ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strjní Ústav echaniky, biechaniky a echatrniky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Analýza průhybu kpzitních nsníků Analysis Cpsite Beas in Bending 017 Martin MATUŠŮ
Antační list Jén autra: Název bakalářské práce: Anglický název: Martin Matušů Analýza průhybu kpzitních nsníků Analysis Cpsite Beas in Bending Akadeický rk: 016/017 Studijní prgra: Obr studia: Ústav/dbr: Veducí bakalářské práce: Teretický základ strjníh inženýrství Bez bru Ústav echaniky, biechaniky a echatrniky Odbr pružnsti a pevnsti Ing. Bc. Zdeněk Padvec, Ph.D. Bibligraické údaje: Pčet stran: 68 Pčet brázků: 9 Pčet tabulek: 9 Klíčvá slva: Syetrický lainát, asyetrický lainát, hyb, kpzit, lainátvá terie, napětí, průhyb, derace. Keywrds: Syetric lainate, nn-syetric lainate, bending, cpsite, lainatin thery, stress, delectin, strain. Abstrakt: Tat práce je zalžena na dvzení hybu pr aniztrpní ateriály, a zvláště na prvnání průhybu syetrickéh a asyetrickéh kpzitníh nsníku v závislsti na bjevé pdílu vláken. Abstract: This thesis is based n derivatin bending r anistrpic aterials and especially n dierence between bending syetrical and nnsyetrical cpsite bea depending n the vluetric iber cntent.
Prhlášení Prhlašuji, že jse svu bakalářsku práci vypracval sastatně s využití knzultací s veducí bakalářské práce a literatury v přilžené seznau. V Praze dne:..
Pděkvání Chtěl bych pděkvat veducíu é bakalářské práce panu Ing. Bc. Zdeňku Padvcvi, Ph.D. za vedení bakalářské páce, důležité rady a cenné připínky, díky který jse hl tut práci sepsat, a v nepslední řadě za čas, který i věnval v ráci knzultací. Další pděkvání patří é přítelkyni, rdině a ý přátelů za pdpru běhe psaní práce a běhe studia.
Obsah Sezna pužitých veličin... 8 Sezna brázků... 10 Sezna tabulek... 11 Sezna graů... 1 Úvd... 13 1. Kpzitní ateriály... 14 1.1 Deinice kpzitních ateriálů... 14. Vláknvé kpzity... 16.1 Charakteristika výztuže... 16.1.1 Materiály vláken... 16.1.1.1 Skleněná vlákna... 17.1.1. Araidvá vlákna... 18.1.1.3 Uhlíkvá vlákna... 18.1.1.4 Keraická vlákna... 19.1.1.5 Kvvá vlákna... 19.1.1.6 Piezelektrická keraická vlákna (PZT)... 0.1.1.7 Přírdní vlákna... 0.1.1.8 Pavučí vlákn... 0.1.1.9 Bavlněné vlákn... 0.1.1.10 Babusvá vlákna... 1. Charakteristika atrice.....1 Materiál Matrice.....1.1 Plyerní atrice.....1. Kvvé atrice... 3..1.3 Keraické a skleněné atrice... 3.3 Aplikace kpzitů... 4.3.1 Stavebnictví... 4.3. Autbilvý průysl... 4.3.3 Letecký průysl... 6 3. Sěšvací pravidl... 7 3.1 Mdul pružnsti E L... 8 3. Pissnv čísl µ LT... 9 3.3 Mdul pružnsti E T... 9 3.4 Sykvý dlu pružnsti G LT... 30 4. Klasická lainátvá terie... 3 6
4.1 Základní rvnice lainátvé desky... 33 4. Matice tuhsti lainátvé desky... 37 4.3 Rzdělení způsbů vrstvení lainátů... 40 4.3.1 Syetrické laináty... 40 5. Ohyb kpzitních nsníků... 41 5.1 Ohyb syetrickéh lainátu... 4 5. Ohyb asyetrickéh nsníku... 45 6. Prvnání průhybu syetrickéh a asyetrickéh nsníku... 48 6.1 Zadní příkladu... 48 6. Řešení příkladu pcí klasické pružnsti a pevnsti... 50 6.3 Řešení Yungva dulu pružnsti pcí klasické lainátvé terie... 54 6.4 Prvnání průhybů... 60 6.4.1 Prvnání syetrickéh a asyetrickéh lainátu.... 60 6.4. Prvnání ateriálvých vlastnstí pr uhlíkvé a skelné vlákn... 6 7. Závěr... 65 8. Bibligraie... 66 7
Sezna pužitých veličin E G M V l A F u v w sybl jedntka název Pa Pa Pa N kg 3 3 N k 1 napětí dul pružnsti pěrné prdlužení Pissnv čísl sykvý dul pružnsti ent hustta bje bjevý pdíl délka plcha síla psuv v se psuv v se y psuv v se z zksení derace střední plchy křivst desky Q C Pa h M Pa N N 1 A 1 B N skln střední rviny atice isvé tuhsti atice tuhsti tlušťka ent na jedntku délky N síla na jedntku délky N atice tahvé tuhsti atice vazební tuhsti D N atice hybvé tuhsti J 4 b T kvadratický ent průřezu šířka nsníku transrační atice 8
J q v R, R a r, r a b U celk d b Pa N 1 N N 1 N N N tečné napětí inverzní glbální atice spjité zatížení průhyb reakce d pdpr jedntkvé síly d pdpr jedntkvý ent d jedntkvé síly celkvá derační energie atice hybvé tuhsti jedné vrstvy natčení vláken 9
Sezna brázků Obr. 1 Rzdělení kpzitů pdle druhu výztuže [6]... 14 Obr. Částicvý a skeletvý kpzitní ateriál [7]... 14 Obr. 3 Rzdělení kpzitů pdle druhu výztuže a pčtu vrstev [1]... 15 Obr. 4 Pracvní diagray zkušky v tahu různých atric kpzitů v prvnání s diagrae standardníh střednědulvéh uhlákvéh vlákna [6]... 3 Obr. 5 Železbetnvé schéa []... 4 Obr. 6 Ltus Elite [1]... 4 Obr. 7 Ltus Elan [0]... 4 Obr. 8 Mncell šasi z uhlíkvých vláken McLarenu 570S [17]... 5 Obr. 9 Mncque karsérii Bugatti Veyrn [18]... 5 Obr. 10 Vzestup využití kpzitů v dpravních letadlech Being [3]... 6 Obr. 11 Pěr pužití ateriálů v Beingu 787 [14]... 6 Obr. 1 Rzlžení kpzitu [1]... 8 Obr. 13 Znázrnění derace způsbené napětí na kpzitu [1]... 30 Obr. 14 Syetrický lainát [1]... 3 Obr. 15 Nesyetrický lainát [1]... 3 Obr. 16 Derace lainátu [1]... 33 Obr. 17 Znázrnění sil a entů [1]... 35 Obr. 18 Nespjité napětí v lainátu [1]... 36 Obr. 19 Lainát skládající se z n vrstev [1]... 37 Obr. 0 Syetrický lainát [1]... 40 Obr. 1 Nsník zatížený ente []... 41 Obr. Průhyb nsníku []... 41 Obr. 3 Nsník znázrňující neutrálnu su a střední plchu []... 4 Obr. 4 Syetrický kpzit... 48 Obr. 5 Asyetrický kpzit... 49 Obr. 6 Schéa příkladu [6]... 50 Obr. 7 Reakce d psuvné a pevné vazby [6]... 50 Obr. 8 Míst řezu [6]... 50 Obr. 9 Uístění jedntkvé síly [6]... 51 10
Sezna tabulek Tab. 1 Slžení jedntlivých sklvin skleněných vláken [3]... 17 Tab. Prvnání vlastnstí skleněných vláken jedntlivých sklvin [3]... 17 Tab. 3 Aniztrpie Araidvých vláken [3]... 18 Tab. 4 Prvnání jedntlivých vlastnstí plyerních vláken v příčné, pdélné a sykvé zatížení, Pissnv čísl a íra aniztrpie [3]... 18 Tab. 5 Typické vlastnsti keraických vláken [5]... 19 Tab. 6 Typické vlastnsti některých kvvých vláken [5]... 19 Tab. 7 Prvnání echanických vlastnstí vláken a kpaktních ateriálů [6]... 19 Tab. 8 Mechanické vlastnsti přírdních vláken [9]... 1 Tab. 9 Srvnání echanických vlastnstí ateriálů plyerních atric [10]... 11
Sezna graů Gra A Prvnání syetrickéh a asyetrickéh lainátu se shdný slžení T600/EP k4... 60 Gra B Prvnání syetrickéh a asyetrickéh lainátu se shdný slžení E-sklvina/EP k4... 61 Gra C Prvnání skleněných vláken a uhlíkvých vláken syetrickéh lainátu... 6 Gra D Prvnání skleněných vláken a uhlíkvých vláken asyetrickéh lainátu... 63 Gra E Prvnání syetrických a asyetrických lainátů s rzdílnu výztuží... 64 1
