Pružot a platiita II., 3.ročík bakalářkého tuia, přeášk Jaa, Téa Záklaí rovie teorie pružoti Záklaí iforae o výue a hooeí přeětu PP II Úvoí poák a áklaí přepokla Napětí a eforae Aalýa apjatoti a eforae v okolí bou tělea Rovie rovováh Geoetriké rovie Fikálí rovie Katera tavebí ehaik Fakulta tavebí, VŠB - Tehiká uiverita Otrava
Záklaí iforae Přeět: 8-/ - Pružot a platiita II Přeášejíí: Do. Ig. Petr Jaa, CS. Spojeí: tel: 59 73 38 e-ail: petr.jaa@vb. Přeášk a iforae: http://fat.vb./jaa
Oova přeášek. Záklaí rovie teorie pružoti.. Roviý problé, těová rovie. 3. Meto řešeí tě. 4. Dek, tehiká teorie tekýh eek, tluté ek. 5. Dek, eto řešeí eek. 6. Kruhové ek. 7. Skořepi. 8. Moel položí, pružý poloprotor. 9. Stabilita prutovýh kotrukí, Eulerovo řešeí..nelieárí hováí ateriálů, poík platiit..rá platikýi kloub. 3
Oova vičeí. Úvoí vičeí, traforae ložek apětí. Řešeí tě pooí Airho fuke 3. Řešeí tě pravoúhlýh etoou ítí, aáí. prograu 4. Řešeí pravoúhlýh tě etoou ítí,. píeka traforae apětí 5. Řešeí pravoúhlýh eek etoou ítí, aáí. prograu 6. Řešeí pravoúhlýh eek etoou ítí 7. Řešeí kruhovýh a eikruhovýh eek 8. Skořepiové kotruke, ebráový tav 9. Noík a pružé poklaě, ueriké řešeí. píeka, kruhové a eikruhové ek. Stabilita prutovýh kotrukí, ueriké řešeí. Stabilita prutovýh kotrukí, ueriké řešeí. Meí platiká úoot prutovýh kotrukí 3. Meí platiká úoot prutovýh kotrukí, 3. píeka, eí úoot oíků 4. Zápočet 4
Literatura [] Diký, J., Mitríková, Z., Sue, J., Pružoť a platiita v tavebítve, Sloveká tehiká uiverita v Bratilavě, 4. [] Diký, J., Mitríková, Z., Sue, J., Pružoť a platiita v tavebítve, Sloveká tehiká uiverita v Bratilavě, 6. [3] Teplý, B., Šiřák, S., Pružot a platiita II. Naklaateltví VUT Bro, 993. Další oporučeá literatura: [4] Šiřák, S., Pružot a platiita I. Naklaateltví VUT Bro, 999. [5] Bittar, Z., Šejoha, J. Nueriké eto ehaik, ČVUT, Praha, 99 [6] Novák, O. a kol Tehiký průvoe 3. Nauka o pružoti a pevoti ve taviteltví, SNTL, Praha, 963 5
Hooeí ápočtu Přepokla pro íkáí ápočtu: Uaý ápočet přeětu SSKI 7% účat a vičeí, eúčat uí být řáě oluveá Zvláutí 3 píeýh praí Zvláutí prograů Zíkáí iiálě 8 boů 35 ožýh Boováí a vičeí: 3 píek - 7 až 4 boů - prví opravá - 6 až 4 bo - alší opravé a. 4 bo progra vča a právě 7 boů, vča a hbě po prví právé opravě 5 boů, po ruhé právé opravě 4 bo, po alší právé opravě 3 bo poě a právě 5 boů, po prví práví opravě 4 bo, po alší právé opravě 3 bo 6
Hooeí koušk Přepokla ápiu ke kouše - úpěšé abolvováí koušk SSK I - íkáí ápočtu PP II Poíka úpěšého abolvováí koušk - Úpěšé vkoáí útí i píeé čáti koušk Píeá čát až 35 boů Poíkou pro potup k útí kouše je i. 8 boů píeé čáti koušk Útí čát 3 boů, pro vkoáí i. 5 Zák: 86 boů 66 85 boů 5 65 boů 3 7
Záklaí přepokla teorie pružoti Látka tělea je hoogeí, ůže být přito a) iotropí b) aiotropí okoale pružá a to a) lieárě b) elieárě (ebuee e atí abývat) eforae tělea půobeí vějšíh vlivů jou alé geoetrik lieárí teorie pružoti počátečí apjatot je ulová, epůobí-li a těleo vější íl. 8
Lieárí pružot Poku foruluje poík rovováh a: eeforovaé tělee (ůleek přepoklau alýh eforaí a jejih aebatelý vliv a tto poík) hovoříe o teorii prvího řáu, eforovaé tělee (ůleek eaebatelého vlivu přepoklau i alýh eforaí) hovoříe o teorii ruhého řáu. (ejeá e již o lieárí pružot) Přepokla alýh eforaí a lieárí áviloti ei apětí a přetvořeí (geoetriká a fikálí liearita) uožňuje vužít priip uperpoie 9
Priip uperpoie Výleý tav, tj. výleé atížeí a reake, vitří íl, apětí, přeítěí (eforae) je oučte jeotlivýh atěžovaíh tavů. Neáleží a pořaí v jaké jeotlivé atěžovaí tav a těleo či kotruki půobí.
