráže v soustavě S je p a energie E p m, hybnost a energie rozptýleného fotonu k a, viz obr 63 Z prinipu zahování energie a zákona zahování hybnosti vyplývá k p k, Umoníme první z rovni (68) na druhou k k k k k k os m p m a dosazením do druhé rovnie (68) odvodíme pro závislost frekvene rozptýleného záření na frekveni dopadajíího záření a úhlu rozptylu výraz (68) 3

32 os m Uvedený vztah se zpravidla vyjadřuje pomoí vlnovýh délek ve tvaru sin ;, m kde je tzv Comptonova vlnová délka Při sráže dojde ke zvětšení vlnové délky fotonu a tím ke zmenšení jeho energie Tento jev, rozptyl rentgenovskýh fotonů na volnýh elektroneh, pozoroval poprvé A H COMPTON v r 9 Veličina h m se nazývá omptonovská vlnová délka rozptylujíí částie a pro elektron má hodnotu,4 nm K největší změně vlnové délky dohází při úhlu rozptylu fotonů Při sráže fotonu s elektronem je,48 nm Změny vlnové délky jsou dobře pozorovatelné u RTG záření, kdy činí několik proent původní vlnové délky záření Pro viditelné světlo jsou tyto změny podstatně obtížněji pozorovatelné, neboť nedosahují ani,% jeho původní vlnové délky 65 Čerenkovovo záření Při průhodu elektriky nabité částie optiky průzračným prostředím dohází vlivem elektrikého pole částie k lokální polarizai části prostředí podél její dráhy Po průhodu částie se částie prostředí depolarizují, přičemž získanou energii vyzáří ve formě elektromagnetikého vlnění Toto elektromagnetiké vlnění emitované podél dráhy částie interferuje a výsledný efekt závisí na ryhlosti částie Je-li ryhlost pohybu nabité částie větší než je fázová ryhlost světla v daném prostředí n, mohou se světelné vlny, vznikajíí v různýh místeh dráhy, dostat do fáze a při určité velikosti úhlu, viz obr 64, dohází ke konstruktivní interfereni a vzniku pozorovatelného Čerenkovovo záření v Obr 64: Vznik rázové vlny h Toto záření jako první pozoroval v r 934 sovětský fyzik PAČERENKOV ve vodě vystavené ionizujíímu záření Spolu s S I VAVILOVEM provedli řadu pokusů pro objasnění vlastností tohoto záření, přičemž dospěli k částečnému vysvětlení, že pozorované záření je způsobeno elektrony Definitivní objasnění mehanismu tohoto jevu na základě zákonitostí elektrodynamiky látkového prostředí podali v r 937 sovětští fyzii I M FRANK a I J TAMM Čerenkovovo záření je zajímavé i tím, že je vyvoláno nabitou částií, která se pohybuje rovnoměrným pohybem Nehť nabitá částie, která se pohybuje průzračným prostředím (dielektrikem), má klidovou hmotnost m a hybnost p Energie fotonu o energii h, vyzářeného při depolarizai dielektrika, je rovna úbytku počáteční energie nabité částie Je-li elková počáteční energie 3

33 nabité částie E p m, platí 4 E p m a její energie po interaki s dielektrikem při průletu 4 E p m E h p m h (69) 4 4 Označíme-li hybnost nabité částie před a po emisi fotonu p a p a hybnost fotonu vyplývá ze zákona zahování hybnosti v soustavě klidné vůči látkovému prostředí vztah p f, p p p f kde je úhel svíraný vektory p a Dosazením tohoto vztahu do (6) dostáváme p p pf ppf os, (6) p f Z rovnie (69) vyplývá pro p E Eh h p m Dosadíme-li do rovnie (6) vztahy E h p mu u; p f ; n n, můžeme rovnii (6) upravit na tvar pp os p h Eh (6) f f E u h os h h h E n n a tedy h os nu Eu n Druhý člen na pravé straně uvedené rovnie můžeme zanedbat, neboť pro viditelné světlo je 5 jeho hodnota h Eu a tedy platí os nu Tato rovnie má reálné řešení pro nu u n Podmínkou pro vznik Čerenkovova záření je, aby se částie v průzračném dielektriku pohybovala ryhlostí nejméně umin Celková intenzita záření je pak dána Frank-Tammovým vztahem q W d, v n n kde integrujeme přes všehny frekvene, pro které je dané prostředí průzračné a výraz za integrálem popisuje spektrum Čerenkovova záření Toto záření je zkonentrováno do úhlu d n d vn sin d Počet fotonů N s energií je potom určen vztahem 33

34 Ze vztahu (6) je zřejmé, že spektrum Čerenkovova záření je spojité Počet fotonů klesá s druhou moninou vlnové délky a intenzita záření roste s indexem lomu n látkového prostředí Je třeba zdůraznit, že Čerenkovovo záření je generováno optikým prostředím a ne pohybujíí se částií 7 Některé důsledky speiální teorie relativity 7 Dopplerův jev 7 Klasiký Dopplerův jev N h h v n W 4 q d (6) Při vzájemném pohybu vysílače a přijímače vlnění registruje přijímač při vzájemném přibližování vlnění o vyšší a při vzájemném vzdalování naopak o nižší frekveni, než je frekvene vysílače Tato změna registrované frekvene vlnění se nazývá Dopplerův jev JOHANN CHRISTIAN DOPPLER (83-853) Rakouský fyzik, matematik a astronom Profesor tehniky v Praze a ve Vídni Zabýval se zejména optikou a akustikou (aberae hvězd, teorie barev) Jev po něm pojmenovaný popsal poprvé v r 84 Provedeme rozbor Dopplerova jevu pro vlnění, které se šíří homogenním a izotropním prostředím pro případ pohybu vysílače a pro případ pohybu přijímače Přijímač je v klidu a vysílač vlnění o frekveni f, fázové ryhlosti v a vlnové déle v f se pohybuje konstantní ryhlostí u v po příme k přijímači v bodě P, viz obr 7 V V V V P 3 u P Z v v Obr 7: Poloha vlnoploh při pohybu vysílače Pohyb zdroje Z vyvolá změnu vlnové délky vlnění registrovaného přijímačem, neboť vlnoplohy nejsou již soustředné Jestliže se zdroj pohybuje směrem k přijímači P, registruje přijímač vlnění o kratší vlnové déle, viz obr 7, 34

35 a o frekveni v u v u u (7) v v f v v f f f f v u Při pohybu směrem od pozorovatele P, je nutné ve vztahu (7) dosadit ryhlost u a pro vlnovou délku vlnění registrovaného přijímačem dostaneme a pro jeho frekveni u u v v f v f f f f v u Přijímač v bodě P se pohybuje konstantní ryhlostí w po příme, na níž leží vysílač vlnění o frekveni f a fázové ryhlosti v w, viz obr 7 w P Z w P v v Obr 7: Poloha vlnoploh při pohybu přijímače Při pohybu přijímače směrem k vysílači je velikost jeho relativní ryhlost vůči vlnění rovna v w v w Počet vlnoploh vzdálenýh od sebe o v f, které registruje přijímač P za jednotku času je roven frekveni v w v + w f f f f v Velikost relativní ryhlosti přijímače P, který se pohybuje směrem od vysílače je a registrovaná frekvene je rovna v w v w f f f f v v w Při současném pohybu vysílače i přijímače pak platí pro frekveni registrovanou přijímačem vztah v w f f v u Při pohybu těles ryhlostí vyšší, než je fázová ryhlost šíření vlnění v daném prostředí u, w v, vzniká tzv rázová vlna ve tvaru kuželové plohy, v jejímž vrholu se nahází pohybujíí se těleso, viz Čerenkovovo záření Na rozhraní rázové vlny okolního prostředí dohází ke skokové změně parametrů vlnění 35

36 7 Relativistiký Dopplerův jev Invariantní zákony elektrodynamiky umožňují podat popis rovinné elektromagnetiké vlny z hlediska různýh ineriálníh systémů a odvodit přesné relativistiké vztahy pro Dopplerův jev Mějme rovinnou harmonikou monohromatikou elektromagnetikou vlnu, která v ineriální soustavě S spojené s vysílačem, postupuje ryhlostí ve směru jednotkového vektoru N s frekvení f a vlnovou délku f Intenzity elektromagnetikého pole jsou popsány vztahy N r E r, t E sin f t, (7) N r H r, t H sin f t Vzhledem k invariantnosti zákonů elektrodynamiky vůči Lorentzově transformai přejdou vztahy (7) při přehodu do ineriální soustavy S, spojené s přijímačem, která vůči soustavě pohybuje ryhlostí u u,, na tvar Nr Er, t E sin f t, (73) N r H r, t H sin f t Formální shoda rovni (7) a (73) vyplývá z postulátu o fyzikální ekvivalentnosti ineriálníh soustav Z postulátu o konstantní ryhlosti světla vyplývá Protože fáze vystupujíí ve vztazíh (7) a (73) je skalárem, je vůči Lorenzově transformai invariantní a platí N r Nr f t f t Uvedený vztah přepíšeme do tvaru kde vztahy k x k x, k N j, i ; f je zaveden vlnový čtyřvektor nulové velikosti k k Použijeme-li na vlnový čtyřvektor k Lorentzovu transformai dostaneme z výrazu pro transformai složky k 4 po jednoduhýh úpraváh relativistiký vztah pro změnu frekvene pro tzv podélný Dopplerův jev v N f f N f (74) v Pro N, tj N u, se vlna šíří kolmo na směr pohybu soustavy S, a ze vztahu (74) vyplývá f f Tento jev, vliv pohybu přijímače na frekveni, označujeme jako příčný 36

