Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 SIMULACE numerické řešení diferenciálních rovnic simulační program idenifikace modelu Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic krokové meody pro řešení lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu s počáečními podmínkami Eulerova meoda řešení lineární diferenciální rovnice 1. řádu s počáeční podmínkou předpokládá diferenciální rovnici zapsanou ve varu: dy dx = g ( x, y ), y ( x ) = y ( x... nezávisle proměnná, y... závisle proměnná ) MRT-7-P3 1 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Eulerova meoda princip spojiý inerval nezávisle proměnné x se rozdělí na n dílů (ekvidisanně) xi + 1 = xi + h, i = 1, 2,... n hodnoy závisle proměnné Y v bodech x i podle vzahu se vypočou kde ( x, Y ), i 1, 2, n Yi + 1 = Yi + h. g i i... Y y x ) i ( i limy h ( x, h) = y( x) konvergence numerického řešení y Eulerova meoda princip graficky dy dx = g( x, y ), y(x ) = y x Y i + 1 i + 1 = x + h i i = Y + h. g ( x, Y ) i i Y 2 Y 1 y anal i x Y x Y y 1 2 x 1 x 2 Y1 Y 2 y x h x 1 h x 2 x Přesnos krokových meod chyby chyba celková diskreizační zaokrouhlovací h op krok řád meody n řádová přesnos výsledku h n MRT-7-P3 2 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Přesnos krokových meod prakický posup pro dosažení požadované přesnosi 1. Nalezneme řešení s krokem h 1, jehož velikos jsme odhadli podle řádu použié meody a požadované přesnosi výsledků 2. Nalezneme řešení s krokem h 2 = h 1 / 2 3. Porovnáme výsledky obou řešení ve sejných bodech nezávisle proměnné: dekadická mísa (od nejvyšších), kerá jsou v obou výsledcích sejná, jsou správně POZOR, porovnání je řeba provés v několika bodech inervalu řešení, proože chyba principiálně není všude sejná! Sabilia numerického řešení nevhodný (obvykle příliš velký) krok řešení může způsobi nesabiliu výsledků: výsledky jsou vypočeny správně, ale řešení vzhledem k zadání úlohy nemá smysl ukázka: řešení diferenciální rovnice dy + 2 xy =, y() = 1 dx Eulerovou meodou s různým krokem. rovnice má analyické řešení y = -x e 2 Simulační program simulační blokově orienovaný programovací jazyk PSI MRT-7-P3 3 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Simulační program PSI obecné schéma bloku počáeční podmínky vsupy BLOK funkce výsup proměnná řídicí paramery funkce idenifikáor (vyhrazený) označující yp bloku a ím i jeho funkci vsupy jeden nebo více, proměnné nebo arimeické výrazy výsup pouze jeden, obsahuje hodnou výsledku činnosi bloku proměnná idenifikáor volený uživaelem, označuje výsup z bloku paramery konsany nebo proměnné označující konsany počáeční podmínky určují počáeční sav modelu řídicí paramery řídí chování bloku Simulační program PSI zápis příkazu v jazyku PSI proměnná = funkce ( i 1, i 2, PAR: p 1, p 2, ) ; nebo proměnná = i 1 ; i vsup: číselná konsana, proměnná, arimeický výraz, logický výraz p paramer: číselná konsana, proměnná s konsanní hodnoou Synaxe idenifikáor proměnné: libovolná posloupnos písmen a číslic (kromě jmen bloků PSI, idenifikáorů funkcí a vyhrazených jmen) oddělovačem je čárka před PAR musí bý mezera a za PAR dvoječka na konci příkazu musí bý sředník Idenifikace maemaického modelu využií opimalizačních meod MRT-7-P3 4 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Úloha opimalizace obecně hledání globálního exrému funkce (zv. účelové nebo penalizační funkce nebo krieria opimalizace) jedné nebo více proměnných (zv. opimalizačních proměnných) v dané oblasi účelová fce globální exrémy lokální exrémy opimalizační proměnná opimalizační proměnné mohou nabýva hodno z celé množiny reálných čísel: hledání volného exrému opimalizační proměnné mohou nabýva hodno jen z čási množiny reálných čísel: hledání vázaného exrému Sanovení hodno paramerů modelu na základě experimenálně zjišěných da 1. na vsup reálného sysému přivedeme definovaný signál u() a zaznamenáme časový průběh výsupu ze sousavy y E () 2. sejný signál u() přivedeme na vsup modelu a zaznamenáme časový průběh výsupu z modelu y M () 3. sanovíme kriérium, podle něhož budeme posuzova shodu výsupu z reálného sysému y E () a z modelu y M (), např.: S = S = n [ y M ) j ( y E ) j ] j = 1 b a ( y M y E 2 ) d pro spojiý inerval a,b 4. Vhodným posupem (např. opimalizací) měníme hodnoy hledaných paramerů ak dlouho, až je hodnoa kriéria minimální (shoda obou výsupů je vyhovující) 2 ( pro n diskréních bodů Ukázka idenifikace modelu ohřívače vody opimalizací maemaický model: dt d Q Pη ( T1 T2M ) +, T2M ( T1 2 M = V Vρc ) = P naměřený průběh eploy ( C) po zapnuí opení (odečíáno 6 min po 5 min): 15, 25, 31, 35, 37, 39, 4, 4, 4, 4, 41, 41, 41 opimalizační kriérium: kri = 6 2 ( T2M T2E ) d opimalizační proměnná: účinnos opení η, počáeční odhad η =.8, meze.5, 1. MRT-7-P3 5 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 ŘÍZENÍ VÝROBNÍCH PROCESŮ základní pojmy, srukura řídicích sysémů řízení echnologických procesů: regulace logické řízení Základní pojmy řízení zpracovává informace o savu a chování řízeného objeku a o dějích v jeho okolí a na základě oho ovládá objek ak, aby bylo dosaženo sanoveného cíle základní charakerisiky řízení zpracování informací zpěná vazba objek řízení z hlediska našeho zájmu výrobní podnik (v širším smyslu) echnologický proces (v užším smyslu) Základní pojmy součási řízení výrobního podniku měření a ovládání (čidla, akční členy = polní insrumenace) základní řízení echnologického procesu (regulace, logické řízení = řídicí smyčky) Supervisory Conrol dohlížecí řízení a sběr da (SCADA) and Daa Acquisiion komunikace s operáorem (HMI) disribuované řízení (DCS) informační a řídicí sysém výroby (MES) sraegické plánování a rozvrhování prosředků (ERP) Human Machine Inerface Disribued Conrol Sysem Manufacuring Execuion Sysem Enerprise Resource Planning MRT-7-P3 6 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Základní pojmy hierarchická srukura řídicího sysému výrobního podniku ERP MES SCADA HMI sraegické řízení a plánování řízení výroby dohlížecí řízení komunikace s operáorem řídicí smyčky polní insrumenace ekonomické řízení sběr da, opimalizace, ineligenní řízení... DCS disribuované řízení echnologie TECHNOLOGICKÉ ZAŘÍZENÍ Hardwarová srukura moderních řídicích sysémů HMI pracovní sanice operáorů SCADA další pracovní sanice ERP Inerne MES digiální průmyslová sběrnice smyčky procesní počíače inrane polní insrumenace komunikační server REGULACE regulované sousavy sandardní signály akční členy reguláory MRT-7-P3 7 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Blokové schéma regulačního obvodu z u regulovaná sousava y akční člen měřicí člen v úsřední člen reguláoru e porovnávací člen w ovládací panel REGULÁTOR ruční řízení y... regulovaná veličina z... porucha u... akční veličina w... žádaná hodnoa regulované veličiny e... regulační odchylka v... výsup z reguláoru (REGULOVANÉ) SOUSTAVY esovací signály klasifikace