MÍRY STATISTICKÉ VAZBY, VÝBĚROVÁ ŠETŘENÍ, STATISTICKÁ ANALÝZA DOTAZNÍKOVÝCH DAT Obsah 1 Statistická data 1 1.1 Úvod.......................................... 1 1. Data........................................... 1 Míry statistické vazby podle typu dat.1 Základní míry statistické vazby pro kardinální data................... Spearmanův korelační koeficient........................... 3.3 Kontingenční tabulka pro nominální data........................ 4.4 Míry statistické vazby pro nominální data a testování nezávislosti v kontingenční tabulce 5.5 Míry statistické vazby pro ordinální data........................ 7 3 Statistická analýza dotazníkových dat 8 Literatura 10 Příklady k procvičení 11 1 Statistická data 1.1 Úvod V tomto odstavci nejdříve připomeneme základní typy statistických dat a následně se budeme věnovat mírám statistické vazby podle typu statistických dat. Důraz bude kladen na kladen na popis statistické vazby mezi dvěma ordinálními a nominálními proměnnými, s nimiž se často setkáváme při vyhodnocování dotazníkových šetření. 1. Data Statistická data vznikají opakovaným pozorováním nebo opakovaným měřením nějaké modelové náhodné veličiny X, v popisné statistice se někdy nazývá znakem a značí se x. Pozorování nebo Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/..00/8.036 PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.
měření náhodné veličiny (znaku) X zjištěné na n objektech studovaného statistického souboru pak značíme x 1,..., x n. Podle stupně kvantifikace studovaného znaku x lze znaky rozdělit do tří základních skupin: 1. Znaky nominální připouštějí mezi hodnotami x 1, x, x n pouze relaci rovnosti. Jsou to znaky, jejichž hodnoty mohou být sice číselně označeny, ale tyto číselné hodnoty pouze kódují nebo charakterizují nějaké kategorie (např. označují povolání, tramvajovou linku, barvu, typ rizikového jevu, politickou stranu a pod.) S takovými znaky velmi často pracujeme při zpracování dotazníkových anket.. Znaky ordinální připouštějí kromě relace rovnosti také obsahovou interpretaci relace uspořádání x 1 < x (nebo x 1 > x ). Uspořádání vyjadřuje větší nebo menší intenzitu popisované vlastnosti. Typickým příkladem takových znaků jsou hodnoty sledované veličiny na nějaké uspořádané škále hodnot např. známky ve škole, bodování potravin při jejich senzorických zkouškách, stupeň nebezpečí - rizika apod. Tyto znaky jsou rovněž časté při vyhodnocování dotazníkových průzkumů, obvyklá bývá třístupňová, pětístupňová nebo sedmistupňová škála možných hodnot znaku. 3. Znaky kardinální znaky neboli číselné znaky připouštějí obsahovou interpretaci nejen relací rovnosti a uspořádání ale také operací součtu x 1 + x a rozdílu x 1 x. To znamená, že v případě kdy x 1 x = x x 3 > 0, je interval (x, x 1 ) stejně dlouhý jako interval (x 3, x ) a tato stejná délka obou intervalů představuje u obou dvojic x 1, x a x, x 3 také stejný rozdíl v extenzitě zkoumané vlastnosti. Má-li u kardinálního znaku smysluplnou obsahovou interpretaci také operace podílu, tj. x 1 /x, pak se kardinální znak nazývá poměrový. V případě, kdy operace podílu nemá smysluplnou obsahovou interpretaci, nazývá se tento kardinální znak intervalový. Příkladem intervalového znaku může být např. teplota měřená ve stupních Celsia, kde nula na dané stupnici vznikla pouhou konvencí. Příkladem poměrového znaku je např. hmotnost, výška, hodinová mzda, životnost zařízení, doba bezporuchové činnosti apod. Míry statistické vazby podle typu dat Při studiu statistické vazby mezi proměnnými je velmi důležitý typ dat s nimiž pracujeme. Proto dále uvedeme vybrané míry statistické vazby pro typy dat, které byly analyzovány v předchozích kapitolách..1 Základní míry statistické vazby pro kardinální data Předpokládejme, že (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) je náhodný výběr z dvourozměrného rozdělení pravděpodobnosti. Jde tedy o n nezávislých pozorování náhodného vektoru (X, Y ) za homogenních podmínek. Pak často užívano mírou statistické vazby mezi X a Y je dříve definovaný výběrový korelační koeficient n r xy = (X i X)(Y i Y ) n (X i X), n (Y i Y ) kde X a Y jsou výběrové průměry marginálních výběrů. Tento korelační koeficient je také nazýván Pearsonův korelační koeficient.