Úvd Pptávka p nvých prduktech a tuha člvěka p různrdých eperientech jsu jední z důvdů, prč kpzity eistují. Řada dvětví vyžaduje vyské nžství rzdílných ateriálů, ale čast nelze pužít ateriály knvenční. Kpzitní ateriály jsu nvu generací ateriálů stejně jak plasty. Jejich vlastnsti v nha hledech předčí stávající ateriály a dávají žnst nepřebernéu nžství nápadů k následvné realizaci. Největší přednstí je výrazně nižší htnst prti statní hgenní ateriálů a při správné výrbě i výrazně vyšší tuhst a pevnst. V případě, že ptřebujee pr daný prdukt ateriál s přesně danýi vlastnsti, tak si ůžee sestavit kpzit na íru, a t díky rzdílný ateriálů, sestavení kpnentů v určité přadí a sěru natčení. Autbilvý, letecký, ldní či sprtvní průysl využívá kpzitní ateriály ve velké nžství. Autbily a letadla díky lehksti ateriálu dsahují lepších vlastnstí a psunují lidské žnsti kupředu. Vyská pevnst a tuhst snižuje sptřebu ateriálu a užňuje snížení celkvých rzěrů strje. Sprtvní průysl využívá nvých ateriálů k lepší výknů sprtvců, a i vyšší dlnsti prti ptřebení. Sučasně s kpzity se usel rzvinut i způsb výpčtů ateriálvých vlastnstí. Rzdílný phled na výpčet tuhsti, derace a napětí zapříčinil rzvj dané prbleatiky v brvské ěřítku. Nuerické siulátry a výpčetní prgray již v dnešní dbě výrazně pkrčily, a prt jse schpni tyt ateriály navrhnut natlik dbře, že jejich rzvj stále stupá a dbyt rste. Vývje Metdy knečných prvků výpčty derací, průhybů a napětí dstaly i viditelnu pdbu. V tét práci je pdrbně ppsán způsb výpčtu ateriálvých charakteristik pr nehgenní ateriály, kterýi kpzity jsu. Následně je zde vysvětlena etda výpčtu jak becně, tak i knkrétně pr více druhů nsníků. Jsu zde prvnány dva druhy slžení kpzitních nsníků. 13
1. Kpzitní ateriály [1] [] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [1] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [0] [1] [] [3] [4] [5] [6] [7] Tat část bude věnvána becnéu úvdu d prbleatiky kpzitních ateriálů nebli kpzitů. Budee se zde zabývat rzřazení kpzitních ateriálů, základní rzdělení a druhy ateriálů pužitých při jejich výrbě. 1.1 Deinice kpzitních ateriálů Kpzite se ůže nazývat sustava dvu a více yzikálně i echanicky dlišných slžek. Kpnenty ají vzájeně dlišné vlastnsti. Jejich spjení dsahujee jiných (nejen) elastických vlastnstí d půvdních ateriálů. Kpzit je ve většině případů slžen ze spjité áze, tzv. atrice a jednu neb více nespjitých ází tzv. vyztužení (araturu), které á unkci vyztužvacíh ateriálu. [4] Základní dělení kpzitů je pdle uspřádání diskntinuální áze, tedy vyztužení. Dělíe jej na částicvé kpzity, které jsu vyztuženy částečkai nevláknvitéh tvaru (neají dluhý rzěr), vláknvé kpzity a skeletvé kpzity. Částice pužité pr výztuž kpzitu, ají lepší vlastnsti než atrice a zlepšují tak vlastnsti celkvéh ateriálu. Mhu zvyšvat dlnst vůči ptřebení, tepelnu vdivst a další vlastnsti. Pdílejí se i na echanické naáhání sustavy a zlepšují tak echanické vlastnsti. Vláknvé kpzity jsu tvřeny, jak už název napvídá, vlákny (délkvý rzěr je nhnásbně větší než příčný). Rzdělení vláknvých kpzitů spčívá v pčtu vrstev a délce vláken. Dělí se tedy na dluhvláknvé a krátkvláknvé a pdle vrstev na jednvrstvé a vícevrstvé kpzity. [1] Obr. 1 Rzdělení kpzitů pdle druhu výztuže a) jednsěrně uspřádaný, b) dvuse rientvaný, c) nahdile rientvaný, d) s vícesu výztuží, e) kpzit s krátkýi vlákny, ) kpzit s krátkýi vlákny nahdilé rientace [6] Další druhe kpzitníh ateriálu, který je tvřen atricí prstupenu nsný eleente tzv. skelete se nazývá skeletvý kpzitní ateriál. [7] Obr. Částicvý a skeletvý kpzitní ateriál [7] 14
Kpzitní ateriály jsu variabilní, prtže jejich yzikální vlastnsti je žné upravit pdle ptřeby dané sustavy. Tvrba kpzitů pdle pžadvaných vlastnstí je užněna díky přizpůsbení pčtu vláken v atrici a jejich rientaci. Následně je žné tvřit sustavy jedntlivých kpzitních desek, které se nazývají lainy. Sustavy více vrstevnatých kpzitů se dělí na laináty a hybridní laináty. [1] Laináty jsu tvřeny deskai, které ají shdný ateriál atrice a vláken vůči sbě. Hybridní laináty ají rzdílné ateriály atric a vláken v jedntlivých vrstvách. [1] Obr. 3 Rzdělení kpzitů pdle druhu výztuže a pčtu vrstev [1] Kpzity jsu hetergenní ateriály, ale pr výpčty echanických vlastnstí se předpkládá, že na úrvni akrstruktury je ateriál hgenní, ale není iztrpní (je tedy aniztrpní). Aniztrpní ateriále rzuíe ateriál, který á závislé elastické vlastnsti na sěru zatížení. [4] Jední z hlavních důvdů pr tvrbu kpzitů je jejich nízká htnst. Kpzity ve srvnání s tradičníi ateriály (cel, hliník atd.) jsu lehčí a vlastnsti hu být srvnatelné při vhdné uspřádání lain. 15
. Vláknvé kpzity Vlákn je deinván jak eleent z určitéh ateriálu, u kteréh značně převyšuje pdélný rzěr nad příčný..1 Charakteristika výztuže Vlákna jsu vždy nhe pevnější sastatně, tedy v tzv. kpaktní pdbě. Parade vláken je, že jejich pevnst rste při zenšení jejich průřezu. Orientací vláken se dsahuje pevnsti ve sěrech, které knstrukce pžaduje. [3; 6] Vlákna usí splňvat následující pdínky: - Mez pevnsti vlákna usí být vyšší než ez pevnsti atrice. P P (.1) - Mdul pružnsti vlákna usí být vyšší než dul pružnsti atrice. E E (.) - Tažnst atrice usí být vyšší než tažnst vlákna, aby atrice neztratila integritu dříve než vlákn. P (.3) P P, příp. P - pevnst vlákna, příp. atrice E P, příp., příp. E P - dul pružnsti vlákna, příp. atrice - tažnst (ezní prdlužení) vlákna, příp. atrice [3].1.1 Materiály vláken Vlba vláken závisí na charakteru a ateriálu atrice, např. plyerní atrice se nevyztužují vlákny s vyšší husttu. Dšl by tak ke snížení ěrnéh dulu pružnsti a ěrné pevnsti v tahu. Pr kvvé atrice nejsu vhdná vlákna s alu tepelnu vdivstí, stejně tak pr keraické atrice. [6] Vlákna prt rzdělujee na vlákna pr plyerní atrice (skleněná, plyerní a uhlíkvá) a vlákna pr keraické a kvvé atrice (uhlíkvá, keraická a kvvá). [6] 16
