.4.5 Deformace, normáloé napětí II ředpoklady: 00404 Sledujeme, jak záisí ε (relatiní prodloužení) na (normáloém napětí) deformační křika. oznámka: Graf ukazuje záislost ε na pro ocel. Deformační křiky jiných materiálů mohou být značně odlišné, přesto je choání ocele bráno jako typické. řestože příčinou prodlužoání je normáloé napětí, ynáší se na osu x jako nezáislá proměnná relatiní prodloužení ε. ř. 1: Na obrázku je zachycena záislost normáloého napětí na relatiním prodloužení pro ocel. Jaký ýznam a jakou zkratku mají ýznamné body yznačené na křice: mez kluzu, mez penosti, mez pružnosti a mez úměrnosti? 500 50 Sledujeme raf od bodu [ 0;0 ]: 0,0015 0,003 Se zyšujícím se napětím roste prodloužení přímo úměrně až do hodnoty napětí U. U - mez úměrnosti: po překročení meze úměrnosti přestáá být relatiní prodloužení přímo úměrné normáloému napětí. E - mez pružnosti: po překročení meze pružnosti přestáá být deformace pružná a materiál už se nerátí do půodního stau. 1
K - mez kluzu: po překročení meze kluzu se zětšuje relatiní prodloužení, aniž by se zětšoalo normáloé napětí (materiál se prodlužuje bez zětšoání síly tečení materiálu), mění se fyzikální lastnosti materiálu. - mez penosti: po překročení meze penosti se materiál přetrhne. ř. : Urči z rafu: a) mez penosti ocele b) mez kluzu ocele c) O kolik procent se prodlouží ocel, než se přetrhne. d) O kolik se může prodloužit 50 m dlouhé oceloé lano tak, aby jeho deformace zůstala pružná. a) Mez penosti ocele je přibližně 515Ma. b) Mez kluzu ocele je přibližně 35 Ma. c) Z rafu je idět, že okamžiku přetržení platí ε = 0,0034 ocel se prodlouží o 0,34%. d) Z rafu je idět, že pro normáloé napětí roné mezi pružnosti platí ε = 0,0004. l ε = l = εl0 = 0,0004 50m = 0,01m l 0 Mez penosti tahu je u mnoha materiálů stejná jako mez penosti tlaku. Hodnoty pro některé látky: dřeo dub (po cihly (penost látka ocel ocel pro lana láknech) tlaku) Ma 350-800 až 000 10-50 5-0 [ ] beton (penost tlaku) ř. 3: Urči minimální průměr oceloého lana pro ýtah, když kabina má nosnost 300 k a hmotnost 500 k. Hmotnost lana zanedbej. = 000Ma = 10 a, 300 500 k 800 k m = + =, d =? F m = = (plocha kruhu S S r m m r = r = m 800 10 r = = = = 10 Lano ýtahu musí mít průměr, mm. 1,1 10 m 1,1mm = r ) d = r =,mm Zdá se to málo. roč? Lano u ýtahů je e skutečnosti tlustší, protože: ýtah musí zrychloat a lano tedy musí ydržet ětší zatížení (tento li ale není zhledem k poměrně malým zrychlením ýtahů příliš citelný), není zykem yužíat penost materiálu až do meze penosti ( našem případě by určitě neměla být překročena mez pružnosti, aby se při zatížení lano neratně neprotáhlo), technických aplikacích (použitích zařízeních) je požadoána rezera.
ůsobící síla se při technických ýpočtech násobí bezpečnostním koeficientem k (podle druhu materiálu a použití konstrukce se pohybuje od 1 do 15) nebo se místo meze penosti zaádí doolené napětí, které je k krát menší. Více o bezpečnostních koeficientech: http://www.mitcalc.com/doc/help/cz/c_safety.htm. ř. 4: Vysětli, proč se oceloá lana splétají z láken a nejsou z jednoho kusu. Lano spletené z láken: se snadněji ohýbá, má ětší reálnou penost. řetržení jednoho lákna neznamená přetržení celého lana. Kdyby bylo lano z jednoho kusu, jeho natržení by bylo daleko nebezpečnější. Horolezecká lana mají ještě složitější konstrukci (jádro, které zajišťuje nosnost lana, a oplet, který chrání jádro před poškozením a poětrnostními liy). ř. 5: Urči mez penosti paoučího lákna, pokud má průměr přibližně 1μm a je možné ho přetrhnout silou 8 mn. F = 8 mn = 8 10 N, d F F = = plocha kruhu S = r S r F 8 10 10 = = = 10 a = 10000 Ma r 0,5 10 ( ) = 1μm r = 0,5μm = 0,5 10 m, =? Mez penosti paoučího lákna je 10000 Ma (tedy pětkrát yšší než mez penosti speciální lanoé oceli). ř. : Urči délku oceloého drátu, který by se při zaěšení přetrhl lastní ahou. k = 000 Ma = 10 a ρ = 7800 l =? m 3 F m V ρ S l ρ = = = = = l ρ S S S S l = ρ 10 l = = m = 500 m ρ 7800 10 Oceloý drát o délce 500 m by se při zaěšení přetrhl lastní ahou. ř. 7: Odoď ztah pro určení maximální ýšky staby postaené z cihel (betonu). Urči pro obě hmoty ýšku takoé staby průměrném případě. otřebné konstanty najdi tabulkách. F m V ρ S h ρ = = = = = h ρ S S S S 3
h = (stejný zorec jako pro délku lana) ρ a) cihly = 30Ma, ρ = 1700 k m 30 10 m 175m h = = = ρ 1700 10 b) beton = 1, 5 Ma, ρ = 000 k m 1,5 10 m 5m h = = = ρ 000 10 Dodatek: enost cihloé zdi je podstatně nižší než samotných cihel (záisí zejména lastnostech použité malty). ohybuje se do Ma. Tím by možná ýška zdi klesla na 10 m. edaoická poznámka: Následující příklad je zábaou pro nejchytřejší. Stihnout ho s ětšinou třídy není moc reálné. ř. 8: Urči minimální průměr oceloého lana pro ýtah, když kabina má nosnost 300 k a hmotnost 500 k. Hmotnost lana uažuj, ýtah je umístěn nejyšší budoě sěta a lano má délku 800 m. = 000Ma = 10 a, 300 500 k 800 k m = + =, l = 800 m, d =? Kromě hmotnosti ýtahu působí na oceloé lano i jeho lastní hmotnost: m = m + ml. F m ( m + ml ) = = = S S S S = m + ml = m + Vl ρ (objem lana Vl = Sl ) S = m + Slρ S Slρ = m m S = r = lρ r m = ( lρ ) r = m ( lρ ) ( l ) ( 10 10 800 7800) (plocha kruhu m 800 10 r = = = = ρ Lano ýtahu musí mít průměr, mm. S = r ) 1,1 10 m 1,1mm o zaokrouhlení jsme dostali stejný ýsledek jako u půodního příkladu, kde jsme hmotnost lana zanedbáali. řesnější hodnoty: neuažujeme hmotnost lana d =, 5 10 m, uažujeme hmotnost lana d =,3 10 m. Rozdíl obou ýsledcích je opradu malý lastní hmotnost lana nehraje podstatnou roli ani při narhoání nejdelších ýtahů. Shrnutí: Mez penosti je hodnota tlaku, při které se materiál přetrhne. 4
5