Summer Workshop of Applied Mechanics

Summer Workshop of Applied Mechanics June 2002 Department of Mechanics Faculty of Mechanical Engineering Czech Technical University in Prague Odvrtávací metoda základní teorie Karel Doubrava, Zdeněk Kuliš Ústav mechaniky, odbor pruľnosti a pevnosti ČVUT v Praze, Fakulta strojní Technická 4 166 07 Praha 6 e-mail: doubrava@fsid.cvut.cz Klíčová slova: zbytková napjatost, experiment 1 Úvod Zbytková napětí vznikají téměř při všech technologických procesech. Jejich znalost je důležitá pro určení skutečného stavu zatížení konstrukce při provozu. I přes pokrok numerických postupů je určování zbytkových napětí stále doménou experimentálních metod. Jednou z nejrozšířenějších metod je metoda odvrtávací. Princip této metody spočívá v aplikaci tenzometrické růžice na povrch zkoumané součásti a následném odvrtání otvoru ve středu této růžice (Obr. 1). Tímto postupem se naruší vnitřní silová a momentová rovnováha a to způsobí deformaci na povrchu, která je změřena tenzometrickou růžicí. Naměřené uvolněné deformace se pak vyhodnotí a pomocí odvozených teorií se určí průběh a velikost zbytkových napětí. Někdy je tato metoda označována jako metoda semidestruktivní, kdy malé narušení povrchu nemusí mít vliv na funkčnost dané součásti. V následujícím příspěvku budou popsány základní teoretické předpoklady odvrtávací metody. 2 Tenká deska s průchozím otvorem Základní teorie odvrtávací metody vychází z analytického řešení rozlehlé desky s průchozím otvorem zatížené jednoosou napjatostí (Obr. 2). Toto řešení bylo publikováno Prof. G. Kirchem [1]. Na základě tohoto řešení lze uvolněné radiální deformace v bodě P(R, α) vyjádřit vztahem (1). 8

Obrázek 1: Ukázka aplikovaných růžic Obrázek 2: Tenká deska s jednoosým namáháním ε r = σ x(1 + µ) 2E kde: r = R R O (R R O ) R O... poloměr otvoru R... vzdálenost od středu otvoru Vztah (1) lze upravit na (2): [ 1 r 3 ] 2 r cos2α + 4 4 r 2 (1 + µ) cos2α (1) ε r = σ x (A + Bcos2α) (2) kdy konstanty A a B lze vyjádřit B = 1 + µ 2E A = 1 + µ 2E ( ) 1 r 2 [( ) 4 1 1 + µ r 3 ] 2 r 4 (3) (4) 9

Vztahy byly odvozeny na základě předpokladu jednoosé napjatosti. Vztahy pro dvouosou napjatost lze získat za předpokladu lineárně elastického izotropního materiálu principem superpozice [2]: respektive po malých úpravách ε r = σ x (A + Bcos2α) + σ y (A Bcos2α) (5) ε r = A(σ x + σ y ) + B(σ x σ y )cos2α (6) Rovnice (5) resp. (6) popisují vztah mezi napětím a radiální deformací v bodě o souřadnicích (r, α) a jsou základními vztahy pro určení dvou hlavních napětí rovinné deformace a úhlu jejich natočení. K jejich řešení je nutná znalost tří radiálních deformací. Ty se mohou změřit najednou pomocí tenzometrické růžice (Obr. 3). Za předpokladu limitní plochy tenzometru a pro případ 45 růžice lze pro jednotlivé tenzometry napsat odpovídající radiální deformace tenzometrů 1, 2 a 3 (7, 8, 9). Obrázek 3: Schéma tenzometrické růžice ε 1 = A(σ x + σ y ) + B(σ x σ y ) cos 2α (7) ε 2 = A(σ x + σ y ) + B(σ x σ y ) cos 2(α + 45 ) (8) ε 3 = A(σ x + σ y ) + B(σ x σ y ) cos 2(α + 90 ) (9) Řešení těchto rovnic je pak možné vyjádřit vztahy (10, 11, 12) 10

