METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a proměnná Tp úloh: Různé metod řešení
Obsah Metodický list 1.................................... 3 Metodický list.................................... 4 Metodický list 3.................................... 6 Metodický list 4.................................... 7
Různé metod řešení Tematický okruh RVP ZV: Číslo a proměnná Klíčové pojm: procento Úloha V parku je obsazeno 6 ze 40 laviček. Kolik procent laviček je volných? Řešení 1 (úroveň 1) Předpokládané znalosti: procento, procentová část, základ, počet procent Úlohu řešíme přes 1 procento. Celkem je v parku 40 laviček, což je 100 %, odtud 1 % je 0,4 lavičk. 6 laviček činí 65 % (6 : 0,4 = 65), ted 35 % laviček je volných. Závěr. V parku je 35 % volných laviček. Řešení (úroveň ) Předpokládané znalosti: procento, procentová část, základ, trojčlenka 40 6 = 100 = 40............ 100 % 6............ % 100 6 40 = 65 % 100 % 65 % = 35 %. Řešení 3 (úroveň ) Předpokládané znalosti: procento, procentová část, základ Úlohu vřešíme dosazením do vzorce pro výpočet počtu procent. Označme p počet procent, c část základu a z základ, pak platí p = c z Odtud 100 % 65 % = 35 %. 6 100 = 100 = 0,65 100 = 65 %. 40 Metodické poznámk Odlišná řešení úloh umožňují žákům ukázat vztah mezi různým pojetí pojmu procenta. Můžeme ji zadat jako samostatnou práci a diskutovat o výhodách a nevýhodách zvoleného řešení. Zdroj: archiv autora Obrazový materiál: Autor: RNDr. Jana Slezáková, Ph.D.; slezakov@seznam.cz 3
Různé metod řešení Tematický okruh RVP ZV: Číslo a proměnná Klíčové pojm: procenta Úloha Sporák, jehož původní cena bla 1 000 Kč, bl dvakrát zlevněn. Nejprve o 5 %, později o 0 % z nové cen. Určete konečnou cenu sporáku. Řešení 1 (úroveň 1) Předpokládané znalosti: procenta 1 % z 1 000 Kč je 10 Kč, proto 5 % je 5 10 = 3 000 Kč. Cena po první slevě ted je 1 000 3 000 = 9 000 Kč. 1 % z 9 000 Kč je 90 Kč, proto 0 % je 0 90 = 1 800 Kč. Konečná cena po druhé slevě tak bude 9 000 1 800 = 7 00 Kč. Závěr. Konečná cena sporáku je 7 00 Kč. Řešení (úroveň 1 ) Předpokládané znalosti: procenta, trojčlenka Do přehledné tabulk si doplníme údaje. První sleva (po slevě je 100 % 5 % = 75 % původní cen). Počet procent Kč 100 % 1 000 75 % Úlohu je možné řešit pomocí trojčlenk jde o přímou úměrnost. = 1 000 75 100 = 10 75 1 = 9 000. Cena po první slevě je 9 000 Kč. Druhá sleva (po slevě je 100 % 5 % = 75 % původní cen). Počet procent Kč 100 % 9 000 80 % = 9 000 85 100 = 90 80 1 = 7 00. Závěr. Konečná cena sporáku je 7 00 Kč. 4
Řešení 3 (úroveň ) Předpokládané znalosti: procenta, zlomk 5 % odpovídá 1 4, proto 5 % je 1 000 : 4 = 3 000. Cena po první slevě tak bude 1 000 3 000 = 9 000. 0 % odpovídá 1 5, proto 0 % je 9 000 : 5 = 1 800. Konečná cena po druhé slevě bude 9 000 1 800 = 7 00. Závěr. Konečná cena sporáku je 7 00 Kč. Metodické poznámk Úlohu lze zadat ve třídě pro samostatnou práci žáků ve skupinách a následně diskutovat zvoleném řešení. Zdroj: archiv autora Obrazový materiál: Autor: Mgr. Helena Zatloukalová; zatloukalova@gjs.cz 5
Různé metod řešení Tematický okruh RVP ZV: Číslo a proměnná Klíčové pojm: základ, procenta Úloha Zmenšením neznámého čísla o 7 % dostaneme 438. Určete neznámé číslo. Platí: Řešení 1 (úroveň 1) Předpokládané znalosti: procento, procentová část, základ, počet procent Úlohu řešíme přes 1 procento. 73 %............ 438, 1 %............ 438 : 73 = 6, 100 %............ 100 6 = 600. Závěr. Neznámé číslo je číslo 600. Řešení (úroveň ) Předpokládané znalosti: procento, procentová část, základ, trojčlenka............ 100 % 438............ 73 % 100 73 = 438 = 600. Řešení 3 (úroveň ) Předpokládané znalosti: procento, procentová část, základ Úlohu vřešíme dosazením do vzorce pro výpočet počtu procent z = c p 100, kde p je počet procent, c část základu a z základ z = 438 73 100 = 600. Metodické poznámk Odlišná řešení úloh umožňují žákům ukázat vztah mezi různým pojetí pojmu procenta. Můžeme ji zadat jako samostatnou práci a diskutovat o výhodách a nevýhodách zvoleného řešení. Zdroj: archiv autora Obrazový materiál: Autor: RNDr. Jana Slezáková, Ph.D.; slezakov@seznam.cz 6
