Matematika pro všechny

Transkript

1 Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické rovnice Autor: Ondráčková Ivana Zadání: Řešte v oboru reálných čísel: sin cos. 8 Řešení 1 (úroveň ) Předpokládané znalosti: goniometrické rovnice, substituce, kvadratická rovnice Ze zadání je zřejmé, že cos 0, tedy lze využít úp sin cos sin cos 1 cos cos sin cos cos cos tg 1, Daná rovnice je ekvivalentní s rovnicí cos tg 1 1 tg 1 tg 1 tg sin 1 tg 8. Po vynásobení obou stran rovnice výrazem cos 8 1 tg získáváme rovnici 8 8tg 10tg tg, kterou upravíme na tg 10tg 0. Použijeme substituci y tg a řešíme rovnici y 10y 0, odkud tg nebo tg s ohledem na použitou substituci a tedy k nebo k, 10 y 1,, 1

2 Vzhledem k tomu, že periodou. a, lze zapsat jako dvě řešení s nejmenší k nebo k, Řešení (úroveň ) Předpokládané znalosti: vztahy mezi goniometrickými funkcemi, řešení goniometrických rovnic Levou stranu rovnice upravíme: sin sin cos = sin cos sin cos 1 (využijeme vzorce sin cos 1 a sin cos sin ). sin Řešíme rovnici 1, po úpravě dostáváme sin, 8 odkud sin, tedy k nebo k, tj. k k ; k Z k nebo k, Řešení (úroveň ) Předpokládané znalosti: vztahy mezi goniometrickými funkcemi, řešení goniometrických rovnic Pokračujeme-li v naznačené úpravě levé strany rovnice z předcházejícího řešení, dostaneme 1 cos postupně (s využitím vzorce sin ): sin cos sin cos sin 1 cos cos 1 1

3 cos Pak řešíme rovnici. 8 1 Po úpravě cos, odkud k nebo k, tedy k nebo k, k nebo k, Řešení (úroveň ) Předpokládané znalosti: vztahy mezi goniometrickými funkcemi, řešení goniometrických rovnic Další způsob řešení je založen na jiné úpravě levé strany (s využitím vzorce sin 1 cos ), kde sin cos 1 cos cos 1 cos cos. Pak řešíme rovnici 1 cos cos, po úpravě 1cos 1cos 0, získáváme cos, odkud cos nebo cos, tedy k nebo k, kde k je libovolné celé číslo. k nebo k, Řešení (úroveň ) Předpokládané znalosti: vztahy mezi goniometrickými funkcemi, řešení goniometrických rovnic Levou stranu rovnice opět upravíme jinak: sin cos 1 sin cos, 1 sin cos

4 odkud s použitím substituce 1 y y 8 y sin cos dostaneme zadanou rovnici ve tvaru. Upravíme a vyřešíme kvadratickou rovnici y 8y 1 0. Získáme 1 1 y 1 a dříve než se vrátíme k substituci, upravíme 1.. Poté vyřešíme rovnice 1 1 sin cos. Tedy sin cos Nahradíme 1 sin a cos, pak sin sin cos cos nebo sin sin cos cos. Postupně vyřešíme všechny rovnice: a) sin sin cos cos b) sin sin cos cos c) d) sin sin cos cos sin sin cos cos Přitom využijeme vzorce sin sin sin cos ; 1 1 cos cos cos cos ; 1 1 sin sin sin cos ; 1 1 cos cos sin sin. 1 1 Ad a) S využitím výše uvedených vzorců upravíme rovnici na tvar sin cos sin sin , převedeme na pravou stranu a po vytknutí získáváme ekvivalentní rovnici sin cos sin , odkud

5 sin 0 (*) 1 nebo cos sin 0 (**) 1 1 Z rovnice (*) dostáváme k, tedy k 1 ; Z rovnice (**) dostáváme tg 1, odkud k, 1 1 tedy k pro libovolné celočíselné k. Podobně vyřešíme zbylé tři rovnice Ad b) sin cos cos cos cos sin cos cos 0 nebo sin cos 0, z první rovnice k, tedy k, 1 z druhé rovnice tg 1, tedy k, odkud k ; 1 1 k je libovolné celé číslo. Ad c) sin cos sin sin sin cos sin a tedy sin nebo 1 k je libovolné celé číslo tg 1, odkud 1 k nebo k,

6 Ad d) sin cos cos cos cos sin cos , odkud cos 0 nebo tg 1 a tedy 1 1 k nebo k pro libovolné celočíselné k. Všechna řešení lze vyjádřit jako dvě řešení s nejmenší periodou. k nebo k, Řešení (úroveň )***) není v RVP Předpokládané znalosti: průběh funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi, grafické řešení goniometrických rovnic Další možnost řešení - graficky graf jako průběh funkce nebo z upraveného vztahu cos sin cos nebo z grafu na kalkulačce či počítači. Graf s využitím

7 Řešení: kz k ; k k nebo k, Metodická poznámka Různé způsoby řešení využívají především úprav výrazů obsahujících goniometrické funkce. Možno zadat jako soutěž kdo najde nejvíce způsobů řešení (popř. úprav levé strany rovnice) ***)Řešení je uvedeno jen okrajově, průběh funkce není v RVP, avšak graf získaný např. na kalkulačce může vhodně ilustrovat získané řešení. Zdroj: Archiv autora Obrazový materiál: Dílo autora s využitím Autor: Ivana Ondráčková; ondrackova@gjkt.cz 7

8 8