Exponenciální modely hromadné obsluhy Systém s čekáním a neohraničeným zdrojem požadavků Na základě předchozích informací je potřeba probrat, jaké informace jsou dostupné v počtu pravděpodobnosti řešícím problematiku hromadné obsluhy problematiku řešení obsluhy fronty. Pro vysvětlení jsou hned úvodem zvoleny dva případy dané hodnotami charakterizujícího vzorce.
Příklad 1: Službu v bance u bankovní přepážky v sobotu zabezpečuje jen jeden pracovník (je otevřena jen jedna přepážka) ** od 8 do 20 hodin přicházejí klienti v průměru každých 8 minut předpoklad = exponenciální rozdělení intervalů mezi příchody ** průměrná doba strávená u přepážky 6 minut předpoklad = náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Klienti přistupují k přepážce v pořadí jak přišli.
Zadání představuje jednoduchý exponenciální model HO typu: M / M / 1 / / / FIFO v systému je pouze jedna obslužná linka intervaly mezi příchody požadavků mají exponenciální rozdělení s parametrem λ doba trvání obsluhy má exponenciální rozdělení s parametrem μ neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavků a režim fronty FIFO.
Charakteristiky systému: 1. Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tj. pravděpodobnost, že linka není využita p 0 = 1 λ / μ Odtud plyne pravděpodobnost, že v systému je alespoň jeden požadavek (a linka je využita), je λ / μ. Tento podíl označujeme ρ - popisuje intenzitu provozu systému. Hodnota současně udává pravděpodobnost, že požadavek, který přijde do systému, bude muset čekat na obsluhu ve frontě.
2. Pravděpodobnost, že v systému je právě n požadavků, jeden je obsluhován a n 1 čeká ve frontě p n = p 0 p n = (1 ρ) ρ n 3. Průměrný čas, který požadavek tráví v systému T = 1 / (μ λ) a ve frontě T f = T 1 / μ = / μ * (μ λ)
4. Průměrný počet požadavků v systému N = λ * T = λ / (μ λ) a ve frontě N f = λ * T f = λ 2 / (μ (μ λ )) Podmínka stabilizace systému M / M / 1 : intenzita provozu < 1 tj. intenzita příchodu ρ < 1 nižší než intenzita obsluhy μ. Jinak by došlo k zahlcení systému a fronta by bez omezení narůstala.
Příklad 1 * pokračování: Do banky přicházejí klienti v průměru každých 8 minut intenzita příchodů λ = 60 / 8 = 7,5 klientů za hodinu. Při průměrné době 6 minut u přepážky je intenzita μ = 60 / 6 = 10 klientů za hodinu. Intenzita provozu přepážky (tedy její vytížení) ρ = λ / μ = 7,5 / 10 = 0,75. Pracovník přepážky tedy bude využit na 75%.
Se stejnou hodnotou pravděpodobností bude klient čekat na vyřízení své záležitosti u přepážky. Naopak s pravděpodobností p 0 = 1 ρ = 0,25 u přepážky nikdo nebude a přepážka bude volná = pracovník bude čekat na klienta. Se stejnou hodnotou pravděpodobností klient, který přijde do banky, nebude muset čekat.
V tabulce - pokud u přepážky bude n klientů (pro n = 0, 1,..., 10 ) - jsou uvedeny hodnoty pravděpodobnosti p n a kumulované pravděpodobnosti P (X < n) udávající, že u přepážky bude maximálně n klientů: n 0 1 2 3 4 5 6 p n 0,2500 0,1875 0,1406 0,1055 0,0791 0,0593 0,0455 P (X < n) 0,2500 0,4375 0,5781 0,6836 0,7627 0,8220 0,8665 n 7 8 9 10 p n 0,0334 0,0250 0,0187 0,0141 P (X < n) 0,8999 0,9249 0,9436 0,9577
Můžeme také např. určit pravděpodobnost, že u přepážky bude víc než 10 klientů: p n = 1 0,9577 = 0,0423 více než ve 4%. Pro časové charakteristiky a charakteristiky počtu požadavků platí: T = 1 / (μ λ) = 1 / (10 7,5) = 0,4 hod = 24 min T f = T 1 / μ = 0,4 0,1 = 0,3 hod = 18 min N = λ * T = 7,5 * 0,4 = 3 klienti N f = λ * T f = 7,5 * 0,3 = 2,25 klienta.
