Téma 1 Nosné lano. Statika stavebních konstrukcí I., 2.ročník bakalářského studia

Statika stavebních konstrukcí I.,.ročník bakalářského studia Téma 1 Nosné lano Pojem nosného lana Obecné vlastnosti příčně zatíženého nosného lana Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) Složitější úlohy o nosných lanech Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Ukázky vyráběných ocelových lan Vyráběné průměry lan Průměr lana [mm] motnost [kg/m] Jmenovitá únosnost lana v kn při jmenovité pevnosti drátu v MPa 1570 1770 0,60 0,0018 0,385 1,00 0,0046 0,983 1,5 0,0075 1,585 1,35 0,0080 1,747 1,970 1,50 0,0110,154,418 OCELOVÉ LANO JEDNOPAMENNÉ 1 x 7 = 7 drátů (DIN 305, ČSN 04310) Lano jednopramenné se používá jako výplň kabelů, nosné lano kabelů, bowdeny a jiné podobné účely. 1,60 0,010,00,476 1,68 0,0144,700 3,043 1,89 0,0178 3,48 3,858,13 0,00 4,35 4,90,40 0,087 5,58 6,30,70 0,0360 6,989 7,876 3,00 0,0440 8,67 9,710 3,60 0,0630 1,418 14,000 Viz např. www.gaan.cz Ukázky vyráběných ocelových lan / 71

Ukázky vyráběných ocelových lan Vyráběné průměry lan Průměr lana [mm] motnost [kg/m] Jmenovitá únosnost lana v kn při jmenovité pevnosti drátu v MPa 170 1570 1770 1,57 0,013 1,87,31,61,00 0,019,31,85 3,1,0 0,05 3,7 4,60 5,19,50 0,03 4,7 5,84 6,58 OCELOVÉ LANO JEDNOPAMENNÉ 1 x 37 = 37 drátů (DIN 3054, ČSN 04313) Lano jednopramenné se používá jako výplň kabelů, nosné lano kabelů, bowdeny a jiné podobné účely. 3,15 0,048 7,50 9,7 10,45 3,55 0,063 9,3 11,5 1,99 4,00 0,079 11,6 14,36 16,19 4,50 0,106 15,74 19,46 1,94 5,00 0,15 18,86 3,07 6,01 6,00 0,18 6,8 33,16 37,38 6,65 0,7 33,53 41,46 46,74 Viz např. www.gaan.cz Ukázky vyráběných ocelových lan 3 / 71

Ukázky vyráběných ocelových lan OCELOVÉ LANO - propylenová duše VÍCEPAMENNÉ - EKULES 6 x 17 + 17 x 7 = 1 drátů (ČSN 04371) Průměr lana [mm] [+3% / -7%] Vyráběné průměry lan motnost [kg/m] Jmenovitá únosnost lana v kn při jmenovité pevnosti drátu v MPa 1570 1770 1,50 0,560 95,40 107,60 14,00 0,690 119,00 134,0 16,00 0,870 149,10 168,10 17,00 0,990 169,70 191,30 18,00 1,110 191,50 15,90 19,00 1,50 14,70 4,10 0,00 1,390 39,30 69,70 Lana vinutá způsobem klasickým s větším počtem drátů ve více pramenech. Lana jsou značně ohebná a prakticky málo točivá. Konstrukce lana je však citlivá na nesprávnou manipulaci. Příklady použití lana: Těchto lan se užívá pro speciální jeřáby a všude tam, kde je břemeno zavěšeno na jednom průřezu lana a není vedeno. Dále pak v určitých případech též jako nosná lana osobních lanovek a lana tažná při hloubení. Viz např. www.gaan.cz Ukázky vyráběných ocelových lan 4 / 71