σ max = ε 1 + ε 2 4A σ min = ε 1 + ε 2 4A + 2 (ε1 ε 2 ) 4B 2 + (ε 2 ε 3 ) 2 (10) 2 (ε1 ε 2 ) 4B 2 + (ε 2 ε 3 ) 2 (11) tan 2α = ε 1 2ε 2 + ε 3 ε 3 ε 1 (12) Vztahy pro hlavní napětí lze získat i jiným způsobem. Pro 45 růžici lze vztah mezi složkami rovinné napjatosti a třemi uvolněnými deformacemi změřenými jednotlivými tenzometry v růžici vyjádřit pomocí maticové notace A + B 0 A B A 2B A A B 0 A + B σ 1 τ 13 σ 3 = kde: σ1, σ 3... normálové složky ve směru růžic 1 a 3 τ 13... smykové napětí ke směrům 1 a 3 ε 1, ε 2, ε 3... uvolněné deformace změřené tenzometry 1, 2 a 3 Při použití následující transformace složek napětí a deformací ε 1 ε 2 ε 3 (13) P = (σ 3 + σ 1 )/2 Q = (σ 3 σ 1 )/2 T = τ 13 (14) p = (ε 3 + ε 1 )/2 q = (ε 3 ε 1 )/2 t = (ε 3 + ε 1 2ε 2 )/2 (15) lze maticovou rovnici (13) přepsat na tři samostatné rovnice ap = Ep/(1 + µ) (16) bq = Eq (17) bt = Et (18) kde byly místo koeficientů A a B použity bezrozměrné koeficienty a a b. a = 2E (1 + µ) A (19) b = 2EB (20) Hlavní napětí pak mohou být vyjádřeny výrazy obsahující transformované napětí nebo deformace σ max, σ min = P ± [ ] p Q 2 + T 2 = a(1 + µ) q2 + t 2 E (21) b 11

β = 1/2arctg(T/Q) = arctg(t/q) (22) kde β... úhel měřený ve směru hodinových ručiček od tenzometru 3 ke směru hlavního maximálního napětí. Takto určená napjatost odpovídá pouze ideálnímu případu splňujícímu výše uvedené předpoklady a popisuje napjatost na základě deformací v bodě o souřadnicích (r, α) okolo průchozího otvoru v rozlehlé desce a za předpokladu konstantního průběhu napětí po hloubce otvoru. Poměrná deformace změřená skutečným tenzometrem odpovídá průměrné deformaci v radiálním směru pod plochou vinutí tenzometru. Dále ne všechny smyčky vinutí mají směr odpovídající radiálnímu směru, takže do naměřené hodnoty radiální poměrné deformace se projeví i tangenciální složka uvolněných deformací. Koeficienty A a B pro skutečné tenzometry lze získat integrací přes skutečnou plochu vinutí tenzometru a nebo experimentální kalibrací. 3 Případ s neprůchozím otvorem V předchozím odstavci byl popsán stav desky s průchozím otvorem. Situace u skutečné součásti je však ve většině případů dosti odlišná. Otvor vrtaný do součásti není průchozí. V tomto případě jsou koeficienty A a B závislé na další proměnné, a to hloubce vrtaného otvoru Z respektive bezrozměrné hloubce otvoru Z/(2 R 0 ). A = f A (E, µ, r, Z/D 0 ) (23) B = f B (E, µ, r, Z/D 0 ) (24) Případ s neprůchozím otvorem představuje složitý stav napjatosti, pro který není možné přesné analytické řešení na základě teorie pružnosti. Stejně jako v případě průchozího otvoru je možné koeficienty A a B určit experimentální kalibrací. Takto získané koeficienty jsou přesné, ale odpovídají vždy jen konkrétní geometrii růžice otvoru a stejnému materiálu. Jinou možností je jejich určení numerickým výpočtem. Jednou z metod výpočtu těchto koeficientů pomocí metody konečných prvků uvádí Schajer [3]. Ukázka numerické simulace je na Obr. 4. Takto spočtené koeficienty se dnes používají u většiny komerčních aplikací odvrtávací metody. Byly spočteny pro růžici se třemi tenzometry. Schajer zavedl nové koeficienty a a b, které jsou nezávislé na materiálových vlastnostech a zahrnují pouze geometrii růžice a otvoru. 12

Obrázek 4: Ukázka numerické simulace odvrtané díry 4 Určování zbytkových napětí v závislosti na hloubce pod povrchem V předchozích odstavcích byl naznačen postup určování zbytkových napětí, kdy se předpokládal konstantní průběh zbytkových napětí po celé hloubce otvoru. U reálné součásti tomu tak však většinou není. V těchto případech je experimentální část prováděna po krocích, kdy vrtání probíhá po přírůstcích hloubky a na konci každého kroku se provede odečet uvolněných deformací. Takto získaný profil uvolněných deformací je pak vstupem pro vyhodnocovací metody. V průběhu historie vzniklo několik metod, kdy některé budou popsány dále. 4.1 Inkrementální metoda Tato metoda předpokládá měření uvolněných deformací v postupných malých krocích hloubky otvoru. Velikost napětí, které bylo v odvrtaném dílku, se pak vypočítá za předpokladu, že přírůstek uvolněné deformace je celý způsoben napětím, které bylo původně v odvrtáném dílku hloubky otvoru. Pro každý dílek hloubky musí být použity vlastní hodnoty kalibračních konstant a a b. Tyto kalibrační konstanty jsou pro každou hloubku díry určovány experimentálně postupným odvrtáváním vzorku se známou jednooosu napjatostí. Předpoklad, že uvolněné deformace změřené po vrtání jednoho kroku jsou způsobeny poze zbytkovým napětím uvnitř právě dílku však není správný. Po vyvrtání prvního kroku postupně uvolněné deformace kombinují vliv napětí uvnitř odvrtáného dílku a vliv změny geometrie otvoru. Geometrické změny způsobí další uvolnění deformací z napětí z předchozích vrtaných kroků. To má za následek, že uvolněné deformace se mohou zvětšovat, i když by nový vrtaný dílek byl nezatížen. 13

