3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet - soustava se silami a jejich působišti je v klidu, popřípadě v rovnoměrném přímočarém pohybu - vnější síly s reakcemi tvoří rovnovážnou soustavu sil, která vyvolává v průřezech hledaná přetvoření a napětí; vnitřní síly určíme tedy z podmínek rovnováhy Rozdíly - soustavu uvažujeme v obecném pohybu takže je zatížena setrvačnými silami - reakce, přetvoření a napětí v průřezech určujeme v závislosti na čase a hledáme jejich největší hodnoty; vnitřní síly musí uvést v rovnováhu s dynamickým zatížením nejen vnější síly, ale i setrvačné síly
Dynamický výpočet se provádí, když - konstrukce nebo její část se pohybuje - působící síly mění svou velikost v čase (např. periodicky) - působící síly se pohybují po konstrukci - zatížení začne působit náhle nebo během velmi krátké doby významně změní svou velikost 3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 1. Zákon - Zákon setrvačnosti Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není donuceno působením vnější síly tento stav změnit. v konst. je - li 0 ( síla )
Newton charakterizoval velikost pohybu hybností. Vektor hybnosti má směr totožný s vektorem rychlosti. H m v kde m je skalár hmoty Jinak 1. zákon Bez vnějšího působení zachovává těleso svoji hybnost. Příklad: Rovnoměrný přímočarý pohyb je charakterizován hybností konstantní velikosti a směru.. Zákon - Zákon síly (základní zákon dynamiky) Změna hybnosti může nastat pouze působením síly d H d ( m v) [ kgms - N ] dt dt
dv Nemění-li se při pohybu hmotnost m m a dt Def.: Zrychlení je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné velikosti zrychlované hmoty. Hmota m je měřítkem odporu, který hmotný bod klade proti svému zrychlení či zpoždění a proto se veličině m říká setrvačná hmota. 1N odpovídá přibližně tíze tělesa o hmotnosti 0,1 kg. 3. Zákon - Zákon akce a reakce Dvě tělesa na sebe působí silami, které jsou stejně veliké, leží na stejném paprsku a jsou opačně orientované 1 1 akce reakce
- V klidu a v rovnoměrném přímočarém pohybu se tyto síly ruší a vzniká tlak mezi tělesy - Pokud těleso mění svou rychlost, působí proti zrychlující síle odpor setrvačnosti, který je stejně veliký jako zrychlující síla m a m a je síla setrvačná Na tomto je založen princip D'Alembertův Př. Zdviž se pohybuje s člověkem a) se zrychlením (+a) vzhůru při pohybu vzhůru tělo člověka tlačí na podlahu svojí vahou a navíc setrvačnou reakcí G + m a celková síla na podlahu b) se zrychlením (-a) dolů G m a m g m a m g a ( )
Etrémní případ - volný pád - a g m( g g) 0 a tlak člověka na podlahu by byl nulový. Inerciální soustavy souřadnic jsou vůči stálicím v klidu nebo se vůči nim pohybují rovnoměrně přímočaře. Nejvhodnější SS pro naše výpočty: Za inerciální budeme považovat soustavu souřadnic, která je v absolutním klidu.
3.. Dynamika hmotného bodu 3..1. Základní pojmy Pro každý hmotný bod napsat základní Newtonovu pohybovou rovnici, čímž lze určit pohyb hmotného bodu m a r Pohybová rovnice vyjadřuje vztah mezi veličinami pohybu (dané zrychlením a ) a silovými veličinami reprezentované výslednou silou n r i a i1 r m a představuje matematický model pro vyšetřování dynamických poměrů uvažovaného bodu.
Pohybová rovnice je rovnice vektorová, kterou musíme zpravidla při konkrétním řešení rozepsat do skalárních rovnic r a () t v& () t && () t m ry a y () t v& y () t && y() t m rz a z () t v& z () t && z() t m 3..1. Věty o hybnosti H m v d H Dle. zákona platí ( m v) d ( m v) dt. dt d vynásobíme dt a z toho dt
Předpoklad Síla může být v čase proměnná, tj. působí od okamžiku t o do času t, přičemž hmotnost je konstantní. Impuls síly t t o dτ m v () t m v( t ) H () t H ( t ) I () t o o 1. Věta o hybnosti Časová změna hybnosti (přírůstek hybnosti), se rovná impulsu vnější síly. Důsledkem 1. věty o hybnosti je zákon o zachování hybnosti Nepůsobí-li na hmotný bod vnější síla, zůstává jeho hybnost konstantní.