Klaifikae oýh kotrukí Prut je trojroěré těleo, jehož jee roěr (élka) je potatě větší ež bývajíí va roěr. Mohou ít proělivou élku, průře, příé i akřiveé. Plošý kotrukčí prvek je trojroěré těleo, jehož va roěr jou potatě větší ež bývajíí jee roěr (tloušťka). Patří ei ě ek, tě roviou třeiovou plohou a kořepi e akřiveou třeiovou plohou. Těleo je kotrukčí prvek, jehož roěr jou rovatelé.
Vější íl a vitří íl Vější íl: objeové (půobí v eleeteh objeu), patří k i: vlatí tíha, otřeivé íl at. povrhové íl půobí jako atížeí a ploše a to jako: pojité atížeí a ploše a a čáře (příe) a boové íl (igulárí íl). Objeové a plošé atížeí je reálé, boové atížeí a atížeí a čáře je abtraktí, iealiuje atížeí plošé. Vitří íl vikají vlive vějšího atížeí, jou jí iuková.
Vitří íl Prutové prvk: o ložkáh vitříh il přepoklááe, že půobí v těžišti. Jou výleií eleetáríh il (apětí) půobííh v určité řeu a ěru. Touto probleatikou jte e abývali v přeětu PP. Při jejih určeí e vháelo e alotí ložek vitříh il Plošé prvk a tělea: je uto e abývat roložeí eleetáríh il 3
Napětí Poěr eleetárí íl a velikoti plošk je poěré apětí a této ploše: Sěr apětí je hoý e ěre íl půobíí a aou plošku r p r F A Zešujee-li velikot plošk A k ule, otaee apětí p v boě: Záklaí jeotkou apětí je Pa [N/] r p li A r F A r F A 4
Napětí, pokračováí Při roložeí íl F o ěru orál a top v plošk A je: N V v A A p Platí přito: v je orálové apětí, půobí ve ěru orál v je kové apětí, půobí v roviě plošk A ve ěru top v íl F 5
Napětí, pokračováí Skové apětí v le a ploše A roložit o ěrů o t a : Opět platí: v t Boe tělea ůžee proložit libovolý počet řeů. Kažé ploše opovíá jiý vektor apětí p. Možia vektorů apětí p, opovíajíí vše orietovaý plošká v aé boě, harakteriuje apěťový tav v toto boě. 6
Deforae Poje eforae Hleiko fikálí: eforae pružé a epružé Hleiko geoetriké: pouutí a pootočeí Zěa élk: l l l Poěrá élková ěa: Zěa úhlů, pootočeí: l l l l l tg 7
8 Deforae, pokračováí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V V V V V V V ω Zěěý obje: Zěa objeu: Poěrá objeová ěa: Půvoí obje: ( ) ( ) ( ) V V V ω ω Poěrá objeová ěa: Pro alé eforae jou poěré eforae řáově eší k jeiče a le pát: ω
Aalýa apjatoti v okolí bou tělea Vektor p je vž váá a orietovaou plošku určeou orálou. Má tři ložk: t Vektorový ápi p : r p r r e r e e t 3 e, e, e 3 jou jeotkové vektor ve ěreh,, t Pro určeí apětí v aé boě M v libovolé ploše uíe át tři ložk apětí ve třeh vájeě kolýh ploškáh apř. orálai,, t. Složek apětí v boě je te 9. 9
Aalýa apjatoti v okolí bou tělea, pokračováí Oačováí ieů: Zápi 9 ložek apětí v atiové tvaru e aývá teor apětí: [ ] U orálovýh apětí e pravila užívá jee ie, á ěr orál k přílušé ploše a oučaě ěr apětí. U kovýh apětí á prví ie ěr orál k přílušé ploše, ruhý ie ěr kového apětí.