4.2 Metoda průměrných napětí Odvrtávací metoda základní teorie Tato metoda publikovaná Nickolaem [4] měla překonat nedostatky inkrementální metody. Metoda je založena na ekvivalentních konstatních napětích, což jsou konstatní napětí po celé hloubce otvoru, která způsobí stejné uvolněné deformace jako skutečný nekonstatní průběh zbytkových napětí. Ekvivalentní napětí jsou počítány za použití kalibračních konstant a a b pro konstantní pole napjatosti a za použití změžených uvolněných deformací. V případě metody průměrných napětí se ekvivalentní konstatní napětí počítá pomocí uvolněných defromací změřených před a po odvrtání dílku hloubky. Předpokládá se, že ekvivalentní konstantní napětí po odvrtání dílku hloubky odpovýdá součtu ekvivalentního konstatního napětí před vyvrtáním dílku hloubky a napětí uvnitř odvrtaného dílku. σ z+ z (z + z) = σ z z + σ z z (25) σ... ekvivalentní konstatní napětí uvnitř popisované oblasti z... hloubka otvoru před odvrtáním dílku hloubky z... přírustek hloubky z + z... hloubka otvoru po odvrtání přírustku hloubky Napětí uvnitř kroku se pak spočítá na základě řešení rovnice (25) 4.3 Metoda mocninné řady Metoda mocninné řady byla publikována Schajerem [3] jako přibližná, ale teoreticky akceptovatelná metoda pro výpočet nekonstantního pole zbytkové napjatosti. Při použití této metody je potřeba spočítat řadu koeficientů 0 a(h), 1 a(h), 2 a(h) a 0 b(h), 1 b(h), 2 b(h), které odpovídají uvolněným deformacím při vrtání otvoru do pole zbytkového napětí, které je nahrazeno mocninou řadou s proměnou odpovídající hloubce h;( 0 σ(h) = 1, 1 σ(h) = h, 2 σ(h) = h 2 atd.). Tento vztah je pak použit jako bázová funkce v metodě nejmenších čtverců pro analýzu naměřených dat. Metoda nejmenších čtverců je aplikována na každé transformované napětí definované v rovnicí (14). Transformované napětí P (h) je spočítáno z transformované deformace p(h) za použití vztahu [ 0 a(h) 0 a(h) 1 a(h) 0 a(h) 0 a(h) 1 a(h) 1 a(h) 1 a(h) ] [ 0 P 1 P ] = E [ 0 a(h)p(h) 1 1 + µ a(h)p(h) ] (26) P (h) = 0 P + 1 P h (27) kde 0 P a 1 P jsou první dva členy mocninné řady, která popisuje napětí P. Tento výpočet se obdobně provede pro transformované napětí Q(h) a T (h) za použití deformací q(h) a t(h) a koeficientů b(h) místo a(h). Odvrtávací metoda nedává uspokojivé 14

výsledky při použití více jak prvních dvou členů mocninné řady ve výrazu pro napětí. Z tohoto důvodu je omezena maximální hloubka od povrchu omezena hodnotou 0, 5r m, kde r m je střední poloměr tenzometrické růžice (vzdálenost středů vynutí jednotlivých tenzometrů od středu tenzometrické růžice). Použití metody nejmenších čtverců způsobuje zaokrouhlení měřících chyb, nadruhou stranu v případě nehladkého pruběchu zbytkových napětí tento zaokrouhlující účinek má vliv na celkovou velikost spočítených zbytkových napětí. 4.4 Integrální metoda Integrální metoda patří mezi uznávané metody pro vyhodnocování nekonstantního pole zbytkového napětí. V této metodě se předpokládá vliv napětí ve všech hloubkách na velikost uvolněných deformací v celkové hloubce. Nechť σ(h) je napětí v hloubce H pod povrchem. Za předpokladu dvouosé napjatosti o stejných hodnotách složek je napětí ve všech směrech rovnoběžných s povrchem stejné. V tomto případě bude každým tenzometrem změřena stejná hodnota uvolněné deformace. Změřená deformace ε(h) po odvrtání otvoru o hloubce h je integrálem elementárních uvolněných deformací od napětí ve všech hloubkách v rozsahu 0 H h ε(h) = 1 + µ E h 0 Â(H, h)σ(h)dh 0 H h (28) kde Â(H, h) je uvolněná deformace na jednotkovou délku způsobená jednotkovým napětím v hloubce H, kdy h je celková hloubka otvoru. Funkci Â(H, h) je možné s určitými problémy určit experimentálně, nebo výhodněji pomocí numerické simulace metodou konečných prvků. Pokud jsou tedy funkce (εh) a Â(H, h) známé, lze neznámé napětí σ(h) získat řešením integrální rovnice (28). V praxi však funkce ε(h) není určena v celém rozsahu, ale jsou známé hodnoty v n diskrétních bodech, odpovídající n hloubkám získaných postupnými kroky h i = 1, 2,..., n. Pro tento případ lze vyjádřit rovnici (28) v diskrétní formě j=i a ij σ j = j=1 E 1 + µ ε i 1 i n (29) kde: ε i... změřené deformace po odvrtání i-tého kroku σ j... eqivalentní konstantní napětí uvnitř j-tého kroku a ij... uvolněné deformace odpovídající jednotkovému napětí uvnitř j-tého kroku po odvrtání i-tého kroku n... celkový počet kroků 15