Př. 3...1 Určete rychlost, kterou bude mít volně padající hmotný bod na konci 5. sekundy. Počáteční rychlost je nulová. mv v je tíha hmotného bodu t 0 mv t mg ( t ) () dτ mv( t 5) 0 5 g 5 9,81 0 & 49 ms 1 mg dτ - v g t ( srovnejse vzorcem z fyziky 5 0 mg 5 ) V technické prai se setkáváme s rovnoměrným otáčením těles, pro které platí zákon setrvačnosti (neuvažujeme tření). Jinak je tomu při urychlování otáčivého pohybu. Podobně jako je definován moment síly k bodu je zaveden moment hybnosti hmotného bodu k libovolnému bodu v prostoru.
-1 b r H r mv [ kg m s ] derivace momentu hybnosti db d dr dv ( r mv) mv + r m dt dt dt dt dr dv a protože v a a pak dt dt db v mv + r m( v v) + r r M dt ( v rovnici ( v v) 0, protože se jedná o vektorový součin kolineárních vektorů ).
Připomeňme si ( viz obrázek ) M M r s r ϕ d b M dt moment síly k bodu je roven časové derivaci momentu hybnosti k témuž bodu, je to momentová analogie zákona síly. Vynásobíme vztah dt, tj. db M dt, a integrací dostaneme t Mdτ r t mv t r t 0 mv t 0 b t b t 0 t o () () ( ) ( ) () ( ) I M () t neboli impuls momentu.
. Věta o hybnosti Časová změna momentu hybnosti hmotného bodu k libovolnému bodu v prostoru se rovná impulsu momentu vnější síly k témuž bodu. nebo Derivace dle času momentu hybnosti se rovná momentu vnějších sil. Podobně jako zákon o zachování hybnosti máme zákon o zachování momentu hybnosti: Nevyvozují-li vnější síly vůči libovolně zvolenému bodu moment, zůstává moment hybnosti konstantní.
3..3. Práce, výkon, energie y r 0 z r d r r + d r Pro ortogonální souřadnicový systém W o d + y yo y dy k + z zo z dz Def..3.1 Skalární součin síly a přírůstku dráhy nazveme přírůstek práce. dw d r [NmJ 1 Joule ] Práce 1N na 1 m. Celková práce je křivkový integrál W r dr ro
Jestliže dráha a síla svírají úhel, pak α ds dw W ds cosα cosα ds Def..3. Přírůstek práce za jednotku času se nazývá výkon p dw dt dr dt v [J s -1 -W 1 Watt ] Výkon je skalární součin síly a rychlosti.
Pro stroje se zavádí účinnost η, jako podíl výkonu stroje k příkonu (dodávané energii). Je vždy menší než 1.. zákon - zákon síly r r m a d m a a r r r d rovnici & d d d dv d m v m v d vynásobíme 1 d dt dv d dv m v dv d d v d lze provést úpravu dosadíme za
Obdobně ry dy d 1 m v y dostaneme sečtením r čili d r d + d ry 1 dy + m v rz dz rz dz 1 d m d 1 m v z ( ) v + v + v y z Def.3..3.3 Kinetická energie hmotného bodu je definována vztahem E k 1 m v Integrujeme výraz d r d 1 m v, potom
r ro dr E E, 0 k k Věta 3..3.1 Kinetická energie je schopnost konat práci. Vykonaná práce je rovna přírůstku kinetické energie. Potenciální energie Těleso ji má v důsledku své polohy. Pro energii potenciální neeistuje žádný univerzální vzorec, musíme ji spočítat pomocí práce, kterou je nutno vynaložit na to, abychom těleso do jeho polohy dopravili
Homogenní gravitační pole - pro přitažlivou sílu - tíhu platí W G h m g h E p pro případ pružiny platí, neboť síla během stlačování není konstantní k kde k je konstanta pružiny 1 W d k d k 0 0 Platí Zákon o zachování mechanické energie E E E E p0 p k k0 nebo v jiné úpravě E E p 0 + Ek 0 E p + Ek konst. p
Pohybuje-li se hmotný bod v potenciálním silovém poli, pak v libovolném okamžiku ve všech místech prostoru platí, že součet kinetické a potenciální energie je konstantní. Působí-li na hmotný bod ještě nějaké síly, např. síla motoru, tření ap., je energie dodávána nebo se mění v jinou, dochází ke ztrátám - disipaci energie, soustava se nazývá disipativní. Věta 3..3.. Součet kinetické a potenciální energie se zvětší o vykonanou práci, zmenší se o spotřebovanou práci. Přestože energie je odlišný pojem od práce má stejné jednotky.