37 Dopplerův jev Tento jev je způsoben dilataí času v soustavě S a v klasiké fyzie je neznámý 7 Rovnoměrně zryhlený pohyb Vzhledem k závislosti setrvačné hmotnosti m částie na ryhlosti u jejího pohybu, musíme sílu F, působíí na částii, zapsat jako d d d m u F mu u m (75) dt dt dt Protože dm F u, dt upravíme vztah (75) na tvar du a F u F u dt m m Ve speiální teorii relativity jsou tedy zryhlení a a síla F rovnoběžné pouze tehdy, má-li síla směr ryhlosti Částie se v soustavě S pohybuje po příme nebo je-li síla k vektoru ryhlosti kolmá Rozebereme možnost, kdy síla je trvale rovnoběžná s vektorem ryhlosti částie Nehť v čase t soustava S splývá s okamžitou klidovou soustavou S, vůči které je daná částie v klidu a vůči soustavě S má ryhlost u Dále, nehť na tuto částii působí ve směru osy () konstantní síla F Vyjádříme konstantní sílu ve tvaru F m a onst Pohybová rovnie částie má potom tvar který upravíme na tvar Integraí vztahu (76) dostaneme dp d m u dt dt u F d dt u u u u ze kterého vyplývá pro ryhlost částie u vztah m a, a (76) a t, at u a t (77) Pro g t přehází vztah (77) ve vyjádření ryhlosti klasiké fyziky u at (78) 37

38 Zásadní rozdíl mezi relativistikým vztahem (77) a klasikým vztahem (78) dostaneme při t Podle klasikého vztahu (78) u, ale podle relativistikého vztahu (77) lim u t Tedy ani trvalým působením konstantní síly nemůžeme částii s nenulovou klidovou hmotností uryhlit na ryhlost Další integraí vztahu (77) dostaneme dx at a t u x onst ; onst d a t t a a a t x (79) a Výraz (79) upravíme následujíím způsobem 4 t x a a Trajektorií relativistikého rovnoměrně zryhleného pohybu je tedy na rozdíl od klasiké paraboly hyperbola; proto se ve speiální teorii relativity o rovnoměrně zryhleném pohybu hovoří jako o pohybu hyperbolikém 73 Pohyb nabité částie v homogenním magnetikém poli Zvolme souřadniovou soustavu tak, že konstantní vektor B intenzity magnetikého pole má B,, B Na pohybujíí se nabitou částii s počáteční hmotností směr i orientai osy (3) mp a nábojem q, působí v tomto poli Lorentzova síla F q u B F q u B ; u B ; (7) Okamžitý výkon Lorentzovy síly je roven okamžité změně elkové energie elektronu Energie částie zůstává tedy konstantní nabité částie ve tvaru Pro hybnost p platí a tedy de F u q u B u dt E p Ze vztahu (7) vyplývají pohybové rovnie d p d d q ub ; p qub ; p z dt dt dt p mu Eu E u p du q B du q B (7) dt E t E u ; u p d p Řešení soustavy (7) mají tvar u Aos t ; u Asin t (7) kde 38

39 Pro závislosti (7) platí p q B q B E m (73) p p u u A onst u, = p kde u je velikost složky počáteční ryhlosti nabité částie kolmé k induki magnetikého pole B Další integraí vztahů (7) obdržíme u p x sin t x, u p x os t x Za předpokladu, že částie vlétne do magnetikého pole kolmo na směr vektoru jeho induke B, pak u u p Trajektorií částie v daném magnetikém poli je kružnie s poloměrem kde p p p je velikost počáteční hybnosti elektronu u p Epu p pp R, (74) q B q B Vztahy (73) a (74) mají zásadní význam pro fyziku vysokýh energií (jadernou fyziku a fyziku elementárníh části) Pomoí vztahů (73) a (74) lze určit hybnost nabité částie a její klidovou hmotnost Vztah (74) má zásadní důležitost při konstruki a provozu uryhlovačů nabitýh (relativistikýh) části (yklotron, synhrotron, synhrofázotron, betatron aj) Fakt, že tato zařízení, konstruovaná v souladu s teoretikými poznatky speiální teorie relativity, spolehlivě fungují, je dalším z řady experimentálníh důkazů platnosti Einsteinovy teorie 8 Relativistiká elektrodynamika 8 Relativistiké rovnie elektromagnetikého pole Jak již bylo uvedeno v úvodu kurzu, invariani rovni elektromagnetikého pole již prokázal Lorentz, když dokázal, že rovnie elektromagnetikého pole D div D ; rot H j, (8) t B div B ; rot E, (8) t nejsou invariantní vůči Galileově transformai ale jsou invariantní vůči transformai x x vt, i t t, i 39

40 která nese Lorenzovo jméno Pomoí rovni (8) lze vyjádřit intenzity E a H vektorového A a skalárního poteniálu ve tvaru pomoí A E grad ; B rot A t (83) Poteniály lze zvolit tak, aby splňovaly kalibrační podmínku div A (84) t Rovnie (8) a (8) pak nabývají tvar tzv vlnovýh rovni A A j, t (85) t Z nih lze poteniály vypočítat při daném rozdělení hustoty náboje a hustoty proudu j u Rovnie (8) je nutné doplnit o vztah, který popisuje interaki elektromagnetikého pole s nábojem Tímto vztahem je výraz pro tzv Lorenzovu sílu f E u B, (86) kde f je silová hustota Provedeme přepis rovni (8) a (8) do tenzorového tvaru v Minkowského časoprostoru a tím zároveň dokážeme jejih invariani Zatím účelem zkonstruujeme pomoí veličin, které vystupují v rovniíh (8) a (8) jisté tenzory v Minkowského časoprostoru Pomoí poteniálů A a zkonstruujeme čtyřpoteniál následujíím přiřazením A, i j,, 3 (87) Kalibrační rovnii (83) můžeme potom zapsat ve tvaru j j 4 Protože uvedený vztah vede na skalár velikosti nula a tento skalár vznikl zúžením ve dvou indexeh, představuje veličina čtyřvektor Vlnové rovnie (85) můžeme nyní zapsat ve tvaru x v t x, x x, x 3 x3, v t v x t, v (88) j 4

41 kde j u, i je čtyřproud Jeho první tři složky tvoří složky hustoty proudu j u a čtvrtá složka j4 i je i-násobkem hustoty náboje Vzhledem k tomu, že na levé straně rovnie (88) vystupuje čtyřvektor, musí být, vzhledem k požadavku invariane, čtyřproud j čtyřvektorem Pomoí čtyřproudu můžeme zapsat zákon zahování náboje, tzv rovnii kontinuity ve tvaru div j t j Pro přepis rovni (8) a (8) do kovariantního tenzorového časoprostorového tvaru zavedeme antisymetriký tenzor (89) F Pomoí definičního vztahu (89) snadno zjistíme fyzikální význam nenulovýh složek tenzoru F F F B, jk kj jkl l F F ie 4 j j4 j (8) Rovnie (89) představují invariantní zápis rovni (83) Na základě vztahů (8) lze rovnie (8) zapsat ve tvaru F j a rovnie (8) ve tvaru F F F Tenzor A F je tzv úplně antisymetriký, tj platí A A A A a v případě, že libovolné dva indexy jsou si rovné je A Vztah pro Lorenzovu sílu (86) lze zapsat pomoí složek tenzoru F a čtyřproudu j ve tvaru Pro složku f 4 pak platí f F j i i f4 F4 j F4 i ji E j f u Složka f 4 je i násobek hustoty výkonu f u 8 Fyzikální důsledky transformačníh vzorů Přepis rovni (8) až (85) do formy kovariantníh tenzorovýh vztahů zaručuje, že v Minkowského časoprostoru se při přehodu z ineriální soustavy S do soustavy S, která se vůči soustavě S pohybuje konstantní ryhlostí u ve směru osy () se tenzory transformují dle vztahů A a A ; A a a A A (8) 4

42 kde a jsou prvky matie Lorenzovy transformae i i, které splňují relae ortonormality aa Transformae (8) zaručuje invariani rovni v Minkowského časoprostoru Použijeme-li transformační vztahy (8) na tenzor F a za jednotlivé složky dosadíme z definičníh vztahů (8), dostaneme pro intenzity elektrikého E a magnetikého H pole vztahy E E ; E E B ; E E B, B B ; B B E3 ; B 3 B3 E (8) Ze vztahů (8) je zřejmé, že pojmy elektriké nebo magnetiké pole mají ve speiální teorii relativity pouze relativní význam Jeví-li se v jednom ineriálním systému dané pole jako čistě elektriké ( E a B ), jeví se z hlediska jiného ineriálního systému jako pole elektromagnetiké ( E a B ) Protože oba systémy jsou fyzikálně rovnoenné, jsou obě zjištění stejně oprávněná Odvodíme nyní transformační vztahy hustoty náboje Pro čtyřproud o složkáh j u j, i platí j j Protože čtyřproud je čtyřvektor, musí být hustota náboje invariant vůči Lorenzově transformai Použijeme-li analogii čtyřproudu s výrazem pro d x d x, idt platí pro klidovou hustotu element časoprostorového intervalu j elektrikého náboje v analogii s výrazem pro vlastní čas transformační vztah ož je zřejmé i z výrazu, (83) j u j j 83 Tenzor energie a hybnosti elektromagnetikého pole Pomoí rovni (8) a (8) odvodíme zákon zahování energie elektromagnetikého pole ve tvaru E divs E j f u (84) t E E D H B je hustota energie a S E H Pointingův vektor hustoty toku kde energie a pro zákon zahování hybnosti elektromagnetikého pole ve tvaru kde w t j T x jk k f j (85) 4