Aalýa apjatoti v okolí bou tělea, vájeot kovýh apětí Z oetové poík k oe proháejíí těžiště eleetu vplývá: M t ( ) ( ) po úpravě, a obobě Vájeot kovýh apětí protíajííh e v jeo boě a ortogoálíh ploškáh Vhlee k těto rovote le apětí v boě harakteriovat také,,,,,, vektore apětí: { } T
Traforae ložek teoru apětí Záe-li apětí v boě, tj. ve třeh vájeě ortogoálíh ploškáh A,A, A ůžee určit apětí a libovolě orietovaé ploše A. Orietae této plošk je áa orálou. Traforačí vtah vplývají rovováh il půobííh a čtřtěu ON N N 3. ( ) ( ) ( ), o, o, o A A A A A A,, jou ěrové koi úhlů, které vírá orála oai,,.
3 Traforae ložek teoru apětí po úpravě : p p p p p p p A A A A p F A A A A p F A A A A p F { } [ ] { } p T [ ] T Poíka rovováh il a čtřtěu: Platí: V atiové tvaru le apat: je trapoovaá atie teoru apětí, { } T,,
Traforae ložek teoru apětí, pokračováí Norálová ložka vektoru p je áa oučte průětů ložek p, p a p o ěru orál po oaeí a t p ( ) p p p, p, p p a úpravě : Sěr výleého kového apětí t je á příkou t, která je průečií rovi plošk A roviou aou orálou a vektore p. 4
5 Traforae ložek teoru apětí, pokračováí { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) p p p p p p, o, o, o a, o, o, o ke Na obr. je oa pootočeého ouřaého téu,, totožá orálou. Složk kového apětí t t, o ěru a o ěru jou: Po oaeí a p, p, p je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 Traforae ložek teoru apětí Níže uveeé rovie uožňují íkat tři ložk teoru apětí a ploše orálou v ouřaiové téu,,. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Obobě le íkat ložk teoru apětí a ploškáh orálai,.
7 Traforae ložek teoru apětí, atiový ápi [ ] [ ], Traforai evíti ložek apětí e ouřaiového téu,, o ouřaiového téu,,, le atiově apat: Matiový ápi le kráeě bolik apat: [ ] [ ] [ ] [ ] T L L jou atie teoru apětí v ouřaé téu,, a,,. [L], [L] T jou atie pootočeí a trapoovaá atie pootočeí
Roviý tav apjatoti tělea Je-li v libovolé boě tělea ploška, ve které jou ložk apětí ulové, pak hovoříe o rovié apjatoti. Neulové ložk apětí jou pak touto ploškou rovoběžé. Na obr. jou ulová apětí v roviě orálou, tj. v roviě. Složk apětí,,, jou touto roviou rovoběžé. Matiově le teor apjatoti vjářit: S roviou apjatoti e etkáváe apř. u tě ebo u oíků. [ ],, Napětí při rovié apjatoti le vjářit také vektorově: { } { } T 8
Příkový tav apjatoti tělea Můžee-li libovolý boe tělea proložit vaek rovi, ve kterýh jou ložk apětí ulové, pak hovoříe o příkové apjatoti. Jeiá eulové ložka apětí je v příe, ve které e vaek rovi protíá. Je-li touto příkou oa, le atiově teor apjatoti vjářit: Svaek rovi, ve kterýh epůobí apětí Společá příka vaku rovi [ ] Vektorově le apat: { } { } S příkovou apjatotí e etkáváe apř. u la ebo u táhel. 9
3 Traforačí vtah pro roviý tav apjatoti [ ] [ ] [ ] [ ] T L L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o9 o 9 o o o o o o i 9 o o o9 o o9 o -i 7 o o o o Při traforai je ůležité i uvěoit orietai úhlu (o o k oe pravotočivě). Vjee-li rovie:, pak je uto vjářit atii [L]. Platí: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T T L L L L o i i o o i i o : Pro roviou apjatot le jeoušit o i i o o i i o