.1.1.1 Skleněná vlákna Jsu vyráběna ze sěsi idů Si, Al, Ca, B, Mg, jsu iztrpní. Mdul pružnsti v tahu dsahuje třetiny dulu pružnsti celi. Pevnst v tahu je nhe vyšší než u celi (v kpaktní rě). [3; 6] Skleněná vlákna se dále rzdělují na: E-sklviny, které jsu dbře elektricky vdivé (90 % trhu). S-sklviny (R-sklviny pr Evrpu a v Japnsku T-sklviny), které ají vyšší bsah SiO, MgO a Al O 3. C-sklviny, které ají vyšší dlnst prti kyseliná a becně prti cheicky agresivní látká. Pužívá se například pr desky tištěných bvdů v ksnautice. A AR-skleněná vlákna, která jsu bezalkalická. [3] Slžení (%) Sklvina E R neb S C ECR AR SiO 54 60 60 65 54 6 6 AlO3 14 15 5 6 1 13 - CaO - 14 14 1 5 9 MgO 0 4 3 1 3 4,5 1 4 BO3 6 9 < 1 7 < 0,1 < 0,5 KO NaO < 1 - < 1-8 - 0,6-17 1 15 Tab. 1 Slžení jedntlivých sklvin skleněných vláken [3] Sklvina E R neb S C ECR AR Hustta (g c -3 ),6,53,5,7,68 Mez pevnsti v tahu (N - ) 3 400 4 400 400 3 440 3 000 E-dul pružnsti (N - ) 73 000 86 000 70 000 73 000 73 000 Pěrné prdlužení při přetržení (%) < 4,8 < 4,6 < 4,8 < 4,8 < 4,4 Sučinitel tepltní rztažnsti (K -1 ) 5 10-6 4 10-6 6,3 10-6 5,9 10-6 6,5 10-6 Teplta ěknutí ( C) 850 980 750 880 770 Tab. Prvnání vlastnstí skleněných vláken jedntlivých sklvin [3] 17
.1.1. Araidvá vlákna Jsu aratická jádra benzenu spjena pcí vdíkvých ůstků a aidvých skupin (aratické plyaidy). Patří ezi nejlehčí vlákna. Mají silně aniztrpní vlastnsti. [3] Araidvá vlákna nebli Kevlar byl pprvé představen v 60. letech inuléh stletí. Vyrábí se dvě prvedení: HM (High duls s značení Kevlar 49) á vyšší dul pružnsti a LM (Lw duls s značení Kevlar 9), který velice dbře tluí vibrace. Právě tat vlastnst užňuje tvrbu neprůstřelných vest a pancéřů. Nevýhdu jest jeh huževnatst a náchylnst na vlhkst prstředí. Obrábění araidvých lainátů je pěrně btížné. [3] Vlastnsti Ve sěru vláken ( ) Kl na vlákn ( ) Tah Tlak Tah Tlak E-dul pružnsti (N - ) 80 000 80 000 6 500 5 100 Pevnst (N - ) 1 800 30 8 53 Tažnst (%), 0,5 0,16 1,4 Příčné srštění 0,3 0,3 0,05 0,0 Sučinitel tepltní rztažnsti (K -1 ) - 10-6 70 10-6 Vdivst (S -1 ) 10-13 -.1.1.3 Uhlíkvá vlákna Tab. 3 Aniztrpie Araidvých vláken [3] Uhlíkvá vlákna, která patří ezi nejpevnější a cenvě nejdražší. Mají výbrné echanické vlastnstí, vysku stálst při zvýšení teplty, nízku htnst, iřádně vysku krzní dlnst vysku dlnst prti dluhdbéu dynaickéu naáhání. Jejich využití stále stupá. Uhlíkvá vlákna se dále rzdělují na: HS vyskpevnstní vlákna (High Strength), HM vyskdulvá vlákna (High Mdulus), HMS uhlíkvá vlákna vysku tuhstí a vyský dule (High Mduls and Strain) a IM středně dulvá a pevnstní (Interediate Mdulus). Mezi další vlastnsti patří dbrá elektrická vdivst a cheická dlnst vůči kyseliná, alkálií a rzpuštědlů. [3; 10] E E / Vlákn (kn - ) (kn - ) (kn - ) E-skl 73 73 30 0,5 1 Araidvé vyskkdulvé vlákn (HM) Uhlíkvé vlákn standartní typ (HT) Uhlíkvé vlákn vyskkdulvé (HM) E G 133 5,4 1 0,38 4,6 40 15 10 0,8 16 500 5,7 8 0,36 88 E Tab. 4 Prvnání jedntlivých vlastnstí plyerních vláken v příčné, pdélné a sykvé zatížení, Pissnv čísl a íra aniztrpie [3] 18
.1.1.4 Keraická vlákna Nejčastějšíi zástupci jsu Al O 3, SiC, Si 3 N 4. [6] Hlavní vlastnstí je její vyská tepltní dlnst a zachvání vlastnstí až nad 100 C. Rzdíl ezi idvýi (Al O 3 + SiO ) a neidvýi (SiC) je tlušťka vláken. Neidvá vlákna hu ít ultrajenu ikrstrukturu a některé druhy vydrží tepltu až 1700 C. [7] Tat vlákna se předevší využívají jak výztuž kvů a keraiky. Mají etréní dlnst vůči prstředí, vysku tuhst a pevnst. [5] Druh Objevá htnst [g c-3] Tahvá pevnst [GPa] Mdul pružnsti [GPa] Průěr [µ] Tepltní stabilita [ C] Al O 3 (saír) 3,15 až 4,0,07 až,8 17 až 470 5 800 ZrO 4,84,07 344 60 1000 Uhlík (grait) 1,6 až,0 1,7 až 3,4 0 až 690 58 až 76 BN 1,90 1,38 až,4 90 až 315 66 až 70 500 B 4 C,3 až,5,07 až,4 76 až 480 100 500 Tab. 5 Typické vlastnsti keraických vláken [5].1.1.5 Kvvá vlákna Jsu tvřena z vysktavitelných kvů W, M. keraicku a kvvu atrici. [5; 6] Mhu vyztužvat plyerní, Druh Objevá htnst [ g c -3 ] W 19,4 1,0 až 4,0 353 až 44 13 M 10,,41 358 5 Ocel 7,74,8 až 4,14 00 13 Be 1,83 1,7 40 až 315 17 Al,66 0,6 73 Ti slitiny 4,51 0,55 až, 118 Ni (Rene 41) 8,,3 0 Tab. 6 Typické vlastnsti některých kvvých vláken [5] Srvnání jedntlivých ateriálů vláken: Pevnst v tahu [GPa] Mdul pružnsti [GPa] Průěr [ µ ] Materiál Mdul pružnsti [GPa] Pevnst v tahu [MPa] Skleněné vlákn typu E 76 500 Sklvina E 76 100 Uhlíkvé vlákn 50 až 800 000 až 6000 Plykrystalický grait 10 0 Keraické vlákn SiC 400 3900 SiC nlitický 410 500 Plyetylenvé vlákn 80 až 10 3000 Lineární plyetylén 0,4 6 Tab. 7 Prvnání echanických vlastnstí vláken a kpaktních ateriálů [6] 19
.1.1.6 Piezelektrická keraická vlákna (PZT) Tat vlákna jsu tvřena z idů titanu, lva a zirknia (PbZrO 3 PbTiO). Piezelektrický ateriál se chvá speciicky. Při echanické naáhání vytváří elektrický nábj a v elektrické pli ění své rzěry. Tat vlákna jsu dbře hebná. PZT vlákna se pužívají jak aktuátr (díl ěnící svůj tvar). Například pr výrbu sprtvníh náčiní. Rá tenisvé rakety z PZT vláken je schpen při dpálení akuulvat elektricku energii vyvlanu deracei v rukjeti a zpětně se zpždění vytvřit derace, které tluí vibrace rakety. Taktéž zvyšuje sílu úderu 15 %. [8] U vjenských letadel se využívají pr zěnu tvaru nsných plch. PZT jsu uístěny na křídlech. U vrtulníků se dá díky ni snižvat hlučnst rtru. [8].1.1.7 Přírdní vlákna Mezi přírdní vlákna patří různé druhy vláken, která dispnují nízku husttu a jsu šetrná k živtníu prstředí. Nevýhdu je jejich citlivst na klní vlhksti a dlnst vůči tepltníu zatížení d 00 C. Jednu z největších nevýhd je žnst zěn, které jsu vyvlávány bilgický napadení, právě kvůli rganickéu charakteru vláken. [3].1.1.8 Pavučí vlákn Pavučí vlákn je lehké a zárveň veli pevné. V přírdě se dá jeh pevnst přirvnat ke zvířecí šlachá. C se týče žnsti phlcvat energii d zatížení je nhdy i lepší nežli vlákna araidvá (syntetická). Mžnsti získání vláken d satných pavuků je prakticky nežné. Pavuci se navzáje pžírají a nejsu schpni vyprdukvat velké nžství vláken, která by nasytila průysl. Kanadská ira Genzye Transgenic Crpratin získala vzácnu bílkvinu z kzíh léka klnvaných kůzlat, z tét bílkviny lze vyrábět tzv. kzí pavučina, kteru nazývají BiSteel. Tat látka by byla vhdná pr sítě, které zachycují stíhačky na letadlvých ldích a tvrbě neprůstřelných vest. Lidské těl na BiSteel reaguje veli dbře a v buducnu by hl být pužit pr náhradu šlach a vazů. [10].1.1.9 Bavlněné vlákn Za zínku stjí právě prt, že v dbách inulých byl vynalžen velké nžství sil k nalezení náhrady za nedstatek plechu k výrbě karsérií pr autbil. Díky vědců z NDR byl vyrben ateriál s bavlněnýi vlákny a enlvé pryskyřice znáý jak Durplast (byl pužit pr výrbu vzu Trabant 601). [10] Pdle katalgu iry Ganter Gri Material Characteristics Durplast and Technplyer [3] je Durplast při vyšších tepltách nestabilní a ani nelze udělat větší nžství barevných prvedení. Z th důvdu byl nejspíše nahrazen knkurencí lepších a kvalitnějších ateriálů. 0