. slovní vyjádření: U přepážky budou průměrně 3 klienti. Před přepážkou čeká průměrně 9/4 = 2,25 klienta. Průměrná doba, kterou klient stráví čekáním na vyřízení svého případu, je 18 minut. Celkově stráví klient u přepážky 24 minut.
Příklad 2: V pobočce banky jsou 3 přepážky - klienti se řadí do jedné fronty a po uvolnění libovolné z přepážek mohou být obsluhováni. Klienti přicházejí s průměrnou intenzitou 68 lidí za hod. Intervaly mezi jejich příchody mají exponenciální rozdělení. Doba odbavení klienta má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 2,4 min = tj. za hodinu každá přepážka odbaví průměrně 60 / 2,4 = 25 klientů.
Zadání představuje variantu modelu HO typu: M / M / c / / / FIFO v systému je c identických paralelně uspořádaných obslužných linek intervaly mezi příchody požadavků mají exponenciální rozdělení s parametrem λ doba trvání obsluhy má exponenciální rozdělení s parametrem μ neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavku a režim fronty FIFO.
Protože intenzita obsluhy na každé z linek je μ, bude intenzita obsluhy celého systému rovna c * μ. Podíl λ /c * μ = ρ znamená intenzitu provozu celého systému = představuje i průměrné využití obslužných linek, poměr pracovního času k celkovému provoznímu času systému. Aby fronta neomezeně nevzrůstala a systém zvládal obsluhu příchozích požadavků musí být intenzita obsluhy celého systému vyšší než intenzita příchodu požadavků.
Podmínka stabilizace systému: M / M / c v poměru k intenzitě provozu ρ musí být < 1.
Charakteristiky systému: 1. Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tj. pravděpodobnost, že žádná z linek nepracuje p 0 = [(Σ(od: k=0 do: k=c 1) r k / k!) + ((c * r c ) / ((c r) * c! )) ] 1 kde r = λ / μ.
2. Pravděpodobnost, že v systému je n požadavku a fronta je prázdná p n = [ r n / n! ] * p 0 pro n c 3. Pravděpodobnost, že v systému je n požadavků, c obsluhováno a zbývajících n c čeká ve frontě p n = [ r n / (c! * c n c )] * p 0 pro n > c
4. Průměrný čas, který požadavek tráví v systému T f = [( r c * μ ) / ((c 1)! * (c * μ λ ) 2 )] *p 0 a v systému T = T f + ( 1 / μ )
5. Průměrný počet požadavků v systému a ve frontě N = λ * T N f = λ * T f 6. Pravděpodobnost, že příchozí požadavek bude čekat ve frontě, což vlastně znamená pravděpodobnost, že v systému je c a více požadavků p f = [( c * r c ) / ((c r) c! )] * p 0.
Příklad 2 * pokračování: Konkrétní hodnoty sledovaného stavu v bance: c = 3, λ = 68, μ = 25, r = λ / μ = 68/25 = 2,72, ρ = / (c * μ) = 68/3 * 25 = 0,9067 < 1 a je stabilizace splněna..
V tabulce - pokud u přepážky bude n klientů (pro n = 0, 1,..., 10 ) - kromě pravděpodobností p n je i pravděpodobnost, že v bance je n a méně klientů, a pravděpodobnosti, že je tam více než n klientů. n 0 1 2 3 4 5 6 p n 0,0231 0,0627 0,0853 0,0774 0,0701 0,0636 0,0577 P (X n) 0,0231 0,0858 0,1711 0,2485 0,3186 0,3822 0,4399 P (X > n) 0,9769 0,9142 0,8289 0,7515 0,6814 0,6178 0,5601 n 7 8 9 10 11 12 p n 0,0523 0,0474 0,0430 0,0390 0,0353 0,0320 P (X n) 0,4922 0,5396 0,5826 0,6216 0,6569 0,6889 P (X > n) 0,5078 0,4604 0,4174 0,3784 0,3431 0,3111
Hodnota pravděpodobnosti: p 0 = [ (2,72 0 / 0!) + (2,72 1 / 1!) + (2,72 2 / 2!) + ((3 * 2,72 3 ) / ((3 2,72) 3!)) ] 1 = = 1 / (1 + 2,72 + 3,699 + 35,935) = 0,0231 Pravděpodobnost, že v bance nebude žádný klient je asi 2,31%.