3 Traforačí vtah pro roviý tav apjatoti [ ] [ ] [ ] [ ] T L L Vjee-li rovie: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o i je e o i i o o i i o
Traforačí vtah pro roviý tav apjatoti Po úpravě: ( ) ( ) ke i o je o ( ) ( ) i i o i i o i le ovoit e vore pro je-li pootočeí βπ/ 3
Věta o. ivariatu teoru apětí Sečtee-li orálová apětí, platí o i i o i i Součet orálovýh apětí v okolí bou a libovolýh vou ortogoálíh ploškáh je kotatí 33
Hlaví orálová apětí Je-li á teor ebo vektor apětí v ouřaé téu,, pak je čato uté určit ěr a hoot orálovýh apětí. Le vjít e vore: o i i Platí o o o ( i ) ( ) i o i, protože ( ) i je o Největší orálové apětí je v roviě, v íž je kové apětí ulové. Této roviě říkáe hlaví rovia a přílušéu orálovéu apětí hlaví apětí. Úhel potočeí e rovi o hlaví rovi eurčuje jeoačě ěr aiálího a iiálího apětí: tg e 34
Hlaví orálová apětí e hlaví orálové apětí Z rovi rovováh ve ěru a vplývá: p p e e o i e e o i e e i o Řešeí těhto vou rovi vee ke kvaratiké rovii řešeí: e e e ( ) ± 4, Hlaví apětí přiřaujee pravila ie > Sěr, hlavíh apětí a le jeoačě určit e vtahů: tg tg 35
Maiálí ková apětí Záe-li aiálí orálová apětí,, le orálové apětí a kové apětí ź vjářit: o δ i δ ( ) i δ Maiálí (etréí)ková apětí buou Hlaví rovi a ploháh hlavíh ků při hootáh δ vplývajííh rovie: δ ( ) oδ oδ π δ 4 π δ 4 Na těhto ploháh buou půobit aiálí ková apětí etr a orálové apětí : ± ( ) ( ) etr 36
Mohrova kružie 37
Mohrova kružie Orietae le ěru otáčeí. Souřaý té volíe tak, že oa opovíá, oa pak oe. Veee bo A (, ) - á tejou orietai jako t, je proto klaé (ahoru). 3. Veee bo B (, ) - á opačou orietai jako t, je proto áporé (olů). Poáka: pro orietai je rohoujíí ěr otáčeí! Poor a volbu o přípaě. 4. Stře kružie S je průečík pojie AB oou, poloěr opovíá úeče AS a BS, aiálí apětí je v boě X(, ) kružie, iiálí boě Y(, ) kružie. Etréí hoot kovýh apětí určují bo C a D. 5. Pól Mohrov kružie P je průečík kružie a rovoběžk oou () veeou boe A, repektive průečík kružie příkou rovoběžou oou () veeou boe B. 6. Spojie PX určuje ěr hlavího apětí, pojie PY ěr hlavího apětí. 7. Chee-li určit apětí a ploše orálou pootočeou o o, veee rovoběžk oai 38 a pólu P bo M a N.
Mohrová kružie pro jiou orietai o vi kripta Šiřák, S., Pružot a platiita I. Naklaateltví VUT Bro, 999. Sěr o opovíá, ěr o opovíá 39
Speiálí přípa apjatoti Čitý k Příkla rovié apjatoti 3 aiálíi kovýi apětíi Příková apjatot 4
Trajektorie hlavíh apětí Tažeý prut Ohýbaý oík 4
Trajektorie hlavíh apětí Kroueý prut oba ěr M 4
43 Difereiálí rovie rovováh ále a ebo kráeě ),, ( ),, ( ),, ( Složk apětí a pouutýh ploškáh le apat:
Difereiálí rovie rovováh, pokračováí Ve ěru o platí poíka rovováh: ΣF Po úpravě: X X 44
45 Difereiálí rovie rovováh, pokračováí Po roepáí rovi rovováh ve ěru o, a le ovoit Cauhho rovie rovováh: Z Y X
46 Geoetriké rovie u v v u u v v u u u u v v v v v v v u u u u β w u w v w v u v u V roviě: V protoru:
47 Geoetriké rovie, rovie kopatibilit (pojitoti) po úpravě :,, 3 3 3 3 v u v u v u v u Obobě le ovoit: ále a Rovie kopatibilit popiují vájeou ávilot ložek eforaí, ahováí pojitoti tělea i po viku eforaí