Připomeňme jenom, že Pearsonův korelační koeficient r xy nabývá hodnot od -1 do 1. Nezávislost veličin X a Y implikuje r xy blízké nule a lineární vazba mezi X a Y implikuje r xy rovné 1 nebo -1, podle toho, zda jde o přímou nebo nepřímou vazbu. Deterministická vazba (nelineární) mezi X a Y nemusí mít za následek, že r xy je blízké 1 nebo -1. Je dobře známé,že za předpokladu, že náhodný výběr (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) je z dvourozměrného normálního rozdělení, lze pomocí koeficientu R testovat nezávislost veličin X a Y. Testovací statistika je R T = n 1 R a má za předpokladu nezávislosti veličin X a Y Studentovo t rozdělení o n stupních volnosti. Tedy hypotézu nezávislosti veličin X a Y zamítáme na hladině významnosti α, když T t 1 α (n ), kde t 1 α (n ) je 1 α kvantil Studentova t rozdělení o n stupních volnosti.. Spearmanův korelační koeficient V případě, že daný náhodný výběr pochází pochází ze spojitého rozdělení (kardinální data), které nutně nemusí být z dvourozměrného normálního rozdělení nebo v případě, že zpracováváme ordinální data, kde se nevyskytují shodná pozorování, lze pro popis statistické vazby použít Spermanův korelační koeficient. Pro daný náhodný náhodný výběr (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) stanovíme vektory pořadí: R 1,..., R n pro marginální výběr X 1,..., X n a Q 1,..., Q n pro marginální výběr Y 1,..., Y n. Spearmanův korelační koeficient R S se potom definuje jako Pearsonův korelační koeficient počítaný z dvojic (R 1, Q 1 ),..., (R n, Q n ). Dále lze ukázat, že výpočet Spearmanova korelačního koeficientu R S lze provést podle jednoduchého vzorce vzorce R S = 1 6 n(n 1) n (R i Q i ). Kritické hodnoty pro testování hypotézy nezávislosti X a Y lze nalézt v monografii Anděl: Statistické metody, tabulka T. Při hodnotách R S, které překročí kritickou hodnotu z tabulky T, se nezávislost X a Y zamítá. Pří dostatečném rozsahu výběru, obvykle stačí když n > 30, lze využít asymptotickou normalitu koeficientu R S a hypotézu nezávislosti zamítnout pro R S u 1 α, n 1 kde u 1 α je α kvantil standardizovaného normálního rozdělení N(0, 1). Později uvedeme korekci Spearmanova korelačního koeficientu pro případ, že mezi pozorováními je mnoho shodných (tedy v marginálních výběrech se vyskytují stejně velká - shodná pozorování). Takové korekce lze využít i při použití Spearmanova koralačního koeficientu na ordinální nebo i nominální data. 3
X\Y 1... j... s 1 p 11... p 1j... p 1,s p 1+....... i p i1... p ij... np i,s p i+....... r p r1... np rj... p rs p r+ p+1... p +j... p +s 1 Tabulka 1: Pravděpodobnostní funkce.3 Kontingenční tabulka pro nominální data Budeme předpokládat, že X a Y jsou nominální veličiny, obor hodnot X obsahuje r hodnot (kategorií, které budou kódovány čísly 1,,..., r) a podobně obor hodnot Y obsahuje s hodnot (kategorií, které budou kódovány čísly 1,,..., s,). Pomocí pravděpodobnosti P zavedeme sdruženou pravděpodobnostní funkci náhodných veličin X a Y vztahem p ij = P (X = i Y = j) a odpovídající marginální pravděpodobnostní funkci veličiny X vztahem p i+ = P (X = i) = s j=1 p ij a pravděpodobnostní funkci veličiny Y vztahem p +j = P (Y = j) = r p ij, přičemž