Pružnost a plasticita II

Transkript

1 Pružnost a plasticita II. ročník bakalářskéo stuia oc. Ing. Martin Krejsa, P.. Katera stavební ecanik

2 Plošné konstrukce, nosné esk

3 Nosné esk Iealiují se jako rovinný obraec (nejčastěji ve voorovné rovině), oou ít otvor. Zatížení působí poue kolo ke střenicové rovině a ůže být vvoláno: iealiovanýi boovýi silai (oent), iealiovanýi liniovýi silai (oent), iealiovanýi plošnýi silai, vlastní tíou, ěnou teplot. Vab působí kolo ke střenicové rovině a oou být: boové (brání posunů), liniové (brání posunů a pootočení), plošné.

4 Nosné esk, příkla Pravoúlá nosná eska Rotačně setrická nosná eska

5 Nosné esk, příkla Ukák stropníc esek 5

6 Nosné esk, příkla 6 Filigránové želeobetonové esk

7 Nosné esk, příkla Příkla rotačně setrickýc eskovýc konstrukcí 7

8 Nosné esk, příkla Konstrukce vsílače na Ještěu Příkla rotačně setrickýc eskovýc konstrukcí 8

9 Nosné esk, příkla vítr 9

10 Příkla poepření nosnýc esek půors svislý ře

11 Pravoúlé nosné esk, volba souřanicovéo sstéu Nosná eska v pravoúlé kartéské soustavě souřanic

12 Roělení nosnýc esek Nosné esk le roělit: Pole roěrů: ebrán: / l </8, veli tenké esk / l /5 až /8, tenké esk / l / až /5, rubé esk / l /5 až /, prostorová tělesa / l >/5. Pole eforace: s alýi eforacei a <l/ a současně a </ a ϕ a <π/6, se střeníi, přípaně velkýi eforacei a >l/, řešení patří k nelineární úloá pružnosti.

13 Tenké nosné esk s alýi eforacei, přepokla řešení Autorství lineární teorie esek se přisuuje Kircoffovi. Gustav Robert Kircoff (8 887) Řešení pole Kircoffa je aloženo na přepoklaec:. eforace střenicové ploc jsou alé.. Norálová napětí σ jsou v porovnání s napětí σ a σ alá a anebávají se.. Bo ležící pře eforaci na norále ke střenici leží na ní i po eforaci (tv. špenlíková potéa). Neění se také jejic válenost ε. ůslek: přetvoření le vjářit jako funkci obové ploc (,), γ γ.. Bo na střenicové ploše esk ají nulové norálové napětí a přeísťují se poue ve sěru os (poínkou je setrie tvaru a ateriálu esk).

14 Nosné esk, příkla reálnéo průběu norálovéo napětí σ Scéa roložení napětí při plošné atížení a), reálný průbě napětí σ na obr. b).

15 Tenké nosné esk, výcoí přepokla o eforaci Střenice esk se pobuje poue ve sěru os. Norála ke střenici n pře účinke atížení ůstává norálou n i po účinku atížení. Posunutí bou K v rovině ležícío io střenici o bou K le vjářit jako funkci u f (). Obobně v f (). 5

16 6 Tenké nosné esk, řešení u γ u ε Geoetrické vta: u ϑ v ϑ ε v γ Šest složek eforace je vjářeno průbovou funkcí (,). v ε v u γ

17 Tenké nosné esk, řešení, pokračování Fikální vta: ε ( σ σ ) ε ( σ σ ) γ G Z těcto rovnic a geoetrickýc vtaů le ovoit: τ σ σ ( ) ε ε ( ) ε ε τ ( γ ) 7

18 Tenké nosné esk, řešení, pokračování Je-li: σ σ σ σ τ Je e určitý nesoula s Kircofovou teorií. τ ( ) ε ε ( ) ε ε ( γ ) ( σ σ ) Pak také platí: ε τ τ Platí-li poínk rovnová: τ τ γ γ G G G 8

19 9 Tenké nosné esk, řešení, pokračování ( ) ( ) τ Δ Z poínk rovnová: Protože Obobně: τ τ σ τ σ τ τ σ τ σ ) ( τ ( ) / τ ( ) ( ) ( ) ( ) τ Δ Δ

20 Nosné esk, průbě složek napětí a složek ěrnýc vnitřníc sil Klaný ssl vnitřníc sil je řejý obr. Na tv. klanýc ploškác jsou orientován ve sěru klanýc os, (obové oent vvolávají ta ve sponíc vláknec a klané kroutící oent ají sěr klanýc tečnýc napětí). Na áporně orientovanýc ploškác je to opačně.

21 Nosné esk, ovoení složek ěrnýc vnitřníc sil ( ) Měrné vnitřní síl: ají výna intenit vnitřníc sil, jsou vtažen k jenotkové élce příslušnéo řeu, onačují se alýi písen, je jic celke pět - va ěrné obové oent a, jeen ěrný kroutící oent a vě ěrné posouvající síl a. σ σ ( ) τ esková tuost

22 Nosné esk, ovoení složek ěrnýc (posouvajícíc) vnitřníc sil ( ) esková tuost ( ) ( ) Δ τ ( ) ( ) Δ τ ( ) ( ) Δ ( ) ( ) ( ) ( ) Δ Δ 6 8 8