43 je hustota hybnosti a w 4 E H T E D H B E D H B jk jk j k j k je tzv Maxwellův Minkowského tenzor napětí (86) Rovnie (84) a (85) vyjadřujíí zákony zahování energie a hybnosti elektromagnetikého pole, můžeme při přehodu do Minkowského časoprostoru přepsat do tvaru Uvedené rovnie lze zapsat jednoduše ve tvaru i i k Sk 4 E f u, T iw f k jk 4 j j T f, E E kde tenzor T označujeme jako tenzor energie - hustoty definovaný vztahy E E E i E Tij Tij ; Tj4 iwj ; T4 j S j ; T44 ie (87) a ve všeh ineriálníh systémeh tedy platí wj S j Nedostatkem tenzoru E T je porušení jeho symetrie v látkovém prostředí protože T T T, E E E j4 4 j 4 j neboť w S S j j j a dohází k porušení zákona o ekvivaleni hmoty a energie Protože tenzor E T není definován jednoznačně, lze místo E * E T T h E T zavést nový tenzor, (88) kde h je tenzor třetího řádu antisymetriký v posledníh dvou indexeh h h E* Položíme-li h F A lze pomoí vztahu (88) symetrizovat tenzor T následujíím způsobem E* T F F F F 4, (89) kde E* T je tzv Abrahamův tenzor, který je z definie symetriký, má nulovou stopu a splňuje vztahy (87) i pro anizotropní látkové prostředí E* T 43

44 9 Relativistiká termodynamika Podle prvého Einsteinova postulátu jsou všehny ineriální soustavy pro popis fyzikálníh proesů ekvivalentní Tzn, že matematiký zápis termodynamikýh prinipů pomoí kovariantníh tenzorovýh rovni má ve všeh ineriálníh soustaváh stejný tvar V Minkowského časoprostoru musí být tedy termodynamiké prinipy zapsány ve tvaru, který je invariantní vůči Lorenzově transformai Bude-li daný systém vůči soustavě S v klidu a soustava S se bude vůči soustavě S pohybovat konstantní ryhlostí u ve směru osy (), musí platit pro I termodynamiký prinip d E dq dw, d E dq dw, (9) kde de je změna vnitřní energie, dq elementární množství tepla a dw elementární práe, přičemž proměnné s indexem se vztahují k soustavě S a čárkované k soustavě S Pro II termodynamiký prinip pak musí platit S, T d Q ds T V dalším odvodíme z podmínky invariane potřebné transformační vztahy 9 Teplo d d Q (9) Nehť vůči soustavě S má daný systém ryhlost u = Jeho hmotnost je tedy rovna klidové hmotnosti m Dodáme-li tomuto systému teplo dq platí podle I termodynamikého prinipu dq de dw, (93) kde d E je přírůstek vnitřní energie a dw F dr práe, kterou systém vykonal na úkor dodaného tepla Přejdeme do Minkovského časoprostoru a rovnii (93) přepíšeme do tvaru dq d E dw d m K d x, (94) kde je K je čtyřsíla a d x je čtyřvektor elementárního posunutí Skalární výraz Kd x elementární práe v časoprostoru je invariant o velikosti Kd x Ze vztahu (94) potom vyplývá pro teplo vztah dq d m, (95) Teplo, nemehaniká forma energie, mění hodnotu klidové hmotnosti soustavy m v souladu se vztahem E m Při odvozování transformačního vztahu pro teplo dq vyjdeme z požadavku invariane prinipu zahování energie, který je v soustavě S vyjádřen vztahem (9) Při přehodu do ineriální soustavy S, která se pohybuje vůči soustavě S konstantní ryhlostí u ve směru osy () přejde vztah (9) na tvar d p dq de de ud p de u dt de Ku dt dt, (96) 44

45 kde K je složka čtyřsíly K a u dt d x složka elementárního posunutí d x Výraz K d x d W představuje prái, která je spojena se změnou klidové hmotnosti Výraz (96) pak upravíme na tvar dq de Kd x de dw dq, (97) a tedy konečný výraz pro transformai tepla je 9 Entropie a teplota dq dq (98) Ve statistiké fyzie je entropie definována Boltzmannovým vztahem S k ln Γ, kde k je Boltzmannova konstanta a počet způsobů realizae daného makrostavu tedy elé číslo, které je při Lorentzově transformai invariantem a platí S S, kde S je entropie v soustavě S a S je entropie v soustavě S, která se pohybuje vůči soustavě S rovnoměrně přímočaře ryhlostí u Ve fenomenologiké termodynamie je při vratném přehodu soustavy z počátečního do konečného stavu změna entropie určena vztahem ds dq, T kde ds je úplný difereniál stavové funke entropie Při přehodu z ineriální soustavy S, vůči které je daný systém v klidu, do soustavy S, která se pohybuje vůči soustavě S rovnoměrně přímočaře ryhlostí u platí, vzhledem k tomu, že entropie S je vůči Lorenzově transformai invariantní S = S d Q T d Q T a ze vztahu (98) pak plyne pro teplotu transformační vztah d T d T Teplota systému je tedy nejvyšší v soustavě, vůči které je systém v klidu Úpravou vztahu (97) dostaneme a tedy podmínka (9) je splněna de dq dw, 93 Relativistiká termodynamika elektromagnetikého pole Rozebereme blíže vlastnosti tenzoru energie - hustoty definovaného vztahem E* T F F F F 4 (99) E* Budeme-li na tenzor T aplikovat operátor divergene dostaneme 45

46 T f E* První tři složky tvoří vektor silové hustoty Lorenzovy síly f E u B a čtvrtá složka udává veličinu i i f4 E j f u (9) K objasnění fyzikálního významu vztahu (9) budeme nejprve analyzovat tento vztah v ineriální soustavě S, vůči které je daný systém v klidu V tomto případě jsou intenzita pole E a hustota proudu j svázány Ohmovým zákonem j E a tedy i f4 E j i E i q Složka f 4 je tedy úměrná Joulovu teplu q, které se vyvinulo v jednote objemu za jednotku (vlastního) času Protože u,,, i platí rovněž u f i f4 E j q (9) Výraz (9) je v Minkowského časoprostoru invariant, a proto v libovolném ineriálním systému platí u f q V soustavě S, která se vůči S pohybuje konstantní ryhlostí v a tedy u v, i platí i f 4 v f q v f q i Veličina q q, viz (98), je Joulovo teplo, které se vyvinulo v S v jednote objemu za jednotku času a v f je hustota výkonu elektromagnetiké síly v pohybujíím se prostředí Vývin Joulova tepla ve vodivém prostředí podle vztahu (95) vede k přírůstku klidové energie a Lorentzova čtyřsíla f náleží k silám, které mění klidovou hmotu látkového prostředí Pozorovaný tvar těles ve speiální teorii relativity Pozorování tyče Při pozorování předmětů, které jsou spojeny se soustavou, která se pohybuje rovnoměrně přímočaře ryhlostí v, dohází ke kontraki délek ve směru pohybu Je možné tuto kontraki pozorovat? Odpověď na tuto zdánlivě jednoduhou otázku není jednoznačná Teprve roku 957 TERREL a PENROSE našli řešení tohoto problému Uvažujme nejprve o podélném pohybu tenké tyče o klidové déle l o, kterou pozorovatel v daném okamžiku vidí pod úhlem, viz obr 46

47 Obr : Tyč pohybujíí se ve směru své délky Pohybuje-li se tyč ryhlostí v, dohází ke kontraki její délky a pro její skutečnou délku platí l v l Pozorovatel však nevidí tyč této délky, protože pozoruje její přední a zadní kone v různýh časeh Předpokládejme, že délka tyče je velmi malá ve srovnání s její vzdálenosti od pozorovatele Z obr pyne, že podmínkou setkání paprsků od obou konů tyče v místě pozorování je rovnost časů * l l l * os, v kde l * je pozorovaná délka tyče Pozorovaná délka tyče je tedy spojena s její klidovou délkou vztahem l * v l () v os Z uvedeného vztahu je zřejmé, že v dané vztažné soustavě je pozorovaná délka přibližujíí se tyče větší než její skutečná délka, zatímo délka vzdalujíí se tyče je menší než délka skutečná Skutečnou délku pohybujíí se tyče ve vztažné soustavě pozorovatele můžeme pozorovat pouze v okamžiku, kdy vidíme oba její kone ze stejnýh vzdáleností, tj když nás právě míjí její střed Pro dostatečně vzdálenou tyč je vliv konečné ryhlostí světla na její pozorovanou délku vždy významnější než Lorentzova kontrake Dále rozebereme případ tenké tyče, která se pohybuje ryhlostí v kolmo ke své déle tak, že leží v rovině pozorování V tomto případě se délka tyče l rovná její klidové déle l, viz obr 47

48 Obr : Tyč pohybujíí se kolmo ke své déle Protože pozorovatel nevidí oba kone tyče ve stejném čase, jeví se mu tyč sklopená pod úhlem Je-li opět délka tyče malá ve srovnání s její vzdáleností od pozorovatele, setkají se paprsky od obou konů v místě pozorování při rovnosti časů l sin l os sin sin os v Pro úhel sklopení tyče pak platí v sin tg v () os Tyč kolmou na směr pohybu pozorujeme v okamžiku, když nás právě míjí v její skutečné velikosti l Pozorování tělesa Těleso libovolného tvaru můžeme pokrýt kryhlovou síti a analyzovat pouze pozorovaný tvar kryhle Omezíme se na průmět kryhle do roviny pozorování, tj čtvere, viz obr 3 Ukážeme, že pozorovaný čtvere, viz obr 3a), se jeví stejně jako čtvere otočený o jistý úhel, viz obr 3b) Pomoí vztahů () a () pro průměty a, b délek stran pozorovaného čtvere do roviny kolmé na paprsek k pozorovateli odvodíme a l sin v l sin, v v os os v os b l os l v os 48