.1.1.10 Babusvá vlákna Babusvá vlákna ají příznivé echanické vlastnsti. Jejich největší výhdu je veli rychlá výrba. Babus vyrste za den 7 až 130 c, a díky tu lze asvě testvat a zdknalvat. Výchdní Asie se zaěřuje právě na využití babusvých vláken, hlavně Japnsk a Čína. Ptenciál babusvých vláken je vyský, např. lan průěru 5 c unese 4 tuny. [10] druh přírdníh vlákna rzěr v (µ) ez pevnsti v tahu (MPa) dul pružnsti E (GPa) Babusvá vlákna 15-30 550 36 Jutvá vlákna 10-50 580 Kksvé vlákn 10-0 50 5,5 Rýžvé vlákn 5-15 100 6 Přírdní hedvábí 15 400 13 Pavučí vlákn 4 1750 1,7 Tab. 8 Mechanické vlastnsti přírdních vláken [9] 1
. Charakteristika atrice Matrice je spjitá část kpzitu, která je prtkaná nespjitu částí (vlákny, neb částicei) dhrady tvřící kpzit. Úkle atrice je přens sil a geetrická stálst kpzitu za pžadvaných vlastnstí. Zajišťuje geetricku plhu vláken a chranu vláken před klí. [3; 6]..1 Materiál Matrice Materiál pužitý pr atrici závisí na typu vláken druhu využití a způsbu naáhání danéh kpzitu. Některé z atric jsu v následující kapitle shrnuty...1.1 Plyerní atrice Mderní kpzity jsu tvřeny atricí z terplastů aneb reaktplastů (tersety), dhrady tvřící skupinu plyerů. [3] D skupiny reaktplastů patří pryskyřice na bázi nenasycených plyesterů UP, vinylesterů VE a epidů EP. Z reaktplastů se ve strjírenství nejvíc uplatnily epidvé pryskyřice, které ají dbré echanické vlastnsti a jsu snadn zpracvatelné. Další hjně využívaný reaktplaste jsu enlické pryskyřice, které se pužívají v dpravě a stavebnictví, kvůli nehřlavsti. Reaktplasty jsu becně ál tepelně dlné a neeklgické. [10] Terplasty jsu na rzdíl d reaktplastů tepelně dlnější, huževnatější a lépe recyklvatelné. Mezi terplasty řadíe plyprpylen PP, plyaid PA, plyenylsulid PPS a plyetherketn PEEK. [3; 10] Jední z nejdůležitějších rzdílů je recyklvatelnst terplastů. Terplasty ají schpnst při zahřátí pakvaně ěknut a při chlazení tuhnut d jinéh tvaru, než byl tvar předešlí. U reaktplastů tat situace neůže nastat. P jedn vytvrzení je jejich tvar neěnný a recyklvatelnst nepřipadá v úvahu. [6] reaktplasty terplasty Epidvá pryskyřice Plyprpylen Plyenylsulid Plyetherketn Pevnst v tahu Mdul pružnsti v tahu Tažnst Rázvá huževnatst Ma. teplta při prvzu 130 100 00 50 [ C] veli vyský/á; vyský/á; střední Tab. 9 Srvnání echanických vlastnstí ateriálů plyerních atric [10]
Materiál atrice by ěl ít něklika násbně větší pěrné prdlužení než výztuž kpzitu. Pkud je atrice tvřena plyere neb kve, tak je tat pdínka splněna. Keraické a skleněné atrice ají pěrné prdlužení srvnatelné neb i enší než výztuž, a prt je výsledný kpzit křehčí. [6] Obr. 4 Pracvní diagray zkušky v tahu různých atric kpzitů v prvnání s diagrae standardníh střednědulvéh uhlákvéh vlákna [6]..1. Kvvé atrice Mají vůči plyerní atricí něklik výhd. Mezi výhdy patří např. tepltní vdivst, elektrická vdivst, vyšší sykvá pevnst, tvárnst, nehřlavst, dlnst brusu, žnst pvlakvání, spjvání, tvarvání, vyšší tepelnu dlnst, dlnst vůči vlhkéu prstředí a erzi i pvrchvéu pškzení. Napak pevnst a tuhst za nrálních teplt je nižší než u plyerních kpzitů. Výrbní náklady jsu pdstatně vyšší. [5] Nejpužívanějšíi ateriály kvvých atric jsu hliník a jeh slitiny (zejéna pr nízku cenu), vyztužené zejéna brvýi vlákny, uhlíkvýi, křeíkkarbidvýi, aneb saírvýi vlákny. [5] Krě hliníkvých atric se vyskytují na trhu i atrice ze slitin titanu a super slitin, které jsu vyztuženy vlákny bóru, karbidu křeíku neb beryllia. Titanvé kpzity pskytují vyšší dlnst vůči tepltní pdínká (1000 až 100 C, prti hliníkvý 500 až 600 C), zejéna s vlákny SiC, které jsu veli dbře tepelně dlné, až natlik, že na ně zěna teplty neá prakticky žádný vliv. Nevýhdu titanvých kpzitů je jejich hrentní cena. [5]..1.3 Keraické a skleněné atrice Keraika se becně využívá pr blasti nárčné na vysku pracvní tepltu, vysku pevnst a ísta, kde je ateriál náchylný k idaci. Keraika á velice nízku husttu. Největší nevýhdu keraiky je její křehkst. [5] Nejčastější druhy keraických atric pužité pr výrbu kpzitů jsu idy, nitridy neb karbidy hliníku, křeíku, hřčíku či různé variace prvků. Knkrétníi příklady jsu Al O 3, ZrO, ThO, skl, ulit, aluiniusát a grait. Vlákna vhdná pr keraické/skleněné atrice jsu kvvá a ve většině případů jsu z lybdenu, wlrau, celi, nibu a dalších. [5] 3
.3 Aplikace kpzitů Kpzitní ateriály nacházejí uplatnění ve všech dvětvích průyslu. Strjírenství využívá kpzity hlavně kvůli variabilitě a žnsti diikace lainátů pr ptřebnu výdrž v dané sěru zatížení. Kpzity nacházejí uplatnění v autbilvé průyslu, letectví, ve stavebnictví a v nha dalších segentech průyslu. Ve sprtu se využívá kpzitů hlavně kvůli jejich htnsti, a t například pr výrbu vesel, knstrukcí plachetnic, ráů kl, vidlic a sedlvých tyčí..3.1 Stavebnictví Pkud luvíe stavební ateriálu (stavivu) tak ezi nejznáější kpzity patří železbetn, který se skládá z železných svařených prutů prtkaných čerstvu betnvu atricí. [1] Tent ateriál se využívá ke stavbě stů, vyských budv, pilířů, arádních bunkrů a nh dalšíh. Z železbetnu se hu vyrábět desky, nsníky a becně jakékliv tvary..3. Autbilvý průysl Obr. 5 Železbetnvé schéa [] Autbilvý průysl využívá velku řadu kpzitních ateriálů pr stavbu karserie, interiéru, a dknce i hnacíh ústrjí. Fira Ltus byla jedna z prvních, která pužila kbinaci plastu a skleněných vláken pr výrbu svých vzů. První byl del Elite (1957), který ěl karserii kpletně z lainátu. Další byl Ltus Elan, který byl více kerčně úspěšný a patří ezi nejcharakternější auta značky Ltus. Jeh největší výhdu byla velice nízká htnst 688kg. T je žné hlavně díky lehké karserii z kpzitu. [19; 0] Obr. 6 Ltus Elite [1] Obr. 7 Ltus Elan [0] Hnací hřídel autbilu pr vzidla s phne zadních kl je ve většině případů vyrbena z celi. V případě, že se jedná vůz závdní, ůže být vyrbena i z hliníku, který je lehčí než cel, ale v t nejlepší případě je vyrbena z uhlíkvých vláken. [11] 4
