MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí

Transkript

1

2

3 MATEMATIKA O paradoxeh spojenýh s losováním koulí PAVEL TLUSTÝ IRENEUSZ KRECH Ekonomiká fakulta JU, České Budějovie Uniwersytet Pedagogizny, Kraków Matematika popisuje a zkoumá různé situae reálného světa. Je přirozené, že někdy řešíme případ, který se ez hlušího rozoru jeví jako paradoxní. Speiálně teorie pravděpodonosti je na paradoxy velmi ohatá. To svědčí o tom, že naše stohastiké intuie nejsou vždy utvářené správně. Jedním takovým paradoxem se zaývá i tento článek. Začneme jednoduhým příkladem. Příklad 1 V pytlíku je ílýh a černýh koulí. Jaká je pravděpodonost, že náhodně vylosovaná koule ude černá? Jaká je pravděpodonost, že náhodně vylosovaná koule ve druhém tahu ude černá, pokud první vylosovanou kouli vrátíme zpět do pytlíku? Snadno si rozmyslíme, že oě otázky řeší stejnou situai, a tedy je zřejmé, že v oou případeh je hledaná pravděpodonost rovna /( + ). Nyní situai změníme. Příklad 2 V pytlíku je ílýh a černýh koulí. Jaká je pravděpodonost, že náhodně vylosovaná koule ve druhém tahu ude černá, pokud první vylosovanou kouli nevrátíme zpět do pytlíku? V tomto případě vidíme, že stav koulí v pytlíku před druhým losováním závisí na výsledku prvního tahu. Jiná situae nastane, pokud v prvním tahu vylosujeme ílou kouli, a jiná, pokud je v prvním tahu tažena koule Matematika fyzika informatika

4 černá. Ovykle se takovýh případeh zavádí pojem podmíněná pravděpodonost a k řešení příkladu 2 se užije věty o elkové pravděpodonosti (viz [1, str. 193]). Tímto postupem dostaneme následujíí řešení: První řešení. Označme P (C n )... pravděpodonost vylosování černé koule v n-tém tahu (n N), P (B 1 )... pravděpodonost vylosování ílé koule v 1. tahu, P (C 2 B 1 )... pravděpodonost vylosování černé koule v 2. tahu, ude-li v prvním tahu vylosována ílá koule, P (C 2 C 1 )... pravděpodonost vylosování černé koule v 2. tahu, ude-li v prvním tahu yla vylosována černá koule. Pak dle věty o elkové pravděpodonosti dostaneme rovnost Víme, že P (C 2 ) = P (C 1 ) P (C 2 C 1 ) + P (B 1 ) P (C 2 B 1 ). P (C 1 ) = Podoně vypočítáme, že +, P (B 1) = +. P (C 2 C 1 ) = 1 1 +, P (C 2 B 1 ) = + 1. Po dosazení dostaneme P (C 2 ) = = +. Uvedený výsledek ukazuje, že pravděpodonost vylosování černé koule ve druhém tahu nezáleží na tom, zdali kouli vylosovanou v prvním tahu vrátíme do pytlíku či nikoli, a je též rovna pravděpodonosti vylosování černé koule v prvním tahu. Tato skutečnost se zdá paradoxní. Užití podmíněné pravděpodonosti znamená, že takové úlohy yhom mohli řešit až se studenty vyššíh ročníků střední školy. Další nevýhodou takovéhoto formalizovaného řešení je jeho malá názornost. Zvolíme-li jiný přístup s užitím tzv. stohastikého stromu (podroně je tato tehnika popsána např. v [1]), můžeme se pojmu podmíněné pravděpodonosti vyhnout, jak ukazuje následujíí řešení: 2 Matematika fyzika informatika