Fikálí rovie (kotitučí vtah), vtah ei apětíi a eforaei Vtah ei apětí a poěrýi eforaei ávií a fikálíh vlatoteh látek. Pro lieárě pružý ateriál je le vjářit v atiové forě: Zkráeě le apat: 3 4 5 6 D 3 4 5 6 D je atie tuhoti 3 3 33 34 35 36 je vektor eforae 4 4 43 44 45 46 je vektor apětí 5 5 53 54 55 56 ij jou kotat vjařujíí velikot apětí při 6 6 63 64 65 66 jeotkové poěré eforai Matie D je etriká, ij ji. 48
Fikálí rovie, vtah ei eforaei a apětí D Iverí vtahe k rovii je 3 4 5 6 3 4 5 6 3 3 33 43 53 63 4 4 34 44 54 64 5 5 35 45 55 65 6 6 36 46 56 66 Matie C je etriká, platí ij ji. C D C ij je atie poajoti je vektor eforae je vektor apětí jou koefiiet eforae, vjařují poěrou eforai při jeotkové apětí 49
Fikálí rovie, atiový a teorový ápi, aiotropí látka Matiový ápi fikálíh rovi: D D C Teorový ápi fikálíh rovi: ij ijkl kl ij ijkl kl V aiotropí láte jou fikálí vlatoti v kažé ěru růé. Počet eávilýh kotat ebo koefiietů je aiálě. 5
5 Fikálí rovie, iotropí látka vtah ei eforaei a apětíi, rošířeý Hookův áko ( ) ( ) ( ) E Počet eávilýh kotat je. E je oul pružoti [Pa] rep. [MPa], [GPa] je Poioovo čílo <,,5> V iotropí láte jou fikálí vlatoti ve všeh ěreh tejé
5 Fikálí rovie, iotropí látka vtah ei eforaei a apětíi, rošířeý Hookův áko, pokračováí ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) G E E G E E G E E E Po roepáí je
53 Fikálí rovie, iotropí látka vtah ei apětíi a eforaei, Hookův áko ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E Počet eávilýh kotat je. V iotropí láte jou fikálí vlatoti ve všeh ěreh tejé
54 Fikálí rovie, iotropí látka vtah ei apětíi a eforaei, Hookův áko ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) G E E G E E G E E E je: Po roepáí:
55 Fikálí rovie, ortotropí látka vtah ei eforaei a apětíi, rošířeý Hookův áko G G G E E E E E E E E E V ortotropí láte jou fikálí vlatoti ve třeh vájeě kolýh ěreh olišé. Hovoří e o ortotropí aiotropii. Jetliže e ěr o,, a totoží e ěr rovi pružé etrie je počet eávilýh kotat ebo koefiietů 9. Muí platit: E E E E E E E, E, E jou oul pružoti ve ěru o,, je Poioovo čílo aé poěre příčé eforae ve ěru o k poélé eforai ve ěru o G, G, G jou oul pružoti ve ku ie oačujííi roviu ku
Záklaí té rovie teorie pružoti Obahuje 5 eáýh fukí: 6 ložek apětí (,,,,, ) 6 ložek eforae (,,,,, ) 3 ložk pouutí (u, v, w) Těhto 5 eáýh le určit e: 3 pariálíh ifereiálíh rovi rovováh 6 geoetrikýh rovi 6 fikálíh rovi Na povrhu tělea uí být plě poík opovíajíí atížeí a vabá okrajové poík 56
Druh okrajovýh poíek. Statiké okrajové poík, a povrhu tělea jou aáa povrhová atížeí výi ložkai p, p, p Složk apětí a povrhu tělea p, p, p uí být ii v rovováe. Muí te platit: p p p p p p. Deforačí okrajové poík, a povrhu tělea jou aá ložk pouutí u, v, w ebo jejih erivae. Složk eforae povrhu u, v, w tělea uí vhovovat těto poíká: u u v v w 3. Síšeé okrajové poík, a povrhu tělea jou aáa oučaě atížeí a eforae w 57
Příkla, aáí, okrajové poík, atížeí 58
Příkla Napětí ioliie [MPa] barv 59
Příkla Napětí ioliie [MPa] Napětí ioliie [MPa] 6
Příkla Napětí ioliie [MPa] Napětí ioliie [MPa] 6
Použitá literatura [] Diký, J., Mitríková, Z., Sue, J., Pružoť a platiita v tavebítve, Sloveká tehiká uiverita v Bratilavě, 4. [] Diký, J., Mitríková, Z., Sue, J., Pružoť a platiita v tavebítve, Sloveká tehiká uiverita v Bratilavě, 6. 6