Carbn iber driveshat nebli hnací hřídel z uhlíkvých vláken dispnuje hned něklika výhdai vůči celi. Uhlíkvá vlákna nešíří vibrace, ale rzvádí je d jedntlivých vláken. S tí suvisí i hluk, který se značně sníží. Snižuje se htnst vzidla. Hnací hřídel z uhlíkvých vláken á nhe větší pevnst v krutu, tudíž vydrží nhe větší kruticí ent, a tedy zvyšuje tah autbilu. Další výhda, která stjí za zínku, je že v případě pruchy se vlákna v hnací hřídeli puze rzdělí a nerzletí se částečky d stran jak u běžnéh kvu. [11] Kpzitní laináty užňují dlehčit knstrukci a díky tu zvýšit výkn vzidla. Výrbci autbilů jak např. McLaren, Ala Re, Ferrari, Bugatti, Paganni a nh dalších využívají ke stavbě svých vzů laináty z uhlíkvých vláken. Díky tu se snižuje čas akcelerace, zvyšuje rychlst a zlepšují se celkvé vlastnsti autbilu. [16] McLaren 570S á karserii vyrbenu kpletně z kpzitních ateriálů a dsahuje díky tu k nhe většíu pěru výknu a htnsti. MnCell takt nazývají šasi delu McLaren 570S, které je vyrben puze z lainátu s karbnvýi vlákny a váží puhých 75 kg. [16; 17] Obr. 8 Mncell šasi z uhlíkvých vláken McLarenu 570S [17] Speciální případe je i Bugatti Veyrn jehž karsérie je takzvaný ncque, cž je celistvá část karserie tvřená jední díle, který je vytvřený právě z uhlíkvých vláken. [18] Obr. 9 Mncque karsérii Bugatti Veyrn [18] 5
.3.3 Letecký průysl V letecké průyslu se sptřeba kpzitních ateriálů neustále navyšuje. Hlavně díky úspře htnsti a i jiné i díky krzní dlnsti. Úspra htnsti je pěrně značná, v některých případech ůže dsahvat až 0 %. Nevýhdu jsu vyské náklady. Z kpzitních ateriálů se na letadlech vyrábí trup, křídla, casní křídl a vrtule pr vrtulvá letadla. [3] Vzestup kpzitů v dpravních letadlech je d začátku 70. let velice význaný. Vývj kpzitních ateriálů se díky letectví a ksický prgraů psunuje stále dál - viz Obr. 10. Obr. 10 Vzestup využití kpzitů v dpravních letadlech Being [3] V pslední delu splečnsti Being jéne 787 přezdívaný Drealiner byl pr stavbu pužit 50 % kpzitních ateriálů pr knstrukci i interiér letadla. Letadl je díky tu lehčí a pdle výrbce á nhe lepší sptřebu a delší dlet, cž tevírá žnsti delších letvých časů a tras. [13; 14; 15] Obr. 11 Pěr pužití ateriálů v Beingu 787 [14] 6
3. Sěšvací pravidl Celá kapitla čísl 3. je čerpána ze zdrje [1]. U rttrpníh ateriálu ( Druh aniztrpie vyznačující se třei vzájeně klýi rvinai syetrie [3]) ptřebujee znát k výpčtu vztahu ezi derací a napětí čtyři elastické knstanty EL, ET, LT a. E L E T LT G LT G LT - dul pružnsti v pdélné sěru L - dul pružnsti v příčné sěru T - Pissnv čísl v rvině L, T - dul pružnsti ve syku v rvině L, T V případě, že je těles zatížen i terelasticky, je třeba znát i keicienty tepltní rztažnsti v jedntlivých sěrech L a T. Při výrbě jednsěrvéh kpzitu jsu znáy jedntlivé hdnty ateriálvých charakteristik, a t následující: M, M, M - htnst kpzitu, vlákna a atrice,, - hustta kpzitu, vlákna a atrice,, - bje kpzitu, vlákna a atrice Sučet htnstí slžek dává celkvu htnst, tedy sučet htnsti vláken a htnsti atrice Nebli za pužití hustty a bjeu Pdíl vláken: M M M. (3.1) v. (3.) V V bjevý pdíl vláken v kpzitu, bjevý pdíl atrice v kpzitu. Sučet bjevých pdílů dává dhrady celý bje a platí V V 1. (3.3) Hustta kpzitu je V V V (1 V ). (3.4) 7
3.1 Mdul pružnsti EL Uvažuje kpzit v suřadnicvé systéu O (L,T) na Obr. 1. Kpzit je slžen z atrice s jední vlákne a je zatížen v pdélné sěru L silu F. Předpklade je, že se atrice i vlákn prdluží ve sěru L stejně. l l l (3.5) Pt platí Pr další výpčty značíe: Obr. 1 Rzlžení kpzitu [1] L L L. (3.6) E, E - dul pružnsti atrice a vlákna A, A, A - plcha kpzitu, vlákna a atrice klé k pdélnéu sěru L Pcí délky l ůžee vyjádřit V v A l A analgicky pr atrici v Al A V A A. (3.7) Napětí v tahu pr vlákn a atrici Tahvá síla je dána vztahe Tahvé napětí v kpzitu E, L EL. (3.8) L L F A A. (3.9) L L L F V L V L ( V E V E ) L. (3.10) A Z rvnice (3.10) vyplývá, že dul pružnsti v tahu pr pdélný sěr L je 8
Za předpkladu, že Dstanee E L EL V E VE V E (1 V ) E. (3.11) E L, je žn výraz (3.11) výrazně zjedndušit. E V E L. (3.1) 3. Pissnv čísl µlt Příčná pěrná derace vlákna a atrice kde,, T L, (3.13) T L jsu Pissnva čísla vlákna a atrice. Zěna délky v příčné sěru (tlušťky) kpzitu kde h, h jsu tlušťky vlákna a atrice. h h h h h, (3.14) T T Pcí šířky kpzitu b jse schpni vyjádřit bjevý pdíl vláken a atric v h bl h V a také V v hbl h Pt pěrná derace kpzitu v příčné sěru T je h h. (3.15) T h V T V T ( V V ) L. (3.16) h Pissnv čísl je tedy T LT V V V (1 V ). (3.17) L 3.3 Mdul pružnsti ET V další případě uvažujee, že kpzit je zatěžván v příčné sěru T silu F. Z důvdu, že A A(průřez vlákna a atrice v příčné sěru je stejný), tak platí pr napětí, že Pěrné příčné prdlužení vlákna a atrice T T T. (3.18) T T, E T T. (3.19) E 9
Zěna tlušťky Pěrné příčné prdlužení h h h h h. (3.0) T T h V V T V T V T T h E E Příčný dul pružnsti E T kpzitu je deinván. (3.1) V případě, že je 1 EE T E E ET ET T VE V E E V E V E 1V 1 E. E E, pté (3.) E T E. (3.3) 1 V 3.4 Sykvý dlu pružnsti GLT Zatížení Na brázku čísl 13a) je vybrazen kpzit zatížený sykvý napětí LT LT djde k deraci kpzitníh ateriálu znázrněn na 13b). Základní předpklade pr další krky je, že sykvá napětí jsu stejná v atrici i ve vlákně.. LT LT LT (3.4) Obr. 13 Znázrnění derace způsbené napětí na kpzitu [1] Zksy (úhly natčení) atrice a vlákna jsu LT LT LT, LT, (3.5) G G 30
G a G jsu sykvé duly pružnsti vlákna a atrice. Psunutí kpzitu v hrní plše ve sěru L je u h, u h LT. kde LT u u u, (3.6) Z čehž vyplývá u h h h h Úhel natčení kpzitu je LT LT LT G G. (3.7) Pté LT u V V h G G LT. (3.8) Sykvý dul á tvar, 1 LT G LT LT 1 V V. (3.9) G G G LT neb G LT GG V G V G V G G V G, (3.30) G GLT G 1V 1 G V případě, že je G G, pté platí následující vztah. (3.31) G LT G. (3.3) 1 V Pkud nejsu sykvé duly stanveny eperientálně, je žné je přibližně vyšetřit na základě znalsti dulu pružnsti v tahu a Pissnva čísla jak u iztrpních ateriálů. Pužívá se zde G E 1, G E 1. (3.33) 31
4. Klasická lainátvá terie Jak je ppsán v [1], jednu z největších výhd kpzitů je jejich variabilita. Pžadvané vlastnsti v různých sěrech lze získat výběre nepřebernéh nžství atric a vláken. U jednsěrnéh kpzitu se vlastnsti dvíjejí d sěru zatížení. Vlastnsti jednsěrnéh kpzitu jsu výrazně lepší ve sěru vláken a pznání hrší ve sěru klé na vlákna. Jednsěrné kpzity se v prai pužívají velice zřídka, a prt se vytvářejí laináty. Laináty jsu tvřeny dvěa aneb více spjenýi vrstvai, které jsu upraveny pdle pžadvaných vlastnstí dané knstrukce. Příklad knstrukce syetrickéh lainátu [90 ±45 0] s (rvinu syetrie y) je Obr. 14 a nesyetrickéh lainátu [40-30 0 30]-viz Obr.15. Obr. 14 Syetrický lainát [1] Obr. 15 Nesyetrický lainát [1] 3