Pravděpodobnost, že příchozí bude muset čekat, je 0,8289, což je pravděpodobnost, že v bance jsou více než dva klienti. Pravděpodobnost, že je tam více než 12 klientů (3 u přepážky a 9 ve fronte) je poměrně velká 31,11%.
Časové charakteristiky: Průměrná doba čekání ve frontě T f = [ ((2,72 3 * 25) / ((3 1)! * (75 68) 2 ) ] * p 0 = = 0,1184 hodiny = 7,1 minuty. Průměrná doba strávená v bance T = T f + ( 1 / μ ) = 0, 1118 + ( 1 / 25 ) = = 0,1584 hodiny = 9,5 minuty.
Charakteristiky poctu požadavků: Průměrný počet klientů v bance N = λ * T = 68 * 0,1584 = 10,77 klienta. Průměrný počet klientů ve frontě N f = λ * T f = 68 * 0,1184 = 8,05 klienta.
Optimalizace v modelech HO Optimalizace v modelech hromadné obsluhy Při modelování systému hromadné obsluhy je potřeba zjistit, kolik paralelně řazených obslužných linek je efektivní provozovat, aby byla dosažena a zachována minimalizace nákladů souvisejících s tímto provozem. Tím je dán prostor pro optimalizaci.
Optimalizace v modelech HO Optimalizace v modelech hromadné obsluhy Realizace optimalizačních propočtů předpokládá je odvislá - od toho, že se dají (musí to být reálně možné) ohodnotit náklady provozu obslužných linek a náklady související s pobytem požadavků v systému.
Optimalizace v modelech HO Definice nákladovou funkci N F(c) = k 1 * N + k 2 * c kde k 1 jsou náklady pobytu jednoho požadavku v systému za jednotku času k 2 jsou náklady provozu jedné linky za jednotku času N je průměrný počet požadavků v systému c je počet linek
Optimalizace v modelech HO Výsledná hodnota nákladové funkce se skládá ze dvou částí. První část k 1 * N je celkovým ohodnocením nákladů pobytu požadavku v systému za jednotku času. Druhá část k2 * c představuje celkové náklady na provoz všech linek za jednotku času.
Optimalizace v modelech HO Při zvýšení počtu linek dojde ke zvýšení hodnoty k 2 * c a současně se sníží průměrný počet požadavků v systému čímž se sníží hodnota k 1 * N. Při snížení počtu linek je nákladová změna u obou položek opačná.
Optimalizace v modelech HO Příklad 3: Předpoklad - náklady pobytu klienta v bance jsou fixní = 200 Kč za hodinu - náklady na provoz jedné přepážky = 500 Kč za hodinu. Při třech přepážkách vyjde průměrný počet klientů v bance 10,77. (mezi 10 a 11 jedinci). Po dosazení do nákladové funkce vychází N F(3) = 200 * 10,77 + 500 * 3 = 3654 tj. hodinový provoz v bance je ohodnocen 3 654 Kč.
Optimalizace v modelech HO Tabulka ukazuje, jak by se částka měnila v závislosti na počtu přepážek. c k 1 * N k 2 *c k 1 * N + k 2 * c 2 1000 3 2154 1500 3654 4 714,4 2000 2714 5 586 2500 3086 6 556 3000 3556
Optimalizace v modelech HO Pro 2 přepážky není systém stabilizovaný. Obsluha nestíhá a fronta a tím i náklady na pobyt klientu neomezeně rostou. Z tabulky plyne, že vzhledem k předpokládaným nákladovým položkám je optimální provozovat jen 4 přepážky.