49 a) b) Průměty a, b splňují rovnii Obr 3: Pozorovaný a otočený tvar čtvere v os b l os l v os a b l Pro stejné průměty při otočení čtvere o úhel, viz obr 3b), platí a l sin, a tedy b l os a b l (3) Zkreslení při pozorování čtvere je tedy ekvivalentní jeho otočení o úhel Ze vztahu tg a b, viz (3), vyjádříme pomoí úhlu pozorování a ryhlosti v v os sin v os Pohybujíí se dostatečně vzdálené těleso se nám tedy jeví, jako pootočené Pro je os v, ož znamená, že zkráení strany čtvere ve směru pohybu se nám jeví stejně, jako při otočení čtvere okolo osy kolmé na rovinu pozorování o úhel Zatímo pootočenou kružnii vidíme jako eipsu, pootočením koule se její kruhový obrys nezmění a nezmění se ani při jejím pohybu vůči pozorovateli Tento závěr platí bez ohledu na vzdálenost pozorovatele od pohybujíí se koule 49

50 Uvažujme o dvou pozorovatelíh, kteří se ze stejného místa dívají na kouli, jeden je však vůči ní v klidu a druhý v pohybu, viz obr 4 Obr 4: Koule pozorovaná v klidu a při pohybu Pozorovateli, který je v klidu, se protínají v oku paprsky světla vyslané z kruhového obrysu koule Tento obrys se kryje s kruhovým obvodem podstavy kužele s vrholem v oku pozorovatele, který tvoří zmíněné paprsky Pozorovaný obrys je tedy určen průsečnií kulové plohy se středem v místě pozorování a roviny podstavy kužele, která je kolmá na osu kužele,, světla z obrysu koule, se středem v oku pozorovatele, Složky vektoru ryhlosti splňují tedy rovnie 3 ; onst 3 3 Ke zjištění, jak se jeví obrys koule pohybujíímu se pozorovateli, je třeba podrobit složky ryhlosti světla v obou rovniíh Lorentzově transformai Z postulátu o konstantní ryhlosti světla v první rovnii nahradíme pouze nečárkované veličiny za čárkované Protože Lorenzova transformae je lineární, změní se v druhé rovnii pouze hodnoty koefiientů,, Rovnie budou tedy dále popisovat kulovou plohu a rovinu Průsečnií kulové plohy a roviny je opět kružnie, a protože místo pozorování je ve středu kulové plohy, pozorujeme i v případě pohybujíí se koule kruhový obrys Úvod do obené teorie relativity Prinip ekvivalene Ve speiální teorii relativity jsou brány do úvahy výhradně ineriální soustavy a pouze sily vzájemného působení, šíříími se od tělesa k tělesu konečnou ryhlostí nepřevyšujíí ryhlost Z úvah jsou tedy vyloučeny setrvačné síly Ve shodě s Einsteinovým prinipem relativity mají v těhto soustaváh všehny fyzikální zákony týž tvar nebo jinak, tyto zákony jsou invariantní vůči Lorentzově transformai Podle Einsteinova prinipu relativity nelze od sebe odlišit ineriální soustavy žádným fyzikálním experimentem Proto z hlediska ineriálníh soustav ztráí jakýkoliv smysl úvahy o absolutním prostoru a času Zela jiná je situae z hlediska setrvačnýh sil Již rovnoměrná rotae vyvolává pole setrvačnýh odstředivýh sil, přičemž jednou z možnýh příčin tohoto jevu by mohla být právě absolutnost prostoru 5

51 Vysvětlení původu setrvačnýh odstředivýh sil na základě absolutnosti prostoru není z hlediska speiální teorie relativity přijatelné Podnětným při řešení tohoto problému byl názor vyslovený Mahem, profesorem němeké části Karlovy univerzity konem 9 století, že příčinou setrvačnýh sil je veškerá hmota vesmíru Při tomto přístupu jsou setrvačné síly pojímány jako síly vzájemného působení těles Již od časů Galilea je známo, že gravitační pole se shoduje s polem setrvačnýh sil právě v tom, že uděluje všem tělesům totéž zryhlení (bez ohledu na jejih hmotnost) Hmotnost tělesa v gravitačním poli jinýh těles (tzv gravitační nebo také těžká hmotnost) je kvantitativní harakteristikou gravitační síly, kterou je těleso přitahováno k ostatním tělesům ve svém okolí Naopak při pohybu tělesa pod vlivem jiné než gravitační síly se hmotnost jeví jako kvantitativní harakteristika jeho setrvačnosti odporu tělesa vůči změně dosavadního stavu V tomto případě hovoříme o tzv setrvačné hmotnosti tělesa Zdálo by se, že setrvačná a těžká hmotnost spolu nemají ni společného, neboť první z nih souvisí s pohybem v libovolném silovém poli a druhá pouze s pohybem v poli gravitačním Podle Newtona působí gravitační pole Země na částii gravitační silou mgm Z F, () r kde M Z je hmotnost Země, gravitační konstanta a m g je gravitační hmotnost částie Gravitační síla uděluje částii zryhlení a g a platí F m a, s g kde m s je setrvačná hmotnost částie Srovnáním obou vztahů dostaneme Výraz M m m g s r ag M r Z je pro všehny částie ve vzdálenosti r stejný Proto je jasné, že poměr m je určen pouze gravitačním zryhlením a g Nebude-li toto zryhlení záviset na tvaru g m s částie ani na jejím hemikém složení, bude gravitační hmotnost částie rovna její hmotnosti setrvačné Jestliže experiment potvrdí m m, můžeme hovořit o ekvivaleni gravitační a setrvačné hmotnosti g Newton použil k měření vzájemného poměru obou hmotností kyvadla Stejnou metodou později F W BESSEL určil, že poměr m m se neliší od jedné víe než o -5 L V EÖTVÖS g s spolu s D PEKAREM a E FEKETEM pomoí torzníh vah dosáhli přesnosti -9 Na stejném zařízení ale při značně vylepšeném uspořádání, dosáhli R H DICKE, P L ROLL a R KROTKOV kolem roku 964 přesnosti - V roe 97 dosáhli V B BRAGINSKIJ a V I PANOV přesnost - V rámi Newtonovské fyziky je fakt, že s Z m m pozoruhodný ale zároveň prinipielně nepohopitelným faktem Einstein vyřešil tento problém tím, že postuloval (97) a s ním souvisejíí (95) g Prinip ekvivalene gravitační a setrvačné hmotnosti Prinip lokální ekvivalene pole gravitačníh a setrvačnýh sil s 5

52 Podle tohoto prinipu jsou neineriální vztažné soustavy lokálně ekvivalentní homogennímu gravitačnímu poli přítomnému v ineriální soustavě Uvedené tvrzení objasníme na následujíím příkladu: Předpokládejme, že v kabině výtahu padá volně těleso Je-li kabina vůči Zemi v klidu, pohybuje se těleso v lokálně homogenním gravitačním poli s konstantním zryhlením a Nehť nyní současně s tělesem volně padá i kabina výtahu Při jinak stejnýh počátečníh podmínkáh se v tomto případě těleso nahází vůči kabině v klidu Ve zryhleně se pohybujíí neineriální soustavě spojené s kabinou na těleso spolu s gravitační silou působí právě opačná setrvačná síla a jejih vektorový součet je roven nule těleso je vzhledem k působení těhto sil v rovnováze Uvedený příklad ukazuje, že uvnitř padajíí kabiny (neineriální soustavy) nelze její zryhlený pohyb pozorovat jinými slovy volně padajíí kabina výtahu se hová jako ineriální soustava, a proto v ní platí všehny vztahy a zákony speiální teorie relativity Je třeba zdůraznit, že právě popsaný jev má pouze lokální harakter Ekvivalene gravitační a setrvačné síly je vzhledem k požadavku homogennosti gravitačního pole pouze lokální, tzn, že je omezená jen na malé oblasti prostoročasového kontinua Gravitační pole je lokálně ekvivalentní poli setrvačnýh (ineriálníh) sil, vznikajííh při pohybu se zryhlením Tato dvě pole nelze lokálně od sebe odlišit žádným fyzikálním experimentem Einsteinova teorie gravitae obený prinip relativity Z hlediska speiální teorie relativity Newtonův gravitační zákon nesplňuje prinip relativity (není invariantní vůči Lorentzově transformai) Naví z něho vyplývá okamžité působení na dálku a tedy, šíření signálu nekonečnou ryhlostí Tyto prinipielní nedostatky řešil Einstein formulaí nové teorie gravitačního pole Uvažujme lokálně ineriální vztažnou soustavu spojenou s pohybujíí se soustavou, např již zmíněnou kabinu výtahu volně padajíí v malé oblasti prostoročasového kontinua V této lokálně ineriální soustavě S můžeme v souladu se speiální teorií relativity vyjádřit kvadrát nekonečně malého prostoročasového intervalu d s ve tvaru d s d x d x + d x d t d x d x 3 Přejdeme nyní do ineriální soustavy S Při přehodu se prostoročasové souřadnie přetransformují pomoí transformačníh vztahů Invariant kde x x x d s lze při této transformai vyjádřit jako g je tzv metriký tenzor, pro nějž platí x g x d s g d x d x () Složky metrikého tenzoru g jsou obeně funkemi souřadni x Tenzor sám harakterizuje geometriké vlastnosti prostoru Vnitřní geometrie prostoru, určená vztahem x x g g 5