5 Druhé řešení. Náhodný pokus se skládá ze dvou tahů (etap). Na or. 1 je stohastiký strom takového pokusu, čísla přiřazená jednotlivým větvím stromu představují odpovídajíí pravděpodonosti Or. 1 Při použití stohastikého stromu vidíme, že vylosovat černou kouli ve druhém tahu můžeme dvěma různými způsoy (strom má dvě větve). Podle kominatorikého pravidla součtu (viz např. [2]) je výsledná pravděpodonost rovna součtu pravděpodoností jednotlivýh větví. Podle kominatorikého pravidla součinu (viz např. [2]) je pravděpodonost každé z větví dána součinem pravděpodoností jednotlivýh losování. Odtud plyne, že P (C 2 ) = = +. Základní kominatoriké prinipy využívá i následujíí řešení. Třetí řešení Vzhledem k tomu, že všehny možné výsledky vylosování dvou koulí z pytlíku jsou stejně pravděpodoné, je stohastikým modelem takového pokusu klasiký pravděpodonostní prostor. V klasikém pravděpodonostním prostoru se pravděpodonost jevu vypočte jako podíl počtu výsledků příznivýh danému jevu a počtu všeh možnýh výsledků. Počet všeh možnýh výsledků losování: Před prvním tahem je v pytlíku ( + ) koulí, a tedy můžeme získat ( + ) různýh výsledků losování. Před druhým tahem je v pytlíku ( + 1) koulí, a tedy můžeme získat ( + 1) různýh výsledků losování. Podle kominatorikého pravidla součinu je tedy elkem ( + ) ( + 1) různýh výsledků tažení dvou koulí. Počet losování, v nihž je ve druhém tahu vylosována černá koule: V pytlíku je černýh koulí, a tedy ve druhém tahu lze vylosovat černou kouli různými způsoy. V první tahu losujeme liovolnou Matematika fyzika informatika

6 kouli ze zývajííh, ož lze udělat (+ 1) různými způsoy. Podle kominatorikého pravidla součinu je elkem ( + 1) různýh výsledků. Odtud plyne, že P (C 2 ) = ( + 1) ( + ) ( + 1) = +. Tento postup je univerzální, tj. lze ho použít i v situai, kdy nás zajímá, jaká je pravděpodonost, že koule vylosovaná v n-tém tahu ude černá n = 1, 2,..., +. Pak dostáváme P (C n ) = ( + 1)... ( + (n 1)) ( + ) ( + 1)... ( + (n 1)) = +. Vidíme tedy překvapujíí skutečnost, že při losování koulí (po jedné) je pravděpodonost vylosování černé koule ve všeh tazíh stejná. (!) Čtvrté řešení. Do láhve dáme ílýh a černýh koulí. Zamíháme je a orátíme láhev dnem vzhůru. Koule začnou vypadávat z láhve (or. 2). Zajímá nás pořadí, v jakém koule vypadnou. Or. 2 Ze symetrie je zřejmé, že každá z koulí může se stejnou pravděpodoností vypadnout na liovolném z + míst, proto P (C n ) = Situai lze ještě zoenit. + pro n {1, 2,..., + }. 4 Matematika fyzika informatika

7 Příklad 3 V pytlíku je ílýh a černýh koulí. Jaká je pravděpodonost, že náhodně vylosovaná koule ve druhém tahu ude černá, pokud kouli vylosovanou v prvním tahu vrátíme zpět do pytlíku a a) přidáme k koulí téže arvy, ) uereme k koulí téže arvy, kde k min(, )? Řešení. Označme k elé číslo splňujíí zadání příkladu a užijeme stejný postup jako ve 2. řešení příkladu 2. Odpovídajíí stohastiký strom je na or k + k+ + k + k + + k Z or. 3 plyne, že Or. 3 P (C 2 ) = + + k + + k k = +. Uvedené tři příklady poukazují na paradoxní situai. Pravděpodonost vylosování koule nezávisí na způsou losování, tj. zda vylosované koule vraíme do pytlíku či nikoli, je stejná pro všehny tahy, tj. P (C 1 ) = P (C 2 ) =... = P (C + ), nezávisí na přidání neo urání koulí (podle pevně stanovenýh pravidel). L i t e r a t u r a [1] P loki, A. Tlustý, P.: Pravděpodonost a statistika pro začátečníky a mírně pokročilé. Prometheus, Praha, [2] P loki, A. Tlustý, P.: Kominatoryka wokó l nas, Novum, P lok, Matematika fyzika informatika

8