Ukázky vyráběných ocelových lan Lano se speciální konstrukcí, zvláště vhodné pro velmi náročné podmínky. Je nekroutivé a vhodné pro jeřáby, kde je břemeno zavěšeno na jednom průřezu lana. Konstrukce lana vylepšuje vlastnosti lan typu EKULES. Je odolnější proti poškození. NOVINKA OCELOVÉ LANO - souběžně vinutý střed VÍCEPAMENNÉ - STABIL 37 x 7 = 59 drátů (PN - 95-0) Příklady použití lana: Těchto lan se užívá pro speciální jeřáby a všude tam, kde je břemeno zavěšeno na jednom průřezu lana a není vedeno. Dále pak v určitých případech též jako nosná lana osobních lanovek a lana tažná při hloubení. Vyráběné průměry lan Průměr lana [mm] [+5% / -5%] motnost [kg/m] Jmenovitá únosnost lana v kn při jmenovité pevnosti drátu v MPa 1570 1770 Zaručená únosnost lana v kn při jmenovité pevnosti drátu v MPa 1570 1770 8,00 0,45 48,97 84,85 36,7 41,40 10,00 0,376 75,6 84,85 56,40 63,60 11,00 0,44 88,49 99,76 66,30 74,80 1,00 0,540 108,10 11,87 81,00 91,40 14,00 0,74 143,0 161,40 107,40 11,00 15,00 0,807 161,60 18,18 11,0 136,50 16,00 1,076 00,96 6,58 150,70 169,93 18,00 1,4 39,80 70,40 179,85 0,80 19,00 1,330 66,05 99,94 199,50 4,95 0,00 1,547 98,00 335,90 3,50 51,90,00 1,836 353,1 398,10 64,80 98,50 Viz např. www.gaan.cz Ukázky vyráběných ocelových lan 5 / 71

Ukázky vyráběných ocelových lan OCELOVÉ LANO - propylenová duše ŠESTIPAMENNÉ - STANDAD 6 x 7 = 4 drátů (DIN 3055, ČSN 0430) Lana vinutá způsobem klasickým s malým počtem drátů poměrně větších průměrů. Mají dobrou odolnost proti otěru. Malá ohebnost lana vyžaduje kladky a bubny poměrně větších průměrů. Příklady použití lana: posunovadla, montážní, lyžařské vleky, signální, vrátková, na kotvení apod. Průměr lana [mm ±8 %] Vyráběné průměry lan motnost [kg/m] Jmenovitá únosnost lana v kn při jmenovité pevnosti drátu v MPa 1570 1770,00 0,01,33,50 0,019 3,4 3,65 3,00 0,057 5,00 5,70 3,15 0,030 5,14 5,79 4,00 0,048 8,9 9,34 5,00 0,076 1,95 14,60 6,00 0,19 19,10 3,50 6,30 0,10 0,55 3,17 7,10 0,150 6,11 9,44 8,00 0,190 33,14 37,36 9,00 0,50 41,95 47,9 10,00 0,300 51,79 58,39 11,0 0,380 64,97 73,4 11,0 0,380 64,97 73,4 1,00 0,515 83,40 94,10 1,50 0,470 80,9 91, 13,0 0,530 90,3 101,70 14,00 0,590 101,50 114,40 15,00 0,680 116,50 131,40 16,00 0,780 13,60 149,50 17,00 0,880 149,70 168,70 18,00 0,980 167,80 189,0 Viz např. www.gaan.cz Ukázky vyráběných ocelových lan 6 / 71

Ukázky vyráběných ocelových lan Vyráběné průměry lan Průměr lana [mm ±5 %] motnost [kg/m] Jmenovitá únosnost lana v kn při jmenovité pevnosti drátu v MPa 1570 1770 18,00 1,060 180,35 03,3 19,00 1,00 04,00 9,99 0,00 1,350 9,1 58,30,40 1,710 90,78 37,8 OCELOVÉ LANO - propylenová duše ŠESTIPAMENNÉ - STANDAD 6 x 61 = 366 drátů (mimo normy) 3,60 1,90 38,1 369,9 5,00,150 367,87 414,74 Lana vinutá způsobem klasickým s velkým počtem drátů poměrně malých průměrů, velmi ohebná. Příklady použití lana: železniční doprava Viz např. www.gaan.cz Ukázky vyráběných ocelových lan 7 / 71

Akashi-Kaikyo Bridge (Pearl Bridge), Japonsko Nejdelší, nejvyšší a také nejdražší visutý most na světě, vzdálenost mezi 98 m vysokými ocelovými pylony 1.991 m, celková délka mostu 3.911 m, stavba dokončena v roce 1998. 8 / 71

Akashi-Kaikyo Bridge (Pearl Bridge), Japonsko Průměr nosných lan 110 mm, k jejichž výrobě bylo zapotřebí téměř 300 000 kilometrů pozinkovaného drátu. 11 / 71

The Millau Viaduct (Paris Barcelona), Francie Celková délka nejvyššího mostu na světě je,5 km, výška pylonů 343 m, výška mostovky 70 m. Zavěšený most uveden do provozu v prosinci 004. 1 / 71