53 () se nazývá Riemannovou geometrií Pro g je geometrie prostoru geometrií euklidovskou, resp pseudoeuklidovskou Posuzujeme-li vztažné soustavy z hlediska jejíh vnitřní geometrie, můžeme říi, že ineriální vztažné soustavy jsou harakterizovány pseudoeuklidovskou geometrií Einsteinova základní myšlenka spočívá ve spojení gravitae, jako obeně působíí interake, s vnitřní geometrií prostoru Vnitřní geometrie prostoru, popsaná metrikým tenzorem g je tedy funkí gravitačního pole Prinip lokální ekvivalene gravitačníh a setrvačnýh sil pak jenom znamená, že lokálně lze obenou Riemannovu geometrii gravitačního pole převést na geometrii euklidovskou Jestliže při tomto přehodu tenzor křivosti R g, tenzor definovaný pomoí složek metrikého tenzoru g, vymizí R, pak v oblasti prostoročasového kontinua, do níž přeházíme, působí speiální (odstranitelné) gravitační pole, nazývané polem setrvačnýh sil V případě nenulového tenzoru křivosti působí v dané oblasti prostoročasového kontinua neodstranitelné gravitační pole, jehož zdrojem jsou hmotná tělesa, která se naházejí v dané oblasti; v okolí těhto těles je prostor obeně zakřivený Gravitační pole nelze žádnými transformaemi odstranit v elém prostoru Právě v tom spočívá jeho zásadní odlišnost od polí setrvačnýh sil Tato pole jsou lokálně ekvivalentní gravitačnímu poli Na základě uvedenýh úvah, závěrů speiální teorie relativity a Riemannovy geometrie sestavil v roe 95 Einstein Einsteinovu rovnii gravitačního pole, která odstranila uvedené nedostatky Newtonova gravitačního zákona kde R je Riiho tenzor křivosti, T R R g g T, tenzor energie a hybnosti, R skalární křivost, λ tzv 4 kosmologiká konstanta, jejíž hodnotu je nutné určit z rozložení hmoty a 8 Pro statiké pole a nulovou křivost přehází Einsteinův gravitační zákon v zákon Newtonův, viz () Dále zformuloval obený prinip relativity: Všehny přírodní zákony mají stejný tvar ve všeh ekvivalentníh vztažnýh soustaváh Za ekvivalentní přitom považujeme ty vztažné soustavy, které mají stejný metriký tenzor Einsteinova teorie gravitae je z historikýh důvodů známa pod názvem obená teorie relativity Černé díry Historie Představu tělesa tak masivního, že z něho nedokáže uniknout dokone ani světlo, navrhl angliký geolog JOHN MICHELL již v roe 783 Mihell vypočítal, na základě Newtonovy teorie gravitae, že těleso o stejné hustotě jako Slune a o poloměru 5-krát větším, by mělo na povrhu únikovou ryhlost rovnou ryhlosti světla, a proto by bylo neviditelné 53

54 V roe 95 zveřejnil Albert Einstein obenou teorii relativity O několik měsíů později němeký matematik KARL SCHWARZSCHILD našel řešení uvedenýh rovni pro gravitační pole rotačně symetrikého nerotujíího tělesa a ukázal, že objekt, označovaný v současné době jako černá díra, může teoretiky existovat Kritiká je velikost Shwarzshildovy sféry kulové plohy o poloměru Gm rs, kde G je gravitační konstanta a ryhlost světla Na této ploše se stává gravitační síla nekonečně velkou Na symetriké těleso, které dosáhne velikosti odpovídajíí Shwarzshildově poloměru, působí nekonečně velká gravitační síla Je to poloměr, do kterého musí být veškerá hmota o dané hmotnosti stlačena, aby již žádná síla nemohla odvrátit její zhrouení do gravitační singularity Objekt menší než Shwarzshildův poloměr je označován jako černá díra Pro objekt hmotnosti Slune vyhází poloměr přibližně 3 km, pro Zemi by tento poloměr byl neelýh 9 mm Z výpočtů, provedenýh na základě obené teorie relativity pak vyplývá, že každé těleso, jehož hmotnost překročí tzv Tolmanovu-Oppenheimerovu-Volkoffovu mez, se zhroutí do černé díry Horizont událostí Obr : Simulae černé díry Je ploha v prostoročasu, která pro vnějšího pozorovatele vymezuje oblast, ze které nemůže zaregistrovat žádné elektromagnetiké záření (světlo), viz obr a vymezuje hranie černé díry Úniková ryhlost je na ní rovna ryhlosti světla Pod horizontem všehny světelné světočáry zůstávají v černé díře (eventuálně směřují do singularity) a nemohou ovlivnit pozorovatele vně černé díry Ve Shwarzshildově řešení, které popisuje nerotujíí nenabitou černou díru, má horizont tvar koule o Shwarzshildově poloměru 3 Rotujíí černá díra Ergosféra Horizont událostí nerotujíí černé díry je kulová ploha a její singularita je bodová V případě, kdy černá díra rotuje, dohází k radikálním změnám v okolním prostoročase Rotujíí černá díra má dva horizonty Původní, Shwarzshildův, se zahovává, přibývá však ještě jeden vnější, tzv Cauhyho horizont Mezi Shwarzshildovým a Cauhyho horizontem jsou všehna tělesa strhována vírovým polem do rotačního pohybu vzhledem k černé díře Přitom se však nemusí pohybovat jen směrem ke středu, mohou se k černé díře jak přibližovat, tak se od ní i vzdalovat, mohou překročit hranii ergosféry směrem dovnitř i ven Pod Shwarzshildovým horizontem pak nastává neodvratný pád do černé díry Z fyzikálního hlediska dohází v okolí černé díry v důsledku rotae ke změnám prostoročasu Ten je díky zahování nenulovému momentu hybnosti entrálního tělesa, strháván ve směru rotae Prostoročas je strháván rotaí jakéhokoliv hmotného tělesa, např i Země, avšak v 54

55 rotujíí černé díry Obr : Ergosféra případě černýh děr jde o tak silný efekt, že od určité vzdálenosti je pro objekty nemožné setrvávat v klidu, i kdyby se lokálně pohybovaly proti směru rotae ryhlostí světla Ploha, na které roste intenzita gravitačního pole k nekonečnu, a pod kterou je setrvávání v klidu nemožné, se u rotujííh černýh děr nazývá ergosféra Ergosféra má elipsoidní tvar a na ose rotae se dotýká horizontu událostí, viz obr Ryhlost rotae černé díry je omezena podmínkou, že bod na rovníku černé díry se může pohybovat nejvýše ryhlostí světla Objekty pohybujíí se v ergosféře, se naházejí nad horizontem událostí, a mohou nejen uniknout z vlivu gravitae černé díry, ale za jistýh okolností mohou být dokone vymrštěny ven z ergosféry velmi vysokou ryhlostí díky energii a momentu hybnosti černé díry Proto i její název ergosféra (praujíí sféra), protože je shopná vykonávat prái na úkor rotační energie černé díry 4 Fyzikální vlastnosti černé díry Fyzikální pole černé díry Z dobře odůvodněnýh předpokladů vyplývá, že černé díry nemají žádné pozorovatelné vlastnosti, které by byly použitelné k objasnění jejih vnitřní struktury Podle obené teorie relativity se během relativistikého kolapsu téměř všehny harakteristiky fyzikálníh polí vyzáří, resp zůstanou pohřbeny v černé díře Výjimkou je elektrostatiké pole elektrikého náboje a u rotujíí černé díry moment hybnosti Černou díru tedy úplně harakterizují tři parametry: hmotnost, moment hybnosti a elektriký náboj Tento fakt shrnuje fráze černé díry nemají vlasy, kterou vyslovil JOHN WHEELER Toto tvrzení vyplývá z klasiké teorie - kvantová teorie připouští i jiné náboje jako např podivnost, za normálníh okolností harakterizujíí elementární částie Ty se však mohou projevit až v dostatečné blízkosti horizontu událostí a nemají astrofyzikální význam Zpomalování času Existene černé díry způsobuje zakřivení časoprostoru v jejím okolí a tak vlivem gravitačního pole dohází k výraznému zpomalování času Z hlediska vnějšího pozorovatele dosáhne těleso směřujíí k černé díře horizont událostí za nekonečně dlouhou dobu U světla, které registruje vnější pozorovatel a jež vysílá padajíí objekt, dohází ke zvětšujíímu se rudému posuvu, který dosahuje na horizontu událostí nekonečné hodnoty světlo zmizí 55

56 Z hlediska pozorovatele, který je spojen s padajíím tělesem, však dosáhne horizont událostí za konečný časový interval, viz obr 3 Mehanika černýh děr Obr 3: Průběh času v blízkosti černé díry Pohyb těles v blízkosti černýh děr má několik odlišností od pohybu, které vyplývají z Newtonovy gravitační teorie, i když trajektorie těles zůstávají rovinné Pro tělesa dostatečně vzdálená od černé díry, jejihž ryhlost má hodnotu menší než je úniková ryhlost, se podle Newtonovy teorie pohybují po uzavřené trajektorii ve tvaru elipsy V blízkosti černé díry se těleso rovněž periodiky přibližuje a vzdaluje, ale trajektorie není uzavřená, viz obr 4a), jeho drahou je elipsa, která se pomalu otáčí v rovině, kterou určuje Právě takové pomalé stáčení eliptiké dráhy Merkura bylo prvním experimentálním ověřením obené teorie relativity Obr 4: Trajektorie těles v blízkosti černé K rozdílu mezi předpovědí Newtonovy a Einsteinovy teorie gravitae dohází u pohybu tělesa po kruhové dráze Podle Newtonovy teorie je tento pohyb možný v libovolné vzdálenosti od středu Podle Einsteinovy teorie gravitae je však tento pohyb možný pouze do vzdálenosti rovné,5 násobku Shwarzshildova poloměru Tato speiální oběžná dráha je známá jako sféra fotonů, viz obr 4 b), kdy pohybujíí těleso dosahuje ryhlosti světla Proto se na této dráze, ani na dráze o menším poloměru už nemůže pohybovat 56