Rovnici (29) lze zapsat pomocí maticového zápisu kde pro případ čtyř kroků lze psát a 11 a = a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 a 44 Odvrtávací metoda základní teorie aσ = Eε/(1 + µ) (30) σ = σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 ε = ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 (31) Při znalosti koeficientů a ij lze řešením rovnice (30) získat přibližné řešení průběhu napětí s hloubkou. Výše uvedené vztahy platí pro dvouosou napjatost se stejnými velikostmi složek. Pro obecný případ napjatosti daný složkami σ 1, σ 3 a τ 13 a deformacemi ε 1, ε 2 a ε 3 proměnnými nezávisle s hloubkou. Pro výpočet je výhodnější pracovat s transformovanými vektory napětí P, Q a T a vektory transformovaných deformací p, q, t. Analogicky k skalárním vztahům (16) (17) (18) lze psát ap = Ep/(1 + µ) (32) bq = Eq (33) bt = Et (34) Při znalosti koeficientů a ij a b ij lze pak řešením rovnic (32) (33) (34) získat přibližné řešení průběhu zbytkových napětí s hloubkou. 5 Závěr Odvrtávací metoda je uznávaná a jedna z nejrozšířenějších metod pro určování zbytkových napětí. Je to metoda experimentální, což sebou nese všechny problémy experimentálního měření od instalace tenzometrické růžice, měření uvolněných deformací, vlastní proces odvrtání následně vyhodnocení atd.. Na Obr. 5 je příklad měřícího systému. Jedná se o moderní měřící aparaturu RESTAN řízenou počítačem. To umožňuje určité kroky zautomatizovat a tím urychlit vyhodncení zbytkových napětí. Znalost zbytkových pnutí pak představuje u daných konstrukcí důležitou informaci, která může být zahrnuta při pevnostním výpočtu, či zohledněna při zjištování životnosti dané součásti. Poděkování Tato práce vznikla za podpory grantu GAČR 106/02/0612 16

Obrázek 5: Měřící souprava RESTAN při určování zbytkových napětí na ohýbané trubce Literatura [1] TIMOSHENKO, S. GOODIER, J. M.: Theory of Elasticity. 2. ed. New York, McGraw-Hill. 1951, 576 s. [2] MEASUREMENTS GROUP, INC. Raleigh North Carolina, Measuremt of Residual Stresses by the Hole-Drilling Strain Gage Method, 1988, 18 s. [3] SCHAJER, G. S.: Application of Finite Element Calculations to Residual Stress Measurements. Journal of Engineering Materials and Technology, 103 1981, s. 157-163. [4] NICKOLA, W. E.: Practical Subsurface Residual Stress By The Hole Drilling Method. Proceedings of the Spring Conferenc on Experimental Mechanics, New Orleans, June 3 13, 1986, s. 47-58 [5] SCHAJER, G. S.: Measurement of Non Uniform Residual Stresses Using the Hole Drilling Method. Part I Stress Calculation Procedures. Journal of Engineering Materials and Technology, Vol.110 1 1988, s. 338-343. [6] SCHAJER, G. S.: Measurement of Non Uniform Residual Stresses Using the Hole Drilling Method. Part II Practical Application of teh Integral Method. Journal of Engineering Materials and Technology, Vol.110 1 1988, s. 344-349. [7] HETÉNYI, M.: Handbook of Experimental Stress Analysis. 1. ed. Ney York, John Wiley & Sons,inc. 1950, 1077 s. 17

[8] SINT Technology, 243-50041 Calenzano Italy, Meßsystem zur Bestimmung von Eigenspanungen mit der Borlochmethode, 1999, 46 s. 18