Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2.
|
|
- Anežka Lišková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Soustav rovnic Metod řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založen na postupné eliminaci neznámých Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kd vhodně vnásobíme rovnice tak, ab po jejich sečtení zůstala jen jedna z neznámých Nebo metodu dosazovací (substituční), která spočívá v tom, že z jedné z rovnic vjádříme jednu neznámou, dosadíme do druhé rovnice a dopočítáme Obvkle metod kombinujeme Začneme sčítací metodou výpočet jedné neznámé a potom dosazením dopočítáme druhou Řešením soustav je uspořádaná dvojice! Příklad: Řešte soustavu x 4 x Řešení: Metodou sčítací: Vnásobíme první rovnici a přičteme ke druhé x 4 / x 6x x 7x 0 4, odtud x Pro výpočet druhé neznámé vnásobíme druhou rovnici ( ) a sečteme s první: x 4 / Řešením soustav je,0 x Metodou dosazovací: Vjádříme například z první rovnice x 4 a dosadíme do druhé rovnice Potom x x 4 x 6x 7x 4 x A nní dosadíme do vztahu pro : x ,0 Sčítací metodou vpočteme x : x 4 / x 7x 0 4, odtud x Získanou hodnotu dosadíme do kterékoliv rovnice a vpočítáme Například z první rovnice x 4 je Poznámka: Dosazovací metoda je velmi vhodná při řešení soustav rovnic, z nichž alespoň jedna není lineární
2 Řešené příklad: Řešte soustavu x, x x Řešení: Pokud bchom použili metodu sčítací, začali bchom úpravou rovnice Ale vřešíme tuto soustavu dosazovací metodou Kdž z první rovnice vjádříme x,, můžeme do druhé rovnice dosadit přímo a teprve potom provést potřebné úprav Do rovnice x x dosadíme x x, x, x upravíme x, x, 9 x x 7, x 0, 0x 8 To neplatí pro žádné x, soustava ted nemá řešení Řešte soustavu x, x x Řešení: Použijeme metodou sčítací Nejprve upravíme druhou rovnici x, x x x, x 9 x x, x 6 9 / 6 Po vnásobení první rovnice ( 6) a přičtení ke druhé dostaneme 0 0 Soustava má ted nekonečně mnoho řešení Jsou to všechn uspořádané dvojice čísel x ; x,, kde x R Řešte soustavu x 4 x x Řešení: x 4 / 6 x x x 4 4 x 6x x 0 / x 0 x 6
3 Dosadíme například do rovnice x 0 Potom Řešením soustav je dvojice 6,9 4 Řešte v R R soustavu rovnic 6, x 7, x, 4, 4,, Řešení: Nejdříve vřešíme dosazovací metodou Z druhé rovnice je x, 4,, po dosazení do první rovnice dostaneme 6, 7, Tuto rovnici bchom mohli násobit, abchom odstranili zlomek, nebo zlomek rozložit na dva a roznásobit 4,, 6, 7, 9,8 6,89 7, 8,89 4,,877 4,, Dopočítáme x 4, Kdbchom raději chtěli použít metodou sčítací, blo b vhodné upravit koeficient v rovnicích na celá čísla Vnásobením obou rovnic 0 dostaneme 6x 0 7 0x 4 Navíc první rovnici můžeme dělit x 4 / 0x 4 / 4 689x 96 00x x 784 x 4, Potom dosazením do některé z rovnic b se dopočítala neznámá, 877 Poznámka: Na tomto příkladu už je vidět, že pokud budete řešit soustavu, která nevznikla jako rze školní úloha, bude postup značně individuální Řešte v R R soustavu x x 7 x Řešení: První rovnice je kvadratická, bude vhodné použít dosazovací metodu Vjádříme ze druhé rovnice x a dosadíme do první
4 x x 7 x x , 4 Zbývá dopočítat x x 4, x 4 Soustava má ted dvě řešení Jsou to dvojice, 4 a, 4 6 Řešte v R R soustavu x 0 4 x 0 Řešení: Použijeme dosazovací metodu Mohli bchom vjádřit z první rovnice neznámou a dosadit ji do druhé rovnice nebo ze druhé rovnice vjádřit x a dosadit do první Vjdeme-li ze druhé rovnice, vhneme se počítání se zlomk x 0 4 x x rovnice všších stupňů, které nemají absolutní člen, upravujeme vtýkáním na součin: 8 0 Součin je roven nule, kdž je alespoň jeden z činitelů roven nule Ted buď 0 nebo 8 0 Potom 0 x 0 nebo 8 x 4 8 Řešením soustav jsou dvojice 0,0 a, 7 Řešte v R R soustavu 6x 0x 0 x 0 Řešení: Druhou rovnici upravíme vtýkáním na součin a dál budeme počítat dosazovací metodou Vjádříme ze druhé rovnice a dosadíme do první 6x 0x 0 x 0 x 0