57 Avšak již pohyb po dráze, která je menší než tři Shwarzshildovy poloměry je nestabilní Sebemenší poruha, která vyhýlí těleso z přesně kruhové dráhy, způsobí, že těleso buď spadne do černé díry, nebo odletí do prostoru Na rozdíl od Newtonovy mehaniky, dohází u černé díry u těles, které se přiblíží k černé díře z nekonečna dostatečně blízko, přibližně na vzdálenost dvou Shwarzshildovýh poloměrů, ke gravitačnímu zahyení Těleso se bude pohybovat po dráze blízké kružnii, na kterou se bude navíjet a nikdy neodletí do prostoru, viz obr 4 ) Singularita Obená relativita předpovídá, že v entru černé díry, pod horizontem událostí, existuje singularita, místo, kde je zakřivení prostoročasu nekonečné a i gravitační síly jsou nekonečně velké Prostoročas pod horizontem událostí je speifiký tím, že v singularitě skončí každý objekt, který projde horizontem událostí, a tedy, že se vše uvnitř horizontu událostí pohybuje směrem k ní Jakmile objekt překročí horizont událostí, jeho časová osa obsahuje kone samotného času a není možný návrat světočáry ven přes horizont událostí Očekává se, že budouí zpřesnění anebo zobenění obené relativity, především kvantové gravitae, změní pohled na podstatu nitra černé díry Většina teoretiků interpretuje matematiké rovnie popisujíí singularitu tak, že naznačují nekompletnost současné teorie a že k plnému pohopení singularity musí do hry vstoupit nové jevy Pád dovnitř černé díry Čím blíže se objekt padajíí do černé díry dostane k horizontu událostí, tím déle trvá fotonům, které vyzařuje, uniknout z gravitačního pole černé díry Vnější pozorovatel zaregistruje zpomalujíí se pád objektu při přibližování se k horizontu událostí, který zdánlivě nikdy nedosáhne Během pádu objektu do singularity černé díry, dohází k značnému nárůstu gradientu gravitačního pole směrem k singularitě Objekt se začne prodlužovat ve směru singularity a nakone ho slapové síly roztrhají V blízkosti singularity pak dosáhne hodnota gradientu gravitačního pole hodnotu dostatečnou k roztržení samotnýh atomů Tento bod závisí na hmotnosti černé díry U velkýh černýh děr, např v entreh galaxií, leží tento bod pod horizontem událostí Naopak u malýh děr mohou slapové síly dosáhnout kritiké hodnoty již před dosažením horizontu událostí 5 Hawkingovo záření Černá díra je z pohledu klasiké fyziky objekt, který nemůže zaniknout vlivem ztráty své hmotnosti a jedinou estou zániku černé díry se tak jeví její pohlení jinou černou dírou tzv gravitační srážka Z pohledu kvantové fyziky existuje však další možnost, jak černá díra může zaniknout - pomoí tzv Hawkingova záření Podle klasiké fyziky černá díra absorbuje všehno dopadajíí záření, avšak žádné záření nevyzařuje Teplota na horizontu záření by tedy měla být rovna absolutní nule, ož znemožňuje černé díře dosáhnout termodynamiký stav rovnováhy s okolím STEPHEN HAWKING vyslovil hypotézu o kvantovém vypařování černýh děr, podle které je každá černá díra shopna spontánně emitovat záření přesně takové, jako kdyby byla obyčejným černým tělesem zahřátým na teplotu TH G / Z kvantové fyziky vyplývá, že na horizontu událostí neustále vznikají nové částie, které odnášejí část energie černé díry, čímž zmenšují hmotnost díry a umožňují pozorování černé díry v určitém spektru Únik části je z počátku jen velmi pozvolný, ale ke koni získává proes na dynamičnosti, až na koni dojde k explozi černé 57

58 díry Z výpočtů vyplývá, že černá díra o hmotnosti Slune se vypaří přibližně za 67 let, ož je doba několikrát převyšujíí současný odhad stáří vesmíru,37 roků Příčinou kvantového vyzařování je proes kreae páru částie-antičástie, ke kterému dohází v blízkosti horizontu událostí, kde se mohou vytvářet elementární částie na základě fluktuae vakua Ve vakuu dohází k neustálému vzniku a zániku párů částie-antičástie (fluktuae počtu části musí být kvůli relaím neurčitosti nenulové, ož se projevuje právě tvorbou těhto párů) V okolí horizontu událostí může nastat situae, kdy z páru vzniklýh části zůstane jedna částie nad horizontem, zatímo druhá vznikne pod horizontem a musí tedy nevyhnutelně spadnout do singularity Pokud první částie unikne mimo dosah gravitae černé díry, pozorovateli v okolí horizontu se jeví, že částie vzniká jakoby z ničeho v blízkosti horizontu Energie potřebná na vytvoření částie ubude z hmoty černé díry Ztráta hmotnosti černé díry je způsobena tím, že antičástie pohlená černou dírou nese záporný náboj Z Einsteinova vztahu E m pak vyplývá, že antičástie způsobí v černé díře pokles energie a tím i hmotnosti Hawkingovo záření má formu gama a X paprsků, ale je příliš slabé Abyhom ho byli shopni zahytit, musela by být vyzařujíí černá díra vzdálená od nás asi jen půl miliardy km (vzdálenost Pluta) 6 Existene černýh děr Vznik černýh děr Existuje několik modelů vzniku černé díry: Gravitační kolaps Nejznámější z těhto proesů jsou některá konečná stádia evolue hvězd, kdy poklesne tlakový gradient záření hvězdy a hvězda se neudrží v hydrostatiké rovnováze Zároveň musí být splněna podmínka dostatečného množství hmoty, aby následný kolaps nebyl zadržen například ve fázi neutronové hvězdy Kolaps takové hvězdy pak není možno zastavit, povrh hvězdy se zhroutí pod horizont událostí a nevyhnutelně skončí v singularitě Akumulae hmoty Dohází-li v určité části prostoru v důsledku gravitačníh sil k seskupování hmoty, gravitační pole takové oblasti sílí a zakřivení prostoru v okolí se zvětšuje Dosáhne-li úniková ryhlost v určité vzdálenosti od gravitačního entra ryhlosti světla, vytvoří se horizont událostí, uvnitř kterého musí hmota nevyhnutelně skončit v singularitě Černé díry tohoto typu existují jako dva typy modelů: Primordiální černé díry, které mohly vzniknout v období velmi ranýh fází vývoje vesmíru Prozatím však nebyly observačně potvrzeny a to i přes to, že by se jih mělo ve vesmíru vyskytovat velké množství Supermasivní černé díry černé díry, které se nalézají v entru galaxií včetně naší Mléčné dráhy, a pravděpodobně také v entreh kulovýh hvězdokup Vznikají prostřednitvím vytvoření horizontu událostí v důsledku nakupení velkého množství hmoty na relativně malém prostoru V tomto případě se hmotou myslí i hvězdný materiál, tedy hvězdy případně i již existujíí menší černé díry 58

59 Miniaturní a mikroskopiké černé díry Proes vzniku miniaturníh černýh děr je na hranii hypotézy a fike Přesto existují určité náznaky, že v případě uryhlovače s energií řádově TeV by mohla mikroskopiká černá díra vzniknout Uryhlovač LHC, který byl v CERNu uveden do provozu v roe 8, by měl tyto hodnoty energie dosáhnout V důsledku srážky těžkýh atomovýh jader za vysokýh energií tak existuje možnost, že hmota v oblasti srážky se obklopí horizontem událostí Takováto černá díra, pokud by vznikla, se však obratem vypaří Vytvoření černýh děr v uryhlovačíh by mohlo rozřešit tzv paradox unitarity černýh děr, který představuje problém, zda se pádem do černé díry ztráí kvantová informae 7 Pozorování černýh děr Černé díry nemůžeme objevit podle světla vyzařovaného nebo odraženého od hmoty v jejih nitru Tyto objekty však lze identifikovat pozorováním jevů v jejih blízkosti, například gravitační čočky, nebo hvězd, které zdánlivě obíhají kolem prostoru, kde není žádná viditelná hmota Gravitační čočka Je astronomiký pojem pro objekt s intenzivním gravitačním polem, který se nahází mezi pozorovatelem a zdrojem světla nebo jiného záření, přičemž tento objekt svým gravitačním Obr 5: Gravitační čočka Obr 6: Akreční disk polem zakřivuje paprsky vyházejíí ze zdroje podobně, jak tomu je u spojné čočky Jev se nazývá v případě černé díry gravitační mikročočkový efekt, protože, obraz zakřivuje pouze jeden objekt černá díra, kdežto běžná gravitační čočka je způsobena víe galaxiemi, viz obr 5 Akreční disk Za efekty, které lze nejlépe registrovat jsou efekty, které poházejí z hmoty padajíí do černé díry Tato hmota se dle předpovědí, podobně jako voda tekouí do odtoku, soustřeďuje do ryhle se otáčejííh akrečníh disků do té doby, než je černou dírou pohlena Vnitřní tření disk extrémně zahřívá a způsobuje vyzařování velkého množství rentgenového a ultrafialového záření Tento proes je neobyčejně účinný a může přeměnit až 5 % zbytkové hmoty na záření Další pozorovatelné efekty jsou úzké výtrysky části, které se pohybují v ose akrečního disku relativistikými ryhlostmi, viz obr 6 Identifikovat takový objekt jako černou díru je možné pouze tehdy, pokud se prokáže, že se nemůže jednat o jiné dostatečně hmotné a kompaktní těleso nebo provázaný systém těles 59

