ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání

Transkript

1 iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení 09 adání D PŘÍÉ NOSNÍKY Příklad č. 1 Vykreslete průběhy vnitřních sil na konstrukci zobrazené na Obr. 1. Příklad převzat z katedrové wikipedie (originál ke stažení zde ). působ řešení Obr. 1: Schéma zadání příkladu č. 1. Konstrukce bude řešena zjednodušenou deformační metodou (D). Konstrukci lze rozložit na styčníky (1,,, ) a tři pruty. U převislého konce lze provést redukci ke styčníku, z hlediska výpočtu deformační metodou, tak budeme vlastně řešit konstrukci z Obr. (pozor, průběhy vnitřních sil musíme vykreslit vždy na původní konstrukci!). Určení základních neznámých Obr. : Redukce zatížení z konzoly na styčník. Kladná orientace posunů, je patrná z Obr. 1. Protože používáme D, platí, že normálová tuhost všech prutů je nekonečně velká, z toho důvodu se konstrukce může ve vodorovném směru pohybovat pouze jako jeden celek ( u 1 u u u ) a protože styčník 1 je pevně podepřen ( u 1 0 ), tak platí, že: u u u u 0 (1.1) 1 Dále platí, že styčník je ve svislém směru podepřen, takže: w 0 Totéž platí pro styčník :? (1.) w 0? (1.) 1

2 iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení 09 A podobně pro styčník : w 0? (1.) ákladní neznámé tak představují tři natočení, a. Podmínky rovnováhy U styčníků, a, provedeme momentové podmínky rovnováhy, viz Obr.. kde 1 je koncový moment v pravém styčníku na prutu 1-, je koncový moment z levého styčníku na prutu -, je koncový moment z pravého styčníku na prutu -, je koncový moment z levého styčníku na prutu - a je koncový moment z pravého styčníku na prutu -. Podmínky rovnováhy, tak lze zapsat takto: Obr. : momenty působící na styčníky, a + 6 (1.5) (1.6) 6 (1.7) Poznámka: Samozřejmě, že ve styčnících musí být splněny i svislé podmínky rovnováhy, ale vzhledem k tomu, že ve styčnících vznikají svislé reakce, jejichž velikost prozatím neznáme, nebyly by nám tyto podmínky k ničemu (resp. zvětšil by se počet rovnic a i počet neznámých, řešili bychom tak větší soustavu rovnic). Ohybová tuhost prutu oment setrvačnosti prutu: Ohybová tuhost prutu 1-: I y m EI kNm Poznámka: Jestli si dobře pamatujete ze silové metody, tak u staticky neurčitých konstrukcí, které mají ve všech prutech stejnou ohybovou tuhost a nejsou zatíženy nesilovými vlivy, nemá hodnota ohybové tuhosti vliv na rozložení reakcí a velikost vnitřních sil jinými slovy, můžete si sami zkusit v tomto příkladu, že pokud bychom uvažovali EI 1kNm (nebo jakákoliv jiná konstantní hodnota), výsledek musí vyjít stejný. Tento fakt si uvědomte u domácího úkolu č. 6!

3 iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení 09 Koncové síly na prutu 1- Jedná se o prut vetknutí-vetknutí (V-V) bez zatížení o rozpětí prut 1-: Tuhost k 1 se rovná: k EI L kNm L 1 m. Určíme parametry pro Koncové síly na prutu 1- v pravém styčníku (styčník ) tak lze určit s pomocí tabulky: w w 1 1 k (1.8) L1 Koncové síly na prutu - Jedná se o prut vetknutí-vetknutí (V-V) zatížený rovnoměrným zatížením L m. Určíme parametry pro prut -: Tuhost k se rovná: f 1kN/m o rozpětí k EI L 9000 Koncové síly na prutu - v levém styčníku: 500kNm w w 1 + k L (1.9) Koncové síly na prutu - v pravém styčníku: w w 1 + k L 1 Koncové síly na prutu (1.10) Ačkoliv máme v pravém styčníku kloub, nemůžeme použít schéma vetknutí-kloub (V-K) to lze použít pouze pro případy, kdy na konci prutu je jistě nulový moment, což v tomto případě neplatí (moment 6kNm)! Jedná se tedy o prut vetknutí-vetknutí (V-V) zatížený rovnoměrným zatížením f 1kN/m o rozpětí L m. Určíme parametry pro prut -: Tuhost k se rovná: k EI L 9000 Koncové síly na prutu - v levém styčníku: 6000kNm w w 1 + k L 1 +

4 iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení (1.11) Koncové síly na prutu - v pravém styčníku: w w 1 + k L (1.1) Výpočet základních neznámých Dosazením výrazů pro koncové síly (1.8 až 1.1) do rovnic (1.5 až 1.7) získáme základní soustavu rovnic o neznámých: ( ) + ( ) (1.1) ( ) + ( ) 0 16 (1.1) Upravíme: ( ) 6 (1.15) 9 A vyřešením získáme hodnoty základních neznámých: Výpočet reakcí (1.16) (1.17) (1.18) rad rad rad Reakce můžete určit např. z podmínek rovnováhy anebo lze využít zpětného dopočítání přes koncové síly na prutech. Koncové síly vyjdou: Prut 1-: kN kNm kN Prut -: kNm 1.11kN 7.08kNm 6.879kN

5 iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení 09 Prut -: 18.76kNm 6.kN 18.76kNm 9.758kN 6kNm Poznámka: Koncové síly na prutu se v případě levého styčníku rovnají hodnotě vnitřní síly s opačným znaménkem a v případě pravého styčníku se hodnota koncové síly přímo rovná hodnotě vnitřní sily. Vykreslení vnitřních sil Dopočteme reakce (např. z podmínek rovnováhy na styčníku) a vykreslíme, viz Obr., a dle vztahů ze SR1 vykreslíme průběhy vnitřních sil, viz Obr. 5. Obr. : působící síly a reakce pro příklad 1 Obr. 5: průběhy vnitřních sil příklad 1 5

6 iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení 09 Příklad č. Příklady k procvičování Vykreslete průběhy vnitřních sil na konstrukci zobrazené na Obr. 6. Řešte pomocí D. Řešení: viz Obr. 7. Obr. 6: Schéma zadání příkladu č.. Obr. 7: Řešení příkladu č.. Tento text slouží výhradně jako doplněk k přednáškám a cvičením z předmětu Stavební mechanika R pro studenty stavební fakulty ČVUT. I přes veškerou snahu autora se mohou v textu objevovat chyby, nepřesnosti a překlepy budu rád, když mě na ně upozorníte. iloš Hüttner (milos.huttner@fsv.cvut.cz), poslední aktualizace