Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Transkript

1 Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu III/ - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Anotace Název tematické oblasti: Název učebního materiálu: Číslo učebního materiálu: Vyučovací předmět: Ročník: Autor: Integrální počet Integrace racionálních lomených funkcí s nerozložitelným jmenovatelem VY_3_INOVACE_M0308 Matematika. ročník vyššího gymnázia Jaroslav Hajtmar Datum vytvoření: 6..0 Datum ověření ve výuce:..0 Druh učebního materiálu: Očekávaný výstup: Metodické poznámky: pracovní list Zvládne integrovat racionálně lomené výrazy s nerozložitelným jmenovatelem pomoci rozkladu na součet parciálních zlomků. Materiál je určen k motivaci a procvičení učiva o integračních metodách. Může být použit k získání klasifikace.

2 Integrace racionálních lomených funkcí s nerozložitelným jmenovatelem V případě, že součástí skupiny parciálních zlomků jsou zlomky s nerozložitelným kvadratickým trojčlenem je situace o něco málo obtížnější než jsme si ukázali v minulém pracovním listu, nicméně je v našich možnostech některé z integrálů vypočítat. Tento případ vede na integrály dvou typů: Mx + N x + px + q = budeme umět integrovat () Mx + N (x + px + q) l = neumíme integrovat, lze nalézt v tabulkách integrálů () Postup při integraci: Přesvědčíme se, že zadaná integrovaná funkce je či není ryze lomená a v závislosti na tom si ji někde bokem rozložíme buď jen na potřebný počet parciálních zlomků resp. na součet polynomu a parciálních zlomků. Samostatně integrujeme jednotlivé parciální zlomky. Zapíšeme výsledek a podmínky integrovatelnosti funkce. Příklad : Vypočtěte neurčitý integrál 5x+ x +x+ =

3 x + x + To znamená, že r = 5/ a s 3/. Zadání bude mít po rozdělení tvar Řešení. Trojčlen x + x + ve jmenovateli má diskriminant 3, který 5 je záporný, takže 5x + jeho kořeny jsou komplexní. Jde tudíž o parciální zlomek druhého typu. Derivace jmenovatele x + x + je = (x + ) 3 x x + = 5 x +. + Čitatel x + 5x + x proto + x + upravíme 3 x na + tvar x + r(x, + ) + s. Musí a tedy tedy platit 5x + 5x = r(x + + ) + s = rx + (r + s) 5 = r, = r + s. x + x + = 5 x + x + x + 3 x. (.6) + x + To znamená, že r = 5/ a s 3/. Zadání bude mít po rozdělení tvar První ze vzniklých integrálů je snadný (v čitateli je derivace jmenovatele): 5 5x + x + x + = (x + ) 3 x = 5 x + + x + x + x + 3 x + x + x +, x + x + = ln(x + x + ). a tedy Před výpočtem druhého integrálu 5x + x + + = 5 doplníme trojčlen x x + x + x x + na úplný čtverec: ( x. (.6) + x x + x + = x + ) (x + = + ) 3 +. První ze vzniklých integrálů je snadný (v čitateli je derivace jmenovatele): Nyní dostaneme s použitím vzorce 9 z tabulky., kde a = 3/: x + x + x + = ln(x + x + ). x Před výpočtem + x + = ( ) druhého integrálu x + = doplníme + 3 x + = u trojčlen x = du = + x + na úplný u + čtverec: 3 du = x = ( + x + = x + ) (x + = + ) arctg u = arctg ( x + ) = 3 +. arctg x Nyní dostaneme s použitím vzorce 9 z tabulky., kde a = Upravíme, Dosazením zavedeme dílčích výsledků substituci do a (.6) dopočítáme dostaneme celkový celkem, výsledek: že 3/: 5x + x + + = ( ) x + = + 3 x + = u = du = x + x + = 5 ln(x + x + ) 3 arctg x + + c = 3 3 u + 3 du = = arctg u 3 = arctg ( x + ) = 5 ln(x + x + ) 3 arctg x + = + c. arctg x Příklad : Vypočtěte neurčitý integrál x Dosazením dílčích výsledků do 5 x = (.6) 3 dostaneme celkem, že 5x + x + x + = 5 ln(x + x + ) 3 arctg x + + c = 3 3 = 5 ln(x + x + ) 3 arctg x + + c. 3