60 Pozorovatelný rozdíl mezi černými děrami a jinými kompaktními objekty vzniká tím, že jakákoli kolabujíí hmota, která narazí na kompaktní hmotný objekt relativistikou ryhlostí, vyvolá nepravidelná vzplanutí rentgenového záření nebo jiného tvrdého záření Nedostatek vzplanutí tohoto typu kolem kompaktní konentrae hmoty se považuje za důkaz, že objekt je černá díra bez povrhu, na který by mohla hmota náhle narazit Objevy černýh děr V roe 4 byly objeveny objekty, které byly identifikovány jako černé díry, ož vedlo k vypraování nové teorie rozšíření černýh děr ve vesmíru, podle které existuje téměř pětkrát víe černýh děr, než se do té doby předpokládalo v červeni 4 astronomové identifikovali obří černou díru Q v entru galaxie v souhvězdí Velké medvědie Odhad věku a hmotnosti takovýh černýh může pomoi určit věk vesmíru v listopadu 4 tým astronomů oznámil identifikai první černé díry střední hmotnosti v naší galaxii, která obíhá přibližně tři světelné roky od Střele A* Tato střední černá díra o hmotnosti asi 3 Sluní se nahází uvnitř shluku sedmi hvězd, pravděpodobně jako pozůstatek masivního shluku hvězd roztrženého srážkou galaxií Tento objev podporuje názor, že supermasivní černé díry se zvětšují pohlováním blízkýh menšíh černýh děr a hvězd v únoru 5 byl objeven modrý obr SDSS J opouštějíí Mléčnou dráhu dvojnásobnou únikovou ryhlostí (, ryhlosti světla) Trajektorii hvězdy je možné dohledat až zpět ke galaktikému jádru Vysoká ryhlost této hvězdy podporuje hypotézu existene supermasivní černé díry ve středu naší galaxie v červnu 7 identifikoval mezinárodní tým astronomů z Kanady, Franie a USA doposud neznámou černou díru ve vzdálenosti 3 miliard světelnýh let od Země Jedná se o nejvzdálenější černou díru, která byla zatím nalezena Tato černá díra se nalézá ve středu kvasaru v říjnu 7 byl publikován objev patrně největšího binárního systému hvězdy a černé díry, viz obr 5 8 Alternativní modely V současné době existuje několik alternativníh modelů, které vykazují hování jako černé díry, ale fungují bez singularity Většina vědů však považuje tyto konepty za mnohem složitější a nepřinášejíí žádné pozorovatelné rozdíly od konepe černýh děr Nejvýznamnější z těhto teorií je teorie tzv gravahvězdy Ameriký fyzik GEORGE CHAPLINE z Národní laboratoře Lawrenea Livermora v Kalifornii pak předložil hypotézu, že černé díry neexistují a objekty v současnosti považované za černé díry jsou ve skutečnosti hvězdy tvořené z temné hmoty Svoje závěry opírá o výsledky některýh kvantově-mehanikýh analýz I když má jeho návrh v současnosti mezi fyziky jen malou podporu je značně itovaný v médiíh 6

61 3 Vznik a vývoj vesmíru 3 Postavení Země ve vesmíru Dříve než se budeme věnovat výkladu současnýh názorů na vznik a vývoj vesmíru, upřesníme postavení Země v kosmikém prostoru, tak jak vyplývá z výsledků astronomikýh pozorování, viz obr 3 Na tomto obrázku je postupně, zleva doprava, upřesňováno postavení naší Země v kosmikém prostoru Na každém obrázku je zároveň uvedena rozměrová škála (ve světelnýh roíh) zobrazené prostorové struktury Obr 3: Kosmiké struktury upřesňujíí postavení Země ve vesmíru Země, jako součást Sluneční soustavy, náleží k obrovskému hvězdnému seskupení označovaném jako naše Galaxie, nebo Mléčná dráha, v jejímž středu se nahází masivní černá díra Naši galaxii řadíme mezi tzv spirální galaxie Má tvar plohého disku, viz obr 3, z kterého vybíhá několik spirálníh ramen Slune je umístěno exentriky ve vzdálenosti přibližně kp od středu Mléčné dráhy V důsledku rotae elé galaxie se Slune pohybuje ryhlostí asi 5 kms - Hvězda nejbližší Sluni Proxima Centauri je od Slune vzdálena přibližně 4 světelné roky Obr 3: Boční pohled na Mléčnou dráhu Za hraniemi naší Galaxie se naházejí další galaxie, které se shlukují do tzv galaktikýh kup Naše Galaxie patří do tzv místní skupiny galaxii Galaxie a skupiny galaxii pak vytvářejí buněčnou strukturu, kde se nahází v buněčnýh stěnáh, zatímo vnitřek těhto buněk je prázdný Větší struktury nebyly ve vesmíru pozorovány Vesmír, pozorovaný v těh největšíh měřítkáh, pomineme-li nepravidelnosti v řádu 3 miliónů světelnýh let a menší, se jeví jako homogenní Homogennost vesmíru se podařilo ověřit pozorováním do vzdálenosti miliard světelnýh let 6

62 3 Vznik a vývoj vesmíru Vznikem a vývojem vesmíru se zabývá kosmologie Během staletí lidského poznání se pohled na vesmír a jeho vývoj neustále měnil a je tomu tak stále Dnes nejuznávanější teorie, jejíž důsledky jsou nejvíe ve shodě s výsledky pozorování je tzv standardní model 33 Standardní model Standardní model kombinuje teorii obené relativity a kvantové fyziky a popisuje hmotu a gravitai za velmi extrémníh podmínek Detailní teorie velkého třesku a vývoje vesmíru v jeho prvníh třeh minutáh vyhází především z tohoto modelu Velký třesk Podle teorie velkého třesku (angliky Big Bang) vznikl vesmír z bodové singularity o velké hustotě Tato singularita byla jak počátkem hmoty a prostoru tak i počátkem času 5 44 Vesmír se začal rozpínat v tzv Plankově čase, tp G 5,39 s, ož je podle současnýh poznatků nejmenší kvantum času, z extrémně horké a husté bodové singularity, v níž byla soustředěna veškerá hmota a energie pozorovatelného vesmíru Od Plankova času se vesmír exponeniálně rozpínal v důsledku velmi ryhlé metriké expanze, označované jako inflae do dnešní podoby za méně než -3 sekundy Inflační teorie vysvětluje mnoho zásadníh kosmologikýh otázek proč je vesmír na velkýh měřítkáh s velkou přesností homogenní, izotropní a plohý, když na základě fyziky velkého třesku byhom očekávali spíše opak nebo proč ve vesmíru nepozorujeme topologiké defekty a magnetiké monopóly Inflační kosmologie rovněž vysvětluje původ struktury vesmíru na velkýh měřítkáh ta pohází z drobnýh nehomogenit majííh původ v kvantovýh fluktuaíh v počáteční oblasti prostoru, která je dnes námi viditelným vesmírem, viz obr 33 Obr 33: Detailní mapa nehomogenit ± μk mikrovlnného kosmikého záření pozadí Protože se vesmír může zvětšovat metrikou expanzí ryhlostí větší než je ryhlost světla, můžeme pozorovat jen část vesmíru odpovídajíí vzdálenosti, kterou světlo uletělo od okamžiku velkého třesku, tzv horizont viditelnosti To znamená, že prinipiálně můžeme ve vesmíru vidět jenom konečný počet hvězd a galaxií Až do objevu rozpínání vesmíru narážela představa nekonečného vesmíru s rovnoměrně vyplněným hvězdami na zajímavý paradox V nekonečném vesmíru rovnoměrně vyplněném hvězdami musí paprsek narazit dříve či později na svítíí povrh hvězdy Noční nebe by tedy mělo zářit stejně jako povrh Slune a hvězd Tento jev se označuje jako fotometriký paradox 6