i = 1,..., r a j = 1,..., s. Hodnoty pravděpodobnostní funkce lze uspořádat do tabulky Tabulky 1. Podobně když je dán náhodný výběr (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) z tohoto diskrétního dvourozměrného rozdělení, lze jej zapsat pomocí četností podobně do Tabulky. Tato tabulka se nazývá kontingenční tabulka. Dříve, než ji formálně popišeme, zavedeme četnost n ij jako počet dvojic ve výběru, kdy X = i a zároveň Y = j. Dále označíme n i+ = s j=1 n ij a n +j = r n ij. Pak kontingenční tabulka pro náhodný výběr (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) je uvedena v Tabulce. V případě, že nominální znaky X a Y jsou nezávislé, platí, že p ij = p i+ p +j. Podobně četnosti očekávané v kontingenční tabulce při nezávislosti proměnných X a Y jsou tvaru o ij = n n i+ n +j = n i+n +j a nazveme je očekávané četnosti. Jsou-li znaky X a Y nezávislé, lze očekávat, n n n že empirické četnosti n ij budou odpovídat očekávaným četnostem o ij. 4
X\Y 1... j... s 1 n 11... n 1j... n 1,s n 1+....... i n i1... n ij... n i,s n i+....... r n r1... n rj... n rs n r+ n+1... n +j... n +s n Tabulka : Kontingenční tabulka.4 Míry statistické vazby pro nominální data a testování nezávislosti v kontingenční tabulce Pro popis statistické vazby mezi nominálními proměnnými lze užít celou řadu statistik, které lze počítat z dat uspořádaných do kontingenční tabulky. Proto se také statistická závislost u nominálních proměnných často označuje jako kontingence. Uvedeme přehled měr kontingence spolu s jejich dalšími možnými aplikacemi. Statistika χ Pak k testování nezávislosti náhodných veličin Xa Y lze použít statistiku χ = Σ r Σ s (n ij o ij ) j=1, (1) o ij která má asymptoticky rozdělení χ o (r 1)(s 1) stupních volnosti. Hypotézu nezávislosti proměnných X a Y pak zamítáme na hladině významnosti α, když χ χ 1 α((r 1)(s 1)), kde χ 1 α((r 1)(s 1)) je 1 α kvantil Pearsonova χ rozdělení o (r 1)(s 1) stupních volnosti. Test lze použít, když všechny očekávané četnosti jsou dosti velké, obvykle se předpokládá, že o ij 5. Statistiku χ lze použít i pro testování shody několika diskrétních rozdělení (výběrů z kategoriálních proměnných). Je-li dáno r nezávislých náhodných výběrů, i tý rozsahu n i+ a každý výběr je z diskrétního rozdělení pravděpodobností, které má obor hodnot množinu {1,,..., s}, pak je možné tyto výběry přehledně zapsat do kontingenční tabulky Tab., kde marginální četnosti n 1+..., n r+ jsou pevně dané rozsahy výběrů. Test homogenity řádkových četností (tedy test hypotézy, že vektory četností uvedené v řádcích kontingenční tabulky mají stejné rozdělení), pak lze provést pomocí statistiky χ danou vzorcem (1) stejným způsobem, jako se prováděl test nezávislosti. Od statistiky χ je odvozena řada koeficientů, které popisují intenzitu statistické vazby mezi veličinami X a Y. Patří mezi ně Pearsonův kontingenční koeficient C P, koeficient φ, Cramerovo V a Čuprovův kontingenční koeficient.bude o nich pojednáno dále. Nejprve ale uvedeme věrohodnostní poměr G, který je asymptoticky ekvivalentní se statistikou χ. 5