4.1 Základní rvnice lainátvé desky Pr následující výpčty budee uvažvat tenku desku. Předpkládáe, že: všechny lainy jsu rttrpní a kvazihgenní. tlušťka jedntlivých lain je vůči délce a šířce nhe enší jedntlivá psunutí ve všech třech sěrech jsu veli alá lainy jsu spjeny dknale, neknečně tence, a prt jsu jedntlivá psunutí spjitá psunutí p tlušťce (v příčné sěru) je lineární tlušťka lainátu je veli alá vůči statní rzěrů, tudíž je žn uvažvat tent stav napjatsti za rvinný z čehž platí 0 zz z yz příčná zksení 0, a prt zůstanu klice ke středvé plše klé i p deraci z yz a budu příkvé. lze zanedbat přetvření v příčné sěru, prtže nrálvá vzdálenst d středvé rviny zůstává knstantní zz 0 závislsti ezi deracei a jedntlivýi slžkai napětí budu lineární Obr. 16 Derace lainátu [1] Obr. 16 ppisuje část lainátu v rvině z. Hrana AD v nezdervané stavu je příá a klá ke střední plše. P prdělání derace setrvá strana AD příá a klá ke střední plše. Vlive derací se na střední rvně v bdě B ve sěrech s, y, z vytvářejí psuvy u, v, w. Pr psuv bdu C ve sěru sy platí u u z, (4.1) kde je skln střední rviny lainátu. 33
Platí w. (4.) Pr slžku psuvu ve sěru sy y lze psát analgicky kde v v z, (4.3) y w y y Derace p tlušťce zanedbáváe, a prt platí (4.4) w w. (4.5) Rvnice (4.1) až (4.5) lze zapsat jak ple psuvů ve tvaru Z derivací psuvů plyne ple derací w u u z u z w v v z y v z y w w (4.6) y u u w z yy v v w z y y y, (4.7), (4.8) u v u v w z y y y. (4.9) Rvnice (4.7) až (4.9) je žné zapsat d aticvéh tvaru k yy yy z ky, (4.10) y y k y 34
kde derace střední plchy, yy, y jsu a křivsti desky jsu u u v y v yy y y (4.11) w k w k ky y k y w y. (4.1) Napětí v libvlné (k-té) vrstvě pr i su lainu je ' Q ' (4.13) kde Q je atice isvé tuhsti. Pužití vztahů (4.10) a (4.13) bdržíe rvnici pr určení napětí v k-té vrstvě lainy Q11 Q1 Q16 Q11 Q1 Q16 k yy Q1 Q Q 6 yy z Q1 Q Q 6 k y y Q61 Q6 Q 66 y Q61 Q6 Q 66 k y. (4.14) V případě dvzvání závislsti ezi vnější zatížení lainátu a jeh derací je vhdné pracvat s ekvivalentní systée sil a entů. Zaveďe vztah pr výsledné síly a enty půsbící na příčný průřez k-té vrstvy tlušťky h k h k-1 na Obr. 17 Obr. 17 Znázrnění sil a entů [1] 35
Pr výslednice sil platí N hk dz, N hk 1 Analgicky pr enty platí y hk dz, N hk 1 yy y hk dz. (4.15) hk 1 y M hk z dz, hk 1 M y hk z dz, hk 1 yy M y hk z dz. (4.16) hk 1 y Jedntky výslednice sil N, N y, N y jsu [N -1 ], tj. síla připadající na jedntku pásu a M, M y, M y [N], tj. ent připadající na jedntku délky. Obr. 18 Nespjité napětí v lainátu [1] Vzhlede k aktu, že napětí p tlušťce lainátu se ění nespjitě (vyplývá z Obr. 18), je třeba výsledné síly a enty v průřezu lainátu vyšetřit jak sučet účinků d všech vrstev n. Pt pr síly je žné psát N n hk y yy k 1 hk 1 N y y (4.17) N N dz a pr enty M n hk y yy k 1 hk 1 M y y. (4.18) M M z dz 36
4. Matice tuhsti lainátvé desky V kapitle 4.1 jse si dvdili vztahy pr sestavení závislsti sil, entů, derací a křivstí. P sestavení atice tuhsti dsadíe d rvnic (4.17) a (4.18) rvnice (4.14) za pužití vztahů (4.11) a (4.1) pr deraci střední plchy a křivsti desky. Sjedncení následujících rvnic bdržíe tyt vztahy Obr. 19 Lainát skládající se z n vrstev [1] N h Q11 Q1 Q16 k h Q k 11 Q1 Q16 k n N y Q1 Q Q 6 yy dz Q1 Q Q 6 k y zdz, k1 hk1 hk1 N y Q61 Q6 Q 66 y Q61 Q6 Q 66 k y M Q Q Q Q Q Q k h 11 1 16 k h 11 1 16 n k M y Q1 Q Q 6 yy zdz Q1 Q Q 6 k y z dz k1 hk1 hk1 M y Q61 Q6 Q 66 y Q61 Q6 Q 66 ky. (4.19) Matice isvých tuhstí Q je v každé vrstvě knstantní, je žn výraz (4.19) upravit d tvaru N h k h k n n k N y Q k dz yy Q k z dz k y k 1 h k 1 k1 hk1 N y y k y, M h k h k n n k M y Q k z dz yy Q k z dz ky k1 h k 1 k1 hk1 M y y k y. (4.0) 37
Ze vztahu (4.0) vyplývá, že násbení integrálů s prvky atice tuhsti Q k jedntlivých vrstev a pr suaci p celé tlušťce lainátu vzniknu výrazy N A11 A1 A16 B11 B1 B16 k N y A1 A A 6 yy B1 B B 6 k y, N y A61 A6 A 66 y B61 B6 B 66 k y M B11 B1 B16 D11 D1 D15 k M y B1 B B 6 yy D1 D1 D 6 k y, M y B61 B6 B 66 y D61 D6 D 66 k y (4.1) kde se prvky jedntlivých atic určí pcí výrazů n 1 A Q h h, ij ij k k k k 1 n B 1 Q h h 1, ij ij k k k k 1 n D 1 3 3 Q h h 1. ij ij 3 k k k k 1 (4.a) (4.b) (4.c) Výrazy (4.1) lze zapsat ve tvaru neb N A A A B B B 11 1 16 11 1 16 N y A1 A A6 B1 B B 6 yy N y A61 A6 A66 B61 B6 B66 y M B11 B1 B16 D11 D1 D16 k M B B B D D D k y 1 6 1 6 y M y B 61 B6 B66 D61 D6 D66 ky, (4.3) N A B, (4.4) M B D k 38
kde A je atice tahvé tuhsti, B je atice vazební tuhsti, D je atice hybvé tuhsti. Rvnice (4.4) vyjadřuje síly a enty v závislsti na deracích ve střední rvině a na křivsti. Matice, která tvří vazbu ezi těit veličinai, se nazývá glbální atice tuhsti. Matice A spjuje slžky sil s deracei ve střední rvině. Matice D váže slžky entů s křivsti plchy. Matice vazební tuhsti B vytváří závislst ezi enty a slžkai derace ve střední rvině a zárveň slžky vektrů vnitřních sil se slžkai křivsti plchy. Z th vyplývá, že sykvé a nrálvé slžky sil půsbící ve střední rvině vyvlávají nejen přetvření ve střední rvině, ale i zkrucení střední plchy a hyb. Slžky hybu následně způsbí zkrucení ve střední rvině lainátu. Jelikž atice A a D ají všechny prvky nenulvé, eistuje také vazba ezi nrálvýi silai N, N y a sykvu derací hybvýi enty M, M y a zkrucení k y. y a sučasně ezi 39
4.3 Rzdělení způsbů vrstvení lainátů V předchzí části byl něklikrát zíněn, že vhdný způsbe navrstvení jedntlivých vrstev lainátu lze dcílit pžadvaných vlastnstí kpzitu. Důležité je též dsáhnut th, aby některé prvky v atici tuhsti (4.3) byly nulvé. Zvláště se jedná ty, které způsbují ddatečná naáhání ateriálu, která se nevyskytují u iztrpníh ateriálu. Tu se dá pci skládání jedntlivých vrstev pd různýi úhly se stejnýi echanickýi vlastnsti a v pžadvané přadí zabránit. 4.3.1 Syetrické laináty Při naáhání lainátu je pr zjedndušení vhdné dstranit vazbu ezi tahe a krute a tahe a hybe. Dcílí se th tak, že atice vazbvé tuhsti B bude ít všechny prvky rvné nule. T znaená, že platí n B 1 Q h h 1 0. (4.5) ij ij k k k k 1 Libvlný prvek atice vazbvé tuhsti B bude rven právě tehdy, když ke každéu příspěvku lainy nad střední vrstvu bude eistvat příspěvek d lainy stejných vlastnstí a rientace ve stejné vzdálensti pd střední plchu - viz Obr. 0. Pt usí platit Q Q ij ij h h h h k 1 k 1 k Obr. 0 Syetrický lainát [1],,., (4.6) V případě, že každé vrstvě nad střední rvinu dpvídá identická vrstva pd střední rvinu, ůžee luvit syetrické lainátu. Glbální atice tuhsti á pt tvar následující A11 A1 A16 A1 A A6 A61 A6 A66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. (4.7) D11 D1 D16 D1 D D 6 D61 D6 D66 40