Golden Gate Bridge, San Francisco, Kalifornie Jeden z nejznámějších a nejdelších visutých mostů na světě byl uveden do provozu v roce 1937. ozpětí mezi 7,4 m vysokými pylony 1.80 m, celková délka.737 m. 16 / 71

Golden Gate Bridge, San Francisco, Kalifornie Dvě nosná lana o průměru 9 cm se skládají ze 7.57 pramenů. 17 / 71

Výpočtový model lana - předpoklady Nosné lano - prut se speciálními vlastnostmi. Určeno výhradně pro přenášení tahových normálových sil. Osově zatížené lano - vnější síly působí v ose lana. Příčně zatížené lano na obou koncích zavěšeno v nehybně podepřených závěsných bodech. Idealizovaný výpočtový model zjednodušující předpoklady: 1. Dokonale ohebné vlákno - M=0, V=0 a N(tlak)=0.. Dokonale neprůtažné vlákno délka lana je neměnná 3. Nehmotné vlákno vlastní tíha lana se zanedbává, velmi malá ve srovnání s ostatním zatížením. Pojem nosného lana 18 / 71

Příčně zatížené nosné lano l rozpětí nosného lana h výškový rozdíl z k souřadnicový průvěs bodu k f k spojnicový průvěs bodu k f k z k x k h. z.tan k xk l f max vzepětí lana tan h l Příčně zatížené nosné lano Obr. 1.1. / str. 6 Obecné vlastnosti příčně zatíženého nosného lana 19 / 71

Výsledné reakce a az tan a az b bz tan b bz eakce v závěsných bodech nosného lana bez kladky Obr. 1.3. / str. 7 Obecné vlastnosti příčně zatíženého nosného lana 0 / 71

Směry koncových tečen Úhly a a b směry koncových tečen. Shodný smysl sklonu koncových tečen průvěsové čáry nosného lana Obr. 1.4. / str. 7 Obecné vlastnosti příčně zatíženého nosného lana 1 / 71

Výpočet nosného lana zatíženého bodovými silami Zatížení: n svislých sil P 1 až P n Vláknový polygon Vrcholy polygonu az 1 l n i 1 P ( l i x i ) h l az az0 tan bz 1 l n i 1 P x i i h l bz bz0 tan Nosné lano zatížené bodovými silami a pomocný prostý nosník Obr. 1.5. / str. 9 Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) / 71

Výpočet nosného lana zatíženého bodovými silami az0 V 0,0 1 l n 1 P i ( l x i ) bz0 V n,0 1 l n i 1 P i x i Nosné lano zatížené bodovými silami a pomocný prostý nosník Obr. 1.5. / str. 9 Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) 3 / 71

4 / 71 Výpočet nosného lana zatíženého bodovými silami Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) Nosné lano zatížené bodovými silami a pomocný prostý nosník Obr. 1.5. / str. 9 tan 0 0 ) tan ( ) ( 0 ) (,0,0 1 1 0 1 1 k k k k k k k k i k k i k i k az k i i k i k k az x f z M f f M x z x x P x x x P z x

Výpočet sklonu a délky strany polygonu xk xk 1 x k zk zk 1 z k tan k z x k k s k x k z k Celková délka lana L n s k k 0 Strana polygonu Obr. 1.6. / str. 10 Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) 5 / 71

Výpočet normálové síly N k N kz N kz az i k 1 P i az,0 i k 1 P i tan N k, z Vk,0.tan N k ( N k, z ) N ( ) 0 a, z a N ( ) n b, z b Silová rovnováha levé části nosného lana Obr. 1.7. / str. 11 Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) 6 / 71

Doplňkové podmínky Ve dvou závěsech lana - čtyři složky reakcí. Pro jejich výpočet lze sestavit tři podmínky rovnováhy pro body závěsů. Čtvrtá podmínka - doplňková. Možné doplňkové podmínky: a) Délka lana L b) Průvěs f k nebo z k v bodě k se zadanou souřadnicí x k c) Vzepětí lana f max d) Maximální souřadnicový průvěs z max e) Tíha závaží Q a nebo Q b Nosné lano napínané závažím Obr. 1.. / str. 6 Obecné vlastnosti příčně zatíženého nosného lana 7 / 71

Průvěsová čára nosného lana Tvar průvěsové čáry je při daném rozpětí l, výškovém rozdílu závěsných bodů h, dané doplňkové podmínce určen zatížením lana. Důsledek: Pro každé zatížení se musí počítat tvar průvěsové čáry Neplatí princip superpozice. Jde o nelineární úlohu. Obecné vlastnosti příčně zatíženého nosného lana 8 / 71