sousav sabilia charakerisická křivka Signály pro esování dynamického chování sousav MRT-7-P3 8 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Základní ypy signálů jednokový skok 1 ( ) pro < definice: u( ) = { 1 pro u() odezva sousavy: 1 odezva na jednokový skok (přechodová charakerisika) nejčasěji používaný pro esování dynamického chování sousav Základní ypy signálů Diracův impuls δ ( ) definice: u() 1/A A u ( ) = pro + u( ) d = 1 odezva sousavy: vahová funkce grafické znázornění odezvy: impulsní charakerisika Základní ypy signálů puls u() x signál se v určiém okamžiku ( = ) změní skokem z na hodnou x a po určié době se vráí zpě na... šířka pulsu používaný pro esování sabiliy sousav MRT-7-P3 9 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Základní ypy signálů rampová funkce pro < definice: u( ) = { pro u() používaný pro esování reakce sousav na pomalé změny Klasifikace sousav podle dynamického chování Podle reakce na změnu vsupu STATICKÉ po jednorázové změně na vsupu přejdou do nového usáleného savu Příklad: zásobník kapaliny s venilem na výsupu, odok funkcí výšky hladiny ASTATICKÉ po jednorázové změně na vsupu se výsup rvale mění (až do dosažení mezního savu) Příklad: zásobník kapaliny s čerpadlem na výsupu, odok funkcí oáček čerpadla MRT-7-P3 1 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Podle maemaického popisu. řádu chování popsáno algebraickou rovnicí y ( ) = k u( ) k... zesílení sousavy odezva na jednokový skok y() k y ( ) = k Podle maemaického popisu 1. řádu chování popsáno diferenciální rovnicí 1.řádu T y ( ) + y( ) = k u( ) (saická) k... zesílení sousavy, T... časová konsana sousavy odezva na jednokový skok (saická): y() k y( ) k 1 e = T T pro = T pro = 5T y =,632 k y =,993 k Podle maemaického popisu 1. řádu chování popsáno diferenciální rovnicí 1.řádu y ( ) = k u( ) (asaická) k... zesílení sousavy odezva na jednokový skok (asaická): y() y ( ) = k směrnice = k MRT-7-P3 11 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Podle maemaického popisu 2. řádu chování popsáno diferenciální rovnicí 2.řádu 2 T y ( ) + 2Tξ y ( ) + y( ) = k u( ) (k... zesílení sousavy, T... čas. konsana sousavy, ξ... koef. lumení) odezva na jednokový skok (např.): y() ξ, 1) -kmiá k ξ 1 -nekmiá pro ξ = 1 mez aperiodiciy úhlová rychlos ω = 1/T Podle maemaického popisu vyššího řádu chování popsáno diferenciální rovnicí n-ého řádu odezva na jednokový skok (saická sousava): y() k T U inflex T N k... zesílení sousavy T U... doba průahu T N... doba náběhu Podle maemaického popisu vyššího řádu chování popsáno diferenciální rovnicí n-ého řádu odezva na jednokový skok (asaická sousava): y() směrnice = k... zesílení sousavy T L... ~ doba průahu T L MRT-7-P3 12 / 13
Měřicí a řídicí echnika přednášky LS 26/7 Podle maemaického popisu n-ého řádu se zpožděnou odezvou (s dopravním zpožděním) n odezva na jednokový skok (např. pro 1. řád): y k k... zesílení sousavy T d... dopravní zpoždění T d Sabilia sousavy STABILNÍ po změně vsupu rvající konečnou dobu se výsup vráí na původní hodnou NESTABILNÍ po změně vsupu rvající konečnou dobu se výsup rvale mění až do dosažení mezního savu Charakerisická křivka sousavy (saická charakerisika sousavy) exisuje pro saické sousavy vyjadřuje vzah mezi vsupem (u) a výsupem (y) v usáleném savu (po odeznění přechodového jevu) výsup y k y 3 y 2 y 1 u 1 u 2 u 3 u k vsup pro lineární sysémy je o přímka, směrnice = zesílení sousavy MRT-7-P3 13 / 13