Věrohodnostní poměr G K testování nezávislosti náhodných veličin X a Y lze využít také statistiky G = R S j=1 n ij ln n ij o ij, která se nazývá věrohodnostní poměr. Uvedená statistika má asymptoticky chí-kvadrát rozdělení s (r 1)(s 1) stupni volnosti. Při testování se tedy postupuje stejně jako v předchozím případě. Pearsonův kontingenční koeficient C P Tento koeficient lze stanovit podle vzorce χ P C P = χ P + n. a vyjadřuje intenzitu vzájemné závislosti dvou proměnných X a Y. Nabývá hodnot z intervalu 0; (q 1)/q, kde q = min {r, s}. Hodnoty 0 nabývá v případe nezávislosti. Čím větší hodnotu získáváme při stejném n, r a s, tím je závislost silnější. Koeficient φ Koeficient φ je také odvozen od statistiky χ. Je dán jednoduchým vzorcem Cramerovo V ϕ = χ P n. Koeficient Cramérovo V je dán vzorcem χ P V = n(q 1), kde q = min {R, S}. Ve jmenovateli je tedy maximální hodnota, které může dosáhnout Pearsonova statistika chí-kvadrát. To znamená, že tento koeficient nabývá hodnot z intervalu od 0 do 1. Pro tabulku, kdy alespoň jedna proměnná je dichotomická (počet odpovídajících řádků nebo sloupců je, dostáváme koeficient ϕ. 6
Čuprovův kontingenční koeficient C T Čuprovův kontingenční koeficient je dán vzorcem χ P C T = /n. (r 1)(s 1) V případě čtvercové tabulky, která má stejný počet řádků a sloupců, platí, že q 1 = (r 1)(s 1) a tedy hodnoty Cramérova V a Čuprovova kontingenčního koeficientu jsou shodné..5 Míry statistické vazby pro ordinální data Jak bylo řečeno, u nominálních proměnných je statistická závislost označována jako kontingence, u ordinálních proměnných již hovoříme o korelaci. Rozlišujeme přitom dva typy korelace, a to pozitivní (nízkým hodnotám jedné proměnné odpovídají nízké hodnoty proměnné druhé) a negativní (nízkým hodnotám hodnotám jedné proměnné odpovídají vysoké hodnoty druhé proměnné). Modifikace Spearmanova koeficientu pořadové korelace pro ordinální data s velkým počtem shod Jak bylo uvedeno dříve Spearmanův koeficient pořadové korelace vychází z vektorů pořadí: R 1,..., R n a Q 1,..., Q n. Modifikovaný Spearmanův koeficient pořadové korelace pro kontingenční tabulku lze stanovit v několika krocích. a) Nejdříve kategoriím proměnné X přiřadíme postupně modifikovaná pořadí R i : R 1 = n 1+ + 1, R i = i 1 l=1 n l+ + n i+ + 1 pro i r, a kategoriím proměnné Y přiřadíme pro j s modifikovaná pořadí Q j : b) Dále stanovíme hodnoty Q 1 = n +1 + 1, Q j = d = r j 1 l=1 n +l + n +j + 1. s n ij (R i Q j ), j=1 Ω X = 1 1 (n3 Ω Y = 1 1 (n3 r n 3 i+), s n 3 +j). j=1 7
Pomocí nich pak vypočteme modifikovaný Spearmanův koeficient pořadové korelace r S podle vzorce r S = Ω X + Ω Y δ Ω X Ω Y. Tento vzorec lze ještě zjednodušit pro případ, kdy r n3 i+ = s j=1 n3 +j, pak Ω X = Ω Y. Odtud pak dosazením do vzorce pro r S získáme jeho jednodušší tvar r S = Ω X δ δ X = 1 δ Ω X. Platí-li navíc, že r n3 i+ = s j=1 n3 +j = n, dostaneme pro výpočet Spearmanova koeficientu pořadové korelace r S dříve uvedený vzorec pro kardinální data r S = 1 δ 1 1 (n3 n) = 1 6 δ n(n 1). Jinými slovy pro kardinální proměnné X a Y, kdy se žádná hodnota neopakuje, je modifikovaný Spearmanův korelační koeficient roven jeho nemodifikované verzi. Spearmanův koeficient nabývá hodnot z intervalu 1; 1. Pokud jsou u každé statistické jednotky u obou proměnných stejná pořadí, pak koeficient