4 x 5 x 3 Řešení. Abychom = A(x Jde určili o racionální ) neznámé x + = Bx(x 0 ryze : konstanty lomenou ) + Cx A, = funkci, A B, (x C, D, protože ) E, + Dx vynásobíme st() 3 (x + = A ) 0 = < + předchozí, st(x Ex 35 (x x rovnost 3 ). ) = 5. (.3) Jme- jmenovatelem. Integrace snadno x 3 (xrozložíme na součin kořenových činitelů. Platí: x 5 x 3 = x 3 (x ) = = x 3 racionální x )(x = + : lomené ). Dostaneme funkce = D D = /, 7 (x )(x + ). Všechny kořeny jsou reálné: trojnásobný kořen 0, jemuž odpovídá trojčlenný Dosadíme reálné řetězec kořeny x parciálních jmenovatele : zlomků, = a E určíme a jednoduché tři konstanty: kořeny E = a /., jimž odpovídají jednočlenné = A(x řetězce ) + parciálních Bx(x ) zlomků. + Cx (x Předpokládaný ) + Dx 3 tvar (x + rozkladu ) + Ex je 3 (x tudíž ). (.3) Abychom určili neznámé konstanty A, B, C, D, E, vynásobíme předchozí rovnost jmenovatelem určit x 3 ještě (x x konstanty )(x = 0 + :. Integrace racionální lomené funkce. Integrace racionální 7 Zbývá x 5 x 3 = lomené ). B Dostaneme a funkce C. = K A tomu x 3 (x )(x + ) = A porovnáme x 3 + B x + C koeficienty x + D A, x + E u stejných mocnin x +. (.) 7 proměnné Dosadíme xreálné na levé kořeny x = a pravé : jmenovatele straně rovnosti = a D určíme (.3). tři konstanty: Po roznásobení D = /, a úpravách dostaneme Abychom = A(xurčili ) neznámé x + = Bx(x konstanty : ) + Cx A, = E B, (x C, D, ) E, + Dx vynásobíme 3 (x + E ) = + předchozí /. Ex 3 (x rovnost ). (.3) jmenovatelem Abychom určili x 3 = (x(c neznámé x )(x + = D 0 + : konstanty ). E)xDostaneme + (B A, = + A B, DC, D, E)xE, 3 + vynásobíme (A C)x A = předchozí, Bx A. rovnost jmenovatelem x 3 (x )(x + ). Dostaneme Zbývá Dosadíme určit reálné ještěkořeny x konstanty = : jmenovatele B a C. = Ka D určíme tomu porovnáme tři konstanty: koeficienty D = /, u stejných mocnin proměnné Stačí = sestavit A(xx na ) + Bx(x ) + Cx (x ) + Dx 3 (x + ) + Ex 3 (x ). (.3) = A(x dvě levé vhodné x = a pravé rovnice: : straně rovnosti = E (.3). Po roznásobení E = /. a úpravách dostaneme ) + Bx(x ) + Cx (x ) + Dx 3 (x + ) + Ex 3 (x ). (.3) x = 0 : A A, Zbývá Dosadíme určit reálné ještě = (C kořeny x konstanty + x= D : + : jmenovatele E)x B0 a= + C. (B B = Ka + D určíme tomu D porovnáme E)x tři konstanty: 3 + (A koeficienty B C)x D = 0, /, Bx u stejných A. mocnin proměnné Dosadíme xreálné na levé kořeny jmenovatele a určíme tři konstanty: x x a = pravé : straně : 0 = rovnosti AE C (.3). Po roznásobení C E. a úpravách dostaneme /. Stačí sestavit dvě vhodné x = 0 : rovnice: A A, x = 0 : = D A A D =, Zbývá Samozřejmě = určit ještě (C možné + D konstanty určit + E)x Bvšechny + (B a C. Kkonstanty + D E)x tomu porovnáme porovnáním 3 + (A C)x koeficienty koeficientů, /, Bx u stejných ale A. kombinace mocnin x = : : = E D E D /. /, proměnné této metody x anadosazení levéxa pravé : reálných straně 0 = kořenů rovnosti B je obvykle (.3). Po rychlejší. roznásobení B = 0, a úpravách dostaneme Stačí Nyní sestavit již můžeme dvě vhodné x : = E E /. x přistoupit : rovnice: 0 k= výpočtu A C integrálu. Z (.) C dostaneme. Zbývá určit ještě = (C konstanty + D + E)x B a+ C. (B K+ tomu D porovnáme E)x 3 + (A koeficienty C)x Bx u stejných A. mocnin Zbývá proměnné určit x na ještě levé konstanty xa pravé straně B ( a C. rovnosti K tomu (.3). porovnáme Po roznásobení koeficienty a úpravách u stejných