Příklad 1.1 Doplňková podmínka L = 1 m Zadání a řešení příkladu 1.1 Obr. 1.8. / str. 1 Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) 9 / 71

Příklad 1.1 Iterační výpočet parametru lana r 0 1 3 4 5 6 30 15 0.3070 18.490 17.6413 17.743 17.739 x 1 3 3 3 3 3 3 3 x 7 7 7 7 7 7 7 x b 10 10 10 10 10 10 10 f 1 1.3.6 1.905.1371.107.1980.1985 f 1.7 3.4.5115.7947.8909.8744.8749 z 1 1.6.9.05.4371.5107.4980.4985 z.4 4.1 3.115 3.4947 3.5909 3.5744 3.5749 z b 1 1 1 1 1 1 1 x 0 3 3 3 3 3 3 3 x 1 4 4 4 4 4 4 4 x 3 3 3 3 3 3 3 z 0 1.6000.9000.05.4371.5107.4980.4985 z 1 0.8000 1.000 0.9909 1.0576 1.080 1.0763 1.0765 z -1.40-3.1000 -.115 -.4947 -.5909 -.5744 -.5749 s 0 3.4000 4.175 3.734 3.865 3.910 3.9039 3.904 s 1 4.079 4.1761 4.109 4.1374 4.1433 4.143 4.143 s 3.3106 4.3139 3.770 3.9017 3.9640 3.9531 3.9535 L 10.7898 1.666 11.5803 11.9043 1.019 11.9993 1.00 r 1 r M M f z i i L i i 1 i 1 i n i r 1 z s 1,0 x,0 tan 0,1 M f 39kNm 51kNm i,0 x z ( i i x s r i i x x z i tan i i 1 1 ( L z i L r ) ) L r r L 1 Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) 30 / 71

Příklad 1.1 Dokončení výpočtu lana az bz tan tan tan tan i 0 1 az0 bz0 z x i i 0,838 0,691 tan tan 13 tan 17 b 0,8583 17,739 17,739 0,1 0,1 14,774kN 15,556kN a 1 0 15,06 b 37,79 o o 40,64 o N 0 a az 3,086kN N 1 N 1, z (3 17,739 0,1) 17,739 18,371kN N b bz 15,6 17,739 3,378kN Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) 31 / 71

Příklad 1. Doplňková podmínka f = m M f,0 10 60kN Zadání a řešení příkladu 1. Obr. 1.9. / str. 14 Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) 3 / 71

Příklad 1.3 Doplňková podmínka Q a = 10 kn N 0 Q a az 0 ( ) a, z az,0 tan Qa Q, tan (1 tan ) az,0 tan a ( az,0 Q a Musí platit: ) 0 Q a az,0 Q a az,0 cos Z řešení kvadratické rovnice vyplývá hodnota. 0 0 Zadání a řešení příkladu 1.3 Obr. 1.10. / str. 16 Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) 33 / 71

Příklad 1.3 Doplňková podmínka Q a = 10 kn Q a az,0 10 30 116,190kN a ( az,0 Q a ) 116,19 150 189,737kN Zadání a řešení příkladu 1.3 Obr. 1.10. / str. 16 Lano zatížené svislými bodovými silami (vláknový polygon) 34 / 71

ovnoměrně zatížené ploché lano Parabolická řetězovka az 1 ql h l az, 0 tan bz 1 ql h l bz, 0 tan ovnoměrně zatížené ploché lano Obr. 1.11. / str. 17 Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) 35 / 71

ovnoměrně zatížené ploché lano ovnoměrně zatížené ploché lano Obr. 1.11. / str. 17 Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) 36 / 71

ovnoměrně zatížené ploché lano Pro bod z platí: 0 z ql ( z ql ( tan tan ) x ) x z q 1 M az x z qx 0 x 1 qx qlx qx M 0 z x tan ql qx V0 tan tan f x m z max max l M 0,max q tan ql 8 f 0 tan z max tam, kde =0 ql l tan h tan fmax 8 q q ovnoměrně zatížené ploché lano Obr. 1.11. / str. 17 Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) tan 37 / 71

Příklad 1.4 Doplňková podmínka L = 10,170 m pro h 0 L q ( 1 ln( 1 )) lq Zadání a řešení příkladu 1.4 Obr. 1.1. / str. 19 Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) 38 / 71