23 Měrné oent bl ovoen integrací složek napětí: Nosné esk, transforace složek ěrnýc vnitřníc sil, lavní oent σ [ ] σ τ τ σ Pootočí-li se souřané os a a úel α, ískají se tak os a. Tě pak buou opovíat i složk napětí σ, σ a τ a oent, a. σ Maticově le apsat: τ

24 Nosné esk, transforace složek ěrnýc vnitřníc sil, lavní oent Pro transforaci složek napětí a oentů le použít ientické vta: cos α sin α sin α sin α cos α sin α cos α ( ) sin α Hlavní oent a sěr norál k plocá, ke lavní oent působí jsou:, ± Maiální ěrné krouticí oent, se pak určí:, tan α ± Spolupůsobí s nii obové oent: tan α

25 Výpočet složek napětí v nosné esce Platí-li pro výpočet ěrnéo obovéo oentu a norálovéo napětí σ : σ pak σ ( ) ( ) ( ) σ Složk napětí v nosné esce le určit s poocí vtaů: σ σ τ 5

26 Nosné esk, složk ěrnýc vnitřníc sil na okraji esk cos ϕ sin ϕ sin ϕ n n t ( ) sin ϕ cos ϕ cosϕ sinϕ n 6

27 7 Nosné esk, poínk rovnová Q p F M M M M K K K K Q Q Q

28 8 Nosné esk, poínk rovnová, pokračování Q Q K K M M Q Q K K M M F Q Q Q Q : F i : M i : M i

29 9 Nosné esk, poínk rovnová, pokračování, esková rovnice Q Q K K M M Q Q K K M M Po úpravě: : M i : M i Po úpravě:

30 Nosné esk, poínk rovnová, pokračování, esková rovnice Zatížení esk le roělit na tři části: atížení p a p přenášené obovýi oent a, atížení p přenášené kroutící oente. : i F F Q Q Q Q p p Po úpravě: p p p p p resp.

31 Nosné esk, poínk rovnová, pokračování, esková rovnice Rovnice vjařuje poínk rovnová poocí ěrnýc oentů. a úpravě le ískat ovoenou eskovou rovnici: p ( ) ( ) p p ), ( ), ( ΔΔ resp. Po osaení:

32 esková rovnice pro pravoúlé nosné esk p resp. ΔΔ(, ) p(, ) esková rovnice: parciální iferenciální rovnice. řáu, lineární, neoogenní (á pravou stranu), eliptickéo tpu. Pro p je o biaronickou rovnici. Zatížení plošné p [N/ ] esková tuost ( ) Kažá biaronická funkce opovíá průbové ploše esk atížené jen na okrajíc.

33 Okrajové poínk nosnýc esek Řešení rovnice esk usí opovíat aný okrajový poínká (vž vě na okraji). Okraj vetknutý: na okraji nulový průb i pootočení ϑ Také platí:... i i Kroutící oent je nulový

34 Okrajové poínk nosnýc esek Okraj prostě poepřený: na okraji nulový průb a nulový oent. Také platí:... i i proto: eforační vjáření okrajové poínk:

35 Okrajové poínk nosné esk, okraj prostě poepřený, pokračování esková rovnice uožňuje plnit na okraji poue vě poínk. Mělo b e být ještě třetí poínka. Řeší se tv. oplněnou posouvající silou. Δ Δ Δ li Δ (, Δ) (,) Δ Tato síla je: ( ) 5

36 Okrajové poínk nosné esk, okraj volný Na neatížené okraji b ělo být splněno: Přeepisují se však jen vě poínk: 6

37 Nosné esk, eto řešení Příé řešení eskové rovnice v uavřené tvaru neeistuje. Aplikují se přibližné eto, ke který patří např.: Metoa sítí, Ritova etoa, Galerkinova etoa, Metoa raničníc prvků, Metoa konečnýc prvků - FM. 7

38 eskový pás Je nejjenoušší přípa eskové konstrukce Statické scéa růnýc tpů eskovýc pásů 8

39 eskové pás, příkla 9

40 Kruové (rotačně setrické) nosné esk

41 Tlusté nosné esk, Minlinova teorie Přepokla σ ε a u(,,) v(,,) ůstávají v platnosti. Bo norál ke střenicové rovině ůstávají po eforaci na příce. Ta již obecně není norálou ke střenicové rovině. Platí: ϑ (,) ϑ (,) ϕ(,) ϕ (,) Vele nenáé je potřeba stanovit také onot ϕ a ϕ, resp. ϑ a ϑ.

42 Tlusté nosné esk, Minlinova teorie, pokračování Při výpočtu pole Minlinov teorie se ísto jené nenáé usí stanovit tři nenáé paraetr. U tenkýc nosnýc esek se oent určoval: (,) Pro tlusté nosné esk se stanoví: ϑ ϑ Měrné posouvající síl jsou:, G ϑ, G ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ( ) (,) ), (

43 Tlusté nosné esk, Minlinova teorie, pokračování Místo jené eskové rovnice, v níž vstupovala jeiná nenáá (,) se v ané přípaě poínek rovnová ískají tři rovnice: ( ) ( ) 6 Φ, G ϑ ϑ ϑ ke ϑ ϑ Φ ( ) ( ) 6 Φ, G ϑ ϑ ϑ p G, Φ

44 Tlusté nosné esk, okrajové poínk Prosté poepření: okraj konst: okraj konst: Vetknutí: okraj konst: ϑ ϑ Volný okraj: okraj konst: okraj konst: oplňkové posouvající síl se e neaváějí.