5. Ohyb kpzitních nsníků Dle [] budee pstupvat při výpčtu hybu syetrickéh a asyetrickéh lainátu. Aniztrpii kpzitních ateriálů usíe transrvat na iztrpii pr žnst výpčtu reakcí ateriálu na vnější zatížení. Napětí v nsníku je ppsán vztahe Mz, (5.1) J kde je napětí, je ent půsbící na nsník, je vzdálenst d neutrálné sy, je kvadratický ent průřezu nsníku. M z J Obr. 1 Nsník zatížený ente [] Obr. Průhyb nsníku [] 41
Průhyb kpzitníh nsníku je dán vztahe kde E je Yungův dul pružnsti a dw d je deinvána jak křivst EJ dw d M, (5.) k dw. (5.3) d Obr. 3 Nsník znázrňující neutrálnu su a střední plchu [] Spjení vztahů (5.) a (5.3) vznikne Vztah (5.4) platí pr iztrpní ateriál. EJk M. (5.4) 5.1 Ohyb syetrickéh lainátu Budee předpkládat, že se jedná syetrický lainát, který á bdélníkvý průřez. Prtže lainát je syetrický, síly a enty nejsu svázány přes atici vazbvé tuhsti B (viz. kapitla 4.3.1) a vztahu (4.7). Díky tu ůžee psát, že pr enty platí neb v inverzní tvaru pr výpčet křivsti M k M y D k y, (5.5) M k y y k M k 1 y D M y. (5.6) k M y y 4
Pkud hybvý ent půsbí puze v se, platí M y 0, M 0 y pr jedntlivé křivsti platí k M k 1 y D 0, (5.7) k y 0 kde * D ij k k k y y D M, (5.8a) * 11 * 1 D M, (5.8b) * 16 D M, (5.8c) jsu prvky inverzní atice D, jejíž prvky jsu ppsány v rvnici (4.c). Křivst je deinvána vztahe (4.1), prvky vektru křivsti k k k y y w w y,, w. y (5.9) Průhyb v se z w není nezávislý na se y, ale pkud áe úzký nsník, kde se pěr šířky ku délce blíží nule, ůžee říci, že průhyb w se dehrává puze v se, tedy platí, že w w. V t případě ůžee psát k w D M * 11. (5.10) Úpravu vztahu (5.) získáe zápis bdbný pr iztrpní nsník kde w b je šířka nsníku, E Yungův dul pružnsti v se, J kvadratický ent průřezu k sá -y. z M b, (5.11) E J z 43
Z rvnic (5.8a) a (5.11) plyne E 1, (5.1) hd 3 * 11 a pr kvadratický ent průřezu a ent 3 bh J z 1, (5.13) Zjištění derací plyne ze vztahu (4.10) M M b. (5.14) Hlavní derace lze transrvat na lkální derace v každé vrstvě Kde atice R je 1 1 RT R y 1 k y k. (5.16) a atice T je 1 0 0 R 0 1 0, (5.17) 0 0 cs sin sin cs T sin cs sin cs. (5.18) sin cs sin cs cs sin Za předpkladu, že Ei 0, Gij 0, i, j=1,,3, platí pr napětí v dané ístě a vrstvě 1 1 Q 1 k 1 k Hlavní napětí v každé desce je následně ppsán vztahe 1 1 y T k. (5.19). (5.0) y 1 k 44
5. Ohyb asyetrickéh nsníku V případě asyetrických nsníků, nejsu síly a enty půsbící na lainát dděleny. Vztah je ppsán rvnicí (4.3). Tedy v syblické zápisu inverzní zápis N A B, (5.6) M B D k 1 A B N. (5.6) k B D M Zavedee atici J 66, která je inverzní glbální atici tuhsti, a tedy A B B D 1 J, (5.1) rzepsání inverzníh zápisu (4.3) je J J J J J J N 11 1 13 14 15 16 yy J 1 J J 3 J 4 J N 5 J 6 y N y J31 J3 J33 J34 J35 J 36 y. (5.) k M J 41 J 4 J 43 J 44 J 45 J 46 k J J J J J J M y 51 5 53 54 55 56 y k M y J 61 J6 J63 J64 J65 J66 y Pkud se jedná hyb puze v se, pté M je jediný nenulvý člen v atici zatížení, z čehž vyplývá k k k yy y y y J M 44 54 64 14 J M 4 J M 34 J M J M y J M y (5.3a) (5.3b) (5.3c) (5.3d) (5.3e) (5.3) 45
Rzlžení derace je ppsán rvnicí (4.10) a jedntlivé prvky jsu zk, (5.4a) zk, (5.4b) yy yy y zk. (5.4c) y y y Prtže je nsník asyetrický, neutrálná sa se neshduje se střední rvinu. Uístění neutrálné sy z n se nachází v ístě kde 0 a p dsazení vztahu (5.3a) a (5.3d). Z rvnice (5.4a) tudíž vyplývá 0 zk (5.5) n 0 J14M znj44m, (5.6) p úpravě dstanee kýženu plhu neutrálné sy z n z n J J 14 44. (5.7) Ze vztahu (4.1) vyplývá, že průhyb w je závislý na y. V případě, že uvažujee úzký nsník, tak pěr šířky a délky se blíží k nule, pt ůžee uvažvat, že platí w w ( ). Můžee psát a dále platí k dw J44M, (5.8) d w kde b je šířka, E je Yungův dul pružnsti v se, J je kvadratický ent průřezu rviny -y. z rvnic (5.6) a (5.7) dstanee vztah M b, (5.9) E J Dále víe, že E 1. (5.30) 3 hj44 3 bh J (5.6) 1 M M b. (5.6) 46
Pr zjištění derací pužijee vztah (4.10), zk zk yy yy y zk y y y (5.31a) (5. 31b) (5. 31c) Hlavní derace hu být převedeny d lkálních derací pcí transračních atic (5.17) a (5.18) pr každu vrstvu 1 1 RT R y Napětí v dané ístě lze nalézt pcí vztahu 1 k y k 1 1 Q. 1 k 1 k. (5.3) (5.33) Hlavní napětí vypčítáe ze vztahu (5.3) a pužití inverzníh vztahu (5.18) 1 1 y T. (5.34) y 1 k k 47
6. Prvnání průhybu syetrickéh a asyetrickéh nsníku Tat kapitla je věnvána satnéu prbléu celé práce. Jsu zde prvnány dva laináty syetrické a dva nesyetrické. Hlavní cíle je vytvřit závislst ezi bjevý pdíle a průhybe nsníku při stálé zatížení. 6.1 Zadání příkladu Je dán nsník délce 0,1 a šířce 5. Lainát je slžen z si vrstev tlušťce 0,15. Nsník je zatížen knstantní spjitý zatížení q = 00 N/. Materiále atrice je epidvá pryskyřice s husttu 100 kg 3, dule pružnsti v tahu E 4500MPa, dule pružnsti ve syku G 1600MPa a Pissnvý čísle 0,4 (EP k4 je přesné značení typu atrice). 1) Jedná se syetrický lainát se slžení vrstev [0 90-30 30] s a. Skleněná vlákna (sklvina typu E) s husttu Obr. 4 Syetrický kpzit 3 600 kg, pdélný dule pružnsti v tahu E 74 000MPa, příčný dule pružnsti v tahu E T L 74 000 MPa, dule pružnsti ve syku G 30 000MPa a Pissnvý čísle 0,5. b. Uhlíkvá vlákna typu T600 (vyskpevnstní vlákna vyráběna iru Thy) s husttu kg 3 1750, pdélný dule pružnsti v tahu L 30 000 E MPa, příčný dule pružnsti v tahu E 15 000 MPa, dule pružnsti ve syku G 50 000MPa a Pissnvý čísle 0,3. T 48
) Jedná se asyetrický lainát se slžení vrstev [0 90-30 30 0 90-30 30] a. Skleněná vlákna (sklvina typu E) s husttu Obr. 5 Asyetrický kpzit 3 600 kg, pdélný dule pružnsti v tahu E 74 000MPa, příčný dule pružnsti v tahu E T L 74 000 MPa, dule pružnsti ve syku G 30 000MPa a Pissnvý čísle 0,5. b. Uhlíkvá vlákna typu T600 (vyskpevnstní vlákna vyráběna iru Thy) s husttu kg 3 1750, pdélný dule pružnsti v tahu L 30 000 E MPa, příčný dule pružnsti v tahu E 15 000 MPa, dule pružnsti ve syku G 50 000MPa a Pissnvý čísle 0,3. T 49
6. Řešení příkladu pcí klasické pružnsti a pevnsti Dán: q, b, h, l, J z,e Určit áe aiální průhyb v. Reakce d pdpr Ra, Rb a Ra. Obr. 6 Schéa příkladu [6] Rvnvážné rvnice pr daný nsník: Obr. 7 Reakce d psuvné a pevné vazby [6] n : F 0 i1 y: F 0 M B j1 p i j : M 0 k 1 k (6.1) Z brázku je patrné, že síla Ra je rvna 0. Obr. 8 Míst řezu [6] Pr sílu Q platí Q( ) q, (6.) 50
a rvnvážné rvnice y : Ra Rb Q 0, l M B : Ra l Q( ) 0. P úpravě rvnic (6.3a) a (6.3b) dspějee k (6.3a) (6.3b) Mentvá rvnice v ístě řezu je ql Ra Rb. (6.4) ql q M ( ). (6.5) Ze syetrie víe, že průhyb v a je v v(l/). Výpčet prvedee pcí Mhrva integrálu. Uístíe jedntkvu sílu v ístě určení průhybu. Obr. 9 Uístění jedntkvé síly [6] Jedntkvá síla vyvlává jedntkvé reakce v pdprách. Musíe tedy vytvřit rvnvážné rvnice pr daný nsník, kde igurují reakce a jedntkvá síla y : ra rb "1" 0, M B l : ra l "1" 0. (6.6a) (6.6b) 51
