VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

Transkript

1 VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček téže délk u B... uístěí vektoru u,(b),... počátečí (kocový) od vektoru Souřdice vektoru u : u u, u,, B, u B, u B u u Velikost vektoru u je délk orietové úsečk B: u u u Operce s vektor: Jsou dá vektor u, v u,u v,v rovost vektorů: u v u v u v opčý vektor k vektoru u : u ásoeí vektorů čísle u, u R : u u, u kolieárost vektorů (leží téže příce eo rovoěžých příkách): u kv, k R, k podík kolieárosti: u kv u kv eo tké: uv uv součet rozdíl: u v u v u, v sklárí souči: uv uv uv velikost úhlu vektorů: cos uv u v u u v u v u v v

2 podík kolosti vektorů: cos u v uv uv lieárí koice vektorů v, v, v, 3, v je vektor v = v + v + 3 v v, kde,, 3,, jsou reálé koeficiet Lieárí závislost ezávislost vektorů vektor jsou lieárě závislé právě tehd, kdž lze jede z ich vjádřit jko lieárí koici osttích. V opčé přípdě jsou lieárě ezávislé. tj. jestliže lze ulový vektor zpst jko ějkou lieárí koici těchto vektorů, kd lespoň jede z koeficietů je růzý od Vektorový souči vektorový souči je operce v prostoru ezi dvě vektor, jejíž výsledke je vektor, který je tto dv vektor kolý. ozčeí: w = u v w = u v siα u v = (u v 3 v u 3 ; u 3 v v 3 u ; u v v u ) Poůck tzv. křížové prvidlo: Vužívá se při výpočtu oshu rovoěžíku, trojúhelíku v prostoru, oetu síl pod.

3 Přík B p u u φ u u - sěrový vektor přík u = (u, u ) - orálový vektor přík, s u u - sěrový úhel přík k - sěrice přík k tg u u sěrový vektor přík je liovolý vektor, který í leží, popř. vektor, který je s í rovoěžý přík á ekoečě oho sěrových vektorů (jsou vzáje kolieárí) orálový vektor přík je liovolý vektor, který je kolý příku (kolice orál) přík á ekoečě oho orálových vektorů (jsou vzáje kolieárí) sěrový úhel přík je úhel, který svírá přík s kldou poloosou

4 Rovice přík,, B,, X,, X liovolý od přík p ; u u u B kždou příku B lze vjádřit rovicí X tu,, u = pretrická rovice přík: tu tu, t R je-li t ; ) polopřík B je-li t ( ; opčá polopřík k polopříce B je-li t ; úsečk B oecá rovice přík: c,, c R, orálový vektor, sěrový vektor u, kždá přík v roviě á ekoečě oho oecých rovic, které jsou eulovýi ások jedé z ich výz koeficietů: přík je rovoěžá s osou rovice os : rovice os : sěricový tvr rovice přík: ksěrice přík qúsek, který přík vtíá ose přík je rovoěžá s osou c přík prochází počátke soustv souřdic k q, k sěricový tvr přík ezhruje přík rovoěžé s osou - tg eí defiová je-li k přík je rovoěžá s osou je-li q přík prochází počátke soustv souřdic jestliže jí dvě přík stejou sěrici, pk jsou rovoěžé úsekový tvr rovice přík: p q púsek ose, p qúsek ose, q Vzdáleost odu od přík vzdáleost odu M, od přík p : c : c v

5 Vzájeá poloh příek v roviě: p : c q : c p : k q q : k rovoěžé splývjící p q : r r c rc popř. k k q q rovoěžk růzé // q : růzoěžk kolé: q p r r c rc popř. k k q q p q : popř. k k růzoěžk: epltí i jed z výše uvedeých podíek průsečík růzoěžek určíe řešeí soustv dvou rovic, kterýi jsou přík vjádře odchlk dvou příek: u v cos, kde u, v jsou sěrové, popřípdě orálové vektor dých příek u v Přík v prostoru [ ; ; 3 ], u = (u ; u ; u 3 ) přík p(; u ): = + tu = + tu z = 3 + tu 3, t R žádá přík v prostoru eá oecou rovici Rovi C ρ v u B [,, 3 ], u = B = (u, u, u 3 ), v = C = (v, v, v 3 ), X[,, z], kde X je liovolý od rovi pretrické vjádřeí rovi: = + tu + sv = + tu + sv z = 3 + tu 3 + sv 3, t, s R oecá rovice rovi: + + cz + d =, kde (,, c) (; ; )

6 Kuželosečk Kuželosečk = oži odů v roviě, kterou lze získt jko průik rotčí kuželové ploch rovi, která eprochází vrchole kuželové ploch Kružice = oži všech odů v roviě, které jí od dého odu (středu S kružice) stejou vzdáleost (poloěr r) X[; ] r S[;] S,... střed kružice, SX r X k, X,... liovolý od kružice středová rovice kružice: r oecá rovice kružice: B C rovice teč v odě T, : t : r středová rovice kruhu: r středová rovice kulové ploch: z o r středová rovice koule: z o r

7 Prol = oži všech odů X v roviě, které jí stejou vzdáleost od dého odu F (ohisk) od přík d (řídicí), která dý ode eprochází d M X[; ] D p V F o V, vrchol prol F ohisko prol d řídicí přík vf, d p pretr. VF vd, V vrcholová rovice prol: p p o // p o // oecá rovice prol: rovice teč v odě dotku T, t : t : B C o // B C B o // p o // p o //

8 Elips = oži všech odů X v roviě, které jí od růzých dvou odů (ohisek elips F,G) kosttí součet vzdáleostí : XF XG, kde je délk hlví os o D X[; ] r F S G B o S e X[; ] C S, střed elips, B hlví vrchol B hlví os: B C, D vedlejší vrchol CD vedlejší os: CD F, G ohisk elips o o S SB délk hlví poloos CS SD délk vedlejší poloos FS SG e ecetricit=výstředost... e... středová rovice elips: oecá rovice elips:.. o // o // B C D E, B, B rovice teč v odě dotku T, : o // o //

9 Hperol = oži všech odů X v roviě, které jí od dvou růzých odů (ohisek F, G) kosttí solutí hodotu rozdílu vzdáleostí: FX GX, kde je délk hlví os p o p D F B e S G o C X[; ] S, střed hperol, B vrchol hperol o B, o CD... hlví os (vedlejší os) hperol... B, CD F, G ohisk hperol... FG e S = BS = délk hlví poloos CS = SD = délk vedlejší poloos FS SG e... ecetricit... e... e p, p sptot hperol středová rovice hperol: rovice sptot: rovice sptot: o // o //

10 oecá rovice: o B E D C B o B E D C B //, //, rovice teč v odě dotku, T : : : t t je-li =, hperol se zývá rovoosá