dostaneme mocnin Samozřejmě je možné : určit všechny 0 Bkonstanty porovnáním B koeficientů, = 0, ale kombinace proměnné x na levé a pravé straně rovnosti (.3). Po roznásobení a úpravách dostaneme této Stačímetody sestavita dvě xdosazení 5 vhodné x 3 : reálných rovnice: 0 = kořenů xa 3 Cjex obvykle + / x rychlejší. + / ) = x + C. Nyní již můžeme = (C + přistoupit D + E)x + (B + D E)x 3 + (A C)x Bx A. = (C + D + E)x k výpočtu + integrálu. (B + D E)x 3 Z (.) dostaneme + (A C)x Bx A. Samozřejmě je možné x : určit všechny 0 Bkonstanty porovnáním B koeficientů, = 0, ale kombinace ( x 3 x + x + této Stačímetody sestavita dvě dosazení vhodné rovnice: Stačí sestavit dvě vhodné x reálných kořenů je obvykle rychlejší. : rovnice: 0 = A C C. Nyní již můžeme x 5 x 3 přistoupit k výpočtu x 3 x integrálu. + / x Z + / ) x + = = = (.) x dostaneme x x : 0 ln x + B ln x + ln x + + c. B = 0, Samozřejmě je možné určit všechny ( Bkonstanty porovnáním B koeficientů, 0, ale kombinace této metody a dosazení x : 0 = A C C. reálných kořenů je obvykle rychlejší. x : 0 = A C C. Nyní již můžeme 5 x 3 x přistoupit k výpočtu 3 x + / x + / ) x 3 + x + = x + = Podle (U prvního předchozího integrálu návodu si uvědomte, vypočítejteže neurčité /x 3 integrály = x 3.) následujících Výsledek platí racionálních na libovolném lomených intervalu, funkcí: x + který neobsahuje reálné kořeny integrálu. Z (.) dostaneme Samozřejmě je možné určit = všechny jmenovatele, konstanty porovnáním koeficientů, ale kombinace Samozřejmě této metody ajedosazení možné určit = reálných všechny ( kořenů konstanty je obvykle porovnáním rychlejší. koeficientů, ale kombinace této Nyní metody již můžeme a dosazení přistoupit reálných k kořenů výpočtu je integrálu. obvykle rychlejší. x 5 x 3 x 3 x + / x Z + / ) x 3 x + x + x ln x + tj. čísla 0, a ln x +. Úloha. = ln x + + c. x 3 x + = (.) x + dostaneme = (U prvního Nyní již integrálu můžeme si přistoupit uvědomte, = k že výpočtu integrálu. Z (.) dostaneme x ( ln /x 3 x = + x 3 ( x 5 x 3 x 3 x + / x + / ) x 5 x 3 x 3 x + / x + / ) x 3 ln.) x Výsledek x + + platí na libovolném intervalu, který neobsahuje reálné kořeny jmenovatele, tj. čísla 0, a ln x. x c. = x + = + (U prvního integrálu si uvědomte, = x + x 3 x + x + x 3 x + x + = že /x 3 = x 3 x ln x +.) Výsledek ln x + platí na libovolném intervalu, který neobsahuje reálné kořeny jmenovatele, tj. čísla 0, a. ln x + + c. x + x + = = (U prvního integrálu si uvědomte, = = že x x ln ln /x x x 3 = + + x 3 ln ln.) x x Výsledek + + platí na libovolném intervalu, ln x + + c. který neobsahuje reálné kořeny jmenovatele, tj. čísla 0, a. ln x + + c. (U prvního integrálu si uvědomte, že /x 3 = x 3.) Výsledek platí na libovolném intervalu, (U který prvního neobsahuje integrálu reálné si uvědomte, kořeny jmenovatele, že /x 3 = xtj. 3 čísla.) Výsledek 0, a. platí na libovolném intervalu, který neobsahuje reálné kořeny jmenovatele, tj. čísla 0, a.

5 Úloha. x 6 +6 x =

6 Úloha 3. 5x 6 x 5 +x 9x+9 x 3 (x +3) =

7 Výsledky úloh. 6 ln x +x+ + x+ arctg (x ) + c 3 3. x ln x arctg ( x) + c x+ 3. ln x + x + 3 x ln(x + 3) + +x x +3 + x arctg + c 3 3 Použité materiály a zdroje Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 03 [cit ]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW: < /ip.pdf>. Tomica, R. Cvičení z matematiky I. Brno: VAAZ, 97. Archiv autora