63 V rozpínajíím se vesmíru existuje však pro každého pozorovatele horizont viditelnosti, a proto každý pozorovatel vidí jen konečný počet hvězd říde rozloženýh v prostoru Náš pohled projde většinou mimo, aniž narazí na jedinou hvězdu Noční nebe se nám jeví proto jako temné Existene horizontu viditelnosti nám neumožňuje rozhodnout, zda je vesmír uzavřený nebo otevřený V obou případeh můžeme vidět jen ohraničenou část vesmíru Proto nelze posoudit, zda vesmír je konečný nebo nekonečný Podle současnýh interpretaí astronomikýh pozorování je stáří vesmíru 3,75±,7 miliardy let a velikost pozorovatelného vesmíru minimálně 93 miliard světelnýh let čili 8,8 6 metrů Měření, získaná pomoí kosmikýh sond podporují předpoklad inflae i teorii velkého třesku Vznik hmoty Počáteční bodovou singularitu tvořila velmi hustá a žhavá látka Standardní model popisuje dost přesně, o se dělo v prvníh třeh minutáh po vzniku vesmíru Z výsledků pozorování vyplývá, že se během expanze vesmíru vystřídalo několik fází, které můžeme vysvětlit na základě jaderné a atomové fyziky V počáteční fázi expanze vesmíru, hustota energie elektromagnetikého záření klesala ryhleji než hustota hmoty, protože energie fotonu se snižuje s jeho vlnovou délkou A tak, i když hustota energie vakua v současné době ve vesmíru dominuje, v počáteční fázi dominovalo záření V důsledku neustálé expanze, hustota energie vesmíru klesala, a vesmír se stával hladnějším a elementární částie, kvarky, elektrony a neutrina včetně jim odpovídajííh antičásti, se mohly postupně spojovat do stále složitějšíh objektů Tak se v rané fázi vesmíru mohly vytvořit stabilní protony a neutrony, které se pak spojovaly do atomovýh jader V této fázi vývoje byl vesmír velmi horkou a hustou plazmou zápornýh elektronů, neutrálníh neutrin a kladnýh jader prvků Jaderné reake mezi jádry vedly k současné tvorbě lehčíh jader prvků, a to zejména vodíku, deuteria a helia Nakone se elektrony a jádra spojily do stabilníh atomů a vesmír se stal průhledným pro většinu vlnovýh délek záření V tomto okamžiku se záření oddělilo od hmoty a vytvořilo všudypřítomné, izotropní mikrovlnné záření kosmikého pozadí, které dnes pozorujeme jako reliktní záření Vznik prvků o větší atomové hmotnosti pak probíhal v pozdější fázi vesmíru při explozi supernov Některá fakta však standardní model nedokáže dosud uspokojivě vysvětlit Tak existujíí převaha hmoty nad antihmotou Podle některýh teorií je důsledkem mírné převahy hmoty už při vzniku nebo velie kráte po velkém třesku, možná díky narušení CP invariane, jež bylo pozorováno v částiové fyzie Když anihilae hmoty a antihmoty většinu hmoty zničila a vyprodukovala fotony, malý zbytek hmoty existuje do dnešní doby a tvoří dnešní vesmír Rovněž dosud neexistuje fyzikálně korektní objasnění inflae vesmíru Nedávná pozorování pak ukazují, že kosmologiká konstanta, vystupujíí v Einsteinově gravitačním zákonu, není nulová V souhrnné hmotnosti a energii ve vesmíru totiž dominují temná energie a temná hmota, které dosud nebyly vědeky popsány Rozpínání vesmíru Teoretiky rozpraoval rozpínání vesmíru ALEXANDR FRIDMAN při rozboru Einsteinovýh rovni obené teorie relativity Zda vesmír bude staionární nebo dynamiký závisí na několika parametreh kosmologiké konstantě, průměrné hustotě látky ρ, tlaku záření p, 63

64 gravitační konstantě G a křivosti k časoprostoru Podle hodnot těhto parametrů vyhází z rovni několik sénářů pro vývoj vesmíru Statiký vesmír, vznikne pouze v případě, že má vesmír kladnou křivost k a přesně nastavené hodnoty hustoty ρ a kosmologiké konstanty Tato rovnováha je však nestabilní a drobné odhylky od počáteční izotropie a homogenity ji musí dříve či později narušit, a proto v prinipu není možné, aby vesmír byl staionární Pro dynamiký vesmír obsahujíí baryonovou hmotu a záření vyplývá z Fridmanovýh rovni v různýh fázíh dominane různýh členů V raném vesmíru hraje nejvýznamnější roli hustota a tlak záření V pozdější fázi je to hustota hmoty a později parametr křivosti k a kosmologiká konstanta Konečný osud vesmíru je stále nejasný, protože kritiky závisí na zakřivení k a kosmologiké konstantě Λ Vesmír se zápornou kosmologikou konstantou vždy skončí velkým krahem, tato možnost se však zdá být vyloučena na základě výsledků dosavadníh pozorování Stejný osud čeká i dostatečně hustý vesmír, kdy k a jeho průměrné zakřivení je kladné Takový vesmír je uzavřený Naopak není-li vesmír dostatečně hustý, k = plohý vesmír, nebo k otevřený vesmír, bude se rozšiřovat donekonečna, zhladne a nakone skončí v tzv tepelné smrti Stejně skončí i uzavřený vesmír, je-li kosmologiká konstanta dostatečně velká Poslední výsledky získané z měření naznačují, že rozpínání vesmíru oproti očekávání zryhluje, ož pravděpodobně ukazuje na vesmír s kladnou kosmologikou konstantou, který se bude rozpínat do nekonečna, viz obr 34 Obr 34: Standardní model vzniku a expanze časoprostoru Toto rozpínání lze pozorovat nepřímo na velmi vzdálenýh objekteh (kvasary) a jejih světelnýh spektreh jako tzv rudý posuv Čím jsou galaxie vzdálenější, tím větší je jejih rudý posuv a tím ryhleji se od nás také vzdalují Tato závislost je vyjádřena vztahem v Hr, kde H je Hubbleova konstanta, r vzdálenost galaxie a v ryhlost vzdalování Z nejnovějšíh měření vyplývá pro Hubbleovu konstantu hodnota H 74, 3,6 km s Mp 64

65 Reliktní záření Bylo předpovězeno teoretiky jako důsledek kosmologiké rekombinae v počátíh vývoje vesmíru a později bylo i pozorováno Podle standardního modelu je reliktní záření elektromagnetiké záření, které přihází z vesmíru ze všeh směrů a je pozůstatkem z období nedlouho po velkém třesku Podle tohoto modelu se 379 tisí let po velkém třesku vytvořily stabilní atomy vodíku a helia Vesmír se tak stal pro záření průhledný a záření se oddělilo od hmoty s počáteční teplotou okolo 3 K, které by mělo mít v současné době teplotu 5 až K V roe 965 bylo A PENZIASEM a R WILSONEM objeveno izotropní elektromagnetiké záření o teplotě okolo,73 K s největší intenzitou při vlnové déle -3 milimetrů, které odpovídá teoretikým předpovědím a je interpretováno jako důkaz podporujíí správnost standardního modelu V současné době je reliktní záření nejvýznamnějším zdrojem poznatků o raném vesmíru a předmětem intenzivního výzkumu 34 Temná hmota Při pozorování gravitačního hování velkýh objektů typu galaxií, nebo jejíh kup, bylo zjištěno, že musí existovat hmota, kterou nepozorujeme, tzv temná (skytá) hmota Existeni temné hmoty jako první zavedl astronom FRITZ-ZWICKY při pozorování kupy galaxií ve vlaseh Bereniky Její existene umožňuje vysvětlit nesrovnalosti mezi některými pozorovanými a vypočítanými hodnotami O povaze temné hmoty existuje několik teorií, většina z nih se ale shoduje na faktu, že temnou hmotu lze ve vesmíru pozorovat jen díky jejímu gravitačnímu vlivu na okolní objekty tvořené běžnou svítíí hmotou Obr 35: Rozložení temné hmoty kolem středu kupy galaxií CL4+7 Temná hmota není rozložena v prostoru rovnoměrně Díky přitažlivé gravitai tvoří shluky podobně jako viditelná hmota, která je k těmto shlukům také přitahována, viz obr 35, na kterém je přes snímek z Hubblova dalekohledu vložen modrý obraz naměřeného prstenového rozložení temné hmoty kolem středu kupy galaxií CL4+7 Některé novější výzkumy ukazují, že by temná hmota mohla mít vliv na elektromagnetiké záření přítomné ve vesmíru - na polarizai mikrovlnného pozadí Podle posledníh měření je ve vesmíru temné hmoty kolem %, zatímo běžná baryonová hmota, z níž je složena většina objektů, které můžeme přímo či nepřímo pozorovat, tvoří jen 4 % Zbytek vesmíru 74 %, tedy největší část, tvoří takzvaná temná energie Malou částí temné hmoty může být i baryonová temná hmota tvořená částiemi s poločíselným spinem, která je složena ze tří kvarků Tato hmota by měla vyzařovat nepatrné množství elektromagnetiké energie Mezi tyto objekty patří např hnědí trpaslíi, nebo masivní halo objekty (MACHO) Tento typ hmoty ale přispívá jen nepatrným množstvím do elkové hmotnosti předpokládané temné hmoty Předpokládá se, že většinu temné hmoty tvoří nebaryonová temná hmota, která není složena z atomů 65

66 Nebaryonovou temnou hmotu tvoří horká temná hmota, předpokládá se, že tento typ hmoty by mohla zprostředkovávat neutrina a hladná temná hmota, tuto hmotu by měly zprostředkovávat částie typu fotina, neutralina, těžká neutralina, nebo axiony Je-li temná hmota tvořena slabě interagujíími hmotnými částiemi, pak podle současnýh představ, by tyto částie neměly mít klidovou hmotnost menší než GeV/ Rovněž z pozorování vesmírného synhrotronového záření vyplývá, že temná hmota je tvořena velmi hmotnými částiemi, které s ostatní hmotou neinteragují a jejihž vzájemné interake jsou ve většině oblastí vesmíru velmi řídké 35 Temná energie Temná energie nebo také skrytá energie je energie rovnoměrně rozložená v prostoru, zavedená jako teoretiký konept pro vysvětlení současného zryhlování rozpínání vesmíru Toto zryhlování bylo objeveno při proměřování vlastností reliktního záření Podstata temné energie je zatím neznámá Bylo navrženo několik fyzikálníh interpretaí temné energie, některá vysvětlení pozorovaného zryhlení rozpínání vesmíru však dokone existeni temné energie vylučují Velkým kandidátem na zdroj temné energie by mohla být energie vakua Ovšem její hodnota, naměřená při mikroskopikýh experimenteh i vypočtená z kvantové teorie pole je o řádů větší, než je potřeba pro vysvětlení projevů temné energie naměřenýh z velkoškálovýh experimentů Temná hmota a temná energie se liší svými gravitační účinky Temná hmota se projevuje gravitaí a zpomaluje expanzi vesmíru, a naopak temná energie expanzi vesmíru uryhluje Zastoupení jednotlivýh druhů hmoty ve vesmíru je zobrazeno na obr 36 Obr 36: Rozložení hmoty ve vesmíru 66