Různé metod řešení Tematický okruh RVP ZV: Číslo a proměnná Klíčové pojm: úprav výrazů s proměnnými, soustav rovnic Úloha Úhlopříčka obdélníku má délku 9 cm, obvod obdélníku je 8 cm. Urči obsah obdélníku. Řešení 1 (úroveň ) Předpokládané znalosti: dosazovací metoda, druhá mocnina dvojčlenu, Pthagorova věta, obvod a obsah obdélníku Označme délk stran zadaného obdélníku,. Hledaný obsah bude S =. Podle zadání úloh je o = ( + ) = 8 cm, ted + = 41 cm. Úhlopříčka obdélníku je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami,, kde platí Pthagorova věta + = 9. Řešíme ted soustavu dvou rovnic s kladnými neznámými, + = 41, + = 9. Hledanou hodnotou je však součin. První rovnici umocníme a upravíme ( + ) = 41, + + = 41, = 41 ( + ). Dosadíme za výraz + z druhé rovnice a dopočítáme = 41 9, = 40. Závěr. Obdélník má obsah 40 cm. Řešení (úroveň ) Předpokládané znalosti: obvod a obsah obdélníku, obsah pravoúhlého trojúhelníku Označme délk stran zadaného obdélníku,. Hledaný obsah bude S =. Podle zadání úloh je o = ( + ) = 8 cm, ted + = 41 cm. Doplníme k obdélníku čtverec, jehož strana je úhlopříčka obdélníku, a vzniklému útvaru opíšeme další čtverec 7
9 9 9 9 Obr. 1 (viz obr. 1). Tento vnější čtverec má stranu délk + = 41 cm, jeho obsah je ted ( + ) = 41 = 1681 cm. Velký čtverec je ovšem složen ze čtverce o straně délk 9 cm a čtř shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek,. Obsah velkého čtverce je ted součtem obsahů těchto útvarů, proto platí 9 + 4 = 41, Závěr. Obdélník má obsah 40 cm. 841 + = 1681, = 40. Řešení 3 (úroveň 3) Předpokládané znalosti: dosazovací metoda, druhá mocnina dvojčlenu, řešení kvadratické rovnice, Pthagorova věta Označme délk stran zadaného obdélníku,. Hledaný obsah bude S =. Podle zadání úloh je o = ( + ) = 8 cm, ted + = 41 cm. Úhlopříčka obdélníku je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami,, kde platí Pthagorova věta + = 9. Řešíme ted soustavu dvou rovnic s neznámými, + = 41, + = 9. Z první rovnice vjádříme neznámou = 41, dosadíme do druhé a upravíme 1, = ( 41) ± + (41 ) = 9, + 41 8 + 9 = 0, 41 + 40 = 0. Určíme kořen této kvadratické rovnice a dopočítáme odpovídající hodnot druhé neznámé ( 41) 4 1 40 1 8 = 41 ± 1681 1680 = 41 ± 1.
Ted 1 = 41 + 1 = 1, 1 = 41 1 = 41 1 = 0, = 41 1 = 0, = 41 = 41 0 = 1. Závěr. Obdélník má obsah S = 1 1 = = 1 0 = 0 1 = 40 cm. Metodické poznámk Řešení kvadratické rovnice nebo soustav, která tuto rovnici zahrnuje, není obsaženo v RVP ZV. Řešení 1 však vužívá pouze jednoduché dosazení a úpravu výrazů, Řešení je založeno pouze na geometrickém vhledu. Naopak Řešení 3, které vužívá vztahu pro hledání kořenů kvadratické rovnice, můžeme zahrnout do rozšiřujícího učiva. Různé přístup k řešení úloh umožňují ukázat vztah mezi geometrickou reprezentací dané situace a jejím algebraickým popisem. Zároveň je možno vužít konfiguraci geometrických útvarů v Řešení ke geometrickému důkazu Pthagorov vět nebo k ilustraci vztahu pro druhou mocninu součtu. Zdroj: archiv autora Obrazový materiál: dílo autora upravil Pavel Calábek Autor: PhDr. Lucie Růžičková; lucie ruzickova@seznam.cz 9