Z rvnvážných rvnic vyplývá, že "1" ra rb. (6.7) Jedntkvý ent d jedntkvé síly v dané ístě pr první interval l 0; je dán a pr interval l ; l 1 "1" ( ), (6.8) "1" l "1" ( ) "1" ( ) ( l ). (6.9) Odvzení Mhrva integrálu je převzat z [4]. Mhrův integrál plyne z Castiglianvy věty v j U F celkvá j. (6.10) Kde U celkvá je celkvá derační energie. Pr výpčet průhybu je nutn využít vztah pr derační energii při hybu, která je dána vztahe 1 U M d Dsazení vztahu (6.9) d vztahu (6.8) dstáváe vztah celkvá ( ) EJ (6.11) z () l kde v j M ( ) M ( ) d, (6.1) EJ ( ) F () l z j M ( ) F j ( j) ( ). (6.13) Tedy ( j ) ( ) je deinván jak jedntkvý ent d psuvající se síly F j a pkud je EJ z =knst., tak platí M ( ) v d j ( j), (6.14) EJ ( ) () l z 1 v M ( ) d. (6.15) ( j) j EJ z () l Pužití vztahu (6.15) a dsazení rvnic (6.5), (6.8) a (6.9) získáe integrál ve tvaru 5
l/ l 1 1 v M ( ) ( ) d M ( ) ( ) d EJ z 0 l /, (6.16) l/ l 1 ql q "1" ql q "1" v d ( l ) d. EJ z 0 l / (6.17) P integraci 3 4 l / l 3 4 1 ql 1 v q ql ql q. EJ z 4 3 16 4 3 4 0 l / Následně p dsazení ezí a algebraických úpravách dspějee ke vztahu (6.18) J z pr daný průřez je dán vztahe (5.13). 5 ql v 384 E J 4 z. (6.19) 53
6.3 Řešení Yungva dulu pružnsti pcí klasické lainátvé terie V následující kapitle byl pužit prgra LaiE [5], ve které byl věřen daný příklad, a byly spčítány ptřebné keicienty. Pr nalezení dulu pružnsti E usíe nejprve zjistit jedntlivé duly pružnsti v jedntlivých sěrech. Pr ilustraci číselně vypčítáe vrstvu čísl 4 syetrickéh nsníku s vlákny T600 při bjevé pdílu vláken V = 49 %. Pr vlákna T600 platí: 1750 kg E E G L T 3 30 000MPa 15 000 MPa 50 000MPa 0,3 Pr epidvu atrici: 100 kg E G 3 4500MPa 1600MPa 0,4 Výpčet pdélnéh dulu pružnsti spčtee pcí vztahu (3.11) E V E (1 V ) E. L P dsazení získáe EL 0,49 30 000 (1 0,49) 4 500 114 995 MPa. Pr výpčet příčnéh dulu pružnsti E T pužijee vztah (3.17) E T E E 1V 1 E. 54
Dsadíe jedntlivé veličiny d (3.17) ET 4 500 6 849 4 500 10, 491 15 000 Dále vypčtee Pissnv čísl LT ze vztahu (3.17) MPa. P dsazení Sykvý dul pružnsti G LT V (1 V ). LT 0,49 0,3 (1 0,49) 0,4 0,351. LT získáe ze vztahu (3.3) P dsazení G LT G G 1V 1 G. GLT 1 600 3 043,7 MPa. 1 600 1 0, 491 50 000 Následně pr výpčet ptřebujee spčítat jedntlivé členy atice tuhsti C. Jedntlivé členy atice tuhsti jsu detailně ppsány v [1] C 11 EL ET 1 E L LT, (6.0a) C E C, (6.0b) T 11 EL C C, (6.0c) 1 LT C G. (6.0d) 66 LT 55
Následně dsadíe d vztahů (6.0a) až (6.0d) a sestavíe atici C, která je syetrická C C C C C C C C C C 11 1 16 1 6 61 6 66, (6.1) 115 845 41,9 0 C 41,9 6899,9 0. 0 0 3043, 7 Matici isvé tuhsti Q transrujee pr daný úhel natčení, a t transrační atice T a její inverze T -1 kde ccs a s sin. 30 pcí c s s c s c s c c s T s c s c (6.) c s s c s c s c c s 1 T s c s c (6.3) Q (6.4) 1 T C T Výsledná atice Q, která je stejně jak atice C syetrická, je 68785 46 3503, 6 Q 46 1431,5 114. 3503, 6 114 867, 4 56
Výpčet Matice D vyplývá ze vztahu (4.c) n D 1 3 3 Q h h 1. ij ij 3 k k k k 1 Pr výšku h jedntlivých vrstev pstupujee dle Obr.19 (z kapitly 4.). Zde si usíe zavést atici d, pr kteru platí D d l 1. (6.5) Pr čtvrtu vrstvu natčenu pd úhle 30 platí atice d 4 d 4 44,8 14,5,8 14,5 9,3 7,9.,8 7,9 14,9 Pr sestrjení atice D je zaptřebí prvést celý výpčet pr každu vrstvu. Vytvřit dílčí atice d a pstupvat dle vztahu (6.5). Matice D pr zadaný lainát vypadá následvně 6 468,3 408,3 73, 7 D 408,3 3 347,5 94,9. 73, 7 94,9 460,14 V případě, že sestavíe atici D, vytvříe inverzní atici D 1,595 10 1, 687 10 9,14110 D ' 1,687 10 3,03 10 5,8 10 9,14110 5,8 10,3810 4 5 5 5 4 5 5 5 3. 57
Výpčte D získáe žnst spčítat dul pružnsti ve sěru hybu, a t je E z rvnice (5.1). Pr daný lainát T600 a V = 49 % je E 1 1 75 19,5 MPa. hd 1 1,59510 3 * 3 4 11 Dsazení d vztahu (6.19) získáe průhyb pr dané ateriálvé slžení 4 4 5 ql 5 0, 100 v 8,309. 3 384 E Jz 384 51 75 19,5 1 Obdbně spčtee E pr asyetrický nsník stejných paraetrech pr čtvrtu vrstvu, kde atice tuhsti C a atice isé tuhsti Q jsu pr asyetrický nsník shdné se syetrický. Spčtee glbální atici tuhsti A B B, D která pr knkrétní asyetricky slžený kpzit á číselný tvar následující 4 4 3 3 3 6,5110 1,3 10 0 1,4 10 1,4 10 1,09 10 4 4 3 3 1,3 10 3,78 10 0 1,4 10 1,4 10 3,79 10 4 3 3 0 0 1,30 10 1,09 10 3,79 10 1,4 10 3 3 3 3 3 1,4 10 1,4 10 1,09 10 5,85 10 1,03 10,74 10 3 3 3 3 1 1,4 10 1,4 10 3,79 10 1,03 10,7310 9,49 10 3 3 1 3 1,09 10 3,79 10 1,4 10,74 10 9,49 10 1,08 10 a inverzní glbální atici tuhsti tedy J pdle kapitly 5., (5.) 58
1,7 10 6,1 10 1,4 10 7,810 1,31 10 1,78 10 6,1 10,9510 7,1810 1,11 10, 0410 3,96 10 1,4 10 7,1810 8,77 10 1,07 10 5,0 10 9,9 10 J 1,9 10 7,84 10 3,36 10 1,31 10,04 10 5,0 10 7,84 10 4,1 10 4,43 10 1,78 10 3,96 10 9,9 10 3,36 10 4,43 10 1,07 10. Pdle vztahu (5.30), kde J 44 je prvke atice J, vypčítáe E 5 6 6 6 5 5 6 5 7 5 5 6 6 7 5 5 6 5 6 5 5 4 5 5 7,810 1,11 10 1,07 10 5 5 6 5 4 6 5 6 5 5 6 3 a průhyb E 1 1 6 391, 4 hj 1 1,93 10 3 3 4 44 MPa, 4 4 5 ql 5 0, 100 v 10,0. 3 384 E Jz 384 51 6 391,4 1 59
Průhyb nsníku v se () 6.4 Prvnání průhybů V tét kapitle je shrnut rzdíl ezi syetrický a asyetrický rzlžení vrstev. K výpčtu byl využit prgra LaiE [5] a prgrau Micrst Ecel, ve které jse zpracval graické zbrazení. 6.4.1 Prvnání syetrickéh a asyetrickéh lainátu Prvnání lainátů se stejný ateriálvý slžení, tedy uhlíkvý vlákne typu T600 d iry Thy a atricí z epidvé pryskyřice EP k4. 160 Prvnání syetrickéh a asyetrickéh lainátu se shdný slžení 140 10 100 80 60 40 Syetrický T600/EP k4 Asyetrický T600/EP k4 0 0 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 Objevý pdíl vláken v kpzitu (%) Gra A Prvnání syetrickéh a asyetrickéh lainátu se shdný slžení T600/EP k4 Na první phled je patrné, že asyetrický lainát je výrazně pddajnější. V rzezí aléh pdílu vláken d 3 % d 0 % je rzdíl nejvíce patrný. V blasti 50 % až 80 % se V unkce začínají zttžňvat. Pddajnst syetrickéh kpzitu je výrazně nižší hlavně při alé bjevé pdílu vláken V. Rzdíl průhybů při stejné bjevé pdílu vláken V je aiální právě při 3 % a t v = 7,66. Od 50 % d 80 % bjevéh pdílu se rzdíl průhybů phybuje v rzezí až 1. Maiální průhyb nsníků je 139, který je pr ba nsníky ttžný. Miniální průhyb nsníků je při aiální bjevé pdílu vláken V. 60