Příklad 1.4 - iterační výpočet parametru lana L q ( 1 ln( 1 )) r r r L r 1 50 0.5 10.40 80 0.315 10.160 r 1 l q r ( L L r ) ( r r 1 ) /( L r 1 L r ) 3 78.816 0.31719 10.165 4 77.6396 0.300 10.170 5 77.6904 0.3179 10.170 6 77.6893 0.3179 10.170 7 77.6893 0.3179 10.170 N N f a b max tan g tan b b a a M a b 0,max 77,689 bz az 5 5 17.84 5 77,689 5 77,689 o 77,689 77,689 6,5 81,613kN 81,613kN 0,804 m 0,318 0,318 Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) 39 / 71

Příklad 1.5 Doplňková podmínka z max = 1,4 m z rovnice pro výpočet z max z max ql ( q tan g l tan )( (z max q h q tan ) z max ( z max l ( h)) q ) 5 0,1 ( 1,4 1 1,4 (1,4 1)) 75,834kN Zadání příkladu 1.5 Obr. 1.13. / str. 1 Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) 40 / 71

Příklad 1.5 Výpočet reakcí a jejich sklonů, vzepětí, souřadnice x m a délky lana L. f az bz a b max N N az,0 az,0 a b M 0,max tan 5 75,834 0,1 3,583kN tan 5 75,834 0,1 17,417 kn az bz 3,583 17,417 6,5 5,834 0,84 m 73 75,834 75,834 8,538kN 77,809kN tan tan b a b az bz 1,93 3,538 75,834 17,417 75,834 a 3,5 0,97 x m l tan q 10 75,834 0,5 5 L 10,6m 6,517 m Zadání příkladu 1.5 Obr. 1.13. / str. 1 Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) 41 / 71

Příklad 1.6 Doplňková podmínka Q b = 130 kn tan 0,9 1 0,075 Platí az, 0 bz,0 36 protože Q ( tan ) je bz b bz,0 (1 tan ) bz,0 tan ( bz,0 Q b ) 0 (1 0,075 ) 36 ( 0,075) (36 130 ) 0 1,00565 5,4 15604 0 11,910 kn Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) Zadání příkladu 1.6 Obr. 1.13. / str. 1 4 / 71

Příklad 1.6 az bz az,0 bz,0 tan tan 36 36 11,910 11,910 0,075 0,075 6,857 kn 45,143kN f max M 0,max 108 11,91 0,886m a N a az 14,833kN b N b bz 130,000 kn b bz (45,143 130) 11,91 13,395kN tan b bz 13,395 11,910 1,43667 b 55,16 o Ploché lano zatížené svislým rovnoměrným zatížením (parabolická řetězovka) Zadání příkladu 1.6 Obr. 1.13. / str. 1 43 / 71

Složitější úlohy o nosných lanech 1. Kombinované zatížení plochého lana. Tíhová řetězovka z p. cosh x p p q 3. ůzné zatěžovací stavy téhož lana 4. Vliv protažení lana L L n L t L p 5. Jiné způsoby zavěšení lana 6. Lanové soustavy Tíhová řetězovka Obr. 1.14. / str. Složitější úlohy o nosných lanech 44 / 71

The Forth oad Bridge, Edinburgh, Skotsko Vzdálenost mezi pylony 1.006 m, celková délka.51 m. Most postaven v roce 1964, v době vzniku se jednalo o 4.nejdelší visutý most na světě. 51 / 71

The Forth oad Bridge, Edinburgh, Skotsko Průměr hlavních kabelů je 590 mm, každý z nich tvoří 11.618 ks drátů o průměru 5 mm. 56 / 71

The Forth oad Bridge, Edinburgh, Skotsko Vzdálenost mezi pilíři 1.006 m, celková délka.51 m. Most postaven v roce 1964, v době vzniku se jednalo o 4.nejdelší visutý most na světě. 58 / 71

Bormio, Itálie Zavěšená lávka pro pěší. 59 / 71

Nový most (původně Most SNP), Bratislava Sedmý největší zavěšený ocelový most na světě. Celková délka 430,8 m, šířka 1 m, výška pylonu 84,6 m. ealizace v letech 1968-197, v roce 001 byl most vyhlášen stavbou století na Slovensku. 6 / 71

Mariánský most, Ústí nad Labem Zavěšená konstrukce bez protizávěsů. ozpětí hlavního pole 13,3 m, výška pylonu 75 m, celková délka mostu včetně ramp je 333 m. ealizace 1996-1998. 67 / 71