nabývá hodnoty 1 (pozitivní korelace, tzv. přímá závislost). Pokud seřadíme hodnoty proměnné X vzestupně a získáme tím sestupné pořadí u proměnné Y, hodnota koeficientu je -1 (nagativní korelace, tzv. nepřímá závislost). Hodnota 0 znamená lineární nezávislost. Test o nulovost tohoto koeficientu (H 0 : ρ S = 0) se provádí pomocí statistiky n t = r S, 1 rs která má za předpokladu platnosti nulové hypotézy Studentovho t rozdělení s (n ) stupni volnosti. Další míry pořadové korelace pro ordinální data V praxi se v některých situacích používají další míry pro popis pořadové korelace ordinálních dat. Patří mezi ně Goodmanova-Kruskalova γ, dále Kendallovo τ b také také nazývané Kendallův koeficient pořadové korelace a také Kendallovo τ c. Zde se jimi nebudeme detailněji zabývat, zájemce je může najít v monografii Řezanková H.: Analýza dat z dotazníkových šetření. Profesional Publishing 011. Konečně závěrem uved me, že moderní statistická teorie vychází z nového přístupu ke studiu statistické vazby mezi náhodnými veličinami a k studiu nezávislosti náhodných veličin, který je založen na matematické teorii kopulí. 3 Statistická analýza dotazníkových dat Dotazníková šetření patří mezi základní sociologické metody pro zjišt ování názorů dané skupiny respondentů na určitou problematiky. Výsledkem dotazníkových šetření bývají statistická data, která 8
jsou většinou nominální nebo ordinální, často se setkáváme se situací, že zjištěná kardinální data jsou diskretizována a převedena na diskrétní ordinální data. Taková data pak zapisujeme pomocí četností do kontingenčních tabulek, jejich statistické vyhodnocení, zejména studium statistické vazby mezi otázkami z dotazníků pak vyšetřujeme metodami, které byly uvedeny v této kapitole. Uvedeme příklad vyšetření statistické vazby pro výsledky výběrového šetření, které bylo provedeno cestovní kanceláří, aby se zjistilo, zda je statistická vazba mezi typem zájezdu a optimálním ubytováním. Výsledky výběrového šetření jsou shrnuty v tabulce 3. Pro popis statistické vazby mezi proměnnou X - typ zájezdu a proměnnou Y - optimální ubytování využijeme nejdříve Pearsonovu statistiku χ. Její výpočet je jednoduchý. Postupně dostaneme χ = r s j=1 (n ij o ij ) o ij = (6 14, 5) 14, 5 + (9 8, 8) 8, 8 +... + (7 17, 9) 17, 9 = 44, 318. Pro porovnání vypočteme ještě věrohodnostní poměr G.Postupně dostaneme G = r s j=1 n ij ln n ij o ij = (6 ln(6/14, 5) +... + 7 ln(7/17, 9)) = 53, 06. Při testování na 5% hladině významnosti vypočtenou hodnotu statistiky χ, resp. G, porovnáváme s kvantilem χ 0,95 [(4 1)(4 1)] = χ 0,95(9) = 16, 919. V obou případech zamítáme nulovou hypotézu o nezávislosti proměnných Typ Zájezdu a Optimální ubytování a můžeme prohlásit, že mezi oběma proměnnými je statisticky významná vazba na 5%ní hladině významnosti. 9