5 Postupně dosadíme do první rovnice 0 6x 0x 0 x 0 x x 0, x Máme dvě řešení0,0 a x 6 0 0, Vpočítali jsme další dvě řešení,4 a, 4 x 8 Řešte soustavu rovnic e 0x x 0 e x x 4 0 Řešení: Protože e x 0 (vžd!), zjednodušíme rovnice tak, že obě x e vdělíme Potom 0x x 0 x 4 0 První rovnice není lineární, použijeme ted dosazovací metodu Ze druhé rovnice vjádříme x 4 a dosadíme do první rovnice: 0x x x 4 0 0x 8x 0 x 0 x 0 4 Řešením dané soustav rovnic je uspořádaná dvojice 0, 4 Příklad na procvičení: Vřešte soustav rovnic a) x 6, x b) x, x 4 x x 8 c) 6, 4 d), x 6 x e) x 4 x f) 8x 6, x 9 g) 0, x 0, 0,, 0, x 0, 0, 8, x 4 0
6 x h) i) x, x, x 6 x Řešte soustav rovnic a) x x 9 0, x 0 b) x x 0, x x 0 c) 6 0 x x, e 4 x 0 d) 4 0, x 9x 0 x e) 0, 0 Výsledk: a),4, b) 6, x ;, kde R a),6,,, c), 8 48, d) x, g),,, e),, h) nemá řešení, i),,0,,,, c) 0,0,,,, 4,6, b) 0,,,0,,,,, e) 8, f) nekonečně mnoho řešení d), 0,,,
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
VíceSoustavy rovnic pro učební obory
Variace 1 Soustavy rovnic pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Soustavy rovnic
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
Více7. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH A KVADRATICKÝCH ROVNIC
7. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH A KVADRATICKÝCH ROVNIC 7.1. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu lineárních rovnic: = 5 = 1 = 5 / 5 = 1 / 3 1 15y = 15 1+ 15y = 3 31 = 155 = 5 {[ ] K = 5; 5 = 5 / 7 = 1 / 14 1y =
VíceSoustavy rovnic pro učební obor Kadeřník
Variace 1 Soustavy rovnic pro učební obor Kadeřník Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Soustavy
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
Více9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:
9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceSoustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:
Více( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2
I Drivac jdnoduchých funkcí pomocí pravidl a vzorců Užitím P U druhého a třtího člnu použijm P Nní podl V a posldní čln podl V Použijm P Dál V a na drivaci trojčlnu v poldní závorc V a V Výsldk upravím
VíceÚvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav
Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceSoustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I
.3.10 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I Předpoklady: 308 Pedagogická poznámka: Hodina má trochu netradiční charakter. U každé metody si studenti opíší postup a pak ho zkusí uplatnit na
VíceVYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematik Matematický seminář Petra Horáčková, Miroslav Hanáček Za jazkovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídají autoři. Tet neprošel jazkovou ani redakční
VíceSoustavy rovnic diskuse řešitelnosti
Tématická oblast Datum vytvoření 22. 8. 2012 Ročník Stručný obsah Způsob využití Autor Kód Matematika - Rovnice a slovní úlohy 4. ročník osmiletého gymnázia Řešení soustav dvou rovnic o dvou neznámých
VíceŘešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic
Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)
VíceALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
VíceM - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvšování kvalit výuk technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuk směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceExponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.
Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceMatematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
VícePoužití substituce při řešení soustav rovnic
.7. Použití substituce při řešení soustav rovnic Předpoklad: 7 Pedagogická poznámka: Hodinu je možné pojmout dvěma způsob: Pokud budete řešit i slovní úloh, je potřeba ještě polovina další vučovací hodin
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceParabola a přímka
755 Parabola a přímka Předpoklad: 755, 756, 75, 75, 753 Pedagogická poznámka: Na probrání celého obsahu je třeba tak jeden a půl vučovací hodin Pokud tolik času nemáte, je potřeba buď rchle proběhnout
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................
VíceSbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů
Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před
Více2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.0 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceLineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
Více1 4( 1) Co je řešením rovnice 2y 1 = 3? Co je řešením, pokud přidáme rovnici x + y = 3? Napište
Řešená cvičení lineární algebr I Karel Král 10. října 2017 Tento tet není určen k šíření. Všechn chb v tomto tetu jsou samořejmě áměrné. Reportujte je prosím na adresu kralka@iuuk.mff.cuni... Obsah 1 Cviceni
Více11. Soustava lineárních rovnic - adiční metoda
@127 11. Soustava lineárních rovnic - adiční metoda Adiční neboli sčítací metoda spočívá ve dvou vlastnostech řešení soustavy rovnic: vynásobením libovolné rovnice nenulovým číslem se řešení nezmění, součtem
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Více( ) ( ) ( ) 2.3.11 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých II. Předpoklady: 2310
..11 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých II Předpoklady: 10 Pedagogická poznámka: V první části hodiny si studenti zopakuji nejdůležitější metody z minulé hodny. V druhé si pak zkusí méně
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log
Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení
VíceM - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
Více2.7.8 Druhá odmocnina
.7.8 Druhá odmocnina Předpoklad: 707 Pedagogická poznámka: Tato hodina není příliš nabitá, pokud jste nestihli poslední příklad z minulé hodin 707, dá se stihnout na začátku této hodin. Př. : Je dána funkce
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Číslo a proměnná Gradovaný řetězec úloh Téma: soustava rovnic, parametry Autor: Stanislav Trávníček
VíceLogaritmická rovnice
Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,
VíceEXPONENCIÁLNÍ ROVNICE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
Více2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Více1 1 3 ; = [ 1;2]
Soustavy lineárních rovnic - Příklady k procvičení ) + y= y= [ ; ] ) + y= = ) y= y 0 y ; + = [ ;] ) y= + y= [ ;] ) + y= = ; ) y= = y ) y = y= 8) y= + y= 9) = 8 y 0) y=, y= ) a+ = a b ) = y 9 ) u ( ) v
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108
ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární
VíceVyměníme druhý řádek s posledním a vynulujeme 2. sloupec pod diagonálou:
Příklad : Gassovo eliminační metodo řešte sostav rovnic: Řešení: Napíšeme rozšířeno matici sostavy tj matici tvořeno koeficienty neznámýc ke kterým přidáme slopec pravýc stran: R Tto matici převedeme ekvivalentními
Více10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda
@112 10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda Jedna z metod, která se používá při řešení soustavy lineárních rovnic, se nazývá substituční. Nejlépe si metodu ukážeme na příkladech. Příklad:
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceSoustavy více rovnic o více neznámých II
2.3.14 Soustavy více rovnic o více neznámých II Předpoklady: 2313 Pedagogická poznámka: U odčítání rovnic je třeba se připravit na to, že slabší část třídy bude různě rozepisovat mezivýpočty, vynechávat
VíceSoustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: Metoda sčítací
Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: a Sčítací b Dosazovací c Substituce Metoda sčítací Cílem sčítací metody je sečíst 2 rovnice tak, aby se eliminovala odstranila jedna neznámá! Vždy se
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
VícePísemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor
Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více2.7.7 Inverzní funkce
77 Inverzní funkce Předpoklad: 0, 08 Pedagogická poznámka: Stihnout celý obsah této hodin za 5 minut znamená docela úprk, ale jak mám vzkoušené až na dokončení posledního příkladu je to zvládnutelné Pedagogická
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceRovnice v oboru komplexních čísel
Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a
Více( ) ( ) ( ) ( ) Logaritmické rovnice III. Předpoklady: Př. 1: Vyřeš rovnici. Podmínky: Vnitřky logaritmů: x > 0.
.9. Logaritmické rovnice III Předpoklad: 90 Př. : Vřeš rovnici log log. + log + log Podmínk: Vnitřk logaritmů: > 0. Zlomk: + log 0 log 0,00 + log 0 log 0,00 00 Problém: Jednotlivé stran nemůžeme upravit
Vícef jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi
Nechť je prostá unkce v pořád klesá) a zobrazuje D na H deinovaná vztahem: D = a) b) Gra unkcí a H, H = D INVERZNÍ FUNKCE D (tj. v celém svém deiničním oboru pořád roste nebo. Pak k této unkci eistuje
VíceJednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.
1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Vícex 2(A), x y (A) y x (A), 2 f
II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých
VíceNerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
VíceAnalytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
VíceFunkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VícePŘÍKLAD 6: Řešení: Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29. Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34
Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29 PŘÍKLAD 6: Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34 Chceme-li vypočítat hodnotu výrazu za daného předpokladu, pak
Více61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012
61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou
VícePolynomy a racionální lomené funkce
Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových
VíceNejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
VíceGrafy elementárních funkcí v posunutém tvaru
Graf elementárních funkcí v posunutém tvaru Vsvětlíme si, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkční předpis základní elementární funkce Všechn změn původního grafu budou demonstrován
VíceDeterminant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
Víceln(1 + 3x) lim lim lim ln(x 2 x + 1) lim ln(x 10 + x + 1) = ln x 2 (1 1 x + 1 x 2 ) ln x 10 (1 + 1 x = lim 2 ln x + ln(1 1 x 2 + ln(1 1 x
6. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ ktaristka@gmail.com Příklad. a) b) c) ln + 3x) x x ln 3 ) x x x e 2 e 2x arccos x d) Vtkněte nejrchleji rostoucí člen z logaritmu lnx 2 x + ) lnx 0 +
Více6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou
@06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou
Více( ) Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I. Předpoklady:
4..7 Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I Předpoklady: 0405 Pedagogická poznámka: Naprostou většina chyb při sestavování rovnic v následujících příkladech tvoří obrácené rovnosti ve kterých studenti
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Více