Optimalizace v modelech HO Pro 4 přepážky bude průměrný počet klientů N F(c) = k 1 * N + k 2 * c N = 3,57. Tato hodnota, stejně jako hodnoty N pro ostatní položky, se vypočítají dosazením do uvedeného vztahu.
Optimalizace v modelech HO Zajímavá je otázka, nakolik by se musely snížit náklady na pobyt klientů v bance, aby byl optimální původně uvažovaný model se 3 přepážkami. NF(3) < NF(4) 10,77 * k 1 + 3 * 500 < 3,57 * k 1 + 4 * 500, odtud k 1 < 69,44. Optimální systém se třemi přepážkami musí mít pobyt klientů ohodnocen částkou nižší než 69,44 Kč za hodinu.
Systém bez čekání v modelech HO Systém bez čekání se ztrátami obsluhy Obsluhující soustava sestává z n stanic obsluhy. Přijetí požadavků vstupujících k obsluze je podmíněno tím, že některá z obsluhujících stanic je volná. Jsou-li všechny stanice obsazeny, požadavek nečeká, ale je odmítnut a odchází neobsloužen.
Systém bez čekání v modelech HO Každá stanice může obsloužit zároveň pouze jeden požadavek.
Systém bez čekání v modelech HO Systém s čekáním a ohraničeným zdrojem požadavků Jedná se o systém, který se skládá z n stanic obsluhy, každá může obsluhovat pouze jeden požadavek. Předpoklad - doba obsluhy je náhodná veličina s exponenciálním zákonem rozdělení s parametrem μ.
Systém bez čekání v modelech HO Ze zdroje požadavků obsahujícího ohraničený počet m požadavků přicházejí do systému požadavky na obsluhu s proměnou intenzitou závislou na počtu požadavků ve zdroji. Doba do výskytu poruchy jednotlivého požadavku je náhodná veličina, o níž předpokládáme, že má exponenciální rozdělení s parametrem, který je roven převrácené hodnotě střední doby do poruchy.
Systém bez čekání v modelech HO Jestliže je některá ze stanic volná, pak vstupující požadavek je obsloužen a po skončení obsluhy se opět vrací do zdroje požadavků. Jsou-li všechny stanice obsazené, vstupující požadavek je zařazen do fronty a čeká na uvolnění některé stanice.
Systém bez čekání v modelech HO Schéma činnosti tohoto systému.
Systém bez čekání v modelech HO Příklady takových systémů: skupina kombajnů při žních, k jejichž opravě je určen pojízdný opravářský vůz stroje v továrně, k jejichž údržbě je určena četa opravářů.
Systém simulační analýzy v modelech HO Systém simulační analýzy v systému hromadné obsluhy V reálných systémech hromadné obsluhy nelze zpravidla odvodit základní charakteristiky systému analytickým způsobem. Analytické řešení je k dispozici pouze u nejjednodušších modelů, které jsou v reálných podmínkách aplikovatelné bez dodatečných omezení jen zřídka.
Systém simulační analýzy v modelech HO Jedinou cestou pro získání hledaných charakteristik je vytvoření simulačního modelu daného systému. Na základě vhodné realizace experimentu s tímto modelem lze potom odvodit odhady požadovaných charakteristik. Simulace se definuje jako experimentování s modelem reálného systému na počítači.
Systém simulační analýzy v modelech HO Experimentováním se rozumí napodobování chodu sledovaného systému. Aby byly odhady hledaných charakteristik dostatečně přesné, je třeba provázet tyto experimenty dostatečně dlouho. Se zvyšováním počtu experimentů lze očekávat zpřesňování odhadu hledaných charakteristik.
Systém simulační analýzy v modelech HO Při simulační analýze systému stačí sledovat v diskrétních časových okamžicích změny a provádět v nich potřebný sběr dat. Po skončení simulace jsou na základě údajů získaných v průběhu simulace odvozeny odhady jednotlivých charakteristik. K základním problémům, které je třeba řešit v průběhu simulace systému hromadné obsluhy, patří generování výskytu událostí, které ovlivňují stav systému.