Literatura Základní MANN, P.S. Introductory Statistics. 6th edition. Hoboken: Wiley, 007. ISBN 978-0-471-75530-. MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 1. vyd. Grada 010. ISBN 978-80- 47-360-. NEUBAUER, J., SEDLAČÍK, M., KŘÍŽ, O. Základy statistiky Aplikace v technických a ekonomických oborech. Grada 01.ISBN: 978-80-47-473-1. ŘEZANKOVÁ, H. Analýza dat z dotazníkových šetření.. vydání, Professional Publishing, 010. ISBN: 9788074310195. Doporučená AGRESTI, A. Categorical Data Analysis. Second Edition. Wiley 00. ISBN: 0-471-36093-7. ANDĚL, J. Statisticke metody. 3. vydání. Praha: Matfyzpress, 003. ISBN 80-8673-08-8. ANDĚL, J. Základy matematické statistiky.. vyd. Praha: Matfyzpress, 007, 358 s. ISBN 978-80-7378-001-. VÁGNER, M. Integrální počet funkcí jedné proměnné. 1. vydání. Brno: UO, 005,16 s. ISBN 80-731-05-9. VÁGNER, M., KAŠTÁNKOVÁ, V. Posloupnosti a řady. 1. vydání. Brno: UO, 006. ISBN 80-731-131-X. 10
Příklady k procvičení Příklad 3.1 Zjišt ovalo se jak závisí ve vybraných evropských zemích spotřeba alkoholu (proměnná X) a úmrtnost na cirózu jater (počet zemřelých na tuto diagnózu na 100 000 obyvatel proměnná Y ). Údaje jsou převzaty z monografie Anděl: Statistické metody. Byly získány výsledky uvedené v následující tabulce: Země FIN NOR IRL NLD SWE GBR BEL AUT DEU ITA FRA X 3,9 4, 5,6 5,7 6,6 7, 10,8 10,9 1,3 15,7 4,7 Y 3,6 4,3 3,4 3,7 7, 3,0 1,3 7,0 3,7 3,6 46,1 Vypočtěte Pearsonův korelační koeficient a použijte jej k testování hypotézy, že mezi množstvím spotřeby alkoholu a úmrtností na cirózu jater je statisticky významná vazba. Příklad 3. Zjišt ovalo se kolik mg kyseliny mléčné je ve 100 ml krve u matek prvorodiček (hodnoty X i ) a u jejich novorozenců (hodnoty Y i ). Byly získány výsledky uvedené v následující tabulce: X i 40 64 34 15 57 45 Y i 33 46 3 1 56 40 Vypočtěte Spearmanův korelační koeficient a použijte jej k testování hypotézy, že mezi množstvím kyseliny mléčné v krvi u matky a u jejího novorozence je statisticky významná vazba. Příklad 3.3 V tabulce níže jsou uvedena data podle monografie Anděl: Statistické metody o počtu úmrtí v Londýně (hodnoty proměnné Y ) od 1. do 15. 1. 195, kdy Londýn postihla mimořádně silná mlha. Dále jsou uvedeny hodnoty proměnné X, která představuje průměrné znečištění vzduchu v County Hall uváděné v mg/m 3 a hodnoty proměnné Z, která představuje průměrný obsah oxidu siřičitého (počet částic na jeden milion). Den Y i x i z i Den Y i x i z i 1 11 0,30 0,09 9 430 1, 0,47 140 0,49 0,16 10 74 1, 0,47 3 143 0,61 0, 11 55 0,3 0, 4 10 0,49 0,14 1 36 0,9 0,3 5 196,64 0,75 13 56 0,50 0,6 6 94 3,45 0,86 14 0,3 0,16 7 513 4,46 1,34 15 13 0,3 0,16 8 518 4,46 1,34 a) Stanovte Spearmanovy korelační koeficienty pro dvojice proměnných ϱ(x, Y ), ϱ(xz) a ϱ(y, Z), b) rozhodněte, zda je mezi jednotlivými dvojicemi těchto proměnných statisticky významná vazba. 11
optimální ubytování typ zájezdu apartman bungalov hotel stan Celkem hory 6 9 5 59 79 pobyt s výlety 89 8 03 33 353 poznávací zájezd 11 13 8 66 118 turistika 6 18 8 7 59 Celkem 11 68 44 185 609 Tabulka 3: Výsledky výběrového šetření cestovní kanceláře Příklad 3.4 Cestovní kancelář provedla šetření, aby se zjistilo, zda je statistická vazba mezi typem zájezdu a optimálním ubytováním. Výsledky výběrového šetření jsou shrnuty v tabulce 3. Pro popis statistické vazby mezi proměnnou X typ zájezdu a proměnnou Y optimální ubytování stanovte a) tabulku očekávanéých četností o ij, b) Pearsonův kontingenční koeficient C P, c) koeficient kontingence ϕ, d) kontinenční koeficient Cramerovo V, e) Čuprovův kontingenční koeficient C T. 1